Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán Parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn

  • Số trang: 28 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 170 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC HÂN CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRÊN MIỀN BỊ CHẶN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI THỊ NGỌC HÂN CHỈNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG SAI SỐ BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN TRÊN MIỀN BỊ CHẶN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN NGHỆ AN - 2014 Mục lục LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 LỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Kiến thức liên quan 1.1 1.2 1.3 6 Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Không gian Lp (1 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz . . . . . . . . . . 11 1.1.5 Khai triển sin Fourier trên L2 (0; ) . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Bài toán chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Một số bổ đề cần thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 p 2 Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa 14 2.1 Tính ổn định của phương pháp điều chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Phạm Hoàng Quân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy vì đã tận tình chỉ dạy tác giả những kiến thức trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin gửi lời cám ơn đến các thầy cô phòng Sau đại học và khoa Toán - trường Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô bộ môn Giải tích; cùng với các thầy cô khoa Toán - Ứng dụng - Đại học Sài Gòn đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và làm luận văn. Cuối cùng, tác giả xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè và các bạn học viên lớp Giải tích K20 đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do còn hạn chế về mặt kiến thức và thời gian nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong được sự đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, ngày 23 tháng 5 năm 2014 Tác giả 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong quá trình phát triển các ngành khoa học ứng dụng, các nhà khoa học rất cần sự hỗ trợ của một công cụ quan trọng đó là toán học. Ở một số ngành, lĩnh vực nghiên cứu như xử lý ảnh, khoa học vật liệu, thủy động học, địa chất học,... các điều kiện hay dữ liệu ban đầu thường không được biết trước mà phải xác định nó khi đã biết điều kiện cuối cùng. Do đó, bài toán parabolic ngược thời gian là một bài toán được khảo sát khá nhiều trong lý thuyết truyền nhiệt. Đây là một bài toán đặt không chỉnh vì tính không ổn định nghiệm. Trên thực tế, dữ liệu được thu thập qua việc đo đạc và sau đó được xử lý qua máy tính hay một số thiết bị hỗ trợ. Chính quá trình này đã tạo ra những sai số của dữ liệu, mặc dù rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn của nghiệm. Vì vậy, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa ổn định cho bài toán. Và hơn nữa, chúng ta cần đưa ra các ước lượng để đánh giá được tốc độ hội tụ của sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác. Do vậy, chúng tôi chọn luận văn với đề tài: "Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian trên miền bị chặn". Mục đích của luận văn là thông qua việc nghiên cứu một bài báo về chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian, trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan đến vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo chứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa. Với mục đích đó, luận văn được trình bày thành hai chương. Chương 1: Kiến thức liên quan. Trong chương này chúng tôi trình bày các ký hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh và sự chỉnh hóa; không gian các hàm và tích phân Lebesgue; bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz; khai triển sin Fourier cùng với một số bổ đề cần thiết cho việc chứng minh các định lý ở chương 2. Chương 2: Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa. Đây là kết quả chính của luận văn, gồm ba phần. Phần 1: Trình bày tính ổn định của phương pháp điều chỉnh. Phần 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số của bài toán bằng phương pháp điều chỉnh. Phần 3: Trình bày một ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa. 3 Ta xét bài toán ngược cho phương trình tuyến tính không thuần nhất như sau ut (x; t) (x; t) 2 (0; ) a (t) uxx (x; t) = f (x; t) ; u (0; t) = u ( ; t) = 0; u (x; T ) = g (x) ; (0; T ) ; (1) t 2 [0; T ] ; (2) x 2 [0; ] ; (3) trong đó a (t) là hàm số thỏa mãn điều kiện tồn tại p; q > 0 sao cho 0

0 và ku (:; 0) u (:; 0)k p 4 p 4 8C T ln 1 4 1 ; t = 0: Dễ thấy rằng sai số ước lượng trên tiến về 0 rất chậm khi t thuộc một lân cận của 0. Tuy nhiên, trong [11], bằng cách thêm một số điều kiện của f và nghiệm chính xác u; các tác giả cũng cải thiện phương pháp (dùng trong [11]) để đạt được kết quả ước lượng sai số tốt hơn [10] ku (:; t) u (:; t)k T1 1 + p M e 3L2 T T12 (T 2 t) t T ln T t T 1 : Trong luận văn này, chúng tôi trình bày phương pháp chỉnh hóa bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian và ước lượng sai số tiến về 0 nhanh hơn bậc logarit. 5 Chương 1 Kiến thức liên quan 1.1 Các không gian hàm 1.1.1 Không gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Một không gian vector X trên R được gọi là một không gian định chuẩn nếu tồn tại một ánh xạ k:k : X ! R thỏa mãn i) kxk 0; 8x 2 X và kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0; ii) k xk = j j kxk ; 8 2 R; x 2 X; iii) kx + yk kxk + kyk ; 8x; y 2 X: Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian định chuẩn (X; k:k) : Dãy xn trong X là dãy Cauchy nếu 8 > 0; 9N 2 N sao cho kxn 8n; m xm k < ; N: Dãy xn trong X được gọi là hội tụ về x0 2 X, ký hiệu là xn ! x0 khi n ! 1; nếu lim kxn n!1 x0 k = 0: Định nghĩa 1.1.3 Không gian định chuẩn X được gọi là Banach nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ trong X: 6 Không gian Lp (1 1.1.2 1) p Cho ( ; M; ) là một không gian đo, trong đó một - đại số trên và là một độ đo dương trên M. Gọi L( ) là tập các hàm khả tích và với f 2 L( ) ; ký hiệu chỉ tích phân của f trên là một tập hợp không rỗng, M là Z fd theo độ đo : Một hàm số được gọi là đơn giản nếu tồn tại hữu hạn tập đo được Ai 2 M và hữu hạn số thực i 2 R; i = 1; 2; :::; n, sao cho s= n X i Ai ; i=1 trong đó Ai là hàm đặc trưng của tập Ai , nghĩa là 8 < 1 nếu x 2 A ; i (x) = Ai : 0 nếu x 2 = Ai : ! [0; +1); tồn tại dãy tăng các hàm đơn Định lý 1.1.4 Với mọi hàm đo được f : giản (sn ) sao cho 0 sn (x) ! f (x) khi n ! 1, với mọi x 2 : Định lý 1.1.5 (hội tụ đơn điệu) Cho (fn ) là một dãy tăng các hàm trong L( ) sao cho sup n Ta có (fn ) hội tụ hầu khắp nơi trên Z jfn Z fn d < 1: về một hàm f 2 L( ) : Hơn nữa, f j d ! 0 khi n ! 1: Định lý 1.1.6 (hội tụ bị chặn) Cho (fn ) i) fn ! f h.k.n trên L( ) sao cho ; và ii) tồn tại g 2 L( ) sao cho jfn j g h.h. trên 7 : Ta có f 2 L( ) và Z jfn f j d ! 0 khi n ! 1: Định nghĩa 1.1.7 Cho ( ; M; ) là một không gian đo với độ đo dương và 1 p 1: Đặt Lp ( ; ) là không gian các hàm đo được f xác định trên jf jp 2 L( ) và đặt 0 kf kp = @ sao cho 1 p1 Z jf jp d A : Định nghĩa 1.1.8 Cho ( ; M; ) là một không gian đo với độ đo dương. Đặt L1 ( ; ) là , nghĩa là tồn tại C_ > 0 sao cho không gian các hàm đo được f bị chặn cốt yếu trên jf (x)j C; h.h. trên ; và đặt kf k1 = inf C > 0 : jf (x)j C trên : Định lý 1.1.9 (Bất đẳng thức Hölder) Cho f 2 Lp ( ; ) ; g 2 Lq ( ; ), với 1 p 1; 1 p + 1 q = 1: Ta có f g 2 L1 ( ; ) và Z jf gj d kf kp kgkq : Trong luận văn này, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức Hölder với trường hợp f; g 2 L2 [0; ] nghĩa là ta có Z jf gj dx 0 0 @ Z 0 1 21 0 jf j2 dxA @ 1 12 Z jgj2 dxA : 0 Định lý 1.1.10 (Bất đẳng thức Minkowski) Cho f; g 2 Lp ( ) ; với 1 p Ta có f + g 2 Lp ( ) và kf + gkp Định nghĩa 1.1.11 Với 1 p f kf kp + kgkp : 1; xét quan hệ trên Lp ( ) xác định bởi g , f = g h.h. trên 8 ; 1: với f; g 2 Lp ( ) : Rõ ràng là một quan hệ tương đương. Khi đó, không gian thương Lp ( ) = được ký hiệu là Lp ( ) và với f 2 Lp ( ) ; đặt f p = kf kp : Định lý 1.1.12 k:kp là chuẩn trong Lp ( ) ; (1 1) : Vậy Lp (1 p p 1) là không gian định chuẩn. Định lý 1.1.13 Lp ( ) ; với 1 1.1.3 1; là các không gian Banach. p Không gian Hilbert Cho H là một không gian vectơ trên R: Một tích vô hướng trên H là một phiếm hàm song tuyến tính, đối xứng, xác định dương h:; :i : H H ! (x; y) R 7! hx; yi i) h x + x0 ; yi = hx; yi + hx0 ; yi ; với mọi ; 2 R; x; x0 ; y 2 H; ii) hx; y + y 0 i = hx; yi + hx; y 0 i ; với mọi ; 2 R; x; x0 ; y 2 H; iii) hx; yi = hy; xi ; với mọi x; y 2 H; và iv) hx; xi 0; với mọi x 2 H và hx; xi = 0 , x = 0: Từ tích vô hướng nêu trên, với x 2 H; đặt 1 jxj = hx; xi 2 : Từ định nghĩa, với x; y 2 H; ta có 0 hx + ty; x + tyi = jxj2 + 2t hx; yi + t2 jyj2 đúng với mọi t 2 R; ta suy ra a) Bất đẳng thức Schwarz. Với mọi x; y 2 H; jhx; yij 9 jxj jyj : b) Bất đẳng thức tam giác. Với mọi x; y 2 H; jx + yj jxj + jyj : c) Đẳng thức hình bình hành. Với mọi x; y 2 H; x+y 2 2 + x y 2 2 = 1 jxj2 + jyj2 : 2 Đặc biệt, j:j là một chuẩn trên H và do đó H trở thành một không gian định chuẩn và là một không gian metric với metric sinh bởi chuẩn. Nếu không gian metric này đầy đủ, ta gọi H là một không gian Hilbert. Ta quy ước về việc dùng ký hiệu j:j thay cho ký hiệu k:k để chỉ chuẩn sinh bởi tích vô hướng trên một không gian vectơ. Trong các định nghĩa và định lý tiếp theo ta xét H là một không gian Hilbert. Định nghĩa 1.1.14 Cho x; y 2 H: Nếu < x; y >= 0 ta nói rằng x trực giao với y và ký hiệu x ? y: Định nghĩa 1.1.15 Cho fui gi2I là một họ vectơ trong H. Ta nói fui gi2I là một họ trực chuẩn nếu và chỉ nếu < ui ; uj >= j i ; 8i; j 2 I. Ở đây, j i là số Kronecker, nghĩa là j i = 1 khi i = j; 0 khi i 6= j: Định nghĩa 1.1.16 Hệ trực chuẩn fui gi2I được gọi là đầy đủ trong H nếu u= X i2I < ui ; u > ui ; 8u 2 E: Hệ trực chuẩn hữu hạn fui gi2I được gọi là đầy đủ trong H nếu nó là cơ sở trong H: Định lý 1.1.17 ([1]) Cho fui gi2I là một họ trực chuẩn đầy đủ trong một không gian Hilbert H và x là một vectơ trong H. Đặt xi = < x; ui >; 8i 2 I: Lúc đó, I (x) = fi 2 I : xi 6= 0g là một tập quá đếm được và i) x = P xi ui ; i2I ii) P i2I jxi j2 = kxk2 : 10 là tập con của Rn đo được, với f; g 2 L2 ( ), ta đặt Z < f; g >= f (x) g (x) dx; Định nghĩa 1.1.18 Cho và 0 kf k = @ Z 1 21 jf (x)j2 dxA : Khi đó, không gian L2 ( ) là một không gian Hilbert. Mệnh đề 1.1.19 Trong không gian Hilbert L2 (0; ) với hệ trực chuẩn đầy đủ f'n (x)g : 1 P Cho u 2 L2 (0; ), khi đó u = hu; 'n (x)i 'n (x), ta có n=1 Chuỗi 1 X n=1 1.1.4 2 hu; 'n (x)i 'n (x) hội tụ trong L (0; ) nếu và chỉ nếu 1 X n=1 jhu; 'n (:)ij2 < 1: Bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Với x = (xk )k ; y = (yk ) 2 L2 (R), cho n 2 N, k = 1; n và xk ; yk 2 R; ta có !2 ! 1 ! 1 1 X X X xk yk x2k yk2 : n=1 1.1.5 n=1 n=1 Khai triển sin Fourier trên L2 (0; ) Cho hàm f 2 L2 (0; ) : Đặt f~ (x) = f (x) f ( x) nếu 0 < x < nếu 0; 0 a b và b 6= 0. Khi đó ena 1 + enb a b : Chứng minh. Ta có ena ena = a 1 + enb (1 + enb ) b (1 + enb )1 ena a (1 + enb ) b a b: Bổ đề 1.3.1 đã được chứng minh. 12 a b Bổ đề 1.3.2 ([2]) Cho a (t) là hàm số thỏa mãn (4) và t 2 [0; T ] ; 0 < với m > 0 ta có m2 e Rt 0 m2 +e a(s)ds RT 0 qt pT q p a(s)ds < 1: Khi đó, : Chứng minh. Từ Bổ đề 1.3.1, suy ra m2 e RT 0 0 m2 +e trong đó c(t) = Rt R a(s)ds 0t a(s)ds RT : 0 a(s)ds a(s)ds RT 0 c(t) 1 ; a(s)ds Từ (4), ta được ZT F (T ) = ZT a (s) ds 0 F (T ) ZT F (t) = 0 a (s) ds t Vì vậy m2 e Rt 0 m2 +e 0 ZT qds = q (T t) : t a(s)ds RT pds = pT; 1 q(T t) pT = a(s)ds qt pT q p : Bổ đề 1.3.2 đã được chứng minh. Bổ đề 1.3.3 ([2]) Cho a (t) là hàm số thỏa mãn (4) và t 2 [0; T ] ; 0 < với m > 0 ta có e m2 +e Rt 0 m2 a(s)ds RT 0 qt pT a(s)ds : Chứng minh. Ta có e +e m2 Rt 0 m2 a(s)ds RT 0 a(s)ds 1 : Bổ đề 1.3.3 đã được chứng minh. 13 c(t) = F (t) F (T ) pt qT : < 1: Khi đó, Chương 2 Các kết quả chỉnh hóa và ví dụ minh họa Trước hết, ta xét nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3) như sau u (x; t) = 1 X (x; t) 2 [0; ] um (t) sin (mx) ; m=1 [0; T ] ; (2.1) trong đó e um (t) = e ZT m2 F (t) m2 F (T ) gm 2 (F (s) em e F (t) F (T )) m2 F (T ) fm (s) ds: (2.2) t Như vậy m2 F (T ) um (0) = e ZT gm 2 F (s) em fm (s) ds: 0 Để xấp xỉ cho nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3), chúng tôi sử dụng nghiệm chỉnh hóa sau u (g) (x; t) = 1 X m=1 2 4 m2 F (t) e +e m2 F (T ) gm ZT e t m2 (F (s) F (t) F (T )) +e m2 F (T ) 3 fm (s) ds5 sin (mx) ; (2.3) trong đó gm = 2 Z 0 và = g (x) sin (mx) dx; fm (s) = 2 Z f (x; s) sin (mx) dx; F (t) = 0 0 ( ) là tham số chỉnh hóa sẽ được chọn sau sao cho lim ( ) = 0: !0 14 Zt a (s) ds; 2.1 Tính ổn định của phương pháp điều chỉnh Định lý sau đây chứng minh tính ổn định của phương pháp điều chỉnh được đưa ra trong luận văn. Định lý 2.1.1 ([2]) Giả sử u (g) và u (h) là hai nghiệm được định nghĩa trong (2.3) lần lượt ứng với các giá trị cuối g và h thuộc L2 (0; ). Khi đó, ta có ku (g) (:; t) q p qt pT u (h) (:; t)k kg với mọi t 2 [0; T ): hk ; Chứng minh. Giả sử u (g) và u (h) là hai nghiệm được định nghĩa trong (2.3) ứng với các giá trị cuối g và h, ta có u (g) (x; t) = 1 X um (g) (t) sin (mx) ; 1 X um (h) (t) sin (mx) ; m=1 u (h) (x; t) = m=1 trong đó 2 um (g) (t) = e m F (t) gm + e m2 F (T ) ZT 2 (F (s) em +e F (t) F (T )) fm (s) ds; m2 F (T ) t 2 um (h) (t) = e m F (t) hm + e m2 F (T ) ZT 2 (F (s) em +e F (t) F (T )) m2 F (T ) fm (s) ds; t và gm = 2 Z g (x) sin (mx) dx; Z h (x) sin (mx) dx; Z f (x; s) sin (mx) dx: 0 hm = 2 0 fm (s) = 2 0 Ứng dụng Bổ đề 1.3.2, ta có ước lượng sau 1 X 2 ku (g) (:; t) u (h) (:; t)k = j(u (g) (t) 2 m=1 m = 2 1 X m=1 2qt pT 15 2q p um (h) (t))j2 2 2 e m F (t) (gm + e m2 F (T ) kg hk2 : hm ) Từ đó, ta có ku (g) (:; t) qt pT u (h) (:; t)k q p kg hk : Định lý 2.1.1 đã được chứng minh. 2.2 Kết quả chỉnh hóa Chúng ta có thể thấy được sự ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3) và nghiệm chỉnh hóa (2.3) tương ứng với dữ liệu đo g trong định lý sau đây. Định lý 2.2.1 ([2]) Cho 2 (0; T ), g , gex 2 L2 [0; ], u là nghiệm chính xác của bài toán (1)-(3) sao cho Q = 2 ku (:; 0)k2 < 1 và M =4 T 1 ZT Z X m=1 0 Nếu ( )= p q 2 F (s) em 2 2 F (s) ut (x; s) + em 2 a (s) uxx (x; s) dxds < 1: 0 và u (g ) (:; t) được cho bởi (2.3) thì với mọi t 2 [0; T ); ta có ku (g ) (:; t) trong đó C1 = 1 + p u (:; t)k C1 p2 t q2 T ; Q + M. Chứng minh. Từ (2.3), chúng ta xây dựng nghiệm chỉnh hóa tương ứng với dữ liệu đo g và dữ liệu chính xác gex u (g ) (x; t) = 1 X um (g ) (x; t) sin (mx) ; (2.4) 1 X um (gex ) (x; t) sin (mx) ; (2.5) m=1 u (gex ) (x; t) = m=1 trong đó 2 um (g ) (t) = e m F (t) g ( ) + e m2 F (T ) m ZT 2 (F (s) em F (t) F (T )) m2 F (T ) ( )+e fm (s) ds; t 2 um (gex ) (t) = e m F (t) g ex ( ) + e m2 F (T ) m ZT t 16 2 (F (s) em F (t) F (T )) ( )+e m2 F (T ) fm (s) ds: Từ Định lý 2.1.1, ta được ku (g ) (:; t) u (gex ) (:; t)k qt pT q p qt pT q p kg gex k (2.6) : Do (2.5) và (2.2), ta được um (t) e um (gex ) (t) = e g m2 F (T ) m @ 2 (F (s) em F (t) F (T )) fm (s) ds m2 F (T ) e t 0 = ZT m2 F (t) ZT m2 F (t) e +e e +e g m2 F (T ) m m2 F (t) m2 F (T ) m2 (F (s) F (t) F (T )) e +e m2 F (T ) t 0 ZT @em2 F (T ) gm 2 F (s) em t 1 fm (s) dsA 1 fm (s) dsA : (2.7) Dựa vào Bổ đề 1.3.3, ta có 2 jum (t) e m F (t) m2 F (T ) gm 2 F (T ) e m +e um (gex ) (t)j ZT 2 F (s) em fm (s) ds t pt qT um (0) + Zt 2 F (s) em fm (s) ds : 0 Cho nên ku (gex ) (:; t) u (:; t)k2 = 2 1 X m=1 2pt qT 2 2pt qT 2 jum (gex ) (t) 1 X um (0) + m=1 1 X m=1 2 um (t)j2 Zt 2 m2 F (s) e 0 42 jum (0)j2 + 2 17 fm (s) ds Zt 0 2 F (s) em 23 fm (s) ds 5 : Vì thế u (:; t)k2 ku (gex ) (:; t) 1 X 2pt qT m=1 1 X 2pt qT m=1 1 X 2pt qT = m=1 +2 2pt qT 2pt qT 0 @ jum (0)j2 + @ 2pt qT jum (0)j2 + 2 0 @ 1 Z X 2 F (s) Z T 2 F (s) em m=1 0 m=1 0 1 Z X 2 2 F (s) em 0 +2T m=1 0 f (x; s) sin (mx) dx dsA a (s) uxx (x; s)) sin (mx) dx dsA (ut (x; s) 12 a (s) uxx (x; s)) sin (mx) dx dsA 0 2 2pt qT 12 12 0 kuex (:; 0)k 1 ZT Z X Z T 2 m=1 0 2pt qT fm (s) dsA em kuex (:; 0)k 0 1 ZT Z X 2pt 2 em F (s) (ut (x; s) +2 qT @ = 2 12 T m=1 0 jum (0)j2 1 Z X 0 2pt qT 2 m2 F (s) e a (s) uxx (x; s)) dx ds: (ut (x; s) 0 Suy ra ku (gex ) (:; t) u (:; t)k 2 2 2pt qT kuex (:; 0)k + 2 T m2 F (s) e 2 2pt qT m=1 0 2 2pt qT 2 kuex (:; 0)k + 4 T +je 1 ZT Z X 2 F (s) jem ut (x; s) 0 a (s) uxx (x; s) j dxds m2 F (s) 2pt qT 2pt qT 2 1 ZT Z X m=1 0 2 2 F (s) jem ut (x; s) j2 0 a (s) uxx (x; s) j dxds (Q + M ) ; (2.8) trong đó M =4 T pt qT 1 ZT Z h X m=1 0 Q = 2 kuex (:; 0)k2 ; 2 F (s) jem 2 F (s) ut (x; s) j2 + jem 0 18 i a (s) uxx (x; s) j2 dxds:

- Xem thêm -