Tài liệu Cấu trúc một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Thị Phương Thảo CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Võ Thị Phương Thảo CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số : 60 4 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS.TS. BÙI XUÂN HẢI Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trải qua thời gian nghiên cứu, cùng với những kiến thức mà thầy cô đã trao dồi cho tôi trong suốt thời gian học tại trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đến nay tôi đã hoàn thành cuốn luận văn của mình. Để đạt được kết quả này không chỉ nhờ sự nổ lực của cá nhân mà còn có sự động viên giúp đở của gia đình, thầy cô, bạn bè và tập thể lớp Đại số và Lý thuyết số K22, đặc biệt là PGS. TS. Bùi Xuân Hải. Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Bùi Xuân Hải đã khuyến khích, chỉ dẫn tận tình cho tôi trong suốt thời gian nghiên cứu luận văn. Tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể quý Thầy Cô khoa Toán – Tin, các cán bộ phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh, … đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi trong trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên giúp đỡ và cho tôi những lời khuyên bổ ích trong suốt thời gian thực hiện đề tài. TP. Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2013 Học viên thực hiện Võ Thị Phương Thảo MỤC LỤC Trang Mục lục Bảng kí hiệu MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1 - KIẾN THỨC CƠ SỞ ................................................................... 2 T 0 1.1. Tính đơn của nhóm thay phiên ............................................................. 2 T 0 T 0 1.1.1.Nhóm đơn ....................................................................................... 2 T 0 0T 1.1.2. Nhóm thay phiên ............................................................................ 8 T 0 0T 1.1.3. Tính đơn của nhóm thay phiên ..................................................... 11 T 0 T 0 1.2. Nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn ................................................. 15 T 0 T 0 1.2.1. Định nghĩa nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn ......................... 15 T 0 T 0 1.2.2. Cấp của nhóm tuyến tính .............................................................. 17 T 0 T 0 1.2.3. Một số tính chất của các nhóm tuyến tính ..................................... 18 T 0 T 0 Chương 2 - CẤU TRÚC MỘT SỐ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN ................................................................................................... 24 T 0 2.1. Nhóm con hoán tử của 𝑮𝑳(𝒏, 𝑲) ....................................................... 24 0T T 0 2.2. Các 2 – nhóm con Sylow của nhóm SL(2,3)....................................... 26 T 0 T 0 2.3. Các p – nhóm con Sylow của nhóm 𝑺𝑳(𝟐, 𝟓) ..................................... 30 0T T 0 2.4. Các nhóm PSL(2,2) và PSL(2,3) ........................................................ 33 T 0 T 0 2.5. Các nhóm 𝑷𝑺𝑳(𝟑, 𝟒) và 𝑨𝟖 ............................................................... 39 T 0 0T KẾT LUẬN .................................................................................................... 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 42 Bảng ký hiệu 𝐴𝑢𝑡 (𝐺) - Nhóm các tự đẳng cấu của nhóm G 𝐶𝐺 (𝐻) = {𝑥 ∈ 𝐺 𝑥ℎ = ℎ𝑥, ∀ℎ ∈ 𝐻} – tâm hóa tử của H trong G 𝐸𝑖𝑗 - ma trận có 1 ở vị trí (𝑖, 𝑗) và 0 ở các vị trí còn lại 𝐹𝑞 – trường hữu hạn có q phần tử 𝑁𝐺 (𝐻) = {𝑥 ∈ 𝐺 𝑥 −1 𝐻𝑥 = 𝐻} – chuẩn hóa tử của H trong G 𝑆𝑦𝑙𝑝 (𝐺) – tập hợp các p- nhóm con Sylow của G (𝑎, 𝑏) – ước chung lớn nhất của hai số nguyên 𝑎, 𝑏 𝑘𝑛 – 𝑘 là ước của 𝑛 𝐻 ≤ 𝐺 − 𝐻 là nhóm con của 𝐺 HG – H là nhóm con chuẩn tắc của G 𝐾 ∗ − nhóm các phần tử khả nghịch của trường 𝐾 𝑍(𝐺) − tâm của 𝐺 |𝐺| − cấp của nhóm 𝐺 |𝑎| − cấp của phần tử 𝑎 𝑎−1 − phần tử nghịch đảo của phần tử 𝑎 𝐸 − ma trận đơn vị 𝑀𝑛 (𝐾) − vành ma trận vuông cấp 𝑛 trên 𝐾 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính tổng quát bậc 𝑛 trên 𝐾 𝑆𝐿(𝑛, 𝐾) − nhóm tuyến tính đặc biệt bậc 𝑛 trên 𝐾 PGL(n,K) – nhóm tuyến tính xạ ảnh tổng quát bậc n trên K PSL(n,K) – nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt bậc n trên K 𝜏𝑣,𝜌 (𝑥) = 𝑥 + 𝑣𝜌(𝑥) − phép co 𝑡𝑖𝑗 (𝑎) = 𝐸 + 𝑎𝐸𝑖𝑗 − phép co sơ cấp 𝑆𝑛 − nhóm đối xứng bậc 𝑛 𝐴𝑛 − nhóm thay phiên bậc 𝑛 〈𝑎〉 − nhóm con sinh bởi 𝑎 [𝐺: 𝐻] − chỉ số của H trong G 𝑦 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝑦𝑥 −phần tử liên hợp với 𝑦 trong một nhóm 𝐻 𝑥 ≔ 𝑥 −1 𝐻𝑥 −nhóm con liên hợp với 𝐻 𝐺 ⁄𝐻 − nhóm thương của G theo 𝐻 [𝑎, 𝑏] ≔ 𝑎−1 𝑏 −1 𝑎𝑏 −giao hoán tử của 𝑎 và 𝑏. 1 MỞ ĐẦU Các nhóm tuyến tính đóng một vai trò quang trọng trong Lý thuyết nhóm nói riêng và trong toán học nói chung. Đó là lí do em chọn đề tài “Cấu trúc một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn”. Luận văn này sẽ mô tả một số nhóm tuyến tính đặc biệt trên trường hữu hạn. Chủ yếu dựa trên ứng dụng của Định lí Sylow; Định lí Jordan – Dickson về tính đơn của nhóm tuyến tính xạ ảnh đặc biệt; tính đơn của nhóm thay phiên 𝐴𝑛 . Luận văn sẽ đề cập đến các p- nhóm con Sylow và tính đơn của một số nhóm tuyến tính. Từ đó tìm được mối liên hệ giữa các nhóm này với một số đối xứng và nhóm thay phiên đặc biệt. Trong các nhóm tuyến tính cùng cấp với nhóm thay phiên tương ứng, có những nhóm đẳng cấu và cũng có những nhóm không đẳng cấu với các nhóm thay phiên. Nội dung luận văn gồm hai chương: Chương một: Kiến thức cơ sở. Chương này chủ yếu trình bày các kiến thức cơ bản về nhóm đơn, nhóm tuyến tính, nhóm đối xứng và nhóm thay phiên. Chương hai: Cấu trúc một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn. Chương này mô tả các p- nhóm con Sylow và tính đơn của một số nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn. Từ đó tìm được mối liên hệ giữa các nhóm này với các nhóm thay phiên có cùng cấp. 2 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Tính đơn của nhóm thay phiên 1.1.1.Nhóm đơn Định nghĩa 1.1.1.1. Nhóm G được gọi là nhóm đơn nếu G ≠ 1 và chỉ có nhóm con chuẩn tắc là 1 và chính nó. Định lý 1.1.1.2. Nếu G ≠ 1 và là p- nhóm hữu hạn thì Z(G) ≠ 1. Định lý 1.1.1.3. Cho G là nhóm cấp n, p là một ước nguyên tố của n. Khi đó, số các p- nhóm con Sylow của G là một ước của n và nguyên tố cùng nhau với p. Chứng minh. Gọi 𝑛𝑝 là số các p- nhóm con Sylow của G. Kí hiệu 𝑆 = {𝑥𝑃𝑥 −1 : 𝑥 ∈ 𝐺} là tập các nhóm con liên hợp với P. Theo Định lí Sylow, S có 𝑛𝑝 phần tử. Xét tác động của G lên S bằng phép liên hợp. Tác động này chỉ có một quỹ đạo, chính là S. Theo công thức các lớp, |𝑆| = 𝑛𝑝 = [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)], Do đó 𝑛𝑝 là ước của n. Vì 𝑛𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝) nên 𝑛𝑝 nguyên tố cùng nhau với p. Định lý 1.1.1.4. Cho G là nhóm đơn có cấp n và p là ước nguyên tố của n. Khi đó, số các p– nhóm con Sylow của G nhiều hơn 1. Chứng minh. Giả sử P là p – nhóm con Sylow duy nhất của G. Theo chứng minh của Định lí 1.1.1.3, [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)] = 𝑛𝑝 = 1, hay 𝐺 = 𝑁𝐺 (𝑃), do đó 𝑥𝑃𝑥 −1 = 𝑃 với mọi 𝑥 ∈ 𝐺. Như vậy P phải là nhóm con chuẩn tắc thực sự của G, điều này mâu thuẫn với giả thiết G là nhóm đơn. Do đó số các p– nhóm con Sylow của G phải nhiều hơn 1. Định lý 1.1.1.5. Cho nhóm G có cấp pq, với p, q là hai số nguyên tố. Khi đó 3 i) Nếu 𝑝 = 𝑞 thì G là nhóm aben. Hơn nữa, G đẳng cấu với 𝑍𝑝2 nếu G chứa phần tử cấp 𝑝2 và đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 nếu G không chứa phần tử cấp 𝑝2 . ii) Nếu 𝑝 ≠ 𝑞 thì G không là nhóm đơn. Hơn nữa, nếu 𝑞 ≢ 1(𝑚𝑜𝑑𝑝) thì G có p – nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trong trường hợp này G là nhóm cyclic. Chứng minh. i) Với p = q, G là nhóm aben. Thật vậy, gọi 𝑍(𝐺) = {𝑎 ∈ 𝐺: 𝑎𝑥 = 𝑥𝑎, ∀𝑥 ∈ 𝐺} là tâm của G và C(a) = {x∈G: xa = ax}. Trước hết ta chứng minh công thức: |𝐺| = |𝑍(𝐺)| + ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], trong đó {x i } i∈I là R R R R các phần tử không nằm trong tâm. Xét tác động * : G×G→G, x*g = xgx-1, P P ∀x, g∈G của nhóm G lên tập G. Theo công thức phân tích thành quỹ đạo, ta có: = G Z (G ) + ∑ [G : Gxi ] i∈I Mặt khác: xi } {x ∈ G : xxi x −1 == xi } {x ∈ G : xxi = xi x} = C ( xi ) {x ∈ G : x * xi == Gxi =  G  xi ∈ Z (G ) ⇔ C ( xi ) = Như vậy, ta vừa chứng minh được |𝐺| = |𝑍(𝐺)| + ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], trong đó {x i } i∈I là các phần tử không nằm trong tâm. Suy ra |𝑍(𝐺)| = |𝐺| − R R R R ∑𝑚 𝑖=1[𝐺: 𝐶(𝑥𝑖 )], do đó |𝑍(𝐺)| chia hết cho p . Mặt khác, 𝑍(𝐺) ≠ ∅ nên |𝑍(𝐺)| là ước của p2. Khi đó |𝑍(𝐺)| = 𝑝 hoặc |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 . Nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝 thì ta P P xét nhóm thương 𝐺/𝑍(𝐺), ta có |𝐺/𝑍(𝐺)| = 𝑝, suy ra 𝐺/𝑍(𝐺) =< 𝑥𝑍(𝐺) >. Mặt khác |𝑍(𝐺)| = 𝑝 nên 𝑍(𝐺) =< 𝑦 >, do đó mỗi phần tử của G có dạng 𝑔 = 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 . Do tính giao hoán của x và y nên G giao hoán. Còn nếu |𝑍(𝐺)| = 𝑝2 thì dễ thấy 𝑍(𝐺) = 𝐺 nên G giao hoán. Vậy, G đẳng cấu với Z p2 nếu G chứa phần tử cấp p2 và đẳng cấu với 𝑍𝑝 × 𝑍𝑝 nếu G không chứa phần tử cấp P p2. P P P 4 ii) Giả sử p < q. Theo Định lý Sylow, tồn tại các nhóm con A, B của G sao cho |𝐴| = 𝑝 và |𝐵| = 𝑞. Hơn nữa, A chính là một p – nhóm con Sylow của G, B chính là một q – nhóm con Sylow của G. Mà mọi nhóm hữu hạn có cấp = A nguyên tố đều là nhóm cyclic, nên ta có thể xem = a ;B b với a, b ∈ G , cấp của a là p, cấp của b là q. Gọi n p là số các p – nhóm con Sylow của G, nq là số các q – nhóm Sylow của G. Ta có nq = 1 + kq, nq | p (do n q |pq, (n q ,q) = 1 và theo Định lý Sylow) và R R R R p < q nên nq = 1 . Khi đó: B  G . Vậy G không là nhóm đơn. Tương tự n p = 1 + kp, n p | q . Khi đó, ta có hai trường hợp. Nếu 𝑛𝑝 = 1 thì A là nhóm con chuẩn tắc của G. Ta sẽ chứng minh ab có cấp là pq. Thật vậy, ta có A ∩ B = {e} (do p và q nguyên tố cùng nhau), mà aba −1b −1 ∈ A ∩ B (do A và B là các nhóm con chuẩn tắc của G) nên ab = ba . Khi đó, do cấp của a và b nguyên tố cùng nhau nên ab có cấp là pq. Như vậy 𝐺 = 〈𝑎𝑏〉 = 𝑍𝑝𝑞 (do G có cấp là pq). Trong trường hợp n p = q , G không phải là nhóm Abel. Ta có tập tích AB là một nhóm con của G và |𝐴𝐵| = |𝐴|.|𝐵| |𝐴∩𝐵| = 𝑝𝑞. Do đó G = AB. Như vậy, ta vừa chứng minh được G không là nhóm đơn do G có q- nhóm con Sylow chuẩn tắc; nếu q ≡/ 1( mod p ) thì G có một p- nhóm con Sylow chuẩn tắc. Trong trường hợp này G là nhóm cyclic. Định lý 1.1.1.6. Cho G là nhóm cấp p2q, trong đó p, q là các số nguyên tố P P phân biệt. Khi đó G không là nhóm đơn và G có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc hoặc G có q- nhóm con Sylow chuẩn tắc. Chứng minh. Gọi 𝑛𝑝 , 𝑛𝑞 lần lượt là số các p- nhóm con Sylow và số các q- nhóm con Sylow. Giả sử G không có p- nhóm con Sylow chuẩn tắc và q- 5 nhóm con Sylow chuẩn tắc. Khi đó 𝑛𝑝 > 1 và 𝑛𝑞 > 1. Ta có, 𝑛𝑞 là ước của 𝑝2 𝑞 và 𝑛𝑞 nguyên tố cùng nhau với q. Vì thế n q = p2 hoặc n q = p. R R P P R R Ta xét hai trường hợp: Trường hợp n q = p2, chú ý rằng nếu Q là qR R P P nhóm con Sylow thì Q có cấp q và do đó x có cấp q với mọi 𝑒 ≠ 𝑥 𝑄. Vì thế, mỗi q- nhóm con Sylow chứa đúng 𝑞 − 1 phần tử cấp q. Dễ thấy hai q- nhóm con Sylow tuỳ ý hoặc là bằng nhau, hoặc có giao là nhóm con tầm thường. Do đó số phần tử có cấp q của G là n q(𝑞 − 1). Gọi L là tập các phần R tử của G không có cấp q. Ta có: |𝐿| = 𝑝2 𝑞 − 𝑛𝑞 (𝑞 − 1) = 𝑝2 𝑞 − 𝑝2 (𝑞 − 1) = 𝑝2 . Giả sử P là một p- nhóm con Sylow. Khi đó cấp của P là p2 P và vì thế tất cả p2 phần tử của P đều không có cấp q. Suy ra P = L. Do đó G P P P chỉ có duy nhất một p- nhóm con Sylow, tức là n p = 1, vô lí. Trường hợp n q = R R R R p. Theo Định lí Sylow, n q ≡ 1(mod q), vì thế 𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑞). Suy ra p > q. Ta R R có, n p là ước của p2q và nguyên tố cùng nhau với p, vì thế n p = q. Theo Định R R P P R R lí Sylow, 𝑛𝑝 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝), do đó 𝑞 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 𝑝). Vì thế q > p, vô lí. Định lý 1.1.1.7. Mọi nhóm cấp pqr (p, q, r là các số nguyên tố đôi một khác nhau) không là nhóm đơn. Chứng minh. Giả sử p < q < r . Lấy G là nhóm cấp pqr . Giả sử G là nhóm đơn. Đặt n p , nq , nr lần lượt là số các p- nhóm con Sylow, q- nhóm con Sylow và r- nhóm con Sylow. Do G đơn nên nó không có nhóm con chuẩn tắc thực sự. Theo Định lí 1.1.1.4, n p > 1, nq > 1, nr > 1 . Theo Định lí Sylow, ta có n p | qr , kết hợp với n p > 1 ta được n p = q , hoặc n p = r , hoặc n p = qr . Mà 𝑞 < 𝑟 nên n p ≥ q . Mặt khác, nq = pr và n p ≡ 1(mod q ) , kết hợp với nq > 1, p < q < r ta suy ra nq = r hoặc 6 nq = pr . Vậy nq ≥ r . Hơn nữa, nr | pq và nr ≡ 1 (mod r), kết hợp với nr > 1, p < q < r , ta suy ra nr = pq . Khi đó, số phần tử cấp r trong G là nr ( r − 1= ) pq ( r − 1) ; số phần tử cấp q trong G là nq ( q − 1) ≥ r ( q − 1) ; số phần tử cấp p trong G là n p ( p − 1) ≥ q ( p − 1) . Suy ra G ≥ pq ( r − 1) + q ( p − 1) + r ( q − 1) > pqr (mâu thuẫn). Vậy G không đơn. Định lí 1.1.1.8. Nếu 𝐻 ≤ 𝐺 và [𝐺: 𝐻] = 𝑛 thì tồn tại một đồng cấu 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝑆𝑛 sao cho 𝑘𝑒𝑟 𝜑 ≤ 𝐻. Chứng minh. Cho 𝑎 ∈ 𝐺 và X là họ tất cả các lớp ghép trái của H trong G. Khi đó ta định nghĩa hàm số 𝜑𝑎 : 𝑋 ⟶ 𝑋 xác định như sau 𝑔𝐻 ⟼ 𝑎𝑔𝐻, ∀𝑔 ∈ 𝐺. Dễ kiểm tra được mỗi 𝜑𝑎 là một hoán vị của X. Khi đó, 𝜑: 𝐺 ⟶ 𝑆𝑋 ≅ 𝑆𝑛 xác định 𝑎 ⟼ 𝜑𝑎 là một đồng cấu. Nếu 𝑎 ∈ 𝑘𝑒𝑟𝜑 thì 𝑎𝑔𝐻 = 𝑔𝐻, ∀𝑔 ∈ 𝐺. Đặc biệt, 𝑎𝐻 = 𝐻, nên 𝑎 ∈ 𝐻. Do đó 𝑘𝑒𝑟𝜑 ≤ 𝐻. Hệ quả 1.1.1.9. Cho G là nhóm đơn, H là nhóm con của G có chỉ số n trong G. Khi đó, G nhúng được vào 𝑆𝑛 . Từ đó suy ra cấp của G là ước của n!. Mệnh đề 1.1.1.10. Mọi nhóm cấp p n ( n > 1) đều không là nhóm đơn. Chứng minh. Lấy G là nhóm cấp p n ( n > 1) . Giả sử G là nhóm đơn. Theo Định lí Sylow, G có nhóm con H cấp p n−1 , [G : H ] = p . Theo Hệ quả 1.1.1.9, G | p ! nên p n | p ! , suy ra n = 1 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy G không là nhóm đơn. 7 Định lí 1.1.1.11. Các nhóm cấp 2𝑛 . 3 (𝑛 ≥ 2) không là nhóm đơn. Chứng minh. Dùng phản chứng , giả sử G là nhóm đơn có cấp 2𝑛 . 3 (𝑛 ≥ 2) thì n 2 > 1 nhưng theo Định lý Sylow, 𝑛2 3 và n 2 ≡ 1(mod 2) suy ra n 2 = 3 ⇒ R R R R R R ∃ H ≤ G, [G:H] = n 2 = 3. Khi đó, 𝑛2 .3 = G3! = 6 ⇒ 2n-11 (vô lý vì n – R R P P 1 ≥ 2). Định lí 1.1.1.12. Không tồn tại các nhóm đơn không abel cấp nhỏ hơn 60. Chứng minh. Ta cần chứng minh các nhóm cấp nhỏ hơn 60 chỉ gồm nhóm abel; nhóm không đơn (có thể là nhóm abel). Trước hết, các nhóm có cấp p, p2, với p là số nguyên tố, là các nhóm abel, nên các nhóm có cấp 2, 3, 4, 5, 7, P P 9, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 53, 59 là nhóm abel. Tất nhiên nhóm cấp 1 là nhóm abel. Theo Định lí 1.1.1.10, mọi nhóm cấp p n (n > 1) đều không là nhóm đơn. Do đó các nhóm có cấp 8, 16, 27, 32 không đơn. Theo Định lí 1.1.1.5, mọi nhóm cấp 𝑝𝑞 đều không là nhóm đơn. Do đó các nhóm có cấp 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 46, 51, 55, 57, 58 không đơn. Theo Định lí 1.1.1.6, mọi nhóm cấp 𝑝2 𝑞 đều không là nhóm đơn. Do đó các nhóm có cấp 12, 18, 28, 44, 45, 50, 52 không đơn. Theo Định lí 1.1.1.7, mọi nhóm cấp 𝑝𝑞𝑟 đều không là nhóm đơn. Do đó các nhóm có cấp 30, 42 không đơn. Theo Định lí 1.1.1.11, mọi nhóm cấp 2𝑛 . 3 (n ≥ 2) đều không là nhóm đơn. Do đó các nhóm có cấp 24, 48 không đơn. 8 Nhóm cấp 36 không là nhóm đơn.Thật vậy, gọi G là nhóm cấp 36 = 22 . 32 . Giả sử G đơn thì n > 1 nhưng theo Định lý Sylow, n 3 4 và R R n 3 ≡1(mod 2) suy ra n 3 = 4. Gọi H là 3- nhóm con Sylow của G. Khi đó R R R R [G:N G (H)] = n 3 = 4, nên G= 36 chia hết cho 4! (vô lý). Vậy G không là R R R R nhóm đơn. Nhóm cấp 40 không là nhóm đơn. Thật vậy, lấy nhóm G cấp 40 = 23.5, P P ta có n 5 23 = 8 và n 5 ≡1(mod 5), do đó n 5 = 1 nên trong G có duy nhất nhóm R R P P R R R R con 5– sylow cũng là nhóm con chuẩn tắc của G tức G không là nhóm đơn. Nhóm cấp 54 không là nhóm đơn. Thật vậy, lấy nhóm G cấp 54 = 33.2, P P một 3– nhóm con Sylow của G có chỉ số 2 nên cũng là nhóm con chuẩn tắc trong G, do đó G không đơn. Nhóm cấp 56 không là nhóm đơn. Dùng phản chứng, giả sử G là nhóm đơn cấp 56 = 23.7, hay 𝑛7 > 1. Theo Định lý Sylow, 𝑛7 23 = 8 và P P P P 𝑛7 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 7) nên 𝑛7 = 8. Để ý rằng nếu có hai nhóm con khác nhau của G có cấp 7 thì giao của chúng là nhóm con đơn vị. Do đó, số các phần tử cấp 7 là 8(7 – 1) = 48 hay số các phần tử cấp khác 7 là 56 – 48 = 8. Nhưng mỗi 2nhóm con Sylow của G có 23 = 8 phần tử đều có cấp khác 7 nên n 2 = 1. Mâu P P R R thuẫn với giả thiết G là nhóm đơn. Vậy G không là nhóm đơn. 1.1.2. Nhóm thay phiên Định nghĩa 1.1.2.1. Tập các song ánh từ tập 𝑋 = {1, 2, … , 𝑛} vào chính nó là một nhóm với phép nhân là phép hợp nối ánh xạ, được gọi là nhóm đối xứng bậc n trên tập X, kí hiệu là 𝑆𝑛 . Mỗi phần tử của 𝑆𝑛 được gọi là một hoán vị bậc n thường được viết dưới dạng ma trận như sau: 𝜎=� 1 2 … 𝑛 � 𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑛 9 trong đó 𝑖𝑘 = 𝜎(𝑘), ∀𝑘 ∈ ����� 1, 𝑛. Định nghĩa 1.1.2.2. Phần tử 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 được gọi là một k- chu trình hay một chu trình độ dài k, nếu tồn tại một tập con {𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑘 } ⊆ {1,2, … , n} sao cho 𝜎(𝑖1 ) = 𝑖2 , 𝜎(𝑖2 ) = 𝑖3 , … , 𝜎(𝑖𝑘−1 ) = 𝑖𝑘 , 𝜎(𝑖𝑘 ) = 𝑖1 , và ∀𝑗∉{ 𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑘 }. 𝜎(𝑗) = 𝑗, Ta viết đơn giản một chu trình độ dài k là (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑘 ). Chu trình có độ dài 2 được gọi là một chuyển vị. Định nghĩa 1.1.2.3. Ta nói 𝜎 = (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑘 ) và 𝜏 = (𝑗1 𝑗2 … 𝑗𝑙 ) là hai chu trình độc lập hay không giao nhau, nếu {𝑖1 , 𝑖2 , … , 𝑖𝑘 } ∩ {𝑗1 , 𝑗2 , … , 𝑗𝑙 } = ∅ Định lí 1.1.2.4. Mỗi phép hoán vị khác phép đồng nhất là tích của các chu trình đôi một độc lập với nhau. Chứng minh. Xét phép hoán vị 𝜎=� 1 2 … 𝑛 � 𝜎(1) 𝜎(2) … 𝜎(𝑛) Dòng trên ta lấy một phần tử tùy ý, chẳng hạn 𝑖1 , rồi lấy ảnh liên tiếp ta được 𝑖2 là ảnh của 𝑖1 , 𝑖3 là ảnh của 𝑖2 , …, 𝑖𝑚 là ảnh của 𝑖𝑚−1 và 𝑖1 là ảnh của 𝑖𝑚 . Thế thì ta được một chu trình (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑚 ). Tiếp tục cách làm đó với các phần tử còn lại của tập 1, 2, … , 𝑛 cho tới hết ta thu được các chu trình độc lập mà tích của chúng bằng 𝜎. Hệ quả 1.1.2.5. Cấp của một hoán vị bằng bội số chung nhỏ nhất (BSCNN) của các chiều dài của các chu trình trong sự phân tích hoán vị thành tích những chu trình đôi một độc lập nhau. 10 Định lí 1.1.2.6. Mỗi hoán vị khác phép đồng nhất đều phân tích thành tích những chuyển vị. Chứng minh. Mỗi chu trình (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑘 ) đều có thể được phân tích thành tích các chuyển vị như sau: (𝑖1 𝑖2 … 𝑖𝑘 ) = (𝑖1 𝑖𝑘 )(𝑖1 𝑖𝑘−1 ) … (𝑖1 𝑖2 ) Áp dụng Định lí 1.1.2.4, đầu tiên phân tích một hoán vị thành tích các chu trình độc lập, sau đó phân tích mỗi chu trình thành tích các chuyển vị bằng cách vừa nêu trên. Định nghĩa 1.1.2.7. Phép hoán vị được gọi là chẵn nếu nó được phân tích thành tích của một số chẵn các chuyển vị và gọi là lẻ trong trường hợp ngược lại. Tập hợp tất cả các hoán vị chẵn (bậc 𝑛) lập thành một nhóm con của nhóm đối xứng 𝑆𝑛 . Nhóm con này được gọi là nhóm thay phiên 𝐴𝑛 . Hiển nhiên, ta có |𝐴𝑛 | = |𝑆𝑛 | 2 = 𝑛! 2 11 1.1.3. Tính đơn của nhóm thay phiên Định lý 1.1.3.1. Với n >1, 𝐴𝑛 là một nhóm con chuẩn tắc của 𝑆𝑛 có cấp n!/2 và [𝑆𝑛 : 𝐴𝑛 ] = 2. Định lí 1.1.3.2. Nếu nhóm đơn G có nhóm con H có chỉ số n > 2 thì G nhúng được vào 𝐴𝑛 . Chứng minh. Xét ánh xạ 𝜑: 𝐺 → 𝑆𝑛 , do G đơn nên ker 𝜑 = {1}, từ đó 𝐺 ≅ 𝜑(𝐺). Ta có: 𝜑(𝐺) ∩ 𝐴𝑛  𝜑(𝐺). Do G đơn nên 𝜑(𝐺) đơn, suy ra 𝜑(𝐺) ∩ 𝐴𝑛 = 𝜑(𝐺) hoặc 𝜑(𝐺) ∩ 𝐴𝑛 = {1}. Nếu 𝜑(𝐺) ∩ 𝐴𝑛 = 𝜑(𝐺) thì có 𝜑(𝐺) ⊆ 𝐴𝑛 hay G nhúng được vào 𝐴𝑛 . Nếu 𝜑(𝐺) ∩ 𝐴𝑛 = {1} thì 𝜑(𝐺). 𝐴𝑛 ≤ 𝑆𝑛 ⇒ n! ≥ |𝜑(𝐺). 𝐴𝑛 | = |𝜑(𝐺)|.|𝐴𝑛 | |𝜑(𝐺)∩𝐴𝑛 | = |𝜑(𝐺)|.n!�2 1 ⇒ |𝜑(𝐺)| ≤ 2 ⇒ |G| ≤ 2 (trái giả thuyết 𝑛 > 2). Vậy nhóm đơn G có nhóm con H có chỉ số n > 2 thì G nhúng được vào 𝐴𝑛 . Định lý 1.1.3.3. Với mọi 𝑛 ≥ 5, 𝐴𝑛 là nhóm đơn. Chứng minh. Lưu ý rằng 𝐴𝑛 được sinh bởi các chu trình độ dài 3. Giả sử 1 ≠ 𝑁𝐴𝑛 . Trước hết, ta chứng minh nếu N chứa một chu trình độ dài 3 thì N chứa tất cả các chu trình độ dài 3, do đó 𝑁 = 𝐴𝑛 . Sau đó, ta sẽ chứng minh N nhất định chứa một chu trình độ dài 3. Điều này tất nhiên sẽ kết thúc việc chứng minh 𝐴𝑛 là nhóm đơn. Giả sử N chứa một chu trình độ dài 3. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử N chứa chu trình (123). Với mọi 𝑘 > 3, chu trình (23𝑘) ∈ 𝐴𝑛 , do đó (23𝑘)−1 (123)(23𝑘) = (1𝑘2) ∈ 𝑁. Từ đó suy ra (12𝑘) = (1𝑘2)2 ∈ 𝑁.Vậy (12𝑘) ∈ 𝑁, ∀𝑘 ≠ 1,2. 12 Bây giờ, bằng cách tương tự như trên, từ điều kiện (12𝑘) ∈ 𝑁 suy ra (1𝑘𝑙) ∈ 𝑁, ∀𝑙 ≠ 1, 𝑘. Nhưng (1𝑘𝑙) = (𝑘𝑙1), nên cũng bằng cách như trên suy ra (𝑘𝑙𝑗) ∈ 𝑁, ∀𝑗 ≠ 𝑘, 𝑙. Tóm lại, ta đã chứng minh N chứa mọi chu trình độ dài 3. Vậy 𝑁 = 𝐴𝑛 . Ta còn phải chứng minh N chứa ít nhất một chu trình độ dài 3. Điều này sẽ được chứng minh qua một số bước. 1*. Giả sử N chứa phần tử dạng 𝑥 = 𝑎𝑏𝑐 …, trong đó 𝑎, 𝑏, 𝑐 là các chu trình độc lập và 𝑎 = (𝑎1 … 𝑎𝑚 )(𝑚 ≥ 4). Đặt 𝑡 = (𝑎1 𝑎2 𝑎3 ). Ta có 𝑡 −1 𝑥𝑡 ∈ 𝑁. Vì 𝑡 giao hoán với 𝑏, 𝑐, …, nên 𝑡 −1 𝑥𝑡 = (𝑡 −1 𝑎𝑡)𝑏𝑐 … = 𝑧 ∈ 𝑁. Ta có 𝑧𝑥 −1 = (𝑡 −1 𝑎𝑡)𝑎−1 (𝑎1 𝑎3 𝑎4 ) ∈ 𝑁. = 𝑡 −1 (𝑎𝑡𝑎−1 ) = (𝑎1 𝑎3 𝑎2 )(𝑎2 𝑎3 𝑎4 ) = Vậy, trong trường hợp này N chứa mọi chu trình độ dài 3. 2*. Giả sử N chứa một phần tử mà trong sự phân tích thành tích các chu trình độc lập có ít nhất hai chu trình độ dài 3. Không mất tính tổng quát, có thể giả sử N chứa phần tử 𝑥 = (123)(456)𝑦. Trong đó y là một hoán vị cố định các phần tử 1, 2, 3, 4, 5, 6.Đặt 𝑡 = (234), ta có (𝑡 −1 𝑥𝑡)𝑥 −1 = (15243) ∈ 𝑁. Theo 1*, N chứa một chu trình độ dài 3. 3*. Trong trường hợp còn lại, ta giả sử N không chứa những phần tử như đã nêu trong 1* và 2*. Khi đó, mỗi một phần tử của N sẽ hoặc là tích của một chu trình độ dài 3 với các chuyển vị hoặc là tích của những chuyển vị trong sự phân tích của nó thành tích những chu trình độc lập. 13 Nếu 𝑥 = (123)𝑝 ∈ 𝑁, 𝑝2 = 1, thì 𝑥 2 = (123) là một chu trình độ dài 3. Vậy, Giả sử N chứa phần tử x dạng 𝑥 = (12)(34)𝑝, trong đó 𝑝 cố định 1, 2, 3, 4. Đặt 𝑢 = (145), ta có (𝑢−1 𝑥𝑢)𝑥 −1 ∈ 𝑁. Nếu 𝑥(5) = 5 thì (𝑢−1 𝑥𝑢)𝑥 −1 = 𝑢−1 (𝑥𝑢𝑥 −1 ) = (154)(235) = (15243) ∈ 𝑁, nên theo 1*, N chứa một chu trình độ dài 3. Nếu 𝑥(5) = 𝑘 ≠ 5 thì trong N có phần tử (154)(23𝑘), nên theo 2*, N chứa một chu trình độ dài 3. Vậy, định lí được chứng minh xong. Định lý 1.1.3.4. Nhóm đối xứng 𝑆𝑛 được sinh bởi các chu trình (1 2… n) và (12). Chứng minh. Đặt 𝑎 = (12 … 𝑛) và 𝑏 = (12). Gọi G là nhóm con của 𝑆𝑛 sinh bởi a và b. Khi đó G chứa 𝑎𝑏𝑎−1 = (23), do đó G chứa 𝑎(23)𝑎−1 = (34), …. Một cách tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng (𝑗 𝑗 + 1). Từ đó thấy G chứa các chuyển vị (13) = (12)(23)(12), (14) = (13)(34)(13), …. Tổng quát, G chứa tất cả các chuyển vị dạng (1 𝑗), 𝑗 ∈ 2, 𝑛. Nhưng ∀𝑖, 𝑗 ≠ 1, ta có (𝑖𝑗) = (1𝑖)(1𝑗)(1𝑖), nên G chứa mọi chuyển vị. Vậy 𝐺 = 𝑆𝑛 . Định lý 1.1.3.5. Mọi nhóm đơn cấp 60 đều đẳng cấu với 𝐴5 . Trước khi chứng minh định lí này ta cần sử dụng Định lí Burnside. Do việc chứng minh Định lí này tương đối dài nên trong phần này tôi sẽ không trình bày chứng minh Định lí Burnside. 14 Định lý 1.1.3.6 (Định lí Burnside). Cho G là một nhóm hữu hạn, P là một pnhóm con Sylow của G và 𝑁𝐺 (𝑃) = 𝐶𝐺 (𝑃). Khi đó, P có phần bù chuẩn tắc trong G (tức, tồn tại nhóm K sao cho 𝐺 = 𝐾𝑃). Nói riêng, G không là nhóm đơn. Chứng minh Định lí 1.1.1.5. Giả sử G là nhóm đơn cấp 60 = 22 . 3.5. Gọi 𝑛2 là số các 2- nhóm con Sylow của G. Theo Định lý Sylow, 𝑛2 15 và 𝑛2 ≡ 1(𝑚𝑜𝑑 2). G là nhóm đơn nên 𝑛2 ≠ 1. Gọi P là một 2- nhóm con Sylow của G. Khi đó, Nếu 𝑛2 = 3 thì [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)] = 3. Do đó G có nhóm con có chỉ số 3. Theo Định lí 1.1.3.2, G nhúng được vào 𝐴3 (vô lí vì |𝐺| = 60 > 6 = 3! = |𝐴3 |). Nếu 𝑛2 = 5 thì [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)] = 5. Do đó G có nhóm con có chỉ số 5. Theo Định lí 1.1.3.2, G nhúng được vào 𝐴5 mà |𝐺| = 60 = |𝐴5 |. Do đó 𝐺 ≅ 𝐴5 . Nếu 𝑛2 = 15 thì [𝐺: 𝑁𝐺 (𝑃)] = 15 hay |𝑁𝐺 (𝑃)| = 4 = |𝑃|. Hơn nữa, 𝑃 ≤ 𝑁𝐺 (𝑃) nên 𝑃 = 𝑁𝐺 (𝑃). Vì |𝑃| = 4 nên P là nhóm aben do đó 𝑃 ≥ 𝐶𝐺 (𝑃). Do đó, 𝑁𝐺 (𝑃) = 𝑃 = 𝐶𝐺 (𝑃). Theo Định lí Burnside, suy ra G không là nhóm đơn (trái giả thiết). Vậy mọi nhóm đơn cấp 60 đều đẳng cấu với 𝐴5 .