Dây là tài liệu rất hay về đại số 8. dùng được cho cả học sinh và giáo viên. tài liệu được viết rất chi tiết bám sát và nâng cao,được phân dạng dễ dàng học.tài liệu ở định dạng Word nên dễ dang chỉnh sửa cho các đồng nghiệp.các dạng bài tập trong tài liệu đa dạng phong phú.
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
chuyªn ®Ò nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, ®a thøc víi ®a thøc vµ bÈy h»ng
®¼ng thøc ®¸ng nhí.
Dạng I) Nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc:
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n:
a) 3x(5x2 - 2x - 1);
b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
1
2
2
c) x2y(2x3 - xy2 - 1);
d) x(1,4x - 3,5y);
2
5
7
1
2
3
4
e) xy( x2 - xy + y2);
f)(1 + 2x - x2)5x;
2
3
4
5
2
g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2;
h) x2y(15x - 0,9y + 6);
3
3 4
i)
x (2,1y2 - 0,7x + 35);
7
Bµi 2. §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng.
3
a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)
víi a =
.
2
b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)
víi x = 2,1.
c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2
víi a = -0,2.
1
d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)
víi b =
2
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau:
a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bµi 4. §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc:
a) (3b2)2 - b3(1- 5b);
b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
1
1
c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2);
d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
2
8
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.
a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bµi 6. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0;
a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15
víi x = 79.
b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 víi x = 9.
c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1
víi x = 31.
d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x
víi x = 14.
Bµi 8. Chøng minh r»ng :
a) 356 - 355 chia hÕt cho 34
b) 434 + 435 chia hÕt cho 44.
Bµi 9. Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng:
a) nÕu 2a + b M13 vµ 5a - 4b M13 th× a - 6b M13;
b) nÕu 100a + b M7 th× a + 4b M7;
c) nÕu 3a + 4b M11 th× a + 5b M11;
II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc.
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);
b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
1
1
c) x2y2(2x + y)(2x - y);
d) ( x - 1) (2x - 3);
2
2
1
1
e) (x - 7)(x - 5);
f) (x - )(x + )(4x - 1);
2
2
g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);
h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
GV:Phan Nam-0985240662
1
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
Bµi 2.Chøng minh:
a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;
b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp nh©n:
a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).
Bµi 4. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng ®a thøc:
a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y:
a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);
b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bµi 6. T×m x, biÕt:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi :
M = a(a + b)(a + c);
N = b(b + c)(b + a);
P = c(c + a)(c + b);
Bµi 9. Sè 350 + 1 cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ?
HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho 3 th× d 0 hoÆc 2. ThËt vËy
nªu trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai
sè ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia cho 3 d 2 ( tù chøng minh). Sè 350 + 1 chia cho 3 d 1
nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp.
Bµi 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng AM100
HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288)
Th…a s…th…nh…t 2 + 211 2050
AM4100 AM100
Th…a s…th…hai ch…n
III) C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.
1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.
1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. TÝnh
a) (x + 2y)2;
b) (x - 3y)(x + 3y);
d) (x - 1)2;
e) (3 - y)2
c) (5 - x)2.
1
f) (x - )2.
2
Bµi 2. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét tæng:
1
a) x2 + 6x + 9;
b) x2 + x + ;
c) 2xy2 + x2y4 + 1.
4
Bµi 3. Rót gän biÓu thøc:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bµi 4. øng dômg c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau;
a) (y - 3)(y + 3);
b) (m + n)(m2 - mn + n2);
2
c) (2 - a)(4 + 2a + a );
d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
e) (a - x - y)3 - (a + x - y)3;
f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);
Bµi 5. H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau:
a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)
b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
GV:Phan Nam-0985240662
2
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
c) (25a2 + 10ab + 4b2)(5a - 2b);
d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) x2 - y2 t¹i x = 87
víi y = 13;
b) x3 - 3x2 + 3x - 1
Víi x = 101;
c) x3 + 9x2 + 27x + 27
víi x = 97;
d) 25x2 - 30x + 9
víi x = 2;
e) 4x2 - 28x + 49
víi x = 4.
Bµi 7. §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng:
a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)
víi x = - 5, y = -3;
b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)
víi a = -4, b = 4.
Bµi 8. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bµi 9. T×m x, biÕt:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bµi 10.TÝnh nhÈm theo c¸c h»ng ®¼ng thøc c¸c sè sau:
a) 192; 282; 812; 912;
b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;
Bµi 11. Chøng mih c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;
b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;
c) a6 + b6 = (a2 + b2)[(a2 + b2)2 - 3a2b2];
d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
C¸c bµi to¸n n©ng cao
Bµi 12. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bµi 13. H·y viÕt c¸c biÓu thøc díi d¹ng tæng cña ba b×nh phong:
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b.
Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c.
Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c.
Bµi 17. Cho a + b + c = 0
(1)
a2 + b2 + c2 = 2(2)
TÝnh a4 + b4 + c4.
Bµi 18. cho a + b + c = 0. Chøng minh ®¼ng thøc:
a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);
b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;
2
2
2
2
c) a4 + b4 + c4 = a b c ;
2
Bµi 19. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn.
a) 9x2 - 6x +2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Bµi 20. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
a) A = x2 - 3x + 5;
b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bµi 21. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
a) A = 4 - x2 + 2x;
b) B = 4x - x2;
Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3.
Bµi 23. Cho x + y = a; xy = b.
TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b:
a) x2 + y2;
b) x3 + y3;
c) x4 + y4;
d) x5 + y5;
Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x3 + y3 + 3xy.
b) cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy.
Bµi 25. Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
Bµi 26. Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;
b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);
c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;
h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 28. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
GV:Phan Nam-0985240662
3
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;
b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bµi 30. Chøng minh r»ng:
a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 lµ sè
chÝnh ph¬ng.
b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng c¸ch viÕt chÌn
sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tríc :
16, 1156, 111556, …
Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi a = 11…12(n ch÷ sè 1),
b = 11…14(n ch÷ sè 1).
Bµi 33. Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8
lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 34. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph¬ng:
{ 22...2
{
{ 44...4
{ 1
a) A = 11...1
b) B = 11...1
2n
n
Bµi 35. C¸c sè sau lµ b×nh ph¬ng cña sè nµo ?
{ 00...0
{ 25 ;
{
{
a) A = 99...9
b) B = 99...9800...01
;
n
n
{ {
c) C = 44...488...89
;
n
n1
n
2n
n
n
{ {
d) D = 11...122...25
.
n
n1
chuyªn ®Ò Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
I) Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
GV:Phan Nam-0985240662
4
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
*) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
a) 3x - 3y
B…i 3: Ph…n t…ch …a th…c th…nh nh…n t…
b) 2x 2 5x3 x 2 y
a) 4x2 6x;
c)14x 2 21xy 2 28x 2 y 2
d)4x 14x
3
e)5y 15y
10
b)21x2 y 12xy2 ;
2
c)x3 x2 2x;
6
d)3x x 1 7 x 2 x 1 ;
f)9x y 15x y 21xy
g)x(y 1) y(y 1)
h)10x(x y) 8y(y x)
2
2
2
e)x2 y2 z xy2 z2 x2 yz;
f )2x x 1 2 x 1 ;
g)4x x 2y 8y 2y x
i)3x 2 (x 1) 2(x 1)
j)a(b c) 3b 3c
k)a(c d) c d
l)b(a c) 5a 5c
m)b(a c) 5a 5c
n)a(m n) m n
o)mx my 5x 5y
p)ma mb a b
q)1 xa x a
B…i 4: T…nh gi…tr…c…a bi…u th…c
a) 15.91,5+ 150.0,85
b) 5x 5 (x 2z) 5x5 (2z x)t…i x= 1999; y= 2000; z= -1
B…i 4: T…m x, bi…t
a) 5x(x-2)-(2-x)= 0
b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)
1 2
x0
3 3
d)x(x 4) (x 4) 2 0
c) x(2x-1)+
r)(a b)2 (b a)(a b)
t)a(a b)(a b) (a b)(a ab b )
B…i 2: Ph…n t…ch c…c …a th…c sau th…nh nh…n t…
a)2x(x+3)+2(x+3)
b)4x(x-2y)+8y(2y-x)
2
c) y 2 (x 2 y) zx 2 zy
d)3x(x 7)2 11x 2 (x 7) 9( x 7)
e)(x 5) 3(x 5)
2
2
e)x2 5x 0;
f )3x(x 2) 2(2 x) 0;
g)5x(3x 1) x(3x 1) 2(3x 1) 0.
B…i 5:Ch…ng minh r …ng
a) B…nh ph……ng c…a m…t s…l…chia cho 4
th…d…1
b) B…nh ph……ng c…a m…t s…l…chia cho 8
th…d…1
f)2x(x 3) (x 3)2
B…i 6: ch…ng minh r…ng:
g)x(x 7) (7 x)2
n 2 n 1 2n n 1
h)3x(x 9)2 (9 x)3
i)5x(x 2) (2 x)
lu…n chia h…t cho 6 v…i m…i s…nguy…n n.
j)4x(x 1) 8x 2 (x 1)
k)p m 2 .q p m 1 .q 3 p 2 .q n 1 p.q n 3
o)5x5 (x 2z) 5x 5 (2z x)
p)10x(x y) 8y(y x)
q)21x 2 12xy 2
r)2x(x 1) 2(x 1)
t)4x(x 2y) 8y(2y x)
II) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p dung h»ng ®¼ng thøc:
1) Ph¬ng ph¸p: BiÕn ®æi c¸c ®a thøc thµnh d¹ng tÝch nhê sö dông h»ng ®¼ng thøc
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
GV:Phan Nam-0985240662
5
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
2)Bµi tËp:
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x2 - 9;
b) 4x2 - 25;
6
6
c) x - y
d) 9x2 + 6xy + y2;
2
2
e) 6x - 9 - x ; f) x + 4y2 + 4xy
g) 25a2 + 10a + 1;
h)10ab + 0,25a2 + 100b2
1 2
i)9x2 -24xy + 16y2
j) 9x2 - xy +
y
36
k)(x + y)2 - (x - y)2
l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
3
3
3
n) x + y + z - 3xyz.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 8;
b) 27x3 -0,001
6
3
c) x - y ;
d)125x3 - 1
3
2
e) x -3x + 3x -1;
f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
b) M = 4abcd a 2 b 2 c 2 d 2 4 cd a 2 b 2 ab c 2 d 2
Bµi 4 TÝnh nhanh:
a) 252 - 152;
b) 872 + 732 - 272 - 132
2
2
c) 73 -27 ;
d) 372 - 132
e) 20092 - 92
Bµi 5 T×m x, biÕt
a) x3 - 0,25x = 0;
b) x2 - 10x = -25
2
2
c) x - 36 = 0; d) x - 2x = -1
e) x3 + 3x2 = -3x - 1
Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 2x8 - 12x4 + 18;
b) a4b + 6a2b3 + 9b5;
c) -2a6 - 8a3b - 8b2; d) 4x + 4xy6 + xy12.
Bµi 7 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m
a) x2 - 2xy + y2 + a2;
b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;
c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bµi 8 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷:
a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz
c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz
Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8.
2
2
III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n: T×m c¸ch t¸ch ®a thøc ®· cho thµnh nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp sao cho khi ph©n
tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x2 - xy + x - y;
b) xz + yz - 5(x + y)
c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.
2
2
2
2
2
d) x + 4x - y + 4;
e) 3x + 6xy + 3y - 3z ;
f) x2 -2xy + y2 - z2 + 2zt - t2;
g) x2 - x - y2 - y;
h) x2 - 2xy + y2 - z2;
i) 5x - 5y + ax - ay;
j) a3 - a2x - ax + xy; k) 7a2 -7ax - 9a + 9x;
l) xa - xb + 3a - 3b;
Bµi 2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb;
b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;
c) ax - bx - cx + ay - by - cy;
d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;
Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2;
b) a4 + ab3 - a3b - b4;
c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2;
c) x4 + x3 y - xy3 - y4;
Bµi 4 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2;
b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;
2
3
c) 21bc - 6c - 3c +42b;
d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.
Bµi 5 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3;
b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;
1
c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ;
d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2.
3
Bµi 6 T×m x, biÕt:
a) x3 + x2 + x + 1 = 0;
b) x3 - x2 - x + 1 = 0;
2
c) x - 6x + 8 = 0;
d) 9x2 + 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0;
f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bµi 7 TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau;
GV:Phan Nam-0985240662
6
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5
Bµi 8. TÝnh nhanh :
a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452 + 402 - 152 + 80.45.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Bµi 10. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2;
b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3.
IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
- §Æt nh©n tö chung.
- Dïng h»ng ®¼ng thøc.
- Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) 2xy - x2 - y2 + 16;
d) a4 + a3 + a3b + a2b e) a3 + 3a2 + 4a + 12;
f) a3 + 4a2 + 4a + 3;
2
2
2
2
2
2
g) x y + xy + x z + xz + y z + yz + 2xyz;
h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab;
2
2
3
2
i) 4a - 4b - 4a + 1; j) a + 6a + 12a + 8;
k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3.
Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y);
b) (x + y)3 - x3 - y3;
2
2
c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ;
d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);
f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;
g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2;
h) x5 - 5x3 + 4x;
i) x3 - 11x2 + 30x;
j) 4x4 - 21x2y2 + y4;
k) x3 + 4x2 - 7x - 10;
l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;
n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15;
o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6.
Bµi 2: T×m x, biÕt.
1
a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0;
c) x3 - x = 0;
4
d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0
e) x2(x - 3) +12 - 4x =0.
Bµi 3. TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc:
1
1
a) x2 + x +
t¹i x = 49,75;
b) x2 - y2 - 2y - 1 t¹i x = 93 vµ y = 6.
2
16
To¸n khã më réng:
Bµi 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hÕt cho 9 kh«ng?
b) BiÕn ®æi thµnh tÝch c¸c biÓu thøc:
A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2].
Bµi 5. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1
Víi x2 + y2 = 1
2) x4 + x2y2 + y4 = a2 - b2
víi x2 + y2 = a, xy = b
3
3
3
3
3
6
6
3) (a + b - a b ) + 27a b = 0
víi ab = a + b.
4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2
víi a + b + c = 2p.
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1.
b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1 víi x = 11.
Bµi 7. Rót gän:
a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).
2
3
4
n
b) Më réng: B = 3(2 2 1)(22 1)(22 1)(2 2 1)...(22 1)
Bµi 8. Chøng minh:
1
a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 0
2
Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)
víi a + b + c = 0.
Bµi 10. Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng
A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho 3
V) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c.
1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c.
- Bíc 1: T×m tÝch ac.
- Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch.
- Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b.
C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 4x2 - 4x - 3;
b) x2 - 4x + 3;
c) x2 + 5x + 4;
GV:Phan Nam-0985240662
7
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
d) x2 - x - 6;
e) x2 + 8x + 7;
f) x2 - 13 x + 36;
2
2
2
g) x +3x - 18;
h) x - 5x - 24;
i) 3x - 16x + 5;
j) 8x2 + 30x + 7;
k) 2x2 - 5x - 12;
l) 6x2 - 7x - 20.
1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a.
Trong ®ã a lµ íc sè cña an,, víi f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an.
b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4.
LÇn lît kiÓm tra víi x = 1, 2, 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0.
§a thøc cã nghiÖm x =2, do ®ã chøa thõa sè x - 2.
Ta t¸ch nh sau:
C¸ch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
= ( x - 2)(x2 + x + 2).
3
2
3
C¸ch 2: x - x - 4 = x - 8 - x2 + 4
= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).
2) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: Khi mét ®a thøc phøc t¹p, hoÆc cã bËc cao, ta cã thÓ ®Æt Èn phô nh»m “
gi¶m bËc” cña ®a thøc ®Ó ph©n tÝch.
2.1) VÝ dô. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12.
b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) §Æt y = x2 + x + 1, khi ®ã ®a thøc f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)
Thay ngîc trë l¹i y = x2 + x + 1 vµo ®a thøc f(x) ta ®îc:
f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24
= y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + 4
= y2 + 2y - 24
= (y - 4)(y + 6)
Thay ngîc trë l¹i y = x2 + 5x + 4 ta ®îc
f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
3) Ph¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö thÝch hîp ®Ó lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh
ph¬ng.
*) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a) x8 + x4 + 1;
b) x4 + 4;
HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1)
= [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2]
= [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2]
= (x2 +1 - x)(x2 + 1 - 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 3 x)
*) Bµi tËp ¸p dông :
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) f(x) = x4 + 324
b) f(x) = x8 + 1024;
c) f(x) = x8 + 3x4+ 4
1
Bµi 2. a) Ph©n tÝch n4 +
4
4 1 4 1 4 1
1 2 ... 19
4
4
4
b) ¸p dông: Rót gän S =
4 1 4 1 4 1
2 4 ... 20
4
4
4
4) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: Tríc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng cña c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi
g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè:
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Gi¶i:
Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vËy P chøa thõa sè x = y
nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P kh«ng ®æi. Do ®ã P chøa thõa sè cã d¹ng (x - y),
(y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x).
V× ®¨ngt thøc x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) ®óng víi mäi x, y, z,
Nªn ta g¸n x = 2, y = 1, z = 0 vµo ®¼ng thøc ta ®îc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) 2 = -2k k = -1
vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x)
C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn.
Bµi 1: Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè
a) 6x2 - 11x + 3;
c) 2x2 - 5xy + 3y2;
Bµi 2. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè:
a) x3 + 2x - 3;
GV:Phan Nam-0985240662
b) 2x2 + 3x - 27;
d) 2x2 -5xy - 3y2.
b) x3 - 7x + 6;
8
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
c) x3 + 5x2 + 8x + 4;
d) x3 - 9x2 + 6x + 16;
3
2
e) x - x - 4;
f) x3 - x2 - x - 2;
g) x3 + x2 - x + 2;
h) x3 - 6x2 - x + 30.
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch).
x3 - 7x - 6.
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4;
b) 2x3 - x2 + 5x + 3.
Bµi 5. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;
b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12;
d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;
e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4
f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2;
g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn - §Æt Èn phô)
a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc
HD: §Æt x = a + b, y = a - b.
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 4x4 - 32x2 + 1;
b) x6 + 27;
4
2
2
2
c) 3(x + x + 1) - (x + x + 1) ;
d) (2x2 - 4)2 + 9;
4
e) 4x + 1;
f) 64x4 + y4;
g) x4 + 324;
h) x8 + x + 1;
i) x7 + x5 + 1;
j) x8 + x4 + 1;
k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6;
l) x3 + 3xy + y3 - 1.
Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;
b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
4
3
2
c) x - 7x + 14x - 7x + 1;
c) x4 - 8x + 63.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
x8 + 98x2 + 1.
Bµi 10. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d¬ng).
a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c
chuyªn ®Ò chia ®a thøc cho ®a thøc
I) Chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc (trêng hîp ®¬n thøc A chia hÕt cho ®¬n thøc B).
1) Ph¬ng ph¸p:
- Chia hÖ sè cña ®¬n thøc A cho hÖ sè cña ®¬n thøc B.
- Chia tõng luü thõa cña tõng biÕn trong A cho luü thõa cña biÕn ®ã cã trong B.
- Nh©n c¸c kÕt qu¶ t×m ®îc víi nhau.
1) VÝ dô vµ bµi tËp:
Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia:
a) 10015 : 10012;
b) (-79)33 : (- 79)32;
16
14
c) 1 : 1 ;
2 2
Bµi 2. Chia c¸c ®¬n thøc:
a) -21xy5z3 : 7xy2z3;
c) x2yz : xyz;
e) 18x2y2z : 6xyz;
g) 27x4y2z : 9x4y;
3 2 4 1 2 2
i) (
mn): mn;
4
2
k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2);
n) (x + y)2 : (x + y);
o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3;
21
18
d) 3 : 3 .
5 5
1 3 4 5 3 2 5
a b c ) : a bc ;
2
2
d) x3y4 : x3y;
f) 5a3b : (-2a2b);
h) 9x2y3 : (-3xy2);
b) (
j) 5x4y3z2 : 3xyz2;
3
1
(a - b)5 : (b - a)2;
2
2
m)(x - y)5 : (y - x)4;
2 2
¬) 0,5ambnc3 : (
a bc);
3
l)
p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c).
Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:
1
(-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x =
vµ y = -1.
2
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia:
4
6
1
a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy;
b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x);
3
5
3
3 3 6 2 6 4 3
9 5 2 3 3 3
c) ( a b c + a b c a b c ) : a bc;
4
5
10
5
GV:Phan Nam-0985240662
9
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
d) [3(a - b)5 - 6(a - b)4 + 21(b - a)3 + 9(a - b)2] : 3(a - b)2
e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2).
Bµi 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× thùc hiÖn ®îc c¸c phÐp chia ®¬n thøc sau? Víi ®iÒu kiÖn t×m ®îc h·y thùc
hiÖn phÐp chia ®ã .
a)x2n : xn + 3;
b) 3xny2 : 4x2y;
3
5
n
2
c) 6x y : 5x y ;
d) xnyn+2 : 3x3y4.
II) Chia ®a thøc cho ®¬n thøc.
1) Ph¬ng ph¸p: Chia ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
- Chia mçi h¹ng tö cña ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
- Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi nhau.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) (7. 35 - 34 + 36) : 34;
b) (163 - 642) : 83;
Bµi 2. Lµm tÝnh chia:
a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2;
b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);
1
1
c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2;
d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);
2
3
2
e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4);
3
f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.
g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2;
h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b);
3
2
2
3
i) (x + 3x y + 3xy + y ) : (2x + 2y).
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
15 2mn n-1 p+2
a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 +
a b c x) : (-3a3-mb5c4);
4
b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;
c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy.
d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N).
Bµi 4. Lµm tÝnh chia:
a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2
b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y);
3
3
c) (x - 8y ) : (x + 2y);
d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3
e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3.
Bµi 5. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2.
A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3.
III) Chia ®a thøc mét biÕn ®· s¾p xÕp:
1) Ph¬ng ph¸p chung:
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc bÞ chia cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia th× ®îc h¹ng tö cao
nhÊt cña th¬ng.
- Nh©n h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc
d thø nhÊt.
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc d thø nhÊt cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia ta ®îc h¹ng tö thø
hai cña th¬ng.
- Nh©n h¹ng tö thø hai cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy d thø nhÊt trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc d thø
hai.
- LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn cho ®Õn khi:
+) nÕu d cuèi cïng b»ng 0 th× phÐp chia cã d b»ng 0 vµ ®îc gäi lµ phÐp chia hÕt.
+) nÕu d cuèi cïng kh¸c 0 vµ bËc cña ®a thøc d thÊp h¬n bËc cña ®a thøc chia th× phÐp chia ®ã ®îc gäi lµ phÐp chia cã d.
2) Ký hiÖu:
A(x) lµ ®a thøc bÞ chia;
B(x) lµ ®a thøc chia;
Q(x) lµ ®a thøc th¬ng;
R(x) lµ ®a thøc d;
Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- NÕu R(x) = 0 th× A(x) = B(x) . Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt.
- NÕu R(x) 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d.
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh chia:
a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);
b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);
c) (2x4 + x3 - 5x2 - 3x - 3) : (x2 - 3);
Bµi 2. S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn:
a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);
b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);
c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);
d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);
e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);
f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);
h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
GV:Phan Nam-0985240662
10
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);
j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2);
k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);
l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1);
n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);
m) (x4 - x - 14) : (x - 2).
Bµi 3. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc
d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt;
a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5).
HD:
a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt:
x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r
Trong ®¼ng thøc trªn ®Æt x = -3, ta ®îc:
r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9
vËy d trong phÐp chia lµ 9.
b) Ta thÊy ngay th¬ng trong bíc thø nhÊt cña phÐp chia lµ 3x vµ do ®ã ®a thøc d thø nhÊt lµ 2x 1. V× 2x - 1 cã bËc nhá h¬n 3x2 - 2x + 5 nªn kh«ng thÓ thùc hiÖn tiÕp phÐp chia ®îc n÷a. Do ®ã phÐp
chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - 1.
Bµi 4. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc
d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt.
1
a) (8x2 - 6x + 5) : (x - );
b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1);
2
c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1);
d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1).
Bµi 5. TÝnh nhanh:
a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);
b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);
c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);
1 3
4
1
d) (64a3 b ) : (16a2 + ab + b2).
27
3
9
4) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó t×m ®a thøc th¬ng vµ ®a thøc d:
4.1) Ph¬ng ph¸p ®Æt phÐp chia:
VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
Thùc hiÖn phÐp chia
x3
+ ax
+
b
x2 + x - 2
x3 +
x2 - 2x
-x2 + (a +2)x +
b
x-1
-x2 x +
2
(a + 3)x + (b -2)
§Ó chia hÕt, ®a thøc d ph¶i ®ång nhÊt b¨ng 0, nªn :
a 3 0
a 3
b 2 0
b 2
vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2.
4.2) Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
- NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng nhau víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ngêi ta goi lµ hai ®a thøc h»ng
®¼ng hoÆc hai ®a thøc ®ång nhÊt. KÝ hiÖu f(x) g(x).
- Hai ®a thøc (®· viÕt díi d¹ng thu gän) ®îc gäi lµ ®ång nhÊt (h»ng ®¼ng) khi vµ chØ khi c¸c hÖ sè cña
c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng chøa trong hai ®a thøc ®ã lµ b»ng nhau.
*) VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
§a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt, h¹ng tö bËc
nhÊt lµ x3 : x2 = x.
Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã:
x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.
Hai ®a thøc trªn ®ång nhÊt nªn :
c 1 0
c 1
c 2 a a 3
2c b
b 2
VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th¬ng lµ x - 1.
4.3) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
*) VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
GV:Phan Nam-0985240662
11
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
Gi¶i
Gäi th¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã:
x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
V× ®¼ng thøc ®óng víi mäi x, nªn lÇn lît cho x = 1, x = -2 ta ®îc :
1 a b 0
a b 1
a 3
8 2a b 0
2a b 8
b 2
3
Víi a = -3; b = 2 th× x + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 vµ th¬ng lµ x - 1.
4.4) Ph¬ng ph¸p vËn dông vµo ®Þnh lý B¬du
a) §Þnh lý: Sè d trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x
= a.(NghÜa lµ r = f(a)).
b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0
C¸c bµi tËp ¸p dông cho c¸c ph¬ng ph¸p trªn.
Bµi 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc.
HD: sö dông ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ta cã ha ®¸p sè.
x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2
x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2
Bµi 2. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 - x - 2.
HD: sö dông ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng, ta ®îc kÕt qu¶ a = 2; b = - 4.
Bµi 3. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a vµ b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1;
b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21.
HD: ta cã kÕt qu¶
a) a = 1; b = 1;
b) a = 3; b = -1.
Bµi 4. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1;
b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - 7 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - 2.
HD
a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d lµ -3
Suy ra -3 M(x + 1) x {0; -2; 2; -4}.
b) x {3; 1; 5; -1}.
Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuéc Q). X¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia hÕt cho x + 1.
HD
*) C¸ch 1. (§Æt phÐp chia ®a thøc).
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho ®a thøc (x + 1) ®îc th¬ng lµ
2
2
a x + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + 6
- §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ
-a2 + a + 6 = 0, gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc a = -2; a = 3.
*) C¸ch 2. (Dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh).
+) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a
+) BiÓu diÔn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau ®ã dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ®Ó t×m ra a = -2; a
= 3 vµ kÕt luËn.
*) C¸ch 3. (Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng).
Bµi 6. X¸c ®Þnh h»ng sè a sao cho:
a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3;
b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4;
c) ax5 + 5x4 - 9 chia hÕt cho x - 1.
Bµi 7. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè a vµ b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1;
b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10;
c) ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2;
d) x4 + 4 chia hÕt cho x2 + ax + b.
Bµi 8. T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d 7, chia cho x - 3 th× d - 5.
Chuyªn ®Ò ph©n thøc ®¹i sè
I) Ph©n thøc ®¹i sè:
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
A
a) §Þnh nghÜa: Mét ph©n thøc ®¹i sè (hay nãi gän lµ ph©n thøc) lµ mét biÓu thøc cã d¹ng ,
B
trong ®ã A, B lµ nh÷ng ®a thøc, B lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0
A lµ tö thøc (tö).
B lµ mÉu thøc
Mçi mét ®a thøc còng ®îc coi lµ mét ®a thøc cã mÉu lµ 1.
b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau:
A
C
A
C
Víi hai ph©n thøc
vµ , ta nãi
=
nÕu A.D = B.C
B
D
B
D
2) Bµi tËp:
Bµi 1. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
GV:Phan Nam-0985240662
12
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
2
3
3
4
x y
7x y
a)
;
5
35 xy
b)
x2 x 2
x x 2
2
x
;
x2
2
3
2
c) 3 x x 6 x2 9 ;
d) x 4 x x 2 x ;
3 x
9 x
10 5 x
5
3x x 5 3x
5 y 20 xy
e)
;
f)
;
2 x 5
2
7
8x
x 2 x 1 ;
x 2 x 2 x 2 3x 2 ;
g) x 2
h)
x 1
x2 1
x 1
x 1
3
i) 2 x 8 x 2 .
x 2x 4
Bài 2. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau, h·y t×m ®a thøc A trong mçi ®¼ng thøc sau.
2
2
a) A 6 x 2 3x ;
b) 4 x 3 x 7 4 x 7 ;
2x 1 4x 1
A
2x 3
2
2
2
c) 4 x 2 7 x 3 2 A
;
d) x2 2 x x 2 x .
x 1
x 2x 1
2 x 3x 2
A
Bµi 3. B¹n Lan viÕt c¸c ®¼ng thøc sau vµ ®è c¸c b¹n trong nhãm häc tËp t×m ra chç sai. Em h·y söa sai
cho ®óng.
2
2
a) 5 x 3 5 x 213x 6 ;
b) x 1 2 x 3 ;
x2
x 4
x 3 x 6x 9
2
2
2
c) x 2 2 x 2 ;
d) 2 x2 5 x 3 22x x 3 .
x 1 x 1
x 3x 4 x 5x 4
Bµi 5. Ba ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?
x2 x 2 x 2 x2 4 .
;
;
x2 1 x 1 x2 x 2
Bµi 6. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c ph©n thøc sau:
2
3
a)
;
b) 2 x 3 ;
5x 2
x 6x 9
x
2x 1
c) 2
;
d) 2
.
x 3x
x 3x 2
Bµi 7. t×m c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó c¸c biÓu thøc sau b»ng 0.
2
3x 1
a) 2
;
b) x x ;
x 5
2x 1
2
2
c) x 23 x 2 ;
d) 2x 2 x ;
x 1
x 4x 4
4
3
4
2
e) 4 x 3 x 2x 1 ;
f) x4 5 x 2 4 .
x x 2x x 1
x 10 x 9
Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó c¸c ph©n thøc sau nhËn gi¸ trÞ nguyªn:
2 x 1
3
6
a) 2
;
b)
;
c) 3
;
x x 1
x 3
x 1
II) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè:
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
a) TÝnh chÊt:
A A.M
- TÝnh chÊt 1:
(M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0).
B B.M
A A: M
- TÝnh chÊt 2:
(M lµ nh©n tö chung kh¸c 0).
B B:M
A A
b) Quy t¾c ®æi dÊu:
.
B B
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng trong c¸c
®¼ng thøc sau:
GV:Phan Nam-0985240662
13
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
a) x 2 x x ;
5 x 5 ...
...
3 x 2 3xy
c)
;
x y 3 y x 2
2
3
b) x 8 3 x 24 x ;
2x 1
...
x 2 2 xy y 2
...
d)
;
2
x y
y x2
2
3
2
5x 5 y 5x2 5 y2
e) x 2 x ... ;
f)
.
...
2 y 2x
x 1 x 1
Bµi 2. BiÕn ®æi mçi ph©n thøc sau thµnh mét ph©n thøc b»ng nã vµ cã tö thøc lµ ®a thøc A cho tríc.
8 x 2 8x 2
4x 3
2
, A 1 2x ;
a) 2
b)
, A= 12x +9x ;
4 x 2 15x 1
x 5
Bµi 3. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc
b»ng nã vµ cã cïng tö thøc.
2
3
x 1
x5
a)
vµ
;
b)
vµ x 25 ;
x2
5x
4x
2x 3
Bµi 4. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc hoÆc quy t¾c ®æi dÊu ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau
thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc:
3x
7x 2
4x
3x
a)
vµ
;
b)
vµ
;
x 5
5 x
x 1
x 1
2x
x3
2
x4
c) 2
vµ
;
d)
vµ
;
x 1 x 3
x 1 x 2
x 8 x 16
2x 8
Bµi 5. C¸c ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?
x3 y3
x2
x2
x2
a)
vµ
;
b)
vµ
;
xy 3
y
x y2
x2 y 2
1 x
x 1
3( x 1)
3( x 1)
c)
vµ
;
d)
vµ
;
2
( x 1)(3 x )
( x 1)( x 3)
(1 x)
( x 1) 2
Bµi 6. H·y viÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc cã mÉu thøc lµ 1 - x3;
2
x
x 1
a) 3x ;
b)
;
c) 2
.
x 1
x x 1
x 1
Bµi 7. ¸p dông quy t¾c ®æi dÊu ®Ó viÕt c¸c ph¬ng tr×nh b»ng c¸c ph©n thøc sau:
2
2
a) xy ;
b) 1 x ;
2x x
x 1
2
2
y x
2 x 1
c)
;
d)
.
x y
x 2
Bµi 8. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng mÉu thøc:
x
x
y
a) x 2 vµ
;
b)
vµ ;
2y
x 1
x
2x y
x
x 1
1 x
c) 3
vµ
;
d) 5 4 vµ 4 5 .
3
x y
x y
x y
x y
Bµi 9. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng tö thøc:
x
1
x2
y
a) vµ
;
b)
vµ ;
y
x
x3
x
2
2
3 2
x y
x y
x y
x2 y3
c)
vµ
;
d)
vµ
;
2 x 2 xy
x
x y
x y
III) Rót gän ph©n thøc
1) Ph¬ng ph¸p:
- Ph©n tÝch c¶ tö vµ mÉu thµnh nh©n tö (nÕu cÇn) ®Ó t×m nh©n tö chung.
- Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung ®ã.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Rót gän c¸c ph©n thøc sau:
14 xy 5 (2 x 3 y)
8 xy (3 x 1)3
a)
;
b)
;
21x 2 y (2 x 3 y ) 2
12 x 3 (1 3 x)
20 x 2 45
5 x 2 10 xy
c)
;
d)
;
(2 x 3) 2
2(2 y x)3
GV:Phan Nam-0985240662
14
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
2
80 x 125 x
;
f) 9 2 ( x 5) ;
3( x 3) ( x 3)(8 4 x )
x 4x 4
2
3
3
g) 32 x 38 x 2 x ;
h) 5 x 4 5 x ;
x 64
x 1
2
2
10 xy ( x y )
i) x2 5 x 6 .
J)
;
15 xy ( x y )3
x 4x 4
2
x 2 xy x y
k) 2
;
l) 3 x 412 x 12 ;
x xy x y
x 8x
2
2a 2 2ab
n) 7 x 214 x 7 ;
m)
;
3x 3 x
ac ad bc bd
2x 2 y
x 2 xy
o) 2
;
¬) 2
;
2
x 2 xy y 2
y x
2
2 2a
p) 3
;
q) x2 6 x 9 ;
a 1
x 8 x 15
4
3
7
4
v) x 4 2 x 3 ;
u) x 6 x ;
2x x
x 1
2
2
2
24,5 x 0,5 y 2
) ( x 2) ( x 2) ;
x)
;
3,5 x 2 0,5 xy
16 x
3
2
(a b)(c d )
y) a 3a2 2a 6 ;
z) 2
.
(b a 2 )(d 2 c 2 )
a 2
Bµi 2. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
x 2 y 2 xy 2 y 3 xy y 2
x 2 3 xy 2 y 2
1
a)
;
b)
.
2
2
3
2
2
3
2 x xy y
2x y
x 2 x y xy 2 y
x y
Bµi 3. §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc:
45 x(3 x)
y 2 x2
a)
;
b)
.
15 x( x 3)3
x 3 3 x 2 y 3xy 2 y 3
Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
4
a 4 x víi a = 3, x = 1 ;
x 3 x 2 6 x víi x = 98
a) ax
b)
3
a 2 ax x 2
x3 4 x
3
4
3
1
1
c) x 3 3 x5 víi x = ;
d) x 2 2 x 3 víi x = ;
2
2
3x x
2x x
2
7
1
1
e) 10ab2 5a víi a = , b = ;
f) a15 18 víi a = 0,1;
6
7
16b 8ab
a a
2x 4 y
x2 9 y2
g)
víi
x
+
2y
=
5;
h)
víi 3x - 9y = 1.
0, 2 x 2 0,8 y 2
1,5 x 4,5 y
a b
Bµi 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P =
.
ab
Bµi 6. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.
2ax 2 x 3 y 3ay
x2 y 2
a)
;
b)
;
4ax 6 x 6 y 6ay
( x y )(ay ax)
Bµi tËp n©ng cao.
Bµi 7. Rót gän c¸c biÓu thøc.
m4 m ;
ab 2 a 3 a 2b ;
a)
b)
2m 2 2m 2
a 3b b 4
xy 1 x y
ax ay bx by
c)
;
d)
;
y z 1 yz
ax ay bx by
2
2
2
2
2
e) a 2 b 2 c 2 2ab ;
f) 2 a b 2 ;
a b c 2ac
a a b b
3
e)
GV:Phan Nam-0985240662
15
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
a 3 (b 2 c 2 ) b3 (c 2 a 2 ) c3 (a 2 b 2 )
a 1 ;
h)
;
a 2 (b c) b 2 (c a) c 2 ( a b)
2a 2 4a 2
2
2
2
2
x 2 (a b) x ab
i) 2
;
j) x 2 a2 b 2 2bc 2ax c 2 ;
x (a b) x ab
x b a 2bx 2ac c
3
2
x x2
k) 3 x 22 x 4 x 5 ;
l) 2
.
6 x 3x 9
x 5x 6
2x
2x
2
n) a x b x ;
m) 1 (2a 3b) ;
a b
2a 3b 1
3x
3y
4m
4n
o) 3 x 3 y ;
¬) 22 n 22 m ;
3 3
2 2
2
2
2
3
2
p) a (b c)2 b (2c a3) c 2(a b) ;
q) 2 x 3 7 x 2 12 x 45 ;
ab ac b bc
3 x 19 x 33x 9
3
3
3
x y z 3 xyz
x 3 y 3 z 3 3 xyz
u)
;
)
.
( x y ) 2 ( y z )2 ( z x )2
( x y )2 ( y z ) 2 ( z x) 2
Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c ph©n thøc sau b»ng 0.
4
3
4
2
a) 4 x 3 x 2x 1 ;
b) x4 5 x 2 4 .
x x 2x x 1
x 10 x 9
Bµi 9. ViÕt gän biÓu thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc.
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD: Nh©n biÓu thøc A víi x2 + x + 1, tõ ®ã xuÊt hiÖn nh÷ng biÓu thøc liªn hîp nhau
x2 y 2 z 2
Bµi 10. Rót gän
biÕt r»ng x + y + z = 0.
( y z )2 ( z x) 2 ( x y ) 2
3x 2 y
Bµi 11. TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A =
, biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x <0.
3x 2 y
HD
9 x 2 4 y 2 12 xy 20 xy 12 xy 8 xy 1
Ta cã A2 =
9 x 2 4 y 2 12 xy 20 xy 12 xy 32 xy 4
1
Do 2y < 3x < 0 3 x 2 y 0,3x 2 y 0 A 0 . vËy A = .
2
4
4
4
4
(1 4)(5 4)(9 4)...(21 4)
Bµi 12. Rót gän biÓu thøc: P = 4
.
(3 4)(74 4)(114 4)...(234 4)
HD
XÐt n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
(1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2)
(19.21 2)(21.23 2)
1.1 2
1
....
Do ®ã P =
(1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2)
(21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577
1
Bµi 13. Cho ph©n sè A =
(mÉu cã 99 ch÷ sè 0). TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n.
1, 00...01
HD
100
Ta cã A = 10
. Nh©n tö vµ mÉu víi 10100 - 1, ta ®îc:
10100 1
}100 }100
100
100
10 (10 1) 99...9 00...0
A=
0,99...9
{ 00...0
{
10200 1
99...9
100
100
{
g)
3
200
(Theo quy t¾c ®æi sè thËp ph©n tuÇn hoµn ®¬n ra ph©n sè).
(a 2 b 2 c 2 )( a b c ) 2 (ab bc ca ) 2
Bµi 14. Cho ph©n thøc: M =
(a b c)2 (ab bc ca)
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a, b, c ®Ó ph©n thøc cã nghÜa.
b) Rót gän biÓu thøc M.
HD:
a) §iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ mÉu thøc k¸c 0.
XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
GV:Phan Nam-0985240662
16
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
(a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
a+b=b+c=c+a
a = b = c.
vËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng 0,
tøc lµ a2 + b2 c2 0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do ®ã dÆt a2 + b2 + c2 = x;
ab + bc + ca = y. Khi ®ã (a + b + c)2 = x + 2y.
x( x 2 y ) y 2 x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
Ta cã M =
x y a 2 b 2 c 2 ab bc ca
x 2y y
x y
x y
(§iÒu kiÖn lµ a2 + b2 c2 0)
IV) Quy ®ång mÉu thøc.
1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc:
- Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn).
- LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷:
+) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu.
+) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt.
2) Bµi tËp ¸p dông
C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao.
Bµi 1. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau:
25
14
11
3
,
,
a)
;
b)
;
2
5
4
14 x y 21xy
102 x y 34 xy 3
3x 1 y 2
1
x 1 x 1
, 2 3;
, 2 4,
c)
d)
;
4
3 2
12 xy 9 x y
6 x y 9 x y 4 xy 3
3 2x
5
2
4x 4
x 3
, 2 2,
,
;
e)
;
f)
4
5
10 x y 8 x y 3xy
2 x( x 3) 3 x( x 1)
2x
x2
5
3
,
,
g)
;
h) 3
.
3
2
( x 2) 2 x( x 2)
3 x 12 x (2 x 4)( x 3)
Bµi 2. Quy ®«ng mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau.
7 x 1 5 3x
x 1
x2
a)
;
b)
;
, 2
,
2
2
2x 6x x 9
x x 2 4x 2x2
2
7
4
x y
,
, 2
c) 4 x 3 3x 5 , 2 2 x , 6 ;
d)
;
5x x 2 y 8 y 2x2
x 1
x x 1 x 1
x
x 1
x 1
5x2
4x
3 ;
e) 3
f) 3 , 2
;
, 2
, 2
,
2
x 1 x x x x 1
x 6 x 12 x 8 x 4 x 4 2 x 4
ax
ax
ad
ad
g)
;
h) 2
;
, 2
, 2
2
2
2
6 x ax 2a 3 x 4ax 4a
a ab ad bd a ab ad bd
x
y
z
, 2
, 2
i) 2
;
2
2
2
2
x 2 xy y z x y 2 yz z x 2 xz y 2 z 2
1
3
2
x
x2 y 2
j) 3 ,
;
k)
, 2
, 2
,x y;
x 1 2x 2 x x 1
x y x 2 xy y 2
x2
2x 1
x 1
l)
.
, 2
, 2
2
6 x 7 x 3 2 x 7 x 6 3x 5 x 2
Bµi 3. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc:
a x b x ba
2x 1
x 2a
a)
;
b) 2
;
, 2 2,
, 2
3
2
2
axb a xb axb
x 4ax 4a x 2ax
ax
ax
ab
a c
c)
;
d) 2
;
, 2
, 2
2
2
2
6 x ax 2a 3 x 4ax 4a
a bc ac ab a bc ac b 2
x
x2
x 1
x2
x
2x 1
e) 3
;
f) 2
.
, 2
, 2
,
,
2
x 27 x 6 x 9 x 3x 9
x 3 x 2 2 x 5 x 3 2 x 2 7 x 6
Bµi 4. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc (cã thÓ ®æi dÊu ®Ó t×m MTC cho thuËn tiÖn).
x 1 x 1
1
2x 1
ax
2x2 1 ;
a)
;
b)
,
,
,
,
2x 2 2x 2 1 x2
x a x 2 ax a 2 x 3 a 3
24
4x
18
x 1
x
2x 1
c)
;
d)
;
,
, 2
, 4
, 7
3
2
2
4
2
4x x x 2x 2x x
2 x x x 2 x 4 x 8x
GV:Phan Nam-0985240662
17
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
2x
y
4 xy
,
, 2
.
2
2
2
x 3xy 2 y 3 x 4 xy y 3 x 7 xy 2 y 2
Bµi 5. Rót gän råi quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau.
2
2
3
2
3
a) x 2 5 x 6 , 2 x 2 7 x 5 ;
b) x 3 2 2x x 2 , 3 x 25 x 4 ;
x 4
x 4x 3
x x 4 x 4 x 2 x 3x 4
3
2
3
2
c) x3 2 x2 5 x 26 , x 3 4 x2 10 x 12 ;
x 5 x 17 x 13 x x 2 x 16
x 2 y 2 z 2 2 xy 2 yz 2 zx
x3 y 3 z 3 3xyz
d)
.
,
x 2 y 2 z 2 2 yz
( x y )2 ( y z )2 ( z x)2
x
x2
Bµi 6. Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc
, 2
2
2 x 7 x 15 x 3 x 10
a) Chia ®a thøc B lÇn lît cho c¸c mÉu cña hai ph©n thøc ®· cho.
b) Quy ®ång mÉu thøc cña hai ph©n thøc ®· cho.
1
2
Bµi 7. Cho hai ph©n thøc: 2
. Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc
, 2
x 4 x 5 x 2x 3
x3 - 7x2 + 7x + 15 lµm mÉu thøc cung ®Ó quy ®ång mÉu thøc hai ph©n thøc ®· cho. H·y quy ®ång mÉu
thøc.
V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè.
1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu
2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau:
- Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc.
- Céng hai ph©n thøc cïng mÉu (sau khi ®· quy ®ång).
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Céng c¸c ph©n thøc cïng mÉu thøc:
1 2x 3 2 y 2x 4
x2 2
2 x
a)
;
b)
;
3
3
3
2
6x y 6x y
6x y
x( x 1)
x( x 1) 2
2
2
2
c) 2 3 x 1 2x 6 x ;
d) x 2 38 x 4 3x2 4 x 2 .
x 3x 1 x 3x 1
2 x 17 x 1 2 x 17 x 1
Bµi 2. Céng c¸c ph©n thøc kh¸c mÉu thøc:
5
7
11
4x 2 5 y 3 x 1
a)
;
b)
;
2
2
6 x y 12 xy 18 xy
15 x 3 y 9 x 2 y 5 xy 3
3 3x 3
3x 2
x3 2 x
2x
1 ;
c)
;
d)
2
2
3
2x 2x 1 2x 4x
x 1 x x 1 x 1
y
4x
1
3
x 14
2
2
2
e)
;
f)
;
2
2 x xy y 2 xy
x 2 x 4 ( x 4 x 4)( x 2)
1
1
1
1
1
g)
;
h)
;
x 2 ( x 2)(4 x 7)
x 3 ( x 3)( x 2) ( x 2)(4 x 7)
Bµi 3. Dïng quy t¾c ®æi dÊu ®Ó t×m mÉu thøc chung råi thùc hiÖn phÐp céng.
4
2
5x 6
1 3x 3x 2
3x 2
a)
;
b)
;
2
x2 x2 4 x
2x
2 x 1 2x 4x2
1
1
x
x2 2
2
1 ;
c) 2
;
d)
2
2
2
3
x 6x 9 6x x 9 x 9
x 1 x x 1 1 x
x
x
4 xy
2
e)
.
x 2 y x 2 y 4 y x2
Bµi 4. Céng c¸c ph©n thøc:
1
1
1
a)
;
( x y )( y z ) ( y z )( z x) ( z x)( x y )
4
3
3
b)
;
( y x)( z x) ( y x)( y z ) ( y z )( x z )
1
1
1
c)
;
x( x y )( x z ) y ( y x )( y z ) z ( z x)( z y )
4
3
3
d)
;
(a x)(c x ) (a x )(a c) (a c)( x c )
e)
2
GV:Phan Nam-0985240662
18
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
1
1
1
.
a (a b)(a c) b(b a)(b c ) c(c a)(c b)
Bµi 5. Lµm tÝnh céng c¸c ph©n thøc.
2
11x 13 15 x 17
a)
;
b) 2 x2 1 32 x 2 1 2 2 x ;
3x 3
4 4x
2x x 1 4x
2x x
4
1
1
2x
c) 2
;
d) x x 3 x 2 x 1 ;
2
3
x x 1 x x 1 x
1 x
5
3
x
x 1
2x 3
3;
e)
f)
;
2
2
2 x y 5 xy
y
2 x 6 x( x 3)
4
3x 5
25 x
g) 2
;
h) x 2 x 12 1 ;
x 5 x 25 5 x
1 x
2
i) 4 x 33 x 17 22 x 1 6 ;
x 1
x x 1 1 x
Bµi 6. Cho hai biÓu thøc:
1
1
x 5
3
A=
,
B=
x x 5 x( x 5)
x5
Chøng tá r»ng A = B.
Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
2x
1
1
a) A =
víi x = 10;
2
2
3
1 x
x x x x 1
4
b) B = x x 3 x 2 x 2 víi x = -99
1 x
C¸c bµi tËp n©ng cao
2
a
b
Bµi 8. T×m c¸c sè a vµ b sao cho ph©n thøc 3 x 5 viÕt ®îc thµnh
x 2 ( x 1) 2
x 3x 2
HD: Dïng mét trong hai ph¬ng ph¸p (hÖ sè bÊt ®Þnh hoÆc xÐt gi¸ trÞ riªng) ®Ó t×m a vµ b sau khi
quy ®ång.
Bµi 9. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x
x y yz zx
y
z
x
a)
;
b)
.
xy
yz
zx
( x y )( y z ) ( y z )( z x) ( z x)( x y )
Bµi 10. Céng c¸c ph©n thøc :
1
1
1
.
2
2
2
2
2
(b c)(a ac b bc) (c a )(b ab c ac) (a b)(c bc a 2 ab)
(§Ò thi häc sinh giái líp 8 toµn quèc 1980)
Bµi 11. Rót gän biÓu thøc :
1
1
2
4
8
A=
.
2
4
1 x 1 x 1 x 1 x 1 x8
Bµi 12. T×m c¸c sè A, B, C ®Ó cã :
x2 x 2
A
B
C
.
3
3
2
( x 1)
( x a ) ( x 1)
x 1
Bµi 13. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc :
a 2 3ab 2a 2 5ab 3b 2
a 2 an ab bn .
a 2 9b 2 6ab a 2 9b 2 3bn a 2 an 3ab
VI) PhÐp trõ c¸c ph©n thøc ®¹i sè.
1) Ph©n thøc ®èi:
- Hai ph©n thøc ®îc gäi lµ ®èi nhau nÕu tæng cña chóng b»ng 0.
A A
A A
- C«ng thøc:
vµ
.
B
B
B
B
2) PhÐp trõ:
A
C
A
C
- Quy t¾c: Muèn trõ ph©n thøc
cho ph©n thøc
, ta céng
víi ph©n thøc ®èi cña
B
D
B
D
A C A C
- C«ng thøc:
B D B D
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh trõ c¸c ph©n thøc:
e)
GV:Phan Nam-0985240662
19
Tµi liÖu «n tËp - §¹i sè 8
3x 2 7 x 4
3 x 5 5 15 x
;
b) 3
;
2 xy
2 xy
4x y
4x3 y
9x 5
5x 7
4 x 7 3x 6
c)
;
d)
;
2
2( x 1)( x 3) 2( x 1)( x 3) 2
2x 2 2x 2
xy
x2
5x y 2 5 y x2
e) 2
;
f)
;
x y2 y2 x2
x2 y
xy 2
x
x
x9
3
g)
;
h) 2
;
2
5 x 5 10 x 10
x 9 x 3x
4
2
3
x6
i)
;
j) x 2 1 x 23 x 2 ;
2
2x 6 2x 6x
x 1
3x 1
1
x3
x 1 1 x 2 x (1 x)
k)
;
l)
;
2
2
( x 1)
x 1 1 x2
x 3 x 3
9 x
3x 2
6
3x 2
5
4 3x 2
n)
;
m)
.
3
2
2
2
x 2x 1 x 1 x 2x 1
2 x2 6 x x2 9
Bµi 2. Theo ®Þnh nghÜa cña phÐp trõ, khi viÕt
A C E A C E
.
B D F B D
F
¸p dông ®iÒu nµy ®Ó lµm c¸c phÐp tÝnh sau:
18
3
x
1
1
3x 6
2
2
a)
;
b)
.
2
2
( x 3)( x 9) x 6 x 9 x 9
3x 2 3x 2 4 9 x
Bµi 3. rót gän c¸c biÓu thøc :
2
x2 2 ;
a) 3 x 3 5 x 1 21 x 3 ;
b) 2 1
1 3
x 1
x x 1 x 1
x x 1
x 1
7
x
36
c)
.
2
x x 6 x 6x
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1
2
3
a)
;
( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3) ( x 3)( x 1)
1
1
1
b) A
.
a(a b)(a c ) b(b a)(b c ) (a c)(c b)
Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc:
x 2 2 víi x = 99;
a) A = 2 1
1 3
x x 1
x 1
2x 1 1 2x
2
1
b) B =
víi x = .
2
4x 2 4x 2 1 4x
4
C¸c bµi to¸n n©ng cao
Bµi 6. Rót gän c¸c biÓu thøc :
a
a
a
1
a) A =
;
x( x a ) ( x a)( x 2a) ( x 2a )( x 3a) x 3a
1
1
1
1
...
b) B =
;
2.5 5.8 8.11
(3n 2)(3n 5)
3
3
3
3
...
HD: Thùc hiÖn nh©n hai vÕ víi 3 ta ®îc 3.B =
2.5 5.8 8.11
(3n 2)(3n 5)
3
1
1
Tõ ®ã ta cã
(3n 2)(3n 5) 3n 2 3n 5
3
1 1
XÐt tõng sè h¹ng cô thÓ :
2.5 2 5
3 1 1
5.8 5 8
…..
a)
GV:Phan Nam-0985240662
20
- Xem thêm -
.DOC 
24 
525 
75 
