Tài liệu Chỉ số chính qui Castelnuovo - Mumford và tính hữu hạn của hàm Hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ HỒNG HUẤN CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH H U HẠN C A HÀ HILBERT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Nghệ An - 2013 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGÔ HỒNG HUẤN CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO-MUMFORD VÀ TÍNH H U HẠN C A HÀ HILBERT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Ã SỐ: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An - 2013 2 Mục lục Trang Mở đầu ..................................................................................................... 2 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị ................................................................... 4 1.1. Vành và môđun phân bậc .................................................................. 4 1.2. Trường đóng đại số............................................................................ 6 1.3. Chiều Krull ........................................................................................ 6 1.4. Hệ tham số, số bội ............................................................................. 8 1.5. Dãy chính quy ................................................................................... 10 1.6. Môđun đối đồng điều địa phương ...................................................... 11 1.7. Iđêan khởi đầu và cơ sở Groebner ...................................................... 13 Chương 2: Chỉ số chính quy Castelnuovo - Mumford và tính hữu hạn của Hàm Hibert……………………................................................................ ..17 2.1. Một số kiến thức cơ bản của chỉ số chính qui Castelnuovo- Mumford...17 2.2. Tính hữu hạn của hàm Hilbert…………………………………………..21 2.3. Đại số chặn trên chỉ số chính quy và Định lý Kleiman…………………24 Kết luận...........................................................................................................29 Tài liệu tham khảo ..........................................................................................30 3 Ở ĐẦU Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford là 1 bất biến quan trọng của môđun phân bậc, nó được nảy sinh một cách tự nhiên trong nghiên cứu giải tự do hữu hạn. Đã có một số kết quả thiết lập các chặn trên cho chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của lược đồ xạ ảnh theo các đăc trưng số. Không may, các tính bất biến này thường khó vận dụng và vấn đề các chặn trên tốt theo các bất biến đơn giản hơn là đề tài nổi bật trong nhiều nghiên cứu gần đây. ội dung chính của luận văn là tr nh bày lại một phần của bài báo 11 của M. E. Rossi – N. V. Trung – G. Valla. goài phần mở đầu, kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương. Chương 1 là chương kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, ch ng tôi tr nh bày một số khái niệm cơ sở của Đại số giao hoán có s dụng trong luận văn như: Vành và môđun phân bậc, cơ sở Groebner,… goài ra ch ng tôi c n trích d n một số kết quả đã có nh m phục vụ cho các chứng minh ở phần sau. Trong chương 2 ch ng tôi s tr nh bày một số điều sơ lược về chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford và các khái niệm liên quan như chỉ số chính qui yếu và chỉ số chính qui h nh học. êu r mối liên hệ giữa tính chặn trên của chỉ số chính qui Castelnuovo-Mumford tương ứng chỉ số chính qui h nh học và tính hữu hạn của hàm Hilbert (tương ứng đa thức Hilbert . Chỉ ra r ng chặn trên của chỉ số chính qui của các l p đại số phân bậc v i độ sâu dương có th được suy ra t chặn trên của chiều của thành phần bậc của môđun đối đồng điều địa phương thứ nhất. Qua đây tác giả cũng xin được bày tỏ l ng biết ơn t i người hư ng d n khoa học của m nh là TS. Đào thị Thanh Hà, nhờ sự hư ng d n chỉ bảo tận t nh của cô mà luận văn đã được hoàn thành. Xin chân thành cảm ơn các thầy 4 cô công tác tại Đại học Vinh và Đại học Sài G n đã trực tiếp giảng dạy, cảm ơn bạn bè và gia đ nh đã động viên, gi p đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng chắc chắn trong luận văn v n c n có nhiều sai sót, tác giả mong nhận được sự chỉ bảo quý báu của các thầy cô và các bạn học viên. Tác giả gô Hồng Huấn 5 CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Vành và môđun phân bậc. 1.1.1. Định nghĩa. Vành R được gọi là - phân bậc nếu R  iZ Ri xét như nhóm cộng, và Ri R j  Ri  j , v i mọi i, j  i  0 , th gọi R là vành phân bậc dương, hay Môđun M trên vành . Hơn nữa nếu Ri  0 v i mọi - phân bậc. - phân bậc R được gọi là M  iZ M i xét như nhóm cộng, và Ri M j  M i  j v i mọi - phân bậc nếu i, j  . ếu M là môđun phân bậc trên vành phân bậc R , th gọi phần t x của Ri hoặc M i là phần t thuần nhất bậc i. Kí hiệu deg ( x)  i . Ta qui ư c bậc của phần t 0 là một số nguyên tùy ý. hư vậy, nếu a  R và x  M là các phần t thuần nhất, th deg (ax)  deg( a)  deg( x) , hoặc ax  0 . T định nghĩa suy ra R0 là một vành con của R và mỗi thành phần phân bậc ếu x  M và M i là R0 - môđun. x  xi  xi 1  ...  x j v i xk  M k , i  k  j, i, j  . thì xk có th xk  0 được gọi là thành phần thuần nhất hoặc thành phần phân bậc k của x. Mỗi phần t chỉ có một bi u diễn duy nhất thành tổng của các thành phần phân bậc. cho S là vành con của vành R không nhất thiết phân bậc). Khi đó, người ta gọi R là S – đại số. ếu a1 ,..., an  R , ký hiệu S[ a1 ,..., an tổ hợp tuyến tính trên S của các phần t a1p1 ,..., anpn v i ( p1 ,..., pn )  n . Tập hợp này r ràng là tập con của R. Có th xem nó như các vành đa thức, nhưng a1 ,..., an ở đây không phải là các biến độc lập. 6 ếu tồn tại a1 ,..., an  R đ R = S[ a1 ,..., an th R được gọi là S – đại số hữu hạn sinh. 1.1.2. Định nghĩa. Vành phân bậc dương R  i0 Ri được gọi là vành phân bậc chuẩn trên R0 nếu R  R0 [ R1 ] . 1.1.3. Ví dụ. Vành phân bậc chuẩn hay gặp nhất là vành đa thức A[ x] , trong đó A là một vành, v i Ai là tổ hợp tuyến tính của các đơn thức có bậc tổng th là i và hệ số thuộc A. hư vậy đa thức thuần nhất là tổng của các t có bậc tổng th b ng nhau. I là iđêan thuần nhất của A[ x] nếu nó sinh bởi các đa thức thuần nhất. Chẳng hạn iđêan đơn thức là iđêan thuần nhất; ( x3 y 2 z  x4 yz  y 5 z  6 y 2 z 4 ) là iđêan thuần nhất của vành K[ x, y, z] . Khi đó vành thương A[ x] / I là một ví dụ khác về vành phân bậc chuẩn. 1.1.4 Định nghĩa. Gọi môđun con ⊆ M là môđun con thuần nhất, hay môđun con phân bậc nếu nó thoả mãn một trong ba điều kiện tương đương sau: a sinh ra bởi các phần t thuần nhất. b V i mỗi x , mọi thành phần thuần nhất của nó thuộc . (c) N = iZ (N  Mi). 1.1.5. Định nghĩa. Cho M và N là hai môđun phân bậc trên vành phân bậc R. Đồng cấu môđun f : M  N được gọi là đồng cấu thuần nhất hay phân bậc nếu v i mọi n  ; f (M i )  Ni . 1.1.6 nh đ . (i) Nếu f là đồng cấu thuần nhất thì hạch (hạt nhân) K er f và ảnh Im f của nó là các môđun con thuần nhất. (ii) Nếu có dãy khớp ...  M  N  L  ... 7 Các môđun phân bậc với các đồng cấu thuần nhất, thì ta cũng có dãy khớp sau với mọi i  ...  M i  Ni  Li  ... 1.2. Trường đóng đại số. Theo định lý cơ bản của đại số th mọi phương tr nh đa thức đều có nghiệm phức. Ta có th khái quát hoá tính chất này như sau 1.2.1 Định nghĩa. Trường K được gọi là đóng đại số nếu mọi đa thức bậc dương trong K[x] đều có ít nhất một nghiệm trong K. 1. . nh đ . ác đi u ki n sau là t (a) là t (b) ọi đa th c  K[x] bậc n ng đ ng ng đóng đại s đ u có th viết m t cách duy nhất d ới dạng f = c ( x  a1 )...( x  an ) t ong đó c, a1 ,..., an  K . 1. . . ví dụ. (i) Trường số thực 2 không là đóng đại số v đa thức x  1 không có nghiệm thực. ii Cũng v thế trường các số hữu tỉ không là đóng đại số. iii Tất cả các trường hữu hạn K không là đóng đại số v nếu a1 ,..., an là các phần t của K, th đa thức uôn khác 0 trên K. iv Trường số phức là trường đóng đại số. 1. Chi u Kru 1. .1 Định nghĩa. Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành giao hoán R 0  1  2  ...  n Đươc gọi là một xích nguyên tố có độ dài n. 8 Cho   Spec R, cận trên của tất cả các xích nguyên tố v i 0   được gọi là độ cao của  , ký hiệu là ht(  ), nghĩa là ht(  ) = sup độ dài các xích nguyên tố v i 0   }. Cho I là một iđêan của R, khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa ht(I) = inf{ ht(  ) |   spec R,   I }. Cận trên của tất cả độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R hoặc dimK R . Cho M là một R – môđun. Khi dó dim R / ann M được gọi là chiều Krull của R môđun M, ký hiệu là dim M hoặc dimK M . Khi đó ta suy ra dim M ≤ dim R. 1. . Ví dụ. (i) dim K (ii) dim , v i K là một trường. =1. iii t dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành các đa thức K[ x1 , x2 ,..., xn ] 0  ( x1 )  ( x1 , x2 )  ...  ( x1 , x2 , ..., xn ) Ta có dim K[ x1 , x2 ,..., xn ] ≥ n. người ta cũng chứng minh đẳng thức đ ng, có nghĩa là dim K[ x1 , x2 ,..., xn ] = n. iv Xét vành đa thức vô hạn biến R = K[ x1 , x2 ,..., xn ,…]. Ta có dim R = ∞, v có dãy vô hạn các iđêan nguyên tố 0  ( x1 )  ( x1 , x2 )  ...  ( x1 , x2 ,..., xn )  … R cũng chính là vành không oether. 9 1. . Định nghĩa. Tập con Supp M = {   Spec R | M   0 } của Spec R được gọi là giá của môđun M. V i mỗi x  M ta ký hiệu AnnR x  {a R| a x = 0}; AnnR M  {a  R| aM = 0} = {a R| a x = 0, ⩝ x  M }. Ta có AnnR x và AnnR M là các iđêan của M. AnnR M được gọi là linh hoá t của môđun M. Đ đơn giản người ta thường ký hiệu Ann x thay cho AnnR x và Ann M thay cho AnnR M . ếu M là R - môđun hữu hạn sinh th Supp M = V( Ann M ) = {   spec R,   Ann M }. 1. .4 Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị và M là R – môđun. Iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0    M sao cho   AnnR   { r  R | r x  0 }. Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là AnnR M hay Ass M . 1.4 H ham số số b i 1.4.1 Định nghĩa. Giả s (R, m là một vành địa phương môđun v i dim M số của M nếu độ dài eother. M là R – d. Hệ các phần t { x1 , x2 , ..., xd }  m được gọi là hệ tham (M/( x1 , x2 ,..., xd M < ∞. Và khi đó iđêan q  ( x1 , ..., xd ) R được gọi là iđêan tham số. 1.4. Ch . Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại. 1.4. Ví dụ. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị, ta gọi R[[ x]] là tập hợp các chuỗi lu th a h nh thức ký hiệu 10  a x i i 0 i  a0  a1 x  ...  an x n  ... Trong đó các hệ số a0 , a1 ,..., an ...  R hép cộng và phép nhân trong R[[ x]] được định nghĩa hoàn toàn thứ tự như trong vành đa thức R[ x] . Khi đó R[[ x]] cũng là một vành giao hoán có đơn vị là 1  0 x  0 x2  ...  0 x n  ... Và đựơc gọi là vành các chuỗi lu th a h nh thức. T đó ta cũng xây dựng được vành các chuỗi lu th a h nh thức nhiều biến R[[ x1 , ..., xn ]] . Xét vành các chuỗi lu th a h nh thức K[[ x1 , x2 ,..., xn ]] , v i K là một trường. Đây là vành địa phương v i iđêan cực đại duy nhất là ( x1 , x2 ,..., xn ) . Ta xem K[[ x1 , x2 ,..., xn ]] là môđun trên chính nó v i dim K[[ x1 , x2 ,..., xn ]] = n. Khi đó { x1 , x2 ,..., xn } là một hệ tham số của K[[ x1 , x2 ,..., xn ]] l( V K [[ x1 , x2 ,. .., xn ]] )  l(K )  1   . ( x1 , x2 ,..., xn ) 1.4.5 Định nghĩa. Cho q là iđêan tham số của M. Khi đó hàm Hilbert Samuel H q , m ( n)  l ( M ), n  qn M trở thành một đa thức ký hiệu pq ,M (n) v i n >> 0, được gọi là đa thức Hilbret - Samuel. Ta có deg pq,M (n) = dim M d. Hơn nữa  d n   d  n 1  d pq , M (n) = e0 (q, M )    e1 (q, M )    ...  (1) ed (q, M ) (*) d 1    d  Trong đó e0 (q, M ), ..., ed (q, M ) là những số nguyên và e0 (q, M ) > 0. 11 Gọi a0 là hệ số cao nhất của đa thức pq ,M (n) th e0 (q, M ) = a0 .d! 1.4.6 Định nghĩa. i Số tự nhiên e0 (q, M ) trong khai tri n của pq ,M (n) được gọi là số bội của M đối v i iđêan tham số q. ii Khi q m ta ký hiệu số bội e(q,M) = e0 (q, M ) e M và gọi là số bội của môđun M. 1.4. Ví dụ. Số bội của vành đa thức R = k[ x1 , x2 ,..., xn là 1. 1.5 D chính ui 1.5.1 Định nghĩa. Cho M là R – môđun . i hần t x  R , x  0 được gọi là ư c của 0 đối v i M nếu tồn tại phần t m M , m≠ ii hần t sao cho xm . x  R được gọi là M – chính qui nếu M  x M và x không là ư c của không đối v i M. iii Một dãy {x1 , ..., xt } các phần t của R được gọi là dãy chính quy của M hay M - dãy nếu M  0 và xi không là ư c của ( x1 ,..., xt ) M của môđun M , i  1, 2,..., t . ( x1 , ..., xi 1 ) M . 1.5. Định nghĩa. Cho I ⊆ R là một iđêan. ếu x1 , ..., xt  I và là dãy chính qui th dãy { x1 , ..., xt } được gọi là dãy M chính quy cực đại nếu không tồn tại y  I đ {x1 , ..., xt , y} là một dãy M - chính qui và t được gọi là độ dài của dãy trên. 1.5. nh đ . ho dài của dãy là vành đ a ph ng và I  R là m t iđ an. hi đó đ - ch nh ui c c đại n m t ong iđ an I luôn nh nhau. T Mệnh đề 1. . ta có định nghĩa sau . 12 1.5.4 Định nghĩa. Cho (R, m là vành địa phương oether. Khi đó độ dài của dãy chính qui cực đại trong m kí hiệu là depth (m,M) hay depth M được gọi là độ sâu của môđun M. 1.5.5 Ch . Ta luôn có depth ≤ dim . 1.5.6 Định nghĩa. R – môđun M được gọi là môđun Cohen – Macaulay nếu depth M = dim M. ếu R là môđun Cohen – Macaulay trên chính nó th ta nói r ng R là vành Cohen – Macaulay. 1.5. Ví dụ. (i) Vành R1  k[ x1 ,..., xn ] , R2  k[[ x1 ,..., xn ]] là Cohen – Macaulay v depth R1 = dim R1 = n; depth R2 = dim R2 = n. Macaulay v depth = dim là vành Cohen – = 1. (ii) R = k[x,y,z] / ((x2)  (x2,y3,z)) không phải là vành Cohen – Macaulay v dim R = 2 trong khi depth R = 0. 1.6 ô đun đối đ ng đi u địa phư ng. khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck. Ta gọi R là vành giao hoán địa phương oether, I là iđêan của R và M là R – môđun. Ta có 0: M I ⊆ 0: M I 2 ⊆ …⊆ 0 : M In ⊆ … à dãy các môđun con lồng nhau của M nên n (0 : M In cũng là môđun con của M , ký hiệu là  I (M ) và gọi là môđun con I – xoắn của M. Xét đồng cấu R – môđun f : M , khi đó f(  I (M ) ) ⊆  I ( N ) . Kí hiệu là  I ( f ) hay f* là ánh xạ hạn chế của f trên  I (M ) . f  I () : ( M  N I ( f )  I (M )   I ( N ) ) à hàm phần t hiệp biến, cộng tính R - tuyến tính ), kh p trái và được gọi là hàm t I – xoắn. 1.6.1 Định nghĩa. Xét giải nội xạ của môđun M. 13 d0 d1 d i1 di i 1 E : 0  M  E  E  ...  E  E  ...  0 1 i Khi đó ta có dãy phức  I ( d 0 )  I ( d1 )  I ( d i1 ) I ( d i )  I ( E ) : 0   I ( M )   I ( E )   I ( E )  ...   I ( E )   I ( E i 1 )  . 0 1 i Khi đó H i ( I ( E  ))  Ker I (d i ) / Im  I (d i 1 ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M v i giá là I. 1.6. Định . ho là iđ an của vành giao hoán Noethe và là – môđun h u hạn sinh chi u d. Khi đó H Ii (M )  0 , ⩝ i depth và ⩝ i > d. 1.7 Iđ an kh i đ u và c s Gro bn r. Trư c hết ta xét đến thứ tự t dùng trong cơ sở Groebner đó là thứ tự trên tập tất cả các đơn thức của vành đa thức một biến hay nhiều biến. 1.7.1 Định nghĩa. Thứ tự t ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập  tất cả các đơn thức của k x thoả mãn các tính chất sau: a V i mọi m   , 1 ≤ m. b ếu m1 , m2 , m   mà m1  m2 th mm1  mm2 . T định nghĩa ta thấy trên vành đa thức một biến chỉ có một thứ tự t . Đó là thứ tự xác định bởi bậc đơn thức. Sau đây là một khái niệm thứ tự t khi số biến t hai trở lên. 1.7. Định nghĩa. Th t t đi n ký hiệu lex xác định như sau: x11 ...xnn rlex x11 ...xnn nếu thành phần đầu tiên khác không k t bên trái của véc tơ (1  1 , ...,  n  n ) là một số âm. tại ≤ i < n sao cho 1  1 ,...,  n  n nhưng i 1  i 1 . ói cách khác, tồn 14 1.7. Định nghĩa. Th t t đi n ng ợc là thứ tự lex xác định như sau: x11 ...xnn rlex x11 ...xnn nếu deg ( x11 ...x1n )  deg ( x11 ...x1n ) hoặc deg ( x11 ...x1n )  deg ( x11 ...x1n ) và thành phần đầu tiên khác không k t bên phải của vectơ ( 1  1 ,...,  n  n ) là một số dương. ói cách khác, x11 ...xnn rlex x11 ...xnn nếu 1  ...   n  1  ...  n hoặc 1  ...   n  1  ...  n và tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho  n  n ,..., i 1  i 1 v i  i > i 1.7.4 Định nghĩa. Cho ≤ là một thứ tự t và f  R = K [ x1 , x2 ,..., xn ] . T khởi đầu của f ký hiệu là in f, là t l n nhất của đa thức f đối v i thứ tự t ≤. T khởi đầu c n gọi là t đầu hay t đầu tiên. ếu viết f theo thứ tự giảm dần đối v i thứ tự t đã chọn th in f s xuất hiện đầu tiên. Ví dụ. Cho f = 4z5 - x2yz + y3z4 + 2x5. (i) Đối v i th t t đi n mà x y , ta viết f theo thứ tự giảm dần f = 2x5- x2yz + y3z4 + 4z5 vậy inlex f = 2x5. ii Đối v i th t t đi n ng ợc mà x > y > z f = y3z4 + 2x5 + 4z5 - x2yz . ếu in ( f ) = axk, ≠ a  K th lc ( f )  a được gọi là hệ số đầu và lm ( f )  x k được gọi là đơn thức đầu của f đối v i thứ tự t ≤. 15 Đ đơn giản ta thường viết in(f), lc(f), lm(f) thay cho in ( f ) , lc ( f ) , lm ( f ) . Sau đây là các tính chất cơ bản của các t khởi đầu đối v i một thứ tự t ≤ nào đó. 1.7.5 nh đ . Cho f, g  mà m   . khi đó (i) in(fg) = in(f) in(g). (ii) in(mf) = m in(f). (iii) lm( +g) ≤ ma lm( ), lm(g) . ấu y a khi và ch khi in(f) = - in(g). Ta có một khái niệm xuất phát đi m h nh thành lý thuyết cơ sở Groebner. 1.7.6 Định nghĩa. Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự t . Iđêan khởi đầu của I, ký hiệu là in I hay in I , là iđêan của R sinh bởi các t khởi đầu của các phần t của I, có nghĩa là In(I) = (in(f) | f  I). Một số tính chất cơ bản của iđêan khởi đầu là: 1.7. nh đ . ho ≤ là m t th t t và , là các iđ an của . hi đó (i) in(I) = (in(f) | f  I ) (ii) Nếu là iđ an đ n th c thì in(I) = I. (iii) Nếu ⊆ thì in(I) ⊆ in( ). n n a nếu ⊆ mà in(I) in( ) thì =J. (iv) in(I) in(J) ⊆ in(IJ). (v) in(I) + in(J) ⊆ in(I + J). 1.7.8 Định nghĩa. Cho I, là hai iđêan của một vành oether của vành suy ra tồn tại s  I : Js= i1 oether. T tính đ I : Ji và ký hiệu là I : J  . Khi nghiên cứu vành đa thức, đôi khi ch ng ta cần giải quyết bài toán t m 16 I : J  , chẳng hạn iđêan I : ( x1 ,..., xn )∞ được gọi là iđ an bão hoà của I, ký hiệu là I sat . 17 CHƯƠNG : CHỈ SỐ CHÍNH QUI CASTELNUOVO - MUMFORD VÀ TÍNH H U HẠN C A HÀ số kiến hức c 2.1 HILBERT b n của chỉ số chính u Cas nuovo - Mumford Trong suốt luận văn này giả s S = k[x1,x2,...,xr] là một vành đa thức trên trường K. Giả s M  M là S môđun phân bậc hữu hạn sinh và giả s t t 0  Fs  ...  F1  F0  M  0 là giải tự do phân bậc tối ti u của S - môđun M. Viết bi là bậc cực đại của phần t sinh Fi . Theo trong ([6] 20.5) ta nói r ng M là m - chính qui v i số nguyên m nào đó nếu bi - j <= m,  j. Chỉ số chính qui Castelnuovo – Mumford reg(M) của M được xác định là số nguyên m nhỏ nhất, sao cho M là m-chính qui, có nghĩa là reg(M) = max{ bi –i , i …s}. Ta biết r ng M là m- chính qui khi và chỉ khi Extsi ( M )n = v i mọi i và mọi n ≤ - m – i – 1. Kết quả này khó áp dụng v có nhiều điều kiện phải được ki m tra. Tuy nhiên, trong một số trường hợp chỉ cần ki m tra ít điều kiện. Ta nói M là m - chính qui yếu nếu: Extsi (M ) mi 1 v i mọi i ≥ 0 . hờ một kết quả của Mumford, nếu depth M và M là m – chính qui yếu, thì M là m - chính qui (xem [6]). T điều này ta có th dễ dàng suy ra kết quả sau xem 10], Hệ quả 1.2 . 2.1.1 nh đ . Giả sử S/ là m t đại s phân bậc chu n và m là s nguyên không âm. Nếu R là m - ch nh ui yếu, thì R là m - chính qui. 18 h ng minh. S dụng đối ng u địa phương ta có th đặc trưng khái niệm đó của tính chính qui theo nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương của M. Giả s kí hiệu là iđêan phân bậc cực đại của S và M là S - môđun phân bậc hữu hạn sinh. V i số nguyên i tuỳ ý ta ký hiệu H i (M) là môđun đối đồng điều thứ i của M v i giá  . Theo đối ng u địa phương xem 6 , A 4.2 ta có H i (M )n  Extsi (M , S ) mn v i mọi i và m. Do đó, M là m - chính qui khi và chỉ khi nếu H  M  = 0 v i mọi i và n ≥ m - i +1, i  n và M là m - chính qui yếu khi và chỉ khi H i (M )mi 1  0  i. Đặc biệt reg M là số nguyên m nhỏ nhất thỏa H i (M )n  0  i và n ≥ m - i + 1. T đó chỉ số chính qui Castelnuovo – Mumford có th được xác định v i S – môđun hữu hạn sinh tuỳ ý. V i số nguyên i tuỳ ý ta đặt ai (M): = max{ n | H i (M ) n  0 }, trong đó ai (M) = - ∞ i nếu H  (M )m  0 . Thế thì reg(M) = max{ ai (M) + i | i ≥ 0} Một chú ý có liên quan đó là chỉ số chính qui Castelnuovo - Mumford điều khi n dáng điệu của hàm Hilbert. Ta nh lại r ng hàm Hilbert của M là hàm số hM (t )  dimk (M t ) . Đa thức Hilbert pM ( M ) của M là đa thức có bậc d – 1 sao cho hM (t ) = pM (t )  t >> 0. Hàm Hilbert hM (n) và đa thức Hilbert hM (n) = pM (n) pM (n) có quan hệ bởi công thức 19 v in reg(M). Đây là một hệ quả của công thức Serre nó đ ng v i mọi số nguyên n (n) - = pM (n)  (1) i 0 i dimk H i ( M )n . Chứng minh, chẳng hạn xem [4, Định lý 4.4. . Một khái niệm rất tự nhiên được đưa ra sau đây và yếu hơn khái niệm của chỉ số chính qui. Ta nói r ng M là m – ch nh uy hình học nếu H i (M )n  0 v i mọi i > 0 và n > m – i + 1 và ta định nghĩa chỉ số ch nh uy hình học g – reg M của M là số nguyên m nhỏ nhất thoả mãn là m - chính qui h nh học. Rõ ràng g - reg ( M ) = max { ai (M) + i | i > 0 }. T đó ta luôn có: g - reg ( M ) = reg ( H / H 0 ( M ) ) ≤ reg (M ). Đặc biệt : reg ( M ) = g - reg ( M ) nếu depth M > 0. V i một đại số phân bậc chuẩn R = S/I một định lý của Got mann cho một chặn trên cho chỉ số chính quy h nh học theo một số nguyên được tính t đa thức Hilbert của R. 2.1.2 Định . (xem [7]) Giả thiết ng  n as ( s 1)   n  a1   n  a2 1  pR ( n )       ...    a1 a2       as  Với a1 a2 …………….. as khi đó sat g - reg ( R) = reg ( S/ I ) ≤ s – 1. Chẳng hạn: nếu R có chiều là 1 và số bội e th đa thức của nó là :