BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2
PHM THÀ HOA
CH SÈ LYAPUNOV V ÙNG DÖNG
LUN VN THC S TON HÅC
H Nëi-2015
BË GIO DÖC V O TO
TR×ÍNG I HÅC S× PHM H NËI 2
PHM THÀ HOA
CH SÈ LYAPUNOV V ÙNG DÖNG
LUN VN THC S TON HÅC
Chuy¶n ng nh:
M¢ sè:
To¡n gi£i t½ch
60 46 01 02
Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc:
PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng
H Nëi-2015
Líi c£m ìn
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc nh§t tîi PGS. TS.
T¤ Duy Ph÷ñng, th¦y ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, ành h÷îng chån · t i v
truy·n ¤t ki¸n thùc º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y.
çng thíi tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi Ban gi¡m
hi»u tr÷íng Trung håc phê thæng Tø Sìn - Bc Ninh, còng t§t c£ c¡c
çng nghi»p nìi tæi ang cæng t¡c, ¢ gióp ï, t¤o måi i·u ki»n thuªn
lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh gi£ng d¤y v ho n th nh luªn v«n.
Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng
¤i håc S÷ ph¤m H Nëi 2, °c bi»t c¡c th¦y cæ gi¡o khoa To¡n, pháng
Sau ¤i håc ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu.
Qua ¥y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi c¡c anh chà,
b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, gióp ï cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc
tªp v ho n th nh luªn v«n.
Nh¥n dàp n y tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng ng÷íi th¥n trong
gia ¼nh ¢ luæn luæn quan t¥m, kh½ch l» v ëng vi¶n tæi trong suèt qu¡
tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu.
H Nëi, th¡ng 12 n«m 2014
T¡c gi£
Ph¤m Thà Hoa
Líi cam oan
Tæi xin cam oan, d÷îi sü h÷îng d¨n cõa PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng,
luªn v«n Th¤c s¾ thuëc chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i:
Ch¿
sè Lyapunov v ùng döng ÷ñc ho n th nh bði nhªn thùc cõa b£n
th¥n t¡c gi£.
Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸ thøa
nhúng th nh tüu cõa c¡c nh khoa håc vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn.
H Nëi, th¡ng 12 n«m 2014
T¡c gi£
Ph¤m Thà Hoa
Möc löc
Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Ch÷ìng 1. Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov v vectì °c tr÷ng
4
1.1. Ch¿ sè Lyapunov v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.1.1. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.2. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3. Phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh . . . . . . .
10
1.2. Vectì °c tr÷ng v c¡c t½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.1. Vectì °c tr÷ng cõa h m sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2.2. Vectì °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.3. Vectì °c tr÷ng cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh
17
Ch÷ìng 2. Ùng döng cõa ch¿ sè Lyapunov . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1. Ph÷ìng ph¡p thù nh§t Lyapunov nghi¶n cùu ên ành nghi»m h»
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.1. Kh¡i ni»m ên ành chuyºn ëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.2. Ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh khæng thu¦n
nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.1.3. Ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh thu¦n nh§t
32
2.1.4. Ên ành cõa h» tuy¸n t½nh vîi h» sè h¬ng . . . . . . . . . . . . . . .
i
36
2.2. Ph÷ìng ph¡p ch¿ sè Lyapunov trong nghi¶n cùu ên ành nghi»m
h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.2.1. Mët sè °c thò cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè . . . . .
42
2.2.2. Ên ành cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh vîi h»
sè h¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.3. Ph÷ìng ph¡p vectì °c tr÷ng trong nghi¶n cùu ên ành nghi»m
h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
ii
Mð ¦u
1. L½ do chån · t i
Nh¬m nghi¶n cùu t½nh ch§t ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi
ch¿ sè cõa mët h m sè
ho°c cõa mët ma trªn h m (sau n y ÷ñc gåi l ch¿ sè Lyapunov, xem
[2], [7]). Æng ¢ sû döng kh¡i ni»m ch¿ sè °c tr÷ng º ÷a ra c¡c ti¶u
ph¥n, A. M. Lyapunov ¢ ÷a ra kh¡i ni»m
chu©n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh. Kh¡i
ni»m ch¿ sè Lyapunov ÷ñc Ho ng Húu ÷íng [3] têng qu¡t hâa th nh
kh¡i ni»m
vectì °c tr÷ng
v ¡p döng nghi¶n cùu ên ành nghi»m cõa
h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng trong tr÷íng hñp tîi h¤n, tùc l khi ch¿
sè Lyapunov b¬ng 0. Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov công ¢ ÷ñc Ho ng
Nam [6] ¡p döng nghi¶n cùu ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi
ph¥n ¤i sè. é V«n Chung [1], Nguy¹n Thà Khuy¶n v T¤ Duy Ph÷ñng
[4], [5] ¢ mð rëng kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng cõa Ho ng Húu ÷íng cho
h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh [4], [5] v h» ph÷ìng tr¼nh vi
ph¥n ¤i sè vîi h» sè ¦u ch½nh th÷íng [1]. Nhi·u v§n · thíi sü cõa lþ
thuy¸t ch¿ sè Lyapunov công ang ÷ñc nghi¶n cùu: T½nh ên ành cõa
ch¿ sè Lyapunov cõa nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, t½nh i·u khiºn
÷ñc cõa ch¿ sè Lyapunov trong h» tuy¸n t½nh câ i·u khiºn, t½nh g¦n
óng ch¿ sè Lyapunov, . . . .
Vîi mong muèn hiºu bi¸t s¥u sc hìn v· ch¿ sè Lyapunov v ùng
döng cõa nâ trong b i to¡n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi
1
ph¥n, ÷ñc sü çng þ h÷îng d¨n cõa PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng, tæi
chån · t i:
Ch¿ sè Lyapunov v ùng döng
º thüc hi»n luªn v«n
th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch.
2. Möc ½ch nghi¶n cùu
Tr¼nh b y lþ thuy¸t ch¿ sè Lyapunov, kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng v
ùng döng cõa chóng trong nghi¶n cùu b i to¡n ên ành nghi»m cõa h»
ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh v h» ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh.
3. Nhi»m vö nghi¶n cùu
- T¼m hiºu v· ch¿ sè Lyapunov v vectì °c tr÷ng.
- Nghi¶n cùu ùng döng cõa ch¿ sè trong nghi¶n cùu b i to¡n ên ành
nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh v h» ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh.
4. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu
- èi t÷ñng nghi¶n cùu: Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov, kh¡i ni»m vectì
°c tr÷ng, ùng döng cõa chóng trong b i to¡n ên ành nghi»m h» ph÷ìng
tr¼nh vi ph¥n.
- Ph¤m vi nghi¶n cùu: C¡c t i li»u, c¡c s¡ch b¡o li¶n quan ¸n ch¿ sè
Lyapunov v kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng.
5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
- Thu thªp t i li»u v c¡c b i b¡o v· ch¿ sè Lyapunov.
2
- Têng hñp, ph¥n t½ch, h» thèng c¡c ki¸n thùc v· ch¿ sè Lyapunov,
kh¡i ni»m vectì °c tr÷ng v ùng döng cõa chóng trong nghi¶n cùu b i
to¡n ên ành nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng tuy¸n t½nh v
h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¤i sè tuy¸n t½nh.
6. âng gâp mîi cõa luªn v«n
Hy vång luªn v«n l mët b£n têng quan v· ch¿ sè Lyapunov, kh¡i
ni»m vectì °c tr÷ng v ùng döng cõa chóng trong b i to¡n ên ành
nghi»m h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n.
3
Ch֓ng 1
Kh¡i ni»m ch¿ sè Lyapunov v vectì
°c tr÷ng
1.1. Ch¿ sè Lyapunov v c¡c t½nh ch§t
Gi£ sû
f (t)
l h m sè thüc, x¡c ành tr¶n kho£ng
−∞.
l mët sè ho°c b¬ng
f (tk ) → a
f (t)
khi
th¼ sè
Cho d¢y
a = lim f (tk )
t → +∞ (a
vîi
{tk }, tk → +∞ (k = 1, 2, ...).
÷ñc gåi l
k→+∞
t0 < t < ∞
t0
N¸u
giîi h¤n ri¶ng cõa h m sè
±∞).
câ thº b¬ng
ành ngh¾a 1.1. Supremum cõa t§t c£ c¡c giîi h¤n ri¶ng cõa h m sè
f (t)
khi
t → +∞
÷ñc gåi l
giîi h¤n tr¶n cõa nâ:
α = lim f (t).
t→+∞
ành ngh¾a 1.2. a) N¸u måi sè d÷ìng
d֓ng
T (E)
E
lîn tòy þ, tçn t¤i sè nguy¶n
sao cho:
f (t) < −E
th¼ ta nâi h m
f (t)
vîi
t ≥ T (E)
câ giîi h¤n "¥m væ cüc", k½ hi»u
b) N¸u måi sè d÷ìng
E
lim f (t) = −∞.
t→+∞
lîn tòy þ, tçn t¤i sè nguy¶n d÷ìng
cho:
f (t) > E
vîi
4
t ≥ T (E)
T (E)
sao
(tùc l h m
f (t)
khæng bà ch°n tr¶n) th¼ quy ÷îc
c) N¸u câ mët sè
α
n o â v vîi
ε>0
f (t) < α + ε
tk → +∞
v tçn t¤i mët d¢y
vîi
lim f (t) = +∞.
t→+∞
T (ε)
tòy þ, tçn t¤i
sao cho:
t ≥ T (E)
sao cho
lim f (tk ) = α
k→+∞
lim f (t) = α.
th¼
t→+∞
1.1.1. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m sè
X²t h m sè mô
eαt ,
trong â
N¸u
α>0
th¼
eαt → +∞
N¸u
α=0
th¼
eαt = 1
N¸u
α<0
th¼
eαt → 0
khi
α
l sè thüc.
t → +∞.
l h¬ng sè vîi måi
khi
t → +∞.
Nhªn x²t tr¶n cho th§y, thøa sè
eαt .
Khi â sè
α
÷ñc gåi l
t ≥ t0 .
α
°c tr÷ng cho c§p t«ng cõa h m
ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m eαt.
Tø nay v· sau chóng ta ch¿ l m vi»c vîi
gån, ta vi¸t
t→∞
thay cho
t → +∞
v
∞
Têng qu¡t hìn, ta x²t h m sè gi¡ trà thüc
t → +∞,
thay cho
n¶n º cho ngn
+∞.
f (t) x¡c ành trong kho£ng
[t0 , ∞), ð ¥y t0 l mët sè ho°c kþ hi»u −∞. Ta câ thº vi¸t |f (t)| = eα(t).t ,
1
trong â α(t) =
ln |f (t)| l h m sè cõa t. Nh÷ vªy, º nghi¶n cùu c§p
t
t«ng cõa h m |f (t)|, c¦n ph£i x²t c¡c gi¡ trà cõa h m α(t). Tr¶n cì sð
n y A. M. Lyapunov ¢ ÷a v o kh¡i ni»m
h m sè.
5
ch¿ sè °c tr÷ng
cõa mët
ành ngh¾a 1.3. (Xem [7], tr. 25) Sè (ho°c c¡c kþ hi»u
−∞, ∞
) x¡c
ành bði cæng thùc
1
ln |f (t)|
t→∞ t
χ[f ] = lim
(1.1)
ch¿ sè °c tr÷ng Lyapunov (ngn gån, ch¿ sè °c tr÷ng ho°c
ch¿ sè Lyapunov ) cõa h m sè f (t).
÷ñc gåi l
Ch¿ sè °c tr÷ng cõa mët h m sè câ thº húu h¤n ho°c væ h¤n. Sau
n y, ta ch¿ x²t c¡c tr÷íng hñp húu h¤n, trø
χ[0] = −∞
(vîi quy ÷îc
ln 0 = −∞).
V½ dö 1.1. p döng cæng thùc (1.1) ta câ
1)
χ[c tm ] = 0, (m
l h¬ng sè b§t ký,
c 6= 0).
Thªt vªy, ta câ
1
ln |c| + m ln |t|
ln |c tm | = lim
t→∞ t
t→∞
t
ln |c|
ln |t|
= lim
+ m lim
= 0 + m.0 = 0.
t→∞
t→∞ t
t
χ[c tm ] = lim
2)
χ[eαt ] = α.
V¼
1
αt
ln |eαt | = lim
ln e = α.
t→∞ t
t→∞ t
χ[eαt ] = lim
3)
χ[tt ] = ∞.
Do
1
t ln |t|
ln |tt | = lim
= lim ln |t| = ∞.
t→∞ t
t→∞
t→∞
t
χ[tt ] = lim
4)
χ[t−t ] = −∞.
T÷ìng tü v½ dö 3) ta câ
1
ln |t−t | = − lim ln |t| = −∞.
t→∞ t
t→∞
χ[t−t ] = lim
5)
2
χ[et ] = ∞.
V¼
1
t2 . ln e
t2
χ[e ] = lim ln |e | = lim
= lim t = ∞.
t→∞ t
t→∞
t→∞
t
t2
6
6)
χ[e±t sin t ] = 1.
Thªt vªy, ta câ
1
t sin t
ln |et sin t | = lim
ln e = lim sin t = 1.
t→∞ t
t→∞
t→∞
t
χ[et sin t ] = lim
T÷ìng tü,
χ[e−t sin t ] = lim (− sin t) = 1.
t→∞
7)
1
χ[et cos t ] = 1
v
1
χ[e−t cos t ] = −1.
T÷ìng tü v½ dö 6) ta công câ
1
1 t cos 1
t = lim
cos
] = lim ln e
χ[e
= 1.
t→∞ t
t→∞
t
1
1
1
1
χ[e−t cos t ] = lim ln e−t cos t = lim − cos
= −1.
t→∞ t
t→∞
t
t cos 1t
8)
sin t
χ[ete
] = e.
V¼
sin t
χ[ete
9)
sin t
χ[e−te
] = −e−1 .
χ[e−te
Bê · 1.1.
sin t
1
sin t
ln |ete | = lim esin t = e.
t→∞ t
t→∞
] = lim
Do
1
sin t
ln |e−te | = lim −esin t = −e−1 .
t→∞ t
t→∞
] = lim
χ[f ] = α 6= ±∞
ki»n sau ÷ñc thäa m¢n:
i)
khi v ch¿ khi vîi b§t ký ε > 0 hai i·u
|f (t)|
= 0;
t→∞ e(α+ε)t
lim
(1.2)
|f (t)|
ii) t→∞
lim (α−ε)t = ∞, tùc l tçn t¤i d¢y tk → ∞ sao cho
e
|f (tk )|
= ∞.
tk →∞ e(α−ε)tk
lim
Chùng minh. (Xem Lemma 2.1.1, [7], tr. 26 - 27).
7
(1.3)
Ngo i ra, n¸u èi vîi mët sè
(1.2) ÷ñc thäa m¢n th¼
Nh÷ vªy, n¸u h m
α
χ[f ] ≤ α;
f (t)
ε>0
¯ng thùc
cán n¸u (1.3) thäa m¢n th¼
câ ch¿ sè °c tr÷ng
s³ t«ng chªm hìn b§t ký h m mô
tk → ∞
n o â m vîi måi
e(α+ε)t
khi
n o â nâ s³ t«ng nhanh hìn h m
α 6= ±∞
t → ∞,
χ[f ] ≥ α.
th¼ h m
|f (t)|
v theo mët d¢y
e(α−ε)t .
Sau ¥y, chóng ta nhc l¤i mët sè t½nh ch§t cì b£n cõa ch¿ sè °c
tr÷ng cõa h m sè (xem [7], tr. 26 - 28).
Gi£ sû
f1 (.), f2 (.), . . . , fn (.)
tr¶n kho£ng
[t0 , ∞).
1)
χ[f ] = χ[|f |].
2)
χ[cf ] = χ[f ],
l c¡c h m sè nhªn gi¡ trà thüc x¡c ành
Khi â
vîi måi sè thüc
c 6= 0.
|f1 (t)| ≤ |f2 (t)| vîi måi t ≥ T ≥ t0 th¼ χ[f1 ] ≤ χ[f2 ].
n
P
4) χ
fi (t) ≤ max χ[fi (t)], v n¸u vîi 1 ≤ k ≤ n m
i
i=1
n
P
fi (t) = χ[fk (t)].
χ[fk (t)] > χ[fi (t)] vîi måi i 6= k, i = 1, . . . , n th¼ χ
i=1
n
n
Q
P
5) χ
fi (t) ≤
χ[fi (t)].
3) N¸u
i=1
i=1
ành ngh¾a 1.4. (Xem [7], tr. 29) Ch¿ sè °c tr÷ng cõa h m
gåi l
ch¿ sè °c tr÷ng óng n¸u tçn t¤i giîi h¤n húu h¤n
1
ln |f (t)|.
t→∞ t
χ[f ] = lim
N¸u h m
f (.)
câ ch¿ sè °c tr÷ng óng th¼
1
χ[f ] + χ
= 0,
f
v
χ[f g] = χ[f ] + χ[g],
8
f (t)
֖c
vîi
f (.)
v
g(.)
l c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n kho£ng
[t0 , ∞)
(xem
[7], tr. 29).
Tø ¥y ta câ
χ[eαt .f (t)] = α + χ[f ].
1.1.2. Ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè
X²t ma trªn h m
F (t) = [fij (t)],
trong â c¡c ph¦n tû
vîi måi
fij (t)
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m, m ≤ n,
l c¡c h m sè thüc x¡c ành tr¶n kho£ng
[t0 , ∞).
ành ngh¾a 1.5. (Xem [7], tr. 31) Sè (ho°c c¡c kþ hi»u
−∞, ∞)
x¡c
ành bði
χ[F ] = max χ[fij ]
i,j
÷ñc gåi l
ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn F (t).
V½ dö 1.2. X²t ma trªn
F (t) =
2t
e
e
t sin t
−t sin t
5 e
.
Khi â
χ[F ] = max{χ[e2t ], χ[et sin t ], χ[5], χ[e−t sin t ]} = max{2, 1, 0, 1} = 2.
Ta nhc l¤i mët sè t½nh ch§t cõa ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c
h m sè (xem [7], tr. 31 - 32).
9
1)
χ[F ] = χ[F ∗ ],
2)
χ[F ] = χ[||F ||].
Ð ¥y, chu©n
||.||
F∗
vîi
l ma trªn li¶n hñp cõa ma trªn
cõa mët ma trªn
A = [aij ]
c§p
n×n
F.
ta câ thº hiºu
l mët trong ba chu©n sau:
||A||I = max
i
n
X
|aij |,
j=1
n
X
||A||II = max
j
||A||III =
|aij |,
i=1
n
X
!1
2
|aij |2
(Chu©n Euclid).
i,j=1
Ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè công câ mët sè t½nh ch§t
t÷ìng tü ch¿ sè °c tr÷ng cõa c¡c h m sè.
Gi£ sû
F1 (t), . . . , Fn (t)
l c¡c ma trªn c§p
[t0 , ∞). Khi â
n
P
χ
Fi (t) ≤ max χ[Fi (t)],
p×q
vîi c¡c ph¦n tû x¡c
ành tr¶n kho£ng
1 ≤ k ≤ n m
i=1
n
P
Fi (t) = χ[Fk (t)].
χ[Fk (t)] > χ[Fi (t)] vîi måi i 6= k, i = 1, . . . , n th¼ χ
i=1
n
n
Q
P
4) χ
Fi (t) ≤
χ[Fi (t)].
3)
i
i=1
v n¸u vîi
i=1
1.1.3. Phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh
X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh
ẋ = A(t)x,
trong â,
x(t) ∈ Rn
v
vîi måi
A(t) ∈ C[t0 ,∞)
c¡c ph¦n tû cõa ma trªn
A(t)
t ≥ t0 ,
l ma trªn thüc c§p
(1.4)
n×n
(tùc l
l c¡c h m sè thüc li¶n töc tr¶n kho£ng
10
[t0 , ∞)).
N¸u ma trªn cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh (1.4)
bà ch°n, tùc l måi ph¦n tû cõa ma trªn A(t) l c¡c h m bà ch°n tr¶n
kho£ng [t0, ∞) hay sup ||A(t)|| ≤ M th¼ nghi»m khæng t¦m th÷íng b§t
t
ký x(t) cõa h» (1.4) ·u câ ch¿ sè °c tr÷ng bà ch°n, tùc l
ành lþ 1.1.
−M ≤ χ[x] ≤ M.
Chùng minh. (Xem [7], tr. 33).
ành ngh¾a 1.6. Tªp hñp t§t c£ c¡c ch¿ sè °c tr÷ng (kh¡c
−∞
v
∞)
cõa c¡c nghi»m cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh ÷ñc gåi l
phê
cõa h» â.
H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh (1.4) vîi ma trªn li¶n töc v bà
ch°n câ
n
1, . . . , n
thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u
nghi»m ëc lªp tuy¸n t½nh
(0, 0, . . . , 1)T ,
måi nghi»m
trong â,
x(t)
FT
xi (t) = (xi1 (t), . . . , xin (t))T , i =
x10 = (1, 0, . . . , 0)T , . . . , xn0 =
l ma trªn chuyºn và cõa ma trªn
F.
Khi â
cõa h» (1.4) ·u ÷ñc biºu di¹n qua tê hñp tuy¸n t½nh
x(t) =
n
X
ci xi (t).
i=1
Theo t½nh ch§t 3) cõa ch¿ sè °c tr÷ng cõa ma trªn c¡c h m sè ta câ
"
χ[x(t)] = χ
n
X
#
ci xi (t) = max χ[xi (t)].
1≤i≤n
i=1
Do â, phê cõa h» (1.4) bao gçm mët sè húu h¤n c¡c ph¦n tû
α1 ≤ α2 ≤
. . . ≤ αm , m ≤ n. Nh÷ vªy, sè ph¦n tû cõa phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh
vi ph¥n tuy¸n t½nh c§p
n
khæng v÷ñt qu¡
11
n
ph¦n tû.
ành ngh¾a 1.7. Phê cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n tuy¸n t½nh
¦y õ
thu¦n nh§t ÷ñc gåi l
n¸u sè c¡c ch¿ sè °c tr÷ng b¬ng nhau
b¬ng sè bëi cõa c¡c sè mô n y.
n
Hiºn nhi¶n phê ¦y õ chùa
ph¦n tû.
1.2. Vectì °c tr÷ng v c¡c t½nh ch§t
1.2.1. Vectì °c tr÷ng cõa h m sè
Ta x²t h m sè
x(t) : [t0 , ∞) → R.
Gi£ sû tçn t¤i mët sè húu h¤n
α0
sao cho
ln |x(t)|
= α0 .
t→∞
t
lim
Khi â, theo ành ngh¾a cõa
lim,
ln |x(t)|
< α0 + ε,
t
Suy ra
|x(t)| < e(α0 +ε)t .
vîi måi
ε > 0,
vîi måi
tçn t¤i sè
T (ε)
sao cho
t > T (ε) ≥ t0 .
Gi£ sû tçn t¤i giîi h¤n tr¶n
ln{|x(t)|e−α0 t }
lim
= α1 ,
t→∞
ln t
vîi
α1
húu h¤n. Khi â,
|x(t)| < eα0 t tα1 +ε ,
vîi
ε > 0.
Mët c¡ch têng qu¡t, ta gi£ sû tçn t¤i mët sè húu h¤n
αm
sao cho
ln{|x(t)|e−α0 t t−α1 (ln t)−α2 . . . (lnm−2 t)−αm−1 }
lim
= αm ,
t→∞
lnm t
trong â
lni t = ln(lni−1 t),
12
i = 2, 3, . . . , m.
Khi â
|x(t)| < eα0 t tα1 . . . (lnm−2 t)αm−1 (lnm−1 t)αm +ε ,
Vîi c¡c
vîi
ε > 0.
αi , i = 0, 1, . . . , m ¢ ÷ñc x¡c ành nh÷ tr¶n, ta câ ành ngh¾a
sau.
ành ngh¾a 1.8. (Xem [3], tr. 7) Vectì
÷ñc gåi l
h m sè
α(m) (x(t)) = (α0 , α1 , . . . , αm )
vectì °c tr÷ng c§p m (sè mô vectì °c tr÷ng c§p m) cõa
x(t).
Khi m = 0 th¼ α(0)(x(t)) = α0 ch½nh l ch¿ sè °c tr÷ng
Lyapunov cõa h m x(t).
Nhªn x²t 1.1.
V½ dö 1.3. X²t h m sè
α0
α1
α2
αi
x(t) = tq ,
vîi
q
l h¬ng sè b§t ký. Ta câ
ln |tq |
= lim
= 0,
t→∞
t
ln{|tq |e−0.t }
q ln |t|
= lim
= lim
= q,
t→∞
t→∞ ln t
ln t
ln{|tq |e−0.t t−q }
ln 1
= lim
= lim
= 0,
t→∞
t→∞ ln2 t
ln2 t
i−2
Q
ln |tq |e−0.t t−q (lnk t)−αk+1
k=1
= lim
= 0, i = 3, . . . , m.
t→∞
lni t
Do â, h m
x(t) = tq
câ vectì °c tr÷ng c§p
m
l
α(m) (tq ) = (0, q, 0, . . . , 0).
T÷ìng tü, ta công câ vectì °c tr÷ng c§p
m cõa h m sè x(t) = eαt
α(m) (eαt ) = (α, 0, 0, . . . , 0).
13
l
Trong
γk = 0
Rm+1 ,
vîi
x²t tªp
0≤k 0; γj+1 , . . . , γm
v sè thüc d÷ìng
δ
trong â
l b§t ký.
n o â, ta câ
δγ (m) = δ(γ0 , γ1 , . . . , γm ) = (δγ0 , δγ1 , . . . , δγm )
v
δγk = 0
0 ≤ k < j; δγj > 0; δγj+1 , . . . , δγm
vîi
b§t ký. Suy ra
K
l
mët h¼nh nân gçm c¡c ph¦n tû câ th nh ph¦n ¦u ti¶n kh¡c khæng l
Rm+1
d÷ìng. Khi â
ph¦n) theo nân
K,
trð th nh mët khæng gian ÷ñc sp thù tü (to n
ngh¾a l vîi måi
x, y ∈ Rm+1
th¼
x
câ quan h» thù tü
vîi y theo nân K , k½ hi»u x ≺ y, khi v ch¿ khi y − x ∈ K (tùc l tçn t¤i
i≤m
sao cho
yj − xj = 0,
vîi
j = 0, 1, . . . , i − 1
Thù tü tr¶n cán ÷ñc gåi l
X²t tªp
{α(m) }
(m)
α1
Kþ hi»u
θm
÷ñc sp thù tü theo nân
(m)
(m)
α1
(m)
α2
câ ngh¾a l
l ph¦n tû khæng cõa
Vectì °c tr÷ng c§p
m
yi − xi > 0).
thù tü tø iºn.
= (α01 , α11 , . . . , αm1 ), α2
Khi â, kþ hi»u
v
K.
Cho
= (α02 , α12 , . . . , αm2 ).
(m)
α1
(m)
≺ α2
ho°c
(m)
α1
(m)
= α2
.
Rm .
cõa h m sè câ c¡c t½nh ch§t t÷ìng tü ch¿ sè
°c tr÷ng cõa h m sè. Sau ¥y, chóng ta nhc l¤i mët sè t½nh ch§t cì
b£n cõa vectì °c tr÷ng c§p
Gi£ sû
m
èi vîi h m sè (xem [3], tr. 8 - 17).
x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t) l c¡c h m sè nhªn gi¡ trà thüc x¡c ành
tr¶n kho£ng
[t0 , ∞).
Khi â
1)
α(m) (|x(t)|) = α(m) (x(t)).
2)
α(m) (c x(t)) = α(m) (x(t)),
vîi måi sè thüc
14
c 6= 0.
- Xem thêm -