Tài liệu Các lớp toán tử mờ có ngưỡng và chương trình fuzzy rules miner_báo cáo thực tập tốt nghiệp

Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn thày giáo Bùi Công Cường đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình tìm kiếm tài liệu cũng như hoàn thành báo cáo của mình. Sự chỉ bảo tận tình của thày trong suốt quá trình từ những ý tưởng ban đầu cho đến khi báo cáo được hoàn thành là trợ giúp lớn nhất đối với em. Sau đó, em xin chân thành cảm ơn các thày, cô giáo đã giảng dạy em, đặc biệt là các thày, cô giáo của khoa Toán Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Những kiến thức thu nhận được từ các thày, cô đã hỗ trợ em rất nhiều trong quá trình hoàn thành báo cáo này. Em cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp Toán Tin-KSTN K45, Đại học Bách Khoa Hà Nội, các anh chị và các bạn thuộc Seminar Lý thuyết mờ và Mạng Nơron, những đóng góp của mọi người đã giúp em có thể hoàn chỉnh được báo cáo. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới cha mẹ, chị gái của em, sự cổ vũ động viên của mọi người là động lực rất lớn giúp em có thể hoàn thành được báo cáo này. Em xin phép được sử dụng cụm từ “chúng tôi” trong báo cáo bao gồm em và mọi nguời. 1 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 MỤC LỤC GIỚI THIỆU.............................................................................................................4 TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG.................................................................................7 2.1 Toán tử mờ.......................................................................................................9 2.1.1. Phủ định...................................................................................................9 2.1.2. T-chuẩn....................................................................................................9 2.1.3. T-đối chuẩn............................................................................................10 2.1.4. Kéo theo.................................................................................................10 2.2 Toán tử mờ có ngưỡng...................................................................................11 2.2.1. t-chuẩn có ngưỡng..................................................................................11 2.2.2. Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng....................................................19 2.2.3. t-đối chuẩn có ngưỡng và bộ ba De Morgan có ngưỡng.........................23 2.2.4. Kéo theo có ngưỡng...............................................................................27 2.2.5. Các toán tử mờ tham số..........................................................................29 2.3 Kết luận..........................................................................................................38 LUẬT KẾT HỢP MỜ.............................................................................................39 3.1 Giới thiệu.......................................................................................................39 3.2 Mô tả bài toán................................................................................................44 3.2.1. Thuộc tính và cơ sở dữ liệu....................................................................44 3.2.2. Từ...........................................................................................................44 3.2.3. Mệnh đề..................................................................................................45 3.2.4. Luật kết hợp...........................................................................................47 3.2.5. t-chuẩn có ngưỡng và độ ủng hộ............................................................49 3.3 Không gian tìm kiếm.....................................................................................50 3.3.1. Tìm mệnh đề..........................................................................................50 3.3.2. Tìm luật..................................................................................................52 3.4 Thuật toán......................................................................................................53 3.4.1. Tìm mệnh đề..........................................................................................53 3.4.2. Tìm luật kết hợp.....................................................................................56 3.5 Vấn đề mờ hoá dữ liệu...................................................................................57 3.5.1. Bài toán phân cụm dữ liệu và phân cụm mờ...........................................58 3.5.2. Thuật toán FCM.....................................................................................60 3.5.3. Phương pháp chia đều............................................................................62 3.6 Kết luận..........................................................................................................63 Phụ lục A. Các toán tử mờ có ngưỡng tham số.......................................................64 Phụ lục B. Chương trình Fuzzy Rules Miner...........................................................77 1. Các Module chương trình................................................................................77 1.1. mdiMain....................................................................................................77 1.2. frmFuzzySetFinder....................................................................................77 1.3. frmDataMiner............................................................................................78 2. Cấu trúc các file dữ liệu...................................................................................79 2.1. .CFF..........................................................................................................79 2 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 2.2. .QDF..........................................................................................................79 2.3. .FDF..........................................................................................................79 2.4. .TF.............................................................................................................79 2.5. .PF.............................................................................................................80 2.6. .RF.............................................................................................................80 3. Cơ sở dữ liệu chạy thử nghiệm........................................................................80 3.1. Mô tả.........................................................................................................80 3.2. Kết quả......................................................................................................80 TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................................82 3 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 1 GIỚI THIỆU Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31]. Sau đó, một số kết quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng, t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem xét trong [9-13]. Cũng giống như toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng có một phạm vi ứng dụng rộng lớn tử trong điều khiển học, trong trí tuệ nhân tạo, đặc biệt là trong các vấn đề về hệ suy diễn và khai phá dữ liệu. Tìm kiếm luật kết hợp là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng trong khai phá dữ liệu [38]. Bài toán tìm luật kết hợp boolean được giới thiệu lần đầu tiên trong [2]. Ví dụ cho luật này có thể là như sau: “90% số người mua bơ và sữa sẽ mua cả bánh mì”. Đã có nhiều thuật toán được đưa ra nhằm giải quyết bài toán này, như Apriori [3], FP-growth [27,23], Eclat [1]… Bài toán luật kết hợp lượng hoá được nêu ra trong [40]. Lấy ví dụ, một luật kết hợp lượng hoá cho cơ sở dữ liệu với ba thuộc tính về có thể là “ và <đã kết hôn:đúng> → ”. Thuật 4 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 toán đưa ra trong [40] phân hoạch miền giá trị của các thuộc tính thành các khoảng và sau đó kết hợp các khoảng rời nhau để cho lời giải của bài toán. Thao tác này thực chất là chuyển bài toán luật kết hợp lượng hoá về bài toán luật kết hợp boolean. Mặc dù phương pháp phân hoạch dữ liệu cũng giải quyết được một số bài toán tìm luật kết hợp trên cơ sở dữ liệu lượng hoá. Tuy nhiên, cũng có một số vấn đề phát sinh như trong [35] đã chỉ ra. Đó là vấn đề mất mát thông tin nếu như có nhiều giá trị tập trung xung quanh các biên của các khoảng. Việc chia các giá trị gần nhau vào các khoảng khác nhau sẽ dẫn tới việc mất thông tin trong các phân tích về sau. Một phương pháp tiếp cận khác là chia miền dữ liệu thành các vùng có chồng lên nhau. Khi đó, các phần tử nằm gần biên có thể thuộc nhiều hơn một khoảng, và sẽ giải quyết được phần nào vấn đề mất mát thông tin tại các lân cận biên. Tuy nhiên, tiếp cận này vẫn có phần bất hợp lý do việc phần tử gần biên cũng sẽ có vai trò quan trọng trong việc mô tả đặc trưng của khoảng giống như các phần tử gần trung tâm. Tất cả những vấn đề trên chủ yếu xuất phát từ việc sử dụng biên rõ ràng để chia khoảng. Từ đó, trong [35] đã đề nghị sử dụng tiếp cận mờ. Tập mờ cung cấp thay đổi uyển chuyển giữa các vùng dữ liệu, và vấn đề xuất phát từ biên rõ sẽ được loại bỏ. Trong [35], các luật kết hợp mờ có dạng, “Nếu X là A thì Y là B”, trong đó “X là A” được gọi là phần tiền tố của luật, “Y là B” được gọi là phần hệ quả của luật. X và Y là các tập thuộc tính của cơ sở dữ liệu, A và B là các tập từ mô tả X và Y tương ứng. Báo cáo này tập trung nghiên cứu sâu về toán tử mờ có ngưỡng, đồng thời xem xét một khía cạnh ứng dụng vào bài toán luật kết hợp mờ. Chương 2 của báo cáo tập trung vào các nghiên cứu sâu về toán tử mờ có ngưỡng, mô tả các khái niệm về lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, cặp hàm sinh của lớp các toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng. Chương 3 của báo cáo mô tả về bài 5 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 toán luật kết hợp mờ, vấn đề mờ hóa dữ liệu đầu vào, đồng thời xem xét ứng dụng tchuẩn có ngưỡng vào việc bài toán luật kết hợp mờ. Phần phụ lục cuối báo cáo cung cấp các lớp toán tử mờ có ngưỡng có tham số, mô tả về chương trình Fuzzy Rules Miner cài đặt thuật toán F-Apriori, cấu trúc các file dữ liệu đầu vào và các kết quả chạy thử nghiệm chương trình. 6 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 2 TOÁN TỬ MỜ CÓ NGƯỠNG Sự ra đời của công nghệ tính toán mờ xuất phát từ các giới thiệu về tập mờ của Zadeh năm 1965 [41]. Hiện nay, có thể nói, công nghệ tính toán mờ là một trong những lĩnh vực nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhất, được đánh dấu bằng sự ra đời của hàng loạt phương pháp và kỹ thuật ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tích hợp các kỹ thuật của lôgíc mờ với các phương pháp phân tích khác ngày càng diễn ra mạnh mẽ. Lôgíc mờ được ứng dụng rộng rãi để giải quyết rất nhiều bài toán của khoa học ứng dụng. Những lĩnh vực có thể kể ra ở đây là vận trù học, hỗ trợ quyết định, điều khiển, nhận dạng mẫu, kinh tế, quản lý, xã hội học, mô hình thống kê, máy học, thiết kế cơ khí, chế tạo, phân lớp, suy luận, thu nhận thông tin, quản lý cơ sở dữ liệu, chẩn đoán y tế, hệ cơ sở tri thức. Đặc biệt, trong lĩnh vực xử lý tri thức, công nghệ tính toán mờ tỏ ra vô cùng hiệu quả. Do tri thức thường con người thường được biểu diễn bằng các thể hiện ngôn ngữ, bằng các câu hỏi, các phát biểu về thế giới đang xét. Vấn đề đối với việc xử lý tri thức là không chỉ ở việc liên kết các tri thức, các phát biểu về thế giới đang xét, mà còn ở việc đánh giá sự đúng đắn của chúng. Lôgíc hình thức cổ điển 7 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 cho phép chúng ta đánh giá một phát biểu về thế giới là hoặc đúng, hoặc sai. Tuy nhiên, trong thực tế, đánh giá một phát biểu chỉ có đúng hoặc sai là rất khó nếu không muốn nói là phi thực tế. Lấy ví dụ: đối với các tri thức dạng “Áp suất cao”, “Thể tích nhỏ”, “Quả táo đỏ”, việc xác định một cách chính xác trị chân lý của chúng là không hay một là rất khó khăn do các từ “cao”, “nhỏ”, hay “đỏ” hoàn toàn có tính chất mờ hồ. Từ đó, Zadeh đã mở rộng lôgíc mệnh đề thành lôgíc mờ, trong đó, mỗi mệnh đề P sẽ được gán cho một trị chân lý υ(P), là một giá trị trong đoạn [0,1], biểu diễn mức độ đúng đắn của mệnh đề đó. Hay Để có thể tiến hành các thao tác lôgíc trên các mệnh đề, chúng ta cần phải có các phép toán lôgíc mờ. Đó chính là các phép toán t-chuẩn tương ứng với phép hội, t-đối chuẩn ứng với phép tuyển, và phép kéo theo mờ. Bên cạnh đó, ngưỡng cũng là khái niệm hết sức tự nhiên trong các bài toán của thế giới thực. Những suy luận có sử dụng ngưỡng là rất hay gặp trong đời sống. Lấy ví dụ, trong công tác chẩn đoán bệnh nhân. Nếu một số thông số đầu vào đạt những giá trị ngưỡng, dạng như nhiệt độ trên 41 oC, nhịp tim trên 150, … hiển nhiên chúng ta phải có những suy luận khác với khi các giá trị này chưa đạt giá trị ngưỡng. Chương này tập trung vào việc nghiên cứu các toán tử mờ có ngưỡng sử dụng làm công cụ cho quá trình trích rút các luật mờ. Mở đầu của các nghiên cứu về toán tử mờ có ngưỡng chính là t-chuẩn có ngưỡng. Khái niệm t-chuẩn có ngưỡng do Dubois, Prade giới thiệu đầu tiên trong [14], sau đó được Iancu xem xét một cách đầy đủ hơn trong [31]. Sau đó, một số kết quả về các lớp toán tử mờ có ngưỡng t-chuẩn, t-đối chuẩn, và kéo theo đã được xem xét trong [9-13]. Chương này sẽ nhắc lại các khái niệm về toán tử mờ, toán tử mờ có ngưỡng, lớp toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng. Đồng thời, chúng tôi sẽ tiến hành xem xét một số tính chất đại số của các lớp này. Phần cuối chương là các xem xét giải tích đối với các lớp toán tử mờ tham số nhằm làm tiền đề cho việc tạo ra các toán tử mờ có ngưỡng tham số. 8 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 Trước hết, chúng ta bắt đầu bằng việc tìm hiểu về các toán tử mờ và một số tính chất đặc trưng của chúng. 2.1 Toán tử mờ Toán tử mờ là những phép toán trên lôgíc mờ, nghĩa là những phép toán trên các giá trị lôgíc của các mệnh đề. Như thế, một cách tổng quát, các phép toán trên đoạn [0,1] đều có thể là toán tử mờ. Trong phần này chúng ta sẽ tìm nhắc lại các định nghĩa và một số tính chất của các phép toán lôgíc cơ bản, đó là phép phủ định, phép hội hay t-norm, phép tuyển hay t-conorm. 2.1.1. Phủ định Định nghĩa 2.1.1[28]. i) Hàm n : [0,1] → [0,1] được gọi là hàm phủ định nếu nó không tăng đồng thời n(0) = 1 và n(1) = 0. ii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định chặt nếu nó giảm chặt. iii) Một hàm phủ định được gọi là phủ định mạnh nếu nó là phủ định chặt, đồng thời n(n(x)) = x với mọi x  [0,1]. Định lý 2.1.1[28]. n là phép phủ định chặt nếu và chỉ nếu tồn tại f thuộc Aut(J) sao cho n(x) = f-1(1-f(x)). Ở đây, ta chú ý η = 1 - x là một hàm phủ định chặt, và biểu diễn của n trong định lý có thể được viết thành n(x) = f -1(η(f(x))). f khi đó được gọi là hàm sinh của n, và n có thể được biểu diễn dạng ηf. 2.1.2. T-chuẩn Định nghĩa 2.1.2[28]. Một hàm T : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-chuẩn (tương ứng với phép hội trong lôgíc mệnh đề), nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm theo từng biến, đồng thời T(x,1) = x với mọi x  [0,1]. i) Một t-chuẩn được gọi là liên tục nếu nó liên tục theo từng biến. 9 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 ii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn Archimedean nếu nó liên tục, đồng thời: T(x,x) < x với mọi x  (0,1). iii) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn chặt nếu nó là Archimedean, đồng thời: không tồn tại x, y  (0,1) sao cho T(x,y) = 0. iv) Một t-chuẩn được gọi là t-chuẩn nilpotent nếu nó là Archimedean, đồng thời: tồn tại x, y  (0,1) sao cho T(x,y) = 0. 2.1.3. T-đối chuẩn Định nghĩa 2.1.3[28]. Một hàm S : [0,1]×[0,1] → [0,1] được gọi là một t-đối chuẩn (tương ứng với phép tuyển) nếu nó có tính giao hoán, kết hợp, đơn điệu không giảm theo từng biến, đồng thời S(0,x) = x với mọi x  [0,1]. Kết quả sau đây cho ta thấy mối tương quan giữa t-chuẩn và t-đối chuẩn. Định lý 2.1.2[28]. S là t-đối chuẩn nếu và chỉ nếu tồn tại t-chuẩn T và phủ định mạnh n sao cho S(x,y) = n(T(n(x),n(y))) với mọi x,y  [0,1]. Cặp (T,S) được gọi là đối ngẫu nhau qua phủ định mạnh n. Bộ ba (T,n,S) được gọi là bộ ba De Morgan. Một t-đối chuẩn được gọi là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent nếu đối ngẫu của nó là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng. 2.1.4. Kéo theo Định nghĩa 2.1.4[19]. Một hàm I: [0,1]×[0,1]→[0,1] là một hàm kéo theo nếu thoả các tính chất sau: i) I(x,y) ≥ I(u,y) nếu x ≤ u ii) I(x,y) ≥ I(x,v) nếu y ≥ v iii) I(0,x) = 1 iv) I(x,1) = 1 10 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 v) I(1,0) = 0 Trong thực tế, người ta thường sử dụng các hàm kéo theo được định nghĩa dựa trên các toán tử khác như t-chuẩn, t-đối chuẩn và hàm phủ định. Ta có các kết quả sau: Mệnh đề 2.1.3[19]. Cho S là t-đối chuẩn, n là hàm phủ định chặt, thế thì I(x,y) = S(nx,y) là một hàm kéo theo. Mệnh đề 2.1.4[19]. Cho T là t-chuẩn, thế thì I(x,y) = supz{T(x,z) ≤ y} là hàm kéo theo. Phần tiếp theo là các khái niệm về toán tử mờ có ngưỡng đồng dạng, đồng thời chúng tôi cũng sẽ nhắc lại một số tính chất của các toán tử mờ sau đó xem xét mở rộng sang t-chuẩn có ngưỡng. 2.2 Toán tử mờ có ngưỡng Toán tử mờ có ngưỡng cũng là các toán tử biểu diễn các phép toán trên các giá trị chân lý của các mệnh đề trong lôgíc mờ. Bênh cạnh đó, mỗi toán tử thuộc loại này sẽ được gắn thêm các giá trị ngưỡng nhằm biểu diễn sự suy diễn theo ngưỡng mà chúng tôi đã nói đến ở phần đầu chương. 2.2.1. t-chuẩn có ngưỡng Trước hết chúng ta sẽ xem xét định nghĩa về t-chuẩn có ngưỡng. Ký hiệu J = [0,1]. Cho t1, t2 là hai t-chuẩn, ký hiệu t1 ≥ t2 nếu và chỉ nếu t1(x,y) ≥ t2(x,y) với mọi x, y  J. Cho α là ngưỡng, nghĩa là α = (αx,αy), với 0 ≤ αx,αy ≤ 1. Cho t1, t2 là các tchuẩn sao cho t1 ≥ t2. Định nghĩa 2.2.1[9]. t-chuẩn có ngưỡng T(x,y,α) được định nghĩa trên J2 như sau: 11 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368  t1 (x, y) : x α x , y α y T(x,y,α) =   t 2 (x, y) : trêng hîp kh¸c Định nghĩa 2.2.2. Lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng là tập các t-chuẩn có ngưỡng được xác định như sau: T   t1(x, :)y x αx ,y αy  =  T(x, y, )α  ,α[0,1]   t2(x, :)y trêng hîp kh¸c  Ta có thể thấy, việc xác định một t-chuẩn có ngưỡng tương ứng với việc xác định hai t-chuẩn t1, t2, và ngưỡng α, việc xác định một lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng tương ứng với việc xác định hai t-chuẩn t1 và t2. Ta cũng gọi T(x,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, nếu t1, t2 là liên tục, Archimedeanm chặt, nilpotent tương ứng. Từ các định nghĩa về t-chuẩn nilpotent và t-chuẩn chặt, và ràng buộc t 1 ≥ t2, ta có thể thấy t-chuẩn có ngưỡng Archimedean có thể chia làm ba loại: i) t-chuẩn có ngưỡng chặt ii) t-chuẩn có ngưỡng nilpotent iii) t-chuẩn có ngưỡng hỗn hợp (t1 là chặt và t2 là nilpotent). Ta có kết quả sau thu được trực tiếp từ định nghĩa. Mệnh đề 2.2.1[9]: Với mọi α  [0,1], với mọi x,y  [0,1], ta luôn có t1(x,y) ≥ T(x,y,α) ≥ t2(x,y). Trong các bài toán cụ thể, nói chung, miền ngưỡng α được đưa ra dựa trên ý kiến của các chuyên gia, chúng phụ thuộc vào thế giới đang được xem xét. Sau đây, chúng tôi sẽ xem xét về các phương pháp để xây dựng các lớp t-chuẩn có 12 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 ngưỡng đồng dạng Archimedean, nói cách khác là việc tạo ra các bộ t 1, t2 thoả t1(x,y) ≥ t2(x,y) với mọi x,y. Trước hết, ta nhắc lại phương pháp sử dụng hàm sinh, trong [28], sau đó, ta sẽ xem xét mở rộng cho t-chuẩn có ngưỡng với cặp hàm sinh. Ký hiệu i) Aut(J) là tập các tự đẳng cấu của J, nghĩa là tập các song ánh J → J, bảo toàn thứ tự. ii) Aut(J,a) là tập các song ánh bảo toàn thứ tự J → [a,1] với a  [0,1). Ký hiệu z1  z2 = max(z1,z2) z1  z2 = min(z1,z2) Định lý 2.2.2[28]. Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại f tăng chặt: [0,1] → [0,1], với f(1) = 1, sao cho: t(x,y) = f-1(f(x)f(y)  f(0)) hàm f được xác định duy nhất sai khác một số mũ dương. Hàm f ở trên được gọi là hàm sinh nhân tính của t-chuẩn Archimedean t. Ta cũng có thể thấy, nếu t là t-chuẩn chặt thì f(0) = a = 0, còn nếu t là t-chuẩn nilpotent, ta có f(0) > 0. Bên cạnh việc biểu diễn các t-chuẩn Archimedean thông qua hàm sinh nhân tính, chúng ta cũng có thể sử dụng hàm sinh cộng tính để xây dựng các tchuẩn này [28]. Định lý 2.2.3 [28] Cho t là t-chuẩn Archimedean nếu và chỉ nếu tồn tại hàm g liên tục, giảm chặt: [0,1] → [0,∞], với g(1) = 0, sao cho: t(x,y) = g-1(g(x)+g(y)  g(0)) hàm g xác định duy nhất sai khác một hằng số nhân dương. 13 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 Hàm g được gọi là hàm sinh cộng tính của t-chuẩn t. Và nếu t là t-chuẩn chặt, ta có g(0) = ∞, nếu t là t-chuẩn nilpotent, ta có g(0) < ∞. Kết quả sau cho ta mối tương quan giữa hàm sinh nhân tính và hàm sinh cộng tính. Mệnh đề 2.2.4 [28]. Cho t là t-chuẩn Archimedean với g là hàm sinh cộng tính, thế thì f(x) = e-g(x) là hàm sinh nhân tính của t. Ký hiệu tf là t-chuẩn sinh bởi hàm sinh nhân tính (cộng tính) f. Ta có thể thấy, lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng được xác định dựa theo hai t-chuẩn thành phần t 1, t2 sao cho t1 ≥ t2. Để mở rộng khái niệm hàm sinh, trước hết, ta xem xét các kết quả về so sánh giữa hai t-chuẩn Archimedean thông qua các hàm sinh của chúng. Định lý 2.2.5 [34]. Cho t1, t2 là hai t-chuẩn Archimedean với g1, g2 là hai hàm sinh cộng tính tương ứng. Khi đó, t1 ≤ t2 khi và chỉ khi h = g1○g2-1 là hàm dưới cộng tính, nghĩa là: g1○g2-1(u+v) ≤ g1○g2-1(u) + g1○g2-1(v) với mọi u, v  [0,g2(0)] sao cho u+v  [0,g2(0)]. Định lý 2.2.6. Cho t1, t2 là hai t-chuẩn Archimedean với f1, f2 là hai hàm sinh nhân tính tương ứng. Khi đó, t1 ≤ t2 khi và chỉ khi h = f2○f1-1 là hàm dưới nhân tính, nghĩa là: f2○f1-1(uv) ≤ f2○f1-1(u)f2○f1-1(v) với mọi u, v  [f1(0),1] sao cho uv  [f1(0),1]. Chứng minh: Trước hết, ta xét điều kiện đủ. Ta có, giả sử f2○f1-1(uv) ≤ f2○f1-1(u)f2○f1-1(v) với mọi u, v  [0,f1(0)] sao cho uv  [0,f1(0)]. Đặt x = f1-1(u), y = f1-1(v), khi đó 14 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 x, y  [0,1], f1(x)f1(y)  [f1(0),1] và u = f1(x), v = f1(y) Từ giả thiết, ta có: f2(0) ≤ f2○f1-1(f1(x)f1(y)) ≤ f2(x)f2(y) tức là: f1-1(f1(x)f1(y)) ≤ f2-1(f2(x)f2(y)) Nghĩa là với mọi x, y  [0,f1(0)] sao cho f1(x)f1(y)  [f1(0),1] ta có: t1(x,y) = f1-1(f1(x)f1(y)   f1(0))  f2-1(f2(x)f2(y) 0) = t2(x,y) Hơn nữa, hiển nhiên, với f1(x)f1(y) ≤ f1(0), thì: t1(x,y) = f1-1(f1(x)f1(y)  f1(0)) = 0 ≤ t2(x,y) Chứng minh điều kiện cần tương tự như điều kiện đủ, xét với x, y  [0,1] sao cho f1(x)f1(y)  [f1(0),1] □. Bổ đề 2.2.7. Cho f1, f2 là hai hàm tăng chặt [0,1] → [0,1] với f 1(1) = f2(1) = 1 sao cho f2○f1-1(uv) ≤ (f2○f1-1(u)f2○f1-1(v)) với mọi u, v  [f1(0),1] sao cho uv  [f1(0),1]. Cho g1, g2 là hai hàm sao cho f1 = g 1r1 , f2 = g r22 với r1, r2 > 0 nào đó, thế thì g2○g1-1(uv)) ≤ g2○g1-1(u)g2○g1-1(v) với mọi u,v  [g1(0),1] sao cho uv  [g1(0),1]. Chứng minh: Trước hết, ta có nếu f1(x) = g 1r1 (x) thì f1-1( x r1 )= g1-1(x), tương tự cho f2 và g2. Ta lại có, với u, v [f1(0),1] và  uv  r1  [g1(0),1] sao cho uv  [g1(0),1] thì u r1 , v r1  [f1(0),1] Xét u, v  [g1(0),1] sao cho uv  [g1(0),1], ta có: 15  Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 1   1  1 g2○g1-1(uv) = f r2 f  1  uv  r1 ≤ f r2 (f  1 (u r1 ))f r2 (f  1 ( v r1 )) = g2○g1-1(u)g2○g1-1(v) □. 2 1 2 1 2 1 Chứng minh tương tự, ta cũng có kết quả sau. Bổ đề 2.2.8. Cho g1, g2 là hai hàm giảm chặt [0,1] → [0,∞] với g1(1) = g2(1) = 0, sao cho g1○g2-1(u+v) ≤ g1○g2-1(u) + g1○g2-1(v) với mọi u, v  [0,g2(0)] sao cho uv  [0,g2(0)]. Cho f1, f2 là hai hàm sao cho g1 = r1f1, g2 = r2f2, với r1, r2 > 0 nào đó, thế thì f1○f2-1(u+v) ≤ f1○f2-1(u) + f1○f2-1(v) với mọi u, v  [0,f2(0)] sao cho uv  [0,f2(0)]. Ký hiệu Aut(J,a1,a2) = {(f1,f2) | f1  Aut(J,a1), f2  Aut(J,a2), h = f1○f2-1 là hàm dưới nhân tính} Aut2(J) = Aut(J,0,0). Xét R+ là tập các số thực dương, ta đồng nhất ký hiệu R + là tập các hàm dạng x → xr, với r > 0 nào đó. Từ định lý 2.2.2, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6 và bổ đề 2.2.7, 2.2.8 ta có các kết quả sau: Hệ quả 2.2.9. i) Cho T (x,y) là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean với các t-chuẩn thành phần là t1, t2 nếu và chỉ nếu tồn tại a1, a2 thuộc [0,1), và (f1,f2) thuộc Aut(J,a1,a2) sao cho t1(x,y) = f1-1(f1(x)f1(y)  a1) và t2(x,y) = f2-1(f2(x)f2(y) đồng thời h = f1○f2-1 là hàm dưới nhân tính. 16  a2) Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 ii) Cặp (g1,g2) khác thoả điều kiện này nếu và chỉ nếu f 1 = g 1r1 và f2 = g r22 với r1, r2 > 0 nào đó. Hệ quả 2.2.10. i) Cho T (x,y) là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean với các t-chuẩn thành phần là t1 và t2 nếu và chỉ nếu tồn tại g1, g2 là các hàm giảm chặt : [0,1] → [0,∞] sao cho t1(x,y) = g1-1(g1(x)+g1(y)  g1(0)) và t2(x,y) = g2-1(g2(x)+g2(y)  g2(0)) đồng thời h = g2○g1-1 là hàm dưới cộng tính ii) Cặp (f1,f2) khác thoả điều kiện này nếu và chỉ nếu g1 = r1f1, g2 = r2f2 với r1, r2 > 0 nào đó. Từ đó, ta có định nghĩa về các cặp hàm sinh cho lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean như sau. Định nghĩa 2.2.3. Cặp hàm (f1,f2) là các hàm tăng chặt từ [0,1] → [0,1] sao cho f 1○f21 là hàm dưới nhân tính có thể biểu diễn một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean T nào đó và được gọi là cặp hàm sinh nhân tính của T . Định nghĩa 2.2.4. Cặp hàm (g1,g2) là các hàm giảm chặt từ [0,1] → [0,∞] sao cho g2○g1-1 là hàm dưới cộng tính có thể biểu diễn một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean T nào đó và được gọi là cặp hàm sinh cộng tính của T . Các kết quả về các cặp hàm sinh ở đây, sẽ được sử dụng trong việc xây dựng các lớp toán tử mờ có ngưỡng tham số trong phần cuối của tài liệu này. Ký hiệu G2 là tập tất cả các cặp hàm sinh nhân tính. Cho r  R+, ký hiệu r(x) = xr. Trong G2 xét phép hợp thành (f1,f2)○(g1,g2) = (f1○g1,f2○g2). Xét quan hệ tương đương ~ giữa các cặp hàm sinh nếu chúng tạo ra cùng một lớp t-chuẩn có 17 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 ngưỡng đồng dạng. Khi đó, theo hệ quả 2.2.9, ta có ~ phân hoạch G2 thành các lớp dạng (R+)2(f1,f2). Từ nhận xét trên, ta có các kết quả sau: Hệ quả 2.2.11. Ký hiệu T f1 ,f 2 là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean sinh bởi cặp hàm sinh nhân tính (f 1,f2), khi đó ánh xạ T f1 ,f 2 → (R+)2(f1,f2) là tương ứng một-một giữa tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean và phân hoạch {(R+)2(f1,f2) : (f1,f2)  G2} của G2. Hệ quả 2.2.12. Ánh xạ T f1 ,f 2 → (R+)2(f1,f2) là tương ứng một-một giữa tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt với phân hoạch {(R+)2(f1,f2) : (f1,f2)  G2} của G2. Các kết quả trên cho ta thấy tương ứng giữa các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng với các lớp cặp hàm sinh nhân tính. Sau đây là các kết quả cho ta tương ứng giữa các cặp hàm sinh với các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng. Trước hết, ta xét bổ đề sau: Bổ đề 2.2.13. Cho (a1,a2)  (0,1)2. Khi đó, một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng sẽ có duy nhất một cặp hàm sinh nhân tính (f1,f2) sao cho f1(a1) = a1 và f2(a2) = a2. Chứng minh: Cho (f1,f2)  G2 là cặp hàm sinh nhân tính của t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean T f1 ,f 2 . Ta có bổ đề tương đương với có duy nhất một phần tử (r1,r2)(f1,f2) trong (R+)2(f1,f2) sao cho f1r1 (a1) = a1 và f 2r2 (a2) = a2. Giả sử f1(a1) = b1, khi đó, tồn tại duy nhất r1 > 0 sao cho b1r1 = a1, tương tự với f2, từ đó, ta có đpcm □. Từ bổ đề trên, ta có các kết quả sau: Mệnh đề 2.2.14. Cho a1,a2  (0,1), ký hiệu G a1 ,a 2 = {(g1,g2)  G2 : g1(a1) = a1 và g2(a2) = a2}. Khi đó, ánh xạ (g1,g2) → T g1 ,g 2 là tương ứng một một giữa G a1 ,a 2 và tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng Archimedean. 18 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 Hệ quả 2.2.15. Ký hiệu Aut a1 ,a 2 (J) = Aut(J)  G a1 ,a 2 . Khi đó, ánh xạ (g1,g2) → T g1 ,g 2 là tương ứng một một giữa Aut a1 ,a 2 (J) và tập các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng chặt. Sau đây, ta sẽ xét biểu diễn của các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent. Giả sử T f1 ,f 2 là một lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent với cặp hàm sinh nhân tính (f1,f2). Nghĩa là f1, f2 là các song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào [b1,1] và [b2,1] tương ứng, với b1, b2  (0,1). Khi đó, với a1,a2 thuộc (0,1) cho trước, tồn tại duy nhất cặp (r1,r2) thuộc (R+)2 sao cho b1r1 = a1 và b r22 = a2. Nghĩa là tồn tại duy nhất cặp (g1,g2) thuộc G2, với g1, g2 là các song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào [a1,1] và [a2,1] tương ứng. Từ đó, ta có kết quả sau: Hệ quả 2.2.16. Cho (a1,a2) thuộc (0,1)2. Khi đó (g1,g2) → T g1 ,g 2 là tương ứng mộtmột giữa các cặp song ánh bảo toàn thứ tự từ [0,1] vào [a1,1] và [a2,1] tương ứng với các lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng nilpotent. 2.2.2. Đẳng cấu giữa các t-chuẩn có ngưỡng Trước hết, ta xem xét một kết quả trong [28] và một số hệ quả. Định lý 2.2.17[28]. Cho t là t-chuẩn, f thuộc Aut(J), khi đó t f(x,y) = f-1(t(f(x),f(y)) cũng là t-chuẩn. Hơn nữa, nếu t là t-chuẩn liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent thì tf cũng là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent tương ứng. Hai t-chuẩn t và tf được gọi là đẳng cấu thông qua hàm f, và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng. Hệ quả 2.2.18. Cho T(x,y,α) là t-chuẩn có ngưỡng, khi đó  f  1 (t1 (f (x), f ( y)) : f (x ) α x , f ( y) α y (T(f(x),f(y),α) =   f  1 (t 2 (f (x ), f ( y)) Tf(x,y,α’) := f-1 19 Website: http://www.docs.vn Email : [email protected] Tel (: 0918.775.368 là t-chuẩn có ngưỡng α’ := f-1(α) = (f-1(αx),f-1(αy)). Hơn nữa, nếu T là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp, thì T f cũng là t-chuẩn có ngưỡng liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng. Chứng minh: Từ định lý 2.2.17, ta có t1’(x,y) = f-1(t1(f(x),f(y))) và t2’(x,y) = f-1(t2(f(x),f(y))) là các t-chuẩn. Mặt khác, do f là song ánh tăng, nên f -1 là song ánh tăng. Mặt khác, ta có t1(x,y) ≥ t2(x,y)  t1’(x,y) = f-1(t1(f(x),f(y))) ≥ f-1(t2(f(x),f(y))) = t2’(x,y), vậy Tf(x,y,α’) là t-chuẩn có ngưỡng. Các tính chất của T(x,y,α’) tương ứng với các tính chất của t 1’, t2’, tương ứng với các tính chất của t1, t2, tương ứng với các tính chất của T(x,y,α) □. Hai t-chuẩn có ngưỡng T và Tf được gọi là đẳng cấu với nhau thông qua hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng. Hệ quả 2.2.19. Cho T = {T(x,y,α)} là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng và = {Tf(x,y,α’) : α’ = f-1(α), α Hơn nữa, nếu T T f  [0,1)} cũng là lớp các t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng. là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp thì T f cũng là liên tục, Archimedean, chặt, nilpotent, hỗn hợp tương ứng. Chứng minh: Ta có, theo hệ quả 2.2.18, các hàm T f(x,y,α’) là các t-chuẩn có ngưỡng, hơn nữa, từ f là đẳng cấu trên J, ta có khi α x và αy biến thiên từ 0 tới 1 thì f 1 (αx) và f-1(αy) cũng biến thiên từ 0 tới 1. Từ đó ta có ngưỡng đồng dạng. Các tính chất của T f T f cũng là lớp t-chuẩn có tương ứng với các tính chất của T theo hệ quả 2.2.18 □. Hai lớp t-chuẩn có ngưỡng đồng dạng T và T f được gọi là đẳng cấu với nhau thông qua hàm f và f được gọi là đẳng cấu giữa chúng. Bây giờ chúng ta sẽ xét một vài tính chất về các đẳng cấu giữa các t-chuẩn. 20