Mô tả:
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Dạng 1: Hệ gồm một pt bậc nhất và các pt bậc cao
1/ Phương pháp: Rút một ẩn từ pt bậc nhất thế vào các pt bậc cao
2/ Ví dụ
Ví dụ 1: giải các pt sau:
�
�
x +y = 2
- 2x + y = 1
�
�
a/ �
b/ �3
�
�
x2 + 2xy - y = 4
x + x2y + 5x = 7
�
�
�
�
�
x - y +1= 0
�
Ví dụ 2: Cho hệ pt �
�
2mx2 - my2 + 4x + 2m - 3 = 0
�
�
a/ Giải hệ khi m = 3
b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) và (2/3 ; 5/3)
b/ m = 0 hoặc m = 4
�
x2 + y2 = 1
�
Ví dụ 3: Cho hệ pt �
�
x- y =m
�
�
a/ Giải hệ khi m = 2 b/ Tìm m để hệ vô nghiệm
Giải: a/ (x ;y) =
(
2
2
;)
2
2
b/
m> 2
�
x- y- m= 0
�
Ứng dụng : Cho hệ pt �
�
y2 + 2x - 2m - 3 = 0
�
�
a/ Giải hệ khi m = 1
b/ Tìm m để hệ có 2 cặp nghiệm thõa mãn x12 + y12 = x22 + y22
ĐS: a/ (x;y) = (2;1) và (-2; -3)
b/ m = 2
Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại 1
�
f (x;y) = 0
�
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng �
�
g(x;y) = 0
�
�
trong đó khi hoán đổi x và y thì mỗi pt
không thay đổi.
�
x2 + xy + y2 = 3
�
Ví dụ: Các hệ pt �
�
xy + x + y = - 3
�
�
�
x2y + yx2 = 30
�
và �
�
xy + x + y = 11
�
�
2/ Cách giải:
2.1 Nhớ lại định lý Viet trong phương trình bậc hai
Cho pt ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì
�
-b
�
x1 + x2 =
�
�
a
�
.
�
c
�
x1x2 =
�
�
a
�
Ngược lại nếu có hai số
�
�
u +v = S
�
u ; v thỏa mãn �
thì u ; v là nghiệm của pt x2 - Sx + P = 0.
�
uv
=
P
�
�
Trường PT Triệu Sơn
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
�
u +v = 6
�
Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn �
�
uv = 8
�
�
2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1:
Đặt x+y = S và xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S và P. Từ đó suy ra x và y.
3/ Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ pt:
�
�
�
x +y = 2
x = 1+ 3
x = 1- 3
�
�
�
�
�
��
hoac �
a. �
3
3
�
�
x + y = 20 �
y = 1- 3
y = 1+ 3
�
�
�
�
�
�
�
x2 + xy + y2 = 7
�
b. �
�
x4 + x2y2 + y4 = 21
�
�
Đặt x + y = S và xy = P ta có P = 2 và S =
�3
Với P = 2; S = 3 ta có nghiệm (-1;-2) và (-2; -1)
Với P = 2 ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) và (2; 1)
c.
�6 6
�
+ + xy = 11
�
�
�x y
.
�
�
xy
+
x
+
y
=
11
�
�
Bài 2: Cho hệ pt
Nghiệm của hpt (-2; -3) và ( -3; -2)
�
x2 + y2 = m
�
�
�
x +y = 6
�
�
a. Giải hệ khi m = 26
b. Tìm m để hệ vô nghiệm
c. Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt
Giải: Ta có
�
x +y = 6
�
�
�
36 - m ,
�
xy =
�
�
2
�
khi đó x; y là nghiệm của pt X2 – 6X +
36 - m
2
= 0 (1)
a. Nghiệm của pt (1;5) và (5; 1)
b. m < 18
c. m > 18
�
5(x + y) = 4 + 4xy
�
Bài 3: Cho hệ pt �
�
x + y - xy = 1- m
�
�
a/ Giải hệ khi m = 2
b/ Tìm m để hệ có nghiệm
Giải: a. (- 4 - 7;- 4 + 7)va(- 4 + 7;- 4 � 1
�
m�
b. �
� 4
m �1
�
�
Bài 4 Tìm a để hệ pt
�
x2 + y2 = 2(1+ a)
�
�
�
(x + y)2 = 4
�
�
7)
có đúng 2 nghiệm
Giải: Đặt x+y = S và xy = P, ĐK S2 > 4P. Ta có
�
S = �2
�
�
�
P = 1- a
�
�
'
Với S = 2, P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 – 2 X + 1 – a = 0 có D 1 = a
'
Với S = -2 , P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 + 2 X + 1 – a = 0 có D 2 = a
Trường PT Triệu Sơn
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
Để hệ có đúng 2 nghiệm thì mỗi pt có nghiệm kép, suy ra a = 0
4. Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1
ĐK cần
Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 =
y0, thay vào hệ để tìm m
ĐK đủ: Thay m vừa tìm được vào hệ xem giá trị nào thỏa mãn.
�
x2 + y2 = m
�
Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt �
có nghiệm duy nhất
�
x +y = 6
�
�
Giải
ĐK CẦN
Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy
�
m = 18
2x20 = m �
�
��
�
nhất thì x0 = y0. Ta có hệ �
�
�
x0 = 3
2x = 6
�
�
�
� 0
ĐK ĐỦ
Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3)
�
x + y + xy = m
�
Ví dụ 2: Tìm m để hệ �2
có nghiệm duy nhất
2
�
x
+
y
=
m
�
�
Đáp số: m = 0 hoặc m = 8
BÀI TẬP CŨNG CỐ
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
�
x2 + y2 + x + y = 8
�
a. �
�
xy + x + y = 5
�
�
�
�
x + y + xy = 11
�
d. �
2
�2
x + y + 3(x + y) = 28
�
�
�x + y = 4
�
x2y + yx2 = 30
�
�
�
b. �
c. �
�
�
xy + x + y = 11
x + y - xy = 4
�
�
�
�
�
x y + y x = 30
�
� 3
e. �
�
( x ) + ( y)3 = 35
�
�
�
x + y + xy = m + 2
�
Bài 2: Tìm m để hệ �2
có nghiệm duy nhất
�
x y + yx2 = m + 1
�
�
�
x + xy + y = 2m + 1
�
Bài 3: Tìm m để hệ �
có nghiệm duy nhất
2
�
xy
(
x
+
y
)
=
m
+
m
�
�
Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2
�f (x;y) = 0
�
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng �
trong đó hoán đổi x và y cho nhau thi phương
�
f (y;x) = 0
�
�
trình này trở thành phương trình kia.
�
x2 = 3x - 4y
�
Ví dụ: Hệ phương trình �2
�
y = 3y - 4x
�
�
2/ Cách giải
Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích.
Trường PT Triệu Sơn
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
3/ Ví dụ
Ví dụ 1: Giải các hệ pt:
�
x2 = 3x - 4y
�
a. �2
Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) và (-1;-1)
�
y = 3y - 4x
�
�
b.
�
�
y2 - xy = 3x
x=0
�
�
�
�2
�
�
�
y=0
x - xy = 3y
�
�
�
�
� 1 3
�
x+ =
�
�
�
x = �1 �
x=� 3
�
�
y x ��
�
��
�
c. �
�
�
1 2
y = �1 �
y=m 3
�
�
�
�
y+ =
�
�
�
� x y
�
2x3 + x2y = 3
�
�
d. � 3
2
�
2
y
+
y
x
=
3
�
�
�
x =y
�
�
2
2
�
2x
+
3yx
+
2
y
=
0
�
�
�
x =y=1
�
�
VN
�
�
�
x2 - 2y2 = mx + y
�
Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: �
�
y2 - 2x2 = my + x
�
�
Giải: ĐK CẦN x = y suy ra m = -1
ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn.
4/ Bài tập củng cố:
Bài 1: Giải các phương trình sau
�
x3 + xy2 = 40y
�
�
a. �3
2
�
y
+
x
y
=
40
x
�
�
�
y3 = 3y + 8x
�
�
b. �3
�
x = 3x + 8y
�
�
�
x =y =0
�
�
x = y = �2 5
�
�
�
x =y =0
�
�
x = y = � 11
�
�
�
x3 + 1 = 2y
�
c. �3
�
y + 1 = 2x
�
�
Bài 2: Tìm m để các hệ sau có nghiệm duy nhất:
�
x2 - (x + y) = 2m
�
a. �2
�
y - (x + y) = 2m
�
�
Trường PT Triệu Sơn
�
xy + x2 = m(y - 1)
�
b. �
�
xy + y2 = m(x - 1)
�
�
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
�
y2 + 2
�
3
y
=
�
�
2
3x2y = y2 + 2(1)
�
�
x
�
�� 2
c.( Khối B-2003) �
2
�
�
x
+
2
3y x = x2 + 2(2)
�
�
3x =
�
�
�
y2
�
Lấy (1) – (2) ta được
�
x =y
3xy(x - y) + (x - y)(x + y) = 0 � �
�
x + y + 3xy = 0(3)
�
�
+ Với x = y ta có 3x3 - x2 - 2 = 0 � x = 1 � y = 1
+ Phương trình (3) vô nghiệm vì x > 0 và y > 0.
Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp
�f (x;y) = g (x;y)
�1
1
1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng �
trong đó f1 và f2 đẳng cấp và cùng bậc.
�
f
(
x
;
y
)
=
g
(
x
;
y
)
2
�
�2
g1; g2 đẳng cấp và cùng bậc.
2/ Cách giải Bước 1: Xét x = 0 hoặc y = 0.
Bước 2: x khác 0. Đặt y = tx sau đó chia từng vế của 2 phương trình cho nhau.
�
x3 + xy2 = 40y
�
3/ Ví dụ Giải hệ phương trình �
�
y3 + x2y = 10x
�
�
(1)
(2)
Giải + Nếu x = 0 suy ra y = 0. Vậy (0;0) là một nghiệm
+ Với x �0. Đặt y = tx thay vào hệ và chia từng vế của (1) cho (2) ta được
x3(1+ t2)
x3(t 3 + t)
= 4t �
1
1
= 4t � t = �
t
2
+ Với t = ½ suy ra x = 2y thay vào (2) ta được 5y(y2 – 4) = 0 � y2 = 4 � y = �2
Suy ra (4; 2) và (-4; -2) là nghiệm
+ Với t = -1/2 suy ra x = -2y thay vào (2) ta được y2 = -4 VN
Kết luận: Hệ có 3 nghiệm.
4/ Bài tập
Bài 1 Giải các hệ phương trình
�
2x2y + xy2 = 15
�
a. (KA-2005) � 3
�
8x + y3 = 35
�
�
�
x2 + xy - y2 = 5
�
�
�y 2x - 5 2
b. �
�
=
�
�
2 xy
�x y
�
(x - y)(x2 - y2) = 3
�
c. �
�
(x + y)(x2 + y2) = 15
�
�
�
2x2 + 3xy + y2 = 15
�
d. �2
�
x + xy + 2y2 = 8
�
�
ĐS a. (1; 3) ; (3/2; 2)
b. (2; 1) ; (-2; -1) c. (1;2) ; (2;1)
d. (�2; �1);(�
11
14
;m
1
)
14
�
x2 - 4xy + y2 = m
�
Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm �2
�
y - 3xy = 4
�
�
ĐS Mọi giá trị của m
Trường PT Triệu Sơn
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
�
x2 - xy = 2
�
Bài 3: Cho hệ �
�
2x2 + 4xy - 2y2 = m
�
�
a. Giải hệ khi m = 14
b. Tìm m để hệ có nghiệm
ĐS a.(2;1); (-2; -1)
b. mọi giá trị của m
Dạng 5: Hệ không có cấu trúc đặc biệt
Loại 1: Phương pháp thế và đặt ẩn phụ
�
(x2 + 2x)(3x + y) = 18
�
Bài 1: Giải hệ �
�
x2 + 5x + y - 9 = 0
�
�
�
u = 3;u = 6
o ta c��
Giải: Đặt u = x + 2x ; v = 3x + y thay v�
�
�
u +v = 9
�
�
�
�
x =1
x =- 3
�
�
v�
Với u = 3 và v = 6. �
�
�
�
y=3
y = 15
�
�
�
�
2
�
x = - 1- 7
�
�
Với u = 6 và v = 3 . �
�
y = 6+ 3 7
�
�
�
x = - 1+ 7
�
v��
�
�
y = 6- 3 7
�
�
�
x(2x + 3y)(x - 1) = 14
�
Bài 2: Giải hệ �2
�
x + x + 3y = 9
�
�
�
�
u=2
�
�
�
�
�
�
v=7
u = x2 - x
�
�
�
�
T a c��
Giải: Đặt �
�
�
v = 2x + 3y
u=7
�
�
�
�
�
�
�
�
v=2
�
�
�
�
x =- 1
Với u = 2 và v = 7 ta có �
�
�
y=3
�
�
x=2
v��
�
�
y=1
�
� 1+ 29
� 1- 29
�
�
�
�
x=
x=
�
�
�
�
2
2
v�
�
Với u = 7 và v = 2 ta có �
�
�
6
29
6
+
29
�
�
�
�
y
=
y
=
�
�
3
3
�
�
�
x(x + y - 1) - 3 = 0 (1)
�
�
K h�
i D- 2009
Bài 3: Giải hệ �
5
2
�
(
x
+
y
)
+
1
=
0
(2)
�
�
x2
�
Giải: ĐK x � 0. (1) � x + y =
�
t =- 1
�
1
Đặt = t ta c��
- 1
�
x
t
=
�
� 2
Trường PT Triệu Sơn
3
2 3
+ 1 thay v�
o(2) ta c� 2 + + 1 = 0
x
x
x
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
Với t = -1 suy ra x = -1 và y = -1
Với t = -1/2 suy ra x = -2 và y = 3/2
Bài 4: Giải các hệ
�
�
x2 + y + x3y + xy2 + xy = - 5/ 4
xy + x + 1 = 7y (1)
�
�
a. (Khối B- 2009) �
b. �4
2
�
�
x2y2 + xy + 1 = 13y2 (2)
x
+
y
+ xy(1+ 2x) = - 5/ 4
�
�
�
�
�
x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9
�
c. (Khối B- 2008) �2
�
x + 2xy = 6x + 6
�
�
�
(3x + y)2 - 3(9x2 - y2) - 10(3x - y)2 = 0
�
�
d. �
�
1
�
3x
+
y
+
=6
�
�
3x - y
�
HD: a. Vì y = 0 không thỏa mãn nên chia (1) cho y và chia (2) cho y2
�
�
u=4
u=- 5
1
x
�
�
v�
u
=
x
+
v�
v
=
Đặt
Ta có �
�
�
�
v=3
v = 12
y
y
�
�
�
�
Hệ có các nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3)
�
x2 + y + xy(x2 + y + 1) = - 5/ 4
�
b. Hệ tương đương � 2
�
(x + y)2 + xy = - 5/ 4
�
�
�
�
u=0
u = - 1/ 2
�
2
v��
Đặt u = x + y v� v = xy T a c� �
�
�
�
v = - 5/ 4
v = - 3/ 2
�
�
�
�
Hệ có nghiệm
5
5
3
( 3 ;- 3 ( )2 ) ; (1;- )
4
4
2
�
(x2 + xy)2 = 2x + 9 (1)
�
�
c. �
Thay (2) vào (1) ta có pt
6x + 6 - x2
�
xy =
(2)
�
�
2
�
�
x = 0 (loai)
x + 13x + 48x + 64x = 0 � �
Hệ có nghiệm (-4; 17/4)
�
x =- 4
�
�
�
u2 - 3uv - 10v2 = 0
�
�
d. ĐK y � 3x Đặt u = 3x + y và v = 3x – y ta được �
1
�
u + = 6 (2)
�
�
� v
4
3
2
(1)
Giải (1) ta có u = - 2v và u = 5v
� 3� 7
�
�
u
=
3
�
7
�
�
x=
�
�
�
�
12
�
+ u = - 2v thay vào (2) ta có � - 3 m 7 �
�
�
9 m3 7
�
�
v=
�
�
y=
2
�
�
�
4
Trường PT Triệu Sơn
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
Chuyên đề 2: Hệ phương trình
�
�
�
�
u=5
u =1
x =1
x = 1/ 5
�
�
�
v��
��
v��
+ u = 5v thay vào (2) ta có �
�
�
�
�
v=1
v = 1/ 5 �
y=2
y = 2/ 5
�
�
�
�
�
�
�
�
Tóm lại hệ phương trình có 4 nghiệm
Loại 2 : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến
Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) trên (a; b) thì phương trình f(x) = f(y) có nghiệm
duy nhất x = y trên (a ;b)
� 1
1
�
x= y(1)
�
�
x
y
Bài 1: Giải hệ �
�
�
2y = x3 + 1 (2)
�
�
(DH K hoi A- 2003)
Giải: ĐK x � 0;y � 0 . Đặt f (t) = t -
1
1
; t � 0 c�f '(t) = 1+ 2 > 0 , suy ra hàm
t
t
đồng biến. Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta được
�
x =1
�
3
x - 2x + 1 = 0 � �
- 1� 5
�
x=
�
2
�
Vậy hệ có 3 nghiệm (1 ; 1) và (
- 1� 5 - 1� 5
;
)
2
2
Bài 2: Giải hệ
�
x3 + x = y3 + y
�
a. �3
�
x + 5y2 = 6
�
�
DH a. ĐS (1 ; 1) ;
�
�
x3 - 3x = y3 - 3y
x3 + 2x = y3 + 2y
�
�
b. �4
c.�3
4
�
�
x
+
y
=
1
y = 9x2 - 27x + 27
�
�
�
�
(- 3 � 15;- 3 � 15)
b. Ta có x4 -=���-�=ޣ+
y4 1 x4 1
�
1
�
x=�
�
�
4
�
2
ĐS �
�
1
�
y=�
�
4
�
�
2
c. ĐS x = y = 3
Trường PT Triệu Sơn
1
x
1
y
x3
3x nghịch biến
Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
- Xem thêm -
.DOC 
8 
283 
69 
