Tài liệu Các phương pháp tính truyền nhiệt pgs.ts nguyễn bốn ( www.sites.google.com/site/thuvientailieuvip )

§¹i häc §µ N½ng Tr−êng §¹i häc b¸ch khoa Khoa c«ng nghÖ nhiÖt ®iÖn l¹nh PGS, TS. NguyÔn Bèn C¸c ph−¬ng ph¸p tÝnh truyÒn nhiÖt - §µ N½ng Ch−¬ng 1: M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt 1.1. §Þnh luËt Fourier 1.1.1. ThiÕt lËp TÝnh nhiÖt l−îng δQ dÉn qua mÆt dS ë c¸ch 2 líp ph©n tö khÝ cã nhiÖt ®é T1 > T2 mét ®o¹n b»ng qu·ng ®−êng tù do trung b×nh λ . * V× T1 vµ T2 sai kh¸c bÐ, nªn coi mËt ®é ph©n tö no vµ vËn tèc trung b×nh r ω c¸c ph©n tö trong hai líp nh− nhau. Do ®ã, trong thêi gian dτ, sè ph©n tö ë T1 vµ T2 qua dS lµ nh− nhau, b»ng: d2 n = z T1 λ x O H1. §Ó chøng minh ®Þnh luËt Fourier * L−îng ®éng n¨ng qua dS tõ T1 vµ T2 lµ: i 1 no ω dS dτ kT1 2 6 d2E2 = E 2 d2n = i 1 no ω dS dτ kT2 2 6 Trõ hai ph−¬ng tr×nh cho nhau, ta ®−îc: δ2Q = ( E 1 - E 2)d2n = ⎛ dT ⎞ ⎟. ⎝ dx ⎠ V× T1 - T2 = - ⎜ δ2Q = Do 1 ik no ω dSdτ (T1 - T2) 6 2 2 λ nªn i dT no k ϖ λ dS dτ 6 dx iR i i µ R 1 1 no k = no = (no ) ( ) = ρco nªn 2µ 6 6 N 3 N 3 3 T2 y 1 no ω dS dτ 6 d2E1 = E 1 d2n = λ 1 3 δ2Q = - ( ρco ω λ ) dT dT dS dτ = - λ dS dτ dx dx δ2Q ⎛ ∂T ⎞ hay =q=-λ ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠ dSdτ * Khi dS cã vÞ trÝ bÊt kú th× q = - λ gradT r r hay d¹ng vect¬ dßng nhiÖt lµ q = - λ gradT 1.1.2. Ph¸t biÓu: Vect¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi gradient nhiÖt ®é: r r BiÓu thøc vect¬: q = - λ gradT D¹ng v« h−íng: q = - λgradT, [W/m2]; δQ = - λgradT.dS, [W] 1.1.3. HÖ sè dÉn nhiÖt HÖ sè dÉn nhiÖt lµ hÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier: λ = |q/gradT| [W/mK] Theo chøng minh trªn ta cã: 1 1 ⎛ p ⎞ ⎛ 8kT ⎞ ⎛⎜ kT ⎞⎟ ⎟⎜ λ = ρ ω λ cv = ⎜ ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟ Cv 3 3 ⎝ RT ⎠ ⎝ πm ⎟⎠ ⎝ 2 .πd p ⎠ 2 cv = 2 3 d k 3T cho thÊy: λ kh«ng phô thuéc p, vµ λ↑ khi T↑ π3 m hoÆc cv↑ hoÆc ®−êng kÝnh d cïng khèi l−îng ph©n tö m gi¶m. §Þnh luËt Fourier ®óng cho mäi chÊt r¾n, láng, khÝ. 1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt z 1.2.1. §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét dV ρ C qλ λ qω ph©n tè dv bªn trong vËt. qω 1.2.2. ThiÕt lËp LuËt c©n b»ng nhiÖt cho dV ∈ V lµ: V y x O H2. CBN cho dV 4 [L−îng nhiÖt ph¸t sinh trong dV] - [Th«ng l−îng nhiÖt qua dV]= [BiÕn thiªn entanpy cña dV] Cho tr−íc (qv, ρ, cp, λ) ∈ dV, cã thÓ viÕt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: ∂t r qvdVdτ - div q dVdτ = ρdV.cp dτ ∂τ ∂t r q 1 = v div q , trong ®ã dßng nhiÖt qua dV lµ: ∂τ ρc p ρc p r r r r r q = q λ + q ω = - λ gradt + ρ ω cpt, r r r do ®ã: div q = div (ρcp ω t- λ gradt ), coi (ρ, cp) = const ta cã : r r r div q = ρcp div (t ω ) - div (λ gradt ) r r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λdiv ( gradt )- gradt . gradλ r r r r r = ρcp (tdiv ω + ω gradt ) - λ∇2t - gradt . gradλ hay VËy ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: ∂t r r qv r r r λ 2 = - tdiv ω - ω . gradt + ∇ t + ( gradt grad λ)/ρcp ρc p ∂τ c pρ do ∂t ∂t r dt r dt dx dt dy dt dz + ω . gradt = + . + . + . = ∂τ ∂τ dx dτ dy dτ dz dτ dτ nªn ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt sau khi ®Æt a = λ , ρCp sÏ lµ: qv 1 r r dt r 2 = a∇ t + ρc + ρc gradt gradt λ) - tdiv ω , víi: p p dτ r r r r gradt . gradλ lµ tÝch v« h−íng cña 2 vect¬ gradt vµ grad λ, ∇2t = ∆t lµ to¸n tö Laplace cña nhiÖt ®é, cã d¹ng: ∇2t = ⎧ ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t , z )vu«ng gãc (xyz)) täatäa x, y®é ⎪ 2 + 2 + 2 (trong (trong ∂y ∂z ⎪ ∂x ⎪⎪ ∂ 2 t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t , z )®é trô (rϕz)) r , ϕtäa ⎨ 2 + ⋅ + 2 ⋅ 2 + 2 (trong (trong r ∂r r ∂ϕ ∂z ⎪ ∂r ⎪ ∂ 2 t 2 ∂t cos θ ∂t ∂ 2t ∂ 2t (trong r ,θ , ϕ ) + 2 2 + 2 + 2 ⎪ 2 + ⎪⎩ ∂r r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin 2 θ∂ϕ 2 (trong täa ®é cÇu (rθϕ)) 1.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt r * Víi vËt r¾n, ω = 0, ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 5 r ∂t r q 1 gradt . gradλ = a∇2t + v + ∂τ ρc p ρc p * VËt r¾n cã λ = const ∀xyz ph−¬ng tr×nh lµ: * VËt r¾n cã λ = const , æn ®Þnh nhiÖt a∇2t + ∂t q = a∇2t + v ∂τ ρc p ∂t = 0, ph−¬ng tr×nh lµ: ∂τ qv = 0. NÕu kh«ng cã nguån nhiÖt, qv = 0, th× ∇2t = 0. λ 1.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ (§K§T) 1.3.1. §Þnh nghÜa: §K§T lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cho tr−íc nh»m x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm cña mét hÖ ph−¬ng tr×nh. 1.3.2. Ph©n lo¹i c¸c §T§T: Theo néi dung, c¸c §K§T ®−îc ph©n ra 4 lo¹i sau: 1. §iÒu kiÖn h×nh häc: Cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh h×nh d¹ng, kÝch th−íc, vÞ trÝ cña hÖ. 2. §iÒu kiÖn vËt lý: Cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t t¹i ∀M∈ hÖ; tøc cho luËt x¸c ®Þnh (ρ, cp, λ, a...) = f(t, M∈V). 3. §iÒu kiÖn ban ®Çu: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é lóc τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M ∈ hÖ, tøc cho biÕt t = t(x, y, z, τ = 0), ∀(x, y, z) ∈ V. 4. §iÒu kiÖn biªn: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm trªn biªn W, ë mäi thêi ®iÓm τ, tøc cho biÕt: t = t(M, τ) hoÆc r gradt = f(M, τ, t) ∀M (x, y, z) ∈ V ∀τ ∈ ∆τ xÐt 1.3.3. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn (§KB) T¹i mçi miÒn Wi cña mÆt biªn kÝn W = ∑Wi, tuú theo c¸ch ph©n bè t hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt, ta cã thÓ cho biÕt c¸c lo¹i §KB sau ®©y: 1. §KB lo¹i 1: Cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë mäi thêi ®iÓm: 6 t = t (M1, τ), ∀M1∈ W1, ∀τ 2. §KB lo¹i 2: Cho biÕt dßng nhiÖt dÉn qua biªn: q (M2,τ) = -λ tøc cho biÕt Khi ∂t , ∂n ∂t −1 = q (M2, τ), ∀M2 ∈ W2, ∀τ. ∂n λ ∂t = q = 0 tøc biªn W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ ∂n biªn ®èi xøng, lóc nµy t ®¹t cùc trÞ t¹i W2, vµ ®−êng cong t(M) cã tiÕp tuyÕn n»m ngang. 3. §KB lo¹i 3: Cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã tf, α vµ to¶ nhiÖt ra chÊt láng theo luËt: -λtn (M3, τ) = α[t(M3, τ) - tf], tøc cho biÕt gradt (M3) = [tf - t(M3)]/(λ/α), ∀M3 ∈ W3, ∀τ. 4. §KB lo¹i 4: Cho biÕt luËt CBN khi biªn W4 tiÕp xóc vËt r¾n kh¸c, cã nhiÖt ®é t4 vµ λ4, t¹i M4 ∈ W4, ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cã d¹ng : -λ ∂t (M 4 ) ∂t (M ) = λ4 4 4 vµ t(M4) = t4 (M4) ∂n ∂n 5. §KB lo¹i 5: Cho biÕt luËt c©n b»ng nhiÖt trªn biªn W5 di ®éng, do cã sù chuyÓn pha, trao ®æi chÊt (khèi l−îng thay ®æi) hoÆc ®ang biÕn d¹ng: t -λ dx 5 dτ ∂t ∂x -λ -rcρ 0 x5 ∂t ' ∂n dx 5 dτ -λ dx 5 ∂t ' ∂t (M 5 ) = r cρ - λ' (M5), dτ ∂n ∂n xx víi r = nhiÖt chuyÓn pha; c dx 5 dτ = vËn tèc biªn W5; ρ: khèi l−îng riªng pha míi. H3. CBN trªn biªn W5 1.3.4. ý nghÜa h×nh häc cña c¸c lo¹i §KB D¹ng ®−êng cong ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) t¹i l©n cËn biªn W, 7 tuú theo c¸ch cho §KB, sÏ cã c¸c ®Æc ®iÓm h×nh häc sau ®©y: §−êng cong t(M,τ) W C¸ch cho §KB t 1 ý nghÜa h×nh häc w tw = const Mo V t(M) ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Mo ∈W x t ∂t w =0 ∂n 2 t(M) ®¹t cùc trÞ trªn W c¸ch nhiÖt q=0 V β=0 x W ∂t w = const ∂n C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i W song song, gãc β = const β = const V x W ∂t w t −t = f w ∂n λ/α 3 4 V -λ λ α C¸c tiÕp tuyÕn cña t(M) t¹i tf x γ Vo V x dx ∂t w = re ρ 5 ∂n dτ δt 'w -λ δn λ α W3 qua ®iÓm R( , tf) W λ 4 ∂t ow ∂t w = λ ∂x ∂n tW = t4W 5 R t(M) liªn tôc, kh«ng kh¶ vi t¹i W4 vµ γ = const W5 di chuyÓn víi tèc ®é V dx 5 dτ ω= x dx 5 dτ H4. Minh ho¹ ý nghÜa h×nh häc c¸c §KB 1.4. M« h×nh mét bµi to¸n dÉn nhiÖt M« h×nh to¸n häc cña mét bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ mét hÖ ph−¬ng 8 t w1(M,τ ) W5 W1 qv ∂t 2 = a∇ t + ρ vµ c (t) = ∂τ ρ, c, λ,qv ∂ w2 q(M, ) -1 ∂x τ −λ' ∂t' ∂n tr×nh vi ph©n (t), gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T nh− sau: ∂t −λ ∂ n rcf dx dτ M W2 9 ∂t ∂ w x W3 −λ ∂ t ∂n −λ o ∂ to ∂n W4 2 -t f] −λ [tw Môc ®Ých chÝnh cña truyÒn nhiÖt lµ t×m c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i hÖ (t) ®Ó t×m hµm ph©n bè t(x,y,z,τ) tho¶ m·n hÖ (t). qv ∂t 2 ∂τ = a∇ t + ρc α c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c §K§T. H5. M« h×nh 1 bµi to¸n DN Ch−¬ng 2: c¸c Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch 2.1. phÐp chuÈn ho¸ vµ ®Þnh lý hîp nghiÖm: 2.1.1. Néi dung c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch ý t−ëng cña Fourier lµ chuyÓn ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng tuyÕn tÝnh thµnh mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng, b»ng c¸ch t¸ch biÕn, t×m nghiÖm riªng æn ®Þnh vµ biÕn thiªn h»ng sè. C¸c c¸ch trªn ®−îc sö dông tuú thuéc tÝnh thuÇn nhÊt hay kh«ng thuÇn nhÊt cña ph−¬ng tr×nh dÉn nhiÖt vµ ph−¬ng tr×nh vi ph©n m« t¶ c¸c ®iÒu kiÖn biªn. 2.1.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n thuÇn nhÊt vµ kh«ng TN - §Þnh nghÜa: Ph−¬ng tr×nh vi ph©n F(t, tx, txx) = 0 ®−îc gäi lµ thuÇn nhÊt khi: nÕu t lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh th× ct, ∀c =const, còng lµ nghiÖm cña F(t, tx, txx) = 0. - VÝ dô: tτ = atxx, tx(0,τ) = - α t(0,τ) lµ TN λ tτ = a∇2t + qv −α , tx (L, τ) = [t(L, τ) - tf] lµ kh«ng TN ρc λ NhËn xÐt: Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt kh«ng chøa sè h¹ng tù do, nh− qv vµ tf, lµ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.1.3. Nguyªn lý hîp nghiÖm NÕu c¸c ti,∀i = 1÷n, lµ nghiÖm riªng cña bµi to¸n biªn thuÇn nhÊt n (tøc ph−¬ng tr×nh vi ph©n vµ c¸c §KB thuÇn nhÊt), th× t = ∑ C i t i còng lµ i =1 nghiÖm cña bµi to¸n TN ®ã, ∀Ci = const 2.1.4. PhÐp chuÈn ho¸ - §Þnh nghÜa: PhÐp chuÈn ho¸ mét hÖ ph−¬ng tr×nh lµ c¸ch ®æi c¸c biÕn vµ th«ng sè cã thø nguyªn thµnh c¸c biÕn vµ th«ng sè kh«ng thø nguyªn. - Lîi Ých cña phÐp chuÈn ho¸ lµ ®¬n gi¶n hÖ ph−¬ng tr×nh vµ c¸ch 10 gi¶i, khiÕn cho nghiÖm cã tÝnh tæng qu¸t, kh«ng phô thuéc c¸c ®¹i l−îng cã thø nguyªn, vµ trong vµi tr−êng hîp, cã thÓ thuÇn nh¸t ho¸ c¸c ®iÒu kiÖn biªn kh«ng thuÇn nhÊt. - VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng víi 2 biªn Wo/W3 cã m« h×nh: ⎧ ∂t ∂2t = a ⎪ ∂x 2 ⎪ ∂τ ⎪t ( x,0) = t o (t) ⎨t (0, τ) = 0 ⎪ x ⎪ −α [ t (δ, τ) − t f ] ⎪t x (δ, τ) = λ ⎩ (TN ) (FT) (DKD) (TN ) ( Wo ) (0TN ) ( W3 ) t − tf ⎧ ⎪θ = t − t o f ⎪ x ⎪ §æi biÕn ⎨X = δ ⎪ aτ ⎪ F = ⎪ δ2 ⎩ αδ λ ∂t ∂θ ∂F ∂t a ∂θ th× do = . . = (to - tf) 2 . ∂τ ∂θ ∂F ∂τ δ ∂F vµ ®Æt B = ∂t ∂t ∂θ ∂X t o − t f ∂θ = . . = . ∂x ∂θ ∂X ∂x ∂X δ 2 ∂2t ∂ ∂t ∂ t o − t f ∂θ ∂X to − tf ∂ θ = ( ) = . ( . ) = 2 ∂x 2 ∂x ∂x ∂X ∂X ∂x δ δ 2 ∂X tx (δ, τ) = θx (l, F) = to − tf −α θx (1, F) = [t (δ, τ) - tf] cã d¹ng TN lµ δ λ − αδ λ θ [1, F] = Bθ(1,F) a ∂θ ∂2t ∂t = (to- tf) 2 =a =a ∂x 2 ∂τ δ ∂F h¬n lµ ∂θ ∂F = ∂ 2θ ∂X 2 t o − t f ∂ 2θ . cã d¹ng ®¬n gi¶n ∂X 2 δ2 . Khi ®ã bµi to¸n (t) ®−îc chuyÓn ®æi thµnh bµi to¸n kh«ng thø nguyªn (θ) t−¬ng ®−¬ng, cã d¹ng chuÈn ho¸ lµ: 11 ⎧ ∂θ ∂ 2θ = ⎪ F ∂ ∂X 2 ⎪⎪ θ ( X ,0) = 1 (θ) ⎨⎪ θ (0, F ) = 0 (TN ) ⎪ x ⎪⎩θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) (TN ) Bµi to¸n (θ) cã hai ®iÒu kiÖn biªn ë d¹ng thuÇn nhÊt. 2.2. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier 2.2.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p Fourier Lµ t×m nghiÖm ë d¹ng t¸ch biÕn, nh− lµ tÝch cña mét hµm cña täa ®é víi mét hµm cña thêi gian. Nhê ®ã cã thÓ chuyÓn mét ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng thµnh hÖ hai ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng t−¬ng ®−¬ng. Ph−¬ng ph¸p nµy th−êng dïng ®Ó gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh thuÇn nhÊt. 2.2.2. C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt C¸c bµi to¸n thuÇn nhÊt cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn Fourier theo c¸c b−íc: t¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vi ph©n DN t×m nghiÖm tæng qu¸t, x¸c ®Þnh c¸c nghiÖm riªng theo c¸c §K§T, hîp nghiÖm. §ã lµ c¸c b−íc cña ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn. 2.2.3. VÝ dô: Bµi to¸n lµm nguéi tÊm ph¼ng biªn (W2+W3) 1. Ph¸t biÓu bµi to¸n: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, to = t(x,0) c¸ch nhiÖt t¹i x = 0, to¶ nhiÖt t¹i x = δ ra m«i tr−êng tf, α. T×m tr−êng t (x, τ) t 2. M« h×nh TH: to ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t o ⎪⎪ (t) ⎨t x (0, τ) = 0 ⎪ ⎪t x (δ, τ) = − α [ t (δ, τ) − t f ] ⎪⎩ λ a λ q=0 t(x,τ ) α W2 W3 tf x δ O H6. Bµi to¸n (2.2.2) B»ng c¸ch ®æi biÕn: 12 θ= t − tf x aτ αδ ,X= ,F= 2,B= sÏ thu ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh to − tf δ λ δ (θ) t−¬ng ®−¬ng, ë d¹ng chuÈn ho¸: (θ) ⎧θ F = θ xx ⎪θ ( x,0) = 1 ⎪ ⎨ ⎪θ x (0, F ) = 0 ⎪⎩θ x (1, F ) = − Bθ (1, F ) 3. T¸ch biÕn b»ng c¸ch t×m nghiÖm d¹ng θ(X,F) = X(x) F(F). Thay vµo θF=θxx cã X(x) F'(F) = X"(X) F(F) hay X" (X) F" (F) = = -k2 X (X ) F(F) (do 2 hµm ®éc lËp), chuyÓn thµnh 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng: ⎧⎪X" (X) +k 2 X(X) = 0 → X(X) = c1 sin kX + c 2 cos kX ⎨ ⎪⎩F' (F) +k 2 F(F) = 0 → F(F) = e −k F 2 NghiÖm tæng qu¸t lµ θ(X,F) = (c1sin kX + c2coskX) e −k F 2 4. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T θx(0,F) = 0 → (kc1cos0 + (-kc2sin0) e −k F = 0 → 2 c1 = 0 vµ θ (X,F) = c2 coskX e −k F 2 θx(1,F) = 2 -Bθ (1,F)= -Bc2 cosk e −k F → 2 = cotgk = cotgk (-kc2sin0) e −k F = cos k sin k k B k , ph−¬ng tr×nh nµy cã B π O k1 2π k2 3π k3 k 4π k4 k5 v« sè nghiÖm ki, i = 1 ÷ n. C¸c nghiÖm riªng tho¶ m·n §KB cã H7. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cotg k = k d¹ng: θi(X,F) = c2coskiX. e −k 2F i B , ∞ nghiÖm hîp lµ θ(X,F) = ∑ c i cos k i Xe − k 2F i i =1 ∞ - §iÒu kiÖn ®Çu θ(X,0) = 1 → ∑cicoskiX=1 → coski X ∑ c i cos k i X = 1 1 1 sin k i = ∫ cos k i X ∑ c i cos k i XdX = coskiX → ∫ cos k i XdX = 0 ki 0 13 1 ci ∫ cos 2 k i XdX = ci 0 2k i + sin 2k i 4k i 4 sin k i → ci = 2k + sin 2k i i VËy nghiÖm bµi to¸n lµ: ∞ ∑ 2k θ(X,F) = 4 i =1 sin k i −k 2F cos(kiX) e i i + sin 2k i * §å thÞ θ(X,F) vµ t(x, τ) cã d¹ng: θ t F=0 1 F=0 1 to 2 τ=0 2 3 3 4 4 5 5 6 F =∞ O τ =∞ tf x R x δ O H9. Ph©n bè t(x, τ) 1 H8. Ph©n bè θ(X,F) 2.3. Ph−¬ng ph¸p nghiÖm riªng æn ®Þnh 2.3.1. Ph¹m vi sö dông ph−¬ng ph¸p NRO§ §Ó gi¶i c¸c bµi to¸n kh«ng thuÇn nhÊt cã nghiÖm riªng khi æn ®Þnh, tøc lµ khi tτ = θF = 0 2.3.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p NRO§ Gåm c¸c b−íc sau: 1. T×m nghiÖm riªng æn ®Þnh θ (x) cña bµi to¸n (θ), øng víi lóc æn ®Þnh, theo ph−¬ng tr×nh θ F = 0 = θxx 2. Thay (v = θ - θ ) vµo bµi to¸n (θ) ®Ó lËp bµi to¸n (v), sÏ ®−îc bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt. 3. T×m nghiÖm v cña bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, sau ®ã lËp nghiÖm cña bµi to¸n (θ) ®· cho lµ θ = θ + v 2.3.3. VÝ dô: Bµi to¸n gia nhiÖt v¸ch ph¼ng biªn (W1) 1. Ph¸t biÓu BT: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to = t(δ, τ) vµ 14 t(0, τ) = 2to. T×m t(x, τ) * M« h×nh TH: t ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t ⎪ o (t) ⎨ ⎪t (0, τ) = 2t o ⎪⎩t (δ, τ) = t o ChuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt W'1 2to t − to ⎧ ⎪θ = t o ⎪ ⎪ x ⎨X = δ ⎪ aτ ⎪ ⎪F = δ 2 ⎩ a,λ to t(x,τ) O W1 x δ H10. Bµi to¸n (2.3.3) bµi to¸n (t) trë thµnh d¹ng chuÈn ho¸ (θ) nh− sau: ⎧θF = θxx ⎪θ(X,0) = 0 ⎪ (θ) ⎨ . Ta sÏ gi¶i bµi to¸n (θ) kh«ng thuÇn nhÊt θ (0,F) = 1 ⎪ ⎪⎩θ(1,F) = 0 (0TN) nµy b»ng ph−¬ng ph¸p NRO§ 2. T×m nghiÖm riªng θ cña bµi to¸n æn ®Þnh: ⎧θ = 0 = θxx → θ = c1X + c 2 ⎪ ( θ ) ⎨θ (1) = 0 = c1 + c 2 → θ =1− X ⎪ θ ( 0) = 1 = c 2 ⎩ 3. Thay v(X,F) = θ(X,F) - θ (X) = θ(X,F) + X - 1 vµo (θ): bµi to¸n (θ) trë thµnh bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt nh− sau: ⎧v F = θ F = θ xx = v xx − θxx = v xx ⎪ ⎪v( x,0) = θ(X,0) − θ (X) = X − 1 (v) ⎨ ⎪v(1, F) = θ(1, F) − θ (1) = 0 − 0 = 0 ⎪v(0, F) = θ(0, F) − θ (0) = 1 − 1 = 0 ⎩ (TN ) 4. T×m nghiÖm bµi to¸n (v) b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn, t−¬ng tù nh− bµi to¸n 2.2.2: - T¸ch biÕn ph−¬ng tr×nh vF = vxx cã nghiÖm tæng qu¸t lµ: 15 v(X,F) = X(X)F(F) = (c1sinkx + c2coskx) e - Theo §KB: v(0,F) = 0 → c2 e −k 2F − k 2F = 0 → c2 = 0 → v(X,F) = c1sinkX e Theo v(1,F) = 0 ⇒ c1sink e −k 2F − k 2F = 0 → sin k = 0 → k = nπ ∞ → v(X,F) = ∑ c n sin(nπX) e ( nπ ) 2F n =1 ∞ - Theo §K§: v(X,0) = X-1 → X - 1 = ∑ c n sin(nπX) → x =1 c 1 −2 = n → cn = → n =1 0 0 nπ nπ 2 2 sin(nπX) ( nπ )2 F e . Do ®ã, nghiÖm ph−¬ng tr×nh (v) lµ: v(X,F) = - ∑ π n 1 1 ∞ ∫ (X − 1) sin(nπX)dX = ∫ sin(nπX) ∑ c n sin(nπX)dX → - nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = θ (X) + σ(X,F) 2 ∞ sin(nπX) exp (-n2π2F) θ(X,F) = (1-X) ∑ π n =1 n * Ph©n bè nhiÖt ®é θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: θ 2t o θ 1 t 2t o 1- t= = -t 2 F ∞ O F=0 1 = 1 x/ δ o x 2 to x 1 τ= 0 O H11. Ph©n bè θ(X,F) x δ H12. Ph©n bè t(x, τ) 2.4. Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè 2.4.1. Ph¹m vi sö dông: Ph−¬ng ph¸p biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F) ®−îc sö dông khi: - Bµi to¸n (θ) kh«ng tån t¹i nghiÖm riªng æn ®Þnh - hoÆc cã nghiÖm riªng æn ®Þnh θ nh−ng kh«ng t×m ®−îc - Bµi to¸n víi vËt cã nguån nhiÖt trong, hoÆc ®−îc gia nhiÖt b»ng ®iÖn. 16 2.4.2. Néi dung ph−¬ng ph¸p BTHS Gåm c¸c b−íc sau: 1. LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt, b»ng c¸ch cho b»ng 0 tÊt c¶ c¸c §KB kh«ng thuÇn nhÊt trong bµi to¸n (θ). 2. T¸ch biÕn v(X,F) = X(X).F(F) vµ t×m X(X) tho¶ m·n c¸c §K biªn thuÇn nhÊt, sÏ ®−îc c¸c nghiÖm riªng d¹ng Xn(X) = cφn(X), trong ®ã φn(X) = f(n,X) lµ hµm sè riªng, tho¶ m·n ®iÒu kiÖn trùc giao: ⎧0 khi m ≠ n ⎩c khi m = n 1 ∫ φ n (X)φ m (X)dX = ⎨ 0 ∞ 3. BiÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ A n ( F)φ n ( X ) n =1 vµ biÕn thiªn h»ng sè thêi gian An(F), tøc t×m biÓu thøc x¸c ®Þnh An(F) nhê ®iÒu kiÖn trùc giao cña φn(X): 1 ∞ 1 0 n =1 0 ∫ θ(X, F)φ m (X)dX = ∑ A n (F) ∫ φ n (X)φ m (X)dX = cAn(F) tøc cã quan 1 1 hÖ An(F) = ∫ θ( x , F)φ n (X )dX c 0 4. LËp hÖ ph−¬ng tr×nh th−êng cña An(F) b»ng c¸ch tÝnh d An(F), dF t×m nghiÖm An(F) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ban ®Çu. ∞ 5. ViÕt nghiÖm bµi to¸n (θ) ë d¹ng θ(X,F) = ∑ φ n ( X )A n ( F) n =1 2.4.3. Bµi to¸n tÊm ph¼ng biªn (W2 + W20) 1. Ph¸t biÓu: Cho v¸ch ph¼ng cã δ, a, λ, t(x,0) = to, tx (δ, τ) = 0 vµ tx (0, t q = λ to τ) = - o . δ δ t (t x = - o ) T×m t(x, τ) δ t t q=0 tx = 0 t o = t(x,0) a,λ O 17 x δ ⎧t τ = at xx ⎪ t ( x ,0 ) = t o ⎪⎪ * M« h×nh TH: (t) ⎨ to t ( 0 , ) τ = − x ⎪ δ ⎪ ⎪⎩t x (δ, τ) = 0 x t − to aτ , X = , F = 2 , sÏ cã: δ to δ chuÈn ho¸ víi θ = ⎧θ F = θ xx ⎪θ (1, F ) = 0 (TN ) ⎪⎪ x (θ) ⎨θ x (0, F ) = δ t x (0,τ ) = −1 (0TN ) ⎪ to ⎪ ⎪⎩θ ( X ,0) = 0 2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 0TN (θ) b»ng ph−¬ng ph¸p BTHS: 1) LËp bµi to¸n (v) thuÇn nhÊt tõ (θ): ⎧v F = v xx ⎪v (1, F) = 0 ⎪ (v) ⎨ x ⎪v x (0, F) = 0 ⎪⎩v(X,0) = 0 (TN) 2) T×m nghiÖm riªng bµi to¸n biªn, vx (1,F) = vx(0,F) = 0, b»ng c¸ch t¸ch biÕn v(X,F) = X(x)F(F) cã X(x) = c1 sin kX + c2 cos kX ⎧v x (0, F) = 0 → X x (0) = 0 = c1 → X ( x ) = c 2 cos kX ⎨ ⎩v x (1, F) = 0 → X x (1) = 0 = −kc 2 sin k → k = nπ Do ®ã cã X(X) = cncos (nπX) vµ hµm sè riªng lµ φn(X) = cos(nπX). ∞ ∞ n =1 n =1 3) §Ó θ(X,F) = ∑ A n (F)φ n (X) = ∑ A n (F) cos(nπX) lµ nghiÖm bµi to¸n (θ) th× h»ng thêi gian An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo ®iÒu kiÖn trùc giao cña hµm riªng φn(X)= cos (nπX), b»ng c¸ch nh©n ph−¬ng tr×nh víi cos(nπX)dX råi tÝch ph©n trong kho¶ng X ∈ [0,1]: 18 ⎧A o (F), khi n = 0 ⎪ ∫ θ(X, F) cos(nπX )dX = An(F) ∫ cos (nπX )dX = ⎨ 1 0 0 ⎪⎩ 2 A n (F), ∀n ≠ 0 1 1 2 Do ®ã, An(F) ph¶i x¸c ®Þnh theo θ(X,F) bëi quan hÖ: ⎧A (F) = 1 θ(X, F)dX ∫ ⎪ o 0 (An) ⎨ 1 ⎪A n (F) = 2 ∫ θ(X, F) cos(nπX)dX, ∀n ≠ 0 0 ⎩ 4. LËp ph−¬ng tr×nh vi ph©n th−êng cho An(F) b»ng c¸ch tÝnh d An(F) theo hÖ (An): dF - Khi n=0, 1 dA o (F) 1 = ∫ θ F dX = ∫ θ xx dX =θx 10 = θx(1,F) - θx(0,F) = 0 0 0 dF (-1) = 1 → Ao(F) = F + c1 1 §iÒu kiÖn ®Çu cho Ao(0) = ∫ θ(X,0)dX = 0 = c1 ⇒ Ao(F) = F 0 - khi ∀n ≠ 0, cã: 1 1 dA n (F) = 2 ∫ θ F cos(nπX)dX = 2 ∫ θ xx cos(nπX)dX , 0 0 dF 1 (ph©n ®o¹n tÝch ph©n) = 2 { [θ x cos( nπX )] | + nπ ∫ θ x sin(nπX )dX }= 1 0 0 1 2{1+2π [θ sin(nπX) | - nπ ∫ θ cos(nπX)dX]} 1 0 0 = 2{1-n2π2 A n (F) }→ 2 ph−¬ng tr×nh vi ph©n cho An(F) lµ: A'n = 2 - n2π2An →A'n +(n2π2)An = 2 cã nghiÖm tæng qu¸t An(F) = 1 2 − ( nπ ) 2 F . §iÒu kiÖn ban ®Çu cho A (0) = 2 θ( X ,0) cos( nπX )dX → + c ∫ e 1 n 0 (nπ) 2 2 2 2 2 − ( nπ ) 2 F + c = 0 → c = , do ®ã: A (F) = 1 1 n 2 2 2 2 2 2 2 e (nπ) n π n π n π 5. VËy nghiÖm bµi to¸n (θ) ®· cho lµ: θ(X,F) = Ao(F) + ∞ ∑ A n (F) cos(nπX) , tøc: θ(X,F) = F + n =1 2 ∞ cos(nπX) 2 ∞ cos(nπX) . ∑ ∑ π 2 n =1 π 2 n =1 n2 n2 19 2 cos(nπX) 1 1 = X2 - X + , cã: 2 2 n =1 3 πn 2 ∞ exp(-n2π2F) hay, do tæng ∑ 1 3 1 2 θ(X,F) = F + ( X2 - X + ) - 2 ∞ cos(nπX) exp(-n2π2F) ∑ 2 2 π n =1 n * Ph©n bè θ(X,F) vµ t(x,τ) cã d¹ng: θ t 1 3 q=0 q=0 3 2 1 2 1 to x τ =0 x F=0 1δ O 1 O H14. Ph©n bè θ(X,F) H15. Ph©n bè t(x,τ) Tr−êng nhiÖt ®é trong v¸ch t¨ng v« h¹n, cã d¹ng: 3 1 aτ 2 1 t(x,τ) = to( 2 x2- x+ ) + to[ 2 - 2 2δ δ δ π 4 cos( nπx / δ) n 2 π2a exp (- 2 τ)] ∑ n2 n =1 δ ∞ 2.5. Ph−¬ng ph¸p Fourier cho bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh nhiÒu chiÒu C¸c bµi to¸n nhiÒu chiÒu kh«ng æn ®Þnh cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp, hoÆc ph−¬ng ph¸p quy vÒ nhiÒu bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh mét chiÒu. 2.5.1. Ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp 2.5.1.1. Néi dung ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp gåm c¸c b−íc: 1. T¸ch riªng biÕn thêi gian t×m hµm thêi gian F(F) 2. LÇn l−ît t¸ch c¸c biÕn to¹ ®é vµ t×m c¸c nghiÖm riªng theo tõng to¹ ®é. 3. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè theo §K§T vµ biÓu diÔn nghiÖm bµi to¸n z ë d¹ng tÝch c¸c nghiÖm thu ®−îc. 2.5.1.2. VÝ dô: Bµi to¸n trô v« h¹n biªn W1 víi ®iÒu kiÖn ®Çu tæng qu¸t t(ρϕ , ,0) = g(ρ,ϕ) * Ph¸t biÓu BT: Cho trô l=∞ cã a, t t t a (R, ϕ,τ) = t1 vµ §K§ bÊt kú t(ρ,ϕ,0) = ρ ϕ R g(ρ,ϕ). T×m tr−êng nhiÖt ®é t(ρ,ϕ,τ). O H16. Bµi to¸n trô tæng qu¸t 1 20 1 1 ⎧ t a ( t t t ϕϕ ) = + + τ ρρ ρ ⎪ ρ ρ2 ⎪⎪ * M« h×nh TH: (t) ⎨t (R , ϕ, τ) = t 1 ⎪t (ρ, ϕ,0) = g (ρ, ϕ) ⎪ ⎪⎩ t − t1 ρ , r = , ϕ' = ϕ, F = aτ2 , ta cã: R t1 R ChuÈn ho¸ b»ng c¸ch ®Æt: θ = ⎧ 1 1 ⎪θ F = θ rr + θ r + 2 θ ϕϕ r r ⎪⎪ (θ) ⎨θ(1, ϕ, F) = 0 ⎪ g (ρ, ϕ) − t 1 ⎪θ(r, ϕ,0) = = f (r, ϕ) ⎪⎩ t1 * Gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p t¸ch biÕn lÆp: 1. T¸ch biÕn thêi gian b»ng c¸ch ®Æt θ(r,ϕ,F) = W(r,ϕ)F(F) 1 r WF' = WrrF + WrF + 1 F' Wrr 1 Wr 1 Wϕϕ W F → = + + 2 = -k2 ϕϕ 2 r F W r W r W ⎧F ' + k 2 F = 0 → F ( F ) = e − k F ⎪ ⎨ 1 1 2 ⎪Wrr + Wr + 2 Wϕϕ + k W = 0 r r ⎩ 2 → 2. T¸ch biÕn r, ϕ b»ng c¸ch ®Æt 1 r W(r, ϕ) = R(r)φ(ϕ) → R"φ + R'φ + - 1 Rφ" + k2 Rφ = 0 → 2 r φ" = r2 R" + r R ' + k2r2 = n2 → φ R R ⎧⎪φ "+ n 2φ = 0 → φ (ϕ ) = A sin nϕ + B cos nϕ ⎨ 2 ⎪⎩r R"+ rR'+ (k 2 r 2 − n 2 ) R = 0 , lµ ph−¬ng tr×nh Bessel cÊp n, cã nghiÖm lµ: R(r) = cJn(kr) + DYn(kr) = cJn(kr) do lim Yn(kr) = ∞ r →0 Trong ®ã Jn(kr) lµ hµm Bessel cÊp n lo¹i 1, cã d¹ng: Jn(kr) = kr n + 2 i ) 2 ∑ Γ(n + i + 1) i =1 i! ∞ (−1) i ( ,Víi Γ(s) = ∫ ∞ e −x x s−1dx lµ hµm giai thõa 0 21