NGƯT LÖÔNG ANH VAÊN – VUÕ VAÊN THIEÄN – LEÂ CAO TUÙ
NHAØ XUAÁT BAÛN GIAÙO DUÏC VIEÄT NAM
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Chương 1:
CĂN BẬC HAI- CĂN BẬC BA
Bài 1: KHAI CĂN BẬC HAI.
I. Ñiều kiện xác định của một hàm số hay biểu thức chứa căn bậc hai:
1.Hàm số y A xaùc ñònh khi A 0
B
xaùc ñònh khi A> 0
2.Hàm số y
A
1
3.Hàm số y
xaùc ñònh khi A 0
A
Chuù yù: Cho biểu thức y ax 2 bx c .
Nếu ax 2 bx c 0 coù 2 nghieäm x ,x (x x ) thì y coù theå phaân
1 2 1
2
tích: y a(x x )(x x ) .
1
2
Ta coù: y (x x )(x x ) 0 x x x .
1
2
1
2
x x
2
Ta coù: y (x x )(x x ) 0
.
1
2
x x1
Ví duï 1: Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa caùc haøm soá sau:
1
a) y x 1
b) y x 2 5x 6
2x
2x 3
c) y
d) y 3x2 4x 1 2x 3
2x 2 3x 1
Giaûi:
1
a) y x 1
2x
Ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa haøm soá laø :
x 1 0
x 1
1 x 2
2 x 0 x 2
b) y x 2 5x 6
Chuù yù: x 2 5x 6 0 coù 2 nghieäm laø x 2 vaø x 3
neân x 2 5x 6 (x 2)(x 3)
Vaäy ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa haøm soá laø :
x 3
x2 5x 6 0 (x 2)(x 3) 0
x 2
2x 3
c) y
2x 2 3x 1
1
Chuù yù: Ta coù: 2x2 3x 1 2(x 1)(x ).
2
Vaäy ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa haøm soá laø:
1
1
2x2 3x 1 2(x 1)(x ) 0 (x 1)(x ) 0
2
2
Trang 1
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 2
x 1
x 1
2
2
d) y 3x 4x 1 2x 3
1
Chuù yù: Ta coù: 3x2 4x 1 3(x 1)(x ).
3
Vaäy ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa haøm soá laø:
1
1
3x2 4x 1 3(x 1)(x ) 0 (x 1)(x ) 0
3
3
1
x 1
3
Ví duï 2: Tìm mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá sau:
x
3x
y
x 1
x2 4
Giaûi:
Vaäy ñieàu kieän xaùc ñònh cuûa haøm soá laø :
x0
x0
1 x 3
3 x 0
x3
x2 2x3
x 1 0
x
1
x 2
x2 4 0
(x 2)(x 2) 0
II. Các tính chất cơ bản của căn số:
1. Nếu A,B 0 thì AB A. B.
2. Nếu A 0, B>0 thì
3.
A
A
.
B
B
A2 A
4. Nếu A B A 2 .B vôùi A 0.
Ví dụ 1: A 48 16.3 16. 3 4 3.
B 16 42 4 4.
C ( 3 2)2
3 2 2 3.
D 2 3 22 .3 12.
Chuù yù: A 0 , bieåu thöùc giaù trò tuyeät ñoái luoân döông. Neân
3 2 3 2 laø sai
vì 3 2 3 2 0 . Vaäy neáu bieát chaéc giaù trò A 0 thì ta môû giaù trò tuyeät ñoái
A A vaø giaù trò A aâm thì ta môû giaù trò tuyeät ñoái A A vaø neáu khoâng chaéc A laø
soá döông hay aâm thì ta phaûi coù daáu giaù trò tuyeät ñoái.
Ví duï 2:
9 3 = 3 vaø (a+1)2 = a+1 (vì chuùng ta chöa bieát laø a+1 coù döông hay aâm
neân phaûi coù daáu giaù trò tuyeät ñoái).
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 3
III. Khai caên cuûa moät bieåu thöùc: Ta ñaõ bieát caùc tính chaát cô baûn sau: vôùi A,B 0
A B 2 AB ( A B)2
A B A B.
A B 2 AB ( A B)2
A B.
1) Khai căn thức dạng C 2 D : Chuùng ta phaân tích C 2 D thaønh daïng bình phöông
nhö sau: C 2 D A B 2 A.B . Töùc laø: phaân tích D = A.B laø tích cuûa 2 soá döông
A vaø B sao cho toång cuûa chuùng laø C, (C = A+B).
Khi ñoù:
C 2 D A B 2 A.B
Töông töï cho bieåu thöùc
B sao cho C = A+B thì
2
2
A B 2 A. B
A B
2
A B.
C 2 D . Khi phaân tích D = A.B laø tích cuûa 2 soá döông A vaø
C 2 D A B 2 A.B
2
2
A B 2 A. B
A B
2
A B.
Toùm laïi: Khi phaân tích ñöôïc D = A.B (A, B laø 2 soá döông) sao cho A + B = C thì ta
khai caên ñöôïc nhanh choùng nhö sau:
vaø C 2 D
C2 D A B
A B.
Ví duï 1: Ruùt goïn caùc bieåu thöùc chöùa caên sau:
a) A 3 2 2
b) B 5 2 6
c) E 9 6 2
Giaûi:
d) F x 4 x 4
a) Trong A 3 2 2 coù
D 2 2.1 thoûa 2 1 3 C neân A 3 2 2 2+ 1 2+1.
b) Trong B 5 2 6 coù D= 6 = 3.2 thoûa 3 2 = 5 = C neân
B 52 6
3 2 3 2.
c) Trong E 9 6 2 9 2(3 2) 9 2 18 coù
D 18 6.3 thoûa 3 6 9 C neân
E 96 2
6 3 6 3.
d) Trong F x 4 x 4 x 2 4(x 4) coù
D 4.(x 4) thoûa 4 + (x 4) x = C
neân F x 4 x 4 4 x 4 2 x 4.
2) Khai căn thức dạng C D : Ta chuyeån veà tröôøng hôïp 1) nhö sau:
C D
2C 2 D
1
2C 2 D . Vaø ta khai caên
2
2
1) ôû treân.
Ví duï 2:
a) E 2 3
b) F 4 7 .
2C 2 D nhö tröôøng hôïp
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
a) E 2 3
42 3
1
4 2 3 . Trong ñoù:
2
2
D 3 3.1 thoûa 3 1 4 C neân
Vaäy E
1
42 3
3 1
2
42 3
Trang 4
4 2 3 coù
3 1 3 1
.
2
b) Ta coù: F 4 7
1
8 2 7 . Trong ñoù:
8 2 7 coù:
2
D 7 7.1 thoûa 7 1 8 C neân
Vaäy F 4 7
8 2 7 7 1 7 1.
7 1
.
2
Ví duï 3: Ruùt goïn caùc caên thöùc sau:
a) A 6 2 5 13 48 b) B 7 3 13 4 8 10 7 4 3
c) C 5 10 2 3 2 29 12 5
Giải:
a) Trong bieåu thöùc A xeùt:
13 48 13 2 12 12 1 12 1 2 3 1.
(do ta phaân tích D = 12 = 12.1 thoaû 12 + 1 = 13 = C)
neân A trôû thaønh: A 6 2 5 (2 3 1) 6 2 4 2 3
maø ta laïi coù: 4 2 3 3 1 3 1 .
(do ta phaân tích D = 3 = 3.1 thoaû 3 + 1 = 4 = C)
neân A 6 2( 3 1) 4 2 3
3 1 3 1.
b) B 7 3 13 4 8 10 7 4 3
Vì
7 4 3 7 2 12
4 3 2 3
(do ta phaân tích D = 12 = 4.3 thoaû 4 + 3 = 7 = C)
Nên B 7 3 13 4 8 10(2 3) 7 3 13 4 28 10 3
Ta có:
28 10 3 28 2 75
25 3 5 3
(do ta phaân tích D = 75 = 25.3 thoaû 25 + 3 = 28 = C)
Nên B 7 3 13 4(5 3) 7 3 7 4 3
Ta lại có:
7 4 3 7 2 12 2 3
Nên B 7 3 (2 3) 9 3 .
Vậy B = 3.
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 5
c) C 5 10 2 3 2 29 12 5
Vì
29 12 5 29 2 180) 29 2 20.9
20 9 2 5 3
Nên C 5 10 2 3 2(2 5 3) 5 10 2 9 4 5
Ta lại có:
9 4 5 9 2 20 9 2 5.4
5 2 52
Do đó: C 5 10 2( 5 2) 5 6 2 5
Ta lại có:
6 2 5 6 2 5.1 5 1 5 1
Vậy C 5 ( 5 1) 1 1 .
2) Trục Căn ở mẫu thức: Moät bieåu thöùc chöùa caên ôû maãu seõ laøm trôû ngaïi cho vieäc tính
toaùn. Ta laøm cho biểu thức ở dưới mẫu không còn chứa căn nữa goïi laø truïc caên ôû
maãu thöùc. Ñeå laøm ñöôïc nhö vaät, ta dùng tính chất nhân chia dạng liên hợp như sau:
A
A B
(1)
.
B
B
(2)
1
A B
A B
.
A B ( A B)( A B) A B2
1
A B
A B
.
A B ( A B)( A B) A B2
Ví dụ1: Tính:
(3)
3
2
3
2
2 75 2 3 b) B
62
4
6 12 3
2
3
2
3
3
4
1
6
c) C
3 1
32
3 3
2
3
3
2 3
5
6
d) D
2
(3 6)
3
2 3
5 6
2
4
2
5
6
Giải:
a) A 3 12
6
6
6 3
2 75 2 3 = 3. 4.3
2 25.5 2 3
3
3
= 6 3 2 3 10 3 2 3 0
3
2
3
2
6 2
4
6
12
3
b) B
3
2
3
2
3
2. 3
3. 2
2. 3
6 2
4
6 4.3 3
3
2
3
2
2
3
6
6 2 6 6 2 3 6
3
2
a) A 3 12
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 6
1
1
1
6.2 3
18
9.2 2
6
3
3
4
1
6
c) C
3 1
32
3 3
4( 3 1)
( 3 2)
6( 3 3)
( 3 1)( 3 1) ( 3 2)( 3 2) ( 3 3)( 3 3)
4
( 3 1) ( 3 2) ( 3 3) 7.
2
2
3
3
2 3
5
6
d) D
2
(3 6)
3
2 3
5 6
2
4 2
5 6
2 2 3 2 2. 3. 2 4 6 ( 2 3)2
5( 5 6) 6( 5 6)
D
3(
2
3).
4 2( 2 3)
6
( 5 6)( 5 6)
52 6 52 6
11
.
. 3.(11) .
8
6
4 2
Ví dụ 2:
1
1
1
a) Chứng minh rằng:
, k 1.
(k 1) k k k 1
k
k 1
b) Áp dụng câu a) để tính tổng sau:
1
1
1
1
S
...
1. 2 2. 1 2 3 3 2 3 4 4 3
2010 2009 2009 2010
Giải:
a) Xét vế trái:
1
1
1
1
VT
.
(k 1) k k k 1
k. k 1 k k 1
k. k 1 k k 1
1
.
k. k 1
k 1
k 1 k
k k 1
k
1
k 1 k
k 1 k
.
k. k 1
1
k. k 1
k. k 1
k
k 1
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1
1
1
, k 1.
b) Theo câu a) ta có:
k k 1 (k 1) k
k
k 1
1 1
1. 2 2 1 1
2
1
1
1
Laáy k 2 coù :
2 3 3 2
2
3
1
1
1
Laáy k 3 coù:
3 4 4 3
3
4
Laáy k 1 coù:
1
(1)
(2)
(3)
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 7
...................................
1
1
1
(2010)
2010 2009 2009 2010
2009
2 010
1
1
Vaäy S = 1
.
Coäng veá theo veá cuûa (1), (2),(3),...,(2010) coù: S 1
2010
2010
Laáy k 2010 coù:
Ví dụ 3: Cho 2 số x, y thỏa mãn: (x x2 3)(y y2 3) 3
a) Chứng minh rằng: x = –y.
x3 y3
b) Tính giá trị của biểu thức: S
?
x 20 y11 +2010
Giải:
a) Ta coù: (x x 2 3)(y y 2 3) 3
(1)
Nhân liên hợp 2 vế của (1) cho (x x 2 3) , ta ñöôïc:
(x x 2 3)(x x 2 3)(y y2 3) 3(x x2 3)
3(y y2 3) 3(x x2 3)
y y 2 3 x x2 3
(* )
Tương tự, ta nhân liên hợp 2 vế của (1) cho (y y2 3) , ta coù:
(x x 2 3)(y y2 3)(y y2 3) 3(y y2 3)
3(x x2 3) 3(y y2 3)
y y2 3 x x 2 3
(* * )
Cộng 2 vế (*) và (**) ta được: 2y = – 2x hay y = – x.
Vậy y = – x là điều phải chứng minh.
x3 ( x)3
0
b) Thay giá trị y = –x vào biểu thức S ta có: S
0
20
11
20
11
x ( x) +2010 x x +2010
Vậy S = 0.
Ví dụ 4:
1
k 1 k , k 1.
k k 1
b) Áp dụng câu a) để tính tổng sau:
1
1
1
1
S
...
1 2
2 3
3 4
2009 2010
Giải:
1
k 1 k
a) Ta có: VT
k 1 k .
k k 1 ( k 1 k )( k 1 k )
Vậy ta có điều phải chứng minh.
1
k 1 k , k 1.
b) Theo câu a) ta có:
k k 1
1
Laáy k 1 coù :
2 1
(1)
1 2
a) Chứng minh rằng:
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 8
1
3 2
2 3
1
Laáy k 3 coù:
4 3
3 4
...................................
Laáy k 2 coù :
1
Laáy k 2009 coù:
(2)
(3)
2010 2009
(2009)
2009 2010
Coäng veá theo veá cuûa (1), (2),(3),...(2009) coù : S
2010 1.
Vaäy S = 2010 1 .
III. Rút gọn biểu thức:
1) Ruùt goïn baèng caùch tính trực tiếp: Bằng cách tính toán tiếp như quy đồng maãu soá, nhân
chia dạng liên hợp để trục căn ở mẫu, khai căn,…Tổng hợp các điều đó thông qua các ví
dụ sau:
Ví dụ1: Rút gọn biểu thức sau:
x
2
1
10 x
A=
: x 2
x 2
x 2
x4 2 x
Giải
x
2
1
10 x
A
: x 2
x 2
x 2
x4 2 x
Ñieàu kieän xaùc ñònh : x 0 vaø x 4.
vì x 4
2
x 22 ( x 2)( x 2)
x
2
1
neân A=
:
x 2
( x 2)( x 2) 2 x
=
x 2( x 2) ( x 2)
( x 2)( x 2)
.
x 2
x 2
(x 4) 10 x
6
x 2
1
1
.
6
( x 2)( x 2)
x 2 2 x
1
Vaäy A
.
2 x
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau:
=
B
x 2 x2 4
x 2 x2 4
x 2 x2 4
x 2 x2 4
, vôùi x 2
Giải:
B
x 2 x2 4
2
x 2 x2 4
2
(x 2) x2 4 (x 2) x 2 4
Do : (a b)2 (a b)2 2(a2 b2 ) neân
x 2 10 x
x 2
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 9
2
2 (x 2)2 x 2 4
2
2
x 4x 4 x 4
B
4x 8
2(x 2)
2
2 (x 2)2 x 2 4
2
2
x 4x 4 x 4
B
4x 8
2(x 2)
2x 2 4x 2x(x 2)
2x.
x2
x2
Vaäy B 2x.
Ví dụ 3 : Rút gọn biểu thức sau:
x
1 x x x x
C
, vôùi x 0 vaø x 1
x 1
2 2 x x 1
Giải:
x
1 x x x x
C =
x 1
2 2 x x 1
x x 1 (x x)( x 1) (x x )( x 1)
=
x 1 x 1
2 x
2
2
(x 1) x( x 1) x( x 1)
=
x 1
2 x
2
2
x ( x 1) ( x 1) 4 x
=
2 x
2
2 x
Vaäy C = 2 x.
2) Ruùt goïn baèng cách đặt ẩn phụ: Một biểu thức chứa nhiều dấu căn phức tạp thì ta có
thể dùng ẩn phụ để làm cho biểu thức đơn giản hơn. Từ đó thực hiện các phép toán trên
các ẩn phụ. Sau cuøng, traû laïi aån phuï.
Ví dụ 1:Rút gọn biểu thức sau:
x
2
1
10 x
A=
: x 2
x 2
x 2
x4 2 x
Giải:
Ñieàu kieän xaùc ñònh : x 0 vaø x 4.
Đặt y x x y 2 . Thay vào biểu thức A, ta có:
y
2
1
10 y2
A=
:
y
2
2
y 2
y 4 2y y2
y 2(y 2) (y 2) y 2 4 10 y 2
=
:
2 4
y2
y
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
y2
1
1
6
y2 2y
1
1
Vaäy A
.
2y 2 x
=
6
Trang 10
y2 4
.
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức sau:
x x y y
2 y
B
xy : (x y)
, vôùi x,y 0
x y
x y
Giải:
2
a x x a
Đặt
. Thay vào biểu thức B, ta có:
b y y b2
a2 .a b2 .b
2b
B=
ab : (a2 b2 )
ab
ab
a3 b3
1
2b
=
ab .
2
2
ab
(a b ) a b
1
2b
= a2 ab b2 ab .
(a2 b2 ) a b
1
2b
= (a b)2 .
2
2
(a b ) a b
a b 2b
ab
=
1
a b a b ab
Vaäy B 1.
Ví dụ 3: Cho x, y >0 và x y
2 xy
x y 2 x
y
C =
.
+
x y 2( x y ) x y
y x
Chứng minh rằng C = 1.
Giải:
a x x a2
Đặt
. Thay vào biểu thức C, ta có:
b y y b2
2ab
a b 2a
b
4ab (a b)2 2a
b
C=
.
+
=
.
+
2(a2 b2 ) a b b a
a2 b2 2(a b) a b b a
a2 2ab b2 a
b
(a b)2 a
b
=
.
+
.
+
2
2
2
2
ab ba a b a b ba
a b
(a b)a
b
a
b
a
b
ab
+
+
1
2
2
ba ab ba ab ab ab
a b
Vaäy C 1 (đñpcm).
3) Rút gọn bằng caùch khai caên trực tiếp: Ta phân tích trong căn có dạng bình phương để khai căn.
A neáu A 0
Đối với căn bậc hai, chú ý đến tính chất: A
-A neáu A< 0
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Ví dụ 1:Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = a
b
a
b) b) B =
x 4(x 1) x 4(x 1)
1
. x 1
, vôùi x 1, x 2.
x 1
x2 4(x 1)
Giải:
b
0
a) Ñieàu kieän xaùc ñònh : a
a 0
A a
b
b.a
ab
a
a.
a
a
a2
ab neáu a 0
Vaäy A
ab neáu a 0
b) Ta coù:
2
x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 1
.
2
x 1
x 4x 4
B
B
x 2 (x 1).1 x 2 (x 1).1 x 1 1
.
x 1
(x 2)2
x 1 1
x 1 1 (x 2)
.
x2
x 1
B
x 1 1 x 1 1
(x 2)
.
neáu x 2
x2
x 1
x 1 1 x 1 1 x 2
.
neáu 1 x 2
(x 2)
x 1
2
neáu x 2
x 1
2
neáu 1 x 2
Ví dụ 2:Rút gọn biểu thức sau:
B=
a b
a2 b4
b2
a2 2ab b2
Giải:
Ñieàu kieän xaùc ñònh : a b 0 a b
B
ab
a2 b4
a b a2 b 4
b2 a2 2ab b2
b2 (a b)2
Trang 11
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
2
a b ab
a b a b2
.
b2 a b
b2 a b
Vaäy B
(a b) a
a b
a neáu a b
.
a neáu a b
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:
a a2 b2 a a2 b2
C
a a2 b2 a a2 b2
C =
4 a4 a2 b2
:
, vôùi a b 0
2
b
Giải:
2
2
a a2 b2 a a2 b2 4 a2 a2 b2
:
b2
a a2 b2 a a2 b2
4a a2 b2
.
b2
4a
Vaäy C
b2
a2 b2
a 1 khi a > 0
.
a 1 khi a < 0
4) Ruùt goïn baèng caùch bình phương biểu thức: Một biểu thức (A) không thể
rút gọn từng phần thì ta có thể tính A2 . Sau khi có được các giá trị của A2 thì
ta suy ra giá trị của A.
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: A x x2 1 x x2 1 vôùi x 1
Giải:
Nhận xét: A 0
Xét: A2 x x2 1 x x2 1 2 x x2 1. x x2 1
A 2 2x 2
x 1
x
A 2 2x 2 x2
x2 1 x x2 1
2
2
A 2 2x 2 2(x 1) A 2(x 1)
Vì A 0 neân A
2(x 1)
Vaäy A 2(x 1).
BÀI TẬP
Bài 1: Ruùt caùc bieåu thöùc sau :
15 12
1
A=
5 2
2 3
2
2
B
2 1 1
2 1 1
Trang 12
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
5 2 5 5 3 5
C
2
2 5 3 5
4
12
15
D
( 6 11)
6 2 3 6
6 1
E
F
1
3 2 2 3
2 3 3 2 2 3
32 2
32 2
17 12 2
G
17 12 2
3 5
2 2 3 5
H
2 3
3 5
2 2 3 5
2 3
2 2 3
2 2 3
Bài 2: Ruùt caùc bieåu thöùc sau :
A = 6+ 2 22 32 6
B 18 4 6 8 3 4 2
C 6 + 2 5 29 12 5
D
5 3 29 12 5
E 62
2 12 18 128
F 2 4 62 5
10 2
G ( 2 1)( 3 1)( 6 1)(5 2 2 3)
Bài 3 Ruùt caùc bieåu thöùc sau :
x(16 x ) 3 2 x 2 3 x
A
, vôùi x 0, x 4
x4
2 x
x 2
a 2
a 0
a 2
4
B
,
vôù
i
a
a 2
a
a4
a 2
2
a 1
a 0
a 1
2
C
, vôùi
1
a 1 a 1
a1
a 1
x2 x
x2 x
D
x 1, vôùi x 0
x x 1 x x 1
2
2 x
x 2 x x x x 1
E
,vôùi x 0
x
1
x
2
x
1
x
1 1
a3 b3
2 2
b
F
ab : a
1
1
a b
a b
Trang 13
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 14
Bài 4: Tính giaù trò cuûa ña thöùc :
P(x) = x5 4x 4 3x2 4x 3
x = 2 + 5
Bài 5: Cho bieåu thöùc sau :
x 3 x x 3
x 2
9x
P 1
:
, vôùi x 0, x 4,x 9
x
9
2
x
3
x
x
x
6
a) Ruùt goïn P
b) Tìm x sao cho P 1.
Bài 6: (HSG lớp 9, Nam Định 2002-203) Ruùt goïn bieåu thöùc sau:
3 5
3 5
A=
10 3 5
10 3 5
Bài 7:(HSG, lớp 9 TX Hà Đông, Hà Tây 2002-2003) Rút gọn biểu thức sau:
A a b c 2 ac bc a b c 2 ac bc vôùi a,b,c 0
Bài 8: (HSG, lớp 9 TX Hà Đông, Hà Tây 2003-2004) Cho biểu thức sau:
x4 x4 x4 x4
8 16
1 2
x x
Ruùt goïn roài tìm caùc giaù trò nguyeân cuûa x ñeå A coù giaù trò nguyeân.
Bài 9:(HSG, lớp 9 TX Hà Đông, Hà Tây 2003-2004): Rút gọn các biểu thức sau:
A
a) A 4 7 4 7 2
b) B = 6 + 2 2 3
2 12 18 128
Bài 10: (HSG, lớp 9 TP Pleiku, Gia Lai 2003-2004): Rút gọn biểu thức sau:
A x 2 2 x 3 x 1 4 x 3 , vôùi 3 x 4
Bài 11: (HSG, lớp 9 TP Pleiku, Gia Lai 2003-2004): Chứng minh giá trị của biểu thức sau:
2x
5 x 1
x 10
M
khoâng phuï thuoäc vaøo giaù trò cuûa bieán x.
x3 x 2 x4 x 3 x5 x 6
Bài 12: (HSG, lớp 9 TP Bình Thuận 2003-2004): Chứng minh rằng
A
2 3 5 13 48
laø soá nguyeân.
6 2
Bài 13: (Vào lớp 10 chuyên Toán Tin ĐHSP Hà Nội 2002-2003): Chứng minh đẳng thức
3
3
1
1
2
2
1
3
3
1 1
1 1
2
2
Bài 14: (Vào lớp 10 chuyên Toán Tin ĐHSp Hà nội 2002-2003): Chứng minh rằng số
xo 2 2 3 6 3 2 3
laø nghieäm cuûa phöông trình: x4 16x 2 + 32 = 0
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 15
Bài 15: (Vào lớp 10 chuyên PTNK Trần Phú Hải Phòng 2003-2004):
Cho A =
xy
x2y4
, vôùi x y, y 0.
y2
x 2 2xy y 2
2003
27
27
Ruùt goïn A. Tính giaù trò cuûa A khi x =
vaø y =
7
7
Bài 16: (Vào lớp 10 chuyên Toán Lê Quý Đôn, Đà Nẵng 2003-2004): Thu gọn biểu thức:
2 3 6 84
P
2 3 4
Bài 17: (Vào lớp 10 chuyên Toán Hà Nội Amsterdam 2003-2004): Cho biểu thức:
x2 x
2x x 2(x 1)
P
x x 1
x
x 1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P?
2 x
nhận giá trị là số nguyên.
P
Bài 18: (Vào lớp 10 chuyên PTNK Trần Phú Hải Phòng 2004-2005):
c) Tìm x để biểu thức Q
2x x 2 1
3x 2 4 x 1
1) Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa x ñeå P(x) xaùc ñònh. Ruùt goïn P(x).
2) Chöùng minh raèng neáu x >1 thì P(x).P( x) < 0.
Bài 19: (Vào lớp 10 chuyên ĐHQG Hà Nội 2004-2005):
2x x x x x x
x 1
x
Cho bieåu thöùc M =
x 1 2x x 1 2 x 1
x x 1
1) Haõy tìm ñieàu kieän cuûa x ñeå bieåu thöùc M coù nghóa, sau ñoù ruùt goïn M.
2) Vôùi giaù trò naøo cuûa x thì M ñaït giaù trò nhoû nhaát. Tìm giaù trò nhoû nhaát ñoù cuûa Mù.
Bài 20: (Vào lớp 10 PTNK TpHCM 2007-2008):
Cho bieåu thöùc P(x) =
Cho bieåu thöùc A =
x2 4 2 x x 1
x2 4 2
x 2 x 1
x(x x 1)
Haõy tìm taát caû caùc giaù trò cuûa x ñeå A 0 ?
Bài 21: (Vào lớp 10 PTNK TpHCM 2007-2008):
Cho (x + x 2 + 2007)(y + y 2 + 2007) = 2007. Tính S = x + y?
Bài 22: (Vào lớp 10 Chuyên các trường TpHCM 2006-2007): Rút gọn các biểu thức
sau:
A = (2 4 + 6 2 5 )( 10 2 )
2
a 1
a 1
2
B =
1
, vôùi a > 0 vaø a 1.
a
1
a
1
a
1
Bài 23: (Vào lớp 10 Chuyên các trường TpHCM 2006-2007): Rút gọn các biểu thức
sau:
15 12
1
A=
5 2
2 3
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
a 2
a 2
4
B =
a
, vôùi a > 0 vaø a 4.
a 2
a
a 2
Bài 24: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Haø Noäi Amsterdam 2005-2006)
Cho bieåu thöùc: P =
x x 1 x x 1 x 1
x x x x
x
1) Ruùt goïn P.
2) Tìm x ñeå P =
9
.
2
Bài 25: (Vaøo lôùp 10 ÑH Vinh 2005-2006)
8 15
8 15
2
2
Bài 26: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân tænh Haø Nam 2005-2006)
Ruùt goïn caùc bieåu thöùc:
Ruùt goïn bieåu thöùc: A =
2
6
b) Q = x + 1 + 2 x x + 1 2 x
3 2 2
2
Bài 27: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Leâ Khieát Quaûng Ngaõi 2005-2006)
a) P =
1) Thöïc hieän pheùp tính: ( 2 + 3) 2 6 +
999
111
1
1
2 x
2 x 2 x 4x
1
Ruùt goïn bieåu thöùc A vaø tìm x ñeå A = .
4
2) Cho bieåu thöùc A =
Bài 28: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Leâ Quyù Ñoân Quy Nhôn 2005-2006)
1
1
1
1
vôùi a =
vaø b
a 1 b 1
2 3
2 3
Bài 29: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Haø Noäi Amsterdam 2004-2005)
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: A =
x 1
x 1 1
x
Cho bieåu thöùc: P =
x 1
2
x 1
2 x
1) Ruùt goïn P.
P
2) Tìm x ñeå
2.
x
Bài 30: (Vaøo lôùp 10 Quoác Hoïc Hueá 2004-2005)
2
b
ab a2
a
a
1) Tìm ñieàu kieän a, b ñeå A ñöôïc xaùc ñònh.
2) Ruùt goïn A.
Bài 31: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Leâ Quyù Ñoân Ñaø Naüng 2004-2005)
Cho bieåu thöùc: A =
a) Cho bieát A= 9 + 3 7 vaø B = 9 3 7. Haõy so saùnh A + B vaø AB.
Trang 16
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
1 5 5
1
b) Tính giaù trò cuûa M =
:
3 5 3 5 5 1
Bài 32: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Leâ Quyù Ñoân Quy Nhôn 2004-2005)
a 2
a 2 a 1
2
Chöùng minh raèng:
a 1
a 2 a 1 a 1 a
Bài 33: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Leâ Hoàng Phong tp HCM 2003-2004)
1
3 2 2 3
.
2 3 3 2 2 3
a) Thu goïn bieåu thöùc: A =
b) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc: y = (x 1) 2 x 2 + x + 7 6 x 2
Bài 34: (Vaøo lôùp 10 PTNK Traàn Phuù Haûi Phoøng 2003-2004)
2
Cho x =
1
1
2 1 1
2 1 1
Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc: A = (x 4 x3 x 2 2x 1)2003
Bài 35: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Traàn Ñaïi Nghóa tp HCM 2001-2002)
Thu goïn bieåu thöùc: A = 6 2 2 12 18 8 2
Bài 36: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân ÑH Sö Phaïm HN 2009-2010)
Cho caùc bieåu thöùc:
A 20a 92 a4 16a 2 64 ;
B a4 20a3 102a2 40a 200.
1) Rút gọn A.
2) Tìm a để A+B = 0
Bài 37: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân ÑH Sö Phaïm HN 2009-2010)
Cho caùc soá thöïc x, y thoûa maõn ñaúng thöùc:
1
1 x2 1 1 y 2 1
Chöùng ming raèng: x + y = 0.
Bài 38: (Vaøo lôùp 10 Chuyeân Traàn Phuù Haûi Phoøng 2009-2010)
Cho x=
42 3 3
52
3
17 5 38 2
.Tính P = (x2 + x + 1)2009 ?
Trang 17
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 18
Bài 2: CAÊN BAÄC BA
I. Định nghĩa: Caên baäc ba cuûa moät soá a laø moät soá maø laäp phöông cuûa noù baèng a. Kí hieäu caên baäc ba cuûa a
laø: 3 a . Ta coù: 3 a x x 3 a .
II. Caùc tính chaát cuûa caên baäc ba:
1)
3
a3 a
2)
3
ab 3 a 3 b
3)
3
a
b
3
a
3
b
4) a b 3 a 3 b.
Ví duï 1: Tính:
a) 3 8 3 23 2;
3
8 3 (2)3 2
b) 3 162 3 48 3 6 3 33.6 3 23.6 3 6 3 3 6 2 3 6 3 6 0
Ví duï 2: Ruùt goïn bieåu thöùc sau:
A = 3 2 5 3 2 5
Duøng ñaúng thöùc: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
ta coù: A3 =
3
3
2 5
3
A3 = 2 5 2 5 + 3
3
2 5
3
+3
3
2 5 .3 2 5
3
2 5 3 2 5
2 5 2 5 .A
A3 = 4 + 3 A 3 1
A3 3A 4 0
(A 1)(A 2 A 4) 0
(A 1)(A 2 A 4) 0
Vaäy A = 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 x + 6 3 10 x 4
(* )
Giải:
Để rút gọn vế trái của (*) ta dùng đẳng thức: (a b)3 a3 b3 3ab(a b)
3
(*) 3 x + 6 3 10 x 43
x 6 10 x 33 x + 6.3 10 x 3 x + 6 3 10 x 64
16 33 x + 6.3 10 x.4 64 (do (* ))
3 x + 6.3 10 x 4
(x 6)(10 x) 43
x2 4x 4 0
x2
Thử lại: thay x = 2 vào (*) thì thỏa.
Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình.
BÀI T ẬP
Biên soạn : NGƯT LƯƠNG ANH VĂN – VŨ VĂN THIỆN – LÊ CAO TÚ
Trang 19
Bài 1: (Vaøo lôùp 10 chuyeân ÑH Vinh 2004-2005) Tính giaù trò cuûa bieåu thöùc:
P = x3 y3 3(x y) 2004. Bieát raèng :
x = 3 3 2 2 3 3 2 2 ; y = 3 17 12 2 3 17 12 2
Bài 2:
1) Chöùng minh raèng:
neáu (a b c)3 a3 b3 c3 thì a + b = 0 hoaëc b + c = 0 hoaëc c + a = 0
2) Chöùng minh raèng:
neáu 3 x 3 y + 3 z 3 x y z thì
2n+1
x 2n+1 y +
2n+1
z 2n+1 x y z, n
3) Giaûi phöông trình: 3 3x 2 3 6 2x + 3 x 1 3 2x 9
Bài 3: Cho 2 soá a, b thoûa b >
3
a2
.Chöùng minh raèng:
4
4 2
4
(a b)3 3 ab a 2 b 2 (a 2 b)3
27
27
a
2
2
ab a 2 b 2
5 2 7 3 5 2 7
Bài 5: (Vaøo lôùp 10 Quoác Hoïc Hueá 2002-2003)
Bài 4: Tính giaù trò cuûa: x =
3
Chöùng minh raèng: 3 70 4901 3 70 4901 = 5
Bài 6: (Vaøo lôùp 10 chuyeân Leâ Quyù Ñoân, Quy Nhôn 2004-2005)
Tính 3 20 14 2 3 20 14 2
Bài 3: BAÁT ÑAÚNG THÖÙC CHÖÙA CĂN .
I. Caùc baát ñaúng thöùc chöùa caên:
1. Vôùi a, b 0 : a b a b
2.
A2 A A A. Daáu " " xaûy ra khi A 0.
ab
ab. Daáu " " xaûy ra a b.
2
4. (Baát ñaúng thöùc B.C.S): Vôùi moïi a, b,x,y ta coù :
3. (Baát ñaúng thöùc Coâ-si): Vôùi a, b 0 :
ax by (a2 b2 )(x2 y2 ).
Daáu " " xaûy ra ay bx.
- Xem thêm -
.PDF 
278 
159 
87 
