CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
CHUYÊN ĐỀ VỀ MẶT CẦU
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa :
* Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi .
* Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu .
* Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu .
2. Phương trình của mặt cầu :
- Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng không đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :
IM R
x a
2
y b z c R
2
2
x a
2
y b z c R2
2
- Nếu khai triển (1) ta có :
x 2 y 2 z 2 2ax 2by 2cz d 0 a 2 b 2 c 2 R 2 d 0
2
1
2
- Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương
trình (2) muốn là phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :
R 2 a 2 b2 c 2 d 0
*
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I của cầu đế mặt phẳng (P) phải bằng bán kính của (S) :
h I; P
aA bB cC D
A2 B 2 C 2
R
3
Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của cầu (S) .
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
BÀI TOÁN 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU .
Để lập được phương trình mặt cầu ta phải biết tọa độ của tâm I của cầu : ( Có ba ẩn số - là
ba tọa độ của I ) và biết bán kính của R của mặt cầu , như vậy có bốn ẩn số . Vì thế bài
toán đã cho ta phải thiết lập được bốn phương trình thì ta mới giải được .
Đặc biệt khi tâm I của mặt cầu mà nằm trên một đường thẳng d , thì ta chuyển đường
thẳng d sang tham số , vì vậy ba tọa độ của I ta biểu diễn qua ẩn t , sau đó ta chỉ cần tìm
một phương trình nữa là đủ .
Sau đây chúng ta cùng nhau tham khảo một số dạng toán hay gặp trong các kỳ thi tôt
nghiệp cũng như thi đại học trong những năm gần đây .
1. Lập (S).đi qua bốn điểm :
Bước 1: Viết phương trình của (S) dạng (2).
Bước 2: Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình .
Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d .
Bước 4: Thay bốn ẩn tìm được vào (2) ta suy ra phương trình của (S).
VÍ DỤ MINH HỌA
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 1
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Ví dụ 1. ( TN-02-03).
Trong khônguuurgian
với tọa độ Oxyz ,ucho
bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định bởi hệ thức
r r r
uur r r r
A(2;4;-1) , OB i 4 j k ; C (2; 4;3); OD 2i 2 j k .
1/ Chứng minh rằng : AB AC , AC AD, AD AB . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
2/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (ABD) .
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện
của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
GIẢI
1/ Chứng minh rằng : AB AC , AC AD, AD AB . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) và D(2;2;-1) suy ra :
uuur
uuu
ruuur
AB 1;0;0
AB AC 0
uuur
uuur uuur
AC 0;0; 4 AC . AD 0 AB AC ; AC AD, AD AB.
uuur
uuur uuur
A
D
0;
2;0
AD. AB 0
2/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD.
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
(ABD) .
Do là đường vuông góc chung cho nên :
y
D
N
A
E
I
z
J
x
C
B
x 2
r uuu
r uuur 0 0 0 1 1 0
r
AB uu
u AB, CD
;
;
0; 4; 2 / / u 0; 2; 1 : y 4 2t
CD
2 4 4 0 0 2
z 1 t
uuur
Vì : CD 0; 2; 4 và qua A(2;4;-1).
r uuur
r
- Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có n AC 0;0; 4 / / k 0;0;1 ABD : z 1 0
uu
rr
u .k
uu
r r
1
1
- Gọi ; ABD sin cos u , k uur r
4 1.1
5
u k
3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện
của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .
Cách 1:
2
2
2
2
2
2
2
Gọi (S) : x y z 2ax-2by 2cz d 0 a b c R d 0 2
- (S) qua A(2;4;-1) suy ra : 4a +8b-2c-d= 21 (1)
Trang 2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
- (S) qua B(1;4;-1) suy ra : 2a +8b-2c-d= 18 (2)
- (S) qua C(2;4;3) suy ra : 4a +8b+6c-d= 29 (3)
- (S) qua D(2;2;-1) suy ra : 4a +4b-2c-d= 9 (4)
Như vậy giải hệ bốn phương trình trên ta có :
3
a ; b 4, c 1; d 8
2
S x 2 y 2 z 2 3x 8 y
1
z 8 0
2
Cách 2:
3
2
- Tâm của đường tròn đáy của tam giác (ABC) là J là trung điểm của BC , suy ra J( ; 4;1 )
- Lập phương trình đường thẳng d qua J và vuông góc với (ABC) cho nên d có véc tơ chỉ
3
x
2
r r
u
k
0;0;1
:
y
4
phương
z 1 t
- Lập phương trình mặt phẳng (P) qua K(2;3;-1)
là trung điểm của AD và vuông góc với
r
AD suy ra (P) có véc tơ pháp tuyến là k 0;0;1 P : z 1 0 .
- Tâm I của cầu (S) là giao của d với (P) cho nên I có tọa độ là nghiệm của hệ :
3
x 2
3
y 4 1 t 1 0 t 0 I ; 4;1
2
z 1 t
z 1 0
1
5
- Tính bán kính R bằng IA = 4
4
2
2
2
3
1
5
2
S : x y 4 z
2
2 4
Ví dụ 2.( TN : 2003-2004 )
Trong không gia tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;-1;2),B(1;3;2),C(4;3;2) và D(4;-1;2).
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .
2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
GIẢI
1. Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện .
uuu
r
AB 0; 4;0
uuur
uuu
r uuur uuur
4 0
0
- Ta có : AC 3; 4;0 AB, AC AD 3.
4
0
u
u
u
r
AD 3;0;0
A,B,C,D đồng phẳng .
2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy . Hãy viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’,B,C,D.
- Nếu A’ là hình chiếu của A trên (Oxy) thì A’(1;-1;0).
- Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm thì (S):
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 3
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
x y z 2ax-2by 2cz d 0 a 2 b 2 c 2 R 2 d 0
2
2
*
2
- (S) qua A’(1;-1;0) thì : 1+1-2a+2b+d=0 ; hay : 2a-2b-d=2 (1)
- (S) qua B(1;3;2) thì : 1+9+4-2a-6b-4c+d=0 ; hay : 2a+6b+4c-d=14 (2)
-(S) qua C(4;3;2) thì : 16+9+4-8a-6b-4c+d=0 ; hay : 8a+6b+4c-d=29 (3)
-(S) qua D(4;-1;2) thì : 16+1+4-8a+2b-4c+d=0 ; hay : 8a-2b+4c-d =21 (3).
Từ bốn phương trình trên ta có một hệ .
Giải hệ ta tìm được : a=5/2,b=2,c=1 và d=-1 . Thay vào (*) :
S : x 2 y 2 z 2 5x-4 y 2z-1 0
3. Viết phương trình tiếp diện (P) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
uu
r
r
Nếu (P) là tiếp diện của (S) tại A’(1;-1;0) thì : IA ;3;1 / / n 3;6; 2 làm véc tơ pháp
2
tuyến . Cho nên (P): 3(x-1)+6(y+1)+2z=0 ; Hay (P): 3x+6y+2z+3=0 .
Ví dụ 3.(ĐH-KD-2008) .
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(3;3;0),B(3;0;3),C(0;3;3),D(3;3;3). Viét
phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D ?
3
GIẢI
Gọi phương trình của (S) : x y z 2ax 2by 2cz d 0
2
2
2
*
Nếu (S) qua bốn điểm A,B,C,D thì ta thay tọa độ bốn điểm vào (*) ta có hệ :
3
a 2
6b 6c d 18
a b 0
3
6a 6c d 18
d 0
b
2
6
b
6
c
d
18
6a
9
3
6a 6b 6c d 27
6b 9
c
2
d 0
2
2
2
3
3
3
27
S : x y z
2
2
2
4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. ( ĐHQG-KA-98 ).
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho A(a;0;0),B(o;b;0),C(o;o;c) ( a,b,c>0 ). Dựng hình hộp
chữ nhật có O,A,B,C làm bốn đỉnh . Gọi D là đỉnh đối diện của O .
1. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABD)
2. Tìm tọa độ hình chiếu của C lên mặt phẳng (ABD)
3. Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC ?
Bài 2.( HVCNBCVT-99).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a với A(a;0;0)
,D(0;0;0),C(0;a;0),D’(0;0;a). Gọi M là trung điểm của AD, N là tâm hình vuông CC’D’D.
1. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BC’MN ?
2. Gọi (P) là mặt phẳng qua (BMN) . Tính diện tích thiết diện hình lập phương tạo bới
mặt phẳng (BMN) ?
Bài 3.( HVHCQG-2000)
Trang 4
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Trong không gian Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho A trùng với gốc
tọa độ O ,B(1;0;0),D(0;1;0),A’(0;0;1) . Gọi M là trung điểm của AB , N là tâm hình vuông
ADD’A’ .
1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm C,D’M,N ?
2. Tìm bán kính đường tròn (C ) là giao của (S) với mặt mặt cầu (S’) đi qua A’BC’D ?
3. Tính diện tích thiết diện của hình lập phương tạo bởi mặt phẳng (CMN).
Bài 4. ( ĐHAn Giang-2001).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên BB’,CC’,DD’. Với AB=a ,hai
điểm M,N trên CC’sao cho CM=MN=NC’. Xét mặt cầu (K)đi qua bốn điểm A,B’M và N.
1. Chứng minh các điểm A’,B thuộc mặt cầu (K)
2. Tính độ dài bán kính của mặt cầu (K).
Bài 5. ( BK-KD-2011).
Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên các dường thẳng vuông góc với
mặt phẳng (P) tại B và C lấy hai điểm D và E nằm về cùng một phía đối với mp(P) sao cho
BD
a 3
, CE a 3 .
2
1. Tính độ dài cạnh AD ,AE và DE của tam giác ADE
2. Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE ?
Bài 6.(ĐHCĐ-2001).
Trong không gian Oxyz , cho A(3;0;0),B(0;3;0),C(0;0;3) và H là hình chiếu vuông góc của
O trên mặt phẳng (ABC).
1. Tính diện tích tam giác ABC và độ dài OH
2. Gọi D là điểm đối xứng với O qua H . Chứng minh tứ diện ABCD là tứ diện đều .
Tính thể tích tứ diện ABCD ?
3. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?
Bài 7. ( ĐHKTCN-2001).
Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(3;6;-2),B(6;0;1),C(-1;2;0),D(0;4;1).
1. Chứng minh ABCD là một tứ diện
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ?
3. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ? Tìm tâm và bán kính của
đường tròn đó ?
Bài 8. ( CĐKTKT-2004).
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho bốn điểm S(2;2;6),A(4;0;0),B(4;4;0),C(0;4;0)
1. Chứng minh S.ABCO là hình chóp tứ giác đều ?
2. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCO ?
BÀI TOÁN 2:
LẬP MẶT CẦU (S) CÓ LIÊN QUAN ĐẾ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN
I. LẬP PHƯƠNG TRÌNH (S) BIẾT (S) QUA BA ĐIỂM A,B,C VÀ TÂM NẰM TRÊN MỘT MẶT
PHẲNG (P) CHO SẴN HOẶC TIẾP XÚC VỚI (P).
CÁCH GIẢI
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 5
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Bước 1: Viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát , sau đó cho (S) đi qua ba
điểm A,B,C ta được ba phương trình
Bước 2: Thay tạo độ tâm I với a,b,c vào phương trình mặt phẳng (P) ta được phương
trình thứ tư . Vậy ta có hệ bốn phương trình bốn ẩn .
Bước 3: Giải hệ , ta suy ra a,b,c và d . Thay vào phương trình tổng quát ta có
phương trình của (S) .
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.(ĐH-KD-2004 ).
Cho ba điểm A(2;0;1),B(1;0;0) ,C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x+y+z-2=0 . Viết phương trình
mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc (P) .
GIẢI
2
2
2
Mặt cầu (S) có dạng : x y z 2ax 2by 2cz d 0 *
(S) qua A,B,C ta thay tọa độ của A,B,C vào (*) ta được hệ ba phương trình :
4a 2c d 5
2a d 1
2a 2b 2c d 3
a b c 2
2a 2c 4
d 2a 1
b c 1
a 1
c 1
d 1
b 0
a 1
S : x 1
2
y 2 z 1 1
2
Ví dụ 2.Lập mặt cầu (S) qua ba điểm A(-2;4;1) ,B(3;1;-3),C(-5;0;0) và có tâm thuộc mặt
phẳng (P) : 2x+y-z+3=0 .
GIẢI
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R .
Nếu (S) qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) thì ta có hệ :
4a+8b+2c-d=21 A S
4a+8b+2c-d=21
10a 6b 8c 21
6a 2b 6c d 0 B S
3a
4
b
c
2
10a
d
25
C
S
2a b c 3 0 I P
6a 7b 3c 24
4a+8b+2c-d=21
3a 4b c 2
3
b
c
4
34a=34
a 1
b 2
c 3
d 35
Vậy mặt cầu (S) có phương trình x 2 y 2 z 2 2x 4 y 6z 35 0
Chú ý : Dạng toán này còn có dạng
Lập mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với một mặt phẳng (P) cho sẵn .
CÁCH GIẢI
uu
r uur
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) ud nP
Bước 2: Tìm tọa độ H là giao của d với (P) ( H chính là tiếp diểm ).
Bước 3: Tính độ dài IH = R
VÍ DỤ ÁP DỤNG
I
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 6
P
H
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Ví dụ 1. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x+y-z+5=0 và các điểm
A(0;0;4),B(2;0;0) . Viết phương trình mặt cầu đi qua O,A,B và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
GIẢI
Cách 1:
Gọi (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R có dạng tổng quát :
Nếu (S) qua O,A,B thì ta có hệ ba phương trình :
d 0
8c d 16
4a-d=4
2a b c 5
R
4 11
c 2
c 2
a 1
a 1
2
2
2
2
2
5b 10b 5 0
2 b 2 5 6 1 b 2 0
a 1
b 1
c 2
d 0
Vậy (S) : x 1 y 1 z 2 6 .
Cách 2:
Nhận xét : A ,B nằm trên hai trục Ox và Oz , cho nên OAB thuộc mặt phẳng (Oxz) vuông
góc với trục Oy . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là trung điểm M(1;0;2) của AB
Lập đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(OAB) ( Là trục của đường tròn qua
2
2
2
x 1
r r
OAB ) thì d song song với Oy u j 0;1;0 d : y t . Tâm I của mặt cầu thuộc d cho
z 2
nên tọa độ của I(1;t;2) .
Vì (S) tiếp xúc với (P) cho nên : h(I,P)=R =IO
5 t2
2t 25
6
5 t 2 2t 1 0 t 1 I 1;1; 2
Do đó mặt cầu (S) có phương trình là : x 1 y 1 z 2 6
Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x+2y-2z+2=0 , và điểm I có
tọa độ là I(1;2;2) .
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
c/ Lập phương trình mặt phẳng qua M,N và tiếp xúc với (S).
GIẢI
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng (P)
r r
- Lập đường thẳng d qua I(1;2;2) và vuông góc với (P) cho nên u n 1; 2; 2 . Cho
nên d có phương trình : x=1+t ; y=2+2t;z=2-2t .
- Tìm tọa độ H là giao của d với (P) , tọa độ H là nghiệm của hệ :
2
x 1 t
y 2 2t
z 2 2t
x 2 y 2z 2 0
2
1 t 2 2 2t 2 2 2t 2 0
2
1
1 4 8
9t 3 t H ; ;
3
3 3 3
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 7
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
2
2
2
1
4
8
1
Vậy : IH 1 2 2 216
3 3
3
3
216
2
2
2
24 (*)
Cho nên : S : x 1 y 2 z 2
9
b/ Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1;2;1);N(2;1;1).
-
x 1 t
r
Đường thẳng (MN) qua M(1;2;1) có véc tơ chỉ phương u 1; 1;0 ( MN ) : y 2 t .
z 1
- Nếu (MN) cắt (S) thì : thay giao điểm A của (MN) với cầu (S) vào (*) A(t+1;2-t;1)
30
.
2
30
30
30
30
;2
;1; A2 1
;2
;1
Do đó có hai điểm : A1 1
2
2
2
2
ta có : t 1 1 2 t 2 1 2 24 2t 2 24 9 15 t
2
-
2
2
c/ Lập mặt phẳng (P) qua (MN) và tiếp xúc với (S) .
x y 1 0
.
z 1 0
- Đường thẳng (MN) là giao của hai mặt phẳng :
- Suy ra (P) qua (MN) thì (P) thuộc chùm : x+y-1+m(z-1)=0 hay : x+y+mz-1-m=0 (*)
- Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì :
h I, P R
-
1 2 2m 1 m
1 4 4
24
m 2 6 6
m 2 3 24
m 2 6 6
x y 2 6 6 z 1 6 6 0
Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng :
x y 6 6 2 z 1 6 6 0
II. LẬP (S) CÓ TÂM I ĐỒNG THỜI CẮT (P) THEO MỘT ĐƯỜNG TRÒN XÁC
ĐỊNH ( Biết bán kính-hoặc chu vi-hoặc diện tích )
I
K
B
CÁCH GIẢI
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và
r r
vuông góc với (P) khi đó u n P .
Bước 2: Tìm tọa độ tâm K của đường tròn giao
tuyến là giao của d với (P) . Từ đó tìm được IK .
Bước 3:Dựa vào giả thiết cho biết đường tròn (C )
ta tính được r .
Bước 4: Tính R 2 IK 2 r 2 . Thay vào phương trình
mặt cầu .
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1 . Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;-2) và đường thẳng d là giao
tuyến của hai mặt phẳng 2x-y-5=0 và y-z+3=0 .
Trang 8
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
1.Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I ,đồng thời mặt phẳng (P): 2x+2y+z+5=0 cắt (S)
theo một giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 8 .
2.Viết phương trình tiếp diện của (S) qua d ?
GIẢI
2425
d 3 . Theo giả thiết : 8 2 r r 4 ( là bán kính của đường
3
2
2
2
tròn C ). Vậy : R 2 d 2 r 2 9 16 25 R 5 S : x 1 y 2 z 2 25 .
1. Tính h(I,P)=
2. Mặt phẳng tiếp diện của (S) gọi là (Q) . Do mp(Q) qua d cho nên (Q) thuộc chùm mặt
phẳng : m(2x-y-5)+n(y-z+3)=0 ; hay : 2mx-(m-n)y-nz+3n-5m =0 (*).
H(I,Q)=
7 n 5m
4m m n n
2
2
2
7n 5m
5
2
25 5m 2 2mn 2n 2
10m n
2
0
Nếu chọn : m=1, thì n=-10 , thay vào phương trình (*) ta có phương trình tiếp diện là :
2x-11y+10z-35=0 .
Ví dụ 2. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;3;-1) và định ra trên đường thẳng d có
phương trình là giao tuyến của hai mặt phẳng : 5x-4y+3z+20=0 , 3x-4y+z-8=0 một dây
cung có độ dài bằng 16.
GIẢI
Ta tính h(I,d) .
x 1 2t
- Đường thẳng d viết lại : y 5 t . Gọi H là một điểm
z 15 2t
I
A
B
bấtuu
kỳ
thuộc d thì H(1+2t;-5+t;-15-2t)
u
r
r
d
IH 2t 1; t 8; 2t 14 u 2;1; 2
H
uuu
r ur
IH .u ' 0 2 2t 1 t 8 2 2t 14 0 9t 18 t 2
Vậy : H 5; 10; 10 IH 2 25 100 100 225 R 2
AB 2
IH 2 64 225 269
4
Vậy : S: x 2 y 3 z 1 289 .
2
2
2
uuur r
IM , u
; M 1; 5; 15
r
- Ta còn có cách tính IH bằng công thức : h I , d
u
2
2
2
8 14 14 1 1 8
uuur r
IM , u
uuur
302 302 152
2025
1 2 2 2 2 1
IM 1;8;14 IH
15
r
3
3
4 1 4
u
Theo cách tính : R 2 IH 2
2
2
AB
16
225 225 64 269 .
2
2
Ví dụ 3.( ĐHLN-2001).
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 9
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
x t
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: y 1 2t và mp (P): 2x-y-2z-2=0 .
z 2 t
1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P)
một khoảng bằng 2 .đồng thời (S) cắt (P) theo đường tròn có bán kính bằng 3.
2/ Viết phương trình mặt phẳng ® qua d và tạo với (P) một góc nhỏ nhất .
GIẢI
1/ Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc đường thẳng d và tâm I cách mặt phẳng (P)
một khoảng bằng 2 .
Nếu I d I t; 1 2t; 2 t h I , P
1
t 6
6t 5 6
11
6t 5 6
t
6
2 t 2t 1 2 2 t 2
4 1 4
2
6t 5 6
1 2 13
I1 6 ; 3 ; 6
. Tính khoảng cách từ hai tâm đến (P)
11 14 1
I 2 ; ;
3 6
6
1 2
13
11 14
1
2 2 2
2 2 2
h I ,P 6 3 6
. Do đó :
6 3
6
2; h I 2 , P
2
1
4 1 4
4 1 4
2
2
2
2
1
2 13
2
R1 2 9 13 S1 : x y z 13
6
3
6
2
2
2
11
14
1
2
2
R2 2 9 13 S2 : x y z 13
6
3 6
x y 1
1 2
2x y 1 0
2/ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng :
.
x z 2 0
x z2
1
1
Do vậy mặt phẳng (R ) qua d thì (R ) thuộc chùm : 2x+y+1+m(x+z-2)=0
.
r
uur
Hay mp( R) : (2+m)x+y+mz+1-2m=0 (*). Mp( R) có n1 m 2;1; m ; nP 2; 1; 2 .
uu
ruur
n1.nP
Vậy : cos nur n
1
P
2 m 2 1 2m
m 2
2
1 m2 4 1 4
5
3 2m 2 4m 5
5
1
5
3 2 m 1 2 3 3 3
Do nhỏ nhất cho nên cos lớn nhất khi m=-1 .
Vậy thay vào (*) ta có mp( R): x+y-z+3=0 .
Chú ý : Dạng toán này còn có cách giải khác :
Giả sử ( R) là mặt phẳng qua d và cắt (P) theo giao
B
tuyến và A=d giao với (P) . B là một điểm bất kỳ
d
trên d . Kẻ BH ( P), BC BHC BHC
Là góc phẳng của nhị diện tạo bởi (P) và ( R) .
Trang 10
P
A
Vì HC HC HA
tan
BH
HC
BH
HA
H
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
C
hằng số .
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Nên có giá trị nhỏ nhất khi C trùng với A d . Vậy ( R) là mặt phẳng qua AB và cắt
(P) theo giao tuyến ABH .
uu
r
uur
uu
r uur
uu
r
Ta có : vd 1; 2;1 , nP 2; 1; 2 vd , nP 3;0; 3 / / v 1;0;1
uu
r uu
r
uur
Mặt khác ta lại có : vd , vV 2; 2; 2 / / 1;1; 1 nR . Để ý M(0;-1;2) thuộc d nằm trong ( R).
Ta có phương trình mặt phẳng ( R) : x+y+1-(z-2)=0 ,Hay : x+y-z+3=0 .
BÀI TOÁN 3:
LẬP MẶT PHẲNG-ĐƯỜNG THẲNG KHI CHO PHƯƠNG TRÌNH CỦA MẶT
CẦU (S)
I. LẬP MẶT PHẲNG TIẾP XÚC VỚI MẶT CẦU
Chú ý :
- Giả sử cần lập mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) có tâm I(a;b;c;) và bán kính R
Mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 được xác định khi tối thiểu phải biết được ba ẩn số .
Trong khi đó điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với cầu (S) thì chỉ có một dữ kiện là
h(I,P)=R .
aA bB cC D
A2 B 2 C 2
R.
- Vì thế cho nên bài ra bao giờ cũng cho thêm tối thiểu hai dự kiện nữa .
1. Lập mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d cho sẵn ( hoặc song song với một
mặt phẳng (Q) cho sẵn ) và tiếp xúc với cầu (S) .
CÁCH
GIẢI
uur uu
r
Bước 1: Nếu (P) vuông góc với d thì nP ud A; B; C P : Ax By Cz m 0 *
Bước 2: Nếu (P) tiếp xúc với cầu (S) thì :
aA bB cC m
A2 B 2 C 2
R
1
Bước 3: Giải (1) ta tìm được ẩn m thay vào (*) ta có mặt phẳng (P)
Trường hợp (P) song song với (Q) thì véc tơ pháp tuyến của (Q) cũng là của (P).
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
2x 3 y 4z 1 0
và mặt cầu (S) có phương trình là :
x y 2z 9 0
Ví dụ 1; Cho đường thẳng d :
x 2 y 2 z 2 4x 2 y 6z 6 0 . Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d và tiếp
xúc với mặt cầu (S).
r
GIẢI
ur uu
r
3
4 4
;
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u n1 , n2
1 2 2
Mặt cầu (S) có tâm I(2;-1;3) và có bán kính là R= 20 .
Do vậy (P) vuông góc với d có dạng : 2x+z+m=0 (*)
Nếu (P) tiếp xúc với (S) thì : h I , P
2.2 3 m
4 1
20
uur
2 2 3
;
2;0;1 nP .
1 1 1
m 3
m 7 10
m 17
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 11
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
P1 : 2x z 3 0
Vậy có hai mặt phẳng :
P2 : 2x z 17 0
Ví dụ 2.( Bài 87- tr137-BTHH12NC).
2
2
2
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu : S : x y z 10x 2 y 26z 113 0 .
x 5 y 1 z 13
;
Và hai đường thẳng d :
2
3
2
x 7 3t
d ' : y 1 2t
z 8
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d .
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.
GIẢI
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) và vuông góc với d .
Mặt cầu (S) có tâm I(5;-1;-13) và có bán kính R= 308
r
uur
Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương u 2; 3; 2 nP
Nếu (P) vuông góc với d thì (P): 2x-3y+2z+m=0 (*).
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) thì :
h I, P
10 3 26 m
494
308
m 13 17.308 m 13 5236
Tóm lại có hai mặt phẳng : 2x-3y+2z 13 5236 =0 .
b/ Viết phương trình mặt phẳng (Q) tiếp xúc với (S) và song song với cả d ,d’.
uu
r
ud 2; 3; 2
uu
r uur 3 2 2 2 2 3
uur
ud , ud '
;
;
Ta có : uur
4;6;5 nQ
2 0 0 3 3 2
ud ' 3; 2;0
Vậy (Q) có dạng : 4x+5y+6z+m=0 (*)
Nếu (Q) tiếp xúc với (S) thì : h I , Q
20 6 65 m
16 36 25
308
Q1 : 4x 5 y 6z 103 0
Vậy có hai mặt phẳng (Q) :
Q2 : 4x 5 y 6z 205 0
m 103
m 51 154
m 205
2. Lập mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tiếp xúc với cầu (S)
CÁCH GIẢI
Bước 1: Chuyển đường thẳng d sang dạng là giao tuyến của hai mặt phẳng .
Bước 2: Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm mặt phẳng . Viết phương trình chùm mặt
phẳng sau đó chuyển về dạng mẫu mực .
Bước 3: Sử dụng điều kiện : (P) tiếp xúc với (S) thì h(I,P) = R , ta sẽ thu được
phương trình của mặt phẳng (P)
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.( MĐC-98).
Trang 12
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
x 13 y 1 z
và mặt cầu (S) có
1
1
4
phương trình : x 2 y 2 z 2 2x 4 y 6z 67 0 .
Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với (S) .
GIẢI
( Chuyển d về dạng giao tuyến của hai mặt phẳng )
Đường thẳng d là giao của hai mặt phẳng :
x 13 z
I
1 4
4x z 52 0 .
d
y 1 z
1
4
M
r
u
4 y z 4 0
Nếu (P) chứa d thì (P) thuộc chùm :
4x+z-52+m(4y-z+4)=0 ;
Hay : 4x+4my+(1-m)z+4m-52=0 (*) .
Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và có bán kính R=9. Cho nên (P) tiếp xúc với (S) thì :
Khoảng cách từ tâm I đến (P) bằng bán kính :
P
H
m 1
9 9m 45 9 17 m 2m 17 2m m 1 0
2
m 1
2
16 16m 1 m
2
P1 : 2x 2 y z 28 0
Thay vào (*) ta có hai mặt phẳng :
.
P2 : 8x 4 y z 100 0
8x 11 y 8z 30 0
Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
và mặt
x y 2z 0
4 8m 3(1 m) 4m 52
2
2
2
cầu (S) có phương trình : x 2 y 2 z 2 2x 6 y 4z 15 0 .
Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tiếp xúc với cầu (S) .
GIẢI
Cầu (S) có tâm I(-1;3;-2) và có bán kính R= 29 .
Mặt phẳng (P) chứa d cho nên (P) thuộc cùm mặt phẳng :
8x-11y+8z-30+m(x-y-2z)=0 ; hay : (8+m)x-(11+m)y+(8-2m)z-30=0 (*)
Néu (P) tiếp xúc với (S) thì :
h I , P
8 m 3 11 m 2 8 2m 30
8 m 11 m 8 2m
2
2
2
29
87
6m 6m 249
2
29
m 1
6.m 2 6.m 249 3.87 m 2 m 2 0
m 2
Nếu m=1: (P) : 9x-12y+6z-30=0 ; hay : 3x-4y+2z-10=0 .
Nếu m=-2 thì (P): 6x-9y+12z-30=0 , hay (P): 2x-3y+4z-10=0 .
Như vậy có hai mặt phẳng chứa d và tiếp xúc với (S) .
II. MẶT PHẲNG CẮT MẶT CẦU – TÌM TỌA ĐỘ TÂM VÀ BÁN KÍNH ĐƯỜNG
TRÒN GIAO TUYẾN .
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 13
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
BÀI TOÁN :
Cho mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và bán kính R . Mặt phẳng (P) Ax+By +Cz+D=0 . Chứng
minh (P) cắt (S) . Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến
CÁCH GIẢI
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua tâm cầu I và
r r
vuông góc với mặt phẳng (P) : u n A; B; C
Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm K của d với (P) . ( Đó
chính là tâm của đường tròn giao tuyến ). Sau đó tính độ
I
dài đoạn thẳng d=IK
R
d
Bước 3: Để tính bán kính của đường tròn ( C) ta sử dụng
K
công thức : r 2 R 2 d 2 R 2 IK 2
r
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.( Bài 3.59-Ôn chương III-tr117-BTHH12CB)
Trong không gian cho bốn điểm A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1) và D(1;1;0)
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D /
b/ xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt
cầu (S)
GIẢI
a/ Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D
Từ hình vẽ , dễ dàng tìm được tọa độ tâm cầu (S) là I :
- Gọi J là trung điểm của AB J ; ;0
1 1
2 2
C
K
I
B
O
J
- Kẻ đường thẳng m qua J và song song với Oz cắt
CD tại I ( I là trung điểm của CD ) . Do vậy :
1 1 1 . Bán kính của cầu (S) bằng đoạn thẳng
I ;
2 2 2
1 1 1
3
OI=
.
4 4 4
2
A
D
Ta có :
uuur
uuur
uuur uuur 0 1 1 1 1 0
r
AC 1;0;1 , AD 0;1;0 AC , AD
;
;
1;0;
1
/
/
n
1;0;1
1 0 0 0 0 1
Mặt phẳng (ACD) qua A(1;0;0) và có véc tơ pháp tuyến là
uuur uuur
AC , AD 1;0; 1
ACD : x z 1 0
b/ xác định tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng(ACD) với mặt
cầu (S)
Trang 14
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
-
1
x 2 t
1
Gọi d là đường thẳng qua tâm cầu I và vuông góc với (ACD) thì d : y
2
1
z 2 t
- Đường thẳng d cắt ACD) tại điểm H thì tọa độ H là nghiệm của hệ :
1
1
1 1 1
t t 1 0 t 0 H ; ;
2
2
2 2 2
- trùng với I . Vì thế (ACD) cắt (S) theo đường tròn lớn có bán kính bằng bán kính
của (S) r R
3
.
2
Ví dụ 2.( Bài 3.54-Ôn chương III-tr116-BTHH12CB)
Cho mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-5=0 và mạt cầu (S): x 2 y 2 z 2 3x 4 y 5z 6 0
a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
b/ Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt
mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C ). Xác định bán kính r và tâm H của
đường tròn (C ).
GIẢI
a/ Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
5
9
25
26
3
Mặt cầu (S) có tâm I= ; 2; ; R 4 6
2
2
4
4
2
3
5
2 3 2 4 5
8
b.Ta có khoảng cách từ tâm I đến (P) : h( I , P ) 2
.
2
29 R
4 9 16
29
Chứng tỏ : (P) cắt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn .
Tìm tâm và bán kính của ( C).
3
x 2 2t
Đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) : y 2 3t
5
z 4t
2
Đường thẳng d cắt (P) tại H ( là tâm của đường tròn ) : Tọa độ của H là nghiệm của
hệ :
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 15
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
3
x 2 2t
8
y 2 3t
3
5
119 34 81
2 2t 3 2 3t 4 4t 5 0 t
H
; ;
29
29 58
2
2
58
z 5 4t
2
2x 3 y 4z 5 0
Bán kính r của ( C) : r 2 R 2 h 2 I , P
26 64 249
249
r
4 26 58
58
Ví dụ 3. ( ĐH-Đà lạt -2001)
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm I(0;1;2) ,A(1;2;3) ,B(0;1;3)
1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?
r
2/ Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B có véc tơ pháp tuyến n 1;1;1
3/ Chứng minh (P) cắt (S) theo một đường tròn ( C) . Tìm tâm và bán kính của ( C) ?
GIẢI
1/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và đi qua A ?
2
2
2
Nếu (S) qua A(1;2;3) , thì IA=R R 2 IA2 1 0 2 1 3 2 3 .
Vậy (S) : x 1 y 2 z 3 3 .
2
2
2
r
2/ Lập mặt phẳng (P) qua B(0;1;3) có n 1;1;1 , (P) : x+y+z-4=0 (*).
3/ Chứng minh (P) cắt (S) : Ta có h I , P
0 1 2 4
3
1
3R
3
P S
x t
Tìm tọa độ tâm : Lập d qua I ( 0;1;2) và vuông góc với (P) : d : y 1 t
z 2t
x t
y 1 t
1
1 4 7
3t 1 t H ; ;
Tâm H của ( C) là d cắt (P) , d :
3
3 3 3
z 2t
x y z 4 0
1
3
8
3
Bán kính r của ( C) : r 2 R 2 h 2 I , P 3 r
8 2 6
3
3
BÀI TOÁN 4:
TÌM ĐIỂM TRÊN CẦU (S) THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN – (S) CHỨA THAM SỐ
BÀI TOÁN : Cho mặt cầu (S) : F(x,y,z)=0 (1) hoặc F(x,y,z,m)=0 (2) . Mặt phẳng (P) hay
đường thẳng d ( cho phương trình )
1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
CÁCH GIẢI
Trang 16
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
1/ Tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) là nhỏ nhất , lớn nhất .
Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P)
Bước 2: Tìm tọa độ H ,K là giao của d với (Q) . Sau đó tính IH và IK . H,K là các
điểm cần tìm .
2/ Tìm m để d cắt (S) : F(x,y,z,m) =0 tại hai điểm M,N sao cho MN=a ( hằng số )
Bước 1: Chuyển d sang tham số . Lập hệ để tìm giao của d và (S) suy ra g(t,m)=0
Bước 2: Lấy trên d một điểm H , tính IH theo công thức .(1)
2
MN
Bước 3: Sử dụng IH R
2
2
2
2 . Từ (1) và (2) suy ra m cần tìm .
3/ Tìm quỹ tích tâm I của (S) ....
* Sử dụng phương pháp tìm quỹ tích trong hàm số .
MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho (S) : x 2 y 2 z 2 2x 2z 2 0 và mặt phẳng
(P) : 2x-2y+z+6=0 . Tìm điểm A trên (S) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất , nhỏ
nhất ?
GIẢI
2
2
2
Mặt cầu (S) : x 1 y z 1 4 I 1;0; 1 , R 2 .
x 1 2t
Đường thẳng d qua I(1;0;-1) và vuông góc với (P) : d : y 2t
z 1 t
Đường thẳng d cắt (S) thông qua phương trình :
1 2t 1
2
2t 1 t 1 4 9t 2 4
2
2
2
13
7 4 1
t 3 A 3 ; 3 ; 3 h( A, P) 3
2
t
3
2
1
1 4 5
t A ; ; h( A, P )
3
3
3 3 3
2x 2 y z 1 0
và mặt cầu
x 2 y 2z 4 0
Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :
(S) : x 2 y 2 z 2 4x 6 y m 0 . Tìm m để d cắt (S) tại hai điểm M,N sao cho MN=8 .
GIẢI
Mặt cầu (S) có tâm I(-2;3;0) và bán kính R= 4 9 m 13 m 0 m 13 *
2
2
MN
8
Mặt khác ta có : IH 2 R 2 r 2 13 m
13 m m 3 IH m 3 (1)
2
2
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 17
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Lại có IH=h(I,d) . Ta có d qua M(0;1;-1) và có véc tơ chỉ phương là tích có hướng của hai
véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng :
r
r ur 2 1 1 2
u n, n '
;
2 1 1 2
uuu
r ur
MI , u '
Do đó : h I , P ur
u'
;
ur
uuu
r
2 2
6;3;6
/
/
u
'
2;1;
2
;
MI
2; 2;1 .
2 2
9 36 36
3 (2)
4 1 4
Từ (1) và (2) : m 3 3 m 12 . Vậy với m=-12 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .
Ví dụ 3. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho họ :
Sm : x 2 y 2 z 2 4mx 2my 6z m 2 4m 0
1/ Tìm m để Sm là phương trình của một mặt cầu ?
2/ Chứng minh rằng tâm I của Sm luôn nằm trên một đường thẳng cố định ( với các giá
trị của m tìm được )
GIẢI
1/ Tìm m để Sm là phương trình của một mặt cầu ?
2
2
2
Sm : x 2m y m z 3 4m 2 4m 9 (*)
Để Sm là phương trình của mặt cầu thì : 4m 2 4m 9 0 ' 4 36 32 0 . Do đó với
mọi m (*) luôn là phương trình của (S) .
2/ Ta có tọa độ tâm I của Sm
x 2m
x 2y 0
là : y m
. Đây chính là giao của hai mặt
z 3
z 3
phẳng . Do đó giao tuyến của chúng là một đường thẳng cố định ( ví không phụ thuộc vào
m ).
MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYÊN
Bài 1. ( ĐH-Thủy lợi -2000)
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x 2 y 2 z 2 6x 4 y 2z 5 0 và mặt
phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .
a/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của (S)
b/ Tìm điểm M trên mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ đó đến mặt phẳng (P) là ngắn nhất
?
Bài 2. ( ĐHAN-KA-98) .
Cho tam diện vuông Oxyz và một phần tám mặtcầu đơn vị : x 2 y 2 z 2 1 (x,y,z 0 ), trong
góc tam diện ấy . Một mặt phẳng (P) tiếp xúc với một phần tám mặt cầu ấy tại điểm M cắt
các trục Ox, Oy,Oz thứ tự tại A,B,C sao cho OA=a,OB=b,OC=c (a,b,c>0).
1 1 1
1 ?
a 2 b2 c2
2
2
2
b/ Chứng minh : 1 a 1 b 1 c 64 . Tìm vị trí của M khi dấu đẳng thức xảy ra ?
a/ Chứng minh rằng :
Bài 3. ( ĐHQG-A-99).
Trang 18
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
Cho đường tròn ( C) là giao tuyến của cầu (S) : x 2 y 2 z 2 4x 6 y 6z 17 0 với
(P) có phương trình : x-2y+2z+1=0 .
1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ( C)
2/ Lập phương trình mặt cầu (S’) chứa đường tròn ( C) có tâm nằm trên mặt phẳng (Q) :
x+y+z+3=0 .
2
2
2
Cho họ : Cm : x y z 2 m 1 x 2 m 2 y 6m 7 0 . ( với m là tham số )
1/ Tìm quỹ tích tâm I của họ Cm
2/ Tìm tọa độ tâm thuộc họ mà tiếp xúc với Oy .
2x y 2z 12 0
. Lập phương trình đường tròn ( C) có tâm
4x 7 y z 6 0
Bài 4. Cho đường thẳng :
I(1;-1;-2) và cắt tại hai điểm A,B sao cho AB=8 .
Bài 5. ( ĐH-Thủy lợi -2000) .
Cho mặt cầu (S) : x 2 y 2 z 2 6x 4 y 2z 5 0 . Và mặt phẳng (P) : x+2y+2z+11=0 .
1/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của ( C) là giao của (P) với (S) ?
2/ Tìm tọa độ điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ đó đến (P) nhỏ nhất ?
Bài 6. ( ĐH-YHP-2000).
Cho các điểm A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c) ( a,b,c>0) và :
1 1 1
2 .
a b c
1/ Chứng minh khi a,b,c thay đổi thì mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định . Tìm
tọa độ điểm cố định ấy ?
1
3
2/ Tìm tâm và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC ? và chứng minh : 4 r 2 3 1
BỔ SUNG THÊM
Bµi 1.
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho mÆt ph¼ng (Pm):
2x+2y+z –m2-3m=0 vµ mÆt cÇu (S): (x-1)2+(y+1)2+(z-1)2=9.
a.T×m m ®Ó mÆt ph¼ng (Pm) tiÕp xóc mÆt cÇu (S). Víi m t×m ®îc, h·y x¸c ®Þnh to¹ ®é tiÕp
®iÓm cña mÆt ph¼ng (Pm) vµ mÆt cÇu (S)
b. Cho m=2. Chøng minh r»ng mp(P2) tiÕp xóc víi (S). T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm c. X¸c ®Þnh m
®Ó (Pm) c¾t (S) theo mét ®êng trßn (C) cã b¸n kÝnh r=2 2
Bµi2.
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho ba ®iÓm A(2;0;1),B(1;0;0),
C(1;1;1) vµ mÆt ph¼ng (P): x+y+z-2=0. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua ba ®iÓm A, B, C vµ
cã t©m thuéc mÆt ph¼ng (P)
Bµi 3.
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho h×nh l¨ng trô ®øng ABCA1B1C1
víi A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B1 (4;0;4)
a. T×m to¹ ®é c¸c ®Ønh A1, C1. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu cã t©m lµ A vµ tiÕp xóc víi mÆt
ph¼ng (BCC1B1).
b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña A1B1. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua hai ®iÓm A, M vµ
song song víi BC1. MÆt ph¼ng (P) c¾t ®êng th¼ng A1C1 t¹i N. TÝnh ®é dµi ®o¹n MN
Bµi 4.
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho ba ®iÓm A(2;0;0), C(0;4;0),
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 19
CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU
S(0;0;4).
a. T×m to¹ ®é ®iÓm B thuéc mÆt ph¼ng Oxy sao cho tø gi¸c OABC lµ h×nh ch÷ nhËt. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua bèn ®iÓm O, B, C, S
b. T×m to¹ ®é ®iÓm A1 ®èi xøng víi ®iÓm A qua ®êng th¼ng SC
Bµi 5.
Trong kg víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho ba ®iÓm A(1;1;0), B(0;2;0), C(0;0;2)
a. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) qua gèc to¹ ®é O vµ vu«ng gãc víi BC. T×m to¹ ®é giao
®iÓm cña ®êng th¼ng AC víi mÆt ph¼ng (P)
b. CM ABC lµ tam gi¸c vu«ng. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn OABC
Bµi 6.
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho mÆt ph¼ng
(P): 2x+y-z+5=0 vµ c¸c ®iÓm A(0;0;4), B(2;0;0)
a. ViÕt ph¬ng tr×nh h×nh chiÕu vu«ng gãc cña ®êng th¼ng AB trªn mÆt ph¼ng (P)
b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ®i qua O, A, B vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (P)
Bµi 7.
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho 4 ®iÓm S(2;2;6), A(4;0;0),
B(4;4;0), C(0;4;0)
a. CMR h×nh chãp SABCO lµ h×nh chãp tø gi¸c ®Òu
b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp SABCO
Bµi 8.
2x 2 y z 1 0
x 2 y 2z 4 0
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho ®êng th¼ng d:
vµ mÆt cÇu (S): x2+y2+z2+4x-6y+m=0. T×m m ®Ó ®êng th¼ng d c¾t mÆt cÇu (S) t¹i hai ®iÓm
M, N sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm ®ã b»ng 9
Bµi 9.
Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho A(0;3;-3), B(1;1;3) vµ ®êng
x 3 2t
th¼ng d: y 5 2t
z 1 t
a. CMR ABd
b. T×m h×nh chiÕu cña A, B trªn d
c. T×m Md ®Ó MA+MB nhá nhÊt
d. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu nhá nhÊt qua A, B vµ tiÕp xóc d
Bµi 10.
Gäi (C) lµ giao tuyÕn cña mÆt cÇu (S): (x-3)2+(y+2)2+(z-1)2=100 vµ (P): 2x-2y-z+9=0. X¸c
®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cña (C)
Bµi11.
Trong kg gian víi hÖ to¹ ®é §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho mÆt ph¼ng (P): x+y+z-1=0 vµ ®êng
th¼ng d:
x y z 1
.
1 1
1
a. ViÕt PTCT cña c¸c ®êng th¼ng lµ giao tuyÕn cña mp(P) víi c¸c mÆt ph¼ng to¹ ®é. TÝnh
thÓ tÝch cña khèi tø diÖn ABCD, biÕt A, B, C lµ giao ®iÓm t¬ng øng cña mp(P) víi c¸c trôc
to¹ ®é Ox, Oy, Oz cßn D lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng d víi mÆt ph¼ng to¹ ®é Oxy
b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu (S) ®i qua 4 ®iÓm A, B, C, D. X¸c ®Þnh to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh
cña ®êng trßn lµ giao tuyÕn cña mÆt cÇu (S) víi mp(ACD)
Bµi12.
Trong kg §Òc¸c vu«ng gãc Oxyz cho A(-3;1;2) vµ mp(P): 2x+3y+z-13=0
a. H·y viÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d ®i qua A vµ vu«ng gãc víi mp(P). T×m to¹ ®é giao
®iÓm M cña d vµ (P)
b. ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu t©m A b¸n kÝnh R=4. CMR mÆt cÇu nµy c¾t mp(P) vµ t×m b¸n
Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608
Trang 20
- Xem thêm -