Các ký hiệu Legendre, Jacobi và một vài cách chứng minh của luật thuận nghịch bậc hai

  • Số trang: 61 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 51 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************** HOÀNG THỊ HẢI YẾN CÁC KÝ HIỆU LEGENDRE, JACOBI VÀ MỘT VÀI CÁCH CHỨNG MINH CỦA LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số HÀ NỘI - 2015 TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ************** HOÀNG THỊ HẢI YẾN CÁC KÝ HIỆU LEGENDRE, JACOBI VÀ MỘT VÀI CÁCH CHỨNG MINH CỦA LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Được sự phân công của khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 và sự đồng ý của thầy giáo hướng dẫn ThS. Đỗ Văn Kiên tôi đã thực hiện đề tài “Kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và một vài cách chứng minh của luật thuận nghịch bậc hai”. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn giảng dạy trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và rèn luyện ở trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn ThS. Đỗ Văn Kiên đã tận tình, chu đáo hướng dẫn tôi thực hiện khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất. Song, do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Hoàng Thị Hải Yến LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp là nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi nghiên cứu và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn ThS. Đỗ Văn Kiên, trên cơ sở một số tài liệu tham khảo. Tôi xin cam đoan kết quả của mình không trùng với bất cứ kết quả của tác giả nào khác. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Hoàng Thị Hải Yến MỤC LỤC MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 1. Lí do chọn đề tài ................................................................................ 1 2. Mục đích nghiên cứu ......................................................................... 1 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu..................................................... 1 4. Phương pháp nghiên cứu................................................................... 1 CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ ............................................... 2 1.1. Đồng dư thức .............................................................................. 2 1.2. Các tính chất của quan hệ đồng dư ................................................ 5 1.3. Phương trình đồng dư một ẩn bậc cao ........................................... 9 CHƢƠNG 2: LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI ........................... 18 2.1. Thặng dư bậc hai .......................................................................... 18 2.2. Kí hiệu Legendre và kí hiệu Jacobi.............................................. 21 2.3. Luật thuận nghịch bậc hai ............................................................ 30 2.4. Một số cách chứng minh luật thuận nghịch bậc hai..................... 36 CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TẬPVẬN DỤNG LUẬT THUẬN NGHỊCH BẬC HAI .............................................................................. 51 3.1. Sử dụng luật thuận nghịch tính kí hiệu Legendre ....................... 51 3.2. Sử dụng luật thuận nghịch bậc hai giải bài toán đồng dư ............ 53 KẾT LUẬN ............................................................................................ 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 56 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Có thể nói kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi, luật thuận nghịch bậc hai là những mảng kiến thức hay và khó liên quan đến kiến thức đồng dư, đồng thời có những ứng dụng trong số học.Ở nước ta theo tôi biết, đến năm 2008 mới có một tài liệuTiếng Việt chính thức đề cập đến kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi, luật thuận nghịch bậc hai. Và tôi cũng là một người đam mê tới ba mảng kiến thức này. Vì những lý do trên tôi chọn đề tài “Kí hiệu Jacobi, kí hiệu Legendre và một vài cách chứng minh luật thuận nghịch bậc hai”. 2. Mục đích nghiên cứu Khóa luận gồm ba chương: chương 1, chương 2 của khóa luận tôi sẽ trình bày về lý thuyết đồng dư, kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và một số cách chứng minh luật thuận nghịch bậc hai, còn chương 3 tôi đưa ra một số bài tập áp dụng luật thuận nghịch bậc hai. 3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và luật thuận nghịch bậc hai. Phạm vi nghiên cứu là nghiên cứu về kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi dựa trên lý thuyết đồng dư; luật thuận nghịch bậc hai, một vài cách chứng minh luận thuận nghịch bậc hai và bài tập áp dụng. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Trong khóa luận này, tôi thu thập và đọc các tài liệu tìm được từ nhiều nguồn khác nhau để phân tích, nghiên cứu về kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và luật thuận nghịch bậc hai cùng một số cách chứng minh sau đó ghi lại một cách hệ thống theo cách tôi hiểu. 1 CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT ĐỒNG DƢ Trong chương này tôi xin trình bày lại một số kiến thức về đồng dư thức: khái niệm và tính chất của đồng dư thức, phương trình đồng dư một ẩn bậc cao. 1.1. Đồng dƣ thức Định nghĩa 1.1.1. Cho nguyên. Ta nói chia và đồng dư với nhau theo môđun và cho là một số nguyên dương, và là hai số nếu trong phép ta được cùng một số dư, nghĩa là có các số nguyên với sao cho à đồng dư với nhau theo môđun Khi và Nếu không đồng dư với ( , ta viết theo môđun ) thì ta viết ( ) Định lý 1.1.2. Các kết quả sau là tương đương i. ( ) ii. chia hết cho (kí hiệu là ( iii. Tồn tại số nguyên sao cho )) . Chứng minh. i.  ii. Ta có ( với ) ( Suy ra nên ii.  iii. Giả sử ( ( ). Do ). ) khi ấy tồn tại số sao cho tức là iii.  i. Giả sử có số trong phép chia cho . Gọi là số dư sao cho , nghĩa là với Khi ấy hay 2 ( , ) , trong đó . Chứng tỏ số dư trong phép chia , ( là , tức là cho cũng  ). Định nghĩa 1.1.3. Các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư môđun được gọi là các lớp thặng dư môđun . Mệnh đề 1.1.4. Số các lớp thặng dư môđun Chứng minh. Mỗi lớp thặng dư môđun số dư 0,1, ..., đúng bằng chứa một và chỉ một trong các thu được khi chia các số nguyên cho lớp thặng dư môđun bằng . . Vậy số các . Kí hiệu lớp thặng dư chứa số nguyên * ̅ là ̅. Như vậy +. Mỗi số của một lớp thặng dư được gọi là một thặng dư. Số ̅ với được gọi là thặng dư không âm bé nhất của lớp ̅. Như vậy *̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) } với mọi số {̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅+  nguyên . Ví dụ 1.1.5. *̅ ̅ ̅+ ̅̅̅̅}. Các thặng dư không âm {̅ ̅ bé nhất của các lớp đồng dư môđun 8 là * + Định nghĩa 1.1.6. Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun ta lấy ra một đại diện thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ môđun . Nếu từ mỗi lớp thặng dư môđun ta lấy ra một đại diện không âm bé nhất thì tập hợp các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất môđun . Nhận xét 1.1.7. Từ định nghĩa của một hệ thặng dư đầy đủ ta suy ra rằng một hệ thặng dư đầy đủ môđun không đồng dư môđun là một hệ gồm . 3 số nguyên, đôi một Nếu * + là một hệ thặng dư đầy đủ môđun * thì + cũng là một hệ thặng dư đầy đủ môđun với mọi . là * Hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất môđun +. Còn hệ thặng dư đầy đủ với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất môđun được xác định như sau { khi } lẻ và 2 3 hoặc 2 khi 3 chẵn. Ví dụ 1.1.8. Hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất môđun 9 là * + Còn hệ thặng dư đầy đủ với giá trị tuyệt đối nhỏ nhất môđun 9 là * + Định lý 1.1.9. Cho nguyên, với là một số nguyên dương và nguyên tố với . Khi đó nếu một hệ thặng dư đầy đủ môđun bộ một hệ thặng dư đầy đủ nào đó môđun ( do ( ) chứng tỏ khi ) lấy giá trị trong toàn bộ cũng lấy giá trị trong toàn thì Chứng minh. Ta có là những số . ( )khi và chỉ khi ( ) ( nên điều đó tương đương với ). Điều này chạy qua các lớp tương đương khác nhau thì cũng chạy qua các lớp tương đương khác nhau. Vậy nếu ( chạy khắp một hệ thặng dư đầy đủ môđun một hệ thặng dư đầy đủ môđun thì ) và cũng chạy khắp  . 4 Nhận xét 1.1.10. Từ chứng minh trên ta suy ra hệ quả: nếu ( ) thì ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ khi và chỉ khi ̅ ̅ môđun . 1.2. Các tính chất của quan hệ đồng dƣ Định lý 1.2.1. Quan hệ đồng dư là một quan hệ tương đương trên tập tức là ( i. Với mọi ) ( ii. Với mọi )khi và chỉ khi ( iii. Với mọi ( suy ra ) ( ( ) ) ) Chứng minh. i. Vì chia hết cho ii. Từ ( ) ta có ( ( ) Khi đó Vậy ( ( ) (( ( ( ) ). ).Do đó ) ( iii. Ta có ( nên ) ) nên ( )) hay ( ( ).  ). Định lý 1.2.2. Cho là một số nguyên dương và số nguyên, nếu ( ) và ( i. ii. ) và ( ( là những ) thì ta có ) ). Chứng minh. i. Từ sao cho ( ), ( . Do đó , ( Vậy ) suy ra tồn tại ( ) 5 ) với . ( ii. Từ ), sao cho ( . Do đó , ( Vậy ) suy ra tồn tại ), chia hết cho . ( hay  ). Hệ quả 1.2.3. ( i. ) khi và chỉ khi ( Thật vậy, ta có ) và ( Vậy ( Vậy ) và )( ( ( )( ) ). ) ( iii. ). ) khi và chỉ khi ( Thật vậy, ta có ( ) ) ( ii. ( ) khi và chỉ khi ( ) với mọi . ( Thật vậy, ), ( Vậy ) ( ( à ( Thật vậy, ta có ) và ) ( Thật vậy, ta có ( ), ( ) v. Suy ra ). ). ( iv. ( ( ). ) vậy ( ) ( ) ) với mọi ( ), ... , vi. Giả sử ( ) là một đa thức với hệ số nguyên và ( ( ) khi ấy ( )( ( ) ). Đặc biệt, nếu ( ) ) ( ) với mọi Thật vậy, giả sử ( ) ( ) suy ra ( ) thì . Từ giả thiết ( 6 ), 1, 2, ..., . Do đó Nghĩa là ( ) ( )( )( ) ( ) Nhưng ( ) ) ( ) với mọi ) ( Đặc biệt, vì ( ( nên ( )( ) ) nên ta có ( ) . Định lý 1.2.4. Cho là một số nguyên dương và là những số nguyên i. Cho là số nguyên,  ( ii. Với ( )và ( ( ). ), , (  ( iii. ), , ) ) . /  ( ( ) hay ) Chứng minh. ( i. Ta có Nhưng ( ) ) nên ta có ii. Từ giả thiết, ( ( ) ( ), ta đặt ). ). , ( . Mặt khác ( ,với ) . Ta có   . ( iii. Từ ra ( ) ( / ( ) mà  ( ) suy  ). Định lý 1.2.5. Cho ) hay là một số nguyên dương và nguyên, ta có 7 là những số ( i. ), = 1, ...,  ( ) với ). BCNN( ( ii. ) ( Ta thấy với hai phần tử ( ) ( ) và của lớp ̅ thì ) ( ( ) ) . Do đó ta có thể định nghĩa Định nghĩa 1.2.6. ( ̅ (̅ ) môđun ) được cho bằng ( ) với một thì lớp ̅ được gọi là một lớp thặng dư nguyên tố với . Ví dụ 1.2.7. Ta có thể tìm số dư trong phép chia ( Thật vậy vì , chia cho . ) nên Ví dụ 1.2.8. Giả sử ( , ̅. Khi √ ) √ nguyên. Khi đó ( √ dư , còn chia cho ). √ . Khi đó , cùng chia hết cho . Thật vậy, ta có √ √ ( √ √ )( √ √ ) Vậy { Từ hay , ( ( ( ) ) ) suy ra điều cần chứng minh. , Định nghĩa 1.2.9. Nếu từ mỗi lớp thặng dư nguyên tố với môđun ta lấy ra một đại diện thì tập các đại diện đó được gọi là một hệ thặng dư thu gọn môđun . Nhận xét 1.2.10. Thông thường, ta chọn hệ thặng dư thu gọn môđun từ một hệ thặng dư đầy đủ không âm bé nhất * rằng số các số trong tập * + nguyên tố với số các phần tử của một hệ thu gọn môđun 8 là ( ). +. Vì là ( )nên là * Ví dụ 1.2.11. Hệ thặng dư thu gọn môđun ( ) + và . Định lý 1.2.12. Cho một số nguyên dương . Khi đó nếu nguyên tố với dư thu gọn môđun Chứng minh. Vì ( hết cho . ) và ( lấy giá trị trong toàn bộ một hệ thặng cũng lấy giá trị trong toàn bộ hệ thặng dư thì thu gọn nào đó môđun nên ) chia hết cho khi và chỉ khi ( khắp một hệ thặng dư thu gọn môđun thặng dư thu gọn môđun Định lý 1.2.13. Nếu môđun và một số nguyên và khi và chỉ khi ) . Nên nếu chạy cũng chạy khắp một hệ thì  , từ đó suy ra điều phải chứng minh. là các số nguyên dương thì mỗi lớp thặng dư là hợp của đúng lớp thặng dư môđun . là một lớp thặng dư môđun Chứng minh. Giả sử chia Ta kiểm tra rằng các lớp thặng dư môđun ̅ với . ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ với sau đây: đều là tập con của . Điều này chứng tỏ ⋃ . Ngược lại, lấy . Khi đó có với . Ta có ⋃ . Mặt khác để hợp của đúng , và . Do vậy thì , tức giao của lớp thặng dư ⋃ . Vậy ( Điều này chứng tỏ . Biểu diễn ). và bằng rỗng. Vậy là  môđun 1.3. Phƣơng trình đồng dƣ một ẩn bậc cao Định nghĩa 1.3.1. Cho là số nguyên dương, là các số nguyên. Phương trình đồng dư dạng ( ( ){ ( 9 ) ) Được gọi là phương trình đồng dư bậc . ( ) Định nghĩa 1.3.2. Cho phương trình đồng dư ( ). Số được gọi là một nghiệm đúng của phương trình nếu ( ) ( ). Định nghĩa 1.3.3. Nếu phương trình ( ) ( có nghiệm đúng thì nó cũng nhận tất cả các ( thuộc lớp ( nghiệm. Khi đó ta nói lớp là ), ) ) là nghiệm của phương trình. ( Chứng minh. Ta có ( ) ( ) ( ) ). Vì ( ) ( ) ( ( ) ) nên ( ). Chú ý rằng trong phương trình ( ) ta có thể đưa tất cả các hệ số về các số không âm, nhỏ hơn . Do chỉ có lớp thặng dư nên số nghiệm của phương trình ( ) là số các phần tử trong một hệ thặng dư đầy đủ theo môđun hay trong hệ * + thỏa mãn là số đủ nhỏ thì ta chỉ cần thử lần lượt các phần tử nó. Chú ý rằng, nếu thuộc * + để tìm nghiệm; còn đối với là số quá lớn thì số phép thử rất nhiều. Chẳng hạn, khi giải phương trình đồng dư ( )( ) ( ), ta chỉ cần thử tất cả đều thỏa mãn phương trình. Vậy mọi đều là nghiệm đúng. là một số nguyên. Xét phương trình đồng dư Cho ( ) ( ) với Tất cả ( ), ( )  . Việc tìm tất cả các giá trị ̅ thỏa mãn ( ) được gọi là giải phương trình đồng dư. 10 Định lý 1.3.4. Giả sử có phân tích chính tắc thành các thừa số nguyên tố. Khi đó ( ) tương đương với hệ phương trình đồng dư sau ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ( ( ) ) là một nghiệm của ( ). Khi đó ( ) ( ( ) Chứng minh. Giả sử nên ta cũng có Vì m là bội của các Như vậy ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) ) là một nghiệm của ( ). ( ( Ngược lại, giả sử ) là một nghiệm của ( ). Khi đó ( ) ( Do ( ) chia hết cho các ) là nguyên tố sánh đôi nên và các ( ) chia hết cho tích là ( ) có nghiệm hay ( ) ( ( ), tức ). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.  Nhận xét 1.3.5. Như vậy việc giải phương trình ( ) được thay bằng giải hệ ( ). Nếu mỗi phương trình ( ) chẳng hạn ( { ) với mỗi ( ) ta tìm được nghiệm, thì ta sẽ giải hệ sau đây ( ) ( ) để tìm nghiệm của ( ). ( ) 11 Rõ ràng, để giải phương trình ( ) ta cần phải biết giải các phương trình dạng ( ) ( ) với triển Taylor của hàm đa thức bậc ( ) ( ) ( ) ( ) Dễ dàng chỉ ra ( ) nguyên tố. Theo công thức khai tại ( ) ( ) khi ta có ( ) ( ) là một số nguyên. Thay ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Định lý 1.3.6. Cho hai phương trình với ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) nguyên. Khi đó mỗi nghiệm đúng là một số nguyên tố và của ( ) cũng là một nghiệm đúng của ( ). Ngược lại, giả sử ( ) là một nghiệm của ( ) và kí hiệu các lớp môđun i. Nếu của ̅̅̅( là tập hợp tất cả ) khi đó ta có các khẳng định sau ( ) không chia hết cho thì trong sẽ có đúng một lớp là nghiệm của ( ) ii. Nếu lớp của ( ) chia hết cho và ( ) chia hết cho thì tất cả các đều là nghiệm của ( ). iii. Nếu ( ) chia hết cho và ( ) không chia hết cho ) đều không là nghiệm đúng của cả các phần tử của lớp ̅̅̅( ( ), do đó tất cả các lớp thì tất đều không là nghiệm của ( ). 12 Chứng minh. Hiển nhiên mỗi nghiệm của ( ) cũng là nghiệm của ( ). Giả sử ( ) là một nghiệm của ( ). Khi đó thay vào phương trình ( ) ( , ) ta có ( ) ( ) Theo công thức khai triển Taylor cho hàm đa thức ở vế trái, ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ta nhận được Chia hai vế cho ( ) Khi đó nếu ( ) ( ) ( ) không chia hết cho thì ( ) có nghiệm duy nhất ( ) . Do đó Hay . Vì vậy ( ) Là nghiệm duy nhất của ( ) trong . ( ) chia hết cho Nếu và ( ) chia hết cho với mọi . Do đó tất cả các phần tử của ( ) chia hết cho Nếu thì ( ) có nghiệm đều là nghiệm của ( ). và ( ) không chia hết cho ( ) vô nghiệm do đó tất cả các phần tử của lớp ̅̅̅( thì rõ ràng ) đều  không là nghiệm đúng của ( ). Định lý 1.3.7. Cho hai phương trình với ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) nguyên. Khi đó mỗi nghiệm đúng là một số nguyên tố và của ( ) cũng là một nghiệm đúng của ( ). Ngược lại giả sử ( môđun )là một nghiệm của ( ) và kí hiệu của ̅̅̅( là tập tất cả các lớp ). Khi đó ta có các khẳng định sau 13 ( ) không chia hết cho i. Nếu sẽ có đúng một lớp là thì trong nghiệm của ( ) ( ) chia hết cho ii. Nếu và ( ) chia hết cho thì tất cả các lớp của đều là nghiệm của ( ). ( ) chia hết cho iii. Nếu và ( ) không chia hết cho thì tất ) đều không là nghiệm đúng của ( ), do cả các phần tử của lớp̅̅̅̅( đó tất cả các lớp đều không là nghiệm của ( ). Chứng minh. Bằng quy nạp một cách hình thức và định ý 1.3.6.i) ta nhận được i). ( ) chia hết cho Trong trường hợp ( ) phương trình và ( ) chia hết cho ) làm tập ) liên tiếp nhận ̅̅̅( ( nghiệm đúng với thì Do đó ta thu được ii). Bây giờ ta chứng minh iii) theo định lý 1.3.6.iii) nên tất cả các phần ) đều không là nghiệm đúng của phương trình tử của lớp ̅̅̅( ( ) ( ). Do đó tất cả các phần tử của lớp ̅̅̅( ) đều không là nghiệm đúng của ( ). Ta có iii) Suy ra điều phải chứng minh  Ví dụ 1.3.8. Giải phương trình đồng dư ( ) ( ( Giải: Trước tiên xét ( thặng dư đầy đủ ta có phương trình. Ta có ) và ( ) ( Xét nghiệm ) ). Thử trên một hệ ( ) là nghiệm của . ) ta có ( ) không chia hết cho . Đặt ta có ( ) Chia cho Vậy ( ) ta có ( ( ) hay ( ). ). ( và 14 ) . vào phương trình đồng dư Thay ( ) ( và khai triển ta có ( ) ( ) ( Vậy Cuối cùng ta được ). ) hay , ( ( ). Chia hai vế cho ( Xét nghiệm ) ta được ( ). và với . ), hoàn toàn tương tự ta có , . Tóm lại, phương trình đồng dư ( ) ( ( có hai nghiệm ) và ) ( ). Ví dụ 1.3.9. Giải phương trình đồng dư ( ) ( ( Giải: Xét ( ta được ). Thử trên một hệ thặng dư đầy đủ ) là nghiệm của phương trình ( ) Ta có Lớp ( ) ( và ( ) ( ) ) chia ra thành ( ) chia hết cho lớp theo môđun ), ( ), là ( ). Song cả ba lớp này không có lớp nào là nghiệm của phương trình đồng dư ( ) vì khi giải ( ) có ( ( ) ( ) ) hay ( không chia hết cho . Tóm lại phương trình đồng dư ( ) ( ) vô nghiệm. Ví dụ 1.3.10. Giải phương trình đồng dư ( 15 ) )
- Xem thêm -