Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
CÁC TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG TRONG BÀI TOÁN
TĨNH ĐIỆN
Trần Lê Hùng
Trường chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị
Tĩnh điện là một nội dung quan trọng trong chương trình bồi dưỡng
học sinh giỏi THPT. Để giải các bài toán tĩnh điện học sinh ngoài việc
cần nắm vững bản chất hiện tượng vật lí liên quan, còn phải biết sử dụng
thành thạo các công cụ toán học như tích phân, đạo hàm…. Ngoài ra
người ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau: phương pháp sử
dụng định luật bảo toàn, phương pháp sử dụng định lí O-G, phương pháp
ảnh điện, phương pháp thay thế tương tương …. Trong bài viết này,
chúng tôi chỉ đề cập đến một khía cạnh nhỏ, đó là vận dụng các tính chất
đối xứng trong các bài toán tĩnh điện. Việc sử dụng tính đối xứng sẽ giúp
định hình về mặt phương pháp, thao tác giải quyết bài toán sẽ nhanh gọn
và hiệu quả hơn.
1. Tính đối xứng của các phân bố điện tích
1.1. Phép đối xứng phẳng
Điện tích của một phân bố bất biến đối với phép đối xứng phẳng qua
mặt phẳng xOy nếu như: (x, y, z) (x, y, z)
1.2. Phép phản đối xứng phẳng
Mặt phẳng xOy là phản đối xứng nếu phân bố thoả mãn:
(M ') (M)
hay
(x, y, z) (x, y,z)
1.3. Bất biến do phép tịnh tiến
Phân bố là bất biến do phép tịnh tiến song song với một trục khi mật
độ điện tích là như nhau tại một điểm M của phân bố và tại mọi điểm M’
có được bằng phép tịnh tịnh tiến M song song với trục ấy.
Mật độ điện tích của một phân bố là bất biến do phép tịnh tiến theo
trục Oz nếu như: (x, y, z) (x, y)
Chú ý rằng, mọi mặt phẳng vuông góc trục Oz đều là mặt phẳng đối
xứng của phân bố điện tích.
1.4. Bất biến do phép quay
Một phân bố là bất biến do phép quay quanh trục Oz nếu mật độ điện
tích là như nhau tại một điểm M của phân bố và tại mọi điểm M’ thu
1
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
được bằng một phép quay bất kì của điểm M xung quanh trục đó. Gọi
(r, , z) là các toạ độ trụ trục Oz của M. Đối với một phân bố như thế, sự
phân bố các điện tích phải không phụ thuộc góc .
Điện tích của một phân bố là bất biến đối với phép quay xung quanh
trục Oz nếu như: (r, , z) (r, z)
Chú ý rằng, mọi mặt phẳng chứa Oz đều là mặt phẳng đối xứng của
phân bố điện tích.
1.5. Phân bố có tính đối xứng trụ
Phân bố đối xứng trụ là bất biến đối với phép tịnh tiến song song với
một trục (Oz) (mọi mặt phẳng vuông góc trục Oz đều là mặt phẳng đối
xứng) và quay tròn xung quanh trục đó (mọi mặt phẳng chứa Oz là mặt
phẳng đối xứng).
Gọi (r, , z) là các toạ độ trụ trục Oz. Phân bố đối xứng trụ:
(r, , z) (r)
1.6. Phân bố có tính đối xứng cầu
Phân bố đối xứng cầu là bất biến đối với phép quay xung quanh tất cả
các trục đi qua tâm đối xứng. Mọi mặt phẳng chứa gốc đều là mặt phẳng
đối xứng của phân bố.
Sử dụng toạ độ cầu (r, , ) với gốc là tâm đối xứng. Phân bố đối xứng
cầu:
(r, , ) (r)
2. Trường và thế gây ra bởi các phân bố điện tích đối xứng
Trong bài toán tính cường độ điện trường gây ra bởi một phân bố, việc
sử dụng các tích phân là khá vất vả. Tuy nhiên nếu các phân bố có dạng
đối xứng, một vài phép toán đơn giản hoá (khử đi một số toạ độ của điểm
cần tính toán, loại bỏ các thành phần của trường…) có thể được thực hiện
mà không cần nhiều phép tính toán.
Một phương pháp hữu hiệu để tính toán trường gây ra bởi một phân
bố đối xứng là sử dụng định lí O-G. Trước hết chúng ta phải dựa vào các
mặt phẳng đối xứng hoặc phản đối xứng để xác định hướng của trường.
Sử dụng tính bât biến của các phép quay hoặc phép tịnh tiến để giảm bớt
sự phụ thuộc của các thành phần của trường đối với các toạ độ. Hình dạng
thu được của trường quyết định việc lựa chọn một mặt Gauss làm cho
phép tính thông lượng trở thành sơ cấp.
2
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
2.1. Phép đối xứng phẳng
Phân bố D là bất biến đối với một phép phản đối xứng phẳng qua
một mặt phẳng P. Cường độ điện trường do D tạo ra là song song với mặt
phẳng P (H.1).
2.2. Phản đối xứng phẳng
Phân bố D* là bất biến đối với một phép phản đối xứng phẳng * qua
mặt phẳng phản đối xứng P*. Cường độ điện trường do phân bố D* tạo ra
là vuông góc với mặt phẳng P* (H.2).
2.3. Bất biến với phép tịnh tiến
Khi một phân bố D là bất biến đối với phép
tịnh tiến rz song song với
r
E(x, y, z nz) E(x, y, z)
trục
Oz
(H.3):
hay
r
r
r
r
E(x, y, z) E(x, y) E x (x, y)e x E y (x, y)e y
Trong trường hợp này hàm thế chỉ phụ thuộc vào các biến số x và y.
2.4. Bất biến với phép quay
3
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
Xét một phân bố điện tích bất biến với phép quay R một góc (H.4)
quanh trục Oz. Trường tĩnh điện ở M và M’ đều có cùng các thành phần
trong các hệ toạ độ (Ox, Oy,Oz) và (R(Ox), R(Oy), R(Oz)) tương ứng. Cường
độ điện trường tại M’ cũng giốngr như cường độ điện trường tại M với
một phép quay xung quanh vectơ ez một góc .
r
r
r
Trong hệ toạ độ trụ trục Oz, E(r, , z) E r (r, z)er E z (r, z)ez . Hàm thế chỉ
phụ thuộc vào các biến r và z của toạ độ trụ.
2.5. Đối xứng trụ và đối xứng cầu
Trường của một phân bố đối xứng trụ trục Oz (sự phân bố điện tích
chỉ
là hàm của khoảng cách đến trục Oz trong toạ độ trụ) có dạng:
r
r
E(r, , z) E(r)e r . Hàm thế chỉ phụ thuộc khoảng cách r tới trục Oz:
r
V(r) V(r, , z) V(r)
Trường của một phân bố đối xứng cầu tâm O, trong toạ độ cầu:
thế chỉ phụ thuộc khoảng cách r tới tâm O:
r
r
E(r, , ) E(r)e r Hàm
r
V(r) V(r, , ) V(r)
3. Bài tập minh hoạ
3.1. Ví dụ 1
Xác định cường độ điện trường gây ra bởi một quả cầu tích điện đều
trên bề mặt với mật độ điện tích mặt .
Giải
Vì rằng mọi mặt phẳng chứa O đều là mặt phẳng đối xứng của phân
bố nên vectơ cường độ điện trường phải song song với tất cả các mặt này,
do đó ta có thể dễ dàng kết luận rằng cường độ điện trường tại O bằng
không mà không cần phép tính toán nào.
Xét tại một điểm bất kì trong không
gian, tất cả các mặt phẳng chứa O
r
và
M đều là mặt phẳng đối xứng, E phải mang giao tuyến của chúng, vậy
r
r
E E.er . Cũng do tính đối xứng cầu của phân bố, E là một hàm của r, tức
r
r
là E E(r).er
Bằng việc sử dụng định lí Gauss (mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán
kính r) ta có thể chỉ ra rằng cường độ điện trường bằng không tại mọi
4
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
điểm bên trong quả cầu. Trên mặt cầu
r
r
E
er ,
0
và bên ngoài mặt cầu
r R 2 r
E
er .
0.r 2
3.2. Ví dụ 2
Tính cường độ điện trường tạo bởi một đĩa
tròn phẳng bán kính R tích điện đều trên bề mặt
với mật độ điện tích mặt , tại một điểm trên trục
của nó.
Giải
Trục của đĩa là một trục tròn xoay của phân bố
điện tích. Tại một điểm M của
trục này, trường phải bất biến đối với phép
r
r
quay quanh trục Oz, do đó: E(M) E.ez
�
dS
cos
�E 4 �
2
0 r
0
�
�
z
�
2.z 2 sin d � E (1 cos ) �
1
�
�
�
dS 2.z tan .d(z tan )
20
2 0 � R 2 z 2 �
cos3
�
�
z
r
�
� cos
Hơn nữa, tại điểm đối xứng với M qua mặt phẳng đĩa, ta sẽ có:
r
r
E( z) E(z)
3.3. Ví dụ 3
z
Một băng có bề rộng 2a, dài vô
hạn được mô tả trên sơ đồ, mang
mật độ điện tích mặt đều 0 . Hãy
tính cường độ điện trường tạo ra bởi
băng tại điểm M(0,0,z).
O
x
2a
M
y
Giải
Mặt phẳng (xOz) là một mặt phẳng
đối xứng của phân bố điện tích
r
nên vectơ cường độ điện trường E
phải nằm trong mặt phẳng này. Mặt
phẳng (yOz) là một mặt phẳng đối
xứng của phân bố điện tích nên
5
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
r
r
vectơ cường độ điện trường E phải nằm trong mặtr phẳng này. Như vậy E
r
được mang bởi giao tuyến của hai mặt phẳng này E E z (z).ez .
Chia băng thành từng sợi mảnh dy, mỗi sợi mang mật độ điện dài
d 0dy . Cường độ điện trường gây ra bởi mỗi sợi được xác định bởi
r
d r
dE
er . Hình chiếu
20 r
cos
bởi: dE z 20 r dy .
0
Trong đó
của điện trường nguyên tố này trên trục Oz cho
z
�
r
�
� cos
�
�y z.tan � dy z d
cos 2
�
0 y max
� Ez
cos 2.dy 0
�
2 0 z y max
20
Với
0
0
�d 2
0
0
là góc nhìn bề rộng của băng từ M
r
�a �r
� E 0 arctan � �
ez
0
�z �
3.4. Ví dụ 4
Quả cầu bán kính R, mang mật độ điện tích mặt phân bố đều trên bề
mặt của nó nằm giữa hai mặt phảng có độ cao z 1 và z2 ( R �z1 �z �z 2 �R ).
Tính cường độ điện trường tại tâm quả cầu.
Giải
Điểm O thuộc về mặt phẳng đối xứng (xOz) và
(yOz) của phân
bố điện tích nên vectơ cường độ
r
điện trường E phải được mang
bởi giao tuyến của
r
r
hai mặt phẳng này là trục Oz, E(O) E.ez
Trường cần tìm là sự chồng chập của các trường
nguyên tố tạo ra bởi các vòng có cùng trục Oz. Các
phần này là các phần diện tích, trên mặt cầu, giới hạn giữa hai hình nón
có góc ở đỉnh là 2 và 2( d) , có bán kính r R sin .
Mật độ điện dài trên các vòng này là: d Rd . Cường độ điện
trường do các vòng này gây ra:
d
d
dE z �
cos .dl
cos sin
cos sin .d
d(sin 2 )
2
2 0 R
2 0
40
0 4 0 R
2 r
6
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
r
r
r
(z 22 z12 ) r
Ez
(sin 2 1 sin 2 2 )e z
(cos 2 2 cos 2 1 )ez
ez
40
4 0
40 R 2
Nếu cho toàn bộ quả cầu tích điện: z1 z 2 R � E 0
r
r
Nếu tích điện cho một nữa quả cầu: z1 = 0, z2 = R E(O) 4 ez
0
3.5. Ví dụ 5
Hệ N điện tích điểm q1, q2, …,
qN được phân bố trên trục Oz.
Chứng tỏ rằng phương trình một
đường sức của trường có dạng:
N
�q cos
i 1
i
i
const
trong đó các góc
i
được xác định như trên hình vẽ.
Giải
Hệ là tròn xoay xung quanh trục Oz và các đường sức đều nằm trong
các mặt phẳng chứa trục Oz như mặt phẳng hình vẽ.
Cường độ điện trường tại điểm M, có toạ độ trụ r và z, gây ra bởi N
r
r
N
r
q i sin i er cos i ez
điện tích điểm có toạ độ z1 là: Ei (M) �
�
r 2 (z z i ) 2 �
i 1 4 0
�
�
r
r
r
Với một dịch chuyển nguyên tố dr dr.er dz.ez dọc theo
một đường
r r r
sức, Phương trình vi phân của một đường sức có dạng dr �E 0 , có nghĩa
là:
� (z z )
�
sin i dz cos i dr N
rdz (z z i )dr
1 N
i
�
�
0 �q i
�q i
�q i d
2
2
2
2 3/2
2
2 1/ 2 �
r
�
�
�
r
(z
z
)
i 1
i 1
r (z z i ) �
r (z zi ) �
i
�
� i 1 �
�
�
�
��
��
N
N
� �q i d(cos i ) 0
i 1
hay
N
�q cos
i 1
i
i
const
3.6. Ví dụ 6
Một khối cầu bán kính a mang mật độ điện tích khối
đều , có một lỗ hổng hình cầu có bán kính b không
chứa điện tích nào. Xác định cường độ điện trường bên
trong lỗ hổng.
Giải
Phân bố này tương ứng với sự chồng chất của hai phân bố đối xứng:
1 tương ứng với mật độ điện khối phân phối đều trong quả cầu tâm O 1,
7
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
bán kính a; 2 tương ứng với mật độ điện khối phân phối đều trong
quả cầu tâm O2, bán kính b.
Xét tại điểm M bên trong lỗ hổng, dùng định lý Gauss:
4 3
uuuur
�
�r
2
4
r
E
r
�
E
r
E
(M)
O1M
1
0
1
1
1
�1
�1
3
30
3 0
�
�
��
�
r
r
4 3
uuuuu
2
�
�
2 4r2 E0 r2 � E 2
r2
E 2 (M)
O2M
�
�
3
30
3 0
�
�
r
uuuuur
Theo nguyên lí chồng chất điện trường ta có: E(M) 3 O1O 2 .
0
Như vậy
điện trường là đều bên trong lỗ hổng.
3.7. Ví dụ 7
A
Quả cầu tâm O bán kính R mang mật độ điện
R
tích mặt 0 cos .
z
O
a. Chứng tỏ rằng phân bố này tương đương với
phân bố của hệ hai khối cầu bán kính R tích
điện đều với mật độ điện tích khối là 0 và 0 khi cho tâm O1 và
O2 tiến đến gặp nhau.
b. Xác định cường độ điện trường và hiệu điện thế ở bên trong và bên
ngoài quả cầu (chọn mốc điện thế tại O).
Giải:
a. Trong hệ toạ độ cầu gốc O, trục Oz thì một
phần tử diện tích nguyên tố cắt trên mặt cầu tâm
O
bán
kính
R
bằng:
2
dS Rd.R sin d R sin .dd . Mang điện tích:
dq dS 0 cos dS (1)
Xét hệ hai khối cầu mang điện, trong không
gian chung của chúng, điện tích toàn phần bằng không. Như vậy khi O 1
tiến tới O2, các điện tích của phân bố này được định vị trong một màng
mỏng, lân cận bề mặt quả cầu tâm O bán kính R, mang mật độ điện khối
0 và 0 , theo dấu của z, tức là của cos .
Xét phần tử thể tích giới hạn bởi hai diện tích nguyên tố dS và cách
nhau x = MN. Ta có:
8
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
�O1O 2 a
2
2
�
�
a
�
�H1 N R O1H1
O1H1 O 2 H 2 sin
��
�
2
H 2M R 2 O2H 2 2
�
�
�
�
�H1H 2 a cos
� MN x H1H 2 a | cos | � dV a | cos | dS
dq 0a cos dS
�
��
� dq 0 cos dS (2)
a
0
�0
� H1 N H 2 M
Như vậy phân bố thứ nhất có thể thu được từ phân bố thứ hai khi cho
a � 0 , với điều kiện áp đặt 0 0a const , (0 � �)
b. Vì rằng hai mặt phẳng (xOz) và (yOz) là hai mặt phẳng đối xứng
của phân bố điện tích này nên cường độ điện trường phải song song với
hai mặt này, do đó sẽ song song trục Oz.
+ Xét tại điểm M bên trong quả cầu cách O một khoảng r, dùng định
lý Gauss:
0 uuuur
�r
E
(M)
O1M
�1
3 0
4 3
0
�
2
4r E 0 r 0 � E
r ��
r
r
3
30
uuuuu
�
E 2 (M) 0 O 2 M
�
3 0
�
Theo nguyên lí chồng chất điện trường ta có:
r
uuuuur
ar
r
E(M) 0 O1O 2 0 e z 0 ez
30
30
30
Như vậy cường độ điện trường tại mọi điểm bên trong quả cầu là như
nhau.
Điện thế bên trong quả cầu:
z r
z
r
V�
E z dz �0 cos .dz 0 z 0 r cos
3 0
3 0
0
0 3 0
+ Xét tại một điểm bên ngoài quả cầu. Mỗi khối cầu 0 và 0 được
xem như hai điện tích điểm đặt tại O 1 và O2 có điện tích tương ứng là
q1
4 3
R 0
3
4
3
và q 2 R 30 . Ta có một lưỡng cực điện, vectơ lưỡng cực
điện là:
uuuuur 4
r
r 4
r
p q.O 2 O1 R 30a.ez R 3 0 .ez
3
3
r
r
r uuuu
r uuuu
1 p.OM 4 3
1 ez .OM R 30 cos
Điện thế: V(M) 4 . OM 3 3 R 0 4 OM 3 3 r 2
0
0
0
Cường độ điện trường:
9
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
�
2R 30 cos
Er
r
r
�
r
30
r3
1 2p cos .er psin .e
�
EM
��
3
40
r3
�E R 0 sin
�
30 r 3
�
3.8. Ví dụ 8
Cho một điện tích điểm dương q = 1 nC
1. Đặt điện tích q tại tâm hình lập phương cạnh a = 10cm. Tính điện
thông qua từng mặt của hình lập phương đó. Nếu bên ngoài hình lập
phương đó còn các điện tích khác thì điện thông qua từng mặt của hình
lập phương và qua toàn bộ hình lập phương có thay đổi không?
2. Đặt điện tích q tại đỉnh của hình lập phương nói trên. Tính điện
thông qua từng mặt của hình lập phương.
3. Đặt điện tích q tại tâm O của một vỏ cầu kim loại cô lập và trung
hoà điện. xác định cường độ điện trường tại các điểm trong phần rỗng và
bên ngoài vỏ cầu.
Giải
1. Vì lí do đối xứng, điện tích q gửi cùng một điện thong 1 qua sáu
mặt của hình lập phương. Điện thong tổng cộng qua toàn bộ hình lập
phương là 61 . Áp dụng định lí Gauss ta có:
q
q
� 1
�18,83 V/m.
0
60
Nếu có các điện khác bên ngoài hình lập phương thì các điện tích này
sẽ làm thay đổi điện thông qua các mặt khác nhau của hình lập phương.
Nhưng điện thông qua toàn bộ hình lập phương vẫn không thay đổi:
q
�113 V/m.
0
2. Giả sử q được đặt tại đỉnh A của hình lập phương ABCDA’B’C’D’
đó. Đối với ba mặt có chứa Q (ABCD, ABB’A’, ADD’A’) điện thông
bằng không vì các đường sức đều nằm trên
các mặt này. Vì lí do đối xứng, điện thông
qua ba mặt còn lại (BB’C’C, CDD’C’,
A’B’C’D’) là như nhau, bằng 2 . Để tính 2
� D
B
C
ta xét một hình hộp lớn tâm A, cạnh bằng
2a, khi đó q nằm ở tâm hình lập phương lớn.
A’
D’
Diện tích xung quanh của hình lập phương
B’
C’
10
Các tính chất đối xứng trong bài toán tĩnh điện
lớn bằng bốn lần diện tích xung quanh cua rhình lập phương nhỏ
ABCDA’B’C’D’. Do đó điện thông qua mỗi mặt hình lập phương lớn
bằng 42 . Vì lí do đối xứng, điện thông qua toàn bộ hình lập phương lớn
' =
là
6.4 2 =24 2 . Áp dụng định lí Gauss ta có:
' 242
q
q
� 2
4,71 V/m.
0
240
r
r
3. Do tính đối xứng cầu tâm O nên E E(r)er . Áp dụng định lí O-G ta
có:
+ Tại mọi điểm bên trong phần rỗng và bên ngoài vỏ cầu:
r
E
q r
er
40 r 2
+ Tại những điểm bên trong lớp vỏ cầu: E = 0, vì rằng điện tích cảm
ứng ở hai mặt vỏ cầu bằng điện tích q về độ lớn nhưng trái dấu.
Ta có nhận xét rằng, tại những điểm bên trong phần rỗng, rất sát mặt
q
trong của vỏ cầu (bán kính R1): E 4 R 2 , kết quả này phù hợp với
0 1
0
công thức tính cường độ điện trường gần mặt vật dẫn tích điện. Ta cũng
có kết quả tương tự đối với những điểm sát mặt ngoài vỏ cầu.
11
- Xem thêm -