Chính hóa một số bài toán ngược trong khoa học ứng dụng

  • Số trang: 28 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 22 |
  • Lượt tải: 0
thuvientrithuc1102

Đã đăng 15346 tài liệu

Mô tả:

BO GIAO ])t)C vA 1);\0 T~O [11)1H()C Qu6c cIArl..jANH PH6 H6 CHI MINH TRUc)NCD~I HQC KHOAHQC H,! NHlt N a a ~~I:&'~~ N C TrY'~ ",1\..1:', D . ,. N " ( 'r' )l \T(i T AM ,,'_.Tn.., CHiNH. UO,\ l\iQT 86 BAI ToAN NGtf<1C TRONe KHOA HOC rfNG Dt)NG Chuyennganh: loAN GJArItCH \13 s6 01.01.01 II TOM T£(TLu.~N AN Fh6 Tie'n SIKhoa hQcToan Ly II Thanh ph6116 ChI Minh - 1996- ~} ) "J, ' - I.'; ~ Lu~n ~n n1iydu'Qchean thanh t~i Khoa Toh - Tin h9c II Tru'CJngBl}i hQc &boa hQc TV lJl'Mn Thanh pho' hI6 Chi Minh IIiIo Irii 'II Netti1i hu'OIH~ d1in : " II iii GS TS J:)~NG DINH ANG rI/lI .. II1II l1li 'II Ng1f(Y]nhan xet 1 : II II II a III a II III !I .. ~i1j hh1tnxet 2 : CI II II' Cd Quan nJU)Hxet : Ie 'III III Ii! = II Lu~n ~n se du'<;fc baa v~ tq,iH9i D6ng Chill Lu4n an Nh;) Nll'OChqp tq,iTru'CJngDq.ihQc Khoa h9C Tv Nhien Thanh pho' H6 Chi Minh VaG hk~ giCJ ~ ngay -- thclng ~ Ham 1~96. ' III .. III IJI C6th! tlm hilu Lutjn dn tQi cdc tllltvifl1 : !:I -' Tnto/'lg Dqi h9C Khan h9C T~(Nhien Thc'rl1hpluJ' H6 Chi Minh - Khaa H9c nfng fir]) Thanh ph/f H6 C?ll Minh a ID nO GIAo D~JC vA. BAo L'}O D/\I HQC Quc5c CIA THANH PH6 HO CHi MINH TRUHI Trong phan II chung toi xet bai toan Cauchy cho phu'ong trmh Laplace trong t~ng g6 gh8 cua R3nhu'san D = {(x,y,z):- 4>(x,y) , V(x.y) E R2 Sd dl}ng phu'dng phap chlnh h6a Tikhonov (xem A.N.Tikhonov and V.Y.Arsenin : Solutions of ill-posed problems. Winston. Willey, New York, (1977», chung toi xiy dlfng mQt phu'dng trlnh bie'n pMn (phu'dng trlnh chInh h6a) (00) : ~ Ve = Fe (3) Trong d6 bai toaD too nghi~m v=v" da phu'dng trlnh (3) la bai "toaD chlnh, nghia la i) T8n t~i duy nha't v"thoa (3) ii) v" phI} thuQc lien tl}c vao Fe E>6ngg6p quan tn;mg khac trong Lu~n an Ia chUng t5i dii dauh gia du'<1c 5ai 56 giU'a nghi~m chlnh h6a v" neu teen so voi nghi~m chinh xac v cua phu'dng trlnh (1) -3 - Cl}the la ne'u sai s6 giiia dii ki~n do d."e F£ va dU'ki~n ehinh xac F la & , nghlala (4) ~F,-FII< Ii thl eh11ngt8i eh1fng t6 du'<;1ela sai s6 giiia nghi~m ehlnh h6a v£ va nghi~m chinh xacv (Vdi~iathie'ttrdnthichh<;JP)C6b~C,fS nghlala IIv£-vll < c,fS hay [l{~)r;(0<&<1) (5) hay II v.-vll < c[tr{~)r (6) trong d6 h!ing s6 du'dng C kh6ng phl} thuQc S Ta chuiln 11.lIl1y trong cae kh6ng gian tu'dng 1fng . Hdn the' niia, ehl1ng t8i thi~t l~p dU<;1f; thu~t roan Giai tlch s8. Cl} the; nhu' sau: a) £>6ivdi cac bar roan khao sat trong phh I, chung toichd'ng Minh du<;1e rhg v.chinh la diem b1t dQngduy nh:lt cua mQtroan ttl'co thieh h<;Jp.Do d6 de dang dy dvng mQtthu~t roan l?p M tinh xa'p xl v£ . O9i v£(rn)la budc l~p thd' m .Chung toi da dua ra dU<;1cdaRb gia sai s6 Iv,("> -vl< C,k'" +C~ (7) C£ 13.h!ing s8. phl} thuqc s. kh8ng phl} thuQc m . k E (0.1) 13.h~ s8 co. Hdn niia ne'u chQn budc l~p t6i thieu m=m. tIll chung t8i thu du'<;JcdaRb gia sai so' ~v}",) - vii < (1 + C)J;: (8) b) £>6ivdi bai roan trong phh II, chung toi du'a ra du'<;1ccong th1fc tu'Clnp, minh tinh v. theo dU'ki~n do d~c F£ thong qua bie'n d6i Fourier (hai chi~u) thu~II va ngu<;1C.Vdi gia thi6t v du trdn (v E Hl(R2» chung t8i thu du'<;JcdaRb gia sai s6 -4- I"~ 1\ v.-vll < C[~;)r trong d6 h~ng s6 C chi ph'} thuQc vao Ilv~lh'11) Lie ke"lqua cbillh CIIa LlI~ll all (hi<,lccong b6 trong c!til/c cong b6"lrong [:\J.[4 J.[S J" tJ -5 - [1] .[2] va se PJIANM6r cAc sAI loAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH POISSON I. BM roAN CAUCHY CHO PHtJdNG TRINH POISSON TRONG HINH TRON BdN VI : 1.Bdi loan.. G~i D =I(X,Y):X2+ l < I} 15 = I(x,y): X2 + y2 ~ I} Tlm ham u = u(x,y) th0 vfl E [}(a,2TC) eho tru'de x~t bai loan : T1m va FE L2(O.a) saoeho P(\'p,ffJ)+ = trong do ( . , .) va <.,. (15) ,Vf!JEI!(a,2f'l) > Ih lu'~t la tieh vo hu'dng trong L2(a.2TC) va L2(O.a). Chung ta ky hi~u cae ehuin tu'dng U'ngla 11.11 H va 11.11HI . Ta co ke't qua: Dillh Iv 1.1: Vdi m6i nha't mQt nghi~m P >0 va FE L2(O.a) phu'dng trlnh (15) co cluy vp E L2(a.27r) , hdn m1a vp phV thuQc lien t1}c vao FE L2(O.a). Ghl sU' Vo13.ngill~m chinh xac ell a phu'dng trlnh Avo thoa di~u ki~n : T6.ri t~i = Fo v E L2 (O.a) (vo.ffJ)= (16) sao cho , (17) VffJEL2(a.27r) Kill d6 ta co Dinh It 1.2: GiasltF.FoEe(O,a) thoallF-Foll HI iv, lil nghi~m da phu'dng trlnh bie'n phan (15) rl'ng vdi p =£ thl ta co daub gia livE - VO~H < trong do Mii (18) r (19) M=C+I~U~. 5. Phlidnf!. IJhti~ s(J:' XtSt phu'dng trlnh bie'n phan (Ii > 0) : £(v.,ffJ)+ = ,VffJEL2(a.27r) hay tu'dng du'dng - 8 - (20) 1>1'F. +;\*;\1' B =;\*r (2\ ) ludo I'F. =\' ( F. -n.f' 1>1'F. +;\*;\1' F. -;\*r ) (22) v(fj fJ > 0 sc ch9n sau, = V~y vI> T vI>v8i T: L2 (a.,27t) ~ L2 (a.,27t) du'(jc xac djnh nhu' sau : Tv= v-p(ABv-A () day , AB =;E.ld+A (23) *F) * (24) A , vii ld - to Dillh Ii 1.3: V8i P = (E+ He Qua1.1: IIA If Y thl T Iii phep co trong L2 (a.,27t) 'liE:>0 cho tmac, phu'dngtrlnh (20) ho~c (21) co nghi~m duy nha'l VBE L2 (a.,27t) Ta linh VI>bAng phu'dng phap xa'p xi lien tie'p (m) T (m-I) VB VB m 1, 2 '0" -- -- v~O) E L2 (a..27t) y tily (25) Taco ,,~m)= (/- PEl v~m-l) - pA *( A 'J~m-I) - F) (26) v8i fJ nhu'trong Djnh Iy 1.3 Mellh d~ 1.2: Gia sar v~ thoa (16), (17). Khi do sai s6 giii'a v~m) va vo 13 Il vlllll - v I> 0 < (' II /}ra..21t) kill I> -9- +M r; v'<'- (27) d da C = Y IITv.(0)-". (0)11, . I-k L (a,2") , ' ( 28 ) k - h~ s8 co eua anh x~ co T ; (0 < k < I) va M de djnhb"l (19) Ml!nh dO 1.3: ~f) , (29) ChQns6 tVnhl~n m. > Ink Bat . v = v (M,) khid6 .. Il v, - VoI, ilL(a,l..) < (1+M)JE (30) Cilu tb.ie!!.;. m.la s8 bd&:l~p t8i thi~u di ta e6 danh gia teen. MQt ph~n ket qua eua mvc nay dii ddcjcc6ng b6 trong [I] va[2]. II. BAI ToAN CAUCHY CHO PHVcJNGTRINH POISSON TRONG NUA MAT PHANGTRtN: 1. Biz; loan: GQi Tlm p+ = {(x,y): -ooO} ]5+= {(x,y): -ooy~O} U E Cl(P+)nC2(]5+) Au = f . thoa C(P+) trong p+ Uy E (31) u(x,O) = uo(x) "Ix E 1 = (-1,1) Uy(x,O) = UI(x) (32) u ehinh qui d v8 eung. nghla Iii.t6n t~i h~ng s8 dddng B sao el1o lim sup u(x,y) = U'" R-++a> x'+,,'-R' y>o B IVu(x,y)\~ Xl + l 'V(x,y) E P+ vhl +l - 10 - duMn (34) ~ diiy Vu - gradient cua u. f chotn10ctrongr . Uo,u. tho tru'<'1ctrong (-1.1) ; Uy - d~o ham rieng cua u theo y . 2. Thitt llip p1uh1nll trinh tlch phlin Ch9n v(x) .. =Uy(x,O) , x E J=R\I= {x:~1 ~ I} lam in ham. B~ng phu'dng ph3.p Green, chung tBi du'a bal to~n (31 ).(32). (33), (34) v8 phu'dng trlnh tich phan Fredholm lo~i mQt sau dAy d6i v<'1ilin ham v(x) .. JJ v(~)~- v<'1i (35) ~Id~= F(x) F(x) = 1T(Uo (x) - u,.,)- - ~ If 1(';",) J u1 (~) lntx - .;Id.; -I I..{(x- .;)2 + ,,2 ]d~d" (36) 3. Khdo sat phJif1n6, trinh tic" phlin.. Gi:l thie't: i) UO,UI E L2(J) ii) f ~ L~(P') vdi Hi) .1=(-1.1) ={rI[II'« (37) ,.)f'«, .)<1< }. 0 chotru'& v EL~(J) = {v:[ p(~)v2(.;)d.; < cO} voi (39) P(~)=(1+1.;~2 - 11 - Ai! 1.3: Voi e >0 chotniOc ,-1 0 xet phu'dngtrlnh bi~n philn (41) liV. +A'Av. =A'F tu'dng du'dng £v. +A'Av. -A'F hay Ia vC1i v, =v, - P(EV, +A'Av. =0 -A'F) /3 > 0 se ch<;msau - 12 - (42) V~y Vs =T jIB VOlloan tifT du0, \::IFE L2(J) cho tru'oc phuong trlnh (41) co nghi~m duy nhKt 2 vsELp(J) Giii su rnng phuong trlnh (45) Avo = Fo co nghi~m chinh xac Va san cho t6n t':li vE (vO,q»L~(J)= (It; Aq»Ll(/) L2 (I) thoa (46) \::Iq>EL~(J) Ditlh IV1.5: Giasu va thoa (45), (46) va !IF- Fo 1~1(/)< E khi do lIvE- Vo II~(J) < M i'1 F day Va - nghi~m ciia phuong mnh bie'n phan (41), cfing ill di~m b1lt ~? 1/2 2 1+ 111,111 . L(l) . dQngcua T, M = 2 [ ] 5. PIll/dill!vM,} sri: Ta tinh jIB bang phuong phap xa'p xi lien tie'p ,(111)-- 7' Is (0) Vs ,(111-1) IE , , 2 E 1'p (J) tHYY . - 13 - " m-- I,-,... 6 Chon . r- v;" L (6+36)2 1 62 i. (E thl ::: jJ (48) ~36)T 1';",.1)- (c +C36)2A'(Av~"-.) - F) Khi d6 ta co hai mc:nh M (I ') v~ 1.6) IIMnp,ht vai hai mt$nh d~ 1.2 va 1.3 d Inl)CI. MQI phau k~'l qua Clla lIJlle !Jay se ch(yc caug b6 trou!?,131 . Ill. BA.ITOA.NCAUCHY CHO PHUONG TR1NH POISSON TRONG NUA KHONGGIAN TR.t:N: Llld{.O!I.T1':' f)~t R;::: {(x,y,z): -00< x,y< J{3::: {(x,y,z): -00< x,y.u::: f OO,Z > a} trong Uz E C(R/) R; thoa (49) vdi dil ki~n Cauchy du<;1crho tnf(1c tren dla Iron ddn vj et1a m~t phang z==O u(x,y,a)::: uo(x,y) 11,('1",)',0):::U,(x,y) V(x,y) EQ (50) trong d6 f cho Iniac trong R; ; uo,u. cho tru'<'Jctrong Q ; IIz d~o ham rieng z. nla u theo II chlnh qui d v() rUng. nghia la r (i) l~d ,,+~+~)lI(x,y,z)l L (ii) I 1 z>o :::a (51) j T3n t~i hhg s6du'dng C sao cho vu(x,y,z)I: - Xem thêm -