M ƠN
“ ác không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm”
PGS.TS.GVCC.
ề
ầ
ì , ól
,
yễ P ụ y.
ê , ô
ố
, bố,
ẹ ô,
ồ
ú
Tế
ố q á ì
e , tô
b y
yễ P ụ
ô
Cù
, á
á , ô
ơ ô ô
l
l
ô
ơ
â
,
ê
l
bế ơ
y,
ử l
ữ
l ô bê
q á ì
ó, ô
ầy
ả
ữ
ỡ ô
PGS.TS.GVCC
ì
ó l
ả
ứ .
â
,
l ô q
â ,
l
y.
ơ
á
ê , ị
â
ê
Gá
,P
S
S
á
ù
b
2,
b , ồ
ú
ố q á ì
,
ê
ỡ
á
ề
ứ
y.
,N
12 ăm 2013.
10
ê
Ngô Thanh Hà
AM ĐOAN
T
yê
T á
ả
ề
“ ác không
gian với chuẩn dương và với chuẩn âm”
PGS.TS.GVCC.
ứ
T
ữ
yễ P ụ y, ô
bả
q á
â
ì
á
ê
ả,
b
ô
ù
bấ ứ
ứ ,
á .
, á
á
â
,
ả
ế
bế ơ .
10
12 ăm 2013
Học viên
Ngô Thanh Hà
M
i c m ơn ....................................................................................................... 2
i cam
M
an ................................................................................................... 3
u ............................................................................................................. 4
hương 1. Không gian Hilbert ..................................................................... 6
ô
1.1. Khá
lbe ................................................................... 6
1.1.1 K ô
ề
1.1.2 M
ố
ấ
1.1.3 K á
1.2. M
ố
lbe . ................................................................... 6
ơ
ả ............................................................... 10
ô
ô
Hilbert ........................................................ 11
Hilbert ....................................................................... 12
1.2.1 K ô
E n ............................................................................... 12
1.2.2 K ô
l2 ................................................................................. 15
1.3. M
ố ị
lý q
1.3.1
ị
lý ề ì
1.3.2
ị
lý R e z ề
1.3.3
ị
lý ề
á
ố ị
lý
1.3.4 M
........................................................................ 18
ế lê
ế
ửlê
ô
..................................... 18
yế
lê
ụ ............................. 20
ụ ............................................................... 22
................................................................ 23
hương 2. Không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm....................... 25
2.1. C ẩ
ơ
ẩ â ....................................................................... 25
2.2. K ô
ẩ â
2.3. Vector
2.4. Á
y
ụ
ố
........................................................................................ 31
á
ô
L2 a, b , W22 a, b ................................... 32
2.4.1. K ô
L2 a, b ......................................................................... 32
2.4. . K ô
W22 a, b ....................................................................... 38
2.4.3. T ế l
K
....................................................................... 27
ô
L2 a, b , W22 a, b ................................... 42
lu n ......................................................................................................... 45
Tài li u ham kh
........................................................................................ 46
4
MỞ ĐẦU
1.
ý d chọn ề ài:
K ô
ẩ
P.D.
ê
á
ả é
ê , á
ấ
é
ứ
ơ
ô
bố á
ê
ứ b
ằ
ì
ề á b
ứ
á bê
ố
b yl
á
ẩ
ô
,á
ì
l :
ữ
ụ
á
â
lầ
ơ
Xôbôle . Tuy
á
ầ
M.G.K e
ê
á
ế q ả
ơ
á
ì
ế q ả
á
ổ
ế q ả, ê
I .M.
1958, 1963, khi
ê
ô
á
1954 [5, 6].
1947 [7].
bố á
á
J. e y
195
ế q ả ê
ô
ứ
ế q ả
ế q ả
ẩ
ê
á
ẩ
á
K ô
Berez
ê
ô
ề lâ
ô
ầ
bố á
ế á
1937
lầ
[8, 9].
q
ê
ẩ â ,
ẩ
ú
ô
ề
ứ
ê
ơ
l
“ ác không gian với chuẩn dương và với chuẩn âm”.
2. Mục ích nghiên cứu:
Tì
ế l
b y ổ
q
á b
â
ẩ
ề
ứ
ô
,á
ữ
ụ
ô
á
á
ẩ
ơ
ô
ẩ â ,
ẩ
ế q ả
ơ
,
ẩ
L2 a, b.
ô
3. Nhi m vụ nghiên cứu:
1. K á
ô
2. K á
ô
3. K ô
4. Á
lbe
ố
ẩ
ơ
ẩ â
ụ
ố
ô
ấ q
ẩ â .
ấ lê q
L2 a, b.
.
.
5
4. Đối ượng và phạm vi nghiên cứu:
K ô
lbe , á
lbe , e
y
,
ế
yế
lê
ụ
ê
ô
L2 a, b.
ô
5. Phương pháp nghiên cứu:
Ngh ê
ẩ
ứ lý
yế ,
ơ
l
, ổ
q
ề
ô
ẩ â .
P â
ổ
V
ụ
á
ế
ứ ổ
l
.
q
L2 a, b.
ô
6. Dự ki n óng góp của ề ài:
Tì
ơ
á
bầy
,
ẩ â ,
ụ
á
ẩ
gian
q ả
ố
ô
ổ
q
ẩ
ô
ơ ,
L2 a, b.
ề lý
yế
ô
ó. T ế l
ẩ â
ố
b
ô
á
ẩ
ử
yế
ứ
ẩ
ô .Á
bị
ữ
á
ụ
ặ
ô
á
ế
6
hương 1
KHÔNG G AN H
BERT
1.1. Khái ni m không gian Hilbert:
1.1.1. Không gian tiền Hilbert:
Định nghĩa 1.1.1: C
ố
ặ
yế
ố
á
gian X
ê
ô
. T
ứ
De
X
l
e X
ê
K
ô
ê
K,
K l
ô
.,. ,
ý
ề:
1) x, y X y, x x, y ;
2) x, y, z X x y, z x, z y, z ;
3) x, y X K x, y x, y ;
4) x X x, x 0
x
ế
l
ý
ầ
ử
ô
ô
gian X , x, x 0 ế x .
Cá
ầ
ử
Số x, y
Cá
ê
l
x, y, z...
l
á
ô
â
ề 1), ), 3), 4)
l
ê
ô
ử x
ề
ề
ù
K
ử
ô
Định nghĩa 1.1.2: K ô
ê
â
lbe
.
y.
ô
.
l
ô
yế
.
Định lý 1.1.1: (Bấ dẳng hức schwarz):
ố
K
ỗ x X
ó x, y X
ặ :
ó bấ
x ( x, x).
ẳ
(1.1.1)
ứ S w z:
( x, y) x y .
ẳ
ứ
ảy
ỉ
(1.1.2)
x, y
ụ
yế
.
7
Chứng minh:
*C ứ
(1.1. ):
ế ( x, y) 0
ì bấ
ế
ì
( x, y) 0
ẳ
ứ (1.1.2)
ể
ê
ú
.
ó:
0 x ( x, y) y, x ( x, y) y
x ( x, y)( y, x) ( x, y)( y, x) ( x, y)( x, y)( y, y)
2
x 2 ( x, y) 2 ( x, y)
2
T bấ
.
2
ẳ
D
ứ
2
2
y .
ê
ứ b
ô
â
ó
( x, y) ( x, y)
4
2
x
2
y 0 ( x, y) x
2
2
2
y ( x, y) x . y .
2
V y, ( x, y) x . y (x, y X ).
*C ứ
ẳ
ứ
ảy
ỉ
ụ
x, y
yế
.
+ Nế x, y
T
ụ
yế
y, ế x, y
ì
ụ
ả
yế
x, y
ứ
x y.
ì:
ặ y x, y x, 0 x x y .
ặ x y x, y y, y y, y y
2
y y y y x y .
D
ó ế x, y
+
yế
ụ
x, y
l , ế
ì x, y x y .
yế
x y
ì
ả
ứ
x, y
ụ
.
T
y,
ả ử x, y
l
yế
,
ĩ l
x , y ,
x y , : 0.
K ô
ấ
ổ
q á,
ả ử 0 x y .
8
Xé z x
y, x y. Do
y
2
ê z .
x y
Suy ra:
y, x y, x y, x y x 2 x, y x, y x, y
0 z, z x
2
2
2
2
4
y
y
y
y
y
ề
y â
ả ế.
x, y x y .
2
V y, ế x, y x y
ì x, y
Định lý 1.1.2: K ô
ẩ
á
ị
b
ô
2
ụ
ề
yế
lbe
2
y x
2
2
x, y
2
2
y
.
X l
ô
ị
ẩ
ứ :
x
x, x , x X .
(1.1.3)
Chứng minh:
T
y,
ể
á
ê
ề ề
ẩ :
1) x X x x, x 0,
x
x, x 0 x l
Hilbert X (Do á
ây
ý
ầ
ử
ô
ô
ề
x, x );
2) x X K x ( x, x) ( x, x) x, x
x, x x, x x, x
x, x
x;
3) x, y X x y ( x y, x y) ( x y, x) x y, y
x, x y y, x y x, x x, y y, x y, y x, x x, y y, x y, y
x, x y, x x, y y, y
V y
C ẩ
ô
ề
b
ô
lbe
x 2 x y y
X l
ứ (1.1.3)
2
ô
l
2
x
ị
ẩ
y
2
x y ;
ẩ .
b
ô
.
9
Định lý 1.1.3: T
ô
lê ụ
x, y l
ẩ (1.1.3).
x, y e
Chứng minh: G ả ử y ể bấ ì xn X
ụ
bấ ì yn X
ụ
ó:
y. K
bế
y
x,
ể
C 0 n * yn C
xn , yn x, y xn , yn x, y n x, yn x, y
xn x yn x yn y
C xn x x yn y n
.
*
Suy ra, lim
x n , yn x , y .
n
Định nghĩa 1.1.3: C
l
, ý
ô
P ầ
ử x X
ầ
ử x, y X
ế x, y 0.
x y
Định nghĩa 1.1.4: C
A .
ề Hilbert X .
ô
gian ề Hilbert
l
ế
A,
A X,
X
ý
x y (y A)
x A.
Định nghĩa 1.1.5: C
T
E X.
l
E
FX
ồ
ô
ề Hilbert X
á
ầ bù
ầ
ử
E
ê
ô
ô
X
ô
ý
X
:
F X E.
ế
F
l
ô
ễ
ô
ổ
X,
ì
ô
X
bể
ế :
X F E x x1 x2 : x1 F , x2 E.
ế
ô
y l
E, F
X,
ì ổ
ế F E
Định nghĩa 1.1.6: C
ố ) ồ
ẩ
ữ
ầ bù
ê
l ổ
ô
.
ề Hilbert
y ế
á
ầ
ế :
e , e ,
i
j
ij
X.
M
ử en n1 X
(
l
l
10
ij l
ý
e e , ij 0
K
ẩ en n1 trong
Định nghĩa 1.1.7:
X
l
ơ
ồ
ẩ
e
á
i j, i, j 1, 2,... .
i j, ij 1
ô
ô
ế
X,
ô
ề Hilbert
ô
X
ô
ó.
1.1.2. Một số tính chất đơn giản:
1) x X , x 0
ì x X , x 0.x, x 0. x, x 0;
2) x, y X K x, y ( x, y)
ó x, y y, x y, x ( x, y);
x, y X K
ì
3) x, y, z X x, y z ( x, y) ( x, z)
ó x, y z y z, x ( y, x) ( z, x) ( x, y) ( x, z);
x, y, z X
ì
4) x x X l
vì x X
5) x X
j 1, 2..., n
ế
xx
á
ầ
ầ
y,
ô
X
ô
ì x
ó
ấ 4
ô
ó x ;
ử x, y j X ( j 1, 2,3,..., n)
á
ề
x yj,
n
ó x j . y j .
ì j K ( j 1, 2,3,..., n)
T
ử
ó , x 0.x, x 0 x, x 0 ê x;
vì x x ê x, x 0
6)
ý
j 1
ấ
ô
ê :
n
n
n
x, j . y j ( x, j . y j ) j .( x, y j ) 0;
j 1
j 1
j 1
7) C
ẩ (1.1.1).
ầ
ử x X
y á
ế x yn (n N )
ầ
ì x y.
ử yn X
ụ
y X theo
11
T
y, á
ụ
bấ
ẳ
ứ
ó:
chwarz
0 x, yn x, y x . yn y 0 (khi n . D
8) Cho A l
x X
y,
ô
X.
X
Á
ơ
ô
X.
K
ó, ế
ì x .
xA
T
ù
ó nlim
x, yn x, y 0 x y;
ả ử x X
ê
x A.
l
ù
ử xn A
ó xx
ó x ;
y
ấ 7)
A
ầ
ồ
ụ
Do
ụ
ơ
ô
x
1.1.3. Khái niệm không gian Hilbert:
Định nghĩa 1.1.8: T
ấy l
ô
1)
H
2)
H
3)
H
lbe , ế
ô
l
yế
ô
gian Hilbert X
ô
o
X
x
yế
A
l
á
ử
lbe
á
:
ô
lbe
Y.
yế
T á
ửlê
á
bị
ặ á
ử B á
ô
ô
Y
ử A, ế :
Ax, y x, By , x X , y Y .
T á
ửlê
ý
B
Định nghĩa 1.1.10: T á
Hilbert
ó
H
l
ử
l A .
yế
lê
bị
ặ
A
á
ế :
Ax, y x, Ay , x, y H .
T á
ử
lê
H
H.
ô
l
ề
ử x, y, z...
x, x , x H ;
ó
ô
Định nghĩa 1.1.9: Cho
ầ
.,. ;
ẩ
lbe
ỡ
K;
ô
ô
á
ê
ô
l
ồ
ả
H
bị
T
l
H
l
á
ử ố
ứ .
ô
12
1.2. Mộ số không gian Hilber :
1.2.1. Không gian E n x xk k 1 xk , k 1, n n
*K ô
n
En ù
P é
é
.
á :
En En En
: “+”:
x, y x y xk yk k 1
n
P é
En En
â : “ . ”:
, x x xk k 1
n
l
ô
yế
T
.
y,
é
á
ê
thì xk yk .
E n ,
ơ
ữ ,8 ê
ề
ì v x xk k 1 , y yk k 1
ồ
n
xk , (do
ề ề
ô
yế
n
).
yế
ả
ì:
1) x, y E n , x y xk k 1 yk k 1 xk yk k 1 yk xk k 1
n
n
n
n
yk k 1 xk k 1 y x;
n
n
2) x, y, z E n , x y z xk k 1 yk k 1 zk k 1 xk yk k 1 zk k 1
n
n
n
n
n
xk yk zk k 1 xk yk zk k 1 xk yk zk k 1 xk k 1 yk zk k 1
n
xk k 1
n
y
n
k k 1
n
n
n
zk k 1 x ( y z );
n
(0k )kn 1 E n ,0k 0 k 1, n
3) x E n tồ
n
:
x ( xk )nk 1 (0k )nk 1 ( xk 0k )kn 1 ( xk )kn 1 x.
l
ầ
ử
ô
ô
En;
yế
x ( xk )kn 1 E n (do
4) x E n tồ
)
x ( x) ( xk )kn1 ( xk )kn1 ( xk xk )kn1 (0k )kn1 .
x
l
ầ
ử ố
5) x E n
ầ
ử x
ô
En;
ó 1.x 1.( xk )kn1 (1.xk )kn1 ( xk )kn1 x;
:
13
6) x E n ; a, b
ó: a(bx) a(bxk )kn1 (abxk )kn1 ab( xk )kn1 (ab) x;
7) x E n ; a, b
ó:
(a b) x (a b)( xk )kn 1 a b xk k 1 axk bxk k 1 axk k 1 bxk k 1
n
n
n
n
a xk k 1 b xk k 1 ax bx;
n
n
ó:
8) x, y E n ; a
n
n
n
n
n
n
a( x y) a xk k 1 yk k 1 a xk yk k 1 axk ayk k 1 axk k 1 ayk k 1
a xk k 1 a yk k 1 ax ay;
n
V y
n
ô
*K ô
En l
ô
bị
En
yế
.
n
( x, y ) xk yk :
ô
x 1
T
y, t
ể
á
s
ê
ề ề
ô
:
1) x, y E y, x yk xk xk yk x, y ( x, y );
n
n
k 1
x 1
n
2) x, y, z E n x y, z xk yk .zk xk .zk yk .zk
n
n
k 1
k 1
n
n
k 1
k 1
xk .zk yk .zk ( x, z ) ( y, z );
3) x, y E n x, y x yk xk yk ( x, y );
n
n
k 1
k 1
4) x E n x, x xk xk xk2 0 ế x ,
(
ó l
ầ
ử
n
n
k 1
k 1
ô
ô
E n ).
n
x, x 0 xk2 0 xk 0 k 1, n x ;
k 1
V y, E n l
ô
ề
lbe
ô
n
( x, y ) xk yk .
x 1
*K ô
En l
ô
lbe :
14
C ẩ
ê En
1.1. ) ê ta
ỉ ầ
T
ị
ứ
y, é
K
á
b
ứ
En l
ô
ỳ x m
y ơ bả bấ
x ( x, x), x E n ( ị
lý
.
m 1
, x m xk m
n
k 1
m 1, 2,... .
ó,
0 n0
0
n
x m x p
m, p m :
k 1
xk m xk p .
2
ỗ k 1, 2,..., n; m, p m0 :
Suy ra,
xk m xk p .
D
ó,
y ố
x l
y ơ bả
m
k
ê
ó
ụ
xk
khi
ỗ k 1, 2,..., n;
m
ặ x ( xk )kn1.
ề
ó
ó
ĩ ,
k 1, 2,..., n; m m1 m0 ,
xk m xk
2
2
n
ó bấ
ẳ
ứ
n
m
n
,
;
n
ù
m1
xk xk
(k 1, 2,..., n) xk m xk 2
2
k 1
n
x
k
k 1
m
xk
2
, m m1 m0
x m x
lim x m x 0
m
Suy ra,
gian E n l
y ơ bả
ô
x
m
m 1
ụ
x
ẩ :
ô
E n . Nê
ô
15
x ( x, x )
n
x
k 1
V y,
ô
En l
ô
2
k
.
Hilbert.
1.2.2. Không gian l2 x xk k 1 xk , xk :
*K ô
k 1
l2 ù
P é
2
é
á :
l2 l2 l2
: “+”:
x, y x y xk yk k 1
P é
l2 l2
â : “ . ”:
, x x xk k 1
l
ô
yế
T
ứ .
y,
é
á
ì xk yk
ơ
ê
ề
ồ
xk , (do
ữ ,8 ê
ề ề
x xk k 1 , y yk k 1 l2 ,
ì
yế
ô
).
yế
ứ
ì:
ó: x y xk k 1 yk k 1 xk yk k 1 yk xk k 1
1) x, y l2
yk k 1 xk k 1 y x;
ó:
2) x, y, z l2
x y z xk k 1 yk k 1 zk k 1 xk yk k 1 zk k 1
xk yk zk k 1 xk k 1 yk zk k 1 xk k 1 yk k 1 zk k 1 x ( y z );
0k k 1 l2 , 0k 0 k 1, 2,...
3) x l2 tồ
:
x xk k 1 0k k 1 ( xk 0k ) xk k 1 x.
l
ầ
ử
ô
4) x l2 ồ
ô
l2 ;
ử x xk k 1 l2 (do
ầ
x ( x) xk k 1 xk k 1 xk xk k 1 0k k 1 .
yế
)
:
16
x
l
ầ
ử ố
ô
x
l2 ;
ó: 1.x 1. xk k 1 1.xk k 1 xk k 1 x;
5) x l2
6) x l2 , a, b
ó: a(bx) a bxk k 1 abxk k 1 ab xk k 1 (ab) x;
7) x l2 , a, b
ó:
(a b) x (a b) xk k 1 a b xk k 1 axk bxk k 1 axk k 1 bxk k 1
a xk k 1 b xk k 1 ax bx;
ó:
8) x, y l2 , a
a( x y) a xk k 1 yk k 1 a xk yk k 1 axk ayk k 1
axk k 1 ayk k 1 a xk k 1 a yk k 1 ax ay;
V y,
*K ô
ô
l2 l
ô
bị
l2
T
yế
ứ .
( x, y ) xk yk .
ô
x 1
y,
ể
á
k 1
x 1
ê
ề ề
ô
1) x, y l2 y, x yk xk xk yk ( x, y);
k 1
k 1
2) x, y, z l2 x y, z xk yk .zk xk .zk yk .zk
xk .zk yk .zk ( x, z ) ( y, z );
k 1
k 1
k 1
k 1
3) x, y l2 x, y xk yk xk yk ( x, y );
4) x l2 x, x xk 2 0
x ,
k 1
x, x 0 xk 0 xk 0 k 1, 2,... x ;
k 1
2
:
17
V y,
ô
l2 l
ô
ề
lbe
ô
( x, y ) xk yk .
x 1
*K ô
T
( ị
l2 l
ô
y,
ẩ
lbe :
ê
lý 1.1. ). ê
K
ỉ
ầ
ị
b
ứ
ỳ x n
y ơ bả bấ
Ta xé
á
l2
n 1
ứ
l2 l
ô
.
x n xk n
l2
x ( x, x), x l2
k 1
n 1, 2,...
ó,
0 n0
0
x x
x n x m
n
k
k 1
S y
n, m n :
m
k
ỗ n, m n0
p
2
.
ỗ p
*
:
xk n xk m , p 1, 2,...
2
k 1
(1.4.1)
xk n xk m , k 1, 2,...
Cá bấ
ứ
x
n
k
n 1
l
ẳ
(1.4.2)
ứ (1.4. )
y ơ bả ,
ể
q
bấ
p
x x
2
n
k 1
C
k
k
ẳ
x x
k 1
Mặ
á ,
n
k
k
ố ị
ùy ý,
2
y ố
: lim
xkn xk , k 1, 2,...
n
ẳ
ứ (1.4.1)
ô
ụ
ẳ
ứ (1.4.1) khi m ,
p
ứ (1.4.3)
, n n0 .
ê
ó
, n n0 , p 1, 2,...
q
ỗ k
ó ồ
ặ x xk xk k 1 . Vì bấ
ó
ứ
:
(1.4.3)
p
:
(1.4.4)
18
2
xk xk xk n xk n
2
xk n xk xk n
2
2 xk n 2 xk n xk , k , n 1, 2,...
2
T bấ
p
x
2
k
k 1
ẳ
2
ứ (1.4.4)
p
2 xk
n1
2
k 1
y
:
2 xk xk 2 xk
2
p
(1.4.5)
(1.4.5)
n1
2
k 1
n1
k 1
2 xk 1 xk
n
2
k 1
2 xk 1 2 2 , p 1, 2,...., n1 n0
2
n
k 1
xk 2 xk 1 2 2 , n1 n0
2
k 1
n
k 1
ó x xk l2 . T
D
x x
x n x
n
k
k 1
ê
2
x
k
ụ
l2
2
ây
ứ (1.4.4)
y
, n n0 .
ô
k 1
V y,
k
ế q ả ê
y ơ bả
Suy ra
x ( x, x )
2
ô
x
l
l2 .
ô
ẩ :
.
ô
l2 l
ô
lbe .
1.3. Mộ số ịnh lý quan rọng:
1.3.1. Định lý về hình chiếu lên không gian con:
Định lý 1.3.1: C
H.
K
ó
ầ
ử bấ
ô
lbe
ỳ xH b ể
H0 l
H
ễ
á
y
ô
ấ
:
x y z, y H 0 , z H 0
P ầ
ô
ử y
H0.
bể
ễ (1.3.1)
(1.3.1)
l
ì
ế
phầ
ử x lê
19
Chứng minh:
*C ứ
ồ
bể
x u ,
ặ d uinf
H
ễ (1.3.1):
e
ấ
ú
, ồ
y
ầ
ử
0
un H 0 sao cho
lim x un d . T
n
2 x un 2 x u m
2
Ký
2
ó:
u u
4 x n m
2
2
un um .
2
1
un um H 0
2
dk x uk (k 1, 2,3...). Do
ê
ó:
un um 2dn2 2dm2 4d 2 (n, m 1, 2,...).
2
un um 0. Mặ
Suy ra nlim
, m
ó
ô
ô
a
un y H 0 ,
ó: lim
n
ê
H0
á , do H l
ĩ l :
x y lim x un d .
n
ặ
z x y,
T
w y
y,
z H0 :
ứ
t
z, v c 0
ử v H 0
ả
ó v . Suy ra
c
v H0
v, v
2
c
c
c
d xw x y
v z
v, z
v
v, v
v, v
v, v
2
2
2
c
c
c
c.c
2
z
c
c
d2
v, v z
v, v v, v v, v
v, v
2
ề
y ô lý. Suy ra ( z, u) 0, u H 0 hay z H 0 .
ứ (1.3.1)
*C ứ
ứ
y
Gả ử
ầ
.
ấ:
ử xH ó
ểbể
ễ
x y z y ' z ' , y, y ' H 0 , z H 0 , z ' H 0 .
(1.3.1) bằ
á
20
K
y y ( z z ) 0, y y H , z z H .
ó
Py
'
'
'
e
Á
'
0
0
ụ
ị
lý
,lê
ụ
:
2
y y' z z '
ĩ l bể
ễ (1.3.1) l
y
2
0 y y' , z z' ,
ấ.
1.3.2. Định lý Riesz về phiếm hàm tuyến tính liên tục:
Định lý 1.3.2 ( ị
ô
lbe
lý R e z): M
ề
H
ó
ế
ểbể
yế
f
ễ
y
ấ
:
f x ( x, a), x H ,
ó
t
ầ
ử aH
á
(1.3.2)
ị
y
ấ b
ế
f
f a.
(1.3.3)
Chứng minh:
*C ứ
ồ
bể
Gả ử a l
ấ
ầ
ô
ễ (3.1.2):
ử ố ị
bấ
ỳý
ẳ
ô
á
H.
ứ S w z ô
ứ :
f x ( x, a), x H
xá
ị
ế
T
yế
ả ử f l
ế
H 0 x H : f x 0. T
H
,lê
yế
ấy H 0 l
ì x, y H 0 , , K
ụ
ê
ô
,lê
ô
H.
ụ bấ
ỳ ê
H.
yế
Ký
ô
ó:
f ( x+ y) f ( x) f ( y) 0 x y H 0 .
ồ
xn H 0
H0 l
ụ
ể
ó
x H,
ì
H.
lê
T
y, ế
ụ
ế
f ( x) lim f xn 0 x H 0 .
n
D
ó H0 l
ô
ô
H.
y
f
ể
ó:
- Xem thêm -