Tài liệu Các dạng phương trình lượng giác

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1) 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 → 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 ; 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 . 2) 𝑡𝑎𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1 → 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 1 𝑡𝑎𝑛𝛼 .3) 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 .4) 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝛼 = 1 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 .5) 𝑡𝑎𝑛𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 .6) 𝑐𝑜𝑡𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑖𝑛𝛼 .7) cos 𝑎 ± 𝑏 = cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 ∓ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 .8) sin 𝑎 ± 𝑏 = 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 ± 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 .9) tan 𝑎 ± 𝑏 = (𝑡𝑎𝑛𝑎 ± 𝑡𝑎𝑛𝑏) (1 ∓ 𝑡𝑎𝑛𝑎𝑡𝑎𝑛𝑏) .10) 𝑠𝑖𝑛2𝛼 = 2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 = 𝑠𝑖𝑛2𝛼 2 .11) 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 − 1 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 → 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 = (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝛼) 2 ; 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼 = (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼) 2 .12) 𝑠𝑖𝑛3𝛼 = 3𝑠𝑖𝑛𝛼 − 4𝑠𝑖𝑛3 𝛼 → 𝑠𝑖𝑛3 𝛼 = (3𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑠𝑖𝑛3𝛼) 4 .13) 𝑐𝑜𝑠3𝛼 = 4𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 − 3𝑐𝑜𝑠𝛼 → 𝑐𝑜𝑠 3 𝛼 = (3𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑐𝑜𝑠3𝛼) 4 .14) cos 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑏 = cos 𝑎 + 𝑏 + cos 𝑎 − 𝑏 2 .15) 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 = cos 𝑎 − 𝑏 − cos 𝑎 + 𝑏 2 .16)𝑠𝑖𝑛𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 = sin 𝑎 + 𝑏 + sin 𝑎 − 𝑏 2 .17)𝑐𝑜𝑠𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏 = 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 sin 𝑎 + 𝑏 − sin 𝑎 − 𝑏 2 . 18) cos 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 .19) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑦 = −2𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 2 . 20)𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛 𝑥+𝑦 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 2 2 2 . 21)𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥+𝑦 2 𝑠𝑖𝑛 𝑥−𝑦 2 22)𝑡𝑎𝑛𝑥 ± 𝑡𝑎𝑛𝑦 = sin⁡ (𝑥 ± 𝑦) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦 .23) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 24) 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑡2𝑥 . 25) 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑎2 +𝑏 2 𝑠𝑖𝑛⁡ (𝑥 + 𝛼) 26) 𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 sin 𝑥 ± 𝜋 3 . 27) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 sin 𝑥 ± 𝜋 6 28) 𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 sin 𝑥 ± 𝜋 4 ; 29) 𝑐𝑜𝑠𝑥 ± 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2cos⁡ (𝑥 ∓ 𝜋 4) 30) (𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 = 1 ± 𝑠𝑖𝑛2𝑥 → 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = ± (𝑠𝑖𝑛𝑥 ± 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 − 1 2 31) 𝑐𝑜𝑠 −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑠𝑖𝑛 −𝛼 = −𝑠𝑖𝑛𝛼 ; tan(−𝛼) = 𝑡𝑎𝑛𝛼 32) 𝑠𝑖𝑛 𝜋 − 𝛼 = 𝑠𝑖𝑛𝛼 ; 𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑡𝑎𝑛 𝜋 − 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 33) 𝑠𝑖𝑛 𝜋 2 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 ; 𝑡𝑎𝑛 𝜋 2 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝛼 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ GÓC ĐẶC BIỆT: 𝛼 GT 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑡𝑎𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑡𝛼 00 0 0 1 0 ∥ 300 𝜋 6 1/2 3 2 1 3 3 450 𝜋 4 2 2 2 2 1 1 600 𝜋 3 3 2 1/2 3 1 3 900 𝜋 2 1 0 ∥ 0 1200 2𝜋 3 3 2 -1/2 1350 1500 3𝜋 4 5𝜋 6 1/2 2 2 − 2 2 − 3 2 -1 − 3 −1 3 -1 −1 3 − 3 1800 𝜋 0 -1 0 ∥ 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN: 𝟏) 𝒔𝒊𝒏𝒙 = 𝒎 𝒎 ≤ 𝟏 : 𝒙𝟏 = 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒎 + 𝟐𝒌𝝅; 𝒙𝟐 = 𝝅 − 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝒎 + 𝟐𝒌𝝅 𝟐) 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 𝒎 𝒎 ≤ 𝟏 : 𝒙 = ±𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝒎 + 𝟐𝒌𝝅 𝟑) 𝒕𝒂𝒏𝒙 = 𝒎 ∶ 𝒙 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒎 + 𝒌𝝅 Để giải phương trình dạng 𝒂 𝒔𝒊𝒏𝒙 ± 𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒃𝒔𝒊𝒏𝒙𝒄𝒐𝒔𝒙 + 𝒄 = 𝟎 𝑡𝑎 đặ𝑡 𝒕 = 𝒔𝒊𝒏𝒙 ± 𝒄𝒐𝒔𝒙. I.Sử dụng phép biến đổi lượng giác để đơn giản phương trình: 1) 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ; 2) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 3) 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = (𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 1) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ; 4) 𝑐𝑜𝑠 8 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛8 𝑥 = 17 16𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 5) 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 = 7 cot 𝑥 + 𝜋 3 cot⁡ (𝜋 6 − 𝑥) 8 ; 6) 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 7) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 𝜋 4 = 1 4 ; 8) 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛6 𝑥 = 0 9) 3𝑡𝑎𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 2 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ; 10) 𝑐𝑜𝑠(4𝑥 3) = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 11)𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 4) ; 12 𝑐𝑜𝑠10𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 + 6𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 8𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠 3 3𝑥 13) 𝑠𝑖𝑛2𝑥 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ; 14)𝑠𝑖𝑛 2𝑥 + 5𝜋/2 − 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 7𝜋/2 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 15)𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3 4𝑥; 16)𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 2 4 𝑥 𝑥 𝜋 𝑥 17)1 + 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 − ; 18)𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛3𝑥 = 2 2 2 4 2 19)𝑠𝑖𝑛2 4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥 = 𝑠𝑖𝑛(21𝜋 2 + 10𝑥); 20) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 21) = 16 1 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 ; 22) 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 1/𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 1/𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 23) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ; 24) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 25) (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2) ( 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑥 ) = 𝑡𝑎𝑛2 ; 26) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 2 2 27) 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 28)𝑠𝑖𝑛2,5𝑥 = 5𝑐𝑜𝑠 3 𝑥𝑠𝑖𝑛0,5𝑥 29) (𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4𝑥) 𝑐𝑜𝑡2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 2 ; 30) 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 31) 𝑐𝑜𝑠𝑥 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3 2 − 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1; 32)4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 1 3 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 33)2𝑐𝑜𝑠13𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠5𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠 3 4𝑥; 34)𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 2 = 0 35) (𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥)2 − 5 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − 𝜋 6) ; 36 3𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 = 1 37) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0 ; 38) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 = 1,5 39) 2𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 4𝑠𝑖𝑛2 2𝑥𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ; 40) 3𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠9𝑥 = 1 + 4𝑠𝑖𝑛3 3𝑥 41)𝑐𝑜𝑠7𝑥𝑐𝑜𝑠5𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 − 𝑠𝑖𝑛7𝑥𝑠𝑖𝑛5𝑥; 42)𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 43) 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3 4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 ; 44) 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0 𝜋 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 46) 3𝑡𝑎𝑛6𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡4𝑥 2 𝑠𝑖𝑛8𝑥 45) 2𝑐𝑜𝑠 2 47) 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥+𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 − 3 = 𝑐𝑜𝑠4𝑥 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 ; 48) 𝑠𝑖𝑛5𝑥 5𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1 49) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 5 = 2 2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 50) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 2𝑥 = 11/3 51) 1 2(𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = ; 52) 1 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 1 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 53) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠6𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2 54) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0 55) 8 2𝑐𝑜𝑠 6 𝑥 + 2 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 6 2𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 − 1 = 0 56) 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 𝜋 4 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝜋 2 ; 57) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝜋 4 = 𝑐𝑜𝑠 2 (3𝑥 + 𝜋 2) 58) 4𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛4𝑥 ; 59) 16𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥𝑐𝑜𝑠8𝑥 = 1 60) 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 8𝑥 = 𝑠𝑖𝑛 10𝑥 + 17𝜋 2 ; 61) 1 + 2𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 5 = 3𝑐𝑜𝑠(4𝑥 5) 62) 3𝑡𝑎𝑛 𝑥 − 𝜋 12 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝜋 12 = 1 ; 63) 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 2𝑐𝑜𝑡 3 2𝑥 64) 3𝑡𝑎𝑛6𝑥 − 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡4𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛8𝑥 ; 65) 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 3 + 2 𝑠𝑖𝑛2𝑥 66) (1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)2 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 67) 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 4𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 1 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥(7𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 4) 68) 2𝑠𝑖𝑛3𝑥 1 − 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 1 ↔ 𝑠𝑖𝑛6𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 69) 𝑠𝑖𝑛10 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠10 𝑥 = 29 64 ↔ 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 0 II.Biến đổi về phương trình tích: 1) 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = (1 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥) (1 − 𝑠𝑖𝑛3 𝑥) ; 2) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 3) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 = 3 − 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ; 4) 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 3𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 + 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 3 5) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 3 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 3 3 ; 6) 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 1 4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 7) 2𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ; 8) 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 9) 3(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥) 3(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥) − 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 ; 10) − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑡2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 11) 3 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 5 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2 ; 12) 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2𝑥 = 4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 13)1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥; 14)𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 15) 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0 ; 16) 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 3𝑥 𝑥 3𝑥 1 𝜋 1 1 17) 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠 − 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛 = ; 18) 2 2𝑠𝑖𝑛 𝑥 + = + 2 2 2 2 2 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 19) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0 ; 20) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 4𝑥 = 2 21) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛4𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛3𝑥 ; 22) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 2(𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 23) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 ; 24) 𝑐𝑜𝑡2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡3𝑥 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛3𝑥 25) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 + 3𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 26) 𝑠𝑖𝑛4𝑥 − 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 1 + 4 2𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝜋 4) 1 2 − 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑥 𝑥 𝜋 𝑥 27) = ; 28) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠 + 1 = 2𝑐𝑜𝑠 2 − 2 3 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 2 2 4 2 29)2𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 1 1 3(1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥) 𝜋 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠3𝑥 + ; 30)3𝑡𝑎𝑛3 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛𝑥 + − 8𝑐𝑜𝑠 2 − =0 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 4 2 31) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 2𝑥 = 4𝑠𝑖𝑛2 𝜋 𝑥 7 − − ; 32) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 4 2 2 1 8 𝜋 1 33) 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝜋 = + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠 𝑥 + + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 3 3 2 3 34) 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ; 35) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 36) (1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 = + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 4(1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) 2 37) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 38) 4𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 3 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 8𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 39) 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 3(4𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1) 40) 9𝑠𝑖𝑛𝑥 + 6𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 8 ; 41) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 + 3𝑡𝑎𝑛𝑥 III.Đặt ẩn phụ: 1)𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝜋 4 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥 ; 2) 𝑠𝑖𝑛 3𝑥 − 𝜋 4 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝜋 4) 3) 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 − 𝜋 4 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 − 1 ; 4) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 5)8𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝜋 3 = 𝑐𝑜𝑠3𝑥; 6)𝑡𝑎𝑛 3𝑥 + 1200 − 𝑡𝑎𝑛 1400 − 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛(800 + 2𝑥) 7) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1,5𝑐𝑜𝑡𝑥 ; 8) 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 3 𝑥 = 6 9)3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 6 3 = 6; 10)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 3 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 11)𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3 ; 12)𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 10 3 13) 2 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 4 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝜋 4 − 𝑠𝑖𝑛(2𝑥 + 𝜋 4) IV.Đưa về phương trình của tanx: 1) 6𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 5𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 2) 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 3 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 3)2 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛3𝑥 ; 4) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 1 = 3𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3 5) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 ; 6) 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 7) 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 6 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 ; 8) 2𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡2𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2𝑥 9) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ; 10) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 11) 𝑐𝑜𝑡𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 2𝑡𝑎𝑛2𝑥 ; 12) 1 + 3𝑡𝑎𝑛𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 13) 1 + 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛𝑥 ; 14) 𝑡𝑎𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1,5𝑐𝑜𝑡𝑥 15) 9 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0 ; 16) 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3(𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥) 17) 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 5𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ; 18) 4𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 V.Phương trình chứa giá trị tuyệt đối và căn thức: 1) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 ; 2) 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 3)3𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2 = 0 ; 4) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1 − 3𝑠𝑖𝑛3𝑥 5) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 6) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 7) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 3𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2; 8) 5𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 9) 5 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 − 2𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 10) 2𝑠𝑖𝑛 3𝑥 + 𝜋 4 = 1 + 8𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 11) 1 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 12) 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 13) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 14) 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 6 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 15) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥; 16) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 17) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 18) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 19) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 1 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 20) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 21) (𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥) 2; (2 − 𝑠𝑖𝑛2𝑥) 4 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 ; 22) 3 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 VI.Các phương trình lượng giác đặc biệt: 1) 𝑠𝑖𝑛8 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛4 𝑥𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 1 = 0 ; 2) 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 0,25𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2 3𝑥 3)𝑠𝑖𝑛4𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 0; 4)𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 2 − 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 5) 𝑠𝑖𝑛6 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛3 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑦 + 1 = 0 ; 6) 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2(2 − 𝑠𝑖𝑛 1,5𝑥 ) 7) 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2 − 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 = 2 1 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ; 8) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 3 9) 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 1 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 1 = 1 ; 10) 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2(2 − 𝑠𝑖𝑛3𝑥) 11) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠6𝑥 + 12𝑠𝑖𝑛𝑥 − 16𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 4 = 0 ; 12) 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + 𝑥 2 = 0 13) 𝑠𝑖𝑛𝑚 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝑥 = 1 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑁; 𝑚, 𝑛 > 2 ; 14) 7𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 8𝑠𝑖𝑛100 𝑥 = 8 15) 𝑥 2 − 2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0 ; 16) 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 2𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑥 2 + 3 = 0 17) (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 )2 + (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 = 12 + 0,5𝑠𝑖𝑛𝑦 18)4𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 − 4 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 3𝑡𝑎𝑛𝑥 + 4 = 0 ; 18′)𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 4 = 0 19) (𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 )2 + (𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥)2 = 3,5 + 2𝑠𝑖𝑛𝑦 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑦 20) 𝑇ì𝑚 𝑐á𝑐 𝑔𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑎, 𝑏 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚: 𝑥 2 + 5 = 2 𝑥 − 2𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏) 21) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥 ; 22)3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2 3𝑡𝑎𝑛𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 = 0 𝑦 𝑦 23) 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 1 + 2 ; 23) 6 − 4𝑥 − 𝑥 2 = 5 sin⁡ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 24)𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 8𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 12𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2 16𝑥 + 2 7 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 7.Phương trình chứa tham số: 1) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó đú𝑛𝑔 7 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚 𝑡𝑕𝑢ộ𝑐 𝑘𝑕𝑜ả𝑛𝑔 – 𝜋 2 ; 2𝜋 : 𝑐𝑜𝑠3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑚𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 = 0 ( 1 < 𝑚 < 3 ) 2) 𝑋á𝑐 đị𝑛𝑕 𝑐á𝑐 𝑔𝑖á 𝑡𝑟ị 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑕𝑎𝑚 𝑠ố 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 8 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚 𝑡𝑕𝑢ộ𝑐 𝑘𝑕𝑜ả𝑛𝑔 0; 3𝜋 : 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑚 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑚 = 0 (− 2 3 < 𝑚 < 2 ) 3) 𝑇ì𝑚 𝑎 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 4 𝑛𝑔 ∈ 0; 2𝜋 : 𝑎𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑡𝑥 ( 𝑎 < 1; 𝑎 = 2) 4) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚 𝑑𝑢𝑦 𝑛𝑕ấ𝑡 𝑡𝑕𝑢ộ𝑐 đ𝑜ạ𝑛 0; 𝜋 4 : 4 − 6𝑚 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 3 2𝑚 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 𝑚 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 − 4𝑚 − 3 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 (1 ≤ 𝑚; 𝑚 < 3 4) 5) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑑𝑛 ∈ 0; 𝜋 : 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑚 = 0 ( 𝑚 < 2 ) 6) 𝑇ì𝑚 𝑐á𝑐 𝑔𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑕𝑠ố 𝑎 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑕𝑖ề𝑢 𝑕ơ𝑛 1 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 2 : 1 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 + 3𝑎 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑎 ≠ 0,5; 1 3 < 𝑎 < 1 ) 7) Tìm các gt của thsố m để các pt sau có ng: 𝑎) (𝑠𝑖𝑛6 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑚𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑚 > 0,25 ; 𝑏) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑚2 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 ( 𝑚 ≥ 2 2) 𝑐) 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 1 + 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0 ( 𝑚 < 4 ) 8) 𝑇ì𝑚 𝑎 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 12 : 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 + 𝑎𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ( 0 < 𝑎 < 1 ) 9) 𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 2 : 𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 + 0,5 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑚 ≤ − 2 − 1 ) 10)𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑑𝑛 ∈ 0; 𝜋 : 𝑚𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑚 = 0 ( 𝑚 < 2 ) 11)𝑇ì𝑚 𝑐á𝑐 𝑔𝑡 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑕𝑠ố 𝑎 để 𝑝𝑡 𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑕𝑖ề𝑢 𝑕ơ𝑛 1 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 2 : 1 − 𝑎 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 1 + 3𝑎 − 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑎 ≠ 0,5; 1 3 < 𝑎 < 1 ) 12)Tìm các gt của thsố m để các pt sau có ng: 𝑎) (𝑠𝑖𝑛6 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 6 𝑥) 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 𝑚𝑡𝑎𝑛2𝑥 𝑚 > 0,25 ; 𝑏) 𝑠𝑖𝑛4 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 𝑚2 𝑐𝑜𝑠 2 4𝑥 ( 𝑚 ≥ 2 2) 𝑐) 3𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑚 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 − 1 + 3 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 = 0 ( 𝑚 < 4 ) 8 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC DOÃN XUÂN HUY-THPT ÂN THI- HƯNG YÊN 13)𝑇ì𝑚 𝑎 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 ∈ 0; 𝜋 12 : 𝑐𝑜𝑠4𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 + 𝑎𝑠𝑖𝑛2 𝑥 ( 0 < 𝑎 < 1 ) 14)𝑇ì𝑚 𝑚 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚 ∈ 0; 𝜋 2 : 𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 + 0,5 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 ( 𝑚 ≤ − 2 − 1 ) 15)𝑇ì𝑚 𝑎, 𝑏 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔𝑕𝑖ệ𝑚 𝑣ớ𝑖 ∀𝑥: 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 1 + 𝑏2 = 𝑐𝑜𝑠 𝑎𝑥 + 𝑏2 − 1 16)𝑇ì𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐 để 𝑝𝑡𝑠𝑎𝑢 𝑐ó 𝑛𝑔 𝑣ớ𝑖 ∀𝑥: 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 0 17)𝐺𝑖ả𝑖 𝑣à 𝑏𝑙𝑝𝑡: 8𝑎2 + 1 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 − 4𝑎2 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2𝑎𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 = 0 18) 𝐺𝑖ả𝑖 𝑣à 𝑏𝑙𝑝𝑡: 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 ( 𝑘 ≥ 2 ) 19) 𝐶𝑕𝑜 𝑝𝑡 4𝑐𝑜𝑠 5 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 4𝑠𝑖𝑛5 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2 4𝑥 + 𝑚 ∗ . 𝐵𝑖ế𝑡 𝑥 = − 𝜋 8 𝑙à 1 𝑛𝑔 Của (*) . Hãy tìm các ng của (*) tmbpt: 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 2 < 0 . 20) Xác định các gt của thsố m để 2pt sau tương đương: 𝑎)3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 1 = 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥 & 𝑚𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 4 − 8𝑚 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 7𝑚 − 4 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 8𝑚 − 4 = 0 𝑏) 2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠3𝑥 & 4𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 4𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠3𝑥 = 𝑚𝑐𝑜𝑥 + 4 − 𝑚 (1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥) 𝑐) 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 & 𝑠𝑖𝑛3𝑥 − 𝑚𝑠𝑖𝑛𝑥 = (4 − 2 𝑚 )𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑) 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 & 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑚 + 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2 𝑚 − 1 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑒) 2𝑠𝑖𝑛7 𝑥 − 1 − 𝑚 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 2𝑚3 − 2𝑚 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0 & 2𝑠𝑖𝑛6 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 + 𝑚 − 2𝑚3 + 𝑚𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑓) 2𝑠𝑖𝑛1,5𝑥𝑠𝑖𝑛0,5𝑥 = 1 & 𝑐𝑜𝑠3𝑥 + 2 𝑚 − 2 − 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 6 − 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 21) Tìm các gt của a và b để 2 pt sau tđ với nhau: 𝑎𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑎 2𝑠𝑖𝑛𝑥 & 2𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑏 = 2𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1 22) Tìm m để bpt sau đúng với ∀𝑥 ∈ 0; 𝜋 2 : 𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝑚𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 3𝑠𝑖𝑛𝑥 ≥ 0 ( 𝑚 ≥ −2 2 ) 23) Tìm m để bpt sau đúng với ∀𝑥 ∈ 0; 𝜋 4 : 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 − 𝑚(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) ≥ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥(𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) 24) Tìm a để hpt sau có ngdn: 𝑎𝑥 2 + 𝑎 − 1 = 𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑦 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑦 2 = 1 --------------------- // -------------------