Chỉ số Green trong nửa nhóm

  • Số trang: 36 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 32 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH TUẤN CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Nghệ An-2014 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THANH TUẤN CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. LÊ QUỐC HÁN Nghệ An – 2014 3 MỤC LỤC Trang I. Mở đầu: 2 II. Nội dung: 5 Chương 1. Các quan hệ Green trên nửa nhóm: 5 1.1. Các quan hệ Green trên nửa nhóm 5 1.2. D – lớp chính quy 9 1.3. Nhóm Schutzenberger của H – lớp 14 Chương 2. Chỉ số Green trong nửa nhóm 19 2.1. Chỉ số Green trong nửa nhóm 19 2.2. Các Bổ đề chép lại 21 2.3. Phần tử sinh của nửa nhóm con 25 2.4. Phần tử sinh của các nửa nhóm Schutzenberger 29 III. Kết luận 33 IV. Tài liệu tham khảo 34 4 MỞ ĐẦU Năm 1951, trong bài báo On the structure of semigroups đăng trên tạp chí Ann. Math. số 54, J. A. Green đã đưa ra một số quan hệ tương đương dựa trên một nửa nhóm mà chúng đã trở thành những công cụ được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu cấu trúc của các nửa nhóm. Các quan hệ Green phân hoạch các phần tử của một nửa nhóm theo các iđêan chính mà chúng sinh ra, chẳng hạn hai phần tử x và y được gọi là có quan hệ R với nhau nếu chúng sinh ra cùng một iđêan chính phải, nghĩa là xS 1  yS 1 . Sau đó, năm 1962, A. D. Wallace nhận xét rằng mỗi quan hệ Green trên nửa nhóm S cảm sinh một quan hệ Green trên nửa nhóm con T của S mà ông gọi là quan hệ Green tương đối. Chẳng hạn hai phần tử x, y �S có quan hệ R tương đối với T nếu các iđêan chính phải của T tương đối trùng nhau nghĩa là xT 1  yT 1 . Các khái niệm A. D. Wallace đưa ra được áp dụng rộng rãi trong lý thuyết nửa nhóm, đặc biệt là trong lý thuyết nửa nhóm tôpô. Mặt khác, khái niệm lớp ghép dẫn đến khái niệm chỉ số. Khái niệm chỉ số là một khái niệm cơ bản trong lý thuyết nhóm. Việc mở rộng khái niệm chỉ số của nhóm con trong nhóm sang lý thuyết nửa nhóm đã gặp khá nhiều khó khăn. Năm 1978, A. Jura quan niệm đơn giản mỗi phần tử trong phần bù của nửa nhóm như một lớp ghép gồm một phần tử và khái niệm chỉ số của nửa nhóm con T trong nửa nhóm S là số phần tử trong phần bù S\T. Chỉ số này được gọi là chỉ số Ress. Mặc dù chỉ số Ress cung cấp nhiều thông tin đối với một số lớp nửa nhóm, nhưng trong một số lớp nửa nhóm khác, chỉ số Ress lại không nói lên được điều gì, chẳng hạn trong lớp nhóm vô hạn (vì một nhóm vô hạn không có một nhóm con thực sự nào có chỉ số Ress hữu hạn). 5 Trong bài báo Green index in semigroup: generatore, presentation and automatic structures, đăng trên tạp chí Semigroup Forum năm 2012, các tác giả Alan J. Cain, Robert Gray, Nick Ruskuc đã đưa ra khái niệm chỉ số Green trong các nửa nhóm và khảo sát các tính chất đặc trưng của chúng. Luận văn chúng tôi dựa trên bài báo đó để bước đầu tìm hiểu về chỉ số Green trong nửa nhóm Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương Chương 1. Các quan hệ Green trong nửa nhóm. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm các quan hệ Green trong nửa nhóm, D - lớp chính quy và nhóm Schutzenberger của H - lớp để làm cơ sở cho việc trình bày chương sau. Chương 2. Chỉ số Green trong nửa nhóm. Đây là nội dung chính của luận văn. Trước hết chúng tôi trình khái niệm chỉ số Green trong nửa nhóm và các bổ đề chép lại. Từ đó xác định các phần tử sinh đối với nửa nhóm con và các phần tử sinh đối với các nhóm Schutzenberger. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy PGS.TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Lê Quốc Hán, thầy đã đặt ra đề tài, chỉ dẫn đề cương nghiên cứu và đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi trong quá trình công tác và học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Vinh đã giảng dạy và hướng dẫn giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tôi xin chân thành cảm ơn 6 bạn bè đồng nghiệp và gia đình, đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn ! Vinh, tháng 09 năm 2014 Tác giả 7 Chương 1. CÁC QUAN HỆ GREEN TRÊN NỬA NHÓM 1.1. CÁC QUAN HỆ GREEN TRÊN NỬA NHÓM 1.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Ta định nghĩa các quan hệ L , R ,J sau đây trên S: aL b � S1a  S1b aR b � aS1  bS1 aJ b � S1aS1  S1bS1 trong đó S 1a, aS 1 , S 1aS 1 tương ứng là các iđêan chính trái, chính phải và iđêan chính của S được sinh ra bởi a. Rõ ràng L , R, J là các quan hệ tương đương trên S. Hơn nữa,L là một tương đẳng phải và R là một tương đẳng trái trên S. Với mỗi a �S , ký hiệu - lớp tương đương chứa a. La , Ra , J a tương ứng với các L - lớp, R - lớp, J 1.1.2. Bổ đề. Các quan hệ L và R giao hoán với nhau và do đó quan hệ D = L oR = R oL là quan hệ tương đương bé nhất chứa L và R. Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh L oR �R oL . Giả sử (a,b) �L oR. Khi đó, tồn tại c �S sao cho aL c và cR b. Thế thì tồn tại u , v �S 1 sao cho a  uc và b  cv , đặt d  av  ucv  ub . Vì L là tương đẳng phải nên  a, c  �L kéo theo  av, cv  �L nghĩa là  d , b  �L . Vì R là tương đẳng 8 trái nên và  c, b  �R  d , b  �L kéo theo kéo theo  uc, ub  �R , nghĩa là  a, d  �R. Từ  a, d  �R  a, b  �R oL và do đó L oR � R oL . D lớp chứa a được ký hiệu là Da . Chú ý rằng L � J và R �J nên D �J, và nói chung D � J. Với mỗi a �S, ta có hai ký hiệu thường dùng: S1aS1 và J a là tập tất cả các phần tử J(a) là iđêan chính sinh bởi a, J  a   � sinh của J(a), nghĩa là J a chính là D - lớp chứa a. 1.1.3. Định nghĩa. Quan hệ H trên S được xác định bởi H=L � R, với mỗi a�S, ký hiệu H – lớp chứa a là Ha . 1.1.4. Chú ý. a) R - lớp R và L - lớp L của nửa nhóm S giao nhau khi và chỉ khi chúng được chứa trong một D – lớp của S. Thật vậy: giả sử a �R và b�L. Khi đó aDb khi và chỉ khi tồn tại c� S sao cho (a, c)�R và (c, b)�L . Nhưng điều đó tương đương với điều kiện c�R và c �L, nghĩa là c� L � R. Do đó aDb khi và chỉ khi L �R �� . Mặt khác, rõ ràng aDb khi và chỉ khi các D – lớp chứa R và L trùng nhau. W b) Để hình dung tốt hơn về các D - lớp của nửa nhóm S, ta dùng hình ảnh sau đây gọi là “ hộp trứng”. Hãy tưởng tượng các phần tử thuộc D được sắp thành một dãy hình chữ nhật giống các hộp dùng để sắp trứng, mà các dòng ứng với các R - lớp, còn các cột ứng với các L - lớp chứa trong D. Mỗi ô của hộp ứng với một H - lớp chứa trong D, và chú ý trên chứng tỏ trong hộp không có ô trống nào. Ta không giả thiết rằng các phần tử thuộc các H - lớp được sắp một cách đặc biệt nào đó. Ta sẽ thấy ngay các H - lớp chứa trong D có cùng cấp. Vậy có thể nói các ô của hộp trứng được sắp bởi một số giống nhau các phần tử thuộc nửa nhóm S. 9 c) Nếu a và b là các phần tử thuộc nửa nhóm S, thì ta có thể viết J a �J b trong trường hợp S 1aS 1 �S 1bS 1 , nghĩa là khi a �J(b). Quan hệ � là một thứ tự bộ phận trên tập J - lớp của S. d) Chú ý rằng một nửa nhóm là đơn trái (phải) khi và chỉ khi nó chỉ gồm một L – lớp (R - lớp) và một nửa nhóm S là D - đơn hoặc song đơn nếu nó chỉ tồn tại gồm một D - lớp. Vì D �J nên mỗi nửa nhóm song đơn là một nửa nhóm đơn. Vì R �D và L �D nên mỗi nửa nhóm đơn phải hay đơn trái đều song đơn. 1.1.5. Bổ đề (Green). Giả sử a và b là các phần tử R – tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S và giả sử s, s ' �S 1 sao cho as  b và bs '  a . Khi đó các ánh xạ x a xs ( x �La ) và y a ys (y �Lb ) ngược nhau và bảo toàn các R – lớp và ánh xạ một - một từ La lên Lb và Lb lên La tương ứng. Chứng minh. Ta ký hiệu hai ánh xạ đó là  và  ' tương ứng. Chú ý rằng  ( ' ) là cái thu hẹp của phép chuyển dịch trong bên phải  s ( s ) trên tập La ( Lb ). ' Giả sử x �La .Vì L là tương đẳng phải nên (x, a)�L kéo theo (xs,as)�L từ đó xs�Lb . Vậy  ánh xạ La vào Lb và tương tự  ' ánh xạ Lb vào La . Khi đó tồn tại phần tử t�S 1 sao cho x  ta . Do đó, x '  xss '  tass'  tbs '  ta  x . Giả sử x �La . Vậy  ' là phép biến đổi đồng nhất của La . Tương tự,  ' là phép biến đổi đồng nhất của Lb , nên  và  ' là các ánh xạ một - một ngược nhau từ La lên Lb và ngược lại. 10 Ta chứng tỏ  bảo toàn các R - lớp. Thật vậy, nếu x �La và thì ys'  x , nghĩa là  y, x  �R. Tương tự ta cũng chứng minh được  ' bảo toàn các L - lớp. W y  x  xs 1.1.6. Định lý Giả sử a và c là các phần tử D - tương đương tùy ý thuộc nửa nhóm S. Khi đó tồn tại phần tử b �S sao cho (a,b) �R và  b, c  �L và do đó as  b , bs '  a, tb  c, t 'c  b với s, s , , t , t ' nào đó thuộc S 1. Các ánh xạ x a txs ( x �H a ) và z a t ' zs ' ( z �H c ) ngược nhau và ánh xạ một một các lớp H a và H c sang lẫn nhau. Đặc biệt, hai H - lớp nằm trong cùng một D – lớp thì có cấp như nhau. Chứng minh. Theo Bổ đề đối ngẫu với Bổ đề Green, các ánh xạ  : y a ty ( y �Rb ) và  ' : z a t ' z ( z �Rc ) ( y �Rb ) ngược nhau, bảo toàn các L lớp và ánh xạ một – một từ Rb lên Rc và ngược lại. Giả sử  và  ' là các ánh xạ trong Bổ đề Green, nhưng thu hẹp trên H a và H b tương ứng. (Vì theo bổ đề Green các ánh xạ  và  ' bảo toàn các R – lớp nên cái thu hẹp của chúng ánh xạ một - một từ H a lên H b và ngược lại). Tương tự, giả sử  và  ' được thu hẹp trên H b và H c tương ứng. Khi đó  và  ' ' là các ánh xạ một – một ngược nhau từ H a lên H b và ngược lại. Nhưng chúng trùng với các ánh xạ nêu trong định lý. W 1.1.7. Định lý. Tích LR của L – lớp và R – lớp bất kỳ L và R tương ứng của nửa nhóm S được chứa hoàn toàn trong một D – lớp của S. Chứng minh. Định lý tương đương với điều khẳng định nếu a, a ' , b, b ' là các phần tử thuộc S mà a L a ' , b R b' thì ab D a 'b' . Vì L là một tương đẳng phải nên (a, a ' ) �L kéo theo ( ab , a 'b )� L . Vì R là một tương đẳng trái nên (b, b' ) � R kéo theo (a 'b, a 'b' ) �R . Do đó ( ab, a 'b' ) �D. W 11 1.2. D – LỚP CHÍNH QUY. 1.2.1. Định nghĩa. D – lớp D của một nửa nhóm S được gọi là chính quy nếu mỗi phần tử của D chính quy, nghĩa là với mọi a �D, tồn tại S sao cho a  axa . x� Định lý sau đây chứng tỏ rằng nếu D là D – lớp không chính quy thì trong D không có phần tử nào chính quy cả, khi đó ta nói rằng D không chính quy. Phần còn lại của tiết này trình bày lý thuyết các D – lớp chính quy của một nửa nhóm tùy ý. 1.2.2. Định lý. (i) Nếu D – lớp của một nửa nhóm S chứa các phần tử chính quy thì mỗi phần tử thuộc D là chính quy. (ii) Nếu D chính quy thì mỗi L – lớp và mỗi R – lớp chứa trong D đều chứa lũy đẳng. Chứng minh. Ta có thể phát biểu kết quả phần tử a thuộc nửa nhóm S là chính quy khi và chỉ khi iđêan chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a sẽ được sinh bởi một lũy đẳng e nào đó, nghĩa là a S1  eS1 ( S1 a  S1e ), nói cách khác: phần tử a �S là chính quy khi và chỉ khi Ra ( La ) chứa lũy đẳng. Từ đó suy ra rằng nếu R – lớp R (L – lớp L ) chứa phần tử chính quy thì nó chứa lũy đẵng và mỗi phần tử thuộc R (L) chính quy. Vì mỗi R – lớp của S chứa trong D đều giao với mỗi L – lớp của S chứa trong D, nên điều khẳng định (i) là hiển nhiên. Nhưng nó lại suy ra (ii). W Ta nhắc lại rằng hai phần tử a và a ' thuộc nửa nhóm gọi là ngược nhau, nếu aa 'a  a và a 'aa '  a' . Hai bổ đề sau đây đã được thiết lập trong  1 1.2.3. Bổ đề. Nếu a và a' là các phần tử ngược nhau thuộc một nửa nhóm S, thì e  aa ' và f  a 'a là các lũy đẳng, hơn nữa ea  af  a và 12 a 'e  fa '  a ' . Do đó e �Ra �La ; f �Ra �La các phần tử a, a ' , e, f cùng thuộc ' ' một D – lớp của S. 1.2.4. Bổ đề. (i) Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì aS1  aS và S1a  Sa . (ii) Nếu a và b (aRb) khi và chỉ khi là các phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S thì a L b Sa  Sb  aS  bS  . 1.2.5. Bổ đề. Mỗi lũy đẳng e thuộc nửa nhóm S là đơn vị phải trong Le , đơn vị trái trong Re và đơn vị trong He . Chứng minh. Nếu a �Le thì a �Se và do đó a  ae . Nếu và do đó ea  a . Nếu a �H e  Le Re thì ae  ea  a . W a �Re thì a �eS 1.2.6. Bổ đề. Một H – lớp có thể chứa không quá một lũy đẳng. Chứng minh. Nếu e và f là các lũy đẳng, hơn nữa Bổ đề 1.2.5, có e và f là đơn vị hai phía nên e = f. W He  H f thì theo 1.2.7. Định lý (Green). Nếu các phần tử a, b, ab thuộc cùng một H – lớp H của nửa nhóm S, thì H là một nhóm con. Đặc biệt, mọi H – lớp chứa lũy đẳng đều là nhóm con. Chứng minh. Trước hết ta giả thiết rằng nếu h và hs(sh) cùng thuộc một H - lớp H của nửa nhóm S, thì Hs=H (sH=H). Thật vậy, khi đó hRhs và từ Bổ đề Green (1.1.5) suy ra rằng ánh xạ x a xs là ánh xạ một – một từ H h lên H hs , tức là từ H lên chính nó. Mệnh đề đối ngẫu suy ra từ bổ đề Green. W Bây giờ ta giả sử a, b, ab thuộc cùng một H – lớp H. Theo chú ý trên Hb=H. Giả sử x, y là các phần tử tùy ý thuộc H. Khi đó xb�Hb= H. Vì b và xb cùng thuộc H, nên từ chú ý trên suy ra rằng xH = H. Khi đó 13 xy �H . Lại dùng chú ý trên ta thấy Hy = H. Từ đẳng thức xH = Hy = H với x,y tùy ý thuộc H ta suy ra H là nhóm con của S. W 1.2.8. Định lý. Nếu a và b là các phần tử thuộc cùng một nửa nhóm S, thì ab �Ra �Lb khi và chỉ khi aH b  H a b  H a H b  H ab  Ra �Lb . Rb �La chứa lũy đẳng. Khi đó Chứng minh. Trước hết ta giả thiết rằng ab �Ra �Lb . Từ điều kiện ab �Ra suy ra tồn tại phần tử b ' �S sao cho abb'  a . Theo Bổ đề Green, các ánh xạ  : x a xb ( x �La ) và  ' : y a yb' ( y �Lab ) ngược nhau, bảo toàn các R – lớp và ánh xạ một – một tương ứng từ La lên Lab và ngược lại từ Lab lên La . Nhưng ab �Lb và do đó Lab  Lb . Như vậy  ' ánh xạ biến phần tử b �Lb thành phần tử bb' �La . Hơn nữa, bb' �Rb vì  ' bảo toàn các R – lớp. Do đó bb' �Rb �La . Nếu x �La thì xbb'  x '  x . Đặt x  bb' ta kết luận x là lũy đẳng. Đảo lại, giả thiết rằng Rb �La chứa lũy đẳng e. Khi đó eb = b theo Bổ đề 1.2.5 vì eRb nên theo Bổ đề Green suy ra rằng ánh xạ  : x a xb ( x �La ) bảo toàn các R – lớp và ánh xạ một – một từ Le lên Lb . Vì a �Le nên ab �Lb ; hơn nữa ab �Ra và  bảo toàn các R – lớp. Do đó ab �Ra �Lb . Nếu giữ nguyên giả thiết Rb �La chứa lũy đẳng e và lấy các phần tử x �H a , y �H b thì e �Ry �Lx và ta kết luận rằng xy �Rx �Ly  Ra �Lb theo điều vừa chứng minh trên. Do đó H a H b �Ra �Lb . Vì Le  La và Lb  Lab nên  : x a xb ánh xạ La lên Lab . Vì  bảo toàn các R – lớp nên nó ánh xạ H a lên H ab , vì vậy H a b  H ab . Do đó H a b �H a H b �Ra �Lb  H ab  H ab nghĩa là H a b  H a H b  H ab  Ra �Lb . Bằng cách đối ngẫu ta được aH b  H ab . W Định lý sau đây mô tả tất cả các phần tử ngược với phần tử chính quy a của nửa nhóm S. Định lý đó chứng tỏ rằng tồn tại một tương tứng một – một giữa tập tất cả các cặp (e, f) các lũy đẳng sao cho e �Ra và 14 f �La . Phần tử a ' ứng với cặp (e, f) sẽ thuộc ta hình dung tình huống đó). R f �Le ( “ Hộp trứng” giúp 1.2.9. Định lý. Giả sử a là phần tử chính quy của nửa nhóm S. (i) Mỗi phần tử ngược với a nằm trong Da. (ii) H – lớp Hb chứa phần tử ngược với a khi và chỉ khi cả hai H – lớp Ra �Lb và Rb �La chứa lũy đẳng. (iii) Một H – lớp không chứa quá một phần tử ngược với a. Chứng minh. Mệnh đề (i) là hệ quả trực tiếp của Bổ đề 1.2.3. Ta chứng minh (ii). Trước hết ta giả thiết rằng Hb chứa phần tử ngược a’ và a. Theo Bổ đề 1.2.3 các H – lớp Ra �Lb ( Ra �Lb ) và Rb �La ( Ra �Lb ) chứa các lũy đẳng aa’ và a’a tương ứng. ' Đảo lại, giả thiết rằng e là lũy đẵng thuộc Ra �Lb ' và f là lũy đẳng thuộc Rb �La. Từ các điều kiện  a, e  �R và  a, f  �L và áp dụng Bổ đề 1.2.5 suy ra ea  a  af và nếu áp dụng Bổ đề 1.2.4 suy ra e  ax, f  ya với x, y nào đó thuộc S. Đặt a’  fxe . Khi đó fa '  a 'e  a ' . aa '  afxe  axe  e 2  e. a ' a  fa ' a  yaa ' a  yea  ya  f . Vì aa 'a  ea, a 'aa '  a 'e  a ' nên các phần tử a và a’ ngược nhau. Từ các đẳng thức a 'e  a ' , aa '  e suy ra (a ' , e) �L . Do đó a ' �R f �Le  Rb �Lb  H b . Cuối cùng ta chứng minh (iii). Giả sử b và c là các phần tử ngược với a và H – lớp tương đương với nhau. Theo Bổ đề 1.2.3, ab là lũy đẳng thuộc Ra �Lb còn ac là lũy đẳng thuộc Ra �Lc . Nhưng Lb=Lc từ đó theo Bổ đề 1.2.6, có ab = ac. Tương tự từ đẳng thức Rb=Rc suy ra ba  ca. 15 Do đó b  bab  cab  cac  c . W 1.2.10 . Hệ quả. (i) S là nửa nhóm ngược khi và chỉ khi mỗi L – lớp và mỗi R – lớp của S chỉ chứa một lũy đẳng. (ii) Nếu D là một D – lớp của nửa nhóm ngược S, thì tồn tại tương ứng một – một giữa tập các L – lớp chứa trong D và tập các R – lớp chứa trong D sao cho L – lớp L ứng với R - lớp R khi và chỉ khi R �L chứa lũy đẳng. Chứng minh. Theo Định lý 1.2.9, điều kiện nêu trong mệnh đề (i) có nghĩa là đối với mỗi phần tử thuộc S có đúng một phần tử ngược với nó, từ đó suy ra (ii). W Giá trị của Hệ quả 1.2.10 (ii) đối với “ hộp trứng” là ở chỗ ta có thể sắp đặt các L – lớp và R – lớp chứa trong D – lớp D của nửa nhóm ngược S sao cho các H – lớp chứa lũy đẳng và chỉ chúng nằm trên đường chéo chính. Khi đó Định lý 1.2.9 chứng tỏ phần tử ngược a 1 của a�D nằm trong H – lớp được sắp đối xứng qua đường chéo chính. 1.2.11 . Định lý. Giả sử e, f là các lũy đẳng D – lớp tương đương với nhau thuộc một nửa nhóm S. Giả sử a là một phần tử tùy ý cố định thuộc Re �L f và giả sử a’ là phần tử ngược với a thuộc R f �Le (xem Định lý 1.2.9). Khi đó các ánh xạ x a a ' xa, y a aya ' là các đẳng cấu ngược nhau tương ứng từ He lên Hf và từ Hf lên He. Chứng minh. Giả sử x �H e . Áp dụng hai lần Định lý 1.2.8 ta có: xa �Re �La và a ' xa �Ra �Lxa  Ra �La  H f . ' ' Tương tự, y �H f kéo theo aya ' �H e . Nếu x �H e thì a(a ' xa)a '  exe  x và nếu y �H f thì a ' (aya ' )a  fyf  y . Do đó các ánh xạ x a a ' xa, y a aya ' ngược nhau và ánh xạ một – một từ He lên Hf và ngược lại. Ta chứng minh x a a ' xa là đẳng cấu. Giả sử x1 , x2 �H e . Khi đó 16 (a ' x1a)(a ' x2 a)  a ' x1ex2 a  a ' ( x1 x2 )a . W Định lý 1.2.11 chứng tỏ rằng: nếu H – lớp thuộc một D – lớp là các nhóm thì chúng đẳng cấu với nhau. 1.3. NHÓM SCHUTZENBERGER CỦA H – LỚP Trong tiết 1.2 chúng ta đã chứng tỏ rằng một H – lớp tùy ý chứa lũy đẳng là một nhóm (Định lý Green 1.2.7) và hai H – lớp như vậy trong một D - lớp thì đẳng cấu (Định lý 1.2.11). Trong tiết này chúng ta trình bày các kết quả của Schutzenberger (1957) khẳng định rằng mỗi H – lớp H liên kết được với một nhóm Γ (H) ngay cả khi D – lớp tương ứng không chính quy. Nếu H và H ' là hai H – lớp trong cùng một D – lớp D thì các nhóm Γ (H) và Γ ( H ' ) đẳng cấu với nhau, nên thực ra Γ chỉ phụ thuộc vào D. Nếu H là một nhóm thì Γ (H)  H. 1.3.1. Ký hiệu. Giả sử A là một tập hợp con bất kỳ của một nửa nhóm S và T = T(A) là tập tất cả các phần tử t �S 1 sao cho At �A . Khi đó T là nửa nhóm con của S 1 . Điều kiện t �T tương đương với điều kiện A bất biến (như tập hợp) đối với phép chuyển dịch trong bên phải t của S 1 , trong đó t (a)  at , a �S 1 . Vậy t cảm sinh phép biến đổi  t  t A của tập A. Giả sử Γ= Γ(A) là tập tất cả các  t , trong đó t chạy qua tập T(A). Khi đó Γ là một nửa nhóm và ánh xạ t a  t là một đồng cấu từ T lên Γ. Ta gọi là Γ (A) là nửa nhóm các phép biến đổi của tập A cảm sinh bởi các phép chuyển dịch trong bên phải của nửa nhóm S 1. Ta quan tâm đến trường hợp A = H là một H – lớp của S. Từ Bổ đề Green 1.1.5 trực tiếp suy ra 1.3.2. Bổ đề. Giả sử H là một H – lớp của một nửa nhóm S. Giả sử và t �S 1 sao cho h1  h0t �H . Khi đó ho  h1t ' với t ' �S 1 nào đó và ' các ánh xạ  t : x a xt và  t : x a xt là các phép thế ngược nhau của tập h0 �H ' 17 H. Như vậy t và t ' thuộc T(H) và  t  t   t  t   1 . Nếu L là một L – lớp chứa H thì các ánh xạ x a xt và x a xt ' ngược nhau, bảo toàn các D – lớp và ánh xạ một – một tức L lên chính nó. Vậy T ( H )  T ( H ' ) , trong đó H’ là một H – lớp tùy ý của S chứa trong L. ' ' Ta nhớ lại rằng họ ∑ các phép biến đổi của một tập X được gọi là bắc cầu (bắc cầu đơn) nếu với hai phần tử bất kỳ x, y �X tồn tại ít nhất (đúng một) phép biến đổi thuộc ∑ biến x thành y. Định lý sau đây của Schutzenberger chứng tỏ rằng Γ(H) là một nhóm. Ta gọi Γ(H) là nhóm Schutzenberger của H – lớp H. 1.3.3. Định lý. Giả sử H là một H – lớp của nửa nhóm S. Khi đó nửa nhóm ( H ) các phép biến đổi của tập H cảm sinh bởi các phép chuyển dịch trong bên phải của S 1 là một nhóm phép thế bắc cầu đơn của tập H. Từ đó suy ra ( H )  H . Nếu H là một nhóm con của S thì ( H )  H , trong trường hợp đó ( H ) là ảnh của H qua phép biểu diễn chính quy. Chứng minh. Giả sử  t �Γ(H), trong đó t �T ( H ) , nếu h0 �H thì h1  h0t �H và theo Bổ đề 1.3.2,  t có phần tử nghịch đảo hai phía  t trong Γ(H). Do đó Γ(H) là một nhóm. ' Ta chứng minh Γ(H) bắc cầu đơn. Giả sử h0 và h1 hai phần tử tùy ý thuộc H. Từ h0 R h1 suy ra h0t  h1 với t �S 1 nào đó. Theo Bổ đề 1.3.2, t �T ( H ) và h0 t  h1 . Ta chứng tỏ rằng  t là phần tử duy nhất thuộc Γ(H) chuyển h0 thành h1 . Giả sử h0 s  h1 (nghĩa là h0 s  h1 ) đối với s �T ( H ) nào đó. Giả sử x là một phần tử tùy ý thuộc H. Từ xL h0 suy ra x  yh0 với y �S 1 nào đó và vì vậy x t  xt  yh0t  yh1  yh0 s  xs  x s . Do đó  s   t . W Bây giờ giả thiết rằng H là một nhóm. Giả sử e là đơn vị của nhóm H và h là một phần tử tùy ý thuộc H. Theo điều vừa chứng minh, tồn tại đúng một phần tử thuộc Γ(H) chuyển e thành h. Nhưng  h chuyển h 18 thành e. Vậy nhóm H. ( H )    h h �H  và ánh xạ h a h là biểu diễn chính quy của 1.3.4. Chú ý. Bây giờ ta xét định lý đối ngẫu của Định lý 1.3.3. Giả sử  T ' ( H )  u �S 1 uH �H  . Giả sử u là phép chuyển dịch trong bên trái ' của nửa nhóm S1 ứng với phần tử u và  u x a ux   u H  . Đối với u, v tùy ý thuộc T ( H ) ta có   ' ( H )   u' u �T ( H ) ' ' uv . Giả sử   v'  u' , nghĩa là ánh xạ u a  u' là phản đồng cấu từ T ' ( H ) lên Γ ‘(H). Theo định lý đối ngẫu của Định lý 1.3.3, Γ ‘(H) cũng là một nhóm phép thế bắc cầu đơn của tập H; ta gọi nhóm Γ ‘(H) đó là nhóm Schutzenberger đối ngẫu của lớp H. Vì mỗi phép chuyển dịch trong bên trái của nửa nhóm S giao hoán với mỗi phép chyển dịch trong bên phải của S, nên mỗi phần tử thuộc nhóm Γ ‘(H) giao hoán với mỗi phần tử thuộc Γ(H). Khi đó từ bổ đề sau đây suy ra Γ(H) và Γ ‘(H) phản đẳng cấu với nhau. 1.3.5. Bổ đề. Nếu Γ và Γ ‘ là hai nhóm phép thế bắc cầu đơn của tập H sao cho mỗi phần tử của Γ giao hoán được với mỗi phần tử thuộc Γ ‘, thế thì Γ và Γ ‘ phản đẳng cấu. Chứng minh. Giả sử h0 là một phần tử cố định thuộc H. Đối với mỗi h �H , tồn tại phần tử duy nhất  � Γ sao cho h0  h và phần tử duy nhất  ' � Γ ‘ sao cho h0 '  h . Ánh xạ  :  a  ' là một – một Γ lên Γ ‘. Ta chứng minh  là phản đẳng cấu. Giả sử  1 ,  2 �Γ. Khi đó vì  1 và  2 giao hoán (theo giả thiết) và h0 ( )  h0 '  h0 (theo định nghĩa của  ) nên ta có h0  ( 1 2 )   h0 ( 1 2 )   h0 1   2  � h0   1  �  2  h0 �   1   2 � � � � � h0   2 1 ( )    h0 2    1   � h0   2  �   1   h0 �   2    1  � � � � � 19 Do đó   1 2      2    1  nên  là phản đẳng cấu. W Ta tóm tắt các kết quả trên. 1.3.6. Định lý. Giả sử H là một H – lớp của nửa nhóm S. Giả sử Γ(H) là nhóm Schutzenberger của lớp H và ' (H ) là nhóm Schutzenberger đối ngẫu. Khi đó Γ(H) và Γ ‘(H) là các nhóm phép thế bắc cầu đơn của tập H sao cho mỗi phần tử thuộc ( H ) giao hoán với mỗi phần tử thuộc Γ ‘(H). Các nhóm Γ(H) và Γ ‘(H) phản đẳng cấu. Ta kết thúc tiết này bằng kết quả sau. 1.3.7. Định lý. Giả sử H và H ' là hai H – lớp của một nửa nhóm S chứa trong cùng một D – lớp của S. Khi đó ( H )  ( H ' ) . Chứng minh. Giả sử a �H và b �H ' . Vì aDb nên tồn tại c �S sao cho aL c và cRb. Theo Bổ đề 1.3.2, T ( H a )  T ( H c ) và đối với mỗi t �T  H a  ánh xạ t La là phép thế trên tập La (=Lc) bảo tồn cả R – lớp. Đối với các phần tử s, t tùy ý thuộc chỉ khi  s H a  t H a T  Ha  đẳng thức  s . Do đó ánh xạ t La  t La thỏa mãn khi và H a � t H c là một đẳng cấu từ Γ  H a  lên Γ  H c  . Lập luận tương tự, có ' (Hc )  ' (H b ) . Sử dụng Định lý 1.3.6 hai lần ta kết luận được rằng Γ ( H a )  Γ(Hb). W 20 Chương 2. CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM 2.1. CHỈ SỐ GREEN TRONG NỬA NHÓM Giả sử S là một nửa nhóm. Ta xây dựng vị nhóm S 1 như sau: S 1  S 1 nếu S là một vị nhóm; S  S � 1 trong đó 1 là một ký hiệu không thuộc S nếu S không phải là vị nhóm. Trong trường hợp sau, phép toán trên S 1 được mở rộng từ phép toán trên S và bổ sung bằng cách đặt x.1  x  1.x với mọi x �S 1 . Khi đó 1 là đơn vị của S. Khái niệm này được mở rộng 1 tới các tập con của S, nghĩa là nếu X là một tập con của S thì X  X � 1 . 2.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm và T là một nửa nhóm con của S. Đối với u, v �S định nghĩa uR Tv � uT 1  vT 1 , uL Tv � T 1u  T 1v và HT = RT �L T . Mỗi một quan hệ đó là một quan hệ tương đương trên S; các lớp tương đương của chúng được gọi là (T -) tương đối R -, L -, H – lớp tương ứng. Hơn nữa, các quan hệ này liên quan với T, theo
- Xem thêm -