PHƯƠNG PHÁP VÀ KỸ THUẬT ĐIỂN HÌNH
TRONG TÍNH PHÂN
Nguyễn Văn Cường, THPT Mỹ Đức A, Hà Nội
ĐT: 0127.233.45.98 - 04.33.741.526
Email:
[email protected]
Đăng tải tại http://www.mathvn.com/2011/01/cac-phuong-phap-tinh-tich-phan-ien-hinh.html
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học nói riêng
và trong Toán học nói chung,không những như là một đối tượng nghiên cứu
trọng tâm của giải tích mà còn có đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương
trình, lý thuyết về hàm số.
Ngoài ra phép tính vi phân còn được sử dụng nhiều trong các môn khoa
học khác như Vật lý Thiên văn học ,cơ học ....nó như là một giải pháp hữu hiệu
của các mô hình toán học cụ thể..Học sinh lớp 12 Khi ôn thi tốt nghiệp ,Thi đại
học –cao đẳng thường rất gặp khó khăn khi giải các bài tập trong chuyên đề này.
Những người mới học và làm quen với Tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng
cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết , đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào
giải các bài toán thực tế.
Bài viết này xin nêu ra một số phương pháp điển hình thường được dùng để
giải các bài tập về tích phân trong các kỳ thi Đại học. Nội dung bài viết cũng là nội
dung cơ bản của đề tài sáng kiến kinh nghiệm của tôi trong năm học 2010 đã được
Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội xếp loại B.
Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết,
vừa đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm song vì năng lực và thời gian có hạn
,rất mong được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và những người yêu thích
môn toán để chuyên đề này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhà trường ,góp phần
nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổ thông.Giúp các em có phương pháp kỹ năng khi giải các bài Tích phân trong các kỳ thi cuối cấp đồng thời bước đầu
trang bị cho các em kiến thức về phép tính vi phân –Tích phân trong những năm
đầu học đại học. Xin vui lòng giới thiệu với các bạn đồng nghiệp và những người
yêu toán chuyên đề :
“Phương pháp và kỹ thuật điển hình tính tích phân”
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
I - Kỹ thuật biến đổi vi phân (đưa về bảng nguyên hàm)
Khi sử dụng kỹ thuật bảng nguyên hàm ta cần lưu ý đến một số phép toán vi phân
đơn giản sau:
f (x)dx=dF(x) ,Trong đó F(x)- là một nguyên hàm của hàm sồ f(x)
1
d (ax + b)
a
dx=
dx
x2 + a
=
xkdx=d (
d ( x + x2 + a )
x + x2 + a
;
x k +1
+ a ) sinxdx=d(-cosx)
k +1
dx
dx
= d (t anx) ;
= d (- cot x) ....
2
cos x
sin 2 x
Một số công thức suy rộng sau
ò sin kxdx = -
cos kx
+c ;
k
ò coskxdx =
sin kx
+c;
k
e kx
a kx
+ c ; ò a kx dx =
+ c, "k Î R .....
k
k ln a
kx
ò e dx =
Ví dụ 1( ĐHA -2010)
1
Tính tích phân : I = ò
0
x 2 + e x + 2x 2 e x
dx
1 + 2e x
1
x3
1
x (1 + 2e ) + e
e
2
2
Lời giải I = ò
;
I
=
x
dx
=
= ;
dx
=
x
dx
+
dx
1
x
x
ò
ò
ò
1 + 2e
1 + 2e
3 0 3
0
0
0
0
1
2
x
1
x
1
x
1
ex
1 d (1 + 2e x )
1
1 æ 1 + 2e ö
1 1 æ 1 + 2e ö
I2 = ò
dx
=
= ln(1 + 2e x ) = ln ç
÷ Vậy I = + ln ç
÷
x
x
ò
1 + 2e
2 0 1 + 2e
2
2 è 3 ø
3 2 è 3 ø
0
0
1
1
1
p
2
Ví dụ 1( ĐHA -2009) Tính tích phaân I = ò (cos3 x - 1) cos2 xdx
0
Lời giải
p
2
p
2
p
2
0
0
0
p
2
p
2
I = ò ( cos3 x - 1) cos 2 xdx = ò cos5 xdx - ò cos 2 xdx, I1 = ò cos 4 x cos xdx = ò (1 - sin 2 x ) cos xdx =
p
2
0
p
2
p
2
2
0
p
2
p
p
p
2
8
1 + cos 2 x
1
12
1 2 1
p
2
1
2sin
x
+
sin
x
d
(sinx)
=
,
I
=
cos
xdx
=
dx
=
dx
+
cos 2 xdx = x + sin 2 x =
(
)
2
ò0
ò
ò
ò
ò
15
2
2
20
2 0 4
4
0
0
0
0
2
4
3
dx
e -1
1
Tính tích phân I = ò
x
3
dx
e -1
1
Ví dụ 3 ĐHKD -09) Tính tích phân I = ò
x
3
1 - ex + ex
ex
dx
=
dx
+
dx = -2 + ln e x - 1
x
x
ò
ò
1
e -1
e -1
1
1
1
3
Lời giải I = ò
3
3
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
2
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
= -2 + ln(e3 - 1) - ln(e - 1) = -2 + ln(e2 + e + 1)
Ví dụ 1 (ĐHKB -03) Tính I=
p /4
ò
0
1 - 2sin 2 x
dx
1 + sin 2 x
Lời giải:
1
2
p /4
p /4
p /4
2
1 - 2sin x
cos2 x
1 d (1 + sin 2 x) 1
I= ò
dx = ò
dx = ò
= ln(1 + sin 2 x)
1 + sin 2 x
1 + sin 2 x
2 0 1 + sin 2 x
2
0
0
Nhận thấy d(1+sin2x)= cos2 xdx , 1-2sin2x=cos2x nên ta có
p /4
0
=
1
ln 2
2
Ví dụ 2 (ĐH KA-06)
p /4
J=
ò
0
sin 2 x
cos 2 x + 4sin 2 x
dx
Lời giải:
Nhận thấy d(cos2x+4sin2x)=sin2xdx do đó ta có
p /4
J=
ò
sin 2 x
cos 2 x + 4sin 2 x
0
dx =
1
3
p /4
ò
0
d (cos 2 x + 4sin 2 x)
1
2
dx = (cos 2 x + 4sin 2 x) 2
3
cos 2 x + 4sin 2 x
p /4
0
1
3
= ( 10 - 2)
Ví dụ 3
ln x 3 2 + ln 2 x
Tính K= ò
dx
x
1
e
(ĐHKB-04)
Lời giải:
ln x 3 2 + ln 2 x
1
3
K =ò
dx = ò 3 2 + ln 2 x ln xd (ln x) = ò (2 + ln 2 x)1/3 d (2 + ln 2 x) = (3 3 3 - 2 3 2)
x
21
8
1
1
e
e
e
Nhận xét 1:
- Các tích phân trên có thể giải được bằng phương pháp đổi biến số song nếu ta
khéo léo biến đổi vi phân thì đưa được về các tich phân cơ bản .
-Dùng phép biến đổi vi phân đưa về bảng nguyên hàm cơ bản giúp Lời giải ngắn
gọn,so với Phép đổi biến số thì không phải đổi cận ,Trong giải toán thêm một
phép toán là thêm một nguy cơ sai. để làm rõ ưu điểm của phương pháp này ta xét
bài toán sau
Ví dụ 4: Tính
b
L= ò ln éë( x + a) x + a ( x + b)( x +b ) ùû
a
dx
( x + a)( x + b)
với b>a>0
Lời giải:
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
3
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
b
L= ò
Viết lại
a
( x + a ) ln( x + a) + ( x + b) ln( x + b)
ln( x + a) ln( x + b) ù
dx = ò éê
+
dx =
( x + a)( x + b)
x+b
x + a úû
a ë
b
b
ò [ln( x + x)d ln( x + b) + ln( x + b)d ln( x + a)]
a
b
a
b
= ò d [ ln( x + b) ln( x + b) ] = ln( x + a) ln( x + b) ba = ln ln(a + b)
a
Nhận xét 2
-Đây là một trong những bài toán điển hình minh hoạ tính ưu việt cho phương
pháp sử dụng phương pháp biến đổi vi phân đưa về bảng nguyên hàm
-Một trong những phương pháp cơ bản nhất để tính tích phân lượng giác đó là biến
đổi
Vi phân đưa về bảng nguyên hàm cơ bản,khi đó ta cần dùng các công thức biến
đổi lượng giác như hạ bậc ,nhân đôi ,tổng thành tích ... ta xét các ví dụ sau
Ví dụ 5
Tính
p /2
ò (e
M=
sin x
+ cos x) cos xdx
(ĐH K D-05)
0
Lời giải:
p /2
ò
M=
p /2
ò
esin x d (cos x) +
0
0
1 + cos2 x
p
dx = e - 1 +
2
4
Ví dụ 6: Tính
p /3
N=
ò
p /4
sin xdx
cos 2 x 1 + cos 2 x
Lời giải:
p /3
N=
ò
p /4
p /3
sin xdx
1
cos 2 x
cos 2 x cos x 1 +
3
Ví dụ 7: Tính P= ò e
ò
=
p /4
cos 2 x 2 + tan 2 x
x
x 2 +1
x +1
2
0
p /3
tan xdx
=
1
(2 + tan 2 x) -1/2 d (2 + tan 2 x) = 5 - 3
ò
2 p /4
dx
Lời giải:
3
P= ò e
0
x 2 +1
x
x +1
2
3
dx =
òe
0
x 2 +1
-1
2
3
(1 + x ) d (1 + x )dx =
2
2
òe
x 2 +1
d (1 + x 2 ) = e
x 2 +1
3
1
= e2 - e
0
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
4
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Một số sai lầm thường gặp khi tính tích phân bằng phương pháp biến đổi vi
phân
p
dx
1 + s inx
0
Vídụ 7 : Tính I= ò
Nhận xét: Học sinh khi giải thường gặp sai lầm sau
Đặt x=tanx/2
dx=
p
p
p
2dt
1
1+ t2
dx
2dt
-2
;
=
Þò
=ò
= 2ò (1 + t ) -2 d (t + 1) =
2
2
2
x
1 + t 1 + s inx (1 + t )
1 + s inx 0 (1 + t )
0
0
t an + 1
2
Do tan
p
không xác định nên tích phân trên không tồn tại.
2
Nguyên nhân sai lầm :Do tích phân là tổng vô hạn các hạng tử nên
p
0
=
-2
-2
p
tan + 1 tan 0 + 1
2
-2
Þ0
p
tan + 1
2
vẫn được thừa nhận.
p
dx
1 + s inx
0
Lời giải đúng: I= ò
x p
d( - )
x p
2 4
=ò
=ò
= tan( - )
x p
p
2 4
0 1 + cos( x ) 0 1 + cos 2 ( - )
2
2 4
p
p
dx
p
0
= tan
p
p
- tan(- ) =2
4
4
Qua bài toán trên người thầy nên lưu ý với học sinh khi đổi biến số trước hết phải
nghĩ ngay tới phép đổi biến có tồn tại hay không?( cũng giống như khi ta giải
phương trình cần đặt điều kiện cho ẩn số nếu có)
4
Ví dụ 8 I= ò x 2 - 6 x + 9dx
0
Nhận xét:
Học sinh thường mắc sai lầm sau
4
4
4
I= ò x 2 - 6 x + 9dx = ò ( x - 3) 2 dx = ò ( x - 3) 2 d ( x - 3) =
0
0
0
( x - 3) 2
2
4
0
= -4
Nguyên nhân sai lầm là phép biến đổi ( x - 3) 2 = x - 3 không tương đương đương
ì x - 3;3 £ x £ 4
î3 - x; 0 £ x £ 3
trên [0, 4] vì |x-3|= í
Lời giẩi đúng là
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
5
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
4
I= ò x 2 - 6 x + 9dx
0
4
4
4
3
4
0
0
3
= ò ( x - 3) 2 dx = ò ( x - 3) 2 d ( x - 3) = ò | x - 3 | d ( x - 3) = - ò ( x - 3)d ( x - 3) + ò ( x - 3)d ( x - 3)
0
0
( x - 3) 4
|0 = 5
2
2
dx
Ví dụ 9: Tính I= -ò2 ( x + 1) 2
=
-( x - 3)
2
2
3
0
2
+
Học sinh thường mắc sai lầm khi biến đổi như sau
2
dx
ò
I = -2 ( x + 1) 2 =
2
d ( x + 1)
ò ( x + 1)
-2
2
=
-1 2 -4
| =
x + 1 -2 3
Nguyên nhân sai lầm là do hàm số y=
1
gián đoạn trên đoạn [ -2; 2] nên
( x + 1)2
không sử dụng được công thức NeW ton –leibnitz như trên.
Lời giải đúng là :
hàm số y=
1
không xác định tại x=-1 Î [ -2; 2] nên gián đoạn trên [ -2; 2] ,do vậy
( x + 1)2
tích phân trên không tồn tại.
Tổng kết:
Để sử dụng được thành thạo kỹ thuật sử dung bảng nguyên hàm học sinh hiểu
được bản chất của các công thức,phải hiểu công thức trong trạng thái động.khi
đứng trước bài toán tính tích phân cần xem xét kỹ biểu thức dưới dẩu tích phân,nếu
có ý tưởng sử dụng bảng nguyên hàm thì định đưa về công thức nào trong bảng
nguyên hàm. Để làm được điều đó hoc sinh phải hiểu kỹ bản chất của công thức,
có tư duy trong biến đổi vi phân một cách logic, để tiếp nhận nó một cách tự
nhiên ,không gượng ép . Chẳng hạn khi hướng dẫn học sinh sử dung công thức
xa +1
a
ò x dx = a + 1 + c , học sinh phải hiểu giá trị x trong hai số x và dx là giống nhau,
a
nếu thay x trong hai số đó bởi một biểu thức khác thỉ công thức trên vẫn đúng ví
dụ thay
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
6
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
(2t + 1)a +1
+ c ,Nhưng nểu chỉ có dạng
a +1
1
a
ò (2t + 1) dt muốn sử dụng được công thức trên phải biến đổi dt = 2 d (2 x + 1) .nghĩa
a
ò (2t + 1) d (2t + 1) =
X = 2t+1 thì ta có
là ta đã biến đổi vi phân. Tương tự đối vói các nguyên hàm khác.
Để luyện tập kỹ thuật trên ta có thể làm tương tự các bài tập sau
p
4
1/I= ò
p
3
p
4
dx
dx
dx
; 2/J= ò
; 3/K= ò x 2 3 1 - x3 dx ;4/L= ò tan xdx ;5/ M= ò 4
s inx
cos x
p cos x
6/N= ò
3
e
x
x 2 + 1cos 4 x 2 + 1
p
2
sin x cos xdx
;
3sin 2 x + 4cos 2 x
0
9/y= ò
7/ P= ò
;
1
p
3
10/T= ò
p
6
ln x
;
x(ln 2 x + 1)
x 2001dx
;
(1 + x 2 )1002
p
4
dx
3
8/Q= ò
5
;
sin xcos x
sin 4 xdx
sin 6 x + cos 6 x
0
11/H= ò
II-Tính tích phân bằng cách đưa biểu thức dưới dấu tích phân về dạo hàm
của một hàm số
khi sử dụng kỹ thuật này ta chú ý đến các tính chất quan trọng sau
· ( UV)’=UV’+U’V
·
·
·
'
'
æ U ö U V - UV
=
ç ÷
V2
èV ø
'
'
ò (U V + UV )dx = ò d (UV )
'
U 'V - UV '
æU ö
ò V 2 dx = ò d çè V ÷ø
Ví dụ 1
e2
æ
1
ö
I= ò ç 2 ln x +
÷dx (ĐH NT-00)
ln x ø
e è
Lời giải:
Ta có 2 ln x +
1
= 2 ln x .( x)' + x(2 ln x )' = (2 x ln x )'
ln x
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
7
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
e2
e2
1 ö
æ
Do đó I= ò ç 2 ln x +
÷dx = ò d (2 x ln x )= 2 x ln x
ln x ø
e è
e
p
2
1 + s inx
dx
1 + cos x
0
J= ò
Ví dụ 2
e2
e
= 2 2e 2 - 2e
(ĐH -Dược -00)
Lời giải:
p é
p
x
x
ù
1 + 2sin cos
2
2
1 + s inx x
2
2 e x dx = ê 1 e x + e x tan x údx = d æ e x tan x ö =
e
dx
=
ê
ú
÷
ò0 1 + cos x
ò0
ò0
ò0 çè
x
x
2ú
2ø
ê 2cos 2
2cos 2
2
ë
2
û
p
2
p
2
p
x p
J= æç e x tan ö÷ 02 = e 2
è
2ø
Nhận xét :Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải như sau
p
2
p
2
p
2
1 + s inx x
1
s inx x
e dx = ò
e x dx + ò
e dx = K1 + K 2
1 + cos x
1 + cos x
1 + cos x
0
0
0
Phân tích K= ò
Cách 2
p
2
p
p
2
2
1
1
x
x
K1 = ò
e x dx = ò
e x dx = ò e x d (tan ) = e x tan
x
1 + cos x
2
2
0
0 2cos 2
0
2
p
2
p
2
=e -ò
0
p
2
sin x
2cos 2
x
2
p
2
0
p
2
x
- ò tan e x dx
2
0
p
2
p
p
sin x x
e dx - K 2 Þ K = e 2 + K 2 - K 2 = e 2
1 + cos x
0
e x dx = e - ò
ì
é (1 + cos x)
s inx ù
1 + s inx
ì
ïdu = ê
ïu =
2
2ú
Cách 3: Có thể đặt í 1 + cos x Þ í
ë (1 + cos x) (1 + cos x) û dx
ïdv = e x dx
ï
x
î
îv = e
Từ đó ta có K=
1 + s inx x
e
1 + cos x
p
2
o
p
2
p
p
é (1 + cos x)e x
e x s inx ù
1 2
ex
2
-òê
dx
=
2
e
(
)' dx =
2
2ú
ò
(1
+
cos
x
)
(1
+
cos
x
)
2
(1
+
cos
x
)
û
o ë
0
p
2
p
p
1
ex
2
2e - - (
) o =e2
2 1 + cos x
x 2 .e x
Ví dụ 3 K = ò
dx
( x + 2) 2
Lời giải:
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
8
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
é x 4x + 4 x ù
x 2 .e x
x + 2 -1
1 ' xù
é 1
x
x
x
ò ( x + 2)2 dx = ò êëe - ( x + 2)2 e úûdx = e - 4ò ( x + 2)2 dx =e - 4ò êë x + 2 (e ) + ( x + 2 ) e úûdx
K=
ex '
ex
e x - 4ò (
) dx = e x - 4(
)+C
x+2
x+2
Để luyện tập ta tính các tích phân sau
p
4
I= ò éê 4 x tan + x 2 (1 + tan 2 ) ùúdx
2
2 û
ë
x
x
HD: I=
0
1
( x 2 + 1)e x
dx
( x + 1)2
0
J= ò
p2
p
tan
8
8
HD: J=1
p
2
K= ò esinx (1 + x cos x)dx
HD: K=
0
pe
2
III-Kỹ thuật đổi biến số
1/Đổi biến số dạng 1:
Đổi biến số là một trong những phương pháp quan trọng nhất để tính nguyên hàm
và tích Phân .Cơ sở của phương pháp đổi biến số dạng 1 là công thức sau
b
b
ò
f [u ( x)]u ( x), dx = ò f (u )du
a
a
Trong đó f(x) là hàm số liên tục và hàm số u(x) có đạo hàm liên tục trên K sao
cho
f[u(x) ] xác định trên K và a = u (a), b = u (b) .
Áp dụng tính chất trên ta có quy tắc đổi biến sau
b
Xét tích phân
ò f ( x)dx
. Đặt t=V(x) khi đó ta biến đổi f(x)dx=g(t)dt do đó
a
b
b
ò f ( x)dx = aò g (t )dt
và a = u (a), b = u (b)
a
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
9
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Khi đổi biến số điều quan trọng là chọn được hàm V(x) thích hợp sao cho tích
phân với biến mới phải đơn giản hơn so với tích phân ban đầu ,và gắn liền với việc
đổi biến đó là phải đổi cận , ta xét một số bài toán sau trước khi rút ra những kinh
nghiệm trong
việc lựa trọn hàm V(x).
e
ln x
Ví dụ 0(ĐHKB-2010): Tính tích phân I = ò
dx
x(2 + ln x) 2
1
1
1æ
u
1
2 ö
1
;
I =ò
dx
u
=
ln
x
Þ
du
=
dx
I
=
du
=
du
ç
2
2
2 ÷
ò
ò
ç
÷
2
+
u
x
x
2
+
ln
x
2
+
u
2
+
u
(
)
(
)
(
)
1
0
0è
ø
e
ln x
1
2 ö æ
2ö
æ
æ3ö 1
= ç ln 2 + u +
÷ = ç ln 3 + ÷ - ( ln 2 + 1) = ln ç 2 ÷ - 3
2+uø0 è
3ø
è ø
è
2 3
Ví dụ 1:
ò
Tính I=
5
dx
x x2 + 4
(ĐHKA-03)
Lời giải: Đặt t= x 2 + 4 khi x= 5 ,t=3 x= 2 3 ,t=4. t2=x2+4 suy ra x2=t24,tdt=xdx
2 3
I=
ò
5
2 3
dx
x x2 + 4
=
ò
5
xdx
x2 x2 + 4
=
tdt
dt
1 (t + 2) - (t - 2)
1 d (t - 2) 1 d (t + 2)
1 t -2
ò3 (t 2 - 4)t = ò3 t 2 - 4 = 4 ò3 (t + 2)(t - 2) dt = 4 ò3 t - 2 - 4 ò3 t + 2 = 4 ln t + 2
4
4
4
4
4
4
3
=
1 5
.
ln
4 3
Nhận xét 1:
-Dạng tổng quát của tích phân trên là
b
ò (mx + n)
a
trên là đặt t=
dx
px 2 + qx + c
ngoài cách giải như
px 2 + qx + c ta còn có thể giải như sau:
1
t
đặt mx+n= . Sau đó chuyển tích phân trên về biến mới t ta cũng thu được kết quả
trên
-đối với các tích phân có chứa biểu thức n f ( x) ta thường nghĩ tới việc lựa chon
t= n f ( x)
( trừ một số trường hợp sẽ có dấu hiệu đổi biến số dạng 2 sẽ trình bày sau ).Ta xét
thêm một số ví dụ để làm sáng tỏ
Ví dụ 2 :
Tính (ĐHKA-04)
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
10
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
2
dx
x -1
1 1+
J= ò
Lời giải:
Thực hiện phép biên đổi t= x - 1 ,x=1 thì t=o,x=2 thì t=1,t2=x-1 suy ra x=t2+1
2tdt = dx từ đó ta có
dx
(t 2 + 1)2tdt
4
d (t + 1) 11
2
2
=
ò1 1 + x - 1 ò0 1 + t = ò0 [2t - 2t + 4 - t + 1]dt = 2ò0 t dt - 2ò0 dt - 4ò0 t + 1 = 3 - 4 ln 2
2
1
1
1
1
1
Ví dụ 3:( ĐHKB-04)
e
K= ò
1
1 + 3ln x ln x
dx
x
Lời giải:
e
Nhận thấy K= ò 1 + 3ln x ln xd (ln x) do vậy ta chọn t= 1 + 3ln x , x=1,t=1,x=2,t=2
1
t 2 -1
3dx
lnx=
và 2tdt=
.Do đó
2
x
e
2
2
2
1 + 3ln x ln x
t (t 2 - 1)2
2 4
116
K= ò
dx = ò
tdt = [ ò t dt - ò t 2 dt ] =
x
3.3
9 1
135
1
1
1
e3
ln 2 x
dx
x ln x + 1
Ví dụ 4: Tính L= ò
1
(Đề thi dự bị KD-2005)
Lời giải:
Đặt t=
ln x + 1 Þ t 2 = ln x + 1 Þ 2tdt =
dx 2
, t - 1 = ln x
x
x = e3 Þ t = 2; x = 1 Þ t = 1
e3
L= ò
1
2
ln 2 x
76
dx = 2 ò (t 4 - 2t 2 + 1)dt = ... =
15
x ln x + 1
1
Ví dụ 5:
4
7
M= ò
Tính
0
x3dx
1 + 3 x4 + 1
Lời giải:
Đặt t= 3 x 4 + 1 x=0,t=1,x= 4 7 ,t=2.Ta có t3=x4+1 suy ra 3t2dt=4x3dx do đó
4
7
M= ò
0
x3dx
1 + 3 x4 + 1
3 t 2 dt 3 (t 2 + 1) - 1 3
3 d (t + 1) 3 3 3
= ò
= ò (t - 1)d (t - 1) + ò
= + ln
ò
4 1 1+ t 4 1 t +1
41
4 1 t +1
8 4 2
2
=
2
2
2
Nhận xét 2:
Do đặc thù một số tích phân phức tạp ,trước khi đổi biến số dạng 1 đôi khi ta phải
biến
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
11
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
đổi để dễ nhận thấy biến mới rõ hơn
2
dx
Ví dụ 6: Tính N= ò
x11 1 + x 4
1
Lời giải:
2
Bién đổi N= ò
1
N= ò
0
x13
dx
1+ x
11
x
x11 1 + x 4
4
=ò
0
dx
x13 1 +
1
x4
1
1
Đặt t= 1 + 4 suyra 4 = t 2 - 1, dt =
x
x
2
dx
x5
1
1+ 4
x
1-
1 2 1
) 5 dx
4
17
1
x
= x
= - (t 2 - 1)2 dt ,x=1,t= 2, x = 2, x = 2, t =
2
16
1 + x4
1 + x4
(
dx
Và từ đó
1
1
dx
=-
1
2
17
16
ò
(t 4 - 2t 2 + 1)dt ta đưa về tích phân quen thuộc
2
Nhận xét 3
-Các tích phân chứa các hàm số lượng giác trước khi nhận diện được biến mới cần
có hướng biến đổi lượng giác nhờ vào các công thức quen thuộc như:công thức
nhân đôi , hạ bậc,tổng thành tích ,...
Ví dụ 7:
p /4
Tính L=
sin( x - p / 4)
ò sin 2 x + 2(1 + s inx + cos x)dx
(ĐHKB-08)
0
Lời giải:
Nhận xét :tích phân trên mới nhìn ta thấy khó nhận diện được biến mới ta thử
xem mẫu và tử sô có mối qua hệ gì ?
sin2x+2(1+sinx+cosx)=1+2sinxcosx+2(sinx+cosx)+1=(sinx+cosx)2+
2(sinx+cosx)+1
=(sinx+cosx+1)2, d(sinx+cosx)=(cosx-sinx)dx=
- 2 sin( x - p / 4) dx
Do đó đặt t=sinx+cosx khi đó đổi cận ta có:
p /4
L=
ò
0
sin( x - p / 4)
dx
sin 2 x + 2(1 + s inx + cos x)
=
- 2
2
2
ò
1
d (t + 1)
(t + 1)
2
dt =
4-3 2
4
Ví dụ 8
p /6
Tính P=
ò
0
tan 4 x
dx
cos2 x
(ĐHKA-08)
Lời giải:
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
12
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Nhận xét P=
p /6
ò
0
p /6
tan 4 x
dx
cos2 x
=
0
Đặt tanx=t ,x=0thì t=0,x=
Do đó P=
p /6
ò
0
1
3
ò
0
tan x
dx
cos2 x
1 - (1 - t )
dt =
1- t2
4
=ò
0
1
3
dt
ò 1- t
2
p /6
ò
0
tan 4 x
dx =
(1 - tan 2 x)cos 2 x
p /6
ò
0
tan 4 xd (t anx)
(1 - tan 2 x)
p
1
thì t= .
6
3
1
3
4
ò
tan 4 x
dx =
cos 2 x - sin 2 x
t4
dt =
1- t2
-
0
1
3
ò (1 + t
2
)dt = -
0
10 1
+ ln(2 + 3)
9 3 2
Nhận xét 4
b
-khi tính tích phân dạng
ò
a
2
f (tan x)
dx hoặc
cos2 x
2
2
b
ò
a
f (tan x)
dx ta viết như sau
sin 2 x
2
Cos2x=cos x(1-tan x); sin2x=2cos xtan x sau đó đặt t= tanx thì
dx
sau đó Đưa về tích phân cơ bản.
cos 2t
b
a tan 4 x
-Bài toán tổng quát của bài trên là P= ò
dx; a, b Î R
a bcos2 x
dt=
- Với cánh khai thác trên ta có thể giải quyết bài toán tổng quát hơn như sau
b
P 1=
a tan 4 x
dx; a, b, c, d Î R
2
ò 2
a b sin x + c sin x cos x + dcos x
với chú ý là
(bsin2x+csinx cosx+dcos2x)=(btan2x+ctanx+d)cos2x do đó ta chọn t =tanx
- Đối với các tích phân lượng giác
b
ò R(s inx, cos x)dx
chứa hai hàm lương giác
a
sinx,cosx ta có mấy điều quan trọng sau
+ Nếu lẻ theo bậc của sinx thì nên chọn t=cosx
+Nếu lẻ theo bậc của cosx thì nên đặt t=sinx
+chẵn theo sinx và cosx thì đặt t=tanx
Ví dụ 9: Tính Q=
p /2
ò
0
sin 2 x cos x
dx
1 + cosx
(ĐHKB-05)
Lời giải:
Biến đổi
p /2
Q=
ò
0
p /2
sin 2 x cos x
sin x cos 2 x
dx = 2 ò
dx
1 + cosx
1 + cosx
0
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
13
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Đặt t=1+cosx (vì bậc của sinx lẻ) suy ra dt=-sinxdx ,x=0thì t= p / 2 ,x= p / 2 thì
t=1
p /2
Q=
ò
0
sin 2 x cos x
(t - 1)2
dx = Q= ò
dt = 2 ln 2 - 1
1 + cosx
t
1
2
Nhận xét 5:
b
-Tích phân trên có dạng tổng quát
Q= ò
a
a sin 2 x cos x
dx
b + Ccosx
có hai cách đặt
C1: t=b+ ccosx
C2: t=cosx
Ví dụ 10:
p /3
R=
ò sin
2
p /4
dx
x - 2sin x cos x
Lời giải: Nhận xét bậc của sinx chẵn nên ta nghĩ tới cách đặt t= tanx
p /3
p /3
p /3
dx
dx
1
d (t anx)
R= ò 2
= R= ò
=ò
2
2
2
p /4 sin x - 2sin x cos x
p /4 (tan x - 2 t anx) cos x
p /4 (tan x - 2 t anx)
đặt t=tanx ta có R=
p /3
d (t anx)
òp /4 (tan 2 x - 2 t anx) =
3
ò
1
dt
1
=
2
t - 2t 2
3
1
1
1
ò ( t - 2 - t )dt = 2 ln(1 1
2
)
3
Nhận xét 6
b
- Tích phân tổng quát của tích phân trên là R= ò
a
b
Ta biến đổi R= ò
a
sau đó đặt
dx
a sin x + b sin x cos x + ccos 2 x
2
b
dx
d (t anx)
=ò
2
2
(a tan x - b t anx + c)cos x a (a tan x - b t anx + c)
2
t=tanx
b
- Tương tự đối với tích phân lượng giác có dạng R= ò
a
sin x cos xdx
,nÎ N
(a sin 2 x + b 2cos 2 x) n
2
Nhận xét 7:
Đối với một số tích phân không có dấu hệu đặc biệt như chứa n f ( x) hay chứa các
hàm
số lượng giác như đã xét ở trên khi đó ta phải quan sát kỹ và khéo léo phân tích để
có thể nhận diên được biến mới.Ta xét thêm một số các ví dụ sau
Ví dụ 11
2
Tính
G= ò
1
x2 - 1
dx
x4 + 1
Lời giải:
Nhận xét ( x 2 +
1
1
1
1
) = ( x + ) 2 - 2, d ( x + ) = (1 - 2 )dx từ đó ta biến đổi như sau
2
x
x
x
x
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
14
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
1
1
1
1- 2
d (x + )
2 12
2
2
x2 -1
x dx = G=
x
x
G= ò 4 dx = ò
dx = ò
ò
1
1
1
x
+
1
1
1 x2 +
1 ( x + )2 - 2
1 ( x + )2 - 2
x2
x
x
1
Đặt t=x + ,x=1 thì t=2,x=2 thì t=5/2
x
2
Khi đó ta có
2
G= ò
1
5/2
ò
2
x2 -1
dx =
x4 + 1
dt
1
dt =
2
u -2
2 2
5/2
ò
2
(t - 2) - (t - 2)
1
t- 2
dt =
ln
(t - 2)(t + 2)
2 2 t+ 2
5/2
2
=
1
2 2
ln
(5 - 2 2)(2 + 2)
6- 2
Ví dụ 12
ln 5
dx
e + 2e - x - 3
ln 3
Y= ò
(ĐHKB-06)
x
Lời giải:
dx
e x dx
d (e x )
Nhận xét x
=
=
e + 2e- x - 3 e2 x - 3e x + 2 (e x - 1)(e x - 2)
Đặt t=e x,x=ln3 thì t=3,x=ln5 thì t=5
5
ln 5
dt
=
(t - 1)(t - 2)
3
dx
x
e + 2e - x - 3
ln 3
=ò
Y= ò
(t - 1) - (t - 2)dt
d (t - 2)
d (t - 1)
t -2
ò3 (t - 1)(t - 2) = ò3 t - 2 - ò3 t - 1 = ln t - 1
5
5
5
5
3
= ln
3
2
Ví dụ 13
2
H= ò
1
1 - x7
dx
x(1 + x 7 )
Lời giải:
1 - x7
(1 - x 7 ) x 6
1 (1 - x 7 )
7
dx
=
dx
=
d ( x 7 ) do đó ta nghĩ tới đặt t=x
7)
7
7
7
x(1 + x
x (1 + x )
7 (1 + x )
2
128
128
128
128
7
1- x
1 (1 - t )dt 1 (1 + t ) - 2t
1
dt
dt
1
512
H= ò
=
=
dx
dt
=
[
2
] = ln
7
ò
ò
ò
ò
x(1 + x )
7 1 t (t + 1)
7 1 t (t + 1)
7 1 t
1 + t 7 16641
1
1
Nhận thấy
Ví dụ 14
1
K= ò x5 (1 - x3 )6 dx
0
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
15
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Lời giải:
1
3
1
3
Nhận xét x5(1-x3)6=x3(1-x3)6x2=- x3 (1 - x3 )6 d (1 - x3 ) = - [1 - (1 - x3 )](1 - x3 )6 d (1 - x3 )
Do đó ta đặt t=1-x3 và ta có
0
1
0
1
1
1
K= ò x (1 - x ) dx = - ò (1 - t )6 dt = ò (1 - t )6 d (1 - t ) =
31
31
168
0
5
3 6
Nhận xét 8:
Các ví dụ trên được giải nhờ vào việc biết phân tích mối quan hệ giữa các biểu
thức dưới dấu tích phân.ta gọi chung là đổi biến nhờ ‘Phân tích’
Nhận xét chung:
Đổi biến số dạng 1 là một trong những phương pháp rất cơ bản, học sinh thường
gặp trong Các kỳ thi tốt nghiêp và thi vào các trường Đại học,bởi nó có thể phát
huy tối đa tư duy Linh hoạt của học sinh ,Học sinh không thể dùng một công thức
đổi biến tông quát nào áp dụng Cho các bài toán khác nhau.Chính vì lẽ đó trong
giảng dạy học sinh dùng phương pháp đổi biến số dạng 1 ,người thầy không quá sa
đà vào việc dạy học sinh những dạng toán có tính chất công thức,máy móc. Điều
quan trọng là phát triển ở học sinh tư duy logíc,sự sáng tạo ,các em tự mình chiếm
lĩnh kiến thức ,tự rút ra những bài học bổ ích từ việc giải được hay không giải được
những bài tích phân,có như vậy khi đứng trước những bài toán mới hay những bài
toán được ngụy trang thì các em vẫn có được ‘sức đề kháng’’ để vượt qua.Tôi coi
đó là tư tưởng chủ yếu của dạy học tích phân nói riêng và môn toán nói chung.
2-Đổi biến số dạng hai:
b
Tư tưởng của kỹ thuật này là :Giả sử ta cần tính tích phân I= ò f ( x)dx thì ta chọn
a
X=u(t),với u(t) là hàm số ta chọn thích hợp
Biểu diễn dx=u’(t)dt, u( a ) = a, u ( b ) = b
Biểu thị f(x)dx theo t và dt,giả sử f(x)dx=g(t)dt
b
b
a
a
I= ò f ( x)dx = ò g (t )dt là tích phân dễ tìm hơn tích phân ban đầu.
Ví dụ 1: Tính I=
2
2
ò
0
x 2 dx
1 - x2
Lời giải :
Nx: ta có sin2t+cos2t =1 nên 1-sin2t=cos2t, 1 - sin 2 t = cos t do đó ta nghĩ tới
p p
Đặt x=sint t Î éê - ; ùú
ë 2 2û
x=0,t=0,x=
2
p
, t = ,dx=costdt
2
4
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
16
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
2
2
I=
p /4
x 2 dx
ò
1- x
= I=
ò
sin 2 x cos tdt
0
1 - sin t
Nhận xét 1 :
- Có thể đặt x=cost
tÎ [ 0; p ]
0
2
2
p /4
=
ò
0
sin 2 t cos t
dt =
cos t
p /4
-Đối với những tích phân có chứa các biểu thức
t Î [ 0; p ]
ò
0
1 - cos2t
p 1
dt = 2
8 4
a 2 - x 2 ta có thể đặt x=acost ,
p p
hoặc x= asint , tÎ éê - ; ùú
ë 2 2û
6
ò
Ví dụ 2: Tính J=
3 2
dx
x x2 - 9
Lời giải:
3
, t Î (0; p / 2)
sin t
-3cos tdt
1
p
1
p
dx=
, x = 3 2,sin t =
Þ t = , x = 6,sin t = Þ t =
2
4
2
6
sin t
2
6
p /6
p /4
p4
dx
-3cos tdt
1
cos tdt
1
p
J= ò
= ò
= ò
= ò dt =
2
cos
t
3 p /6 sin t
3 p /6
36
3
9
p /4
3 2 x x -9
sin 2 t
-9
2
sin
t
sin t sin t
Đặt x=
Nhận xét 2:
- có thể đặt x=
3
,
cost
- đối với những tích phân có chứa biểu thức
hoặc X=
x2 - a2
(a>0) ta có thể đặt x=
a
cost
a
,
sin t
Ví dụ 3
3
Tính K= ò
1
Lời giải;
1 + x2
dx
x2
p p
2 2
Đặt x=tant,tÎ (- ; )
x =1Þ t =
3
K= ò
1
p
p
dt
1
, x = 3 Þ x = , dx =
; 1 + x 2 = 1 + tan 2 x =
2
4
3
cos t
cos t
1 + x2
dx =
x2
p /3
p /3
p /3
1
dt
dt
d (sin t )
òp /4 sin 2 t cos2t = pò/4 cos t sin 2 t = pò4 sin 2 t (1 - sin 2 t ) =
cos t
cos 2t
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
3
2
òu
2
2
2
du
=
(1 - u 2 )
17
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
3
2
ò
2
2
du
+
u2
3
2
du
ò 1- u
2
= ln(2 + 3)( 2 - 1) +
2
2
3 2 -2 3
3
Nhận xét 3:
-Đối với những tích phân có chứa biểu thức (a2+x2)k (a>0)ta thường đăt x=atant
hoặc x=acott
-Một số tích phấn sau khi bién đổi mới đưa về dạng có chứa biểu thức (a2+x2)k .ta
xét ví dụ sau
Ví dụ 4
1
Tính L= ò
0
xdx
x + x2 + 1
4
Lời giải:
3
1
d (t + )
2
1
d (u )
2
= ò
21
1
3
3
(t + ) 2 + ( ) 2
(u ) 2 + ( ) 2
2
2
2
2
3
p p
3
p
1
p
Đặt
tan a , t Î (- ; ) ,u= Þ tan a = 3 Þ a = ,, u = Þ a =
2
2 2
2
3
2
6
p
p
3
3
da
3
12
d (u )
13
3
p 3
2
L= ò
= ò
,
=
da =
ò
21
3 p
18
3 2 2 p cos 2a . 3 (1 + tan 2 a )
2
(u ) + ( )
2
6
6
4
2
1
1
1
1
xdx
1
d ( x2 )
1
d (t )
1
L= ò 4 2 = ò 2 2 2 = ò 2
= ò
x + x + 1 2 0 ( x ) + x + 1 2 0 (t ) + t + 1 2 0
0
Nhận xét 5
Một số tích phân có chứa các biểu thức
( x - a )(b - x) ,b>a>0 Khi đó ta đặt
p
X=a+(b-a)sin2t , t Î éê0; ùú .ta xét ví dụ sau
ë 2û
3
2
Ví dụ 5: Tính M= ò ( x - 1)(2 - x)dx
5
4
Lời giải :
Nhận xét a=1,b=2 Đặt x=1+sin2t
p
5
p
3
p
t Î éê0; ùú ,dx=2sintcostdt,x= Þ t = ; x = Þ t =
ë
2û
4
6
2
3
2
3
2
p
4
5
4
5
4
p
6
4
M= ò ( x - 1)(2 - x)dx = ò ( x - 1)(2 - x)dx =2 ò sin 2 t (1 - sin 2 x) sin t cos tdt =
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
18
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
p
4
2 ò sin 2 t cos 2 tdx =
p
6
p
4
1
1 p
3
(1 - cos2t )d = ( ).
ò
2p
8 12 8
6
Nhận xét 6:
Bằng cách khai thác tương tự ta sẽ rút ra đựợc các cách biến số dạng 2 đối với
những tích phân có chứa những biểu thức được thống kê qua bảng sau:
Dấu hiệu
a2 - x2
(a>0)
x2 - x2
(a>0)
a2 + x2
(a>0)
a+x
a-x
hoặc
a-x
a+x
Cách chọn
p p
X=asint tÎ éê - ; ùú hoặc
ë 2 2û
x=acost t Î [ 0; p ]
a
p p
t Î éê - ; ùú \0
sin t
ë 2 2û
a
X=
tÎ [ 0; p ] \ p / 2
cost
p p
X=atant t Î æç - ; ö÷ ho ặc
è 2 2ø
X=acott t Î ( 0; p )
X=
X=acos2t
X=a+(b-a)sin2t
( x - a )(b - x)
Nhận xét 7:
-Đôi khi để sử dụng đổi biến số dạng 2 laị bắt đầu từ dạng 1
Ví dụ 6: Tính K=
p
4
ò
-p
4
sin 2 xdx
cos 4 x(tan 2 x - 2 t anx + 5)
(Đề thi dự bị 2008-B)
Lời giải:
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
19
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
p
4
Biến đổi K= ò
-p
4
p
4
2
sin xdx
tan 2 xd (t anx)
=
cos 4 x(tan 2 x - 2 t anx + 5) -òp (tan 2 x - 2 t anx + 5)
4
Đặt tanx=t đổi cận đưa K vể dạng
t 2 dt
d (t 2 - 2t + 5)
dt
=
dt
+
- 3ò
2
2
ò
ò
(t - 2 t + 5) -1
t - 2t + 5
(t - 1) 2 + 4
-1
-1
-1
1
1
K= ò
1
1
Lại đặt t-1=2tant đổi cận tính toán ta được K=2-ln2
3p
8
-Một trong những phép đổi biến hay dùng nữa là phép thay biến x=a-t đói với
những tích phân có cận trên là a và hàm dưới dấu tích phân chứa các biểu thức
lượng giác và các biểu thức này có liên quan đến cận trên là a (Theo nghĩa chúng
có mối quan hệ đến các góc liên quan đặc biệt).Vì lẽ đó các tích phân này thường
có cận trên là
p
; p ; 2p ,...
2
Khi tính các tích phân này thường dẫn tới giải một phương trình đơn giản với ẩn
số là t
Ví dụ 7:
p /2
Tính H=
ò
0
sin 4 xdx
cos 4 x + sin 4 x
p
2
Lời giải: Đặt x= - t Þ dx = -dt và ta có
0
sin 4 xdx
=
4
4
p 2 cos x + sin x
I= - ò
p /2
2I=
ò
0
sin x + cos xdx
=
cos 4 x + sin 4 x
4
4
p /2
ò
0
p /2
cos 4 xdx
suy ra
cos 4 x + sin 4 x
p
ò dx = p / 2 Þ x = 4
0
Ví dụ 8
2p
Tính F= ò xcos3 xdx
0
Lời giải:
Đặt x= 2p - t Þ dx = - dt
và ta có
2p
0
2p
2p
I= - ò (2p - t )cos (2p - t )dt = ò (2p - t )cos tdt = 2p ò cos tdt - ò tcos3tdt
3
3
2p
0
2p
Þ 2I =
2p
ò cos tdt = ò
3
0
0
3
0
0
cos3t + 3cos t
dt = 0
4
Ví dụ 9:
Nguyễn Văn Cường, Mỹ Đức A, Hà Nội - www.MATHVN.com
20
.PDF 
51 
98 
123 
