DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
I.Một số PT,BPT vô tỷ thông thường:
1/ x 3 6 x 3;2 / x 4 1 x 1 2 x ;3/ x 9 5 2 x 4;4 / x( x 1) x( x 2) x( x 3)
5 / 2 x2 8x 6 x2 1 2 x 2;6 / x( x 1) x( x 2) 2 x2 ;7 /( 1 x 1)( 1 x 1) 2 x
8 / x x 11 x x 11 4;9 / x 2 x 1 x 2 x 1 2;10 / x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 1
11/
15 /
4
x x2 x
3
20 x
20 x
2 x
2 x
;12 /
6;13/
2 2
x
x
2 2 x
2 2 x
x x2 x x
1
5 2
5 2
1
1
x 1 x2
x 1 x2 x 1 1 x2 1 x2 x 1
4
4
2
2
16 / f ( x) x 2 x 5 x 2 8x 4 5 . f(x) nb’ khi x 4 2 5 và đb’ khi x
21 1
. Pt có ngdn x = 2.
2
17 / 2 x2 1 x2 3x 2 2 x2 2 x 3 x2 x 2 2 x 2 2 x 3 2 x 2 1 x 2 x 2 x 2 3x 2 0
x 2;18 / 3x2 7 x 3 x 2 2 3x 2 5x 1 x 2 3x 4( x 2)
18 / 7 x2 x x 5 3 2 x x 2 ( x 1);19 / 3 x x 2 2 x x 2 1( 5 t 2 1 t , t 0 t 1)
20 / x 2 x 1 ( x 1 1) x2 x 0 ( x 1 1)( x 1 1 x 2 x ) 0 x 2 .
21/ 4 x 1 4 x2 1 1( x 1/ 2 VT VP x 1/ 2); 22 / ( x 2)(2 x 1) 3 x 6 4 ( x 6)(2 x 1) 3 x 2
f ( x) ( x 6 x 2).( 2 x 1 3) g ( x).h( x) 4 x 5 g(x)&h(x) đồng biến trên (5; ) f(x) đồng
biến trên khoảng đó nên PT có nghiệm duy nhất x = 7.
23/ ( x 1)(4 x) x 2(4 x 1);24 / x 1 3 x 4( x 0);25/ x 3 2 x 8 7 x (4;5 6;7 )
26 / x 2 3 x 5 2 x (2 x 2);27 / x2 3x 2 x 2 6 x 5 2 x 2 9 x 7( x 5; 1)
28 / x 2 4 x 3 2 x 2 3x 1 x 1 1 (4 13) / 2;1/ 2 ; 29 /( x 3) x 2 4 x 2 9( x 13/ 6; x 3)
1
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên
x
1 1 4 x2
4 x2
2
x
4
(
x
1
1)
x
4(
1
x
8);31/
3
3(1 1 4 x 2 ), (1/ 2 x 0)
2
x
x
(1 x 1)
2
30 /
32 /
34 /
12 x x 2
12 x x 2
1
1 2
, ( x 3; 2 x 4);33/ x 2 x 2 ( x 1) x3 1 x3 1 2( x 3 5 / 4)
x 11
2x 9
x
x
x
1 x 1
1
1
1
0
x 0;35 / x 2 3x 2 x 2 x 1 1( x 2; x 1)
x
x2
( x 2) 1 x 1
7 21 11 13
36 / 1 4 x 2 x 1( x 0);37 / x 5 9 x 1 ;
;9 ;38 / 2 x 6 x 2 1 x 1( x 0;0 x 2)
2
2
39 / 3 3x 1 2 x 4 3
2001
x . Xét tính đơn điệu của hàm số thì nghiệm của BPT là 2;0 .
304
40 / 3x 1 6 x 3x 2 14 x 8 0
3( x 5)
x 5
( x 5)(3x 1) 0 x 5
3x 1 4
6 x 1
41/
II.Giải bằng phương pháp đặt biến phụ:
1/ x2 3x 3 x2 3x 6 3;2 / 3x 2 15x 2 x 2 5x 1 2;3/ x 2 7 x 4 4 x ( x 2)( x t t 1;2)
4 / x2 x 4 x2 x 1 2 x 2 2 x 9;5/ 3 x x 2 2 x x 2 1;6 / x 2 x 2 11 31
7 / 3(2 x 2) 2 x x 6( x t 2 2 x 3;(11 3 5) / 2)
8 / x x / x 2 1 2 2( x 1) x 2 x 2 /( x 2 1) 2 x 2 / x 2 1 8 t 2 2t 8 0
9 / 2 x2 5x 1 7 x3 1(u x 1 0; v x 2 x 1 0);10 / 2( x 2 3x 2) 3 x3 8;11/ 2( x 2 2) 5 x3 1
12 / x2 2 x 4 2 x3 4 x ;13/ x 1 x 3 2 ( x 1)( x 3) 4 2 x(t x 1 x 3);
14 / x 4 x 4 2 x 2 x 2 16 12;15 / 3x 2 x 1 4 x 9 2 3x 2 5 x 2
16 / 2 x 3 x 1 3x 2 2 x 2 5x 3 16;17 / x 4 x 2 2 3x 4 x 2
2
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên
18/(4 x 1) x2 1 2 x2 2 x 1( y x 2 1 y 0,5;2 x 1);19 / 2(1 x) x 2 2 x 1 x 2 2 x 1
20 / x2 3x 1 ( x 3) x2 1;21/ x2 5x 1 ( x 4) x 2 x 1;22 / x 17 x 2 x 17 x 2 9
23/ 1 1 x 2 x(1 2 1 x 2 )( x sint ,0 t / 2 t / 2; / 6); 24 / x 2 x 5 5( x 5 t )
23'/ 1 x2 4 x3 3x,( x cosx;0 x x 2 / 2; 2 2 / 4); 24'/ x3 6 3 6 x 4 4 0,( x 2;1 3)
25 / x2 x 1 1; 26 / 3 3 x x,( 3 x t ); 27 / x3 1 2 3 2 x 1,( 3 2 x 1 t ); 28 /(3 x 2 ) 2 3 x,(t 3 x 2 )
27'/ 8x3 1 3 162 x 27 u3 1 3 3 3u 1 u3 3u 1 0 8 x3 6 x 1 0; x cosy 2cos3 y 1 0 x1; x2 ; x3
29 / x3 a(3 a 2 ) 3 3 3x (a 2 3)a ,(t 3 3x (a 2 3)a );30 / 3 2 x 1 x 1,(u 3 2 x ; v x 1)
31/ 3 x 7 x 1;32 / 3 x 1 1 x 2;33/ 3 x 4 3 x 3 1,(u 3 x 4; v 3 x 3 u 3 v3 7)
34 / 3 2 x 1 3 x 1 3 3x 1;35/ 3 2 x 1 x 3 16 3 2 x 1;36 / 3 x 2 7 x 8 3 x 2 6 x 7 3 2 x 2 13x 12 3
37 / 3
2x 3 1 1
2;38 / 2 x 2 4 x
x 1
2 2x
x3
u2
1
1
4
4
4
, u x 1; v
;39 / x 1 x x 1 4 1 1 4 1
2
2
x
x
u 1 v & u 4 v 4 2;40 / 4 57 x 4 x 40 5;41/ x 3 35 x3 ( x 3 35 x3 ) 30;42 /1/ x 1/ 2 x 2 2,( y 2 x 2 )
38'/ 2 x 15 32 x2 32 x 20 2 x 15 8(2 x 1) 2 28 u 14 8u 2 28; u 14 ku u 14 k 2u 2 k 2
43/ 3 x 1 3 x 1 6 x 2 1; 44 / 2 n ( x 1) 2 3 n 1 x 2 n ( x 1) 2 0; 45 / 4 x 1 3 x 2
x 3
u 2 v2
u
v
5
5
a b
2
a3 1
7 x 3 x 5
2
2
46 / 3
6 x a b
2ab(a b) 0 x 5 7; 47 / 1 x x (: t; HVN )
7 x 3 x 5
3
a 3 b3 2
3
5 2 5 2 5 5
48 / x 2 2 x 5 4 2 x 2 4 x 3, (1 4 3 x 1 4 3); 49 / 5 x 2 10 x 1 7 x 2 2 x, 3;
;1
5
5
50 / 4 (4 x)(2 x) x2 2 x 12( x 1 5);51/ x( x 4) x 2 4 x ( x 2) 2 2(2 3 x 2 3)
52 /( x3 1) ( x2 1) 3x x 1 0,(t x x 1 2 3 / 9 t 2 3t 2 0, TM n0 : x 1)
3
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên
53/ 3 x
54 / x
3
2 x
x
x2 1
2x
16 6 7 16 6 7
1
1
7, t x
2t 2 3t 9 0 t 3 n0 : 0;
;
2x
4
4
2 x
35
x4
x2
1225
( x 1) 2
2
0, t
12
x 1
x 2 1 144
n0 : (1;1, 25) (5 / 3; )
x2 1
x2
55 / x 1 x 3 2( x 3)2 2 x 2(*),(u ( x 1; x 3), v (1;1).(*) u.v u . v x 1 x 3 x 5)
56 / x x 1 3 x 2 x 2 1,(u ( x;1), v ( x 1; 3 x ) u.v u . v x 1 x 3 x x 1;1 2)
III.Biện luận PT và BPT vô tỉ:
Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm:
1/ 2 x 2 x (2 x)(2 x) m;(t 2 x 2 x t 2 4 2 (2 x)(2 x) 2 t 2 2
2m t 2 2t 4 f (t ) 4 2 4;4 m 2 2 2;2
2 / 5 x x 1 5 6 x x 2 m, (2 m 2 2 2);3/( x 3)( x 1) 4( x 3)
x 1
m, ( m 4)
x 3
4 / x 3 6 x m ( x 3)(6 x),(3 2 4,5 m 3);5 / x 9 x x 2 9 x m ,(2, 25 m 10)
6 / x 2 x2 1 m,(m 2 / 2);7 / x 2m x 1,(m 5/ 8);8/ 4 x 2 mx m 2,(m 4 / 3; m 0)
9 / 2 x2 2(m 4) x 5m 10 3 x 0( PTf ( x) ( x 1)2 /(2 x 5) m có nghiệm x 3 m 3)
10 / 3 x 1 m x 1 2 4 x2 1,( m 2t 3t 2 ;0 t 4 ( x 1) /( x 1) 1 1 m 1/ 3)
11/ x 1 4m 4 x2 3x 2 (m 3) x 2 0,( m f (t ) (3t 2 1) /(t 2 4t );0 t 1 m 3/ 4)
12 /( 1 x x )3 x(1 x) m,(t 1 x x 1; 2 f (t ) t 3 (t 2 1) / 2 m 1 m 2 2 0,5)
13/ m( 1 x 2 1 x 2 2) 2 1 x 4 1 x 2 1 x 2 ,(t 1 x 2 1 x 2 2 2; 2 2 m (5t 6 t 2 ) / t
2 1;1);14 / f ( x) 4 x 2 1 x m,( f '( x) 0x 0 m 0;1)
15/ x x x 12 m( 5 x 4 x ); f ( x) ( x x x 12) /( 5 x 4 x ) là hs đồng biến trên đoạn
4
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên
0;4 2
15 4 3 m 12;16 / x 2 2 x 2 2m 1 2 x 2 4 x,(m 1)
17 / x 6 x 9 x 6 x 9 ( x m) / 6; m 6(t 3 t 3 ) t 2 9 f (t ) 27,(t x 9 0)
18 / m 2 x x 2 / 3 x 1 x ; t x 1 x 1; 2 m t (t 2 1) / 3 (1; 2 1/ 3)
19/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: x 3 m x 2 1( m f ( x) ( x 3) / x 2 1)
20/ Tìm a để PT sau có nghiệm duy nhất: (3x2 1) / 2 x 1 2 x 1 ax
( a (3x 2) / 2 x 1 (3t 2 1) / 2t; t 0 PT có nghiệm duy nhất với mọi a )
21/ Xác định theo m số nghiệm của PT: x4 4 x m 4 x4 4 x m 6,( 4 x4 4 x m 2 m 16 x 4 4 x
KL: m > 19: PTVN; m = 19: PT có 1 nghiệm; m < 19: PT có hai nghiệm.
22/ Tìm các giá trị của m để PT sau có nghiệm dn thuộc đoạn 1/ 2;1 : f ( x) 3 1 x 2 2 x3 2 x 2 1 m .
3
3x 4
3 3 22
m 1 4 m
f '( x) x
2
2
x3 2 x 2 1
1 x
23/ Tìm m để PT sau có 2 nghiệm phân biệt: 2 x2 2mx 1 3 4 x3 2 x
m 2 3 2
2 x 2 1 3 4 x3 2 x
(2 x 2 1)( 4 x3 2 x 3x)
f ( x) f '( x)
m
2x
2 x 4 x3 2 x
m 9 / 4
24/ Chứng minh với mọi giá trị dương của m, PT sau luôn có 2 nghiệm phân biệt: x2 2 x 8 m( x 2)
(n0 : x 2; x 2 m f ( x) ( x 2)( x 4)2 f '( x) 3x( x 4) 0 nếu m > 0 thì PT có 2 nghiệm 2 và x2 2)
25/ Tìm m đê PT sau có nghiệm dn:
x 1 x 2m x(1 x) 2 4 x(1 x) m3
- ĐK cần: dễ thấy nếu PT có nghiệm a 0;1 thì nó cũng có nghiệm 1 – a . Do đó để nó có nghiệm duy nhất thì
a = 1-a a 1/ 2 2 m 2 m3 m 0; 1
- ĐK đủ: thay m = 0;- 1; 1 vào PT ta thấy 0 và – 1 TMYCBT.
26/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x 1;1 : x 1 x 2 m,(m 2)
27/ Tìm các GT của m để BPT sau có nghiệm: mx x 3 m 1
x 3 1 t 1
3 1
3 1
2
f (t ) 0;
m
m
x 1
t 2
4
4
5
DOÃN XUÂN HUY - THPT Ân Thi-Hưng Yên
28/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x 0;1 : ( x 2 1)2 m x x 2 2 4
(t x x 2 2 0; 3 m f (t ) t 2 t 3 3;3, 25 m 3)
29/ Tìm các giá trị của a để BPT sau có nghiệm với mọi x: a 2 x 2 7 x a
21 21
x
21
f ( x)
;
a
a
6
6
2x2 7 1
6
30/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x 4;6 : ( x 4)(6 x) x 2 2 x m;(m 6)
31/ Tìm các giá trị của m để BPT sau TM với mọi x 2;4 : 4 ( x 2)(4 x) x 2 2 x m 18;(m 10)
32/ Tìm các giá trị của m để PT sau có một số lẻ nghiệm: x2 3x 1 m x 4 x 2 1
m f ( x) ( x2 3x 1) / x 4 x 2 1 f '( x) ( x 2 1)(3x 2 x 3) /( x 4 x 2 1)3/ 2 m 3 / 3;5 3 / 3
6
- Xem thêm -
.PDF 
6 
98 
98 
