Các bài giảng về phương trình lượng giác

  • Số trang: 59 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 25 |
  • Lượt tải: 0
hoanggiang80

Đã đăng 24000 tài liệu

Mô tả:

PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014 Khách có kẻ: Giương buồm giong gió chơi vơi, Lướt bể chơi trăng mải miết … (Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu) Mục lục Chủ đề 1. Một số kiến thức chung........................................................................1 §1. Các phương trình lượng giác cơ bản ........................................................................................... 1 §2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos .................................................................................. 14 Chủ đề 2. Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp ẩn phụ ...............23 §1. Một số phép đặt ẩn phụ cơ bản ................................................................................................. 23 §2. Phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos ........................................................... 31 §3. Phép đặt ẩn phụ t  tan x ......................................................................................................... 39 2 §4. Phép đặt ẩn phụ t = tanx............................................................................................................ 43 Chủ đề 3. Phương trình tích ...............................................................................45 Khách có kẻ: Giương buồm giong gió chơi vơi, Lướt bể chơi trăng mải miết … (Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu) Chủ đề 1. Một số kiến thức chung §1. Các phương trình lượng giác cơ bản A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Phương trình cơ bản đối với sin y Xét phương trình (1) sin x  m .  Điều kiện có nghiệm: m   1;1 . 1 y=sinx m - π 2 O arcsinm  Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1 , ta có  x  arcsin m  2k (1)   ( k   ).  x    arcsin m  2k x π 2 -1 Hình 1    Trong đó, arcsin m là nghiệm thuộc đoạn   ;  của phương trình (1) (  2 2 với mỗi m   1;1 , giá trị arcsin m luôn tồn tại duy nhất. Hình 1). Ta thấy 2. Phương trình cơ bản đối với cos y Xét phương trình cos x  m . 1 (2)  Điều kiện có nghiệm: m   1;1 . y=cosx m π 2 O π x arccosm  Công thức nghiệm: Với mọi m   1;1 , ta có (2)  x   arccos m  2k ( k   ). -1 Hình 2 Trong đó, arccos m là nghiệm thuộc đoạn  0;   của phương trình (2) (Hình 2). Ta thấy với mỗi m   1;1 , giá trị arccos m luôn tồn tại duy nhất. 3. Phương trình cơ bản đối với tan 1 y y=tanx Xét phương trình tan x  m . Với mọi m , (3) có nghiệm và (3) m (3)  x  arctan m  k ( k   ). - π 2 O π 2 x π x arctanm    Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng   ;  của  2 2 phương trình (3) (Hình 3). Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất. Hình 3 4. Phương trình cơ bản đối với cot y y=cotx Xét phương trình cot x  m . (4) m Với mọi m , (4) có nghiệm và (4)  x  arctan m  k ( k   ). π 2 O arccotm Trong đó, arc cot m là nghiệm thuộc khoảng  0;   của phương trình (4) ( Hình 4). Ta thấy với mỗi m , giá trị arc cot m luôn tồn tại duy nhất. Hình 4 5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống phương trình cơ bản 2  f  x   g  x   2k  sin  f  x    sin  g  x     ( k   ); f x    g x  2 k        cos  f  x    cos  g  x    f  x    g  x   2k ( k   );  f  x   g  x   k   tan  f  x    tan  g  x     ( k   );   f  x    k  2  f  x   g  x   k  cot  f  x    cot  g  x     ( k   ).  f  x   k 6. Một số chú ý  Phương trình cot x  m với m  0 thường được giải bằng cách quy về phương trình cơ bản đối với tan , cụ thể:   cot x  0  x   k . 2  Với m  0 : 1 1 cot x  m  tan x   x  arctan  k . m m  Các giá trị arcsin m , arccos m , arctan m cos thể được tính bằng máy tính cầm tay. Tuy nhiên, có một số trường hợp đặc biệt dưới đây  Xét phương trình sin x  0 . Nếu áp dụng công thức nghiệm đã cho, thì phương trình tương đương với  x  arcsin 0  2k  x  2k  x    arcsin 0  2k   x    2k  x  k .   Vậy sin x  0  x  k .  Một số trường hợp tương tự: sin x  1  x  cos x  0  x     k ; sin x  1  x    k ; 2 2   k ; cos x  1  x  2k ; cos x  1  x    2k . 2 B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Giải các phương trình 1 a) sin 2 x   . 2 b) cos  4 x  1   3 . 2 3   c) tan  4 x    2  3 . 3  1 d) cot  3x  1   . 3 e) sin 2 x  sin 3x  0 . f) sin 2 x  sin 3x  0 . g) cos 4 x  cos 5 x  0 . h) cos 4 x  cos 5 x  0 . i) sin 3 x  cos 5 x  0 . Giải.      2 x   6  2k  x   12  k a) PT    ( k   ).  2 x  7  2k  x  7  k  6 12  b) c) d) e) f)   5 1 5 k   4 x  1  6  2k   x  4  24  2 PT    ( k   ).  4 x  1   5  2 k   x  1  5  k    6 4 24 2  Chú ý rằng arctan 2  3  , do đó 12    k PT  4 x    k  x    ( k   ). 3 12 16 4  1  k PT  tan  3x  1   3  3 x  1    k  x    ( k   ). 3 3 9 3  x  2k 3 x  2 x  2k PT  sin 3x  sin 2 x    ( k   ).  x    2k 3 x    2 x  2 k   5    3 x  2 x  2k PT  sin 3x   sin 2 x  sin 3 x  sin  2 x    ( k   ).  x  x  2k 5 5   x  2k 5 x  4 x  2k g) PT  cos 5 x  cos 4 x    ( k   ).  x    2 k 5 x   4 x  2 k   9 9  h) Ta có 4 PT  cos 5 x   cos 4 x  cos 5 x  cos    4 x   2k  5 x    4 x  2k x     9 9 ( k   ).  5 x     4 x   2k  x    2k i) Ta có   PT  cos 5 x   sin 3 x  cos 5 x  cos  3 x   2      5 x  3 x  2  2k  x  4  k   (k  ). 5 x    3 x     2k  x     k     2 16 4  Ví dụ 2. Giải phương trình a) [ĐHB13] sin 5 x  2 cos2 x  1 . b) cos 2 x  3cosx  4 cos3 x .    7  c) sin 2  x    cos 2   x 1 4   2  Giải. a) Ta có   PT  sin 5 x  1  2 cos2 x  sin 5 x   cos2 x  sin 5 x  sin  2 x   2     2 k  x   6  3 5 x  2 x  2  2 k   (k  ).  x  3  2 k 5 x  3  2 x  2k   2 14 7 b) Ta có   PT  cos 2 x  3cos x  4 cos 3 x  0  cos 2 x  cos 3x  0  cos 3x   cos 2 x  2k   3 x    2 x  2k x    cos 3x  cos   2 x     5 5 (k  ).   3 x     2 x   2 k   x    2k c) Ta có 5  1   1   7   PT  sin 2  x    cos 2   x   1  1  cos  2 x     1  cos  7  2 x    1 4 2 2  2   2       cos  2 x    cos  7  2 x   0   sin 2 x  cos 2 x  0  sin 2 x   cos 2 x. 2  Ta thấy cos 2 x  0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cuối cũng cho cos 2x , ta được phương trình tương đương   k tan 2 x  1  2 x    k  x    ( k   ). 4 8 2 Ví dụ 3. Giải các phương trình a) sin 2 x  cos2 2 x  1 . b) cos2 x  sin 2 x  1 . Giải. a) Ta có cos 2 x  cos x . PT  cos 2 2 x  1  sin 2 x  cos 2 2 x  cos 2 x   cos 2 x   cos x  x  2k  2 x  x  2k 2k  cos 2 x  cos x     x . 2 k  x  3  2 x   x  2k 3   2k   ( 2k k     k    ).  3   2 k  x   2 x    x  2k    cos 2 x   cos x  cos 2 x  cos   x     3 3 .   2 x  x    2k   x    2k 2k  2k  Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x  , x  , x    2k ( k   ). 3 3 3 b) Ta có PT  cos2 x  1  sin 2 x . 2 Chú ý rằng 1  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  2sin x cos x   sin x  cos x  . Do đó, phương trình nói trên tương đương với  cos x  sin x  cos x sin x  2 cos x 2 cos 2 x   sin x  cos x      cos x   sin x  cos x sin x  0  tan x  2  x  arctan 2  k   ( k   ). sin x  0  x  k Ví dụ 4. Giải các phương trình 6 5x x cos . 2 2 b) sin 4 x sin 7 x  cos 3 x cos 6 x . c) 4sin x sin 2 x sin 3 x  cos 4 x  sin 4 x  sin 6 x  cos 2 x  0 . Giải. a) sin 3x  sin a) Ta có 1  sin 3 x  sin 2 x   sin 3 x  sin 2 x 2  x  2k  3 x  2 x  2k   (k   ).  x    2k 3 x    2 x  2 k   5 5  PT  sin 3x  b) Ta có 1 1  cos11x  cos 3 x    cos 9 x  cos 3 x   cos11x   cos 9 x 2 2  k   x  20  10 11x    9 x  2k  cos11x  cos   9 x     ( k   ). 11x  9 x    2k  x     k  2 PT   c) Ta có 4sin x sin 2 x sin 3 x  2  cos 3x  cos x  sin 3 x  2sin 3 x cos 3x  2 sin 3 xcos x .   sin 6 x  sin 4 x  sin 2 x Do đó PT   sin 6 x  sin 4 x  sin 2 x  sin 4 x  sin 6 x  cos 2 x  0  sin 2 x  cos 2 x  0  sin 2 x   cos 2 x  tan 2 x  1  2 x     k  k  x    ( k  ). 4 8 2 Ví dụ 5. Giải các phương trình a) sin 3x 1  cos 4 x   cos 3x sin 4 x . b) cos 3x  sin 2 x  cos 2 x   sin 3 x sin 2 x  cos 2 x   0 . Giải. 7 a) Ta có PT  cos 3 x sin 4 x  sin 3 x cos 4 x  sin 3x  sin 7 x  sin 3 x k  x   7 x  3 x  2k  2   (k   ).  7 x    3 x  2 k    x   k  10 5 b) Ta có PT   sin 2 x cos 3 x  cos 2 x sin 3x    cos 3 x cos 2 x  sin 3x sin 2 x   0  sin 5 x  cos 5 x  0  sin 5 x  cos 5 x   k  tan 5 x  1  5 x   k  x   4 20 5 (k   ). Ví dụ 6. Giải các phương trình sau 2 cos 2 x  1 a)  0. 2 sin x  1 b) 1  sin x . 8cos 2 x Giải.   x   2k  1  6 a) Điều kiện: 2sin x  1  0  sin x    . 5  2 x   2k  6 (1) Ta có PT  2 cos 2 x  1  0  cos 2 x  1 2      2 x  3  2k  x  6  k   .  2 x     2k  x     k   3 6 (2) 8 y Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (2) trên đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm điều kiện (2) (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của phương trình là là: 7  x  2k , x    2k ( k   ). 6 6 b) Điều kiện: cos x  0  x  sin x  0  Ta có PT   1 2  8cos 2 x  sin x π +2kπ 6 5π +2kπ 6 -1 O 1 x -π +2kπ 6 7π +2kπ 6 -1   k . 2 (1) (2) (3) . (3)  8sin 2 x cos 2 x  1  2 sin 2 2 x  1  cos 4 x  0  4 x  Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của (4) trên đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một trong hai điều kiện (1), (2) (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm của phương trình là:   k  k  x   (4) 2 8 4 y 5π +2kπ 8 1 7π +2kπ 8 3π +2kπ 8 π +2kπ 8 -1  3 5 7  2k ,  2k ,  2k  ,  2k ( k   ) 8 8 8 8 O 1 x -π +2kπ 8 -7π +2kπ 8 -5π +2kπ 8 Chú ý. Khi biểu diễn họ x    1 -1 -3π +2kπ 8 2k ( k   , n  * , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác n ta được:  Một điểm trong trường hợp n  1 .  Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n  2 . Hai điểm này là các điểm 2k biểu diễn giá trị   với k  0 , 1 . 2 9  n điểm tạo thành n đỉnh của một đa giác đều n cạnh trong trường hợp n  3 . n điểm 2k này là các điểm biểu diễn giá trị   với k  0 , 1 , …, n  1 . n -1 y y y 1 1 1 O 1 x -1 -1 O 1 x -1 O -1 n2 n3 1 x -1 n4 Ví dụ 7. Giải các phương trình sau: a) tan x  cot x  4 . sin 2 x cos 2 x b)  2 . cos x sin x x  c) [ĐHB06] cot x  sin x 1  tan x tan   4 . 2  Giải. sin x  0 k a) Điều kiện:  .  sin 2 x  0  x  k  x  2 cos x  0 Ta có tan x  cot x  sin x cos x sin 2 x  cos 2 x 1 1 2      . cos x sin x sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x sin 2 x Do đó 2 1  4  sin 2 x  (thỏa mãn điều kiện) sin 2 x 2      2 x  6  2k  x  12  k   ( k   ).  2 x  5  2k  x  5  k  6 12  PT  sin x  0 k b) Điều kiện:  .  sin 2 x  0  x  k  x  2 cos x  0 sin 2 x cos 2 x cos 2 x cos x  sin 2 x sin x cos x 1 Ta có     . cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x Do đó 10 PT  1 1  2  sin x  (thỏa mãn điều kiện) sin x 2    x  6  2k  ( k   ).  x  5  2k  6  sin x  0  k c) Điều kiện: cos x  0  sin 2 x  x  . 2  x cos  0  2 Ta có x x x x cos x cos  sin x sin cos x 2  2 2 2  1 1  tan x tan  1  x x x cos x 2 cos x cos cos x cos cos x cos . 2 2 2 x cos x sin x cos 2 x  sin 2 x 2   cot x  sin x  1  tan x tan   cot x  tan x     . 2 sin x cos x sin x cos x sin 2 x  sin x sin . Do đó PT  2 1  4  sin 2 x  (thỏa mãn điều kiện) sin 2 x 2      2 x  6  2k  x  12  k   ( k   ).  2 x  5  2k  x  5  k   6 12 C. BÀI TẬP Bài 1. Giải các phương trình sau   k . 10 a) sin 5 x  1 . ĐS: x    3  b) cos  2 x     . 2 2  ĐS: x  c) sin 5 x  sin 7 x  0 . ĐS: x  k , x  2   k , x    k . 3 6  k  . 12 6 11   k  k , x   4 24 6  k ĐS: x    . 21 7 k k ĐS: x  , x . 6 8 ĐS: x  d) sin 2 x  cos 7 x  0 . e) cos 2 7 x  f) 1 . 4 cos2 x  cos 2 7 x  0 . Bài 2. Giải các phương trình sau: a) sin x  3 cos x  0 . b) ĐS:  3 sin x  cos x  0 . c) sin x cos x  ĐS: 1 . 4 d) sin x cos x cos 2 x  ĐS: 1 . 8 ĐS: e) 4sin x cos x cos 2 x  sin 3x  0 . ĐS: f) sin 3x cos 2 x  sin 2 x cos x . ĐS: g) cos x  4 cos 2 x  3  cos x 0. 2 ĐS: h) 2sin x  4sin 3 x  3sin x   sin 2 x  0 ; ĐS: i) sin x  sin 2 x  cos x  cos 2 x  0 . ĐS: j) sin x  sin 2 x  cos x  cos 2 x  0 . ĐS: Bài 3. Giải các phương trình sau:   cos x cos 7 x   a)  sin  2  x    . cos 6 x 4      k . 6  5  k ,  k . 12 6  k 5 k  ,  . 24 2 24 2 2k x ,   2k . 7  k . k ,  8 4 4k  4k  , . 5 7  k  ,  k . k ,  8 2 4  2k  . 2k , 6 3  2k . 2k ,   6 3 ĐS: k , b) 1 1 2   . sin x cos x sin 2 x ĐS:  c) 1 1 2   . sin x cos x sin 2 x ĐS: d) sin 2 x 1  tan 2 x tan x   1 .   k . 3 k . 5  7  2k ,  2k . 12 12  7  2k ,   2k . 12 12  k ĐS:  . 8 2 12 e) sin 2 x  tan x 1  sin 2 x tan 2 x  .  2  3  cos x  2 sin f) 2 x  2 4   1. 2 cos x  1 cos 2 x  1   g) tan   x   3tan 2 x  . cos 2 x 2  ĐS: 4  2k . 3 ĐS: x  k . ĐS:    k 4 13 §2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x có dạng: A sin x  B cos x  C , (1) trong đó, A2  B 2  0 . 2. Cách giải Chia hai vế của (1) cho A2  B 2 , ta được phương trình tương đương: A 2 A B 2 B sin x  2 A B 2 cos x  C 2 A  B2 . A  cos    2     A B  A  B2 Vì    1 nên tồn tại   0; 2  để: .       2 2 2 2 B  A B   A B  sin    A2  B 2 2 2 Do đó, (1) được đưa về dạng cơ bản như sau: (1)  sin x cos   cos x sin   C 2 A B 2  sin  x     C 2 A  B2 . 3. Một số chú ý  Điều kiện có nghiệm: Từ cách giải trên suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình (1): (1) có nghiệm  A2  B 2  C 2  0 .  B  cos   2  A  B2 Nếu chọn    0; 2  để:  thì (1)  cos  x     A sin    A2  B 2 A  cos   2  A  B2 Nếu chọn    0; 2  để:  thì (1)  sin  x     B sin     A2  B 2 C A2  B 2 . C A2  B 2 . 14 B  cos   2  A  B2 Nếu chọn    0; 2  để:  thì (1)  cos  x     A sin     A2  B 2 C A2  B 2 . Trong từng trường hợp, việc chọn  phù hợp giúp quá trình tính toán bớt phức tạp. 4. Một số công thức hay sử dụng     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   ; 4 4    3   sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x  4 4    ;      sin x  3 cos x  2sin  x    2cos  x   ; 3 6    5    sin x  3 cos x  2 sin  x    2 cos  x  ; 3 6        3 sin x  cos x  2sin  x    2cos  x   ; 6 3    2    3 sin x  cos x  2sin  x    2cos  x  . 6 3    5. Ứng dụng tìm GTLN, GTNN Bài toán: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức S  A1 sin x  B1 cos x  C1 . A2 sin x  B2 cos x  C2 Cách giải: Ta tìm tập giá trị của S , tức là tìm m để phương trình sau đây có nghiệm A1 sin x  B1 cos x  C1 m . A2 sin x  B2 cos x  C2 (2) Ta có  A  mA2  sin x   B1  mB2  cos x    C1  mC1  (2)   1  A2 sin x  B2 cos x  C2  0 (3) (4) . 15 Áp dụng điều kiện có nghiệm với phương trình (3), kiểm tra điều kiện (4) để loại bớt những giá trị của m . Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của S . B. MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ 1. Giải các phương trình a) 3 sin x  cos x  1  0 . b) sin x  3 cos x  1  0 . c) 3sin x  4 cosx  6 . Giải. a) Ta có PT   3 2  12  2 , chia hai vế của phương trình cho 2 , ta được 3 1 1     sin x  cos x    sin x cos  cos x sin  sin    2 2 2 6 6  6    .  x     2k   x    2 k      6 6  sin  x    sin       (k   ). 3  6 6  7      x    2k   x    2k  6 6 b) Ta có 1 3 1       PT  sin x  cos x   sin x cos  cos x sin  sin  sin  x    sin 2 2 2 3 3 6 3 6        x  3  6  2k  x  2  2k   (k  ).  x    5  2k  x  7  2k   3 6 6 c) Đặt A  3 , B  4 , C  6 . Ta có A2  B 2  C 2  11  0 . Suy ra phương trình vô nghiệm. Ví dụ 2. Giải các phương trình a) cos x  sin x  cos x   1  0 . 2 x x  b) [ĐHD07]  sin  cos   3 cos x  2 . 2 2    c) 3  sin x  cos x   4 sin 3 x  cos3 x  1  0 . Giải. a) Ta có 16
- Xem thêm -