Chỉ số Lyapunov và ứng dụng

  • Số trang: 64 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 29 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 PH„M THÀ HOA CHŸ SÈ LYAPUNOV V€ ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC H  Nëi-2015 BË GIO DÖC V€ €O T„O TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2 PH„M THÀ HOA CHŸ SÈ LYAPUNOV V€ ÙNG DÖNG LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC Chuy¶n ng nh: M¢ sè: To¡n gi£i t½ch 60 46 01 02 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng H  Nëi-2015 Líi c£m ìn Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t tîi PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng, th¦y ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, ành h÷îng chån · t i v  truy·n ¤t ki¸n thùc º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y. çng thíi tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi Ban gi¡m hi»u tr÷íng Trung håc phê thæng Tø Sìn - B­c Ninh, còng t§t c£ c¡c çng nghi»p nìi tæi ang cæng t¡c, ¢ gióp ï, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh gi£ng d¤y v  ho n th nh luªn v«n. Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2, °c bi»t c¡c th¦y cæ gi¡o khoa To¡n, pháng Sau ¤i håc ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu. Qua ¥y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡c anh chà, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, gióp ï cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n. Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh ¢ luæn luæn quan t¥m, kh½ch l» v  ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  nghi¶n cùu. H  Nëi, th¡ng 12 n«m 2014 T¡c gi£ Ph¤m Thà Hoa Líi cam oan Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng, luªn v«n Th¤c s¾ thuëc chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i: Ch¿ sè Lyapunov v  ùng döng ÷ñc ho n th nh bði nhªn thùc cõa b£n th¥n t¡c gi£. Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸ thøa nhúng th nh tüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn. H  Nëi, th¡ng 12 n«m 2014 T¡c gi£ Ph¤m Thà Hoa Möc löc Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov v  vectì °c tr÷ng 4 1.1. Ch¿ sè Lyapunov v  c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3. Phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh . . . . . . . 10 1.2. Vectì °c tr÷ng v  c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1. Vectì °c tr÷ng cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2. Vectì °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.3. Vectì °c tr÷ng cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh 17 Ch÷ìng 2. Ùng döng cõa ch¿ sè Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Ph÷ìng ph¡p thù nh§t Lyapunov nghi¶n cùu ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Kh¡i ni»m ên ành chuyºn ëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.3. Ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t 32 2.1.4. Ên ành cõa h» tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng . . . . . . . . . . . . . . . i 36 2.2. Ph÷ìng ph¡p ch¿ sè Lyapunov trong nghi¶n cùu ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.1. Mët sè °c thò cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè . . . . . 42 2.2.2. Ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3. Ph÷ìng ph¡p vectì °c tr÷ng trong nghi¶n cùu ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 ii Mð ¦u 1. L½ do chån · t i Nh¬m nghi¶n cùu t½nh ch§t ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ch¿ sè cõa mët h m sè ho°c cõa mët ma trªn h m (sau n y ÷ñc gåi l  ch¿ sè Lyapunov, xem [2], [7]). Æng ¢ sû döng kh¡i ni»m ch¿ sè °c tr÷ng º ÷a ra c¡c ti¶u ph¥n, A. M. Lyapunov ¢ ÷a ra kh¡i ni»m chu©n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh. Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov ÷ñc Ho ng Húu ÷íng [3] têng qu¡t hâa th nh kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng v  ¡p döng nghi¶n cùu ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng trong tr÷íng hñp tîi h¤n, tùc l  khi ch¿ sè Lyapunov b¬ng 0. Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov công ¢ ÷ñc Ho ng Nam [6] ¡p döng nghi¶n cùu ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè. é V«n Chung [1], Nguy¹n Thà Khuy¶n v  T¤ Duy Ph÷ñng [4], [5] ¢ mð rëng kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng cõa Ho ng Húu ÷íng cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh [4], [5] v  h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè vîi h» sè ¦u ch½nh th÷íng [1]. Nhi·u v§n · thíi sü cõa lþ thuy¸t ch¿ sè Lyapunov công ang ÷ñc nghi¶n cùu: T½nh ên ành cõa ch¿ sè Lyapunov cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, t½nh i·u khiºn ÷ñc cõa ch¿ sè Lyapunov trong h» tuy¸n t½nh câ i·u khiºn, t½nh g¦n óng ch¿ sè Lyapunov, . . . . Vîi mong muèn hiºu bi¸t s¥u s­c hìn v· ch¿ sè Lyapunov v  ùng döng cõa nâ trong b i to¡n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi 1 ph¥n, ÷ñc sü çng þ h÷îng d¨n cõa PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng, tæi chån · t i: Ch¿ sè Lyapunov v  ùng döng º thüc hi»n luªn v«n th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch. 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Tr¼nh b y lþ thuy¸t ch¿ sè Lyapunov, kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng v  ùng döng cõa chóng trong nghi¶n cùu b i to¡n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh v  h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh. 3. Nhi»m vö nghi¶n cùu - T¼m hiºu v· ch¿ sè Lyapunov v  vectì °c tr÷ng. - Nghi¶n cùu ùng döng cõa ch¿ sè trong nghi¶n cùu b i to¡n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh v  h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh. 4. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu - èi t÷ñng nghi¶n cùu: Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov, kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng, ùng döng cõa chóng trong b i to¡n ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. - Ph¤m vi nghi¶n cùu: C¡c t i li»u, c¡c s¡ch b¡o li¶n quan ¸n ch¿ sè Lyapunov v  kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng. 5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu - Thu thªp t i li»u v  c¡c b i b¡o v· ch¿ sè Lyapunov. 2 - Têng hñp, ph¥n t½ch, h» thèng c¡c ki¸n thùc v· ch¿ sè Lyapunov, kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng v  ùng döng cõa chóng trong nghi¶n cùu b i to¡n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh v  h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh. 6. âng gâp mîi cõa luªn v«n Hy vång luªn v«n l  mët b£n têng quan v· ch¿ sè Lyapunov, kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng v  ùng döng cõa chóng trong b i to¡n ên ành nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. 3 Ch÷ìng 1 Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov v  vectì °c tr÷ng 1.1. Ch¿ sè Lyapunov v  c¡c t½nh ch§t Gi£ sû f (t) l  h m sè thüc, x¡c ành tr¶n kho£ng −∞. l  mët sè ho°c b¬ng f (tk ) → a f (t) khi th¼ sè Cho d¢y a = lim f (tk ) t → +∞ (a vîi {tk }, tk → +∞ (k = 1, 2, ...). ÷ñc gåi l  k→+∞ t0 < t < ∞ t0 N¸u giîi h¤n ri¶ng cõa h m sè ±∞). câ thº b¬ng ành ngh¾a 1.1. Supremum cõa t§t c£ c¡c giîi h¤n ri¶ng cõa h m sè f (t) khi t → +∞ ÷ñc gåi l  giîi h¤n tr¶n cõa nâ: α = lim f (t). t→+∞ ành ngh¾a 1.2. a) N¸u måi sè d÷ìng d÷ìng T (E) E lîn tòy þ, tçn t¤i sè nguy¶n sao cho: f (t) < −E th¼ ta nâi h m f (t) vîi t ≥ T (E) câ giîi h¤n "¥m væ cüc", k½ hi»u b) N¸u måi sè d÷ìng E lim f (t) = −∞. t→+∞ lîn tòy þ, tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng cho: f (t) > E vîi 4 t ≥ T (E) T (E) sao (tùc l  h m f (t) khæng bà ch°n tr¶n) th¼ quy ÷îc c) N¸u câ mët sè α n o â v  vîi ε>0 f (t) < α + ε tk → +∞ v  tçn t¤i mët d¢y vîi lim f (t) = +∞. t→+∞ T (ε) tòy þ, tçn t¤i sao cho: t ≥ T (E) sao cho lim f (tk ) = α k→+∞ lim f (t) = α. th¼ t→+∞ 1.1.1. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m sè X²t h m sè mô eαt , trong â N¸u α>0 th¼ eαt → +∞ N¸u α=0 th¼ eαt = 1 N¸u α<0 th¼ eαt → 0 khi α l  sè thüc. t → +∞. l  h¬ng sè vîi måi khi t → +∞. Nhªn x²t tr¶n cho th§y, thøa sè eαt . Khi â sè α ÷ñc gåi l  t ≥ t0 . α °c tr÷ng cho c§p t«ng cõa h m ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m eαt. Tø nay v· sau chóng ta ch¿ l m vi»c vîi gån, ta vi¸t t→∞ thay cho t → +∞ v  ∞ Têng qu¡t hìn, ta x²t h m sè gi¡ trà thüc t → +∞, thay cho n¶n º cho ng­n +∞. f (t) x¡c ành trong kho£ng [t0 , ∞), ð ¥y t0 l  mët sè ho°c kþ hi»u −∞. Ta câ thº vi¸t |f (t)| = eα(t).t , 1 trong â α(t) = ln |f (t)| l  h m sè cõa t. Nh÷ vªy, º nghi¶n cùu c§p t t«ng cõa h m |f (t)|, c¦n ph£i x²t c¡c gi¡ trà cõa h m α(t). Tr¶n cì sð n y A. M. Lyapunov ¢ ÷a v o kh¡i ni»m h m sè. 5 ch¿ sè °c tr÷ng cõa mët ành ngh¾a 1.3. (Xem [7], tr. 25) Sè (ho°c c¡c kþ hi»u −∞, ∞ ) x¡c ành bði cæng thùc 1 ln |f (t)| t→∞ t χ[f ] = lim (1.1) ch¿ sè °c tr÷ng Lyapunov (ng­n gån, ch¿ sè °c tr÷ng ho°c ch¿ sè Lyapunov ) cõa h m sè f (t). ÷ñc gåi l  Ch¿ sè °c tr÷ng cõa mët h m sè câ thº húu h¤n ho°c væ h¤n. Sau n y, ta ch¿ x²t c¡c tr÷íng hñp húu h¤n, trø χ[0] = −∞ (vîi quy ÷îc ln 0 = −∞). V½ dö 1.1. p döng cæng thùc (1.1) ta câ 1) χ[c tm ] = 0, (m l  h¬ng sè b§t ký, c 6= 0). Thªt vªy, ta câ 1 ln |c| + m ln |t| ln |c tm | = lim t→∞ t t→∞ t ln |c| ln |t| = lim + m lim = 0 + m.0 = 0. t→∞ t→∞ t t χ[c tm ] = lim 2) χ[eαt ] = α. V¼ 1 αt ln |eαt | = lim ln e = α. t→∞ t t→∞ t χ[eαt ] = lim 3) χ[tt ] = ∞. Do 1 t ln |t| ln |tt | = lim = lim ln |t| = ∞. t→∞ t t→∞ t→∞ t χ[tt ] = lim 4) χ[t−t ] = −∞. T÷ìng tü v½ dö 3) ta câ 1 ln |t−t | = − lim ln |t| = −∞. t→∞ t t→∞ χ[t−t ] = lim 5) 2 χ[et ] = ∞. V¼ 1 t2 . ln e t2 χ[e ] = lim ln |e | = lim = lim t = ∞. t→∞ t t→∞ t→∞ t t2 6 6) χ[e±t sin t ] = 1. Thªt vªy, ta câ 1 t sin t ln |et sin t | = lim ln e = lim sin t = 1. t→∞ t t→∞ t→∞ t χ[et sin t ] = lim T÷ìng tü, χ[e−t sin t ] = lim (− sin t) = 1. t→∞ 7) 1 χ[et cos t ] = 1 v  1 χ[e−t cos t ] = −1. T÷ìng tü v½ dö 6) ta công câ   1 1 t cos 1 t = lim cos ] = lim ln e χ[e = 1. t→∞ t t→∞ t   1 1 1 1 χ[e−t cos t ] = lim ln e−t cos t = lim − cos = −1. t→∞ t t→∞ t t cos 1t 8) sin t χ[ete ] = e. V¼ sin t χ[ete 9) sin t χ[e−te ] = −e−1 . χ[e−te Bê · 1.1. sin t 1 sin t ln |ete | = lim esin t = e. t→∞ t t→∞ ] = lim Do  1 sin t ln |e−te | = lim −esin t = −e−1 . t→∞ t t→∞ ] = lim χ[f ] = α 6= ±∞ ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: i) khi v  ch¿ khi vîi b§t ký ε > 0 hai i·u |f (t)| = 0; t→∞ e(α+ε)t lim (1.2) |f (t)| ii) t→∞ lim (α−ε)t = ∞, tùc l  tçn t¤i d¢y tk → ∞ sao cho e |f (tk )| = ∞. tk →∞ e(α−ε)tk lim Chùng minh. (Xem Lemma 2.1.1, [7], tr. 26 - 27). 7 (1.3) Ngo i ra, n¸u èi vîi mët sè (1.2) ÷ñc thäa m¢n th¼ Nh÷ vªy, n¸u h m α χ[f ] ≤ α; f (t) ε>0 ¯ng thùc cán n¸u (1.3) thäa m¢n th¼ câ ch¿ sè °c tr÷ng s³ t«ng chªm hìn b§t ký h m mô tk → ∞ n o â m  vîi måi e(α+ε)t khi n o â nâ s³ t«ng nhanh hìn h m α 6= ±∞ t → ∞, χ[f ] ≥ α. th¼ h m |f (t)| v  theo mët d¢y e(α−ε)t . Sau ¥y, chóng ta nh­c l¤i mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m sè (xem [7], tr. 26 - 28). Gi£ sû f1 (.), f2 (.), . . . , fn (.) tr¶n kho£ng [t0 , ∞). 1) χ[f ] = χ[|f |]. 2) χ[cf ] = χ[f ], l  c¡c h m sè nhªn gi¡ trà thüc x¡c ành Khi â vîi måi sè thüc c 6= 0. |f1 (t)| ≤ |f2 (t)| vîi måi t ≥ T ≥ t0 th¼ χ[f1 ] ≤ χ[f2 ].  n P 4) χ fi (t) ≤ max χ[fi (t)], v  n¸u vîi 1 ≤ k ≤ n m  i i=1  n P fi (t) = χ[fk (t)]. χ[fk (t)] > χ[fi (t)] vîi måi i 6= k, i = 1, . . . , n th¼ χ i=1 n  n Q P 5) χ fi (t) ≤ χ[fi (t)]. 3) N¸u  i=1 i=1 ành ngh¾a 1.4. (Xem [7], tr. 29) Ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m gåi l  ch¿ sè °c tr÷ng óng n¸u tçn t¤i giîi h¤n húu h¤n 1 ln |f (t)|. t→∞ t χ[f ] = lim N¸u h m f (.) câ ch¿ sè °c tr÷ng óng th¼   1 χ[f ] + χ = 0, f v  χ[f g] = χ[f ] + χ[g], 8 f (t) ÷ñc vîi f (.) v  g(.) l  c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n kho£ng [t0 , ∞) (xem [7], tr. 29). Tø ¥y ta câ χ[eαt .f (t)] = α + χ[f ]. 1.1.2. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè X²t ma trªn h m F (t) = [fij (t)], trong â c¡c ph¦n tû vîi måi fij (t) i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, m ≤ n, l  c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n kho£ng [t0 , ∞). ành ngh¾a 1.5. (Xem [7], tr. 31) Sè (ho°c c¡c kþ hi»u −∞, ∞) x¡c ành bði χ[F ] = max χ[fij ] i,j ÷ñc gåi l  ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn F (t). V½ dö 1.2. X²t ma trªn  F (t) =  2t e e t sin t −t sin t 5 e  . Khi â χ[F ] = max{χ[e2t ], χ[et sin t ], χ[5], χ[e−t sin t ]} = max{2, 1, 0, 1} = 2. Ta nh­c l¤i mët sè t½nh ch§t cõa ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè (xem [7], tr. 31 - 32). 9 1) χ[F ] = χ[F ∗ ], 2) χ[F ] = χ[||F ||]. Ð ¥y, chu©n ||.|| F∗ vîi l  ma trªn li¶n hñp cõa ma trªn cõa mët ma trªn A = [aij ] c§p n×n F. ta câ thº hiºu l  mët trong ba chu©n sau: ||A||I = max i n X |aij |, j=1 n X ||A||II = max j ||A||III = |aij |, i=1 n X !1 2 |aij |2 (Chu©n Euclid). i,j=1 Ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè công câ mët sè t½nh ch§t t÷ìng tü ch¿ sè °c tr÷ng cõa c¡c h m sè. Gi£ sû F1 (t), . . . , Fn (t) l  c¡c ma trªn c§p [t0 , ∞). Khi â  n P χ Fi (t) ≤ max χ[Fi (t)], p×q vîi c¡c ph¦n tû x¡c ành tr¶n kho£ng  1 ≤ k ≤ n m  i=1  n P Fi (t) = χ[Fk (t)]. χ[Fk (t)] > χ[Fi (t)] vîi måi i 6= k, i = 1, . . . , n th¼ χ i=1 n  n Q P 4) χ Fi (t) ≤ χ[Fi (t)]. 3) i i=1 v  n¸u vîi i=1 1.1.3. Phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ẋ = A(t)x, trong â, x(t) ∈ Rn v  vîi måi A(t) ∈ C[t0 ,∞) c¡c ph¦n tû cõa ma trªn A(t) t ≥ t0 , l  ma trªn thüc c§p (1.4) n×n (tùc l  l  c¡c h m sè thüc li¶n töc tr¶n kho£ng 10 [t0 , ∞)). N¸u ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh (1.4) bà ch°n, tùc l  måi ph¦n tû cõa ma trªn A(t) l  c¡c h m bà ch°n tr¶n kho£ng [t0, ∞) hay sup ||A(t)|| ≤ M th¼ nghi»m khæng t¦m th÷íng b§t t ký x(t) cõa h» (1.4) ·u câ ch¿ sè °c tr÷ng bà ch°n, tùc l  ành lþ 1.1. −M ≤ χ[x] ≤ M. Chùng minh. (Xem [7], tr. 33). ành ngh¾a 1.6. Tªp hñp t§t c£ c¡c ch¿ sè °c tr÷ng (kh¡c −∞ v  ∞) cõa c¡c nghi»m cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ÷ñc gåi l  phê cõa h» â. H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh (1.4) vîi ma trªn li¶n töc v  bà ch°n câ n 1, . . . , n thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u nghi»m ëc lªp tuy¸n t½nh (0, 0, . . . , 1)T , måi nghi»m trong â, x(t) FT xi (t) = (xi1 (t), . . . , xin (t))T , i = x10 = (1, 0, . . . , 0)T , . . . , xn0 = l  ma trªn chuyºn và cõa ma trªn F. Khi â cõa h» (1.4) ·u ÷ñc biºu di¹n qua tê hñp tuy¸n t½nh x(t) = n X ci xi (t). i=1 Theo t½nh ch§t 3) cõa ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè ta câ " χ[x(t)] = χ n X # ci xi (t) = max χ[xi (t)]. 1≤i≤n i=1 Do â, phê cõa h» (1.4) bao gçm mët sè húu h¤n c¡c ph¦n tû α1 ≤ α2 ≤ . . . ≤ αm , m ≤ n. Nh÷ vªy, sè ph¦n tû cõa phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p n khæng v÷ñt qu¡ 11 n ph¦n tû. ành ngh¾a 1.7. Phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ¦y õ thu¦n nh§t ÷ñc gåi l  n¸u sè c¡c ch¿ sè °c tr÷ng b¬ng nhau b¬ng sè bëi cõa c¡c sè mô n y. n Hiºn nhi¶n phê ¦y õ chùa ph¦n tû. 1.2. Vectì °c tr÷ng v  c¡c t½nh ch§t 1.2.1. Vectì °c tr÷ng cõa h m sè Ta x²t h m sè x(t) : [t0 , ∞) → R. Gi£ sû tçn t¤i mët sè húu h¤n α0 sao cho ln |x(t)| = α0 . t→∞ t lim Khi â, theo ành ngh¾a cõa lim, ln |x(t)| < α0 + ε, t Suy ra |x(t)| < e(α0 +ε)t . vîi måi ε > 0, vîi måi tçn t¤i sè T (ε) sao cho t > T (ε) ≥ t0 . Gi£ sû tçn t¤i giîi h¤n tr¶n ln{|x(t)|e−α0 t } lim = α1 , t→∞ ln t vîi α1 húu h¤n. Khi â, |x(t)| < eα0 t tα1 +ε , vîi ε > 0. Mët c¡ch têng qu¡t, ta gi£ sû tçn t¤i mët sè húu h¤n αm sao cho ln{|x(t)|e−α0 t t−α1 (ln t)−α2 . . . (lnm−2 t)−αm−1 } lim = αm , t→∞ lnm t trong â lni t = ln(lni−1 t), 12 i = 2, 3, . . . , m. Khi â |x(t)| < eα0 t tα1 . . . (lnm−2 t)αm−1 (lnm−1 t)αm +ε , Vîi c¡c vîi ε > 0. αi , i = 0, 1, . . . , m ¢ ÷ñc x¡c ành nh÷ tr¶n, ta câ ành ngh¾a sau. ành ngh¾a 1.8. (Xem [3], tr. 7) Vectì ÷ñc gåi l  h m sè α(m) (x(t)) = (α0 , α1 , . . . , αm ) vectì °c tr÷ng c§p m (sè mô vectì °c tr÷ng c§p m) cõa x(t). Khi m = 0 th¼ α(0)(x(t)) = α0 ch½nh l  ch¿ sè °c tr÷ng Lyapunov cõa h m x(t). Nhªn x²t 1.1. V½ dö 1.3. X²t h m sè α0 α1 α2 αi x(t) = tq , vîi q l  h¬ng sè b§t ký. Ta câ ln |tq | = lim = 0, t→∞ t ln{|tq |e−0.t } q ln |t| = lim = lim = q, t→∞ t→∞ ln t ln t ln{|tq |e−0.t t−q } ln 1 = lim = lim = 0, t→∞ t→∞ ln2 t ln2 t   i−2 Q ln |tq |e−0.t t−q (lnk t)−αk+1 k=1 = lim = 0, i = 3, . . . , m. t→∞ lni t Do â, h m x(t) = tq câ vectì °c tr÷ng c§p m l  α(m) (tq ) = (0, q, 0, . . . , 0). T÷ìng tü, ta công câ vectì °c tr÷ng c§p m cõa h m sè x(t) = eαt α(m) (eαt ) = (α, 0, 0, . . . , 0). 13 l  Trong γk = 0 Rm+1 , vîi x²t tªp 0≤k 0; γj+1 , . . . , γm v  sè thüc d÷ìng δ trong â l  b§t ký. n o â, ta câ δγ (m) = δ(γ0 , γ1 , . . . , γm ) = (δγ0 , δγ1 , . . . , δγm ) v  δγk = 0 0 ≤ k < j; δγj > 0; δγj+1 , . . . , δγm vîi b§t ký. Suy ra K l  mët h¼nh nân gçm c¡c ph¦n tû câ th nh ph¦n ¦u ti¶n kh¡c khæng l  Rm+1 d÷ìng. Khi â ph¦n) theo nân K, trð th nh mët khæng gian ÷ñc s­p thù tü (to n ngh¾a l  vîi måi x, y ∈ Rm+1 th¼ x câ quan h» thù tü vîi y theo nân K , k½ hi»u x ≺ y, khi v  ch¿ khi y − x ∈ K (tùc l  tçn t¤i i≤m sao cho yj − xj = 0, vîi j = 0, 1, . . . , i − 1 Thù tü tr¶n cán ÷ñc gåi l  X²t tªp {α(m) } (m) α1 Kþ hi»u θm ÷ñc s­p thù tü theo nân (m) (m) α1 (m)  α2 câ ngh¾a l  l  ph¦n tû khæng cõa Vectì °c tr÷ng c§p m yi − xi > 0). thù tü tø iºn. = (α01 , α11 , . . . , αm1 ), α2 Khi â, kþ hi»u v  K. Cho = (α02 , α12 , . . . , αm2 ). (m) α1 (m) ≺ α2 ho°c (m) α1 (m) = α2 . Rm . cõa h m sè câ c¡c t½nh ch§t t÷ìng tü ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m sè. Sau ¥y, chóng ta nh­c l¤i mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa vectì °c tr÷ng c§p Gi£ sû m èi vîi h m sè (xem [3], tr. 8 - 17). x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) l  c¡c h m sè nhªn gi¡ trà thüc x¡c ành tr¶n kho£ng [t0 , ∞). Khi â 1) α(m) (|x(t)|) = α(m) (x(t)). 2) α(m) (c x(t)) = α(m) (x(t)), vîi måi sè thüc 14 c 6= 0.
- Xem thêm -