Các dạng hệ phương trình

  • Số trang: 8 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 35 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 42839 tài liệu

Mô tả:

Chuyên đề 2: Hệ phương trình HỆ PHƯƠNG TRÌNH Dạng 1: Hệ gồm một pt bậc nhất và các pt bậc cao 1/ Phương pháp: Rút một ẩn từ pt bậc nhất thế vào các pt bậc cao 2/ Ví dụ Ví dụ 1: giải các pt sau: � � x +y = 2 - 2x + y = 1 � � a/ � b/ �3 � � x2 + 2xy - y = 4 x + x2y + 5x = 7 � � � � � x - y +1= 0 � Ví dụ 2: Cho hệ pt � � 2mx2 - my2 + 4x + 2m - 3 = 0 � � a/ Giải hệ khi m = 3 b/ Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất Giải: a/ (x ;y) = (0 ; 1) và (2/3 ; 5/3) b/ m = 0 hoặc m = 4 � x2 + y2 = 1 � Ví dụ 3: Cho hệ pt � � x- y =m � � a/ Giải hệ khi m = 2 b/ Tìm m để hệ vô nghiệm Giải: a/ (x ;y) = ( 2 2 ;) 2 2 b/ m> 2 � x- y- m= 0 � Ứng dụng : Cho hệ pt � � y2 + 2x - 2m - 3 = 0 � � a/ Giải hệ khi m = 1 b/ Tìm m để hệ có 2 cặp nghiệm thõa mãn x12 + y12 = x22 + y22 ĐS: a/ (x;y) = (2;1) và (-2; -3) b/ m = 2 Dạng 2: Hệ pt đối xứng loại 1 � f (x;y) = 0 � 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng � � g(x;y) = 0 � � trong đó khi hoán đổi x và y thì mỗi pt không thay đổi. � x2 + xy + y2 = 3 � Ví dụ: Các hệ pt � � xy + x + y = - 3 � � � x2y + yx2 = 30 � và � � xy + x + y = 11 � � 2/ Cách giải: 2.1 Nhớ lại định lý Viet trong phương trình bậc hai Cho pt ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1; x2 thì � -b � x1 + x2 = � � a � . � c � x1x2 = � � a � Ngược lại nếu có hai số � � u +v = S � u ; v thỏa mãn � thì u ; v là nghiệm của pt x2 - Sx + P = 0. � uv = P � � Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình � u +v = 6 � Ví dụ Tìm hai số u ;v thỏa mãn � � uv = 8 � � 2.2 Cách giải hệ đối xứng loại 1: Đặt x+y = S và xy = P ( ĐK S2 > 4P); thay vào tìm S và P. Từ đó suy ra x và y. 3/ Bài tập: Bài 1: Giải các hệ pt: � � � x +y = 2 x = 1+ 3 x = 1- 3 � � � � � �� hoac � a. � 3 3 � � x + y = 20 � y = 1- 3 y = 1+ 3 � � � � � � � x2 + xy + y2 = 7 � b. � � x4 + x2y2 + y4 = 21 � � Đặt x + y = S và xy = P ta có P = 2 và S = �3 Với P = 2; S = 3 ta có nghiệm (-1;-2) và (-2; -1) Với P = 2 ; S = -3 ta có nghiệm (1; 2) và (2; 1) c. �6 6 � + + xy = 11 � � �x y . � � xy + x + y = 11 � � Bài 2: Cho hệ pt Nghiệm của hpt (-2; -3) và ( -3; -2) � x2 + y2 = m � � � x +y = 6 � � a. Giải hệ khi m = 26 b. Tìm m để hệ vô nghiệm c. Tìm m để hệ có 2 nghiệm phân biệt Giải: Ta có � x +y = 6 � � � 36 - m , � xy = � � 2 � khi đó x; y là nghiệm của pt X2 – 6X + 36 - m 2 = 0 (1) a. Nghiệm của pt (1;5) và (5; 1) b. m < 18 c. m > 18 � 5(x + y) = 4 + 4xy � Bài 3: Cho hệ pt � � x + y - xy = 1- m � � a/ Giải hệ khi m = 2 b/ Tìm m để hệ có nghiệm Giải: a. (- 4 - 7;- 4 + 7)va(- 4 + 7;- 4 � 1 � m� b. � � 4 m �1 � � Bài 4 Tìm a để hệ pt � x2 + y2 = 2(1+ a) � � � (x + y)2 = 4 � � 7) có đúng 2 nghiệm Giải: Đặt x+y = S và xy = P, ĐK S2 > 4P. Ta có � S = �2 � � � P = 1- a � � ' Với S = 2, P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 – 2 X + 1 – a = 0 có D 1 = a ' Với S = -2 , P = 1 – a thì x, y là nghiệm của X2 + 2 X + 1 – a = 0 có D 2 = a Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình Để hệ có đúng 2 nghiệm thì mỗi pt có nghiệm kép, suy ra a = 0 4. Cách tìm nghiệm duy nhất của hệ đối xứng loại 1 ĐK cần Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy nhất thì x0 = y0, thay vào hệ để tìm m ĐK đủ: Thay m vừa tìm được vào hệ xem giá trị nào thỏa mãn. � x2 + y2 = m � Ví dụ 1: Tìm m để hệ pt � có nghiệm duy nhất � x +y = 6 � � Giải ĐK CẦN Vì (x0; y0) là nghiệm thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ. Để hệ có nghiệm duy � m = 18 2x20 = m � � �� � nhất thì x0 = y0. Ta có hệ � � � x0 = 3 2x = 6 � � � � 0 ĐK ĐỦ Thay m = 18 vào ta có nghiệm ( x; y ) = (3; 3) � x + y + xy = m � Ví dụ 2: Tìm m để hệ �2 có nghiệm duy nhất 2 � x + y = m � � Đáp số: m = 0 hoặc m = 8 BÀI TẬP CŨNG CỐ Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: � x2 + y2 + x + y = 8 � a. � � xy + x + y = 5 � � � � x + y + xy = 11 � d. � 2 �2 x + y + 3(x + y) = 28 � � �x + y = 4 � x2y + yx2 = 30 � � � b. � c. � � � xy + x + y = 11 x + y - xy = 4 � � � � � x y + y x = 30 � � 3 e. � � ( x ) + ( y)3 = 35 � � � x + y + xy = m + 2 � Bài 2: Tìm m để hệ �2 có nghiệm duy nhất � x y + yx2 = m + 1 � � � x + xy + y = 2m + 1 � Bài 3: Tìm m để hệ � có nghiệm duy nhất 2 � xy ( x + y ) = m + m � � Dạng 3: Hệ phương trình đối xứng loại 2 �f (x;y) = 0 � 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng � trong đó hoán đổi x và y cho nhau thi phương � f (y;x) = 0 � � trình này trở thành phương trình kia. � x2 = 3x - 4y � Ví dụ: Hệ phương trình �2 � y = 3y - 4x � � 2/ Cách giải Trừ từng vế của 2 pt cho nhau để đưa về pt tích. Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình 3/ Ví dụ Ví dụ 1: Giải các hệ pt: � x2 = 3x - 4y � a. �2 Hệ có nghiệm (x; y) = (0;0) và (-1;-1) � y = 3y - 4x � � b. � � y2 - xy = 3x x=0 � � � �2 � � � y=0 x - xy = 3y � � � � � 1 3 � x+ = � � � x = �1 � x=� 3 � � y x �� � �� � c. � � � 1 2 y = �1 � y=m 3 � � � � y+ = � � � � x y � 2x3 + x2y = 3 � � d. � 3 2 � 2 y + y x = 3 � � � x =y � � 2 2 � 2x + 3yx + 2 y = 0 � � � x =y=1 � � VN � � � x2 - 2y2 = mx + y � Ví dụ 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất: � � y2 - 2x2 = my + x � � Giải: ĐK CẦN x = y suy ra m = -1 ĐK ĐỦ Thay m = -1 ta thấy thỏa mãn. 4/ Bài tập củng cố: Bài 1: Giải các phương trình sau � x3 + xy2 = 40y � � a. �3 2 � y + x y = 40 x � � � y3 = 3y + 8x � � b. �3 � x = 3x + 8y � � � x =y =0 � � x = y = �2 5 � � � x =y =0 � � x = y = � 11 � � � x3 + 1 = 2y � c. �3 � y + 1 = 2x � � Bài 2: Tìm m để các hệ sau có nghiệm duy nhất: � x2 - (x + y) = 2m � a. �2 � y - (x + y) = 2m � � Trường PT Triệu Sơn � xy + x2 = m(y - 1) � b. � � xy + y2 = m(x - 1) � � Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình � y2 + 2 � 3 y = � � 2 3x2y = y2 + 2(1) � � x � �� 2 c.( Khối B-2003) � 2 � � x + 2 3y x = x2 + 2(2) � � 3x = � � � y2 � Lấy (1) – (2) ta được � x =y 3xy(x - y) + (x - y)(x + y) = 0 � � � x + y + 3xy = 0(3) � � + Với x = y ta có 3x3 - x2 - 2 = 0 � x = 1 � y = 1 + Phương trình (3) vô nghiệm vì x > 0 và y > 0. Dạng 4: Hệ phương trình đẳng cấp �f (x;y) = g (x;y) �1 1 1/ Định nghĩa: Là hệ có dạng � trong đó f1 và f2 đẳng cấp và cùng bậc. � f ( x ; y ) = g ( x ; y ) 2 � �2 g1; g2 đẳng cấp và cùng bậc. 2/ Cách giải Bước 1: Xét x = 0 hoặc y = 0. Bước 2: x khác 0. Đặt y = tx sau đó chia từng vế của 2 phương trình cho nhau. � x3 + xy2 = 40y � 3/ Ví dụ Giải hệ phương trình � � y3 + x2y = 10x � � (1) (2) Giải + Nếu x = 0 suy ra y = 0. Vậy (0;0) là một nghiệm + Với x �0. Đặt y = tx thay vào hệ và chia từng vế của (1) cho (2) ta được x3(1+ t2) x3(t 3 + t) = 4t � 1 1 = 4t � t = � t 2 + Với t = ½ suy ra x = 2y thay vào (2) ta được 5y(y2 – 4) = 0 � y2 = 4 � y = �2 Suy ra (4; 2) và (-4; -2) là nghiệm + Với t = -1/2 suy ra x = -2y thay vào (2) ta được y2 = -4 VN Kết luận: Hệ có 3 nghiệm. 4/ Bài tập Bài 1 Giải các hệ phương trình � 2x2y + xy2 = 15 � a. (KA-2005) � 3 � 8x + y3 = 35 � � � x2 + xy - y2 = 5 � � �y 2x - 5 2 b. � � = � � 2 xy �x y � (x - y)(x2 - y2) = 3 � c. � � (x + y)(x2 + y2) = 15 � � � 2x2 + 3xy + y2 = 15 � d. �2 � x + xy + 2y2 = 8 � � ĐS a. (1; 3) ; (3/2; 2) b. (2; 1) ; (-2; -1) c. (1;2) ; (2;1) d. (�2; �1);(� 11 14 ;m 1 ) 14 � x2 - 4xy + y2 = m � Bài 2: Tìm m để hệ sau có nghiệm �2 � y - 3xy = 4 � � ĐS Mọi giá trị của m Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình � x2 - xy = 2 � Bài 3: Cho hệ � � 2x2 + 4xy - 2y2 = m � � a. Giải hệ khi m = 14 b. Tìm m để hệ có nghiệm ĐS a.(2;1); (-2; -1) b. mọi giá trị của m Dạng 5: Hệ không có cấu trúc đặc biệt Loại 1: Phương pháp thế và đặt ẩn phụ � (x2 + 2x)(3x + y) = 18 � Bài 1: Giải hệ � � x2 + 5x + y - 9 = 0 � � � u = 3;u = 6 o ta c�� Giải: Đặt u = x + 2x ; v = 3x + y thay v� � � u +v = 9 � � � � x =1 x =- 3 � � v� Với u = 3 và v = 6. � � � � y=3 y = 15 � � � � 2 � x = - 1- 7 � � Với u = 6 và v = 3 . � � y = 6+ 3 7 � � � x = - 1+ 7 � v�� � � y = 6- 3 7 � � � x(2x + 3y)(x - 1) = 14 � Bài 2: Giải hệ �2 � x + x + 3y = 9 � � � � u=2 � � � � � � v=7 u = x2 - x � � � � T a c�� Giải: Đặt � � � v = 2x + 3y u=7 � � � � � � � � v=2 � � � � x =- 1 Với u = 2 và v = 7 ta có � � � y=3 � � x=2 v�� � � y=1 � � 1+ 29 � 1- 29 � � � � x= x= � � � � 2 2 v� � Với u = 7 và v = 2 ta có � � � 6 29 6 + 29 � � � � y = y = � � 3 3 � � � x(x + y - 1) - 3 = 0 (1) � � K h� i D- 2009 Bài 3: Giải hệ � 5 2 � ( x + y ) + 1 = 0 (2) � � x2 � Giải: ĐK x � 0. (1) � x + y = � t =- 1 � 1 Đặt = t ta c�� - 1 � x t = � � 2 Trường PT Triệu Sơn 3 2 3 + 1 thay v� o(2) ta c� 2 + + 1 = 0 x x x Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình Với t = -1 suy ra x = -1 và y = -1 Với t = -1/2 suy ra x = -2 và y = 3/2 Bài 4: Giải các hệ � � x2 + y + x3y + xy2 + xy = - 5/ 4 xy + x + 1 = 7y (1) � � a. (Khối B- 2009) � b. �4 2 � � x2y2 + xy + 1 = 13y2 (2) x + y + xy(1+ 2x) = - 5/ 4 � � � � � x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + 9 � c. (Khối B- 2008) �2 � x + 2xy = 6x + 6 � � � (3x + y)2 - 3(9x2 - y2) - 10(3x - y)2 = 0 � � d. � � 1 � 3x + y + =6 � � 3x - y � HD: a. Vì y = 0 không thỏa mãn nên chia (1) cho y và chia (2) cho y2 � � u=4 u=- 5 1 x � � v� u = x + v� v = Đặt Ta có � � � � v=3 v = 12 y y � � � � Hệ có các nghiệm (3 ; 1); (1; 1/3) � x2 + y + xy(x2 + y + 1) = - 5/ 4 � b. Hệ tương đương � 2 � (x + y)2 + xy = - 5/ 4 � � � � u=0 u = - 1/ 2 � 2 v�� Đặt u = x + y v� v = xy T a c� � � � � v = - 5/ 4 v = - 3/ 2 � � � � Hệ có nghiệm 5 5 3 ( 3 ;- 3 ( )2 ) ; (1;- ) 4 4 2 � (x2 + xy)2 = 2x + 9 (1) � � c. � Thay (2) vào (1) ta có pt 6x + 6 - x2 � xy = (2) � � 2 � � x = 0 (loai) x + 13x + 48x + 64x = 0 � � Hệ có nghiệm (-4; 17/4) � x =- 4 � � � u2 - 3uv - 10v2 = 0 � � d. ĐK y � 3x Đặt u = 3x + y và v = 3x – y ta được � 1 � u + = 6 (2) � � � v 4 3 2 (1) Giải (1) ta có u = - 2v và u = 5v � 3� 7 � � u = 3 � 7 � � x= � � � � 12 � + u = - 2v thay vào (2) ta có � - 3 m 7 � � � 9 m3 7 � � v= � � y= 2 � � � 4 Trường PT Triệu Sơn Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn Chuyên đề 2: Hệ phương trình � � � � u=5 u =1 x =1 x = 1/ 5 � � � v�� �� v�� + u = 5v thay vào (2) ta có � � � � � v=1 v = 1/ 5 � y=2 y = 2/ 5 � � � � � � � � Tóm lại hệ phương trình có 4 nghiệm Loại 2 : Sử dụng phương pháp đồng biến, nghịch biến Phương pháp: Nếu hàm số f(t) ĐB (NB) trên (a; b) thì phương trình f(x) = f(y) có nghiệm duy nhất x = y trên (a ;b) � 1 1 � x= y(1) � � x y Bài 1: Giải hệ � � � 2y = x3 + 1 (2) � � (DH K hoi A- 2003) Giải: ĐK x � 0;y � 0 . Đặt f (t) = t - 1 1 ; t � 0 c�f '(t) = 1+ 2 > 0 , suy ra hàm t t đồng biến. Phương trình (1) có nghiệm x = y thay vào (2) ta được � x =1 � 3 x - 2x + 1 = 0 � � - 1� 5 � x= � 2 � Vậy hệ có 3 nghiệm (1 ; 1) và ( - 1� 5 - 1� 5 ; ) 2 2 Bài 2: Giải hệ � x3 + x = y3 + y � a. �3 � x + 5y2 = 6 � � DH a. ĐS (1 ; 1) ; � � x3 - 3x = y3 - 3y x3 + 2x = y3 + 2y � � b. �4 c.�3 4 � � x + y = 1 y = 9x2 - 27x + 27 � � � � (- 3 � 15;- 3 � 15) b. Ta có x4 -=���-�‫=ޣ‬+ y4 1 x4 1 � 1 � x=� � � 4 � 2 ĐS � � 1 � y=� � 4 � � 2 c. ĐS x = y = 3 Trường PT Triệu Sơn 1 x 1 y x3 3x nghịch biến Giáo viên: Nghiêm Đình Thuấn
- Xem thêm -