Tài liệu Các phương pháp tìm nguyên hàm - tích phân hay

CHUYÊN ðỀ TÍCH PHÂN Bảng công thức tích phân bất ñịnh : ∫ 0dx = C n ∫ x dx = ∫ dx = x + C x n +1 +C n +1 1 ∫ x dx = ln x + C n ≠ −1 ax C ln a ∫ cos xdx = sin x + C x x ∫ e dx = e + C x ∫ a dx = ∫ sin xdx = − cos x + C 1 ∫ cos 1 ∫ sin dx = tan x + C dx = − cot x + C 2 x x u′( x) 1 1 x−a ∫ u ( x) dx = ln u ( x) + C ∫ x 2 − a 2 dx = 2a ln x + a + C x 2 a 2 2 ∫ x + a dx = 2 x + a + 2 ln x + x + a + C 2 Phương pháp biến số phụ : Cho hàm số f (x) liên tục trên ñoạn [a; b] có nguyên hàm là F (x) . Giả sử u (x) là hàm số có ñạo hàm và liên tục trên ñoạn [α , β ] và có miền giá trị là [a; b] thì ta có : ∫ f [u ( x)].u' ( x)dx = F ( x)[u ( x)] + C BÀI TẬP Tính các tích phân sau : 1 a) I1 = ∫ 0 1 e e x dx ex − 1 0 xdx x2 + 1 b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ 1 1 + ln x dx x Bài làm : a) ðặt t = x 2 + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx = dt 2 x = 0 → t = 1 x = 1 → t = 2 ðổi cận :  2 2 2 1 dt 1 xdx 1 Vậy : I1 = ∫ 2 = ∫ = ln t = ln 2 21 t 2 2 1 x +1 1 b) ðặt t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 1 x = 1 → t = e − 1 ðổi cận :  2 x = 2 → t = e − 1 1 e x dx Vậy : I 2 = ∫ x = e −1 0 e2 −1 ∫ e −1 e 2 −1 dt = ln t = ln(e + 1) t e−1 1 x c) ðặt t = 1 + ln x ⇒ tdt = dx x = 1 → t = 1 x = e → t = 2 ðổi cận :  e I3 = ∫ 1 3 2 1 + ln x dx 2 2 = ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1) x 3 1 3 1 2 Tích phân lượng giác : β Dạng 1 : I = ∫ sin mx.cos nxdx α Cách làm: biến ñổi tích sang tổng . β Dạng 2 : I = ∫ sin m x. cos n x.dx α Cách làm : Nếu m, n chẵn . ðặt t = tan x Nếu m chẵn n lẻ . ðặt t = sin x (trường hợp còn lại thì ngược lại) β Dạng 3 : I = ∫ α dx a. sin x + b. cos x + c Cách làm : 2t  x sin =  x 1+ t2 ðặt : t = tan ⇒  2 2 cos x = 1 − t  1+ t2 β a. sin x + b. cos x Dạng 4 : I = ∫ .dx + . sin . cos c x d x α Cách làm : ðặt : a. sin x + b. cos x B (c. cos x − d . sin x) = A+ c. sin x + d . cos x c. sin x + d . cos x Sau ñó dùng ñồng nhất thức . β Dạng 5: I = ∫ α a. sin x + b. cos x + m .dx c. sin x + d . cos x + n Cách làm : [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 2 ðặt : a. sin x + b. cos x + m B (c. cos x − d . sin x) C = A+ + c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n Sau ñó dùng ñồng nhất thức. BÀI TẬP Tính tích phân : π π 2 2 cos xdx (sin x + 1) 4 0 a) I1 = ∫ π 4 b) I 2 = ∫ cos 5 xdx c) I 3 = ∫ tan 6 xdx 0 0 Bài làm : a) ðặt : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 1 ðổi cận :  π  x = 2 → t = 2 π 2 2 dt cos xdx 1 =∫ 4 =− 3 4 3t 0 (sin x + 1) 1 t Vậy : I 1 = ∫ 2 = 1 7 24 b) ðặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ðổi cận :  π  x = 2 → t = 1 π Vậy : 2 1 0 0 ( ) 2 1 ( ) I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt 0 1  t5 2  8 = ∫  − t 3 + t  = 5 3  0 15 0 1 c) ðặt : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1)dx x = 0 → t = 0 ðổi cận :  π  x = 4 → t = 1 π 1 1 1  t 6 dt  I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2 = ∫ t 4 − t 2 +1− 2 dt t + 1 0 0 t +1 0 4 6 Vậy : 1 π 4  t5 t3  13 π =  − + t  − ∫ du = − 15 4 5 3 0 0 [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 3 Tính các tích phân sau : π π 2 a) I1 = ∫ 0 3 sin x. cos x a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x cos x b) I 2 = ∫ dx 2 + cos 2 x 0 dx Bài làm : a) ðặt : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x.cos xdx x = 0 → t = a 2 ðổi cận :  π 2 x = → t = b 2  Nếu a ≠ b π 2 Vậy : sin x. cos x 1 dx = 2 2 b − a2 a 2 . sin x + b 2 . cos x I1 = ∫ 0 1 = 2 t b − a2 b2 = a2 ( a−b b −a 2 2 = b2 )∫ dt a2 t 1 a+b Nếu a = b π π 2 a 2 . sin 2 x + b 2 . cos 2 x 0 Vậy : 2 sin x. cos x I1 = ∫ π = sin x. cos xdx a 0 dx = ∫ π 2 2 1 1 1 sin 2 cos 2 xdx x = − = ∫ 2a 0 4a 2a 0 b) ðặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx x = 0 → t = 0 ðổi cận :  π 3 x = → t = 3 2  π 3 Vậy : I 2 = ∫ 0 cos x 2 + cos 2 x 3 2 dx = ∫ 0 dt 3 − 2t 2 = 1 2 3 2 ∫ 0 dt 3 2 −t 2 3 3 cos u ⇒ dt = − sin udu 2 2 π  t = 0 → u = 2 ðổi cận :  t = 3 → u = π  2 4 ðặt : t = [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 4 1 I2 = 2 3 2 ∫ 0 Vậy : π dt 3 2 −t 2 = = 2 2 ∫ π 4 3 sin udu 2 3 1 − cos 2 u 2 ( ) π π 2 4 1 1 ∫ du = 2π 1 2 4 π = u 4 2 π 4 Tính các tích phân sau : π π sin x + 7 cos x + 6 dx 4 sin + 3 cos + 5 x x 0 2 2 1 a) I 1 = ∫ dx 4 sin + 3 cos + 5 x x 0 b) I 2 = ∫ Bài làm : 2dt x   ⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2 2  t +1  x = 0 → t = 0 ðổi cận :  π  x = 2 → t = 1 2 1 1 2 dt 1 t + I1 = ∫ dt = ∫ 2 2 2t 1− t 0 0 (t + 1) 4 3 5 + + Vậy : 1+ t2 1+ t2 a) ðặt : t = tan x 2 1 1 1 =− = t+2 0 6 sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x C + = A+ B 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 Dùng ñồng nhất thức ta ñược: A = 1 , B = 1 , C = 1 b)ðặt : π π 2 sin x + 7 cos x + 6 4 cos x − 3 sin x 1   I2 = ∫ dx = ∫ 1 + + dx 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5  Vậy : 0 0 π π 9 1 = (x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 = + ln + 2 8 6 2 Bạn ñọc tự làm : π 2 a) I1 = ∫ π π 3 cos x dx sin 2x 2 b) I 2 = ∫ cos3 x. sin xdx 0 π 2 dx 0 sin x + 2 c) I 3 = ∫ 6 [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 5 π π π 2 1 sin x − cos x + 1 d) I 5 = ∫ dx d) I 6 = ∫ dx 0 sin x + 2 cos x + 3 0 sin x + 2 cos x + 3 4 sin 3 x c) I 3 = ∫ dx 0 cos x + 1 2 2 Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ dx 1 1 =− + C với (a, n ) ∈ C × (N − {0,1}) ta có : . n n − 1 ( x − a )n−1 (x − a ) dx Nếu n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫ = ln x + C x−a α , β , a, b, c ∈ R αx + β dx trong ñó :  Dạng 2 : I = ∫ 2 n 2 ax + bx + c ∆ = b − 4ac < 0 Dạng 1 : I = ∫ ( ) * Giai ñoạn 1 : α ≠ 0 ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức ax 2 + bx + c , sai khác một số : I= α 2 aβ 2ax + b + 2a ∫ (ax 2 α + bx + c −b ) n dx = α 2a ∫ (ax 2ax + b 2 + bx + c ) n dx + dx α  2 aβ  − b ∫  n 2 2a  α  (ax + bx + c ) * Giai ñoạn 2 : Tính I = ∫ n dt  4a  − ∆ . n dx =  ∫ 2  − ∆  2a 2 ax + b 1 + t 2 ax + bx + c t= dx ( ) ( ) n −∆ * Giai ñoạn 3 : Tính I = ∫ Dạng 3 : I = ∫ Ta có : (t 1 2 ) +1 Pm ( x ) dx Qn ( x ) n dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc ñặt t = tan φ Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0 = Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0 Nếu : deg(P ) ≥ deg(Q ) thì ta thực hiện phép chia phân số Rr ( x ) có deg(R ) < deg(Q ) Qn ( x ) Pm ( x ) R (x ) = A(m − n ) ( x ) + r trong ñó Qn ( x ) Qn ( x ) Nếu : deg(P ) < deg(Q ) ta có các qui tắc sau : Pm ( x ) A1 An −1 An + ...... + + n −1 (x − a ) (x − a ) (x − a ) (x − a )n n Pm ( x ) Ai Vdụ 1a : n =∑ i (x − ai )i ∏ (x − ai ) i=1 *Qt 1: n = i =1 Vdụ 1b : Pm ( x ) A B C D = + + + 2 ( x − a )( x − b)( x − c) x − a x − b x − c ( x − c )2 [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 6 Pm ( x ) A1 x + B1 An−1 x + Bn−1 An x + Bn + ...... + + 2 n −1 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c ax 2 + bx + c m n Pt (x ) Ai Ai x + B1 = + *Qt 3: ∑ ∑ n i m (x − α ) ax 2 + bx + c i =1 (x − α ) k =1 ax 2 + bx + c i Pt ( x ) A Bx + C = + Vdụ 1 : 2 ( x − α ) ax + bx + c x −α ax 2 + bx + c Pt ( x ) B1 x + C1 B2 x + C 2 A Vdụ 2 : = + + 2 2 (x − α ) ax 2 + bx + c (x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c 2 *Qt 2': ( = ) ( n 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) n với ∆ < 0 ) ( ) ( ) ( ) BÀI TẬP Tính các tích phân sau : 1 a) I 1 = ∫ 0 1 dx 2 x + 3x + 2 b) I 2 = ∫ (x 0 dx 2 + 3x + 2 ) 2 Bài làm : 1 1 1 1  dx dx  1 a) I 1 = ∫ 2 =∫ = ∫ − dx (x + 1)(x + 2) 0  x + 1 x + 2  0 x + 3x + 2 0 = [ln x + 1 − ln x + 2 ]0 = ln 4 3 1 1  1  dx 1 2 dx dx = ∫  + − b) I 2 = ∫ 2 2 2 2 (x + 2) (x + 1)(x + 2) 0  ( x + 1) 0 (x + 3 x + 2 ) 1 1 1   1 = − − − 2(ln x + 1 − ln x + 2 ) = OK 0  x +1 x + 2 Tính các tích phân sau : 1 a) I1 = ∫ 0 1 dx 4 x + 3x 2 + 3 b) I 2 = ∫ 0 4x − 2 dx x + 1 (x + 2) ( 2 ) Bài làm : dx 1 x = arctan + C với a > 0 2 x +a a a 1 dx 1  1 1  = ∫ 2 − 2 dx 2 2 x +1 x + 3 2 0  x +1 x + 3  a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược I 0 = ∫ 1 1 dx I1 = ∫ 4 = x + 3 x 2 + 3 ∫0 0 ( )( 2 ) 1 ( 1 x  π 1 =  arctan x − arctan  = 9−2 3 2 3 30 2 ) [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 7 A Bx + C x 2 ( A + B ) + x(2 B + C ) + 2C + A 4x − 2 = + = (x + 2) x 2 + 1 x + 2 x 2 + 1 (x + 2) x 2 + 1  A = −2 A + B = 0  Do ñó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔  B = 2 C = 0 2C + A = 0   b) ðặt : ( 1 Vậy : I 2 = ∫ 0 [ ) ( ) 1 4x − 2 2 2x   dx = − + dx  2 ∫ x x 2 1 + + x 2 + 1 (x + 2)   0 ( ) ] 1 = − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln 0 4 9 Bạn ñọc tự làm : 3 5 a) I1 = ∫ x +1 dx 2 x ( x − 1) b) I 2 = ∫ c) I 3 = ∫ x −1 dx 4x3 − x d) I 3 = 2 2 1 2 2 3 dx x + 2x − 3 ∫x 3 2 4 x dx − 3x 2 + 2 HD: 1 A B x +1 A B C = + 2+ = + b) 2 x −1 x + 2x − 3 x −1 x + 3 x ( x − 1) x x 3  x −1 1  x−4 x A B C D  d) 4 = + + + = 1 + c) 3 2 x − 3x + 2 x − 1 x + 1 x + 2 x − 2 4 x − x 4  x(2 x + 1)(2 x − 1)  a) 2 ðẳng thức tích phân : Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận xét một số ñặc ñiểm sau . * Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, …. Chúng ta cần phải nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng. BÀI TẬP 1 1 0 0 Chứng minh rằng : ∫ x m (1 − x )n dx = ∫ x n (1 − x )m dx Bài làm : 1 Xét I = ∫ x m (1 − x )n dx 0 ðặt : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 8 x = 0 → t = 1 x = 1 → t = 0 ðổi cận :  1 0 1 Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t )m t n dt (ñpcm) n m m n 0 1 0 Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [− a, a ] thì : a ∫ f (x )dx = 0 I= −a Bài làm : 0 a I= ∫ f ( x)dx = −a ∫ −a a f ( x )dx + ∫ f ( x )dx (1) 0 0 Xét ∫ f (x )dx . ðặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt −a  x = −a → t = a x = 0 → t = 0 ðổi cận :  V ậy : 0 a a −a 0 0 ∫ f (x )dx = ∫ f (− t )dt = − ∫ f (t )dt Thế vào (1) ta ñược : I = 0 (ñpcm) Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn [− a, a] thì a I= ∫ −a a f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx 0 Cho a > 0 và f (x ) là hàm chẵn , liên tục và xác ñịnh trên R . f (x ) ∫−α a x + 1 dx = ∫0 f (x )dx α Chứng minh rằng : α f (x ) f (x ) f (x ) dx = ∫ x dx + ∫ x dx x a 1 a 1 +1 + + −α 0 0 Xét α 0 ∫α a − α Bài làm : (1) f (x ) dx . ðặt t = − x ⇒ dt = − dx ⇒ dx = − dt x +1 ∫α a −  x = −α → t = α x = 0 → t = 0 ðổi cận :  f (x ) f (− t ) a t f (t ) dx = dt = ∫ a x + 1 ∫0 a −t + 1 ∫0 at + 1 −α 0 Vậy : α α [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 9 f (x ) a x f (x ) f (x ) dx + ∫ x dx = ∫ f (x )dx (ñpcm) Thế vào (1) ta ñược : ∫ x dx = ∫ x a +1 a +1 a +1 −α −α 0 0 α α 0 α Cho hàm số f (x ) liên tục trên [0,1] . Chứng minh rằng : π ∫ x. f (sin x )dx = π 2 0 π ∫ f (sin x )dx 0 Bài làm : π Xét ∫ x. f (sin x )dx . ðặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt 0 x = 0 → t = π x = π → t = 0 ðổi cận :  π π π Vậy : ∫ x. f (sin x )dx = ∫ (π − t ). f [sin (π − t )]dt = ∫ (π − t ). f (sin t )dt 0 0 0 π π 0 0 = π ∫ f (sin t )dt − ∫ t. f (sin t )dt π π ⇒ 2 ∫ x. f (sin x )dx = π ∫ f (sin x )dx 0 0 π ⇒ π π ∫ x. f (sin x )dx = 2 ∫ f (sin x )dx 0 0 Từ bài toán trên , bạn ñọc có thể mở rộng bài toán sau . Nếu hàm số f (x ) liên tục trên [a, b] và f (a + b − x ) = f (x ) . Thì ta luôn có : b ∫ x. f (x )dx = a π a+b f ( x )dx 2 ∫0 Cho hàm số f (x ) liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T . a +T ∫ Chứng minh rằng : a T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx 0 Bài làm : a +T ∫ a T a +T a T f ( x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ 0 T a +T 0 T f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + Vậy ta cần chứng minh a a a +T 0 T ∫ f (x )dx ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx a Xét ∫ f (x )dx . ðặt t = x +T ⇒ dt = dx 0 [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 10 x = 0 → t = T x = a → t = a + T ðổi cận :  a +T a +T ∫ f (t − T )dt = ∫ f (t )dt Vậy : T a +T T T a 0 ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx Hay : (ñpcm) Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau : Nếu hàm số f (x ) liên tục,xác ñịnh , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta luôn T 2 T có : ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx 0 − T 2 Bạn ñọc tự làm : 1 ( 1 a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx ) b) I 2 = ∫ sin 2 x. cos x ln x + x 2 + 1 dx 6 −1 0 π π x. sin x dx 2 x 1 + cos 0 x. sin x dx 2 x 9 + 4 cos 0 c) I 3 = ∫ d) I 4 = ∫ π 2 e) I 5 = ∫π − x 2 sin x 1+ 2x x 2 + sin x dx 1+ x2 −1 1 f) I 6 = ∫ dx 2 2π ( ) g) I 7 = ∫ ln sin x + 1 + sin x dx ∗ 2 0 2009π ∗ h) I 8 = ∫ 1 − cos 2 x dx 0 Tích phân từng phần : Cho hai hàm số u và v có ñạo hàm liên tục trên ñoạn [a, b] , thì ta có : b b ∫ udv = [uv] a − ∫ vdu b a a Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau : *ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải ñặt u = ln x hay u = log a x . *ưu tiên 2 : ðặt u = ?? mà có thể hạ bậc. BÀI TẬP Tính các tích phân sau : [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 11 π 1 e 2 a) I1 = ∫ x.e x dx b) I 2 = ∫ x 2 . cos xdx 0 c) I 3 = ∫ ln xdx 1 0 Bài làm : u = x ⇒ du = dx a) ðặt :  x x dv = e dx ⇒ v = e 1 1 Vậy : I1 = ∫ x.e x dx = x.e x 0 − ∫ e x dx = e − e x 0 = e − (e − 1) = 1 1 0 1 0 u = x ⇒ du = 2 xdx dv = cos xdx ⇒ v = sin x 2 b) ðặt :  π 1 π π 2 Vậy : I1 = ∫ x.e x dx = − x. cos x 02 − 2 ∫ x. sin xdx = 0 π 2 4 0 2 − 2 ∫ x. sin xdx (1) 0 π 2 Ta ñi tính tích phân ∫ x. sin xdx 0 u = x ⇒ du = dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x ðặt :  π π π 2 π 2 π ∫ x. sin xdx = − x. cos x 02 + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1 Vậy : 0 0 1 Thế vào (1) ta ñược : I1 = ∫ x.e x dx = π2 −8 4 0 1  u = ln x ⇒ du = dx c) ðặt :  x dv = dx ⇒ v = x e e Vậy : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1 e 1 e e 1 Tính các tích phân sau : π π a) I1 = ∫ e . sin xdx x 0 4 x b) I 2 = ∫ 2 dx cos x 0 eπ c) I 3 = ∫ cos(ln x )dx 1 Bài làm : u = e x ⇒ du = e x dx dv = sin xdx ⇒ v = − cos x a) ðặt :  π π π Vậy : I1 = ∫ e x . sin xdx = − e x . cos x 0 + ∫ e x . cos xdx = eπ + 1 + J (1) 0 0 [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 12 u = e x ⇒ du = e x dx ðặt :  dv = cos xdx ⇒ v = sin x π π π Vậy : J = ∫ e x . cos xdx = e x . sin x 0 − ∫ e x . sin xdx = − I 0 0 Thế vào (1) ta ñược : 2 I1 = eπ + 1 ⇒ I1 = eπ + 1 2 u = x ⇒ du = dx b) ðặt :  1 dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x π π 4 π π π 2 x 4 = 4 − tan xdx = ( ) . tan ln cos dx = x x + x + ln 2 ∫ 0 0 cos x 4 4 2 0 0 4 Vậy : I 2 = ∫ π 1  u = cos(ln x ) ⇒ du = − sin (ln x )dx c) ðặt :  x dv = dx ⇒ v = x eπ eπ Vậy : I 3 = ∫ cos(ln x )dx = x. cos(ln x ) 1 + ∫ sin (ln x )dx = −(eπ + 1) + J eπ 1 1 1  u = sin (ln x ) ⇒ du = cos(ln x )dx ðặt :  x dv = dx ⇒ v = x eπ eπ eπ Vậy : I 3 = ∫ sin (ln x )dx = x. sin (ln x ) 1 − ∫ cos(ln x )dx = 0 − I 3 1 1 Thế vào (1) ta ñược : 2 I 3 = −(eπ + 1) ⇒ I 3 = − eπ + 1 2 Bạn ñọc tự làm : ln 2 a) I1 = ∫ x.e − x dx 0 2 1 1  − dx 2 ln ln x x   e c) I 3 = ∫  e b) I 2 = ∫ (1 − ln x )2 dx 1 ( 1 ) d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x 2 dx 0 π 3 e) I 5 = ∫ sin x. ln(tan x )dx π e f) I 6 = ∫ cos 2 (ln x )dx 1 4 π 4 g) I ∗ 7 = ∫ x 2 cos 2 x 0 π 1 + sin x x e dx 1 + cos x 0 2 h) I ∗ 7 = ∫ Tích phân hàm trị tuyệt ñối, min , max : [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 13 b Muốn tính I = ∫ f (x ) dx ta ñi xét dấu f (x ) trên ñoạn [a, b] , khử trị tuyệt ñối a b Muốn tính I = ∫ max[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét dấu f (x ) − g (x ) trên ñoạn [a, b] a b Muốn tính I = ∫ min[ f (x ), g (x )]dx ta ñi xét dấu f (x ) − g (x ) trên ñoạn [a, b] a Tính các tích phân sau : 2 4 b) I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx a) I1 = ∫ x − 2 dx 1 Bài làm : x 1 a) x-2 0 2 - 4 0 + 2 4   x2   x2 Vậy : I1 = ∫ x − 2 dx = ∫ (2 − x )dx + ∫ (x + 2 )dx = 2 x −  +  − 2 x  2 1  2 2  1 1 2  1  5  = (4 − 2 ) −  2 −  + [(8 − 8) − (2 − 4 )] = 2  2   4 4 2 b) Lập bảng xét dấu x 2 + 2 x − 3 , x ∈ [0,2] tương tự ta ñược 2 1 0 0 ( 2 ) ( ) I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = − ∫ x 2 + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx 1 . 1 2  x3   x3  I1 = 3 x − x 2 −  +  − 3 x + x 2 +  = 4 3 0  3 1  1 Tính I a = ∫ x x − a dx với a là tham số : 0 Bài làm : x x-a −∞ - a 0 +∞ + (Từ bảng xét dấu trên ta có thể ñánh giá ). Nếu a ≤ 0 . [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 14 1 1 I a = ∫ x x − a dx = ∫ 0 0 1  x 3 ax 2  1 a x − ax dx =  − = −  2 0 3 2 3 ( ) 2 Nếu 0 < a < 1 . 1 a ( 1 ) ( ) I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx + ∫ x 2 − ax dx 0 2 0 a 1 a  ax 2 x 3   ax 2 x 3  1 a 2 a3 + +  = − = −  + − 3 0  2 3 a 3 2 2  2 Nếu a ≥ 1 . 1  x 3 ax 2  1 a I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  − =− +  2 0 3 2 3 0 0 1 1 ( ) 2 2 3 Tính : a) I1 = ∫ min (1, x )dx ( ) I 2 = ∫ max x 2 , x dx 2 0 0 Bài làm : a) Xét hiệu số : (1 − x 2 ) ∀x ∈ [0,2] 2 ( 1 ) 2 2 4 x3 2 Vậy : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx = + x1 = 3 0 3 0 0 1 2 2 b) Xét hiệu số : x(x − 1) ∀x ∈ [0,3] tương tự như trên ta có . 3 ( 1 ) 1 3 3 x2 x3 55 I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx = + = 2 0 3 1 6 0 0 1 2 2 Bạn ñọc tự làm : π 3 2 −2 0 3π 4 a) I1 = ∫ min (x, x 2 − 3)dx b) I 2 = ∫ max(sin x, cos x )dx c) I 3 = ∫ sin x − cos x dx 0 3 5 −2 1 d) I 4 = ∫ max (x 2 ,4 x − 3)dx d) I ∗ 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx   Nguyên hàm , tích phân của hàm số vô tỷ : Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp ñơn giản của tích phân Abel ( ) Dạng 1: ∫ R x, ax 2 + bx + c dx ở ñây ta ñang xét dạng hữu tỷ. 2 a > 0 − ∆   2ax + b   2 → ax + bx + c =   1 +   4a   − ∆   ∆ < 0 ∫ R(x, ) ∫ S (t, ax 2 + bx + c dx = t= ) 1 + t 2 dt Tới ñây , ñặt t = tan u . 2 ax +b −∆ [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 15 2 a < 0 − ∆   2ax + b   2 → ax + bx + c = Dạng 2:    1 −  4a   − ∆   ∆ < 0 ∫ R (x, ) ∫ S (t , ax 2 + bx + c dx = t= ) 1 − t 2 dt Tới ñây , ñặt t = sin u . 2 ax + b −∆ 2  a > 0 ∆  2ax + b  2 → ax + bx + c = Dạng 3:   − 1  4a  − ∆  ∆ > 0  ∫ R (x, ) ∫ S (t , ax 2 + bx + c dx = t= 2 ax + b dx Một số cách ñặt thường gặp : 2 2 ñặt x = a. cos t ∫ S x, a − x dx ( ∫ S (x, ∫ S (x, ∫ S (x,  ∫ S  x,  a2 x2 ) + x )dx − a )dx ñặt x = a. tan t 2 ñặt x = 2 ) ax + b   cx + d  a cos t ax + bx + c 2 ∫ = t= 1 dt αt + µt + ζ 2 αx + β 0≤t ≤π − t≠ π 2 π 2 0  ñặt  ax 2 + bx + c = t (x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0   ax 2 + bx + c = ± a .x ± t ; a>0  ax 2 + bx + c dx m 1 . sin u ∆ ∫ (αx + β ) Dạng 4 (dạng ñặc biệt) : ) t 2 − 1 dt Tới ñây, ñặt t = ñặt t = m ax + b cx + d ; ad − cb ≠ 0 dx Tính : I = ∫ (x 2 + 4x + 7 ) 3 Bài làm : ∫ dx (x 2 + 4x + 7 ) 3 = dt ∫ t = x+ 2 (t 2 ) +3 3 ðặt : t = 3 tan u ⇒ dt = 3 (tan 2 u + 1)du Ta có I = ∫ ( ) 3 tan 2 u + 1 du ( ) 3 = 1 3 ∫ cos udu 3 tan u 3 3. tan u + 1 1 1 t 1 x+2 = sin u + C = +C = +C 3 3 t2 +1 3 x2 + 4x + 7 3 tan u 2 [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 16 Tính : a) I = ∫ xdx b) I = ∫ x2 + x + 1 dx x x2 − 2x − 1 Bài làm : xdx a) ∫ I= x + x +1 2 1 2 =∫ 3t − 1 ∫ t2 +1 2 x +1 t= 3 xdx = 2 1 3  x +  + 2 4  dt = 1 2 3t − 1 ∫ 2 x +1 t= 3 t2 +1 ( dt ) 3 2 1 t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C 2 2 1 1   + ln x + + x 2 + x + 1  + C 2 2   1 dt b)ðặt : x = ⇒ dx = − 2 t t dx dt t +1 I =∫ =−∫ = − arcsin +C 2 2 x x 2 − 2x −1 1 ( ) t − + 2 1 x= = x2 + x + 1 − t 1 +1 x +1 = − arcsin x + C = − arcsin +C 2 2 Tìm các nguyên hàm sau dx 1+ x + 3 1+ x a) I = ∫ b) I = ∫ dx x +1+ x +1 Bài làm : a)ðặt : t = 6 1 + x ⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx Vậy : I = ∫ dx t 5 dt 1   dt  = = 6 ∫ t 2 − t +1− 6 3 2 ∫ 3 t +1  t +t 1+ x + 1+ x t = 6 1+ x t = 6 1+ x  = 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C = 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C b) I = ∫ = Xét ∫ 1 1+ x − x +1 1  −2  dx 1 x +1  dx = ∫  x + 1dx − ∫ dx =∫ 2  2 x 2 x x +1+ x +1  x +1 1 1 x+ x − ∫ dx x 2 2 x +1 dx x ðặt : t = x +1 x (1) ⇒ x= 1 2t ⇒ dx = − dt 2 t −1 t 2 −1 2 ( ) [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 17 Vậy : x +1 dx = −2 x ∫ t= t 2 dt ∫ (t − 1)2 = OK x +1 x Tìm các nguyên hàm sau : a) I = ∫ x 2 . x 2 + 9dx b) I = 16 ∫ x 2 . x 2 + 4dx Bài làm : x2 + 9 = x − t a)ðặt : ⇒  t2 + 9   − t2 − 9  . . I1 = ∫  2    2t   2t =− Vậy : ( ) ( ) 1  3 162 6561  1  t4 6561   − 162 ln t − 4  + C = − t dt − +   5 ∫ 16  16  4 4t  t t  ( 1  x − x2 + 9 =−  16  4  x2 + 4 = x − t b)ðặt : t2 − 9 t2 + 9 dt ⇒ dx = 2t 2t 2 2 2 1 t 4 − 81 t2 − 9 dt = − ∫ dt 4t 2 16 t5 x= ) − 162 ln x − 4 ⇒ x= ( x2 + 9 − t2 − 4 2t t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4 . . I = 16 ∫  2  2  2t   2t  4t )  +C 4  2 4 x− x +9  ⇒ dx = 2 dt = − ∫ (t 4 6561 ( ) t2 + 4 dt 2t 2 ) 2 − 16 dt t5 t4 36 256  64   = −∫  t 3 − + 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C t t  t   4 (  x − x2 + 4 = −  4  ) 4 + 36 ln x − x 2 + 4 −  +C 4  2 x− x +4  ( 64 ) Tính các tích phân sau : −8 1 dx dx x 1 − x −3 a) I1 = ∫ x − x 2 dx b) I 2 = ∫ 1 2 Bài làm : 1 I1 = ∫ 1 2 1 1 2 x − x dx = ∫ 1 − (2 x − 1) dx 21 2 2 [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 18 1 2 ðặt : 2 x − 1 = sin t ⇒ dx = cos tdt 1   x = 2 → t = 0 ðổi cận :  x = 1 → t = π  2 π π π 2 1 12 1 1 2 Vậy : I1 = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = 1 + sin 2t  40 80 8 2 0 2  π 1  π  =  − 0  − (0 + 0 ) = 8  2   16 b) ðặt : t = 1 − x ⇒ − 2tdt = dx  x = −3 → t = 2  x = −8 → t = 3 ðổi cận :  −8 3 3 dx tdt dt Vậy : I 2 = ∫ dx = 2 ∫ = 2∫ 2 1− t t 1− t 2 −3 x 1 − x 2 2 ( ) 3 t −1   1 = − ln = − ln − ln 1 = ln 2 t +1 2   2 Bạn ñọc tự làm : a) I1 = ∫ dx x x2 + 1 d) I 4 = ∫ 1 + x 2 dx b) I 2 = ∫ 4 x − x 2 dx d) I ∗5 = ∫ 1 + x2 − 1 1 − x2 − 1 c) I 3 = ∫ dx d) I ∗6 = dx (x 2 +4 ) 3 1 1 + x2 + 1 dx Bất ñẳng thức tích phân : b Nếu f (x ) ≥ 0 ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ 0 a b b Nếu f (x ) ≥ g (x ) ∀x ∈[a, b] ⇒ ∫ f (x )dx ≥ ∫ g (x )dx a a b Nếu m ≤ f (x ) ≤ ∀x ∈[a, b] ⇒ m(b − a ) ≤ ∫ f (x )dx ≤ M (b − a ) a Trong các trường hợp nầy ta thường dùng khảo sát , Bunhiacopxki, AM-GM Và các bước chặn sinx,cosx BÀI TẬP [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 19 Chứng minh các bất ñẳng thức sau : 1 1 4 a) ∫ x(1 − x )dx ≤ 0 2 5 2 b) ≤ ∫ 1 x 1 dx ≤ 2 x +1 2 c) ∫ ( 1 + x + 1 − x )dx ≤ 2 1 0 Bài làm: a)Áp dụng AM-GM ta có : 1  x + (1 − x )  = ∀x ∈ [0,1] x(1 − x ) ≤   2 4   1 1 1 1 Vậy : ∫ x(1 − x )dx ≤ ∫ dx = (ñpcm) 40 4 0 2 b) Xét hàm số : f (x ) = x ∀x ∈ [1,2] x +1 2 ðạo hàm : f ′( x ) = 1 − x2 (x 2 ) +1 2 x = 1 f ′( x ) = 0 ⇔   x = −1 1   f (1) = 2 Ta có :   f (2 ) = 2  5 2 1 x ≤ 2 ≤ ∀x ∈ [1,2] 5 x +1 2 2 2 2 2 1 x Vậy : ⇒ ∫ dx ≤ ∫ 2 dx ≤ ∫ dx 51 21 x +1 1 2 ⇒ 2 1 x ≤∫ 2 dx ≤ 5 1 x +1 2 Áp dụng Bunhicopxki ta có : 1 + x + 1 − x ≤ 12 + 12 1 + x + 1 − x = 2 ∀x ∈ [0,1] ∫( 1 Vậy : ) 1 + x + 1 − x dx ≤ 2(1 − 0 ) 0 ∫( ) 1 1 + x + 1 − x dx ≤ 2 (ñpcm) 0 e − x . sin x π ∫1 x 2 + 1 dx < 12e 3 Chứng minh rằng : [email protected] | http://ebook.here.vn - Thư viện sách trực tuyến Trang 20