Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và ứng dụng

  • Số trang: 56 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 158 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 14392 tài liệu

Mô tả:

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong khoa và các thầy cô trong tổ toán ứng dụng - khoa Toán trường ĐHSPHN2 đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp tại trường. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Mạnh Tiến đã giúp đỡ, hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2010 Sinh viên Đỗ Thị Thu Hiền Đỗ Thị Thu Hiền 1 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian vừa qua dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Mạnh Tiến. Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng với bất kỳ khóa luận tốt nghiệp nào khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà Nội, tháng 5 năm 2010 Sinh viên Đỗ Thị Thu Hiền Đỗ Thị Thu Hiền 2 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 MỤC LỤC Phần mở đầu…………………………...…………………………………….1 Chƣơng 1. Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên…………………...……2 1.1. Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên …………………………...…2 1.2. Quan hệ giữa các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên ……….…..8 1.3. Dãy cơ bản và tiêu chuẩn Cauchy ………………...…………….…....18 Chƣơng 2. Ứng dụng của các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên…….24 2.1. Hàm đặc trưng ……………………...……………………………….….24 2.2. Ứng dụng của các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên ………...….….28 2.2.1. Một số bất đẳng thức ………………...……………………….….28 2.2.2. Luật số lớn và ứng dụng …………………...………………….…30 2.2.3. Định lý giới hạn trung tâm và ứng dụng ………………...............40 Kết luận ……………………………...……………………………………..52 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………53 Đỗ Thị Thu Hiền 3 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 PHẦN MỞ ĐẦU Trong toán học, lý thuyết xác suất nói chung và hàm ngẫu nhiên nói riêng là bộ môn có ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống. Nó là công cụ để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, sinh vật và nhiều ngành khoa học khác. Chính vì vậy em đã chọn đề tài: “Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và ứng dụng”. Nội dung của khóa luận bao gồm Chƣơng 1: Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên Trong chương này, em đã trình bày sơ lược một số kiến thức về định nghĩa các dạng hội tụ, mối quan hệ giữa chúng và tiêu chuẩn Cauchy về các dạng hội tụ. Chƣơng 2: Ứng dụng của các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên Trong chương này, em trình bày một số ứng dụng của các dạng hội thông qua một số bất đẳng thức và một số định lý giới hạn và ứng dụng của chúng. Đỗ Thị Thu Hiền 4 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 CHƢƠNG 1 SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN 1.1. CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên X cùng xác định trên không gian xác suất  ,A, P  . Định nghĩa 1.1. (Hội tụ hầu chắc chắn hay hội tụ mạnh) Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n   nếu tồn tại A A sao cho P A  0 và: X n    X   , n  ,   A   \ A Kí hiệu h.c.c X n   X ,n   Hội tụ hầu chắc chắn còn được gọi là hội tụ với xác suất 1 h.c.c P  X n   X   1, n     hay P  : lim X n    X    1 n Từ định nghĩa trên ta có .c.c X n h  X , n   nếu với   0,   A   \ A , tồn tại N  ,    0 sao cho X n    X     , n  N  ,  Định nghĩa 1.2. (Hội tụ theo xác suất hay hội tụ yếu) Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi n   nếu với   0 thì lim P  X n  X     0 n Đỗ Thị Thu Hiền 5 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Kí hiệu P X n  X, n  Từ định nghĩa trên ta có P Xn   X , n   nếu với   0,   0 , tồn tại N  ,   sao cho P X n  X      , n  N  ,  Chú ý 1. Ta có   : X n    X         : X n    X         P Xn  X     P Xn  X     1 Mà theo định nghĩa 1.2 ta có P  X n  X     0, n   nên P  X n  X     1, n   hay lim P  X n  X     1 . n Khi đó ta có định nghĩa Định nghĩa 1.3. Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ theo xác suất P X n  X     1 đến biến ngẫu nhiên X nếu   0 thì lim n Nghĩa là P Xn   X , n   nếu với   0,   0,1 , tồn tại N  ,   sao cho P X n  X     1   , n  N  ,   Ta thấy rằng định nghĩa 1.2 và định nghĩa 1.3 là tương đương với nhau. Định nghĩa 1.4. (Hội tụ theo phân phối) Kí hiệu Fn x  FX n x : Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X n F x  FX x : Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X Ta nói rằng dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên X khi n   nếu Fn x   F x , n   với mọi x  và F x liên tục. Đỗ Thị Thu Hiền 6 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Kí hiệu d X n  X, n  Từ định nghĩa trên ta có d X n   X , n   nếu với   0 và với mọi x thuộc tập liên tục của F thì tồn tại N  , x sao cho Fn  x   F  x    , n  N  , x  Chú ý 2. Nếu d Xn   X, n  thì chưa thể kết luận được f n  x    f  x  với f n x , f x  là hàm mật độ xác suất của các biến n ngẫu nhiên X n ,X. Thật vậy ta xét ví dụ 1 1 1 , x  1   hay x  1    Với n  1,2,... xét hàm f n  x    2 2 2 0 , trái lai  Ta có lim f n  x   0  f  x   0 với mọi x  và F x  không là hàm mật độ n xác suất. Xét hàm mật độ xác suất Fn tương ứng với f n được cho bởi 1  0 , x  1   n  1 1 1 Fn  x    , 1  x 1 n n 2 1  1 , x  1  n  Đỗ Thị Thu Hiền 7 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1 1 2 0 1 1 n 1 1 n Ta thấy rằng: lim Fn  x   F  x  trong đó F x  được xác định bởi n 0 , x  1 là hàm mật độ xác suất F  x   1 , x  1 d  X , n   nhưng f n x   Vậy X n   f x , n   Định nghĩa 1.5. (Hội tụ theo trung bình) Giả sử E X n   , n  1,2,... và 1  p   p Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ theo trung bình cấp p đến biến ngẫu nhiên X nếu E X n  X  0 khi n   p Kí hiệu p X n  X , n L Trường hợp với p  2 ta gọi là hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình L2 X n  X nêu E X n  X  0 khi n   2 Có nghĩa: Với   0 ,  N     0 sao cho : E X n  X   ,  n  N    2 Ví dụ 1: Giả sử Z n là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc được xác định P  Z n  1  Đỗ Thị Thu Hiền 1 1 , P  Zn  2  1  n n 8 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 2 2 , n   Chứng minh: Z n  L Lời giải. Theo định nghĩa ta có 1 1 2 2 1 2 E Z n  2  1  2  .   2  2  1     0 , khi n   n  n n 2 2 , n   Vậy Z n  L Ví dụ 2. Giả sử Z n là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc được xác định P  Zn  0  1  1 1 , P  Zn  n  n n  0 , n   nhưng E Z n  0  Chứng minh Zn   0,n 2 p Lời giải. Ta có P  Zn     P  Zn  n   1  0 , khi n   n 0 , n   Do đó Zn  p 1 2  1 Mặt khác E Z n  2  0.1    n2 .  n   , khi n   n  n Do đó Z n không hội tụ tới 0 theo nghĩa bình phương trung bình  0 , n   nhưng E Z n  0  Vậy Zn   0,n 2 p Bài tập áp dụng Bài 1. Với n  1,2,... cho X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập sao cho P  X n  1  pn , P  X n  0  1  pn . 0 , n   Chứng minh rằng X n  p Bài 2. Với n  1,2,... cho X n là dãy biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác 0 , x  n suất Fn được cho bởi Fn  x    1 , x  n Chỉ ra rằng Fn  x    0 , x  n Đỗ Thị Thu Hiền 9 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Bài 3. Cho X  j Trường ĐHSP Hà Nội 2 j 1, n là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho  EX j   , DX j   . Chứng minh rằng E X n   2  2  0 n Bài 4. Với n  1,2,... cho X n , Yn là dãy biến ngẫu nhiên sao cho  0 với mọi biến E  X n  Yn    0 và giả sử rằng E  X n  X   n n 2 2 L2 X , n . ngẫu nhiên X. Chứng minh rằng Yn  Bài 5. Cho X j  j 1,n là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối U 0,1 và tập Yn  min  X1,..., X n  , Zn  max  X1,..., X n  , U n  nYn , Vn  n 1  Z n  Chứng minh rằng khi n   thì P P i) Yn   0 , ii) Z n  1 d iii) U n  U d , iv) Vn  V Ở đây U, V có phân phối mũ âm có tham số   1 Đỗ Thị Thu Hiền 10 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.2. QUAN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN. P Định lý 1.1. Cho  X n n1 là một dãy giảm và X n   X . Khi đó h.c.c X n   X ,n   Chứng minh Đặt Yn  X n  X P Vì X n là dãy giảm và X n   X nên Yn cũng là dãy giảm và P Yn   0 khi n   h.c.c  0, n   bằng phương pháp phản chứng Ta sẽ chứng minh Yn  Giả sử ngược lại Yn không hội tụ hầu chắc chắn đến 0 Tức là tồn tại   0,  A  A sao cho P  A    0 và sup Yk     , n tùy ý ,   A k n Vì Yn là dãy giảm nên Yn    sup Yk   k n  A    : Yn       P Yn     P  A    0 ,  n   gt : Y n P   0 h.c.c  X , n   khi và Định lí 1.2. Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 và X n    chỉ khi P  sup X k    X       0  k n    Hay P  sup X nk    X       0  k 1 Đỗ Thị Thu Hiền  11 khi n   khi n   K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh Đặt Z n  sup X k    X   , n  1,2,... k n  Dãy  Z n n1 là dãy giảm về 0 (khi n càng bé) Khi đó h.c.c P X n   X , n    Zn  0  P  sup X nk    X       0  k 1  khi n   Định lý 1.3. Ta có các khẳng định sau: i) h.c.c P  X , n   thì X n  Nếu X n   X ,n   ii) L2 P Nếu X n   X , n   thì X n   X ,n   iii) P d  X , n   thì X n  Nếu X n   X ,n   X Ta có sơ đồ X n   h .c .c P X n  X  d  X n  X L2 X n  X Bổ đề 1.1. ( Bất đẳng thức Markov) Cho X là biến ngẫu nhiên không âm và EX   . Khi đó ta có P X  a  EX , a0 a Chứng minh +) Xét X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là f X  x  khi đó  a  0 ta có  EX   a  x. f  x  dx   x. f  x  dx   x. f  x  dx X X 0 X 0 a     x. f  x  dx  a  X a Đỗ Thị Thu Hiền f X  x dx  a.P  X  a  a 12 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 +) Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm phân phối xác suất là: pX  x  . Ta có  a n 0 n 0 EX   xn pn  x    xn pn  x     x n  a 1 Vậy P  X  a   n  x n  a 1 n pn  x   pn  x   a  xn pn  x   a.P  X  a  na EX , a0 a Chứng minh định lý 1.3. i) Ta có X n   X     sup X k  X   k n   0  P  X n  X     P  sup X k  X     0 , n    k n   do X n h . c .c  X  P Vậy X n   X ,n   ii) Ta có P Xn  X     E Xn  X  0  P Xn  X     2 2 ,   0 E Xn  X 2  theo b đ t Markov  2 0, n P  X n   X ,n   Đỗ Thị Thu Hiền 13 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 iii) Giả sử x  và F  x  liên tục, với   0 ta có X Mà  x      X n  x, X  x      X n  x, X  x     X n  x, X  X n  x, X  x      X n  x và  x      X n  x,  X   x     X n  X     X n  X     X  x      X n  x   X n  X     P X  x     P X n  x  P X n  X     F  x     Fn  x   P  X n  X    , n  F  x     lim Fn  x  1 Tương tự ta có: lim Fn  x   F  x     2 Từ 1 ,  2  ta có : F  x     lim Fn  x   lim Fn  x   F  x    Cho n   ta có : F  x     lim Fn  x   F  x    Cho   0 ta có : lim Fn  x   F  x  n  n  d Vậy X n   X ,n   Đỗ Thị Thu Hiền 14 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chú ý 4 +) Từ định lý 1.1 và định lý 1.3 ta thấy h.c.c P  X  X n  X Nếu  X n n1 là dãy giảm thì: X n  khi n   +) Hội tụ theo phân phối là dạng hội tụ yếu nhất và thường được gọi là dạng hội tụ yếu tức là nó được suy ra từ tất cả các dạng hội tụ khác và do đó nó là dạng hội tụ chung nhất và có ích nhất của các biến ngẫu nhiên. Đây cũng là khái niệm hội tụ được dùng trong định lý giới hạn trung tâm và trong luật số lớn. +) Hội tụ hầu chắc chắn là khái niệm được đề cập trong luật số lớn. +) Hội tụ theo xác suất là khái niệm hội tụ đề cập trong luật yếu số lớn. d P +) Nếu X n   X , n   nhưng ngược lại thì  X , n   thì X n  không đúng. Thật vậy ta xét ví dụ: Cho S  1,2,3,4 và trong tập con của S lấy hàm rời rạc P. Khi đó ta có dãy các biến ngẫu nhiên X n 1  X n  2   1, Và X 1  X  2   0 , Thì X n  s   X  s   1, Do đó X n  3  X n  4   0 , n  1, 2,... X  3  X  4   1  sS Xn   X theo xác suât khi n   Xét hàm phân phối 0 , x  0  FX n  x    12 , 0  x  1, 1, x  1  0 , x  0  FX  x    12 , 0  x  1 1, x  1  Ta thấy FX n  FX  x  ,  x   Vậy ta có điều phải chứng minh. Đỗ Thị Thu Hiền 15 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Định lý 1.4. i) Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên. Giả sử g :    là hàm liên tục. Khi đó P P X n   X  g  X n   gX  , n   ii) Tổng quát, nếu với j  1,..., k , X n  , n  1 và X j là dãy các biến ngẫu j nhiên và g :  k   k là hàm liên tục. Khi đó:  P X n    X j  g X n  ,..., X n j 1 k   g  X ,..., X P 1 k  ,n  j  1,..., k  Chứng minh i) Theo giả thiết hàm g liên tục nên khi đó   0 ,   0 sao cho x  x0   Ta có g  x   g  x0    . Từ đấy ta có hệ thức về biến ngẫu nhiên   0 ,   0 :  X n  X      g  X n   g  X     Lấy xác suất hai vế P  X n  X     P  g  X n   g  X     P  X , n   mà vế trái hệ thức trên dần đến 1 trong khi Do giả thiết X n  vế phải bị chặn bởi 1. Vậy: P  g  X n   g  X      1 , n   P gX  , n   Vậy g  X n   ii) Chứng minh tương tự. Định lý 1.5. i) Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên. Giả sử g :    là hàm liên tục. h .c .c h.c .c  X  g  X n   gX  , n   Khi đó X n  Đỗ Thị Thu Hiền 16 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 ii) Tổng quát, nếu với j  1,..., k , X n  , n  1 và X j là dãy các biến ngẫu j nhiên và g :  k   k là hàm liên tục. Khi đó  h .c .c X n    X j  g X n  ,..., X n j 1 k   g  X ,..., X h .c .c 1 k  ,n  j  1,..., k  Định lý 1.6. i) Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên. Giả sử g :    là hàm liên tục. Khi đó d d X n   X  g  X n   gX  , n   ii) Tổng quát, nếu với j  1,..., k , X n  , n  1 và X j là dãy các biến ngẫu j nhiên và g :  k   k là hàm liên tục. Khi đó  d X n    X j  g X n  ,..., X n j 1 k   g  X ,..., X d 1 k  ,n  j  1,..., k  Chú ý 5. Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên. Giả sử g  x  là một hàm liên tục tại x  c . Khi đó P P X n   c  g  X n    g c Chứng minh. Vì g  x  là một hàm liên tục tại x  c khi đó theo định nghĩa hàm liên tục ta có:    0 ,    , c  : x  c   thì  Suy ra nếu a  x : x  c    g  x   g c      thì a  x : g  x   g  c        X n  c     g  X n   g  c    , n  *    P g  X n   g  c     P  X n  c    , n  * Đỗ Thị Thu Hiền 17 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2    1  lim P g  X n   g  c     lim P  X n  c   n   n  1 P  lim P g  X n   g  c     1 hay g  X n    g c  n Định lý 1.7. Điều kiện hội tụ theo phân phối của dãy vectơ ngẫu nhiên Giả X   X1,..., X k  sử  X    X1  ,..., X k n n n là vectơ ngẫu nhiên k chiều.Và  , n= 1, 2,… là dãy vectơ ngẫu nhiên k chiều. Khi đó d d X     X  1 X 1   ...  k X k    1 X 1  ...  k X k , n n n   1 ,..., k    k Ví dụ P L2  X , n   . Khi đó  X , n   thì X n  Ta có nếu X n  nếu L2 P  X  c   1 thì X n   X ,n    E  X n    c , D  X n   0 n n Thật vậy E  X n  c   E  X n  EX n    EX n  c   2  E  X n  EX n    EX n  c  2  D  X n    EX n  c  Do đó 2 2 2 E  X n  c    0  EX n  c n n 2 và DX n  0 n  P P  X , Yn  Y , n   thì Hệ quả. Nếu X n  i) P X n  Yn   X  Y. n P ii ) aX n  bYn   aX  bY . n P iii ) X nYn   XY . n P iv) X n / Yn   X /Y n (Với a, b là các hệ số) Đỗ Thị Thu Hiền 18 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chứng minh i) Với   0 bất kỳ, bằng phản chứng, ta được     X n  Yn    X  Y       X n  X     Yn  Y      2   2      Từ đó 0    X n  Yn    X  Y      P  X n  X    P  Yn  Y   2 2   P P  X , Yn  Y , n   mà vế phải dần đến 0 khi Do giả thiết X n  P  X  Y. n   , vậy X n  Yn  n Chứng minh ii), iii), iv) tương tự. d P  X , Yn   c , n   ( với c là hệ số) thì Định lý 1.8. Nếu X n  d X n  Yn   X  c. n i) d ii ) X nYn   cX . n d iii ) X n / Yn  X /c , c  0 n Chứng minh i ) P  X n  Yn  z   FX n Yn  z    FX c  z  n  P  X  c  z   P  X  z  c   FX  z  c  ii ) P  X nYn  z   FX nYn  z    FcX  z  n   z z  P  X  c   FX  c  , c  0       P  cX  z    P  X  z   1  F  z  , c  0 X      c c Đỗ Thị Thu Hiền 19 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 X  iii ) P  n  z   FX n / Yn  z    FX / c  z  n Y  n  X   P  X  cz   FX  cz  , c  0  P  z    c   P  X  cz   1  FX  cz  , c  0 Hệ quả. Nếu X1,..., X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập với E  X i    , D  X i    2 thì  n 1 X n   Sn và  n Xn   Sn   N  0,1 d n   N  0,1 d n Bài tập áp dụng Bài 1. Với n  1,2,... cho X n là dãy biến ngẫu nhiên có phân phối Bn, p n  với n. pn  n      0  . d CMR. X n   X , n   với X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối P  Bài 2. Cho X là đại lương ngẫu nhiên rời rạc được xác định bởi P  X  1  1 1 , P  X  1  2 2 X n  X với n chẵn, X n   X với n lẻ d Chứng minh rằng X n   X , n   nhưng Xn   X theo xác suât khi n   Đỗ Thị Thu Hiền 20 K32 CN Toán
- Xem thêm -