Tài liệu Chia biểu thuc

V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn VNCASIOer Team CHIA BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẰNG SỐ PHỨC Tác giả: Đỗ Hoàng Việt (facebook.com/viet.kynl.771) Chia biểu thức chứa căn vốn là một phương pháp rất hay để ép tích PT vô tỉ trong đề thi ĐH, do đó nó là đề tài nghiên cứu của rất nhiều CASIOer. Và ý tưởng sử dụng số phức của Đỗ Hoàng Việt là một ý tưởng vừa lạ vừa hay để góp phần giải quyết vấn đề này, trong phạm vi của những phép chia chứa căn mà kết quả có dạng u  v1 f1  v2 f2  ...  vn fn (u, v1, ..., vn, f1, ..., fn là các đa thức biến x). Nghĩa là nếu kết quả không chứa tích các căn thì phương pháp này ngon ăn! Nguyên lí chung của việc chia biểu thức chứa nhiều căn là tìm lần lượt hệ số của từng căn một (là đa thức nhân với căn), và ta có thể căn cứ vào giá trị của căn ứng với giá trị X gán vào hoặc không, để từ đó phân tích ra hệ số đi kèm căn. Khi sử dụng phương pháp số phức, ta sẽ không phải quan tâm đến giá trị của căn bằng bao nhiêu, vì ta sẽ thay căn đang cần tìm hệ số bằng i (đơn vị ảo) và thao tác mọi thứ trong MODE số phức CMPLX ( MODE 2 ). I. CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP 1. Xuất phát điểm  Xét phép nhân n biểu thức chứa căn với nhau: u1  v1 f Ta nhận thấy nếu thay của u  v f ...u  v f  2 2 n n f  i thì kết quả sẽ có dạng a  bi trong đó b chính là hệ số f trong kết quả (ứng với 1 giá trị x xác định nào đó mà ta gán). Sở dĩ có thể vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn chắc chắn như vậy bởi vì số ảo i có 1 tính chất rất giống với tính chất của căn, đó là i 2  1 và  f 2  f . Do đó, dù tất cả các i 2 ; i 4 ;... trong kết quả tính được đều bị mất, thì vẫn không ảnh hưởng đến hệ số của f vì các biểu thức     ,... f 2 , f 4 cũng đều mất căn. Từ phép nhân này, ta nghĩ ngay đến phép chia, liệu có thể thay căn bằng i và thực hiện phép chia 2 số phức 1 cách tương tự? Xét phép chia u1u2  v1v2 f  (u1v2  u2v1 ) f  u2  v2 f , giả sử thay u1  v1 f f  i , ta được: u1u2  v1v2 f  (u1v2  u2v1 )i  u2  v2i , do đó chỉ cần lấy hệ số của i trong kết quả là có u1  v1i thể suy ra được v 2 , phải vậy không? Rất tiếc lại không phải như vậy. Các bạn hãy thực hiện các thao tác chia 2 số phức như kiến thức cũ đã học để thấy kết quả thực sự ra sao: u1u2  v1v2 f  (u1v2  u2v1 )i u1u2  v1v2 f  (u1v2  u2v1 )i u1  v1i  . u1  v1i u1  v1i u1  v1i  u12u2  u2v12  u1v1v2 ( f  1)  v2 u12  v12 f  i u12  v12 Nghĩa là hệ số của i phải là v2  u12  v12 f  u12  v12 2 2 u12u2  u2v12  u1v1v2 ( f  1) v2 u1  v1 f    i u12  v12 u12  v12 chứ không phải v 2 . Do đó, muốn nó là v 2 , ta u12  v12 f phải làm sao cho 2 2  1 . Muốn vậy, thay vì nhân u1  v1i cả vào tử và mẫu u1  v1 phép chia, ta sẽ chỉ nhân u1  v1i vào tử và nhân u1  v1 f vào mẫu, đi kèm với việc đó là giữ nguyên f dưới mẫu, tức là: vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn u12u2  u1v1v2 ( f  1)  u2v12  v2 u12  v12 f  i u1u2  v1v2 f  (u1v2  u2v1 )i u1  v1i .  u12  v12 f u1  v1 f u1  v1 f u12u2  u1v1v2 ( f  1)  u2v12   v2 i u12  v12 f Vậy nếu gán X  1000 rồi tính u1u2  v1v2 f  (u1v2  u2v1 )i u1  v1i . , ta sẽ thu được u1  v1 f u1  v1 f kết quả có dạng a  bi trong đó b  v2 (1000) , từ đó dễ dàng suy ra v 2 Đó là sự khác biệt giữa phép nhân và phép chia thông qua số phức. 2. Mở rộng Phép chia tổng quát u1  v1 f  u2  w1 f1  ...  wn fn thực ra được f1  ...  vn fn  u1  v1 f1  ...  vn1 fn1  Un suy ra từ phép chia 1 căn phía trên. Bằng cách đặt  u2  w1 f1  ...  wn1 fn1  Vn ta sẽ viết được nó về dạng giống như đã làm: tìm w n ta chỉ việc tính f  Vn  wn fn . Lúc này để Un  vn fn f U v i . n n (nhớ là Un  vn fn Un  vn fn fn trong f cũng thay bằng i) tại X  1000 (hoặc 100) rồi bóc lấy hệ số của i là xong. Nói chung, để tìm hệ số của u1  v1 f f1  ...  v k fk ( k  1, n ), ta sẽ cho X  1000 (100) rồi tính . u1  v1 f1  ...  v k i  ...  vn fn fk  ...  vn fn u1  v1 f1  ...  v k fk  ...  vn fn sau đó lấy hệ số của i để suy ra hệ số căn. Phần còn lại u2  u1  v1 f  w1 f1  ...  wn fn dễ dàng tìm được. f1  ...  vn fn vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Một cách tương tự, phép nhân các biểu thức chứa căn với nhau cũng có thể mở rộng từ 1 căn thành nhiều căn. 3. Kết hợp các phương pháp khác Sự đòi hỏi phải kết hợp phương pháp số phức này với các phương pháp đã phổ biến như gán giá trị X sao cho căn cần tìm hệ số có giá trị vô tỉ (phân tách căn), hay áp dụng công thức AB của Bùi Thế Việt, đều xuất phát từ việc mở rộng phạm vi áp 2 f dụng. Chưa một kỹ thuật đơn lẻ nào trong số đó có thể giải quyết hết được tất cả các phép chia biểu thức chứa căn. Chúng ta hãy lấy ra trường hợp mà phương pháp số phức này sẽ bế tắc nếu chiến đấu một mình. Đó là khi kết quả phép chia có chứa tích các căn, chẳng hạn kết quả có dạng  u  v1 f  v2 g  v3 fg , tức là u  v1  v3 g  f  v2 g . Lúc này, thay f  i ta sẽ được kết quả a  bi trong đó b  v1  v3 g nên nó là số vô tỉ, do đó không thể nào truy được hệ số của f . Tương tự, cũng không thể tìm được hệ số của g Để giải quyết trục trặc này, ta phải kết hợp nó với 2 phương pháp phổ biến đã biết. Phương pháp thứ nhất gọi là gán giá trị tách căn, tức là chọn các giá trị X nhỏ thay   vào sao cho g là số vô tỉ, khi đó, nếu máy hiển thị được kết quả a  m  n t i thì b  m  n t , và từ việc b  v1  v3 g ta có thể tìm được v1 và v3 Phương pháp thứ hai là áp dụng công thức của Bùi Thế Việt. Thay X  1000 (hoặc 100; 1 1 ; ), tính ra kết quả a1  b1i như bình thường (lúc này cả a1, b1 vô tỉ), sau 100 1000 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn đó lưu b1  A . Tiếp theo ta quay lại đổi dấu trước g cả trên tử lẫn dưới mẫu của phép chia (mọi thứ khác vẫn giữ nguyên như cũ), bấm  được kết quả a2  b2i . Ta lưu b2  B , từ đó suy ra: v1  AB AB và v3  2 2 g Qua các VD sau đây, các bạn sẽ thấy được rõ hiệu quả của phương pháp số phức khi đứng lẻ và khi kết hợp với 2 phương pháp nói trên. II. VÍ DỤ MINH HỌA   VD1. x 2  1  2 x 2  1 3x  2  x 2 x 2  1  x 2  1  i rồi vào Phép nhân biểu thức chứa căn bằng số phức rất đơn giản, thay MODE số phức bằng 2 phím MODE 2 , nhập:  X 2  1  2i  3 X  2  X 2i  Gán X  1000 ta được kết quả: 2999996998  9,99999006.1011 i . Hệ số của i sẽ ứng với hệ số của x 2  1 nhưng hệ số còn lại thì các bạn đừng hiểu nhầm nó ứng với phần còn lại trong kết quả, bởi vì nó chứa i 2  1   x2  1   x 1 2 2 Sử dụng phương pháp xấp xỉ, ta có: 9,99999006.1011  1012  X 4 . Sửa lại biểu thức: (2 X  i)  2  X 2i  X 2  2  3 Xi   X 4i , bấm  hệ số của i giảm xuống chỉ còn 993996  106   X 2 . Lại sửa thành: (2 X  i) 2  X 2i  X 2  2  3 Xi   X 4i  X 2i , bấm  hệ số i là 6004  6 X  4 . Cuối cùng thay nhiều giá trị X nhỏ và xấu vào biểu thức (2 X  i)  2  X 2i  X 2  2  3 Xi   X 4i  X 2i  6 Xi  4i để thử lại kết quả, ta đều thấy kết quả không chứa i (hay hệ số của i bằng 0). Vậy hệ số của căn là: x 4  x 2  6 x  4 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Sửa lại biểu thức: X 2    1  2 X 2  1 3X  2  X 2 X 2  1   X 4  X 2  6 X  4  X 2  1 Cho lại X  1000 ta được: 2,003003997.1012  2.1012  2X 4 . Quay lại viết thêm 2X 4 vào đuôi biểu thức, bấm  thu được: 3003996998  3X 3  4 X 2  3X  2 Vậy kết quả nhân là: 3x 3  4 x 2  3x  2   x 4  x 2  6 x  4  x 2  1 Đúng với ý nghĩa là 1 VD minh họa, bài toán này chỉ nhằm cho thấy trực quan việc sử dụng máy tính như thế nào, chứ trên thực tế nhân tay còn nhanh hơn. Máy tính sẽ tốt hơn với những bài nhiều nhân tử hoặc nhân tử chứa nhiều căn như bài sau đây. VD2. x 4  2 x 3  3x 2  4 x  1  2 3 x  x 2 1  3x  x 2 Đặt 3x  x 2 X  i , ta nhập biểu thức: 4  2 X 3  3 X 2  4 X  1  2i  (1  i) 1   3X  X 2 1  3X  X 2  Cho X  1000 ấn  ta được: 1000999  1000999i . Hệ số của i chính là hệ số của căn trong kết quả chia: 1000999  X 2  X  1 Các bạn đừng nhầm tưởng hệ số còn lại (cũng là 1000999) ứng với phần còn lại không chứa căn nhé (vì theo cơ sở đã chứng minh thì không phải thế!). Để tìm phần còn lại, ta lấy biểu thức đề bài trừ đi phần chứa căn đã tìm được: X 4  2 X 3  3X 2  4 X  1  2 3X  X 2 1  3X  X 2   X 2  X  1 3 X  X 2 Bấm  ta được: 1001001  X 2  X  1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Vậy kết quả chia là: x 2  x  1   x 2  x  1 3x  x 2 3x  10  3 2  x  6 2  x  4 4  x 2 VD3. 2 x 2 2 x Chỉ có 2 căn, ta sẽ tìm hệ số của 2  x trước. Vào MODE CMPLX thay 2  x trên tử bằng i và nhập: 3X  10  3i  6  2 X 2 2  X  4i 2  X 2 X    i  2 2 X 2 X 2 2 X  Hết sức chú ý điều kiện 2  x  2 , do đó ta bấm CALC cho X   1 được kết quả: 100 10,19353377  i , hệ số của i chính là hệ số của 2  x , tức là 1 Tìm hệ số của 2  x , ta sửa biểu thức trên thành: 3X  10  3 2  X  6i  4i 2  X  2  X  2i   2  X  2 2  X  2  X  2 2  X  Bấm  thu được 1,251575133  2i  hệ số của 2  x là 2 3 X  10  3 2  X  6 2  X  4 4  X 2  2  X  2 2  X , nhấn Phần còn lại bằng: 2 X 2 2 X  ta được 3 Vậy kết quả chia là: 3  2  x  2 2  x VD4. 4 x 3  5x 2  x   3x 2  1 x  x  4 x 3  2 x  3  x  1  2 x 3  3  x(x  1) 2x2 x  1  x  x vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Biểu thức hơi dài, không thể nhập ngay f U v i . n n như công thức được Un  vn fn Un  vn fn vì tràn màn hình, do đó ta sẽ nhân riêng. Ta sẽ tìm hệ số của x trước, do đó thay x trên tử bằng i, nhập biểu thức: 4 X 3  5 X 2  X  i  3 X 2  1  X  4 X 3  2 X  3 X  1  i 2 X 3  3  X  1 2X 2 X  1  X  X 2X 2 X  1  i  X Cho X  1000 , kết quả bao nhiêu kệ vì ta đang tính tiếp: Ans  2 . 2X X  1  X  X Kết quả là: 2000093,9  1000i . Hệ số của i nguyên ( 1000  X ) nên chắc chắn kết quả không chứa tích của 2 căn. Vậy hệ số của Để tìm hệ số của như đề, tức là: x  1 , ta lại thay x là x x  1 trên tử bằng i, còn lại phải giữ nguyên 4 X 3  5 X 2  X   3 X 2  1  X  iX  4 X 3  2 X  3   i 2 X 3  3  X 2X 2 X  1  X  X 2 X 2i  X  X  2029,591176  3i . Hệ số của i Bấm  rồi nhân tiếp: Ans  2 X 2 X  1  X  X là 3 và đó cũng là hệ số của x 1 Để tìm phần còn lại, ta tính biểu thức gốc sau đó trừ đi những gì đã tìm được:  4 X 3  5 X 2  X   3 X 2  1  X  X  4 X 3  2 X  3  X  1  2 X 3  3  X ( X  1)    2X 2 X  1  X  X   X 1000  2031716,692 Ans  X X  3 X  1  1999999  2 X 2  1 Vậy kết quả chia là: 2x2  1  x x  3 x  1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m VD5. RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn 3  x  x  x2  x  2 3 x  x 1 Chú ý điều kiện 0  x  3 , ta sẽ tìm hệ số của  i   X  X 2  X  2 i  X  1   3 X  X 1  3 X  X 1 Cho X  X 3  x trước, bằng cách nhập:  1 ta được kết quả: 1,329775229  0,555i . Cẩn thận hơn, lại gán tiếp 100 1 , thu được: 1,440073274  0,5163113883i . Hệ số của i vô tỉ chứng tỏ kết 1000 quả chia có chứa tích x(3  x) . Vì thế, ta phải kết hợp phương pháp khác mới có thể làm tiếp.  Cách 1. Gán giá trị tách căn.  Kết quả chia có dạng u  v1 3  x  v2 x  v3 x(3  x)  u  v1  v3 x do đó theo phương pháp gán giá trị tách căn, ta sẽ lựa X sao cho  3  x  v2 x X vô tỉ. 1 3 1  34 3  1  2  i và Lần lượt cho X  2 , X  3 ta được:      2  3  i . Hệ 2 2 2  2  2  1 số của I chính là hệ số v1  v3 x của 3  x trong kết quả, suy ra v3  . Ta lại có 2 3 3 1 1 v1 (2)  , v1 (3)  2 , gán thêm X  0 nữa ta được   i do đó v1 (0)  . Từ 3 giá trị 2 2 2 2 1 1 này dễ dàng suy ra v1  x  2 2 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn 1 1 1 Vậy tạm thời kết quả chia là u   x   3  x  v2 x  x(3  x) , hay 2 2 2 1 1   u  (x  1) 3  x   v2  3 x  x 2 2    Sửa biểu thức thành Gán X   3  X  i  X2  X  2 3 X  X 1   3 X  i 1 3 X  X 1   , để tìm hệ số của x 1 ta được 1,237443343  0,8695808233i . Hệ số của i vô tỉ đơn giản vì 1000 nó không phải là v 2 mà là v2  1 1 3  x , do đó ta tính tiếp: Ans  i 3  X , thu được 2 2 1,237443343  5.104 i , lúc này hệ số i mới đúng là v 2 Vì 5.104  u 1 1 1  X nên v2  x . Cuối cùng ta có: 2000 2 2 3  X  X  X2  X  2 1 1 1  ( X  1) 3  X  X X  X (3  X ) , bấm  được 2 2 2 3 X  X 1 số rất đẹp: 1 2 Vậy kết quả chia là: 1 1 1 1  (x  1) 3  x  x x  x(3  x) 2 2 2 2  Cách 2. Áp dụng công thức của Bùi Thế Việt. Đầu tiên tìm hệ số 3  x , tính  i   X  X 2  X  2 i  X  1   3 X  X 1  3 X  X 1 ta được: 1,440073274  0,5163113883i vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm  với X  1 1000 V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Ta sẽ lưu hệ số của i vào A, không thể nhấn SHIFT STO như bình thường được, nhưng nếu nhập tay 0,5163113883 thì lại sai số, vậy ta sẽ lưu bằng cách sau: nhập biểu thức Ans  Conjg(Ans)  0,5163113883  A (các bạn sử dụng SHIFT 2 2 để 2i nhập Conjg(Ans)). Chịu khó mày mò một chút về MODE số phức là các bạn sẽ hiểu ngay phép lưu này thôi. Theo Cách 1, hệ số của thức  i  3  x là v1  v3 x , nên ta đổi dấu trước  X  X 2  X  2 i  X  1  3 X  X 1  3 X  X 1 cú pháp trên B:  . Quan sát hệ số của i và lưu nó vào như Ans  Conjg(Ans)  0,4846886117  B 2i Theo công thức của BT.Việt, ta có v1  v3   X , được biểu AB 1 1 1 1  0,5005     X , và 2 2 2000 2 2 AB 1  2 X 2 1 1 1 x(3  x) . Đến đây các Do đó kết quả chia tạm thời là u   x   3  x  v2 x  2 2 2 bạn có thể làm tiếp như Cách 1 (dùng tiếp công thức của BT.Việt cũng được nhưng sẽ lâu hơn). 3x  3  2 (x  2)3  (x  5) 2 x  1  2 2 x 2  5x  2 VD6. 2x  1  2 x  2  1 Bài này thì gán X lớn thoải mái, trước tiên ta nhập: 3X  3  2(X  2)i  (X  5) 2 X  1  2i 2 X  1  2 X  1  2i  1  2 X  1  2 X  2  1 2 X  1  2 X  2  1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m Biểu thức này để tìm hệ số của RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn x  2 , với X  100 ta được 28,35489376 là hệ số của i, nhìn qua đã biết kết quả có chứa tích 2 căn, tức là có dạng:  u  v1 x  2  v2 2x  1  v3 2x 2  5x  2  u  v1  v3 2x  1  x  2  v2 2x  1  Cách 1. Gán giá trị tách căn. Để tìm v1  v3 2 X  1 là hệ số của x  2 , thay vì cho X  100 ta sẽ chỉ cho X nhỏ như 0; 1; 2;… sao cho 2 X  1 mang giá trị vô tỉ. Chẳng hạn với X  1 gán vào biểu thức phức đã nhập, ta được kết quả rất không hài lòng là 68 3  3,464101615i , vì 13 giá trị cần lấy là hệ số của i lại không hiển thị ở dạng căn. Tuy nhiên ta biết rằng 2X  1 X 1  3 , nên dễ dàng nhận thấy 3,464101615  2 3 Tiếp tục, với X  2 , ta được kết quả khác với hệ số của i là 4,472135955 và cũng dễ dàng nhận thấy nó là 2 5  2 2 X  1 X 2 v  0 Từ 2 kết quả trên suy ra v1  v3 2 X  1  2 2 X  1 , tức là  1 , do đó kết quả v3  2 cho đến hiện tại là: u  v2 2x  1  2 2x 2  5x  2 , hay có thể viết thành  u  v2  2 x  2  2x  1 Bây giờ tìm v2  2 x  2 , tức hệ số của 2x  1 , ta thay 2x  1 thành i và nhập: 3X  3  2(X  2) X  2  (X  5)i  2i X  2  i  2 X  2  1  2 X  1  2 X  2  1  2 X  1  2 X  2  1 vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn Cho X  100 thu được 201,186789  20,19900988i . Hệ số của i lúc này chính là v2  2 x  2 nên để tìm v 2 ta phải cộng kết quả này với 2i X  2 , nhằm triệt tiêu cái 2 x  2 đi. Và ta được kết quả mới không hề chứa i: 201,186789 Như vậy v2  0 Cuối cùng để tìm u, ta tính biểu thức này tại X  100 : 3 X  3  2( X  2) X  2  ( X  5) 2 X  1  2 2 X 2  5 X  2  2 2 X 2  5X  2 2X  1  2 X  2  1 Thu được 303  3X  3 Vậy kết quả phép chia: 3x  3  2 2 x 2  5x  2  Cách 2. Áp dụng công thức của Bùi Thế Việt. Lưu hệ số của i tính được ở trên vào A: Ans  Conjg(Ans)  28,35489376  A (sử 2i dụng SHIFT 2 2 để nhập Conjg(Ans)). Tiếp theo đổi dấu trước 2 X  1 (vì ta đang tìm biểu thức v1  v3 2 X  1 ), ta được: 3X  3  2(X  2)i  (X  5) 2 X  1  2i 2 X  1   2 X  1  2i  1   2 X  1  2 X  2  1  2 X  1  2 X  2  1 Bấm  và lấy hệ số của i lưu vào B: Vậy ta được: v1  Ans  Conjg(Ans)  28,35489376  B 2i AB AB  2  0 và v3  2 2 2X  1 Tìm được đến đây rồi, phần còn lại là v2 và u các bạn thực hiện giống như Cách 1 là nhanh nhất. vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm V VN NC CA ASSIIO Oe err TTe ea am m RRe esse ea arrc chh b byy A Ad dm miinn 6 VD trên chắc đã đủ để các bạn nắm rõ được phương pháp này, hãy thử mang nó áp dụng ngay vào các bài toán phương trình, hệ phương trình của các bạn để thấy được sức mạnh chinh phục của nó! Vì tài liệu được biên soạn trong thời gian ngắn nên có thể vẫn có sai sót và chưa hoàn thiện dù nhóm tác giả đã hết sức cố gắng, vì thế mong bạn đọc bỏ lỗi và góp ý để lần tái bản sau được hoàn thiện hơn. Mọi thắc mắc về phương pháp hãy ib tác giả Đỗ Hoàng Việt: facebook.com/viet.kynl.771 hoặc liên hệ với VNC Team: facebook.com/groups/VietNamCASIOerTeam Xin cảm ơn! vviieettnnaammccaassiiooeerrtteeaamm..bbllooggssppoott..ccoomm