Tài liệu CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Trong chương trình toán THPT học sinh đã được tiếp cận với giới hạn của dãy số và hàm số, đã biết cách tìm giới hạn hàm số hữu hạn và vô hạn. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán về cách tìm giới hạn rất phong phú và đa dạng, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về giới hạn hàm số mà rất ít các em nhận biết phương pháp giải và đa số trình bày chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có. Với lại trong chương trình SGK Đại số lớp 11 hiện hành bài toán tìm giới hạn hàm số còn rất ít và hạn hẹp, chưa phân loại các dạng vô định khi tìm giới hạn và cả cách giải đối với từng dạng vô định, điều này gây khó khăn cho nhiều em học sinh nhất là khi tiếp cận với một lí thuyết toán học mới, đó là giới hạn, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế và chưa phân loại. Qua nội dung của chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp và một số kỹ năng cơ bản, đồng thời giúp học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi tính giới hạn. Hy vọng chuyên đề nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về cách tìm giới hạn dãy số và hàm số, qua đó các em học sinh sẽ có thêm tài liệu ôn tập chuẩn bị cho kì thi học kì II sắp tới. CHUYÊN ĐỀ : CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A.Một số giới hạn thường gặp: 1 1  0 ; lim k  0 k �� n n 1 1 2.lim  0 ;lim 3  0 n n n 3.lim q  0 , q  1 1.lim 4.lim n k  � ; k �� 5.lim q n  �, q  1 B.Định lí: Nếu �lim un  a thì lim un  0 � vn lim vn  ��  � Nếu �lim un  a  0 thi  � lim vn  � � lim  un .vn   � GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ lim un  a  0 � thì lim un  � lim vn  0 � vn � v  0,  n  n �n 0 Nếu �  VD6: Tìm các giới hạn sau: a ) lim  4n  n  1 c ) lim 2n  2n  1 b) lim 3 3n  n  3 d ) lim 2 3 n2  n  n 4n 2  1  n  1 4  2 n  3n  2  2  n 1 e) lim  n 2  2n  3  n   5.3n Giải: �2 �4 1 � � a ) lim  4n  n 2  1  lim � n .� 1  2 � � � n � � �n � 2 Vì lim n  � 1 � �4 lim �  1  2 � 1  0 n � �n 2 1 2 2  3 3 2n  2n  1 n n 2 b) lim 3  lim 1 3 3n  n  3 3 2  3 3 n n � 1� n2 � 1  � n n n n � n� c) lim  lim 4n 2  1  n  1 � 1 � n2 � 4  2 � n  1 � n � 2  lim n 1 1 n n  lim 1 1 1 n 1 1 1  n 1 4  2  1 2 n n n n n2 n n 42 3 4  2  9.3 d ) lim  lim n 1 n n 2.  2   5.3n  2   5.3 n 4 n  2 3 n �1 � �2 � 4 � � � � 9 9 3 3  lim � � �n �  5 �2 � 2. � � 5 �3 � GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 e) lim   TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ 2n  3 n 2  2n  3  n  lim n  2n  3  n 2 3 n  lim 1 2 3 1  2 1 n n 2 BÀI TẬP Dạng 1: BT1: Tìm các giới hạn sau: a ) lim  2n3  5n  9  b) lim  8n  3n9  1 c ) lim  6n 4  n  1 d ) lim  2  3n  7 n 2  Dạng 2: BT2: Tìm các giới hạn sau: 2n  1 5n 3  2 n  1 7 n 2  3n b) lim c ) lim 3n  2 n  2n3 n2  2 2n 2  1 3n3  1 n3  2n  1 d ) lim 3 e) lim f ) lim 3n  3n  3 2n  5 3n  4 2 2 5 2 n  1  n  10   4n  3n g ) lim h) lim 3  3n2  2   1  4n3   n  1  3n  3 a) lim BT3: Tìm các giới hạn sau:  2n  n 1 n 3  a ) lim 8n3  2n n  3 b) lim c) lim 2n  1 8n  1 d ) lim 3n  n 2  n  5 2n f ) lim n 1  2  3  ...  2n 3n 2  n  2 3 3 e) lim n3  1  3n n2  n  1  n  1  3  2n  Dạng 3: BT4: Tìm các giới hạn sau: 3  4n a ) lim 1  3.4n 1  3 c ) lim 2   3n  b) lim n 1  2   3n1 n n  4.5n 1 2.4n  3.5n d ) lim 2n  3n  4.5n  2 2 n 1  3n  2  5n 1 Dạng 4: BT5: Tìm các giới hạn sau: GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012  4 n  5n  2 n  c ) lim  3n  9n  1  2 a ) lim TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ b) lim 2 d ) lim  BÀI TẬP TỔNG HỢP BT6: Tìm các giới hạn sau: a) lim  3n  5  2n3  n  4n  n 2 4n  1 2n 2  n  2  m) lim n3  2n 2  n   j ) lim 3  2n 2n  3 n) lim  n  5n 3n 1  5n 2 3  2n3  2n  1 f ) lim 6  8n  11n3 2 i ) lim 2n  1  n b) lim n  n 2  2n  3 4n 2  1  3n  2 e) lim  k ) lim  n 2  2n  1  n  1 n 2  3n 2  n  1  n3  n 2  2 2 n 1  3n  11 g ) lim n  2 3  2 n 3  4 c) lim  n   2n  1  n3  3n  1 o) lim l ) lim 4n 2  2n  n  1 9n 2  n  2 n d ) lim 3n  4n1 1  5n h) lim  7  6n  9n 4  1  3 8n 3  3n  1 2n  3 p) lim n 2  3  4n 2  1 3 27n3  n  3 *BT7: Tìm các giới hạn sau: 3n  2n 1 a ) lim n n 1 5 3 c ) lim b) lim ( 3n3  1).  2n  2   5n  1 2010 3n3  2n  1  2n 2 10  1 .  2n  3 4 5 2009 .  3n 2  4  �1 1 1 � d ) lim �   ...  � 1.2 2.3 n  n  1 � � �1 � 1 1 e) lim �   ...  � 1.3 3.5  2n  1  2n  1 � � � � � 1 � � 1� � 1� f ) lim � 1 2 � 1 2 � .... � 1 2 � � � � � 2 � � 3 � � n � � � g ) lim 1  2  3  4  ...   2n  1  2n 4n 2  1  h) lim 3n  5  9n 2  1 i ) lim  3  8n 3  1  4 n 2  n  5  n j ) lim � 4n   2  � � � VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 2.1: Tính giới hạn hàm bằng định nghĩa f ( x) : Tìm xlim �x 0 Phương pháp: Giả sử  xn  là dãy số bất kì thỏa GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ xn �x0 ; xn � x0 Tìm lim f ( xn )   Chú ý: Trường hợp x � x0 ; x � x0 ; x � �� chứng minh tương tự. BÀI TẬP BT8: Áp dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau: x2  5x  4 2 x � 1 2 x  3 x  1 x 1 c) lim 2 x �2  x  2 a ) lim b) lim x � � 2x  3 5  4x d ) lim  x 2  x  1 x �� VẤN ĐỀ 1.2: Một số dạng thường gặp Dạng 1: Tính giới hạn hàm bằng phép thế lim f ( x)  f  x0  x � x0 BT9: Tìm các giới hạn sau: 2 x  3x 2 b) lim x �1 4 x  1 a ) lim  5 x  4 x  2  3 x �0 x 2  2 x  1 c ) lim 4 x �1 x  x  1 x 2  3x  3 d ) lim x2 x �7 Dạng 2: Dạng vô định Tìm xlim �x 0 0 0 f ( x) f ( x)  lim g ( x)  0 ) (với xlim � x0 x � x0 g ( x) Phương pháp: Khử dạng vô định Chia tử và mẫu cho x  x0 :   x  x0  f1 ( x)  lim f1 ( x) f ( x)  lim x � x0 g ( x ) x � x0  x  x  g ( x ) x � x0 g ( x ) 0 1 1 f1 ( x) 0 Nếu xlim có dạng thì lại chia tử và mẫu cho x  x0 và khử tiếp. � x0 g ( x ) 0 1 lim  Nếu f ( x) hay g ( x) có chứa biểu thức dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức liên hiệp, trước khi chia tử và mẫu cho x  x0 . a 2  b2   a  b   a  b  Chú ý: a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2  a 3  b3   a  b   a 2  ab  b 2  GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012   TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Đa thức ax 2  bx  c có hai nghiệm x1 ; x2 thì ax 2  bx  c  a  x  x1   x  x2  Dùng lược đồ Hoocner để phân tích đa thức thành nhân tử đối với những đa thức bậc cao. Giới thiệu về lược đồ Hoocner: Công dụng: Dùng để chia một đa thức bậc n có dạng cho biểu thức . Lợi dụng khả năng chia đa thức nhanh chóng, lược đồ Hoocner thường được dùng nhiều nhất trong việc phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là đa thức bậc 3 để giải phương trình bậc 3, khi ta đã biết được một nghiệm của phương trình (đề cho hay tự nhẩm). Cách chia: Nếu không dùng lược đồ Hoocner, chúng ta vẫn có thể dùng phép chia đa thức bình thường đã học ở lớp 8 để thực hiện việc chia đa thức. Ngoài ra, nếu để ý kỹ, chúng ta sẽ khám phá ra một điều thú vị rằng lược đồ Hoc-ne được hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà các em đã học. Tổng quát: Cho đa thức có một nghiệm là , khi đó để phân tích thành nhân tử, ta chia cho bằng lược đồ Hoocner như sau: Khi đó, ta được: Khi có nghiệm ví dụ : Giải pt: thì ta sẽ luôn thu được . Thật đơn giản phải không nào. Bấm máy, ta thấy pt (1) có 2 nghiệm lẻ và một nghiệm nguyên . (Vậy, để nhẩm nghiệm nguyên cho một pt không có tham số, cách nhanh nhất là bấm máy). Khi đó, để giải được pt (1), chúng ta cần phân tích vế trái thành nhân tử. Sử dụng lược đồ Hoocner: Pt (*) trở thành: Giải phương trình (2): Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Nếu x1  x2  x0 thì ax 2  bx  c  a  x  x  2 0  VD7: Tìm các giới hạn sau: 2 x 2  3x  1 x �1 x2 1 a ) lim 1  2x 1 3x b) lim x �0 Giải: � 1� 2  x  1 �x  � 2 x  3x  1 � 2� a ) lim  lim 2 x �1 x �1  x  1  x  1 x 1 2 2x 1 1  x �1 x  1 2  lim  1  2x 1  lim x �0 3x b) lim x �0  lim x �0 3x  2x 3x  1 2x 1  1 2x 1  lim x �0  3  1 2x 1  1 2x 1  2  1  2x 1  1 3 BÀI TẬP BT10: Tìm các giới hạn sau: a )lim x �3 x 2  2 x  15 x 3 x2  4 x �2  x 2  5 x  6 b) lim 2 x  8x  8 x �2 3 x  6 c )lim x�3 2 x  5x  3 2 1 x � 4 x  18 x  10 2 2 e)lim f ) lim 2 x2  x  6 x 2  5x  6 6x2  5x  1 2 1 x� 2 x  7 x  3 d ) lim 2 1 � �2 g )lim � 2  � x �1 x  1 x 1 � � 3 � 3 � h) lim � 2  2 � x �2 x  3 x  2 x  5x  6 � � BT11: Tìm các giới hạn sau: a )lim x �0 e)lim x �5 2x x9 3 x 5 x 2  25 b) lim x3 2 2 x2  2 f ) lim xa  a ;  a  0 2x x �1 x �0 DẠNG 3: DẠNG VÔ ĐỊNH Khử dạng vô định c)lim x �2 x x2 x 2  3x  2 d ) lim x �7 2  x 3 x 2  49 f ( x) � [ xlim ] � ��� g ( x ) � �  Chia tử và mẫu cho x n (với n là số mũ bậc cao nhất của biến x).  Nếu f ( x) hay g ( x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x k ra ngoài dấu căn (với k là số mũ cao nhất của x trong dấu căn) GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 � �x x2  x  � x � Chú ý: TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ  x �0   x  0 x3  x 3 VD8: Tính các giới hạn sau: 2 x 2  3x  1 x � � 2  3 x  4 x 2 a )lim b) lim x � � x 2  2 x  3x 4x2  1  x  3 3x  5 x �� 2 x 2  1 c) lim 4 x 2  1 x �� 2  x d ) lim Giải: 3 1 2  2 2 x 2  3x  1 x x 1 a )lim  lim 2 x �� 2  3 x  4 x x �� 2 3 2  4 2 x x x  2 x  3x 2 b) lim x �� 4 x2  1  x  3  lim x �� � 2� x2 � 1  � 3x � x� � 1 � x2 � 4  2 � x  3 � x � 2 2  3x  x 1   3x x x  lim  lim x � � x �  � 1 1 x 4 2  x3 x 4  2  x  3 x x 2  1  3 2 x lim  x � � 3 1 3  4  2 1 x x 3 5  2 3x  5 x x 0 c )lim 2  lim x �� 2 x  1 x �� 1 2 2 x 1 4  2 4 x 2  1 x  � d ) lim  lim x �� 2  x x �� 2 1  2 x x 1 � � Vì xlim �4  2 � 4  0 �� x � � �2 1 � lim � 2  � 0 x � � x x� � 2 1   0 , x  2 x2 x x 1 BÀI TẬP GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ BT12: Tìm các giới hạn sau: (3 x 2  8)  2 x  1 x �� 5  4 x3 4 x 2  3x  6 f ) lim x �� 2x  3 3  x  2 x3 j ) lim x �� 3  2 x  5 x 3 3x3  5x  6 x � � 1  4 x 3  x 2 2 x 4  x  7 e) lim x �� 1  5x5 3x 2  5 i ) lim x �� 4  x a )lim c) lim b) lim x �� 5 x  7 3  2x x x 1 g ) lim 2 x � � 3 x  2 x  7 d ) lim x �� 7 2x 1 x  2x2  8 h) lim x �� 5 x 2  4 BT13: Tìm các giới hạn sau: x2  x  1 a )lim x ��� 3 x3  x  1 x ��� 4 x2  2  5x c)lim x ��� 3 9x2  1  4x 3  2x b) lim 3 d ) lim 8 x3  x  1  x x ��� x3  2 x  3x 3x  4 x 2  5 DẠNG 4: � � Khử dạng vô định � �: Nhân và chia biểu thức liên hợp nếu có biểu thức chứa biến dưới dấu căn thức. VD9: Tìm các giới hạn sau: a )lim   4 x2  x  2  2 x  x 2  2 x  3  x  lim x �� Giải: b) lim x � �  lim x ��  2x  3 x  2x  3  x 2  b) lim x2  2 x  3  x x ��  2x  3 x  2x  3  x 2x  3 x �� 2  lim x � � � 2 3� x2 � 1   2 � x � x x � 3 2 2x  3 x  lim  lim 1 x �� x � � � 2 3 � � 2 3 � x � 1   2 � x 1   2 � 1 � � x x � � x x � BÀI TẬP BT14: Tính các giới hạn sau:  b) lim  9 x  3x 1  3x   c)lim  x 3  3 x  4 x  1  d ) lim  x  2 x  3  x  1 e)lim  3 x  1  9 x  1  f ) lim  x  5 x  4  x  2  g )lim  x  x  x  1  h) lim  x  3x  1  x  a)lim 2 x  4 x 2  3 x  2 x �� 2 x �� 2 2 x �� x �� 2 x �� 3 x �� 2 x �� 3 3 3 2 x �� GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ VẤN ĐỀ 2.3: Giới hạn vô cực VD10: Tìm các giới hạn: a ) lim   x 3  x 2  x  1 b) lim x � �  c) lim 2 x  4 x 2  2 x  1 x �� x �4  1 x  x  4 2 Giải a )lim   x3  x 2  x  1 x �� �3 � 1 1 1 � �  lim � x � 1   2  3 � � � x �� x � �� x x � 3 Vì lim x  � x �� � 1 1 1� lim �1   2  3 � 1  0 x � � x � � x x 1 x b) lim  � 2 x �4  x  4  1  x   3  0 Vì lim x �4 lim  x  4   0 2 x �4  x  4  2  0 , x �4 c) lim 2 x  4 x 2  2 x  1 x � �  � � � 2 1 �  lim � 2x  x2 � 4  2 � � x � � � x x � � � � 2 1 �  lim � 2x  x 4   2 � x � � x x � � � 2 1 �  lim � 2x  x 4   2 � x � � x x � � �� � 2 1 �  lim � x� 2  4   � � � � x � � x x2 � � �� � Vì lim x  � x �� � 2 1 lim � 2  4   2 x ��� x x � � � � 4  0 � BÀI TẬP BT15: Tìm các giới hạn sau: GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ 4  5x x �2 (  x  2) 2 d ) lim 4  5 x x �5 (5  x ) 2 h) lim a )lim  2  3 x  5 x 2  b) lim  7 x 4  4 x  2  c )lim e)lim  1  8 x 3  x 2  f ) lim  6 x 5  x  2  g )lim x �� x �� x �� x �� 3x2  4 x  5 x �� x3 x2  7 x  9 x �� 2x  4 VẤN ĐỀ 2.4: Giới hạn một bên BÀI TẬP BT16: Tìm các giới hạn : 3x  6 x2  1 x2  1 c) lim  b)lim x �1 x  1 x �1 x  1 x � 2  x2 2 2 x  3x  2 x  5 x  10 e) lim  f )lim x �5 x � 1 x 1 x 2  25 a )lim d ) lim  x � 2  3x  6 x2 �x 2  3 x  2 , x 1 � � x2 1 BT17: Cho hàm số f ( x)  � � x , x �1 �2 Tìm lim f ( x) ; lim f ( x) ;lim f ( x) (nếu có) x �1 x �1 x �1 � 1 x  1 x � � x BT18: Cho hàm số f ( x)  � �5  4  x � x 1 � ,x 0 , x �0 f ( x) ; lim f ( x) ;lim f ( x ) (nếu có) Tìm xlim x �0 �0 x �0 � 4  x2 ,x  2 � BT19: Cho hàm số f ( x)  �2 x 2  6 x  4 � 1  2.m.x , x �2 � Với giá trị nào của m thì hàm số y  f ( x) có giới hạn khi x � 2 . Tính giới hạn này. � 6 x  x ,x 3 � BT20: Cho hàm số f ( x)  � x 2  9 �m.x  2 , x �3 � Với giá trị nào của m thì hàm số y  f ( x) có giới hạn khi x � 3 . Tính giới hạn này. BÀI TẬP TỔNG HỢP BT21: Tìm các giới hạn sau: a )lim  2 x 3  3 x  4  x � 2 6 x3  2 x  1 x ��1  2 x 3  2 x e) lim b)lim x �3 f ) lim  3 x x2  9 x �� GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN c )lim x �0 4x 9 x 3 4 x 2  5x  6  2 x  g ) lim 3x  1 x �� 2 x  4 d ) lim  x �� TỔ TOÁN 4x2  5x  6  2x  3x 2  7 x  2 x �2 2x  4 h)lim TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 3x  1  4 5 x TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ x2  5x  4 x �5 x �2 3 x 2  2 x  1 o)lim  x 2  5 x3  2  m)lim x  x 2  3 x  1 x �� i )lim j )lim   x �� n)lim  x ��  l ) lim  x ��  x2  2x  1  x 1 2 x2  x  3 x �� x2 x  2 x  1  x 1 2 3 x 2  12 x  12 x �2 x2  4 k )lim p )lim *BT22: Tìm các giới hạn sau:  1 x a ) lim 3 1 2 x3  5 x2  2 x  3 3 2 x �3 4 x  12 x  4 x  3 2 3 x3 d ) lim 2 x �5 x  25 b) lim x x 8 c) lim 3 x �8 x 2 x �0 e)lim x �� f )lim  3x x � � g )lim x �0 (2 x  1)5 .  3 x 2  1 2  x  1 3 4  2 x  3 7 (2 x  3)2010 (5  3 x 2 )  4x 3  2   11  2 x  1 x  3 1 x x 2009 x  8  x  15  7  x 2  3x  2 h)lim x �1 x2  2x  6  x2  2x  6 x �0 x2  4 x  3 x4  x4 2 j )lim x �5 5 x i )lim x100  2 x  1 k )lim 50 x �1 x  2x 1 l )lim x �2 x x 3 2  x  2 20  12 x  16  10 VẤN ĐỀ 6: HÀM SỐ LIÊN TỤC Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng K và x0 �K Hàm số y  f ( x) liên tục tại x0 nếu thỏa: lim f ( x)  f ( x0 ) � x � x0 � �lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 ) x � x0 x � x0 �  �g ( x) �a Xét tính liên tục của hàm số dạng : f ( x)  � ( x �x0 ) ( x  x0 )  g ( x) . Hàm số liên tục tại x0 � xlim  g ( x)   a Tìm xlim �x �x 0 GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN 0 TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ �g ( x) � f ( x)  � a  � h( x ) �  f ( x)   xlim  f ( x)  Hàm số liên tục tại x=x0 � xlim � x0 � x0 Xét tính liên tục của hàm số dạng : ( x  x0 ) ( x  x0 ) ( x  x0 )  f ( x0 )  a VD11: Xét tính liên tục của hàm số: Cho hàm số :  �x 2  1 � f ( x )  �x  1 � a � ( x �1) a là hằng số. Xét tính liên tục của hàm số tại x0=1 ( x  1) Giải : Hàm số xác định với mọi x thuộc R. Ta có: f(1) = a lim x �1 x2  1 ( x  1)( x  1)  lim  lim( x  1)  2 x �1 x  1 x �1 x 1 Nếu a = 2 thì hàm số liên tục tại x0 =1 Nếu a ≠ 2 thì hàm số không liên tục tại x0 =1 ax  2 ( x �1) � Cho hàm số : .Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. f ( x)  � 2 �x  x  1 ( x  1)  Giải : x > 1 ta có f(x) = ax + 2 hàm số liên tục trên R x <1 ta có f(x) = x2 + x -1 hàm số liên tục trên R Khi x = 1: Ta có : f(1) = a+2 lim f ( x)  lim( ax  2)  a  2  x �1 x �1 lim f ( x)  lim( x 2  x  1)  1  x �1 x �1 Hàm số liên tục tại x0 =1 nếu a= -1 Hàm số gián đoạn tại x0=1 nếu a≠1 Vậy hàm số liên tục trên toàn trục số nếu a = -1. Hàm số liên tục trên (-∞;1)∪(1;+ ∞) nếu a=1. BÀI TẬP BT23: Xét tính liên tục của hàm số �2 x 2  14 x  16 , x �8 � f ( x)  � x  8 � 18 , x  8 � Tại x0  8; x0  2 BT24: Xét tính liên tục của hàm số GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ � 1  2x  3 , x �2 � f ( x)  � 2  x �2 x  3 ,x  2 � Tại x0  2; x0  4 BT25 Xét tính liên tục của hàm số � x3 2 , x 1 � � x 1 1 � f ( x)  � , x 1 4 � � x2 1 , x 1 �2 x  6x  7 � Tại x0  1; x0  0 BT26 Xét tính liên tục của hàm số �x 2  3 x  2 , x �1 � � f ( x)  � x  1 1 �  , x 1 �2 Trên TXĐ. BT27 Xét tính liên tục của hàm số �x 2  x  4 , x �2 � f ( x)  � x  2 ,x 2 �2 �x  3 x  2 Trên TXĐ. BT28 Tìm a để hàm số �3 x 2  4 x  1 , x �1 � f ( x)  � x 2  1 � 2a.x  1 , x  1 � Liên tục tại x0  1 BT29 Tìm m để hàm số �x  x  2 ,x  2 � � x2  4 f ( x)  � 3 � m.x  , x �2 � 4 Liên tục tại x0  2 BT30 Tìm m để hàm số � x4 � f ( x )  �3. x  2 � �m   , x �4 Liên tục trên D   0; 4 ,x  4 VẤN ĐỀ 7: Chứng minh pt f(x)=0 có nghiệm trong khoảng (a;b) Phương pháp: GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ Chứng tỏ f(x) liên tục trên đoạn [a;b]  Chứng tỏ f(a).f(b) <0  Khi đó f(x) bằng 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (a;b) Nếu chưa có (a;b) thì ta cần tìm các giá trị f(x) để tìm a và b. Muốn chứng minh f(x)=0 có 2, 3 nghiệm thì ta tìm 2, 3 khoảng rời nhau và trên mội khoảng f(x) = 0 đều có nghiệm. BT31 Chứng minh rằng phương trình: a) 3x3  2 x  5  0 có ít nhất một nghiệm. 4 2 b) 4 x  2 x  x  3 có ít nhất hai nghiệm phân biệt trên khoảng  1;1 c) 2 x3  6 x  1  0 có ba nghiệm phân biệt trên đoạn  2; 2 5 4 2 d) x  7 x  3x  x  2  0 có ít nhất một nghiệm. � � e) cos 2 x  2sin x  2 có ít nhất hai nghiệm trong � ;  � �6 � f) x  5 x  4 x  1  0 có năm nghiệm phân biệt g) (m2  1) x 5  (11m 2  10) x  1  0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0;2)* 5 3 BT32 CMR các phương sau luôn có nghiệm: a ) m( x  1)  x  2   2 x  1  0 b) (m 2  2m  2) x 3  2 x  1  0 c) cos x  m.cos 2 x  0 d )  1  m 2   x  1  x 2  x  3  0 3 Giới hạn là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung. Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, và đây cũng là phần được nhiều thầy, cô giáo quan tâm. Trên đây là những dạng toán và phương pháp tôi đã tìm hiểu và rút kinh nghiệm được trong suốt quá trình giảng dạy . Hi vọng nó sẽ góp phần nhỏ giúp các em học sinh có thêm tài liệu học tập cũng như ôn tập chuẩn bị cho những kí thi sắp tới .Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong nhận được góp ý của các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn. GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ TỔ TOÁN TRANG