Mô tả:
SKKN: Tích phân đổi biến số
MỤC LỤC
Trang
1.Đặt vấn đề ( Bối cảnh và lý do chọn đề tài )
2
2.Giải quyết vấn đề ( Nội dung sáng kiến kinh nghiệm )
3
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề
3
2.2 Thực trạng của vấn đề
3
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
4
2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm
4
2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản
7
x2
a) TÍCH PHÂN DẠNG
ax b
�
n
dx
7
x1
b
n
xk1 axk b dx
b) TÍCH PHÂN DẠNG �
a
b
n
mx2k1 axk b dx
hoặc �
a
b
c) TÍCH PHÂN DẠNG
11
dx
15
dx
17
ku' x
�u x
a
b
d) TÍCH PHÂN DẠNG
f ln x
�x
a
b
u x
e .u' x dx
e) TÍCH PHÂN DẠNG �
19
a
b
sinn xcosm xdx
f) TÍCH PHÂN DẠNG �
21
a
2.4 Hiệu quả của SKKN
23
3. Kết luận
24
Tài liệu tham khảo
25
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 1
SKKN: Tích phân đổi biến số
.
CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học là môn khoa học cơ bản phục vụ cho nhiều nghành nghề và học tốt
môn toán luôn là một trong những mục tiêu đặt ra của học sinh. Nhất là trong các kỳ
thi thì kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông hằng năm luôn là mục tiêu của nhiều
học sinh và cả phụ huynh. Vì vậy việc vượt qua được kỳ thi này trở thành một vấn
đề quan trọng. Trong đề thi tốt nghiệp hằng năm luôn có bài toán tính tích phân.
Đây là bài toán được coi là khó đối với học sinh nhất là học sinh trung bình – yếu.
Để làm được bài toán này, học sinh cần nắm định nghĩa và các tính chất
nguyên hàm, thuộc các công thức nguyên hàm các hàm số sơ cấp và các phương
pháp tính nguyên hàm.
Để tính được bài toán tích phân học sinh không những phải học thuộc các
kiến thức trên mà còn phải rèn luyện kỷ năng giải toán thường xuyên nữa.
Nhằm giảm bớt sự khó khăn trong quá trình tính toán, và sự khó khăn khi gặp
bài toán tích phân trong các đề thi tốt nghiệp hằng năm, tôi đưa ra cách tiếp cận bài
toán tích phân một cách phù hợp với trình độ của học sinh trung bình yếu đó là
“CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
ĐỔI BIẾN SỐ”
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 2
SKKN: Tích phân đổi biến số
Mục đích rõ ràng của đề tài này là nhằm giúp học sinh giải tốt bài toán tích
phân nói riêng và làm tốt bài thi tốt nghiệp THPT nói chung, xa hơn nữa là làm tăng
tỷ lệ bộ môn toán của trường trong kỳ thi tốt nghiệp hằng năm.
2. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
2.1. Cơ sở lý luận của đề tài
HiÖn thùc xung quanh cã nhiÒu c¸i mµ con ngêi cha biÕt. NhiÖm vô cña cuéc
sèng vµ ho¹t ®éng thùc tiÔn lu«n ®ßi hái con ngêi ph¶i hiÓu biÕt c¸i cha biÕt ®ã ngµy
mét s©u s¾c, ®óng ®¾n vµ chÝnh x¸c h¬n, ph¶i v¹ch ra nh÷ng c¸i b¶n chÊt vµ nh÷ng
quy luËt t¸c ®éng cña chóng. Qu¸ tr×nh nhËn thøc ®ã gäi lµ t duy.
Nhưng để tư duy được thì cần phải nắm được những kiến thức cơ bản, những
kiến thưc nền tảng của vấn đề thì khi đó mới nói đến tuy duy hay sáng tạo.
Cơ sở lý luận của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH
PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” là từ những kiến thức cơ bản
nhất của vấn đề nhằm giúp học sinh dần dần tiếp cận với các vấn đề cao hơn trong
một mạch kiến thức.
Cụ thể hóa của vấn đề về mặt lý luận là giúp hoc sinh độc lập trong khi giải
quyết vấn đề mà cụ thể vấn đề đây là bài toán tích phân trong các kỳ thi mà đặc biệt
là các dạng mà đề tài này đã nghiên cứu và đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm dạy
học tại trường phổ thông.
2.2. Thực trạng của đề tài
2.2.1 . Tình hình thực tế của học sinh trường:
- Phần lớn học sinh của trường ở đại bàn các xã lân cận, đi lại khó
khăn. Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, năng lực học tập chủ yếu là loại trung
bình, thậm chí một số học sinh khả năng tính toán rất hạn chế
- Học sinh thường ít chịu tìm tòi, khám phá và không thuộc bài (lười
học)
2.2.2. Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH
TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ”
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 3
SKKN: Tích phân đổi biến số
- Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong
bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến
- Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo
viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi.
- Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều, thuôc
bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ thể kết quả
kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như sau:
Điểm
Số lượng
0 đến 3
3.5 đến 4.5
5 đến 6.5
7 đến 8
Trên 8
15
8
5
7
3
- Phân tích kết quả trên: số học sinh dưới trung bình chiếm 60.5% , số
học sinh trên trung bình chiếm tỉ lệ 39.5% nhưng số học sinh đạt điểm trên 8 là khá
ít mặc dù đề kiểm tra ra đảm bảo theo chuẩn kiến thức.
2.2.3. Khó khăn của đề tài:
- Về tâm lý: khi gặp bài toán tích phân học sinh thường ngại suy nghĩ
và cho rằng đây là bài toán khó nên thường bỏ luôn không làm
- Về kiến thức:
+ Học sinh không thuộc bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp,
công thức tính tích phân, các tính chất của nguyên hàm và tích phân
+ Khả năng nhận dạng dạng nguyên hàm hay tích phân còn thấp
+ Khả năng tính toán còn yếu
- Nghiên cứu ứng dụng cho học sinh với tầm kiến thức trung bình yếu
nên về mặt lý luận cũng gặp khó khăn.
- Khả năng tiếp thu kiến thức của học sinh còn kém nên việc triển khai
đề tài có phần chậm.
2.2.4. Thuận lợi:
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 4
SKKN: Tích phân đổi biến số
- Trong khi thực hiện đề tài được sự hỗ trợ của bạn đồng nghiệp trong
trường, trong tổ chuyên môn.
- Đa số học sinh có phần hứng thú với cách tiếp cận mạch kiến thức
mới.
- Học sinh chăm chỉ tích cực luyện tập kỹ năng giải toán tích phân
2.3 . Các biện pháp tiến hành để giải quyết vấn đề
2.3.1. Kiến thức cơ bản học sinh cần nắm
* Nguyên hàm
Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng của �
Định nghĩa : Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn K .
Hµm sè F(x) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K nÕu F '(x) = f(x)
víi mäi x K .
Định lý 1: NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th× víi mçi
h»ng sè C, hµm sè G(x) = F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn K .
Định lý 2 : NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th× mäi
nguyªn hµm cña f(x) trªn K ®Òu cã d¹ng F(x) + C, víi C lµ mét h»ng sè.
f x dx F x C , C ��
�
Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K
* Tính chất của nguyên hàm
Tính chất 1:
�
�
�
�
f ( x )dx �' f ( x )
�
�
Ví dụ :
và
f '( x )dx f ( x) C.
�
cos xdx ' (sin x C )' cos x
�
(cos x )' dx �
( sin x )dx cos x C.
hay �
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 5
SKKN: Tích phân đổi biến số
Tính chất2:
kf ( x )dx k�
f ( x )dx
�
k: hằng số khác 0
Tính chất 3:
f ( x )dx ��
g( x )dx.
f ( x ) �g( x ) dx �
�
Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp
ax
C (a > 0, a 1)
ln a
�
�
dx x C
�
cos xdx sin x C
�
0dx C
a x dx
1
1
x dx
x
�
1
C ( 1)
sin xdx cos x C
�
1
1
dx tanx C
�
cos2 x
dx ln x C
�
x
x
e dx e
�
x
1
dx cot x C
�
sin2 x
C
TÍCH PHÂN
Định nghĩa tích phân
Cho f(x) là hàm số liên tục trên [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên
[a; b]
Hiệu số F(b) – F(a) đươc gọi là tích phân từ a đến b của f(x).
b
f ( x)dx F ( x)
�
b
a
F (b) F ( a )
a
TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 6
SKKN: Tích phân đổi biến số
I)
Tính chaát : Giaû söû f(x), g(x) lieân tuïc treân K; a,b K
a
1)
f x dx 0
�
a
b
a
a
b
f x dx �
f x dx
2) �
b
b
a
a
kf x dx k �
f x dx
3) �
b
b
b
a
a
a
�
f x �g x �
dx �
f x dx ��
g x dx
4) �
�
�
5)
b
c
b
a
a
c
f x dx �
f x dx �
f x dx
�
b
0,�
x a; b
6) f x �
g
x� , x
7) f x �
�
c � a; b �
�
�
f x dx
�
0
a
a; b
b
b
a
a
f x dx �
g x dx
�
b
f x dx �M b a
8) m �f x �M, x � a; b � m b a ��
a
9)
Phương pháp đổi biến số
Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm
liên tục trên đoạn [; ] sao cho () = a, () = b và a (t) b với t [; ].
Khi đó:
b
a
f ( x )dx
�
(t)dt
�f (t ) �
Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 7
SKKN: Tích phân đổi biến số
tục trên [a; b] và u(x) với mọi x [a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u(x), g(u)
liên tục trên [; ] thì:
b
u( b )
a
u (a )
f ( x )dx
�
�g(u)du
2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản
x2
a) TÍCH PHÂN DẠNG
ax b
�
n
dx
x1
* Nhận xét
Ta thấy hàm số dưới dấu tích phân là y ax b , đối với hàm số này
n
không có nguyên hàm trực tiếp, do đó muốn giải được thì ta phải đưa về đa thức
mới lấy nguyên hàm được. Nhưng đưa về đa thức cũng là vấn đề, nếu n là 2 hoặc 3
thì ta áp dụng hằng đẳng thức
a �b
2
a2 �2ab b2
Hay a �b a3 �3a2b 3ab2 �b3
3
1
Ví dụ: Tính tích phân
2x 1
�
2
dx
0
1
�4x3
� 13
2
2x 1 dx �
4x 4x 1 dx �
2
x
x
Giải: �
�
�3
� 3
0
0
�
�0
1
1
2
1
Hoặc tính tích phân
2
2x 1
�
3
dx
0
Giải:
2
2x 1
�
0
3
2
dx
8x
�
3
12x2 6x 1 dx 2x4 4x3 3x2 x
0
2
0
10
Nhưng xem ra cách này cũng không khả quan lắm vì đa số học sinh không
nhớ được hằng đẳng thức a �b a3 �3a2b 3ab2 �b3 . Hơn nữa nếu n là số
3
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 8
SKKN: Tích phân đổi biến số
nguyên âm hay hữu tỷ thì cách này không giải được. Để giải quyết dạng bài tập này
tôi đưa ra cách giải khả thi như sau:
x2
* Phương pháp giải
ax b
�
n
dx
x1
+ Bước 1: Đặt t ax b� dt adx �
dt
dx
a
+ Bước 2: Đổi cận: x x1 � t ax1 b; x x2 � t ax2 b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
*Nhận xét:
Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần
thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ
dàng). Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của
hàm số bậc nhất mà thôi.
* Các ví dụ minh họa:
Tính các tích phân sau:
1
4
2x 1 dx
1) �
0
2
4
3x 2 3 dx
2) �
1
Giải:
1
1)
2x 1
�
4
dx
0
. Đặt t 2x 1� dt 2dx � dt2 dx
. Đổi cận: x = 0 t = 1; x = 1 t = 3
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 9
SKKN: Tích phân đổi biến số
.
2
1
3
3
dt
t5
242 121
2
x
1
dx
t
�
Do đó ta có: �
2
10 1
10
5
0
1
4
4
4
3x 2 3 dx
2) �
1
. Đặt t 3x 2 � dt dx � dt3 dx
. Đổi cận: x = 1 t = 1; x = 12 t = 4
.
2
3x 2
Do đó ta có: �
1
4
3
4
4
3
dx �
t
1
7
3
4
dt
t
3
7
23 2 1
7
1
* Phân tích ví dụ
Thật vậy đây là cách giải có nhiều ưu điểm hơn các cách giải khác( đã trình
1
a
bày ở trên). Nhận xét rằng d ax b dx nên ta đưa ra các công thức dạng tổng
quát để học sinh có thể áp dụng trực tiếp. Ta có bảng sau
1
ax b dx 1 ax b 1 C ( 1)
�
1
cos ax b dx sin ax b C
�
a
1
1
dx ln ax b
�
a
ax b
eax bdx
�
1 ax b
e
C
a
amx ndx
�
C
amx n
C (a > 0, a 1)
m ln a
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
1
sin ax b dx cos ax b C
�
a
1
1
dx tanx ax b C
�
a
cos2 ax b
1
1
dx cot ax b C
�
a
sin2 ax b
Trang 10
SKKN: Tích phân đổi biến số
* Bài toán áp dụng
1
1)
2x 1
�
2
1
dx
0
�
3x 1
ln 2
1
dx
2)
0
e2xdx
3) �
32x dx
4) �
0
0
4
4
�
5) cos �
� �2x �dx
�
0
�
6) sin �
� �2x �dx
2�
0
2�
�
Hướng dẫn giải
1
1)
2x 1
�
2
0
1
dx 2x 1
2
1
1
0
1
1
dx
1
ln 3x 1
2) �
3x 1 3
0
0
ln 2
ln 2
1
e dx e2x
3) �
2
0
0
2x
1
1
32x
3 dx
4) �
2 ln 3 0
0
2x
4
4
�
�
1
�4
5) cos �
2
x
dx
sin
2
x
�
�
�
�
�
2�
2
2 �0
�
�
0
�
�
1
�4
6) sin �
2
x
dx
cos
2
x
�
�
�
�
�
2�
2
2 �0
�
�
0
b
n
b
n
xk1 axk b dx hoặc �
mx2k1 axk b dx
b) TÍCH PHÂN DẠNG �
a
a
* Nhận xét
Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể
là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau:
1
2
x 2x2 b dx ta giải như sau:
Tính tích phân: �
0
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 11
SKKN: Tích phân đổi biến số
1
�2x6
x2 �
2
5
3
4
x
2
x
b
dx
4
x
4
x
x
dx
x
�
�
�
�
�3
2 �
0
0
�
�0
1
1
2
Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng khó thực hiện được cách giải như
trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau:
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t axk b� dt kaxk1dx �
dt
xk1dx
ka
k
k
+ Bước 2: Đổi cận: x x1 � t ax 1 b; x x2 � t ax 2 b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
b
n
mx2k1 axk b dx cách giải cũng tương tự nhưng
**** Chú ý đối với dạng: �
a
khi đổi biến nhớ suy ra xk theo t
* Ví dụ minh họa
1
4
x 2x2 1 dx
1) Tính tích phân: �
0
Giải:
+ Bước 1: Đặt t 2x2 1 � dt 4xdx �
dt
xdx
4
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 � t 1; x 1 � t 1
1
4
1
dt
4
x 2x2 1 dx �
t4
+ Bước 3: �
0
0
1
1
dt t 5
1
t
+ Bước 4: �
4
20 0 20
0
4
1
3
x5 x3 2 dx
2) Tính tích phân: �
0
Giải:
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 12
SKKN: Tích phân đổi biến số
dt
3
2
2
+ Bước 1: Đặt t x 2 � dt 3x dx � 3 x dx
x3 t 2
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 � t 2; x 1 � t 3
3
3
x3 x3 2 x2dx
+ Bước 3: �
2
3
t 2 t
�
2
3
dt
3
3
3
dt 1
1 �t 5 t 4 �
t 2 t3
�
t 4 2t 3 dt �
�
+ Bước 4: �
� .....
3 32
3�
2
�5 2 �2
3
* Phân tích ví dụ
Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích
phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên
ngoài 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số.
* Bài tập áp dụng:
1
3
x2 x3 2 dx
1) �
0
1
3)
�
0
x
2x2
3
2
1
0
1
dx
3
3
x5 x3 2 dx
2) �
4)
�
0
2x5
2x
3
1
4
dx
Hướng dẫn giải:
1
3
dt
x2dx
3
3
dt
x2dx; x3 t 2
3
x2 x3 2 dx Đặt t x3 2 � dt 3x2dx �
1) �
0
1
x5 x3 2 dx Đặt t x3 2 � dt 3x2dx �
2) �
0
1
3)
�
0
x
2x2
3
2
3
dx ( gặp bài dạng này không có gì phải băn khoăn mà nên chú ý
rằng ở đây n = - 3 thôi.
HD: Đặt t x3 2 � dt 3x2dx �
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
dt
x2dx ,
3
Trang 13
SKKN: Tích phân đổi biến số
3
Tích phân trở thành:
2dt
�
3t
3
2
1
4)
�
0
2x5
2x3 1
4
dx Tương tự câu 3)
Đặt t 2x3 1 � dt 6x2dx �
dt
x2dx; x3 t 2
6
***** Mở rộng dạng này, nếu lũy thừa của hàm số dưới dấu tích phân thay bằng
căn thì ta cũng giải tương tự cụ thể ta xét các ví dụ sau:
1
x x
�
Ví dụ 1: Tính tích phân:
2
1dx
0
Rõ ràng dấu căn đóng vai trò như lũy thừa (thực ra thì căn là lũy thừa với số
mũ hữu tỷ mà thôi) ta giải ví dụ này như sau:
+ Bước 1: Đặt t x2 1 � t 2 x2 1 � 2tdt 2xdx � tdt xdx
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 � t 1; x 1 � t 2
1
2
2
x x 1dx �
t.tdt �
t 2 dt
+ Bước 3: �
2
0
1
1
2
2
t3
8 1
t dt
+ Bước 4: �
31
3
1
2
1
Ví dụ 2: Tính tích phân:
x
�
3
x 2 1dx
0
+ Bước 1: Đặt t x2 1 � t 2 x2 1 � 2tdt 2xdx � tdt xdx
t 2 x2 1 � x2 t 2 1
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 � t 1; x 1 � t 2
1
x 2 x 2 1.xdx
+ Bước 3: �
0
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
2
2
t 1 t.tdt �
t t dt
�
2
1
4
2
1
Trang 14
SKKN: Tích phân đổi biến số
2
2
�5 3 �
+ Bước 4: �
t t dt �t5 t3 � .......
�
�
1
1
4
2
***** Như vậy khi day học sinh ta cần chú ý cho học sinh rằng dấu hiệu
nhận biết của dạng này là số mũ của x trong dấu căn hay lũy thừa hơn số mũ
của x bên ngoài 1 đơn vị hay kém hơn k – 1 đơn vị.
* Bài tập áp dụng:
1
1
x x 2 3dx
2) �
x 1 x dx
1) �
3
2
0
0
1
1
x 1 x dx
3) �
x 3 x 2 1dx
4) �
2
0
1
5)
x2
�x
0
2
7) �
3
1
1
x 3 1 x 2 dx
6) �
dx
1
x x3 1
1
0
0
1
x2
8) � 3
dx
x 1
0
1
dx
1
x
dx
9) �
2x 1
0
x x 1dx
10) �
0
3
3
x x 2 1dx
11) �
12)
x
5
1 x 2 dx
0
0
Hướng dẫn giải: Đặt t ....
dx
�u x
b
c) TÍCH PHÂN DẠNG
ku' x
a
* Nhận xét
Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu
hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu.
* Phương pháp giải
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 15
SKKN: Tích phân đổi biến số
+ Bước 1: Đặt t u x � dt u' x dx
+ Bước 2: Đổi cận: x a � t u a ; x b � t u b
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
1
1
2x 2
dx
1) �2
0 x 2x 3
2)
4x 8
dx
�
x 4x 5
2
0
Giải:
1
1)
2x 2
dx
�
x 2x 3
2
0
2
+ Bước 1: Đặt t x 2x 3 � dt 2x 2 dx
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 � t 3; x 1 � t 6
1
6
2x 2
dt
dx �
+ Bước 3: �2
t
0 x 2x 3
3
6
+ Bước 4:
dt
�t lnt
3
1
2)
6
3
ln 2
4x 8
dx
�
x 4x 5
2
0
2
+ Bước 1: Đặt t x 4x 5 � dt 2x 4 dx
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 � t 5; x 1 � t 5
1
4x 8
dx
+ Bước 3: �2
x
4
x
5
0
10
+ Bước 4:
2dt
�t
5
2 lnt
10
5
10
2dt
�t
5
2 ln 2
**** Đối với dạng bài tập này khi dạy cần chú ý cho học sinh là ta thử
tính đạo hàm của hàm số dưới mẫu rồi so sánh với hàm số trên tử.
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 16
SKKN: Tích phân đổi biến số
* Bài tập áp dụng:
1
1)
x 1
2
HD: Đặt t x 2x 3 � dt 2x 2 dx
2x 3
2
HD: Đặt t x 3x 5 � dt 2x 3 dx
dx
�
x 2x 3
2
0
2
2)
dx
�
x 3x 5
2
1
0
3)
�
x 2
1
0
2x 2
2
1
dx HD:
�
x 2
1
0
2x 4
2
1
dx
2x 4
dx
�
x 4x 5
1
2
2
Đặt t x 4x 5 � dt 2x 4 dx
4
4)
4x 6
�
x 1 x 2
4
4x 6
�
x 1 x 2
dx HD:
3
4
dx
3
4x 6
dx
�
x 3x 2
2
3
2
Đặt t x 3x 2 � dt 2x 3 dx
2
3x2 4x
dx HD: Đặt t x3 2x2 1 � dt 3x2 4x dx
5) �3
2
1 x 2x 1
6)
4x x2 2
1
�
x
0
2
2
2
1
1
dx HD:
�
0
4x x2 2
x
2
2
2
1
1
dx
4x3 8x
dx
�
4
2
0 x 4x 5
4
2
3
Đặt t x 4x 5 � dt 4x 8x dx
1
7)
2x 1
dx
�
x x3
2
0
4
cot gxdx
10) �
6
2
HD: Đặt t x x 3 � dt 2x 1 dx
4
4
6
6
cos x
dx
sin x
cot xdx �
HD: �
Đặt t sin x � dt cosxdx
2
11) �sin x dx
1 3cosx
0
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
HD: Đặt t 1 3cosx � dt 3 sin xdx
Trang 17
SKKN: Tích phân đổi biến số
4
4
12) 1 sin2 2xdx
0
HD: 1 sin 2xdx
�cos
cos x
0
2
x
4
1
�
cos
0
2
4
sin 2x
dx � 2 dx I1 I2
x
0 cos x
I1 : tính trực tiếp
I2 : Đặt t cos2 x � dt sin 2xdx
b
d) TÍCH PHÂN DẠNG
f ln x
�x
dx
a
* Nhận xét
Dấu hiệu nhận biết của dạng này là hàm số dưới dấu tích phân có
chứa ln x và
1
. Ta có phương pháp giải như sau:
x
* Phương pháp giải
+ Bước 1: Đặt t ln x � dt
dx
x
+ Bước 2: Đổi cận: x a � t lna; x b � t lnb
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
* Ví dụ minh họa
e
Tính tích phân:
1 2 ln x
dx
x
1
�
Giải
+ Bước 1: Đặt t ln x � dt
dx
x
+ Bước 2: Đổi cận: x 1 � t 0; x e � t 1
e
1
1 2 ln x
dx �
1 2t dt
+ Bước 3: �
x
1
0
1
+ Bước 4:
1 2t dt t t 2 0 2
�
1
0
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 18
SKKN: Tích phân đổi biến số
* Bài tập áp dụng:
e
1)
1 3 ln x ln x
dx HD: Đặt t ln x
x
�
1
e
1 ln x
dx
x
2) �
1
HD: Đặt t 1 ln x
e
sin(ln x)
dx
x
1
3) �
HD: Đặt t ln x
e 2ln x 1
4) � dx
x
1
HD: Đặt t 2 ln x 1
e
e2
1 ln 2 x
dx
5) �
x ln x
e
HD: Đặt t 1 ln 2 x
e
1 ln 2 x
dx
6)
x
1
HD: Đặt t 1 ln 2 x
b
u x
e .u' x dx
e) TÍCH PHÂN DẠNG �
a
* Phương pháp giải
u x
u x
+ Bước 1: Đặt t u x � dt u' x dx hay t e � dt u' x .e dx
+ Bước 2: Đổi cận: x a � t u a ; x b � t u b hay
ua
x a�t e
ub
; x b�t e
+ Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t
+ Bước 4: Tính tích phân theo t
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 19
SKKN: Tích phân đổi biến số
* Ví dụ minh họa
Tính các tích phân:
1
1
2
ex xdx
1) �
2
ex 1xdx
2) �
0
0
Giải
1
2
ex xdx
1) �
0
+ Bước 1: Đặt t x2 � dt 2xdx �
dt
xdx
2
+ Bước 2: Đổi cận: x 0 � t 0; x 1 � t 1 hay
1
1
2
dt
ex xdx �
et
�
2
0
0
+ Bước 3:
1
dt 1 t
e
e
+ Bước 4: �
2
2
0
1
t
0
e1
2
* Bài tập áp dụng:
2
2
e2x 1xdx
1) �
HD: Đặt t 2 x 2 1
1
2
ex 2x1 x 1 dx
2) �
2
HD: Đặt t x 2 2 x 1
1
4
3)
ex
�x dx
HD: Đặt t x
1
2
HD: Đặt t sin x
4) esinx cosxdx
�
0
4
5) etanx 1 tan2 x dx
�
0
2
6) esin x sin 2xdx
�
2
HD: Đặt t tan x
HD: Đặt t sin 2 x
0
Người viết: Châu Thị Phương Thùy
Trang 20
- Xem thêm -
.DOC 
29 
238 
73 
