Tài liệu Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử schrodinger từ tính trong không gian hai chiều

LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Tạ Ngọc Trí, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Trang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrödinger từ tính trong không gian hai chiều" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhân tôi. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Tác giả Nguyễn Thị Quỳnh Trang Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2. Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.3. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3. Phổ của toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Toán tử Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Một số định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Phổ của một số dạng toán tử Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.1. Toán tử Schrödinger dạng H0 + V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . λ ...................................... |x| N N P P 2.2.3. Toán tử Schrödinger dạng − ∆j + Vj,k (xj − xk ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Toán tử Schrödinger dạng −∆ − j=1 30 31 35 j 0 và 1 ≤ p ≤ ∞. Không gian Sobolev được định nghĩa như sau: W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω)| Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m} . W m,p là tập hợp tất cả các hàm thuộc Lp (Ω) có đạo hàm suy rộng đến m cũng thuộc Lp (Ω). Ta có Cc∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω thì trù mật trong Lp (Ω), với 1 ≤ p < ∞. Nếu φ ∈ Cc∞ (Ω) thì Dα φ ∈ Cc∞ (Ω), với mọi đa chỉ số α. Như vậy, Cc∞ (Ω) ⊂ W m,p (Ω) ⊂ Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞. W m,p (Ω) là một không gian vectơ. Trên W m,p (Ω) ta trang bị một chuẩn k·km,p,Ω như sau: Với 1 ≤ p < ∞, ta định nghĩa 1/p    X p α kD ukLp (Ω) . k·km,p,Ω =   0≤|α|≤≤m Với p = ∞, ta định nghĩa kukm,∞,Ω = max kDα ukL∞ (Ω) . 0≤|α|≤m Trường hợp đặc biệt p = 2, ta kí hiệu W m,2 (Ω) = H m (Ω), cho u ∈ H m (Ω), khi đó kukm,Ω = kukm,2,Ω . 11 Ta định nghĩa m n H (R ) = n o  2 m/2 2 n  u ∈ L (R ) (1 + |ξ| ) û(ξ) ∈ L (R ) 2 n với chuẩn kuk2H m (Rn ) Z = m 2 (1 + |ξ|2 ) |û(ξ)| . Rn 1.1.4. Không gian Hilbert Định nghĩa 1.9. Cho H là một không gian vectơ trên trường số C (gọi tắt là không gian vectơ phức). Ánh xạ H×H→C (x, y) 7→ hx, yi được gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (i) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H; hx, xi = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không trong H ); (ii) hy, xi = hx, yi với mọi x, y ∈ H; (iii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi với mọi x, x0 , y ∈ H. (iv) hλx, yi = λ hx, yi với mọi x ∈ H, mọi số λ ∈ C. Các phần tử x, x0 , y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số hx, yi gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y. 12 Định nghĩa 1.10. Cho H là một không gian vectơ trên trường số C. Ánh xạ B : H × H → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinear form) nếu B(x0 , ·) là tuyến tính, B(·, y0 ) là liên hợp tuyến tính: B(x + y, z + w) = B(x, y) + B(x, w) + B(y, z) + B(y, w), B(ax, bx) = ab̄B(x, y) với mọi x, y, z, w ∈ H, a, b ∈ C. Định nghĩa 1.11. Không gian vectơ phức H được trang bị một dạng tuyến tính rưỡi h·, ·i thỏa mãn hx, xi > 0 với mọi x ∈ H \ {0}, được gọi là không gian có tích vô hướng (0 kí hiệu là phần tử không trong H). Khi đó, h·, ·i gọi là tích vô hướng trên H. Không gian có tích vô hướng còn gọi là không gian tiền Hilbert. Cho H là không gian tiền Hilbert. Với mỗi x ∈ H, ta đặt kxk = p hx, xi. Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy–Schwarz): |(x, y)| ≤ kxk kyk , ∀x, y ∈ H. Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau: Mệnh đề 1.3. Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn, với chuẩn kxk = p hx, xi. Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiền p Hilbert là không gian định chuẩn, với chuẩn kxk = hx, xi. 13 Định nghĩa 1.12. Nếu không gian tiền Hilbert H với metric cho bởi ρ(x, y) = k(x, y)k là một không gian metric đủ, thì H được gọi là không gian Hilbert. Từ đây trở đi, H sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert. 1.2. Các toán tử 1.2.1. Toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.13. Cho X, Y là các không gian vectơ định chuẩn trên trường số K, ánh xạ T : X → Y tuyến tính nếu T (αx + βy) = α(T x) + β(T y) với mọi x, y ∈ X và α, β ∈ K. Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn (bounded linear operator) nếu tồn tại hằng số C sao cho kT xkY ≤ CkxkX với mọi x ∈ X. Số T nhỏ nhất được gọi là chuẩn của T , kí hiệu là kT k hoặc kT kX,Y . Do đó, kT k = sup kT xkY . kxkX =1 Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X. Khi Y = K thì toán tử tuyến tính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính. 14 Mệnh đề 1.4. Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương: (i) T bị chặn; (ii) T liên tục; (iii) T liên tục tại điểm 0. Định nghĩa 1.14. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Ta kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vào không gian Y . Xét A, B là hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán: • Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là A + B và được xác định bởi biểu thức (A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X; • Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức (αA)(x) = α(Ax). Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và hai phép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ. Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C. Trong trường hợp Y = C thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu là X ∗ . Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X). Chuẩn T trong L(X, Y ) được xác định bởi 15 kT k = sup x6=0 kT xkY , x ∈ X. kxkX Không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn. Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất: (i) kT xk ≤ kT k kxk với mọi x ∈ X. (ii) Với mọi ε > 0, tồn tại xε ∈ X : kT k − ε < kT xε k. Mệnh đề 1.5. Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y ) là không gian Banach. Từ mệnh đề trên suy ra X ∗ luôn là không gian Banach. Định lý 1.2. ([8]) , Kí hiệu L(H) là tập các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert H. Cho Tn là một dãy các toán tử bị chặn và giả sử (Tn x, y) w hội tụ khi n → ∞ với mọi H. Khi đó tồn tại L(H) sao cho Tn −→ T (hội tụ yếu). Nếu một dãy các toán tử Tn trên không gian Hilbert có tính chất Tn x s hội tụ với mọi x ∈ H, khi đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho Tn − → T (hội tụ mạnh). Cho T ∈ L(X, Y ). Tập các vectơ x ∈ X sao cho T x = 0 được gọi là nhân của T , kí hiệu là Ker(T ) = {x ∈ X| T x = 0}. Tập các vectơ y ∈ Y sao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu là Ran(T ) = {y = T x| x ∈ X}. Ta có Ker(T ) và Ran(T ) là các không gian con. Định nghĩa 1.15. Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y . Toán tử liên hợp (trong không gian 16 Banach) của T , kí hiệu là T 0 , là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y ∗ tới X ∗ được cho bởi công thức (T 0 `)(x) = `(T x) với ∀` ∈ Y ∗ , x ∈ X. Định lý 1.3. ([8]) ,Cho X, Y là hai không gian Banach. Ánh xạ T → T 0 là một phép đẳng cấu đẳng cự của L(X, Y ) vào L(Y ∗ , X ∗ ). Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert H vào chính nó. Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ H∗ tới H∗ . Cho C : H → H∗ là ánh xạ ứng với mỗi y ∈ H, là phiếm hàm tuyến tính bị chặn (y, ·) trong H∗ . Xét C là một phép đẳng cự tuyến tính liên hợp và toàn ánh. Chúng ta định nghĩa ánh xạ T ∗ bởi công thức T ∗ = C −1 T 0 C. Khi đó T ∗ thỏa mãn (x, T y) = (Cx)(T y) = (C −1 T 0 Cx, y) = (T ∗ x, y). T ∗ được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T ∗ để phân biệt với T 0 . Chú ý rằng ánh xạ T → T ∗ là tuyến tính liên hợp nghĩa là αT → αT ∗ , do C là tuyến tính liên hợp. Định lý 1.4. ([8]) , (a) T → T ∗ là phép đẳng cấu đẳng cự tuyến tính liên hợp từ L(H) lên L(H); 17 (b) (T S)∗ = S ∗ T ∗ ; (c) (T ∗ )∗ = T ; (d) Nếu T có toán tử ngược bị chặn T −1 thì T ∗ có toán tử ngược bị chặn và (T ∗ )−1 = (T −1 )∗ ; (e) Ánh xạ T → T ∗ luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều; (f) kT ∗ T k = kT k2 . Định nghĩa 1.16. Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert được gọi là tự liên hợp nếu T = T ∗ . Định nghĩa 1.17. Nếu P ∈ L(H) và P 2 = P thì P được gọi là một phép chiếu. Nếu thêm điều kiện thì P = P ∗ được gọi là phép chiếu trực giao. Định nghĩa 1.18. Cho X là không gian Banach, L(X) tà tập các toán tử bị chặn trên X. Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu tồn tại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trong X). Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là B = A−1 . Định lý 1.5. Nếu A ∈ L(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãn kAk < 1, thì toán tử 1 − A là khả nghịch. Định lý 1.6. Nếu toán tử A, B ∈ L(X) là khả nghịch thì tích AB cũng khả nghịch và (AB)−1 = B −1 A−1 . 18 Định lý 1.7. Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch và toán tử B ∈ L(X) sao cho kA − Bk < 1 kA−1 k thì toán tử B khả nghịch. Định nghĩa 1.19. Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục và biến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M là tập bị chặn thì T (M ) là compact tương đối (T (M ) compact). Định nghĩa 1.20. Toán tử Hilbert–Schmidt T là toán tử trên H thỏa mãn tính chất ∞ X kT en k2 < ∞, n=1 với e1 , ..., en là một cơ sở trực chuẩn của H. Toán tử Hilbert-Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact. 1.2.2. Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert Định nghĩa 1.21. Cho H và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệu B(H, K) là tập các toán tử bị chặn từ H vào K, toán tử A ∈ B(H, K). Khi đó tồn tại duy nhất toán tử A∗ ∈ B(H, K) sao cho hAh, kiK = hh, A∗ kiH với ∀h ∈ H, k ∈ K. Toán tử A∗ được gọi là toán tử tự liên hợp của toán tử A. Trong trường hợp H = K và A = A∗ ta nói A là toán tử tự liên hợp. 19