Tài liệu Chinh phục điểm 8 hệ phương trình, bất phương trình

2015 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 = 𝒚√𝒚 − 𝟐 − 𝟐𝒙 (𝟏) Bài 1: { (√𝒚 − 𝟐 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟏𝟑(𝒚 − 𝟐) + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 (𝟐) (Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 – THPT HÀN THUYÊN-BẮC NINH) Phân tích đề: Nếu là các tín đồ của phương pháp hàm số thì các bạn sẽ dễ nhận ra ngay ở PT (1) có thể sử dụng được hàm số và nó có dạng 𝑓(√𝒚 − 𝟐) = 𝒇(𝟐𝒙) , sau đó xét hàm 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕 là ok(các bước tiếp theo là của các bạn). Nhưng mấu chốt ở đây là nếu tôi nhìn ra được PT (1) có thể sử dụng hàm số thì sao? Đó là 1 câu hỏi hay và bây giờ tôi sẽ trả lời cho các bạn. Chúng ta sẽ sử dụng máy tính casio 𝑓𝑥-570ES PLUS,casio 𝑓𝑥-570VN PLUS … như sau: 𝟏 𝒙≥− 𝟐 Trước tiên, sống chết gì thì các bạn cũng phải tìm đkxđ đã, ở đây tôi tìm luôn: { 𝒚≥𝟐 Các bạn xét PT (1), chuyển tất cả 2 vế thành 1 vế, ở đây tôi sẽ chuyển VP sang VT và được như sau: 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 − 𝒚√𝒚 − 𝟐 + 𝟐𝒙. Sau đây là quy trình bấm máy: Nhập biểu thức này vào máy tính 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 − 𝒚√𝒚 − 𝟐 + 𝟐𝒙 Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, có nghĩa là máy tính hỏi các bạn cho giá trị Y bằng bao nhiêu, ở đây chúng ta cho Y = 2 (do đkxđ 𝒚 ≥ 𝟐 nên tôi lấy luôn là y=2 trở lên) và bấm vào máy tính như sau: 2 = Bây giờ màn hình máy tính lại hiện lên hỏi các bạn cho giá trị X bằng bao nhiêu, các bạn cho nó bằng giá trị bất kỳ thí dụ tôi cho bằng -10 thì bấm vào máy như sau: – 10 = Bây giờ màn hình máy tính hiện lên như bên phải, có nghĩa là khi chúng ta cho giá trị Y=2 thì X=0 và sai số trong phép tính này L – R=0, hay (X;Y)=(0;2) là nghiệm của biểu thức đó. Tương tự như hướng dẫn trên các bạn cho giá trị Y=3,4,5,6,… để tìm ra X=…, để chúng ta tìm ra quy luật nào đó mà rằng buộc giữa X và Y. Khi thực hiện tương tự ta được bảng sau: Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 1 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Y 2 3 4 5 6 10 X 0 0,5 0,7071067812 0,8660254038 1 1,414213562 Nếu là người sử dụng máy tính thành thạo hay quen với những con số thì dễ dàng thấy ngay 0,7071067812= √2 2 , 0,8660254038= √3 2 , 1,414213562=√2 và từ đó ta thấy ngay quy luật cứ 2X=√𝑌 − 2 , còn đối với bạn nào chưa nhìn ra thì ta làm tiếp như sau: Y X 2 0 3 0,5 4 √2 2 =0,7071067812 5 √3 2 =0,8660254038 6 1 10 √2 =1,414213562 √𝑌 − 2 0 1 √2 =1,414213562 √3 =1,732050808 2 2√2 =2,828427125 Bây giờ ta thấy ngay quy luật cứ 2X=√𝑌 − 2 . Mấu chốt là các bạn hãy liệt kê các biểu thức có trong PT mà ta đang xét, thí dụ như ở đây ta thêm √𝑌 − 2 để xuất hiện mối quan hệ giữa X và Y nhanh hơn. Đó mới là bước đầu để chinh phục được câu hệ. Bước tiếp theo là làm sao để ta tìm ra nhân tử chung 2X=√𝑌 − 2 như chúng ta đã biết nó trước đó. Bây giờ tôi cần các bạn có một chút tư duy: Đối với một PT mà các biến x và y độc lập hoặc các biểu thức chứa các biến x và y độc lập thì ta nghĩ ngay đến việc sử dụng Phương pháp hàm số( mấu chốt là đạo hàm).Vì đã biết trước nhân tử chung là 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 và sử dụng hàm số ta sẽ làm như sau: 3 (1)⇔ (2𝑥)3 + 2𝑥 = [(𝑦 − 2) + 2]√𝑦 − 2 − √𝑦 − 2 ⇔ (2𝑥)3 + 2𝑥 = (√𝑦 − 2) + √𝑦 − 2 Đến đây ta nhận ra hàm đặc trưng là 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕 , bước tiếp theo là: Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R 𝒙≥𝟎 Hay 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 ⇔ { 𝟐 . Vậy ta đã được nhân tử cần mong muốn, mấu chốt của 𝟒𝒙 = 𝒚 − 𝟐 việc sử dụng máy tính casio vào giải toán là để ta biết trước PT đó có nhân tử chung hay kết quả và rồi ta khai thác các bước tiếp theo theo nó. Sau khi đã tìm được nhân tử chung 𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 bây giờ chúng ta sẽ thay nó vào PT (2) và được là: (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 (𝟑) Nhìn chung đây là một PT khá khó và tương đối phức tạp nhưng không sao chúng ta sẽ nhờ công cụ vạn năng hỗ trợ - máy tính casio 𝒇𝒙-570ES PLUS. Ta chuyển tất cả các biến về một vế, ở đây tôi chuyển hết về VT và được: (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗. Sau đó nhập vào máy tính để tìm nghiệm của PT. Quy trình bấm máy như sau: Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 2 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Nhập biểu thức này vào máy tính (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗 Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, sau đó máy hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó giá trị bất kỳ, ở đây tôi cho X= - 10 thì bấm vào máy như sau: - 10 = Bây giờ màn hình hiện kết quả là khi X=0,5 thì sai số của phép tính L – R=0 hay X=0,5 là một nghiệm của PT (3) Tiếp theo các bạn gán giá trị X=0,5 vào biến A trong máy tính bằng cách bấm máy như sau: SHIFT STO ( - ) Bây chúng ta sẽ chia nghiệm X=0,5 đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không bằng cách nhập biểu thức này vào: ((𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝟐𝒙 + 𝟐𝟗): (𝒙 − 𝟎, 𝟓) Nhớ là A=0,5 và thêm 2 dấu ngoặc vào đầu và cuối Bây giờ máy hỏi các bạn có muốn gán giá trị A=0,5 không, thì các bạn ấn = để đồng ý Tiếp theo máy hỏi các bạn muốn cho giá trị X=0,5 không, nếu đồng ý thì ấn = còn nếu không thì các bạn cho giá trị bất kỳ, ở đây tôi lấy luôn X=0,5 Bây giờ màn hình hiện kết quả là khi X=1,5 thì sai số của phép tính L – R=0 hay X=1,5 là một nghiệm của PT (3). Như vậy đến đây ta thấy PT (3) có 2 nghiệm rồi Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 3 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Tiếp tục các bạn gán nghiệm X=1,5 vào biến B bằng cách bấm máy như sau: SHIFT STO °''' Bây giờ chúng ta chia tiếp nghiệm X=1,5 của PT (3) để xem PT còn có nghiệm nữa hay không. Hoàn toàn tương tự ta nhập biểu thức vào máy tính và được kết quả hiển thị như bên phải Bây giờ màn hình hiện lên X=4,596291202 và sai số của phép tính là L –R=0 hay X=4,596291202 là một nghiệm của PT (3) Tương tự ta gán nghiệm X=4,596291202 vào biến C trong máy bằng cách bấm máy như sau: SHIFT STO hyp Hoàn toàn tương tự như trên ta lại chia nghiệm X=4,596291202 của PT để xem PT còn nghiệm hay hết nghiệm. Và được kết quả như bên phải Bây giờ máy tính hiển thị kết quả Can’t Solve có nghĩa là PT (3) đã hết nghiệm. Các bạn có thể thay giá trị X thêm để chắc chắn là PT (3) đã hết nghiệm, nhưng theo kinh nghiệm của tôi thì hết rồi. Đó vậy là ta đã biết được PT (3) có 3 nghiệm là {0,5; 1,5; 4,596291202} và ta thấy rằng 3 nghiệm này đều thỏa mãn đk 𝑥 ≥ 0 và đkxđ. Bây giờ việc làm tiếp theo của chúng ta là biến đổi PT (3) theo các nghiệm này. Đến đây thì ta lại ra một câu hỏi: “ồ ra đến đây rồi thì phải làm sao nhỉ?” Tôi sẽ trả lời câu hỏi đó ngay bây giờ. Chúng ta đã có 3 nghiệm trên và bây giờ sử dụng chúng cho hợp lý như sau: thay lần lượt 3 nghiệm trên vào √𝟐𝒙 + 𝟏 nếu nghiêm nào cho ra giá trị đẹp thì ta sẽ tách PT ra theo nó, ta thấy nghiệm 1,5 cho kết quả đẹp bằng 2 còn các nghiệm ra không đẹp cho lắm. Vì vậy tôi sẽ tách PT theo nghiệm 1,5 như sau. (3)⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 4 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐) + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 ⇔ ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝟖𝒙 − 𝟐𝟕 = (𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟏 ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) ( − (𝟐𝒙 − 𝟗)) = 𝟎 √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 Đến đây thì ta đã thấy xuất hiện 2 nghiệm 0,5 và 1,5 rồi nhưng còn 1 nghiệm đi đâu? Xin trả lời rằng còn 1 nghiệm là nghiệm của PT 𝟏 √𝟐𝒙+𝟏+𝟐 − (𝟐𝒙 − 𝟗) = 𝟎 (4). Bây ta chỉ việc giải (4) là ra nghiệm còn lại. Nhưng đến đây nhiều bạn cũng không làm được nốt, chả nhẽ nấu cơm xong rồi mà không được à đúng không các bạn. Vậy phải làm sao nhỉ? Chả sao cả ta làm như sau: Viết lại (4):(𝟐𝒙 − 𝟗)( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ [(𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏𝟎]( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 Đến đây chắc các bạn đã nhìn ra, chúng ta đặt √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒂 ≥ 𝟎, thì (4) trở thành: (𝒂𝟐 − 𝟏𝟎)(𝒂 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 − 𝟏𝟎𝒂 − 𝟐𝟏 = 𝟎 ⇔ (𝒂 + 𝟑)(𝒂𝟐 − 𝒂 − 𝟕) = 𝟎 Đến đây thì quá dễ rồi, ta được 𝒂 = {−𝟑; 𝟏−√𝟐𝟗 𝟐 ; 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 } nhưng chỉ có 𝒂 = Đến đây thì các bạn đừng hỏi nhá, mà thôi tôi làm nốt: √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 ⇔𝒙= do 𝒂 ≥ 𝟎. 𝟏𝟑+√𝟐𝟗 𝟒 Thế là xong rồi nhé! Bài làm chính thức: ĐKXĐ: 𝒙 ≥ −𝟎, 𝟓 , 𝒚 ≥ 𝟐 Xét PT (1): 𝟖𝒙𝟑 + √𝒚 − 𝟐 = 𝒚√𝒚 − 𝟐 − 𝟐𝒙 ⇔ (𝟐𝒙)𝟑 + 𝟐𝒙 = [(𝒚 − 𝟐) + 𝟐]√𝒚 − 𝟐 − √𝒚 − 𝟐 𝟑 ⇔ (𝟐𝒙)𝟑 + 𝟐𝒙 = (√𝒚 − 𝟐) + √𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒇(𝟐𝒙) = 𝒇(√𝒚 − 𝟐) Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 5 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R 𝒙≥𝟎 ⇒𝟐𝒙 = √𝒚 − 𝟐 ⇔ { 𝟐 , thay vào PT (2) ta được: 𝟒𝒙 = 𝒚 − 𝟐 (2)⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)√𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟐) + 𝟐(𝟐𝒙 − 𝟏) = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝟐𝒙 − 𝟐𝟗 ⇔ ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 = 𝟖𝒙𝟑 − 𝟓𝟐𝒙𝟐 + 𝟕𝟖𝒙 − 𝟐𝟕 = (𝟐𝒙 − 𝟗)(𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) 𝟏 ⇔ (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟐𝒙 − 𝟑) ( − (𝟐𝒙 − 𝟗)) = 𝟎 √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐 ⇔ 𝒙 = 𝟎, 𝟓 ⇒ 𝒚 = 𝟑( 𝒕𝒎) 𝒙 = 𝟏, 𝟓 ⇒ 𝒚 = 𝟏𝟏(𝒕𝒎) (𝟐𝒙 − 𝟗)( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 (∗) Giải PT (∗) ⇔ [(𝟐𝒙 + 𝟏) − 𝟏𝟎]( √𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟐) = 𝟏 Đặt √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝒂 ≥ 𝟎, PT (∗) trở thành: (𝒂𝟐 − 𝟏𝟎)(𝒂 + 𝟐) = 𝟏 ⇔ 𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐 − 𝟏𝟎𝒂 − 𝟐𝟏 = 𝟎 ⇔ (𝒂 + 𝟑)(𝒂𝟐 − 𝒂 − 𝟕) = 𝟎 𝒂 = −𝟑 ⇔ 𝒂= 𝒂= Do 𝒂 ≥ 𝟎 nên √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 𝟏−√𝟐𝟗 𝟐 𝟏+√𝟐𝟗 𝟐 ⇔𝒙= 𝟏𝟑+√𝟐𝟗 𝟒 ⇒𝒚= 𝟏𝟎𝟑+𝟏𝟑√𝟐𝟗 𝟐 (𝒕𝒎) 𝟏𝟑+√𝟐𝟗 𝟏𝟎𝟑+𝟏𝟑√𝟐𝟗 KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0,5; 3), (1,5; 11), ( 𝟒 ; 𝟐 )  (𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎 (𝟏) Bài 2: { 𝟐 𝟐𝒙 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (𝟐) (Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 - THPT LỤC NGẠN –BẮC GIANG) Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 6 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Phân tích đề: 𝟔 Bước đầu tiên( sống chết gì thì các bạn cũng phải) tìm điều kiện xác định: − ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 𝟓 Bây giờ thì khó nhể làm thế nào để xác định được nhân tử chung ở PT (1) cơ chứ. Như tôi đã bảo các bạn rồi “ vỏ quýt dày thì có móng tay nhọn mà móng tay nhọn thì đã có bấm móng tay”. Đó là sử dụng công cụ vạn năng máy tính casio 𝒇𝒙 − 𝟓𝟕𝟎ES PLUP. Và bấy giờ việc làm của chúng ta đó là nhập VT của PT (1) vào máy và lập bảng giá trị. Tương tự như bài trên các bạn cũng tìm giá trị X và Y ở đây mình cho luôn bảng giá trị: Y 0 1 2 3 4 10 X 3 2 -1 -6 -13 -97 0 1 2 3 4 10 √3 − 𝑋 Như đã hướng dẫn ở bài trên thì ta thấy có biểu thức nào trong PT thì ta tính thêm giá trị của biểu thức đó vào trong bảng X và Y của ta. Ở đây khi ta thêm dòng giá trị của √3 − 𝑋 thì ta nhận ngay ra mối quan hệ giữa 𝑥, 𝑦, đó là cứ: Y=√𝟑 − 𝑿 . Việc bây giờ là chúng ta sẽ khai triển PT (1) theo nhân tử 𝒚 = √𝟑 − 𝒙, nhưng nhiều bạn đến đây lại không nghĩ ra thì chúng ta phải làm sao nhỉ? Đơn giản, nếu như các bạn để ý như thí dụ trên tôi đã nói: Đối với một PT mà các biến x và y độc lập hoặc các biểu thức chứa các biến x và y độc lập thì ta nghĩ ngay đến việc sử dụng Phương pháp hàm số( mấu chốt là đạo hàm). Thật vậy, ta sẽ dùng hàm số để tạo ra nhân tử chung đã tìm cho PT (1) như sau: (1)⇔ (𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎 ⇔ (𝟒 − 𝒙)√𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚 𝟑 ⇔ (√𝟑 − 𝒙) + √𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚 ⇔ 𝒇(√𝟑 − 𝒙) = 𝒇(𝒚) Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 𝒚≥𝟎 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R ⇒ √𝟑 − 𝒙 = 𝒚 ⇔ { 𝟐 𝒚 = 𝟑−𝒙 Đến đây thì OK rồi, bây ta chỉ việc thế vào PT (2) là được một nửa quãng đường. Nào các bạn thay vào PT (2) ta được gì nhỉ: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (3) Đó vậy thay vào PT (2) ta được PT ( 3), việc tiếp theo là giải PT (3) là ok và nhớ thử lại nghiệm khi tìm được 𝑥, 𝑦. Bây giờ giải PT (3) nhá, chắc có nhiều bạn giải được rồi nhưng Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 7 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT cũng không ít các bạn chưa giải được vì đây là dạng PT tương đối khó. Tôi đã bảo rồi mà “vỏ quýt dày thì có móng tay nhọn mà móng tay nhọn thì đã có bấm móng tay” đó là sử dụng máy tính casio 𝒇𝒙 − 𝟓𝟕𝟎ES PLUP. Quy trình bấm máy nhá: Nhập biểu thức VT của PT (3) vào máy và được kết quả như hình bên Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, tức là máy hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó giá trị bất kỳ, ở đây tôi lấy luôn giá trị X=0 thì bấm vào máy như sau: = Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên, nghĩa là khi X= - 1 thì sai số của phép tính L-R=0, hay X=-1 là một nghiệm của PT (3) Tiếp tục bấm vào mũi tên bên trái trên bàn phím ◀ thì ta được kết quả như hình bên Bây giờ chúng ta sẽ chia nghiệm X=-1 của PT đi để xem PT (3) còn nghiệm nào nữa không và nhập biểu thức vào máy tính thì được kết quả như hình bên, nhớ là phải có đóng và mở ngoặc ở biểu thức VT PT (3) ban đầu Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, tức là máy hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó giá trị bất kỳ, ở đây tôi lấy luôn giá trị X=-1 thì bấm vào máy như sau: = Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên, nghĩa là khi X= 2 thì sai số của phép tính L-R=0, hay X=2 là một nghiệm của PT (3). Như vậy đến đây ta thấy PT (3) đã có 2 nghiệm rồi Tiếp tục bấm vào mũi tên bên trái trên bàn phím ◀ thì ta được kết quả như hình bên Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 8 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây giờ chúng ta sẽ chia tiếp nghiệm X=2 của PT đi để xem PT (3) còn nghiệm nào nữa không ngoài 2 nghiệm vừa tìm được và nhập biểu thức vào máy tính thì được kết quả như hình bên, nhớ là phải có đóng và mở ngoặc ở biểu thức VT PT (3) ban đầu Bấm SHIFT CALC màn hình sẽ hiện như bên phải, tức là máy hỏi bạn cho X có giá trị bằng bao nhiêu thì các bạn cho nó giá trị bất kỳ, ở đây tôi lấy luôn giá trị X=2 thì bấm vào máy như sau: = Bây giờ máy tính hiển thị kết quả Can’t Solve có nghĩa là PT (3) đã hết nghiệm. Các bạn có thể thay giá trị X thêm để chắc chắn là PT (3) đã hết nghiệm, nhưng theo kinh nghiệm của tôi thì hết rồi. Như vậy đến đây ta có thể tạm kết luận rằng PT (3) có 2 nghiệm là -1 và 2. Bước tiếp theo của ta là khai triển PT (3) theo 2 nghiệm đó. Vậy làm sao nhỉ? Lại một câu hỏi đặt ra, ai là người giải đáp nó đây. Tôi chứ ai, tôi sẽ hướng dẫn các bạn. Trước tiên cần các bạn nhớ lại 𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝑺 một chút về Định lý Vi-ét: { 𝟏 , với 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 là 2 nghiệm của PT: 𝒙𝟐 − 𝑺𝒙 + 𝑷 = 𝟎 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 = 𝑷 (𝑺𝟐 ≥ 𝟒𝑷 để PT có nghiệm). Đó là kiến thức cũ mà bây giờ ta phải áp dụng nó như sau: −1 + 2 = 1 ⇒ -1 và 2 là nghiệm của PT: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎. Đó thế là chúng ta đã có −1.2 = −2 nhân tử chung là 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 và bây giờ ta sẽ tách PT (3) theo nó vì nó là “ bố của 2 nghiệm kia rồi”. Ở đây còn một cách khách nhưng chỉ dùng được khi kết của 2 nghiệm của chúng ta tìm được là số đẹp tức là nhân 2 biểu thức (𝑥 + 1)(𝑥 − 2) = 𝑥 2 − 𝑥 − 2 thì ta không cần sử dụng đến Vi-ét ( cách này cũng được nhưng không áp dụng được hết). Tiếp theo tôi sẽ hướng dẫn các bạn cách tạo nhân tử tử chung bằng phương pháp liên hợp: Dễ thấy { Ở PT (3) ta thấy có 2 biểu thức căn là √𝟓𝒙 + 𝟔, √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 bây giờ chúng ta phải tìm biểu thức liên hợp của chúng để tạo thành nhân tử chung vừa tìm được là 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 và chúng đều có dạng: (𝒂𝒙 + 𝒃) − √𝟓𝒙 + 𝟔 = 𝒌(𝒙𝟐 −𝒙−𝟐) và (𝒄𝒙 + 𝒅) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = (𝒂𝒙+𝒃) √𝟓𝒙+𝟔+ 𝒎(𝒙𝟐 −𝒙−𝟐) √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒄𝒙+𝒅) . Mục đích ở đây là tìm được các giá trị của 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑. Bây giờ tôi sẽ hướng dẫn các bạn tìm 𝑎, 𝑏 còn 𝑐, 𝑑 tương tự các bạn tự tìm. Trong tay các bạn đã có sẵn 2 nghiệm -1 và 2 nên việc tìm các giá trị kia cực kỳ đơn giản như sau: 𝒂. (−𝟏) + 𝒃 = √𝟓. (−𝟏) + 𝟔 𝒂=𝟏 Ta phải có: (𝒂𝒙 + 𝒃) = √𝟓𝒙 + 𝟔 ⇔ { ⇔{ 𝒃=𝟐 𝒂. 𝟐 + 𝒃 = √𝟓. 𝟐 + 𝟔 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 9 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Tức là biểu thức căn và biểu thức liên hợp bằng nhau khi 2 nghiệm đó thỏa mãn. Và biểu 𝒙𝟐 −𝒙−𝟐 thức liên hợp của √𝟓𝒙 + 𝟔 là 𝒙 + 𝟐,hay: (𝒙 + 𝟐) − √𝟓𝒙 + 𝟔 = (𝒙+𝟐)+ √𝟓𝒙+𝟔 tự biểu thức liên hợp của √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 là 𝒙 + 𝟑,hay (𝒙 + 𝟑) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = thế là xong. Tương 𝒙𝟐 −𝒙−𝟐 . √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑) Thế là OK rồi các bạn nhỉ bây giờ chúng ta đi “chém” PT (3). (3) ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒 = (𝒙 + 𝟐) − √𝟓𝒙 + 𝟔 + (𝒙 + 𝟑) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟐 ⇔ 𝟐(𝒙 − 𝒙 − 𝟐) = ⇔ (𝒙 + 𝟐) + √𝟓𝒙 + 𝟔 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 + (𝒙 + 𝟑) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂) 𝟏 𝟐 = (𝒙+𝟐)+ √𝟓𝒙+𝟔 + 𝟏 √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑) (𝒃) Như trên ta tính rồi PT này chỉ 2 nghiệm là -1 và 2 mà 2 nghiệm đó là nghiệm của PT 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 nên chắc chắn rằng PT (b) kia sẽ vô nghiệm. Bây giờ ta đi chứng minh điều đó. 𝟏 Xét hàm số: 𝑔(𝑥) = (𝒙+𝟐)+ √𝟓𝒙+𝟔 𝑔′ (𝑥) = − [ 5+2√5𝑥+6 2√5𝑥+6.(𝑥+2+√5𝑥+6) 2 + + 𝟏 √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑) 6 − 𝟐, trên [− ; 3] 5 7+2√7𝑥+11 6 2 2√7𝑥+11.(𝑥+3+√7𝑥+11) + 2] < 0, ∀𝑥 ∊ [− ; 3] 5 ⇒ Hàm số 𝑔(𝑥) luôn nghịch biến ⇒ PT (b) vô nghiệm. Vậy tại sao lại biết nó luôn nghịch biến( ngoài cách tính được) ta sử dụng máy tính là xong như sau: Sử dụng chức năng TABLE Bấm MODE 7 để chọn chức năng TABLE Máy sẽ yêu cầu các bạn nhập biểu thức vào máy thì các bạn nhập hàm g(x) của ta vào và được kết quả như hình bên. Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 10 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Tiếp theo các bạn bấm dấu =( với máy casio fx-570VN PLUS thì ấn thêm 1 dấu =) và bây giờ màn hình hiện lên như hình bên tức là các bạn chọn giá trị ban đầu là bao nhiêu, ở đây tôi chọn là đầu đoạn đang xét là -1 và ấn = Bây giờ máy hiện lên như bên phải có nghĩa là bạn chọn giá trị kết thúc là bao nhiêu, ở đây tôi chọn 3 và ấn = (vì ta xét luôn trên đoạn mà ta đang xét) Màn hình lại hiện lên hỏi các bạn cho khoảng cách các giá trị X bằng nhiêu hay chính là bước nhảy thì các bạn ấn 0,5 và = hoặc chọn luôn bằng 1 Bây giờ màn hình máy hiện lên như hình bên. Các bạn thấy hàm số luôn giảm trên đoạn mà ta đang xét tức là hàm số này nghịch biến Thế là xong rồi nhá! Bài làm chính thức: 𝟔 ĐKXĐ: − ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 𝟓 Xét PT (1) ta được: (1)⇔ (𝒙 − 𝟒)√𝟑 − 𝒙 + 𝒚𝟑 + 𝒚 = 𝟎 ⇔ (𝟒 − 𝒙)√𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚 𝟑 ⇔ (√𝟑 − 𝒙) + √𝟑 − 𝒙 = 𝒚𝟑 + 𝒚 ⇔ 𝒇(√𝟑 − 𝒙) = 𝒇(𝒚) Xét hàm số: 𝒇(𝒕) = 𝒕𝟑 + 𝒕, có 𝒇′ (𝒕) = 𝟑𝒕𝟐 + 𝟏 > 𝟎, ∀𝒕 ∈ 𝑹 𝒚≥𝟎 ⇒ Hàm số luôn đồng biến trên R ⇒ √𝟑 − 𝒙 = 𝒚 ⇔ { 𝟐 𝒚 = 𝟑−𝒙 Thay vào PT (2) ta được: 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 (3) Giải PT (3) ta được: Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 11 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT (3) ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟗 + √𝟓𝒙 + 𝟔 + √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 = 𝟎 ⇔ 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟒 = (𝒙 + 𝟐) − √𝟓𝒙 + 𝟔 + (𝒙 + 𝟑) − √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟐 ⇔ 𝟐(𝒙 − 𝒙 − 𝟐) = ⇔ (𝒙 + 𝟐) + √𝟓𝒙 + 𝟔 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 √𝟕𝒙 + 𝟏𝟏 + (𝒙 + 𝟑) 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂) 𝟏 𝟐 = (𝒙+𝟐)+ + √𝟓𝒙+𝟔 𝟏 √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑) (𝒃) Giải PT (a) ta được: 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏 (𝒕𝒎) 𝒙=𝟐 𝒚≥𝟎 𝒚≥𝟎 Với 𝒙 = −𝟏 thì { 𝟐 ⇔ 𝒚 = 𝟐 ; Với 𝒙 = 𝟐 thì { 𝟐 ⇔𝒚=𝟏 𝒚 =𝟑−𝒙 𝒚 =𝟑−𝒙 𝟏 Giải PT (b): 𝟐 = (𝒙+𝟐)+ √𝟓𝒙+𝟔 + 𝟏 √𝟕𝒙+𝟏𝟏+ 𝟏 Xét hàm số: 𝑔(𝑥) = (𝒙+𝟐)+ √𝟓𝒙+𝟔 𝑔′ (𝑥) = − [ 5+2√5𝑥+6 2√5𝑥+6.(𝑥+2+√5𝑥+6) 2 + + 𝟏 ⇔ (𝒙+𝟐)+ (𝒙+𝟑) √𝟓𝒙+𝟔 𝟏 √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑) + 𝟏 √𝟕𝒙+𝟏𝟏+(𝒙+𝟑) −𝟐=𝟎 6 − 𝟐, trên [− ; 3] 5 7+2√7𝑥+11 6 2 2√7𝑥+11.(𝑥+3+√7𝑥+11) + 2] < 0, ∀𝑥 ∊ [− ; 3] 5 ⇒ Hàm số 𝑔(𝑥) luôn nghịch biến ⇒ PT (b) vô nghiệm. KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là (-1; 2) và (2; 1)  𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 (𝟏) Bài 3: { √𝒙 + 𝟐 + √𝟒 − 𝒚 = 𝒙𝟑 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 (𝟐) (Trích đề thi lần 1 – năm 2016 – THPT chuyên Vĩnh Phúc) Phân tích đề: Nào các bạn lại một bài toán không khó mà cũng không dễ, chúng ta cùng nhau “chặt – chém” nó nào. Bước đầu tiên là gì nhỉ “ sống chết gì cũng phải tìm đkxđ”. ĐKXĐ: 𝑥 ≥ −2, 𝑦 ≤ 4. Nào chúng ta cùng nhau xét PT (1), để tìm được nhân tử chung của PT . Ơr dạng bài này tôi sẽ hướng dẫn thêm cho các bạn một chức năng hay của máy tính casio fx-570ES PLUS đó là chức năng CALC 100 như sau: Các bạn chuyển 2 vế về 1 vế để tiện tính toán: 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟎 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 12 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Các bạn thay giá trị y=100 vào (1) ta được: 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗𝟒𝟏𝟏𝟗𝟑 = 𝟎, giải PT này ta được nghiệm duy nhất là 𝒙 = 𝟗𝟗 ( các bạn bấm MODE 5 4 và nhập hệ sỗ để giải PT bậc 3). Ở đây 𝒙 = 𝟗𝟗 nhưng do ta chọn y=100 nên 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝟏 = 𝒚 − 1. Như vậy nhân tử chung của PT (1) là 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏. Cách 2: sử dụng chức năng SHIFT CALC như các bài trên, ở đây tôi cho luôn bảng giá trị X và Y như sau: Y 0 1 X -1 0 Từ bảng dễ thấy X=Y-1 hay X+1=Y. 2 1 3 2 4 3 -1 -2 Vậy là tôi đã hướng dẫn cho các bạn xong hai cách nhưng tôi nói thêm với cách CALC 100 chỉ áp dụng khi nghiệm x theo y ra đẹp thì mới áp dụng được, nên dùng cách 2 hơn. (1)⇔ 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 ⇔ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟖 ⇔ (𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒚 − 𝟐)𝟑 ⇔ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚. Đố thế là ta đã ra nhân tử chung và bây giờ ta sẽ thay vào PT (2) để giải nó( được một nửa quãng đường rồi). Thay vào (2) ta được: √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 (3). Việc tiếp theo ta sẽ đi giải (3) bằng cách xem (3) có mấy nghiệm từ đó ta sẽ tách (3) theo nghiệm đó. Để làm được việc đó chúng ta cần có máy tính casio fx-570ES PLUS: Chuyển 2 vế của PT (3) về 1 vế: 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 − √𝒙 + 𝟐 − √𝟑 − 𝒙 = 𝟎. Chắc có nhiều bạn đã biết cách dùng máy tính rồi nhưng tôi vẫn trình bày cách bấm máy: Nhập VT (3) vào máy và được kết quả như hình bên Bấm SHIFT CALC thì máy hiện kết quả như hình bên, tức máy hỏi các bạn cho giá trị X bằng mấy để tính, các bạn lấy giá trị bất kỳ, ở đây tôi lấy X=-9 thì bấm vào máy tính là – 9 = Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 13 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bây giờ máy hiện kết quả như hình bên có nghĩa là khi X=-1 thì sai số của phép tính là L-R=0 hay X=-1 là nghiệm của PT (3). Bấm ◀ để quay về màn hình lúc ban đầu, tiếp theo các bạn chia nghiệm x=-1 đi để xem (3) còn nghiệm nào nữa không, nhớ là phải có mở đóng ngoặc ở đầu và cuối VT (3) Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình bên, tức là X=2 là một nghiệm nữa của PT (3) Tương tự các bạn bấm ◀ để quay về màn hình lúc chia nghiệm X=-1, bây giờ các bạn chia tiếp nghiệm X=2 của PT đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình bên, tức PT (3) đã hết nghiệm Như vậy PT (3) tạm kết luật rằng: chỉ có 2 nghiệm là -1 và 2. Tương tự như thí dụ trên ta sử dụng Định lý Vi-ét hoặc nhân luôn 2 nghiệm kia vào với nhau( chỉ áp dụng khi cho nghiệm đẹp như thế này) tuy các bạn nhé để tiết kiệm giấy cũng như mực và thời gian ta áp dụng cách 2 nhân tích 2 nghiệm vào tức là: 2 nghiệm – 1 và 2 là nghiệm của PT: (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐. Bây giờ việc tiếp theo của chúng ta là “chặt – chém” PT (3) theo nhân tử chung 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 này. Nhưng các bạn lại thấy có gì đó vướng vướng nhỉ đó là tìm biểu thức liên hợp của √𝒙 + 𝟐, √𝟑 − 𝒙. Như bài trên đã trình bày cách tìm biểu thức liên hợp( Bài 2) nên tôi sẽ tìm luôn biểu thức liên hợp mà không trình bày chi tiết quá. 𝟏 𝒂= 𝒂. (−𝟏) + 𝒃 = √−𝟏 + 𝟐 𝟑 Gọi biểu thức liên hợp của √𝒙 + 𝟐 là 𝒂𝒙 + 𝒃 thì ta phải có { ⇔{ 𝟒 𝒂. 𝟐 + 𝒃 = √𝟐 + 𝟐 𝒃= 𝟑 𝒙 𝟒 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 −𝒙−𝟐 Do đó: ( + ) − √𝒙 + 𝟐 = [(𝒙 + 𝟒) − 𝟑√𝒙 + 𝟐] = . ( ) 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 𝟓 𝒙 𝟑 𝟑 Tương tự: biểu thức liên hợp của √𝟑 − 𝒙 là − , hay: Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 14 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT 𝟓 𝒙 𝟏 𝒙𝟐 −𝒙−𝟐 𝟏 (𝟑 − 𝟑) − √𝟑 − 𝒙 = 𝟑 [(𝟓 − 𝒙) − 𝟑√𝟑 − 𝒙] = 𝟑 . (𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙) Vậy là xong rồi đúng không các bạn phải nhớ điều kiện của PT (3) nhá: −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 Bây ta sẽ tách PT (3): (3)⇔ √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏) − 𝟑√𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝟑 − 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒) + (𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝒙 + 𝟐) + (𝟑 − 𝒙 − 𝟑√𝟑 − 𝒙) = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟐 ⇔ 𝟑(𝒙 − 𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) + 𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙 =𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂) ⇔ 𝟏 𝟏 𝟑(𝒙 + 𝟐) + + = 𝟎 (𝒃) 𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐 𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙 Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏 (tmđkxđ) 𝒙=𝟐 Với 𝑥 = −1 ⇒ 𝑦 = 0(𝑡𝑚đ𝑘𝑥đ), Với 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 1(tmđkxđ) Giải (b): 𝟑(𝒙 + 𝟐) + 𝟏 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 + 𝟏 𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙 Dễ thấy với −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 thì 𝟑(𝒙 + 𝟐) + =𝟎 𝟏 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 + 𝟏 𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙 > 𝟎 , nên (b) vô nghiệm. ( Nếu không các bạn có thể làm như Bài 2) Vậy là xong rồi nhỉ! Bài làm chính thức: ĐKXĐ: 𝑥 ≥ −2, 𝑦 ≤ 4. Xét PT (1): (1)⇔ 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟕 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 ⇔ 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏 = 𝒚𝟑 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟐𝒚 − 𝟖 ⇔ (𝒙 − 𝟏)𝟑 = (𝒚 − 𝟐)𝟑 ⇔ 𝒙 − 𝟏 = 𝒚 − 𝟐 ⇔ 𝒙 + 𝟏 = 𝒚. Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 15 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Thay vào PT (2) ta được: √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 (3) Giải PT (3): (3)⇔ √𝒙 + 𝟐 + √𝟑 − 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟏) − 𝟑√𝒙 + 𝟐 − 𝟑√𝟑 − 𝒙 = 𝟎 ⇔ 𝟑(𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟒) + (𝒙 + 𝟒 − 𝟑√𝒙 + 𝟐) + (𝟓 − 𝒙 − 𝟑√𝟑 − 𝒙) = 𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟐 ⇔ 𝟑(𝒙 − 𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟐) + 𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙 =𝟎 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 (𝒂) ⇔ 𝟏 𝟏 𝟑(𝒙 + 𝟐) + + = 𝟎 (𝒃) 𝒙 + 𝟒 + 𝟑√ 𝒙 + 𝟐 𝟓 − 𝒙 + 𝟑√ 𝟑 − 𝒙 Giải (a): 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇔ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 ⇔ 𝒙=−𝟏 (tmđkxđ) 𝒙=𝟐 Với 𝑥 = −1 ⇒ 𝑦 = 0(𝑡𝑚đ𝑘𝑥đ), Với 𝑥 = 2 ⇒ 𝑦 = 3(tmđkxđ) Giải (b): 𝟑(𝒙 + 𝟐) + 𝟏 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 + 𝟏 𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙 Dễ thấy với −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟑 thì 𝟑(𝒙 + 𝟐) + =𝟎 𝟏 𝒙+𝟒+𝟑√𝒙+𝟐 + 𝟏 𝟓−𝒙+𝟑√𝟑−𝒙 > 𝟎 , nên (b) vô nghiệm. KL: Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (-1; 0) và ( 2; 3)  𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙 (𝟏) Bài 4: { 𝟑√𝟔 − 𝒚 + 𝟑√𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟕 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟐) ( Trích đề thi thử lần 1 – năm 2016 – THPT LÝ THÁI TỔ-BẮC NINH) Phân tích đề: Nào các bạn trẻ lại một câu hỏi không hề dễ mà cũng chẳng khó tý nào, vậy chúng ta cùng tiêu diệt nó nhé! ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔 Bước tiếp theo là chúng ta sẽ xét PT (1): chuyển 2 vế của PT (1) về cùng 1 vế ta được: 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 − √𝒚 − 𝟏 + √𝒙 = 0 Đã qua 3 thí dụ trên nên các bạn phần nào cũng biết được bước tiếp theo là gì đúng không. Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 16 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Tôi sẽ cho luôn bảng giá trị X và Y như sau: Y 1 2 3 4 5 6 X 0 1 2 3 4 5 0 1 2 √2 √3 √5 √𝒙 0 1 2 √2 √3 √5 √𝒚 − 𝟏 Đó như các bạn đã thấy rồi trong PT mà có bất cứ biểu thức nào thì các bạn cứ tính thêm giá trị của biểu thức đó theo X và Y. Ở đây, qua bảng giá trị các bạn đã thấy được mối quan hệ giữa X và Y là: 𝐘 − 𝟏 = 𝐗 hay √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 , đó có 2 trường hợp nhưng chả sao sao cả nó vẫn là một mà vì đã có ĐKXĐ. Bây chúng ta đi khai thác PT (1) theo nhân tử này. (1)⇔ 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙 ⇔ 𝒙(𝒚 − 𝟏) − (𝒚 − 𝟏)𝟐 + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⇔ (𝒚 − 𝟏)[𝒙 − (𝒚 − 𝟏)] + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⇔ (√𝒙 − √𝒚 − 𝟏)[(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏] = 𝟎 ⇔ √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 (𝒂) (𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 = 𝟎 (𝒃) Đó đến đây là ta đã thấy được nhân tử chung của chúng ta rồi, nhưng các bạn còn đang thắc mắc về PT (b) đúng không. Các bạn để ý xem ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔 nên VT (b)>0, do đó PT (b) vô nghiệm. Bây giờ ta chỉ việc thay √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 vào PT (2): 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟑). Nào đến đây thì ngon rồi coi như “ cơm đã nấu xong bây chỉ việc chờ đánh chén” , ta sẽ đi giải PT (3) giống như các ví dụ trên, nhớ là đk của x là 𝟒 𝟓 ≤𝒙≤𝟓 Nhập VT của PT (3) vào máy tính và sẽ được kết quả như hình bên Bấm SHIFT CALC thì máy hỏi bạn cho giá trị X bằng bao nhiêu thì các bạn cho X=9 và ấn =. Sau đó máy hiện kết quả như hình bên tức là X=4 là một nghiệm của PT (3) Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 17 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT Bấm ◀ để quay về màn hình lúc ban đầu, tiếp theo các bạn chia nghiệm x=4 đi để xem (3) còn nghiệm nào nữa không, nhớ là phải có mở đóng ngoặc ở đầu và cuối VT (3) Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình bên, tức là X=1 là một nghiệm nữa của PT (3) Tương tự các bạn bấm ◀ để quay về màn hình lúc chia nghiệm X=4, bây giờ các bạn chia tiếp nghiệm X=1 của PT đi để xem PT còn nghiệm nữa hay không Bấm SHIFT CALC, tương tự như trên máy sẽ hỏi các bạn cho giá trị X bằng bao nhiêu để tính thì các bạn lấy luôn giá trị trên máy hiện lên và ấn =, sau đó máy hiện kết quả như hình bên, tức PT (3) đã hết nghiệm( các bạn có thể thử thêm nhiều giá trị X để cho đỡ sợ sai) Như vậy đến đây ta có thể tạm kết luận là PT (3) có 2 nghiệm là 1 và 4. Tương tự các ví dụ trên ta sẽ tìm PT chứa 2 nghiệm này là (𝒙 − 𝟏)(𝒙 − 𝟒) = 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒. Đó thế là ra nhân tử chung rồi bây tiếp theo là tìm biểu thức liên hợp cho 3√𝟓 − 𝒙, 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒. Cũng thực hiện tương tự như các thí dụ trên ta làm như sau: 𝒂 = −𝟏 𝒂. 𝟏 + 𝒃 = 𝟑√𝟓 − 𝟏 Gọi biểu thức liên hợp của 3√𝟓 − 𝒙 là 𝒂𝒙 + 𝒃 nên { ⇔{ 𝒃=𝟕 𝒂. 𝟒 + 𝒃 = 𝟑√𝟓 − 𝟒 𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟒 Tức là: (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 = (𝟕−𝒙)+3 √𝟓−𝒙 Tương tự biểu thức liên hợp của 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 là 𝟑𝒙 hay 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝒙𝟐 −𝟓𝒙+𝟒 𝟑𝒙+𝟑√𝟓𝒙−𝟒 Thế là ok rồi nhỉ bây đi “chém” PT (3) thôi: (3)⇔ 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 ⇔ (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 0 ⇔ 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 (𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 =𝟎 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 18 CHINH PHỤC ĐIỂM 8: HỆ PT - PT - BPT 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒄) ⇔ 𝟏 𝟏 + = 𝟎 (𝒅) (𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 Như vậy đã xuất hiện nhân tử chung rồi, bây chỉ còn xử lỹ cái PT (d) kia thôi nữa là xong. Quy đồng PT (d) lên nào: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟎. 4 Dễ thấy: 𝟐𝒙 + 𝟕 + 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 > 0, ∀𝑥𝜖 [ ; 5] ( Có thể đạo hàm để cho chắc, nhưng 5 như thế này là được rồi). Đến đây coi như là xong rồi còn gì! Bài làm chính thức: ĐKXĐ: 𝒙 ≥ 𝟎, 𝟏 ≤ 𝒚 ≤ 𝟔 Xét PT (1) ta được: (1)⇔ 𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 − 𝒙 − 𝟏 = √𝒚 − 𝟏 − √𝒙 ⇔ 𝒙(𝒚 − 𝟏) − (𝒚 − 𝟏)𝟐 + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⇔ (𝒚 − 𝟏)[𝒙 − (𝒚 − 𝟏)] + √𝒙 − √𝒚 − 𝟏 = 𝟎 ⇔ (√𝒙 − √𝒚 − 𝟏)[(𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏] = 𝟎 ⇔ √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 (𝒂) (𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 = 𝟎 (𝒃) Do ĐKXĐ nên (𝒚 − 𝟏)(√𝒙 + √𝒚 − 𝟏) + 𝟏 > 𝟎, hay PT (b) vô nghiệm. Thay (a) √𝒙 = √𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 ⇔ 𝒚 = 𝒙 + 𝟏 vào PT (2) ta được: 𝟒 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 (𝟑) với ≤ 𝒙 ≤ 𝟓 𝟓 Giải PT (3):(3)⇔ 𝟑√𝟓 − 𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟕 ⇔ (𝟕 − 𝒙) − 3√𝟓 − 𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 = 0 ⇔ 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 + =𝟎 (𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 = 𝟎 (𝒄) ⇔ 𝟏 𝟏 + = 𝟎 (𝒅) (𝟕 − 𝒙) + 3√𝟓 − 𝒙 𝟑𝒙 + 𝟑√𝟓𝒙 − 𝟒 Nguyễn Mạnh Cường – https://www.facebook.com/groups/bikiponluyenthithptqgmontoan 19