Chỉnh hóa phương trình Parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian bằng phương pháp Tikhonov

  • Số trang: 31 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 34 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

1 MÖC LÖC Trang MÖC LÖC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 LÍI NÂI †U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 ¤o h m Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Ch÷ìng 2. Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov 18 2.1 Giîi thi»u b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 ¡nh gi¡ ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Ch¿nh hâa b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 K˜T LUŠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 T€I LI›U THAM KHƒO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 LÍI NÂI †U B i to¡n ng÷ñc cho ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng xuy¶n xu§t hi»n trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa cæng ngh», àa vªt lþ, thõy ëng håc, y håc, xû lþ £nh,... â l  nhúng b i to¡n khi c¡c dú ki»n cõa qu¡ tr¼nh vªt lþ khæng o ¤c ÷ñc trüc ti¸p m  ta ph£i x¡c ành chóng tø nhúng dú ki»n o ¤c gi¡n ti¸p. Trong Luªn v«n n y, chóng tæi · cªp tîi ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian. B i to¡n kº tr¶n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a Hadamard. Mët b i to¡n ÷ñc gåi l  °t ch¿nh n¸u nâ thäa m¢n ba i·u ki»n a) nâ câ nghi»m, b) nghi»m duy nh§t, c) nghi»m phö thuëc li¶n töc (theo mët tæpæ n o â) theo dú ki»n cõa b i to¡n. N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n n y khæng thäa m¢n th¼ ta nâi r¬ng b i to¡n °t khæng ch¿nh. T½nh °t khæng ch¿nh cõa b i to¡n tr¶n l m cho vi»c t¼m líi gi£i g°p nhi·u khâ kh«n. º x§p x¿ mët c¡ch ên ành tîi nghi»m cõa b i to¡n, ta c¦n · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa. Trong thüc t¸, câ kh¡ nhi·u ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa b i to¡n trong tr÷íng hñp cho ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè khæng phö thuëc thíi gian nh÷ ph÷ìng ph¡p tüa £o [7], ph÷ìng ph¡p ph÷ìng tr¼nh Sobolev [4], ph÷ìng ph¡p b i to¡n gi¡ trà bi¶n khæng àa ph÷ìng [3]... Tuy nhi¶n, theo chóng tæi ÷ñc bi¸t, câ r§t ½t c¡c cæng tr¼nh nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian. V¼ trong tr÷íng hñp n y, ta khæng câ cæng thùc biºu di¹n t÷íng minh nghi»m cõa b i to¡n n¶n vi»c gi£i quy¸t c¡c v§n · °t ra l  phùc t¤p hìn. V o n«m 1963, Tikhonov ([12]) ¢ ÷a ra mët ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh nêi ti¸ng. Ph÷ìng ph¡p n y ùng döng ÷ñc cho nhi·u b i to¡n °t khæng ch¿nh kh¡c nhau. ¸n n«m 1974, Joel 2 3 N. Franklin ([5]) ¢ ¡p döng th nh cæng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa cõa Tikhonov cho ph÷ìng tr¼nh parabolic vîi h» sè khæng phö thuëc thíi gian. Tuy nhi¶n, cho ¸n nay, v¨n ch÷a câ nh  to¡n håc n o ùng döng th nh cæng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov cho ph÷ìng tr¼nh parabolic vîi h» sè phö thuëc thíi gian. Tr¶n cì sð c¡c k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành ¢ ÷ñc cæng bè trong b i b¡o [3], chóng tæi muèn sû döng ph÷ìng ph¡p cõa Tikhonov º ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian v  ÷a ra c¡c ¡nh gi¡ sai sè cõa ph÷ìng ph¡p. Vîi möc ½ch nh÷ vªy, "Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov". chóng tæi lüa chån · t i sau cho Luªn v«n cõa m¼nh l  : Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v  T i li»u tham kh£o, Luªn v«n gçm câ hai ch÷ìng, ÷ñc tr¼nh b y theo bè cöc sau: Ch÷ìng 1. Mët sè ki¸n thùc bê trñ Ch÷ìng n y nh¬m möc ½ch tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc li¶n quan ¸n nëi dung Ch÷ìng 2, cö thº l  tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· to¡n tû tuy¸n t½nh, ¤o h m Frechet v  sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert. Ch÷ìng 2. Ch¿nh hâa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov Ch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ¡nh gi¡ ên ành trong b i b¡o [3]. Sau â, chóng tæi · xu§t ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa b i to¡n b¬ng ph÷ìng ph¡p Tikhonov vîi c¡c ¡nh gi¡ sai sè kiºu Holder. Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n nhi»t t¼nh, tªn t¥m cõa th¦y gi¡o, TS. Nguy¹n V«n ùc v  sü gióp ï cõa c¡c th¦y cæ gi¡o trong tê Gi£i t½ch, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc Vinh còng vîi gia ¼nh v  b¤n b±. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi th¦y gi¡o, TS. Nguy¹n V«n ùc - ng÷íi ¢ d nh cho t¡c gi£ sü quan t¥m gióp ï tªn t¼nh v  chu ¡o trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh Luªn v«n. 4 Cuèi còng, t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban chõ nhi»m khoa To¡n, c¡c th¦y cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ trang bà nhúng ki¸n thùc v  kinh nghi»m bê ½ch cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i tr÷íng, xin c£m ìn tªp thº lîp CH19 - To¡n ¢ t¤o måi i·u ki»n gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh Luªn v«n cõa m¼nh. V¼ thíi gian khæng nhi·u v  kh£ n«ng cõa b£n th¥n cán h¤n ch¸ n¶n Luªn v«n ch­c h¯n s³ khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v  c¡c b¤n. Ngh» An, n«m 2013 T¡c gi£ CH×ÌNG 1 MËT SÈ KI˜N THÙC BÊ TRÑ 1.1 To¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n a. To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Banach 1.1.1 ành ngh¾a. ([2]) Cho X v  Y l  c¡c khæng gian Banach thüc. 1. nh x¤ A : X → Y ÷ñc gåi l  to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u A(λu + µv) = λAu + µAv, ∀u, v ∈ X, λ, µ ∈ R. 2. To¡n tû tuy¸n t½nh A : X → Y l  bà ch°n n¸u kAk := sup{kAukY |kukX 6 1} < ∞. b. To¡n tû tuy¸n t½nh trong khæng gian Hilbert 1.1.2 ành ngh¾a. ([2]) Cho H l  khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h., .i. 1. Gi£ sû A : H → H l  to¡n tû tuy¸n t½nh bà ch°n, khi â to¡n tû A∗ : H → H thäa m¢n hAu, vi = hu, A∗ vi , ∀u, v ∈ H ÷ñc gåi l  to¡n tû li¶n hñp cõa A. 2. A ÷ñc gåi l  to¡n tû tü li¶n hñp n¸u A∗ = A. 1.1.3 ành ngh¾a. ([2]) 1. Hai ph¦n tû u, v ∈ H ÷ñc gåi l  trüc giao n¸u hu, vi = 0. 2. Mët cì sð ¸m ÷ñc {wk }k>1 ⊂ H ÷ñc gåi l  mët cì sð trüc chu©n, n¸u  hwk , wl i = 0, kwk k = 1, (k, l = 1, 2, ..., k 6= l), (k = 1, 2, ...). 6 N¸u u ∈ H v  {wk }k>1 ⊂ H l  mët cì sð trüc chu©n th¼ u= v  kuk2 = +∞ X k=1 +∞ X hu, wk i wk | hu, wk i |2 . k=1 1.1.4 ành lþ. ([2]) Gi£ sû A : H → H l  to¡n tû tü li¶n hñp. Khi â (i) Gi¡ trà ri¶ng cõa A l  sè thüc; (ii) C¡c vectì ri¶ng ùng vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng kh¡c nhau l  trüc giao. 1.2 ¤o h m Frechet 1.2.1 ành ngh¾a. ([2]) Cho f : Ω → F , ð ¥y Ω l  tªp mð trong khæng gian ành chu©n E cán F l  khæng gian Banach. Ta nâi f kh£ vi t¤i x0 tr¶n Ω n¸u tçn t¤i S ∈ L(E, F ) sao cho kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k = o(khk). (1.1) i·u n y câ ngh¾a l  vîi ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀h : khk < δ ta câ kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k 6 (khk). (1.1) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng quen thuëc kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k = 0. khk→0 khk lim (1.2) nh x¤ f ÷ñc gåi l  kh£ vi tr¶n Ω n¸u nâ kh£ vi t¤i måi iºm cõa Ω. 1.2.2 Nhªn x²t. 1. T½nh kh£ vi cõa f t¤i x0 khæng thay êi n¸u chu©n cõa E ÷ñc thay bði chu©n kh¡c t÷ìng ÷ìng. 0 2. Kþ hi»u S l  f (x0 ) hay Df (x0 ) v  gåi l  ¤o h m cõa f t¤i x0 . S ∈ L(E, F ) thäa m¢n (1.1) l  duy nh§t. Chùng minh. Thªt vªy, gi£ sû T ∈ L(E, F ) công thäa m¢n (1.1). Khi â, S v  T l  ¤o h m cõa f t¤i x0 ∈ Ω n¶n ta câ kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k = o(khk) 7 v  kf (x0 + h) − f (x0 ) − T (h)k = o(khk). Do â kS(h) − T (h)k = k(f (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)) − (f (x0 + h) − f (x0 ) − T (h))k = o(khk) + o(khk) = o(khk). kS(h) − T (h)k = 0. L§y b§t k¼ h ∈ E , h 6= 0 ta câ khk→0 khk Suy ra lim kS(th) − T (th)k ktS(h) − tT (h)k kS(h) − T (h)k = = kthk |t|khk khk vîi ∀t ∈ R, t 6= 0. Suy ra kS(th) − T (th)k kS(h) − T (h)k = lim = 0. t→0 khk kthk Do â kS(h) − T (h)k = 0. i·u n y câ ngh¾a l  S(h) = T (h), ∀h 6= 0. Suy ra S(h) = T (h), ∀h ∈ E . Vªy S ≡ T . 0 Nh÷ vªy n¸u f kh£ vi tr¶n Ω ta câ ¡nh x¤ f : Ω → L(E, F ) cho bði 0 Ω 3 x 7→ f (x) ∈ L(E, F ). 0 Ngo i ra n¸u f li¶n töc th¼ f ÷ñc gåi l  kh£ vi li¶n töc hay thuëc lîp C 1 (vi¸t f ∈ C 1 ) tr¶n Ω. 0 Do f (x0 ) ∈ L(E, F ), tø (1.1) suy ra f li¶n töc t¤i x0 . X²t tr÷íng hñp E = R. Tr÷îc h¸t cæng thùc Ψ(T ) = T (1), T ∈ L(R, F ) x¡c ành ¯ng c§u giú nguy¶n chu©n giúa L(R, F ) v  F . Qua ¯ng c§u n y ta çng nh§t T ∈ L(R, F ) vîi T (1). Gi£ sû f : (a, b) → F kh£ vi t¤i x0 ∈ (a, b). Ta câ 0 f (x0 + h) − f (x0 ) 0 f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h) lim [ −f (x0 )(1)] = lim = 0. h→0 h→0 h h 8 0 0 Nh÷ vªy n¸u çng nh§t f (x0 ) vîi f (x0 )(1) ta câ thº vi¸t 0 f (x0 + h) − f (x0 ) h→0 h f (x0 ) = lim v  â ch½nh l  ành ngh¾a ¤o h m theo ngh¾a thæng th÷íng. 1.2.3 V½ dö. 0 1. N¸u f : Ω → F, f = const, th¼ f = 0 tr¶n Ω. 0 2. N¸u f ∈ L(E, F ) th¼ f kh£ vi t¤i måi iºm x0 ∈ E v  f (x0 ) = f . Chùng minh. V¼ f kh£ vi t¤i måi iºm x0 ∈ E n¶n kf (x0 + h) − f (x0 ) − S(h)k =0 khk→0 khk kf (x0 ) + f (h) − f (x0 ) − S(h)k ⇔ lim = 0 (do f ∈ L(E, F )). khk→0 khk lim L§y f = S ∈ L(E, F ), khi â kf (x0 ) + f (h) − f (x0 ) − S(h)k 0 = lim = 0. khk→0 khk→0 khk khk lim 0 Suy ra f (x0 ) = f . Nh÷ vªy ¤o h m cõa ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc t¤i måi iºm thuëc E ch½nh l  ¡nh x¤ tuy¸n t½nh li¶n töc â. 3. Gi£ sû f = S \ Ω vîi S : E1 × E2 → F l  song tuy¸n t½nh li¶n töc. L§y (x01 , x02 ) ∈ Ω. Ta câ kf ((x01 , x02 ) + (h1 , h2 )) − f (x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )k = kS(x01 + h1 , x02 + h2 ) − S(x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )k = kS(x01 , x02 ) + S(x01 , h2 ) + S(h1 , x02 ) + S(h1 , h2 ) − S(x01 , x02 ) − S(x01 , h2 ) − S(h1 , x02 )k = kS(h1 , h2 )k 6 kSk kh1 k kh2 k = o(k(h1 , h2 )k). Do â, f kh£ vi t¤i (x01 , x02 ) v  0 f (x01 , x02 )(h1 , h2 ) = S(x01 , h2 ) + S(h1 , x02 ), ∀(h1 , h2 ) ∈ E1 × E2 . 9 Mët c¡ch têng qu¡t, n¸u f = S \ Ω, Ω ⊂ E1 × ... × En l  tªp mð cán S ∈ L(E1 , ..., En ; F ) th¼ f kh£ vi t¤i måi (x1 , ..., xn ) ∈ Ω v  0 f (x1 , ..., xn )(h1 , ...hn ) = S(h1 , x1 , ..., xn ) + ... + S(x1 , .., xn−1 , hn ), ∀(h1 , ..., hn ) ∈ E1 × ... × En . 1.2.4 ành lþ. ([2]) Gi£ sû E l  khæng gian ành chu©n, F l  khæng gian Banach, Ω l  tªp mð trong E v  x0 ∈ Ω. Khi â (i) N¸u f, g : Ω → F kh£ vi t¤i x0 , th¼ αf + βg công kh£ vi t¤i x0 vîi måi α, β ∈ R v  0 0 0 (αf + βg) (x0 ) = αf (x0 ) + βg (x0 ). (ii) N¸u f : Ω → R, g : Ω → R kh£ vi t¤i x0 , th¼ gf : Ω → R kh£ vi t¤i x0 v  0 0 0 (gf ) (x0 ) = g (x0 )f (x0 ) + g(x0 )f (x0 ). Ngo i ra n¸u g(x0 ) 6= 0 th¼ f /g công kh£ vi t¤i x0 v   0 0 0 g(x0 )f (x0 ) − f (x0 )g (x0 ) f (x0 ) = . g g 2 (x0 ) Chùng minh. (i) Ta câ 0 0 k(αf + βg)(x0 + h) − (αf + βg)(x0 ) − αf (x0 )(h) − βg (x0 )(h)k 0 6 lim khk→0 khk 0 kαf (x0 + h) − αf (x0 ) − αf (x0 )(h)k = lim khk→0 khk 0 kβg(x0 + h) − βg(x0 ) − βg (x0 )(h)k + lim khk→0 khk 0 |α|kf (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)k 6 lim khk→0 khk 0 |β|kg(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)k + lim khk→0 khk 6 0 (v¼ f, g kh£ vi t¤i x0 ). 10 0 0 0 Do â (αf + βg) (x0 ) = αf (x0 ) + βg (x0 ). (ii) º chùng minh gf kh£ vi t¤i x0 ta c¦n chùng minh 0 0 kg(x0 + h)f (x0 + h) − g(x0 )f (x0 ) − g (x0 )f (x0 ) − g(x0 )f (x0 )k A = lim khk→0 khk = 0. Ta câ 0 kf (x0 + h)[g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)]k 0 6 A 6 lim khk→0 khk 0 kg(x0 )[f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)]k + lim khk→0 khk 0 0 kf (x0 + h)g (x0 )(h) − f (x0 )g (x0 )(h)k + lim . khk→0 khk Do g kh£ vi t¤i x0 n¶n ta câ 0 kf (x0 + h)[g(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)]k 0 6 A1 = lim khk→0 khk 0 kg(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)k = |f (x0 )| lim khk→0 khk = |f (x0 )|.0 = 0. Suy ra A1 = 0. T÷ìng tü, v¼ f kh£ vi t¤i x0 n¶n 0 kg(x0 )[f (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)]k 0 6 A2 = lim khk→0 khk 0 kf (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)k = |g(x0 )| lim khk→0 khk = |g(x0 )|.0 = 0. Suy ra A2 = 0. M°t kh¡c, ta câ 0 0 kf (x0 + h)g (x0 )(h) − f (x0 )g (x0 )(h)k 0 6 A3 = lim khk→0 khk 0 k[f (x0 + h) − f (x0 )]g (x0 )(h)k = lim khk→0 khk 11 0 kg (x0 )(h)k = lim |f (x0 + h) − f (x0 )| khk→0 khk 0 kg (x0 )kkhk 6 lim |f (x0 + h) − f (x0 )| khk→0 khk 0 = lim |f (x0 + h) − f (x0 )|kg (x0 )k khk→0 0 = |f (x0 ) − f (x0 )|kg (x0 )k = 0. Suy ra A3 = 0. V¼ vªy 0 6 A 6 0 n¶n A = 0. 1 N¸u g(x0 ) 6= 0 th¼ kh£ vi t¤i x0 v¼ g 0 1 g (x0 )(h) 1 1 − + 2 lim khk→0 khk g(x0 + h) g(x0 ) g (x0 ) 0 g (x )(h) 1 g(x + h) − g(x ) 0 0 0 − 2 = lim khk→0 khk g(x0 + h)g(x0 ) g (x0 ) 0 kg(x0 + h) − g(x0 ) − g (x0 )(h)k = 0. = lim khk→0 kg(x0 + h)g(x0 )k Suy ra f 1 = f. kh£ vi t¤i x0 v  g g  0 0 0 f g(x0 )f (x0 ) − f (x0 )g (x0 ) (x0 ) = . g g 2 (x0 ) 1.2.5 ành lþ. ([2]) Gi£ sû E l  khæng gian ành chu©n, F , G l  khæng gian Banach v  U ⊂ E , V ⊂ F l  c¡c tªp mð. Gi£ sû x0 ∈ U , f : U → V, g : V → G l  c¡c h m kh£ vi t¤i x0 v  y0 = f (x0 ). Khi â g◦f : U → G kh£ vi t¤i x0 v  0 0 (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 ))f 0 (x0 ). Chùng minh. V¼ f kh£ vi t¤i x0 n¶n ta câ 0 kf (x0 + h) − f (x0 ) − f (x0 )(h)k lim = 0. khk→0 khk 12 °t x = x0 + h, ta ÷ñc 0 kf (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 )k lim = 0. kx−x0 k→0 k(x − x0 )k (1.3) °t 0 ϕ(x − x0 ) = f (x) − f (x0 ) − f (x0 )(x − x0 ). (1.4) kϕ(x − x0 )k = 0 v  x→x0 kx − x0 k Tø (1.3) v  (1.4) ta câ lim 0 f (x) − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 ) + ϕ(x − x0 ). (1.5) T÷ìng tü, v¼ g kh£ vi t¤i y0 n¶n ta câ 0 g(y) − g(y0 ) = g (y0 )(y − y0 ) + ψ(y − y0 ). (1.6) kψ(y − y0 )k = 0. Thüc hi»n ph²p bi¸n êi v  sû döng (1.5), (1.6) y→y0 ky − y0 k ta ÷ñc vîi lim g ◦ f (x) − g ◦ f (x0 ) = g(f (x)) − g(f (x0 )) 0 = g (f (x0 ))(f (x) − f (x0 )) + ψ(f (x) − f (x0 )) 0 0 = g (f (x0 ))[f (x0 )(x − x0 ) + ϕ(x − x0 )] + ψ(f (x) − f (x0 )) 0 0 0 = g (f (x0 ))f (x0 )(x − x0 ) + g (f (x0 ))ϕ(x − x0 ) + ψ(f (x) − f (x0 )). º chùng minh g ◦ f kh£ vi t¤i x0 ta c¦n chùng minh 0 kg (f (x0 ))ϕ(x − x0 ) + ψ(f (x) − f (x0 ))k B = lim = 0. x→x0 k(x − x0 )k Ta câ 0 kg (f (x0 ))ϕ(x − x0 )k kψ(f (x) − f (x0 ))k 0 6 B 6 lim + lim x→x0 x→x0 k(x − x0 )k k(x − x0 )k kϕ(x − x0 )k kψ(f (x) − f (x0 ))k kf (x) − f (x0 )k 0 6 lim kg (f (x0 ))k + lim . x→x0 x→x0 kf (x) − f (x0 )k kx − x0 k kx − x0 k 6 0. Do â B = 0. 0 0 Vªy g ◦ f kh£ vi t¤i x0 v  (g ◦ f ) (x0 ) = g (f (x0 ))f 0 (x0 ). 13 1.3 Sü hëi tö y¸u trong khæng gian Hilbert 1.3.1 ành ngh¾a. ([1]) 1. Gi£ sû X l  khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n tr¶n tr÷íng K . Kþ hi»u X ∗ = L(X, K) l  tªp t§t c£ c¡c phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X v  gåi X ∗ l  khæng gian li¶n hñp thù nh§t cõa X . 2. Mët d¢y c¡c ph¦n tû {xn } cõa X hëi tö m¤nh ¸n ph¦n tû x0 v  vi¸t xn → x0 khi n → ∞, n¸u kxn − x0 k → 0 khi n → ∞. 3. Ta nâi d¢y {xn } ⊂ X hëi tö y¸u ¸n x0 ∈ X , n¸u ∀f ∈ X ∗ câ f (xn ) → f (x0 ) khi n → ∞. Ta kþ hi»u d¢y {xn } hëi tö y¸u ¸n x0 bði xn * x0 . 1.3.2 Nhªn x²t. 1. Måi d¢y hëi tö m¤nh trong khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n X ·u hëi tö y¸u. i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. 2. Giîi h¤n cõa mët d¢y hëi tö y¸u l  duy nh§t. 3. N¸u X l  khæng gian húu h¤n chi·u v  xn * x th¼ xn → x. 4. N¸u M l  mët tªp compact trong X , d¢y {xn } ⊂ M v  xn * x th¼ xn → x. 5. Måi d¢y hëi tö y¸u ·u bà ch°n. 6. N¸u xn * x th¼ kxk 6 lim inf kxn k. Chùng minh. 1. Gi£ sû {xn } l  d¢y trong X hëi tö ¸n x ∈ X . Vîi méi f ∈ X ∗ , v¼ f li¶n töc n¶n ta câ f (xn ) → f (x) khi n → ∞. Vªy xn * x. i·u ng÷ñc l¤i câ thº xem V½ dö 1.3.4. 2. Gi£ sû {xn } ⊂ X, x, y ∈ X v  xn * x, xn * y . Ta c¦n chùng minh x = y . V¼ xn * x n¶n ∀f ∈ X ∗ ta câ f (xn ) → f (x) khi n → ∞, hay |f (xn ) − f (x)| → 0 khi n → ∞ . T÷ìng tü, v¼ xn * y n¶n ∀f ∈ X ∗ ta câ |f (xn ) − f (y)| → 0 khi n → ∞. Ta câ 0 6 |f (x) − f (y)| = |f (x) − f (xn ) + f (xn ) − f (y)| 6 |f (x) − f (xn )| + |f (xn ) − f (y)| → 0, khi n → ∞. 14 Do â, |f (x) − f (y)| = 0, ∀f ∈ X ∗ , hay f (x) = f (y), ∀f ∈ X ∗ . Suy ra f (x − y) = 0, ∀f ∈ X ∗ . Gi£ sû x − y 6= 0. Khi â, theo h» qu£ cõa ành lþ Hahn - Banach, tçn t¤i g ∈ X ∗ sao cho kgk = 1, g(x − y) = kx − yk = 6 0. i·u n y m¥u thu¨n vîi kh¯ng ành ð tr¶n. Vªy x − y = 0, hay x = y . 3. Gi£ sû X l  khæng gian k chi·u tr¶n tr÷íng K câ mët cì sð trüc chu©n k P xi ei . D¢y {xn } trong X câ l  {e1 , e2 , ..., ek }. Vîi måi x ∈ X , ta câ x = i=1 thº vi¸t nh÷ sau xn = k P xn i ei . i=1 L§y fi (y) = y i , ∀y ∈ X, ∀i = 1, ..., k . D¹ th§y fi ∈ X ∗ , ∀i = 1, ..., k . V¼ xn * x n¶n fi (xn ) → f (x), ∀i = 1, ..., k hay xn i → xi , ∀i = 1, ..., k . k 1/2 P i i 2 Suy ra kxn − xk = |xn − x | → 0, khi n → ∞. Do â, xn → x. i=1 4. Gi£ sû xn khæng hëi tö m¤nh ¸n x, khi â ∃ > 0 : kxnk − xk > , ∀k . Do M l  tªp compact n¶n tçn t¤i mët d¢y con {xnki } hëi tö m¤nh ¸n y v  y = x. Khi â, ta câ sü m¥u thu¨n ε 6 kxnki − xk → 0, khi i → ∞. Vªy xn → x. 5. Gi£ sû d¢y {xn } hëi tö y¸u trong X . Khi â, ∀f ∈ X ∗ , d¢y f (xn ) = xn (f ) hëi tö trong K n¶n nâ bà ch°n, ngh¾a l  hå (xn )n∈N bà ch°n iºm. Theo nguy¶n lþ Banach-Steinhaus, d¢y {xn } bà ch°n ·u, ngh¾a l  sup kxn k < +∞. n∈N 6. Ta kiºm tra cho tr÷íng hñp têng qu¡t khi X l  khæng gian Banach. N¸u x = 0 th¼ kh¯ng ành tr¶n l  hiºn nhi¶n. N¸u x 6= 0 th¼ theo h» qu£ cõa ành lþ Hahn - Banach, tçn t¤i phi¸m h m f ∈ X ∗ sao cho kf k = 1 v  kxk = hx, f i = lim hxn , f i 6 lim inf kxn k. n→∞ n→∞ 1.3.3 ành ngh¾a. ([11]) Cho X l  mët khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h·, ·i. Ta nâi d¢y (ϕn ) trong X hëi tö y¸u tîi ϕ ∈ X v  vi¸t ϕn * ϕ khi n → ∞ n¸u hϕn , ψi → hϕ, ψi, vîi måi ψ ∈ X . khi n → ∞ 15 N¸u φ l  mët giîi h¤n y¸u kh¡c cõa d¢y ϕn th¼ hϕ − φ, ψi = 0 vîi måi ψ ∈ X . Chån ψ = ϕ − φ ta câ ϕ = φ, ngh¾a l  giîi h¤n y¸u cõa d¢y x¡c ành duy nh§t. Tø b§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz ta suy ra sü hëi tö m¤nh k²o theo sü hëi tö y¸u. i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. V½ dö sau ¥y s³ chùng minh i·u n y. 1.3.4 V½ dö. Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert thüc væ h¤n chi·u, {en : n ∈ N} l  mët h» cì sð trüc chu©n ¸m ÷ñc trong H . Khi â, d¢y {en } khæng hëi tö m¤nh nh÷ng hëi tö y¸u. Chùng minh. Thªt vªy, ∀ m, n ∈ N∗ , m 6= n, ta câ kem − en k2 = hem − en , em − en i = hem , em i − 2hem , en i + hen , en i = kem k2 + ken k2 = 2. Suy ra kem − en k = √ 2 vîi m 6= n. V¼ vªy, d¢y {en } khæng ph£i l  mët d¢y cì b£n v  do â, nâ khæng hëi tö m¤nh. Ta chùng minh d¢y {en } hëi tö y¸u. V¼ H l  khæng gian Hilbert n¶n vîi méi f ∈ H ∗ , tçn t¤i duy nh§t a ∈ H sao cho f (x) = ha, xi, ∀ x ∈ H . Suy ra f (en ) = ha, en i, ∀ n ∈ N∗ . V¼ a ∈ H v  {en : n ∈ N} l  cì sð trüc +∞ +∞ P P 2 chu©n trong H n¶n a = ha, en ien v  kak = |ha, en i|2 . n=1 V¼ chuéi +∞ P n=1 |ha, en i|2 hëi tö n¶n |ha, en i| → 0 khi n → ∞. Suy ra ha, en i → n=1 0 khi n → ∞, hay f (en ) → 0 = f (0) khi n → ∞, ∀ f ∈ H ∗ . Vªy d¢y {en } hëi tö y¸u tîi ph¦n tû 0. 1.3.5 ành lþ. ([11]) Gi£ sû X l  mët khæng gian Hilbert. Khi â 1. N¸u d¢y (ϕn ) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X v  d¢y (ψn ) hëi tö m¤nh ¸n ψ ∈ X th¼ d¢y sè (hϕn , ψn i) hëi tö ¸n hϕ, ψi . 2. N¸u d¢y (ϕn ) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X v  d¢y (kϕn k) hëi tö ¸n kϕk th¼ d¢y (ϕn ) hëi tö m¤nh ¸n ϕ ∈ X. Chùng minh. 1. Theo gi£ thi¸t, d¢y (ϕn ) hëi tö y¸u ¸n ϕ ∈ X n¶n (ϕn ) 16 bà ch°n, do â ∃M > 0 : kϕn k 6 M, ∀n ∈ N. Khi â ta câ | hϕn , ψn i − hϕ, ψi | 6 | hϕn , ψn i | − | hϕn , ψi | + | hϕn , ψi | − | hϕ, ψi | 6 kϕn k.kψn − ψk + | hϕn , ψi − hϕ, ψi | 6 M.kψn − ψk + | hϕn , ψi − hϕ, ψi |. Theo gi£ thi¸t cõa (1), cho n → ∞ tø b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc lim hϕn , ψn i = hϕ, ψi . n→∞ Vªy (hϕn , ψn i) → hϕ, ψi . 2. Ta câ kϕn −ϕk2 = hϕn − ϕ, ϕn − ϕi = kϕn k2 −hϕn , ϕi−hϕ, ϕn i+kϕk2 . Tø gi£ thi¸t lim hϕn , ϕi = hϕ, ϕi = lim hϕ, ϕn i v  lim kϕn k = kϕk, n→∞ n→∞ n→∞ chuyºn qua giîi h¤n ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc lim kϕn − ϕk = 0. Vªy n→∞ ϕn → ϕ. 1.3.6 ành ngh¾a. ([1]) Phi¸m h m ϕ(x) x¡c ành tr¶n X ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i iºm x0 n¸u vîi måi d¢y {xn } m  xn * x0 , ta câ ϕ(x0 ) 6 lim inf ϕ(xn ). Phi¸m h m ϕ(x) ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc d÷îi y¸u, n¸u nâ nûa li¶n töc d÷îi y¸u t¤i måi iºm trong mi·n x¡c ành cõa nâ. 1.3.7 M»nh ·. ([11]) 1. N¸u T ∈ L(X, Y ) th¼ T li¶n töc y¸u, ngh¾a l  n¸u ϕn * ϕ th¼ T (ϕn ) * T (ϕ) khi n → ∞. 2. N¸u ϕn * ϕ th¼ lim sup kϕn k > kϕk, ngh¾a l  chu©n nûa li¶n töc d÷îi y¸u. n→∞ Chùng minh. 1. Gi£ sû ϕn * ϕ. Khi â, vîi b§t ký ψ ∈ Y ta câ hT ϕn , ψi = hϕn , T ∗ ψi → hϕ, T ∗ ψi = hT ϕ, ψi . Do â, T (ϕn ) * T (ϕ) khi n → ∞. 2. Gi£ sû ϕn * ϕ. Khi â ta câ hϕn , ϕi → hϕ, ϕi = kϕk2 khi n → ∞. Tø b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz | hϕn , ϕi | 6 kϕn k.kϕk ta suy ra kϕk2 6 lim sup kϕn k.kϕk hay kϕk 6 lim sup kϕn k. n→∞ n→∞ 17 1.3.8 ành lþ. ([11]) Måi d¢y bà ch°n ·u câ d¢y con hëi tö y¸u. Chùng minh. Gi£ sû {ϕn }n∈N l  mët d¢y b§t ký trong X sao cho kϕn k 6 l v  {ej : j ∈ N} l  mët h» trüc chu©n ¦y õ trong X := span{ϕn : n ∈ N}. V¼ hϕn , e1 i l  mët d¢y bà ch°n n¶n tçn t¤i d¢y con hëi tö hϕn1 (k) , e1 i. V¼ hϕn1 (k) , e2 i bà ch°n n¶n tçn t¤i d¢y con n2 (k) cõa n1 (k) sao cho hϕn2 (k) , e2 i hëi tö. Ti¸p töc qu¡ tr¼nh n y ta thu ÷ñc d¢y con nl (k) vîi måi l ∈ N sao cho hϕnl (k) , el i hëi tö v  nl+1 (k) l  d¢y con cõa nl (k). Gi£ sû d¢y hϕnl (l) , ek i hëi tö tîi ξk n o â thuëc C khi l → ∞, vîi måi k ∈ N. Khi P â, ϕ := ξk ek x¡c ành mët ph¦n tû cõa X vîi kϕk 6 l. Thªt vªy, vîi k∈N måi K ∈ N ta câ K X k=1 2 |ξ| = lim l→∞ K X |hϕnl (l) , ek i|2 6 lim sup kϕnl (l) k2 6 l. l→∞ k=1 Ta c¦n ch¿ ra hϕnl (l) , ψi → hϕ, ψi vîi måi ψ ∈ X . Ta câ ψ ∈ X . L§y  > 0 ∞ P v  chån K ∈ N sao cho |hψ, ek i|2 6 ( 4 )2 . Khi â, tçn t¤i L > 0 sao cho k=K+1 K  X hψ, ek iek i 6 , vîi l > L. hϕ − ϕnl (l) , 2 k=1 Tø b§t ¯ng thùc tam gi¡c v  b§t ¯ng thùc Cauchy-Schwarz ta câ |hϕ − ϕnl (l) , ψi| 6  vîi l > L. 1.3.9 ành ngh¾a. ([11]) Tªp con K cõa khæng gian Hilbert X ÷ñc gåi l  âng y¸u n¸u nâ chùa c¡c giîi h¤n y¸u cõa måi d¢y hëi tö y¸u trong K. To¡n tû F : D(F ) ⊂ X → Y ÷ñc gåi l  âng y¸u n¸u ç thà grF := {(ϕ, F (ϕ)) : ϕ ∈ D(F )} l  âng y¸u trong X × Y , tùc l  n¸u ϕn * ϕ v  F (ϕn ) * g th¼ ta câ ϕ ∈ D(F ) v  F (ϕ) = g . Chó þ r¬ng n¸u F li¶n töc y¸u v  D(F ) âng y¸u th¼ F âng y¸u. K¸t qu£ sau ¥y cho ta i·u ki»n õ v· t½nh âng y¸u cõa D(F ). 1.3.10 ành lþ. ([11]) N¸u tªp con K ⊂ X lçi v  âng th¼ K âng y¸u. CH×ÌNG 2 CHŸNH HÂA PH×ÌNG TRœNH PARABOLIC NG×ÑC THÍI GIAN VÎI H› SÈ PHÖ THUËC THÍI GIAN BŒNG PH×ÌNG PHP TIKHONOV Trong ch÷ìng n y, chóng tæi hi»u ch¿nh ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian vîi h» sè phö thuëc thíi gian d¤ng  ut + A(t)u = 0, 0 < t < T, ku(T ) − f k 6 , f ∈ H,  > 0 b¬ng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov v  ÷a ra c¡ch chån tham sè hi»u ch¿nh ti¶n nghi»m, hªu nghi»m vîi c¡c ¡nh gi¡ sai sè kiºu Holder. C¡c ¡nh gi¡ ên ành ¢ ÷ñc chùng minh trong b i b¡o [3]. 2.1 Giîi thi»u b i to¡n Gi£ sû H l  khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng h·, ·i v  chu©n k · k, A(t) (0 6 t 6 T ) : D(A(t)) ⊂ H → H l  to¡n tû khæng bà ch°n, tü li¶n hñp, x¡c ành d÷ìng tr¶n H . Gi£ sû f ∈ H v   l  mët sè d÷ìng cho tr÷îc. X²t b i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic ng÷ñc thíi gian u : [0, T ] → H thäa m¢n  ut + A(t)u = 0, 0 < t < T, ku(T ) − f k 6 . (2.1) Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, b i to¡n n y °t khæng ch¿nh [8, 9]. Do â, mët ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ên ành v  hi»u ch¿nh b i to¡n ¢ ÷ñc · xu§t trong [13]. Trong [3], c¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh r¬ng n¸u u(t) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ut + A(t)u = 0, 0 < t < T th¼ tçn t¤i h m khæng ¥m ν(t) tr¶n [0, T ] sao cho 18 19 ku(t)k 6 cku(T )kν(t) ku(0)k1−ν(t) , ∀t ∈ [0, T ] vîi c l  h¬ng sè d÷ìng cho tr÷îc. Trong Luªn v«n n y, chóng tæi ùng döng ph÷ìng ph¡p ch¿nh hâa Tikhonov cho b i to¡n (2.1). 2.2 ¡nh gi¡ ên ành Trong ph¦n n y, º ti»n theo dãi, chóng tæi tr¼nh b y l¤i ành lþ 2.5 trong b i b¡o [3]. 2.2.1 ành lþ. ([3]) Gi£ sû r¬ng (i) A(t) l  to¡n tû tü li¶n hñp vîi méi t; (ii) N¸u tçn t¤i nghi»m u(t) thuëc v o mi·n cõa A(t) sao cho Lu = du + A(t)u = 0, 0 < t ≤ T, dt th¼ vîi c¡c h¬ng sè khæng ¥m k, c ta câ − d hA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − c h(A(t) + k)u(t), u(t)i . dt Chån a1 (t) l  mët h m kh£ t½ch Riemann tr¶n [0, T ], sao cho a1 (t) 6 c, ∀t ∈ [0, T ] v  − d hA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − a1 (t) h(A(t) + k)u(t), u(t)i . dt Vîi måi t ∈ [0, T ], °t Z t  Z t a2 (t) = exp a1 (τ )dτ , a3 (t) = a2 (ξ)dξ, 0 ν(t) = 0 a3 (t) . a3 (T ) (2.2) Khi â, vîi måi t ∈ [0, T ], ta câ ku(t)k 6 ekt−kT ν(t) ku(T )kν(t) ku(0)k1−ν(t) . (2.3) 20 2.3 Ch¿nh hâa b i to¡n Trong ph¦n n y, chóng ta °t c¡c gi£ thi¸t cho to¡n tû A(t) nh÷ sau (xem [14, pp. 134135]) (H1 ) Vîi 0 6 t 6 T , phê cõa A(t) ÷ñc chùa trong mët mi·n h¼nh qu¤t σ(A(t)) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |argλ| < ω}, 0 6 t 6 T, (2.4) vîi gâc ω cè ành sao cho 0 < ω < π2 , v  gi£i thùc thäa m¢n ¡nh gi¡ k(λ − A(t))−1 k 6 M , |λ| λ 6∈ Σω , 0 6 t 6 T, (2.5) vîi h¬ng sè M > 1 n o â. (H2 ) Mi·n x¡c ành D(A(t)) ëc lªp vîi t v  A(t) kh£ vi li¶n töc m¤nh (xem [10, p. 15]). (H3 ) Vîi måi t ∈ [0, T ], A(t) l  mët to¡n tû khæng bà ch°n, tü li¶n hñp, x¡c ành d÷ìng v  n¸u u(t) l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Lu = du + A(t)u = 0, 0 < t 6 T , th¼ tçn t¤i h¬ng sè khæng ¥m k , h m sè dt kh£ t½ch Riemann tr¶n [0, T ], a1 (t) sao cho − d hA(t)u(t), u(t)i > 2kA(t)uk2 − a1 (t) h(A(t) + k)u(t), u(t)i . dt (2.6) 2.3.1 Nhªn x²t. N¸u c¡c gi£ thi¸t (H1) − (H2) ÷ñc thäa m¢n th¼ tçn t¤i h¬ng sè N > 0 sao cho kA(t)(A(t)−1 − A(s)−1 )k 6 N |t − s|, 0 6 s, t 6 T. (2.7) Chùng minh. i·u ki»n (2.4) k²o theo A(t) câ to¡n tû ng÷ñc bà ch°n tr¶n H (xem [14, p. 135]). M°t kh¡c, ta câ kA(t)(A(t)−1 −A(s)−1 )k = k−(A(t)−A(s))A(s)−1 k = k(A(t)−A(s))A(s)−1 k. V¼ A(t) kh£ vi li¶n töc m¤nh, theo Bê · 4.7.1 trong Tanabe [10, p. 108], A(t)A(s)−1 kh£ vi li¶n töc m¤nh trong (t, s) ∈ [0, T ] × [0, T ]. Do â, theo ành lþ Banach-Steinhaus, tçn t¤i h¬ng sè N > 0 sao cho k(A(t) − A(s))A(s)−1 k 6 N |t − s|, 0 6 s, t 6 T.
- Xem thêm -