Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

  • Số trang: 37 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 38 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 42555 tài liệu

Mô tả:

D¹ng I: C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 I/ BiÓu thøc sè häc rót gän biÓu thøc Cã chøa c¨n thøc bËc hai Ph¬ng ph¸p: Dïng c¸c ph¬ng ph¸p biÕn ®æi c¨n thøc(®a ra ; ®a vµo; ;khö; trôc; céng,trõ c¨n thøc ®ång d¹ng; rót gän ph©n sè…) ®Ó rót gän biÓu thøc. Bµi tËp: Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ------------- 1) 2 5  125  80  605 ; 2) 10  2 10  5 2 8 1 5 ; 3) 15  216  33  12 6 ; 4) 2 8  12  18  48 5) 5  27 ; 30  162 2 3 2 3 ;  2 3 2 3 3 27 75 7) 2 27  6 4  3 75 ; 3 5  3 5. 3 5 11) 3  5  3  5 ; 2  2 3 64 2 2  64 2  1  2  2 3 ; 64 2  2  64 2 ; 2 5  2 8 5 2 5 4 ; 17) 14  8 3  24  12 3 ; 10  2 10) 2  3  5  2  ; 1 14) 16)   9) 8 3  2 25 12  4 13)  5  2 6   49  20 6  5  2 6 ; 15) 6) 2 16  3 1  6 4 ; 8) 12) 4  10  2 5  4  10  2 5 ; 18) 192 ; 19) 20)  4 1 6   ; 3 1 32 3 3    3 2 1  3 1 2 1  3 1 1 3 3 3 1 . 2 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 II/ BiÓu thøc ®¹i sè: Ph¬ng ph¸p: - Ph©n tÝch ®a thøc tö vµ mÉu thµnh nh©n tö; T×m §KX§ (NÕu bµi to¸n cha cho §KX§) Rót gän tõng ph©n thøc(nÕu ®îc) Thùc hiÖn c¸c phÐp biÕn ®æi ®ång nhÊt nh: + Quy ®ång(®èi víi phÐp céng trõ) ; nh©n ,chia. + Bá ngoÆc: b»ng c¸ch nh©n ®¬n ; ®a thøc hoÆc dïng h»ng ®¼ng thøc + Thu gän: céng, trõ c¸c h¹ng tö ®ång d¹ng. + Ph©n tÝch thµnh nh©n tö – rót gän Chó ý: - Trong mçi bµi to¸n rót gän thêng cã c¸c c©u thuéc c¸c lo¹i to¸n: TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc; gi¶i ph¬ng tr×nh; bÊt ph¬ng tr×nh; t×m gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó biÓu thøc cã gi¸ trÞ nguyªn; t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ,lín nhÊt…Do vËy ta ph¶i ¸p dông c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i t¬ng øng, thÝch hîp cho tõng lo¹i bµi. 1  vÝ dô: 1 a 1  Cho biÓu thøc: P    : a  1 a  2 a 1 a a a/ Rót gän P. b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. Gi¶i: a/ Rót gän P: - Ph©n tÝch: - §KX§:  1 P    a ( a  1) a  0; a  1 0  a 1 - Quy ®ång: P  - Rót gän:  a 1 : a  1 ( a  1) 2 1 P 1 a a ( a  1) a1 a . ( a  1) 2 a 1 . b/ T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn: - Chia tö cho mÉu ta ®îc: P 1  1 . a 1 - Lý luËn: P nguyªn  nguyªn  a   1(ktm) a lµ íc cña 1 lµ 1 .  a   1  a 1 VËy víi a = 1 th× biÓu thøc P cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi tËp: Bµi 1: Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc A; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > - 6. Bµi 2: Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc B; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A > 0. Bµi 3: Cho biÓu thøc a) Rót gän biÓu thøc C; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó C < 1. �x 1 A=�  �2 2 x � � �x  x x  x � � � � � x 1  x 1 � � � � � � x 2 1 �� 10  x � B=�   : x  2  � � � �x  4 2  x x 2� x 2� � �� C= 1 3 1   x 1 x x 1 x  x 1 3 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Bµi 4: Rót gän biÓu thøc : D= x  2  x2  4 x  2  x2  4  x  2  x2  4 x  2  x2  4 4 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 5 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2x  3 x  2 vµ P= Q= x 2 Bµi5: Cho c¸c biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc P vµ Q; b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = Q. P= Bµi 6: Cho biÓu thøc: a) Rót gän biÓu thøc P b) So s¸nh P víi 5. x 3  x  2x  2 x 2 2x  2 x x  1 x x  1   x x x x x c) Víi mäi gi¸ trÞ cña x lµm P cã nghÜa, chøng minh biÓu thøc 8 chØ nhËn ®óng mét gi¸ trÞ nguyªn. P �3x  9x  3 1 1 � 1 P=�   � �x  x  2 �: x  1 x  1 x  2 � � Bµi 7: Cho biÓu thøc: a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa, rót gän biÓu thøc P; 1 b) T×m c¸c sè tù nhiªn x ®Ó lµ sè tù nhiªn; P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3 . Bµi 8: Cho biÓu thøc : a) Rót gän biÓu thøc P; T×m x ®Ó � x 2 x 3 x  2 �� x � P=�   : 2  �� � �x  5 x  6 2  x �� � x  3 x  1 � �� � 1 5 � P 2 Bµi 9: Cho biÓu thøc : 1 a a  1 a a  a .   1 a   1 a P =  a) Rót gän P b) T×m a ®Ó P< 7   a   4 3 Bµi 10: Cho biÓu thøc:  2 x   x 3 P =  a) Rót gän P b) T×m x ®Ó P <  x 3x  3   2 x  2 :   1   x  3 x 9   x  3  1 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P Bµi 11: Cho biÓu thøc : x 3 x   9 x x 3  1 :    x  9 x  x  6 2  x    P =  a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P<1 x  2  x  3  Bµi 12: Cho biÓu thøc : 1 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------P = 15 x  11  3 x  2  2 x  3 x2 x  3 1 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó P= c) Chøng minh P  x x 3 1 2 2 3 Bµi 13: Cho biÓu thøc: x m2  x  m 4 x  4m 2 P= 2 x  x m víi m > 0 a) Rót gän P b) TÝnh x theo m ®Ó P = 0. c) X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó x t×m ®îc ë c©u b tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x >1 Bµi 14: Cho biÓu thøc : 2 P = a  a  2a  a  1 a a 1 a a) Rót gän P b) T×m a ®Ó P = 2 c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P ? Bµi 15: Cho biÓu thøc  a 1   ab  1 P =    a 1 ab  a  1 :   ab  1   ab  1  ab  a  1 ab  1  a) Rót gän P b) TÝnh gi¸ trÞ cña P nÕu a = 2  c) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu 3 vµ b = 3  1 1 3 a  b 4 Bµi 16: Cho biÓu thøc : P= a a  1 a a 1  1  a  1   a    a a a a  a  a  1 a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P = 7 c) Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× P > 6 a  1  a  1  Bµi 17: Cho biÓu thøc: P=  a 1   2  2 a      2     a1  a 1 a) Rót gän P b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P < 0 c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a ®Ó P = -2 a 1  a  1  Bµi 18: Cho biÓu thøc: P= a  2 b  4 ab a b  b a . a b ab a) T×m ®iÒu kiÖn ®Ó P cã nghÜa. b) Rót gän P c) TÝnh gi¸ trÞ cña P khi a = 2 3 vµ b = Bµi 19: Cho biÓu thøc : 3 2 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x2 x 1  :     x x  1 x  x 1 1  x  P =  a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > 0 x1 2  x 1 Bµi 20: Cho biÓu thøc : 2 x x   x x1 1   x 2   : 1     x  1  x  x  1  P =  a) Rót gän P b) TÝnh P khi x = 5  2 3 Bµi 21: Cho biÓu thøc: 3x     1 2 1 2 :   P =1 :  2 x 4 x 4 2 x  4 2 x     a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó P = 20 Bµi 22: Cho biÓu thøc :  P =   x y x y  x3  y 3 y x a) Rót gän P b) Chøng minh P 0  :    x y  x 2  xy y Bµi 23: Cho biÓu thøc :  1 3 ab   1 3 ab  a b . :        a  b a a  b b   a  b a a  b b  a  ab  b   P =  a) Rót gän P b) TÝnh P khi a =16 vµ b = 4 Bµi 24: Cho biÓu thøc:  2a  a  1 2a a  a  a  a  a .   2 a1 1 a 1 a a   P = 1   a) Rót gän P b) Cho P = 6 1 6 t×m gi¸ trÞ cña a c) Chøng minh r»ng P > 2 3 Bµi 25: Cho biÓu thøc: x 5 x   25  x  1 :   x  25 x  2 x  15    P =  x 3  x 5 a) Rót gän P b) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P < 1 Bµi 26: Cho biÓu thøc:  3 a 3a    a  ab  b a a  b b P =  a) Rót gän P 1 a x  5  x  3      a  1. a  b : b  2a  2 ab  2b 3 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) T×m nh÷ng gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P cã gi¸ trÞ nguyªn Bµi 27: Cho biÓu thøc: 1 1   a 1   : a   a  2  a1  P = a) Rót gän P b) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó P > a 2  a  1  1 6 Bµi 28: Cho biÓu thøc:  1 1  2  .  y x  x P =  y  1 1  : x y  x3  y x  x y  y3 x 3 y  xy 3 a) Rót gän P b) Cho x.y=16. X¸c ®Þnh x,y ®Ó P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt Bµi 29: Cho biÓu thøc : P= x3  xy  2 y x  2x 1 x . x  2 xy  2 y 1  x a) Rót gän P b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d¬ng x ®Ó y=625 vµ P<0,2 Bµi 30: Cho biÓu thøc:  x2 x 1    x x  1 x  x 1 P = 1 :  a) Rót gän P b) So s¸nh P víi 3 D¹ng ii: x 1 . x  1  ®å thÞ y ax  b(a 0) & y a ' x 2 (a ' 0) vµ t¬ng quan gi÷a chóng I/.ĐiÓm thuộc đường – đường đi qua điểm. Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA). Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểm A(2;4) Giải: Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4 = a.22 a=1 Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y = -2(x + 1). Đường thẳng (d) có đi qua A không? Giải: Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d) II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x). Bước 1: Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (*) Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điÓm của hai đường trên. III.Quan hệ giữa hai đường thẳng. Xét hai đường thẳng : (d1) : y = a1x + b1. vµ (d2) : y = a2x + b2. a) (d1) cắt (d2) a1 a2. 4 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------b) d1) // (d2) c) d1) (d2) d) (d1) (d2) a1 a2 = -1 IV.Tìm điều kiện để 3 đường thẳng đồng qui. Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm (x;y). Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số . V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = a’x2 (a’ 0). 1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P). Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: a’x2 = ax + b (#)  a’x2- ax – b = 0 Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = ax 2 để tìm tung độ giao điểm. Chú ý: Số nghiệm của phương trình (#) là số giao điểm của (d) và (P). 2.Tìm điều kiện để (d) và (P) c¾t;tiÕp xóc; kh«ng c¾t nhau: Tõ ph¬ng tr×nh (#) ta cã: a ' x 2  ax  b 0   ( a) 2  4a ' .b a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (#) có hai nghiệm phân biệt    0 b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (#) có nghiệm kép   0 phương trình (#) vô nghiệm    0 VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b : 1.BiÕt quan hệ về hệ số góc(//hay vu«ng gãc) và đi qua điểm A(x0;y0) Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc ®Ó tìm hệ số a. Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b. 2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình: Giải hệ phương trình tìm a,b. 3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x0;y0) và tiếp xúc với (P): y = a’x2 +) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình : y0 = ax0 + b +) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = a’x2 nên: Pt: a’x2 = ax + b có nghiệm kép +) Gi¶i hÖ  y0 ax0  b    0 để tìm a,b. 5 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m). +) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x 0;y0 vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng với mọi m. +) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0. VIII.T×m kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm bÊt kú A; B Gäi x1; x2 lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B; y1,y2 lÇn lît lµ tung ®é cña A vµ B Khi ®ã kho¶ng c¸ch AB ®îc tÝnh bëi ®Þnh lý Pi Ta Go trong tam gi¸c vu«ng ABC: AB  AC 2  BC 2  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 IX. Một số ứng dụng của đồ thị hàm số: 1.Ứng dụng vào phương trình. 2.Ứng dụng vào bài toán cực trị. bµi tËp vÒ hµm sè. Bµi 1 . cho parabol (p): y = 2x2. 1. t×m gi¸ trÞ cña a,b sao cho ®êng th¼ng y = ax+b tiÕp xóc víi (p) vµ ®i qua A(0;-2). 2. t×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng tiÕp xóc víi (p) t¹i B(1;2). 3. T×m giao ®iÓm cña (p) víi ®êng th¼ng y = 2m +1. Bµi 2: Cho (P) 1 y  x 2 vµ ®êng th¼ng (d): y = ax + b . 2 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm A(-1;0) vµ tiÕp xóc víi (P). 2. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 3 : Cho (P) y  x2 vµ ®êng th¼ng (d) y = 2x + m 1. VÏ (P) 2. T×m m ®Ó (P) tiÕp xóc (d) 3. T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm. Bµi 4 : Cho (P) y  x2 vµ (d): y = x + m 4 1. VÏ (P) 2. X¸c ®Þnh m ®Ó (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') song song víi ®êng th¼ng (d) vµ c¾t (P) t¹i ®iÎm cã tung ®é b»ng -4 4. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d'') vu«ng gãc víi (d') vµ ®i qua giao ®iÓm cña (d') vµ (P) Bµi 5 : Cho hµm sè (P): vµ hµm sè(d): y = x + m 1. T×m m sao cho (P) vµ (d) c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B 2. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d') vu«ng gãc víi (d) vµ tiÕp xóc víi (P) 3. T×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B b»ng 3 2 y  x2 6 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bµi 6 : Cho ®iÓm A(-2;2) vµ ®êng th¼ng ( d1 ) y = -2(x+1) 1. §iÓm A cã thuéc ( d1 ) kh«ng ? V× sao ? 2. T×m a ®Ó hµm sè (P): y  a.x 2 ®i qua A 3. X¸c ®Þnh ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ( d 2 ) ®i qua A vµ vu«ng gãc víi ( d1 ) 4. Gäi A vµ B lµ giao ®iÓm cña (P) vµ ( d 2 ) ; C lµ giao ®iÓm cña ( d1 ) víi trôc tung . T×m to¹ ®é cña B vµ C . TÝnh chu vi tam gi¸c ABC? Bµi 7 : Cho (P) 1 y  x 2 vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua hai ®iÓm A vµ B trªn (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ 4 -2 vµ 4 1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (P) cña hµm sè trªn 2.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) 3.T×m ®iÓm M trªn cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é diÖn tÝch lín nhÊt. x    2;4 sao cho tam gi¸c MAB cã (Gîi ý: cung AB cña (P) t¬ng øng hoµnh ®é x    2;4 cã nghÜa lµ A(-2; y A ) vµ B(4; y B ) tÝnh y A; ; y B ;SMAB cã diÖn tÝch lín nhÊt  M lµ tiÕp ®iÓm cña ®êng th¼ng (d1)víi (P)vµ(d1)//(d). Bµi 8 : Cho (P): x2 vµ ®iÓm M (1;-2) 4 y  1. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) ®i qua M vµ cã hÖ sè gãc lµ m HD: Ph¬ng tr×nh cã d¹ng: y ax  b mµ a = m. thay x = 1; y = -2 tÝnh b = - m-2. vËy PT: y mx  m  2. 2. Chøng minh: (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B khi m thay ®æi 3. Gäi x A ; xB lÇn lît lµ hoµnh ®é cña A vµ B .X¸c ®Þnh m ®Ó x A2 xB  x A xB2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ ®ã? Bµi 9 : Cho hµm sè (P): y  x2 1. VÏ (P) 2. Gäi A,B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2. ViÕt ph. tr×nh ®êng th¼ng AB 3. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) Bµi 10 : Trong hÖ to¹ ®é xOy cho Parabol (P) y  1 2 x 4 vµ ®êng th¼ng (d): y  mx  2m  1 1. VÏ (P) 2. T×m m sao cho (P) vµ (d) tiÕp xóc nhau.T×m to¹ ®é tiÕp ®iÓm 3. Chøng tá r»ng (d) lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh Bµi 11 : Cho (P): y  1 2 x 4 vµ ®iÓm I(0;-2). Gäi (d) lµ ®êng th¼ng qua I vµ cã hÖ sè gãc m. 1. Chøng minh r»ng (d) lu«n c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B víi m  R 2.T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®o¹n AB ng¾n nhÊt Bµi 12 : Cho (P): y 3 x2 vµ ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iÓm I( ;1 ) cã hÖ sè gãc lµ m 2 4 1. VÏ (P) vµ viÕt ph¬ng tr×nh (d) 2. T×m m sao cho (d) tiÕp xóc (P) 3. T×m m sao cho (d) vµ (P) cã hai ®iÓm chung ph©n biÖt Bµi 13 : Cho (P): y x x2 vµ ®êng th¼ng (d): y   2 2 4 1. VÏ (P) vµ (d) 2. T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) 3. T×m to¹ ®é cña ®iÓm thuéc (P) sao cho t¹i ®ã ®êng tiÕp tuyÕn cña (P) song song víi (d) 7 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bµi 14 : Cho (P): y  x2 Bµi 14: Cho (P): y  2x 2 1.Gäi A vµ B lµ hai ®iÓm thuéc (P) cã hoµnh ®é lÇn lît lµ -1 vµ 2 . ViÕt ph. tr×nh ®êng th¼ng AB 2.ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) song song víi AB vµ tiÕp xóc víi (P) 1.VÏ (P) 2.Trªn (P) lÊy ®iÓm A cã hoµnh ®é x = 1 vµ ®iÓm B cã hoµnh ®é x = 2 . X¸c ®Þnh c¸c gi¸ trÞ cña m vµ n ®Ó ®êng th¼ng (d): y = mx + n tiÕp xóc víi (P) vµ song song víi AB Bµi 15 : X¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña m ®Ó hai ®êng th¼ng cã ph¬ng tr×nh mét ®iÓm trªn (P) D¹ng III: ( d1 ) : x  y m c¾t nhau t¹i ( d 2 ) : mx  y 1 y   2x 2 . Ph¬ng tr×nh vµ HÖ ph¬ng tr×nh ------------------------ A/ Ph¬ng tr×nh b©c nhÊt mét Èn – gi¶I vµ biÖn luËn: + Ph¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn cã d¹ng ax  b 0(a 0) + Gi¶i vµ biÖn luËn: - NÕu a 0; b 0 th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. - NÕu a 0; b 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. b a 2 vÝ dô: Gi¶i vµ bÞªn luËn ph¬ng tr×nh sau: 4m ( x  1)  x  4m  1 Gi¶i: 4m 2 ( x  1)  x  4m  1  4m 2 x  4m 2  x  4m  1  (4m 2  1) x 4m 2  4m  1  (2m  1)(2m  1).x ( 2m  1) 2 1 2m  1 BiÖn luËn: + NÕu m   th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm: x  2 2m  1 1 + NÕu m  th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 0.x 0 nªn ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. 2 1 1 + NÕu m  th× ph¬ng tr×nh cã d¹ng: 0.x 2.( ) 0 nªn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2 2 - NÕu a 0 th× ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm duy nhÊt x  Bµi tËp: Gi¶i vµ biÖn luËn c¸c ph¬ng tr×nh sau: m( x  1) m  x  2 2 3 x  a  2 x  a x  2a   0 a  1 HD: Quy ®ång- thu gän- ®a vÒ d¹ng ax + b = 0 Bµi 2 . a 1 a 1 1  a 2 a b  x a c  x b c  x 4x   1  (a; b; c; 0; a  b  c 0) . Bµi 3 . c b a a b c a b  x ac x bc x 4x HD: 1  1   1 3  1  c b a a b c a b  x a c x bc x 4x  1  1   1 4  c b a a b c Bµi 1 . 8 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------a  b  c 4( a  b  c  x )  1 1 1  4(a  b  c  x)  (a  b  c  x)      (a  b  c  x).  0 a b c abc a b c c b a  (a  b  c ) 2  4abc  4  a b c   (a  b  c  x)   0  (a  b  c  x )   0 a b c  abc  abc(a  b  c )  NÕu  ... 0  (a  b  c  x) 0  x a  b  c NÕu  ... 0 th× ph¬ng tr×nh v« sè nghiÖm. b. hÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt cã hai Èn sè: + D¹ng tæng qu¸t:  ax  b 0 ' '  a x  b 0 + C¸ch gi¶i: - Ph¬ng ph¸p thÕ. - Ph¬ng ph¸p céng ®¹i sè. + Sè nghiÖm sè: - NÕu a  a ' Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã mét nghiÖm . - NÕu a a ' ; b b ' ; c c ' Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« nghiÖm . - NÕu a a ' ; b b ' ; c c ' Th× hÖ ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. + TËp nghiÖm cña mçi ph¬ng tr×nh biÓu diÔn trªnmÆt ph¼ng to¹®é lµ ®å thÞ hµm sè d¹ng: y ax  b VÝ dô: Gi¶i c¸c HPT sau: 2x  y  3 � Bµi1: � 3x  y  7 � Gi¶i: 2x  y  3 � + Dïng PP thÕ: � 3x  y  7 � �y  2 x  3 �y  2 x  3 �x  2 �x  2 �� �� �� �� 3x  2 x  3  7 5 x  10 � � �y  2.2  3 �y  1 �x  2 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: � �y  1 2x  y  3 5 x  10 � � �x  2 �x  2 + Dïng PP céng: � �� �� �� 3x  y  7 3x  y  7 3.2  y  7 � � � �y  1 �x  2 Vaäy HPT ®· cho cã nghiÖm lµ: � �y  1 2 x  3 y  2 � Bµi2: � §Ó gi¶i lo¹i HPT nµy ta thêng sö dông PP céng cho thuËn lîi. 5x  2 y  6 � 2 x  3 y  2 10 x  15 y  10 11y  22 � � � �y  2 �x  2 �� �� �� �� � 5x  2 y  6 10 x  4 y  12 5x  2 y  6 5 x  2.(2  6) � � � � �y  2 �x  2 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ � �y  2 9 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3 �2 �x  1  y  1 � Bµi 3: � � 2  5  1 � �x  1 y *§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thÓ sö dông hai c¸ch gi¶i sau ®©y: + C¸ch 1: Sö dông PP céng. §K: x �1, y �0 . 3 �2 �2 1 3 �y  1 �y  1 � � �x  1  y  1 �y  2 � � � � �x  1   �x   �� � �2 � �2 �� 2�� 2 5 �  1 �  4 � 2  5  1 � 2  5 1 � � � �y  1 �y  1 �x  1 1 �x  1 � � �x  1 y �x  1 y 3 � �x   2 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ � � �y  1 + C¸ch 2: Sö dông PP ®Æt Èn phô. §K: x �1, y �0 . 2a  5b  1 � 2a  5.1  1 � a  2 1 �2a  3b  1 � 1  b . HPT ®· cho trë thµnh: � §Æt �� �� �� a ; y 2b  2 b 1 b 1 x 1 �2a  5b  1 � � � �1  2 3 � � �x  1 �x   �� �� 2 (TM§K) 1 � 1 �y  1 � �y � 3 � �x   2 Vaäy HPT cã nghiÖm lµ � � �y  1 Lu ý: - NhiÒu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. - Cã thÓ thö l¹i nghiÖm cña HPT võa gi¶i. Bµi tËp vÒ hÖ ph¬ng tr×nh: Bµi 1: Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp theá) 1.1: 1.2. 7x  3y  5 �x  y  3 � a) � b) � 3x  4 y  2 � �4 x  y  2 � �x  2 2 y  5 a) � �x 2  y  2 Bµi 2 : Giaûi caùc heä phöông trình sau (baèng pp coäng ñaïi soá) 3x  y  3 � 2.1. a ) � 2x  y  7 � � �x 2  3 y  1 2.2. a ) � 2 x  y 2  2 � 4x  3y  6 � b) � 2x  y  4 � 3 x  2 y  10 � � c) � 2 1 x y 3 � 3 � 3 � 5x 3  y  2 2 � b) � �x 6  y 2  2 10 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bµi 3 : �x  3 y  1 Giaûi heä phöông trình � 2 trong moãi tröôøng hôïp sau (m  1) x  6 y  2m � a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1 �2 x  by  4 Bµi 4 a) Xaùc ñònh heä soá avaøb, bieát raèng heä phöông trình � coù nghieäm laø (1; -2) bx  ay  5 � b) Cuõng hoûi nhö vaäy neáu heä phöông trình coù nghieäm  2  1; 2  �2 x  y  2 �x  3 y  1 Bµi 5 : Giaûi heä phöông trình sau: � n �2m   2 � �m  1 n  1 a) Töø ñoù suy ra nghieäm cuûa heä phöông trình � � m  3n  1 �m  1 n  1  2 x  ay b Bµi 6 : Cho hÖ ph¬ng tr×nh   ax  by 1 a) Gi¶i hÖ khi a =3 ; b =-2 b) T×m a;b ®Ó hÖ cã nghiÖm lµ (x;y) = ( 2 ; 3 ) Bµi 7 : Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau: (pp ®Æt Èn phô)  1 xy   7.1)   5   x  y 2 2 x y 4 3 x y � 3x  3 y  3  2 3 � 7.4) � ; � 2x  3y  6  2 7.7) 7.2)  3 x  4 y  8   2 x  y 2 ( x  1)  2( y  2)  5 � 7.5) � ; 3( x  1)  ( y  2)  1 � ( x  1)( y  2)  ( x  1)( y  3)  4 � ; � ( x  3)( y  1)  ( x  3)( y  5)  1 � �1 1 4 �x  y  5 � 7.9) � ; 1 1 1 �  � �x y 5 7.3) 7.8)  3 x  2  4 y  2 3 (®k x;y 2 )   2 x  2  y  2 1 7.6) ( x  5)( y  2)  ( x  2)( y  1) � . � ( x  4)( y  7)  ( x  3)( y  4) � 3( x  y )  5( x  y )  12 � ; � 5( x  y )  2( x  y )  11 � 2 �1 �x  y  x  y  2 � 7.10) � ; 7.11) 5 4 �  3 � �x  y x  y …………………… 5 5 � 1 �2 x  3 y  3 x  y  8 � ; � 3 5 3 �   � 8 �2 x  3 y 3 x  y c.Ph¬ng tr×nh bËc hai - hÖ thøc vi - Ðt 1.C¸ch gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 ( a �0)  b 2  4ac 11 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------* NÕu  > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = -b -  ; x2 = -b +  2a 2a * NÕu  = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = -b 2a * NÕu  < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm Chó ý: Trong trêng hîp hÖ sè b lµ sè ch½n th× gi¶i ph¬ng tr×nh trªn b»ng c«ng thøc nghiÖm thu gän: b’= 1 b 2 vµ  ' = b ' 2  ac * NÕu  ' > 0 ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = -b' -  ' ; x2 = -b' +  ' a a * NÕu  ' = 0 ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp: x1 = x2 = * NÕu  ' < 0 th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. -b' a 2.§Þnh lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 là nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 S = x 1 + x2 = p = x1x2 = (a  0) thì b a c a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p th× hai sè ®ã là nghiÖm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2: x2 – S x + p = 0 3. To¸n øng dông ®Þnh lý ViÐt I. TÝnh nhÈm nghiÖm. XÐt ph¬ng tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0) c a  NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = 1 , x2 =  NÕu a – b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm x1 = -1 , x2 = - c a  NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn vµ  0 th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 = m , x2 = n ( hoÆc x1 = n , x2 = m) II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1  3 ; x2  2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên �S  x1  x2  5 vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: �P  x1 x2  6 Theo hệ thức VI-ÉT ta có � x 2  Sx  P  0 � x 2  5 x  6  0 Bài tập áp dụng: 1. x1 = 8 2. x1 = 3a 3. x1 = 36 4. x1 = 1  2 vµ vµ vµ vµ x2 = -3 x2 = a x2 = -104 x2 = 1  2 12 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x 2  3x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : y1  x2  1 1 và y2  x1  x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: �1 1 � 1 1 x x 3 9  x1   ( x1  x2 )  �  � ( x1  x2 )  1 2  3   x1 x2 x1 x2 2 2 �x1 x2 � 1 1 1 1 9 P  y1 y2  ( x2  )( x1  )  x1 x2  1  1   2  1 1  x1 x2 x1 x2 2 2 S  y1  y2  x2  Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y 2  Sy  P  0 9 9 y2  y   0 � 2 y2  9 y  9  0 2 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3 x 2  5 x  6  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1  x1  5 6 1 1 và y2  x2  x2 x1 1 2 2 (Đáp số: y  y   0 hay 6 y 2  5 y  3  0 ) 2/ Cho phương trình : x 2  5 x  1  0 có 2 nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả mãn y1  x14 và y2  x24 (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của các nghiệm của phương trình đã cho). (Đáp số : y 2  727 y  1  0 ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x 2  2 x  m 2  0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1 ; y2 sao cho : (Đáp số a) y1  x1  3 và y2  x2  3 b) y1  2 x1  1 và y2  2 x2  1 a) y 2  4 y  3  m 2  0 b) y 2  2 y  (4m2  3)  0 ) III. TÌM HAI SỐ BIẾT TæNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : (§iều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 ) x 2  Sx  P  0 Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b =  3 và tích P = ab =  4 Vì a + b =  3 và ab =  4 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x 2  3 x  4  0 giải phương trình trên ta được x  1 và x2  4 Vậy nếu a = 1 thì b =  4 nếu a =  4 thì b = 1 Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 1. S = 3 và P=2 1 13 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2. S =  3 và P=6 3. S = 9 và P = 20 4. S = 2x và P = x 2  y2 Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2. a  b = 5 và ab = 36 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b. T ừ a  b  9 �  a  b  2  81 � a 2  2ab  b 2  81 � ab  81   a 2  b 2  2  20 x 4 � x2  5 � 1 2 Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x  9 x  20  0 � � Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 nếu a = 5 thì b = 4 2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c =  b ta có : a + c = 5 và a.c =  36 x  4 � x2  9 � 1 2 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : x  5 x  36  0 � � Do đó nếu a =  4 thì c = 9 nên b =  9 nếu a = 9 thì c =  4 nên b = 4 2 2 2 2 Cách 2: Từ  a  b    a  b   4ab �  a  b    a  b   4ab  169 a  b  13 � 2 �  a  b   132 � � a  b  13 � x  4 � x2  9 � 1 2 *) Với a  b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x  13x  36  0 � � Vậy a = 4 thì b = 9 x 4 � x2  9 � 1 2 *) Với a  b  13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : x  13 x  36  0 � � Vậy a = 9 thì b = 4 3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: a  b  11 � a  b  11 � T ừ: a2 + b2 = 61 �  a  b   a 2  b 2  2ab  61  2.30  121  112 � � 2 x  5 � x2  6 � 1 2 *) Nếu a  b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: x  11x  30  0 � � Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5 x 5 � x2  6 � 1 2 *) Nếu a  b  11 và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : x  11x  30  0 � � Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. IV. T×m ®iÒu kiÖn cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh bËc hai cã mét nghiÖm x = x1 cho tríc .T×m nghiÖm thø 2 C¸ch gi¶i: 14 C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- T×m ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x= x1 cho tríc cã hai c¸ch lµm: +) C¸ch 1:- LËp ®iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh bËc 2 ®· cho cã 2 nghiÖm:  0 (hoÆc / 0 ) (*) - Thay x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho ,t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè - §èi chiÕu gi¸ trÞ võa t×m ®îc cña tham sè víi ®iÒu kiÖn(*) ®Ó kÕt luËn +) C¸ch 2: - Kh«ng cÇn lËp ®iÒu kiÖn  0 (hoÆc / 0 ) mµ ta thay lu«n x = x1 vµo ph¬ng tr×nh ®· cho, t×m ®îc gi¸ trÞ cña tham sè - Sau ®ã thay gi¸ trÞ t×m ®îc cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh vµ gi¶i ph¬ng tr×nh Chó ý : NÕu sau khi thay gi¸ trÞ cña tham sè vµo ph¬ng tr×nh , mµ ph¬ng tr×nh bËc hai nµy cã  < 0 th× kÕt luËn kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña tham sè ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1 cho tríc.  §Ó t×m nghiÖm thø 2 ta cã 3 c¸ch lµm: +) C¸ch 1: Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo ph¬ng tr×nh råi gi¶i ph¬ng tr×nh (nh c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tæng 2 nghiÖm sÏ t×m ®îc nghiÖm thø 2 +) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cña tham sè t×m ®îc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiÖm,tõ ®ã t×m ®îc nghiÖm thø2 V. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm x1  x2 và tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 1.Ph¬ng ph¸p: Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x1  x2 ) và x1 x2 D¹ng 1. x12  x22  ( x12  2 x1 x2  x22 )  2 x1 x2  ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 D¹ng 2. x13  x23   x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2  �  x1  x2   3x1 x2 � � � 2 2 2 D¹ng 3. x14  x24  ( x12 )2  ( x22 )2   x12  x22   2 x12 x22  � ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2 � � � 2 x1 x2 2 D¹ng 4. 2 1 1 x1  x2   x1 x2 x1 x2 D¹ng 5. x1  x2  ? Ta biết  x1  x2  2   x1  x2  2  4 x1 x2 � x1  x2  �  x1  x2  2  4 x1 x2  D¹ng 6. x12  x22   x1  x2   x1  x2  =  ( x1  x 2 ) 2  4 x1 x 2 .( x1  x 2 )  D¹ng 7. x13  x23 =  x1  x2   x12  x1 x2  x22    x1  x2  � =…….  x1  x2   x1 x2 � � � 2 D¹ng 8. x14  x24 =  x12  x22   x12  x22  =…… D¹ng 9. x16  x26 = ( x12 )3  ( x22 )3   x12  x22   x14  x12 x22  x24  = ……..   D¹ng 10. x16  x26 ( x 2 ) 3  ( x 2 ) 3 ( x 2  x 2 ) ( x 2 ) 2  x 2 .x 2  ( x 2 ) 2 ... 1 2 1 2 1 1 2 2 5 5 3 3 2 2 2 2 D¹ng 11. x1  x2 = ( x1  x 2 )( x1  x 2 )  x1 .x 2 ( x1  x 2 ) D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 D¹ng13 x  x 2  2a 1 1 S  2a   1  x1  a x 2  a ( x1  a )( x 2  a) p  aS  a 2 2. Bµi tËp ¸p dông: Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x 2  8 x  15  0 Không giải phương trình, hãy tính 15
- Xem thêm -