www.MATHVN.com
GIẢI ĐÁP TOÁN CẤP 3
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT
PHẦN 1
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
( Trang 1 – 11 )
ĐẠO HÀM
( Trang 13 – 16 )
GIỚI HẠN
( Trang 16 – 17 )
www.DeThiThuDaiHoc.com
TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
( Trang 18 – 43 )
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
PHẦN 1: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT
I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
1. LŨY THỪA (Giả sử các biểu thức có nghĩa):
m
1
1) a 0 1
2) a n n
3) a n n a m
4) a a
a
a
a
a
5) a .a a
6) a
7) ab a .b
8)
b
a
b
Chú ý: +) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số phải khác 0.
+) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
3
2
1) A = 4 8
2
3
2) B = (0, 04)
5
4) D = 43 2 .21 2 .2 3
2
5) E =
1,5
(0,125)
2
3
4
3) C = 0,5 625
81. 5 3. 5 9. 12
6) F =
3
3 . 18. 27. 6
5
0,25
3
1
2
4
847 3
847
6
27
27
6
5
Giải:
3
2
3
2
1) A = 4 2 8 3 2 2 2 23 3 23 22 12
2) B =
(0, 04)
1,5
(0,125)
2
3
1
25
4
1
3) C = 0,5 6250,25 2
4
1
1
2
3
2
1
8
2
3
3
2 2
5
4
3
19. 3 21 5
2 3
2
3
53 2 2 121 11
3 2
2
1
4 4
3
2
19.
3
1
(3)3
3
19
3
2 19
2 5
11
10
27
2
3 27
4
4) D = 43 2.21 2.23
2
262 2.22 2
4
5
5) E =
81. 5 3. 5 9. 12
3
3 . 18. 27. 6
5
6) F =
3
6
F3 6
5
2
24 16
1
2
3 5 .35.3 5 .2.3 2
35
3
1
2
1 3 1 1
101
2 5 2 2
3 .3.2 .3 .2 .3
9
10
3
3
1
2
1
3
3
3
847 3
847
3
6
. Ta áp dụng hằng đẳng thức : a b a 3 b3 3ab a b
27
27
847
847
847 3
847 3
847 3
847
6
6
33 6
. 6
6
27
27
27
27
27
27
Trang 2
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
1
2
19. 3
3
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
F3 12 3. 3 36
847
.F 12 5F F3 5F 12 0 F 3 F2 3F 4 0
27
F = 3 hoặc F2 3F 4 0 (vô nghiệm).
Vậy F = 3.
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
35
1) A =
3
a
24
a b 4
2) B = 7 5
b a
a
1
a a 12
2
4) D = 1 2
:
a
b
b b
2
1
1
1 1
a b
a 2 b 2 14
a
4
3) C =
:
a
b
.
3
1
1
1
1
b
a 4 a 2b4 a 4 b4
1
1
5) E = a 2 b 2
2
b b2
: b 2b
a a
2
1
13
3
a b
:2 3 a 3 b
6) F = 3
b
a
ab
3
1
32
12
1
2
a b
a b2
8) H = 1
ab 2
1
a b
2
2
a b
ab 4 ab b
1
7) G = ab
: a b .
a ab
b 4 ab
2
1
Giải: 1) A =
3
a2 4
4
3
1
3
1
2
b
3
3
9) I = 2
.
1
2
a
2
a
3
a 3 2 ab 4b 3
a 8a b
1
1 3
1
9 3
a a 2 .a 4 a 4 a 2 a
35
a b
2) B = 7 5
b a
35
4
1
5
4
1 7
4 4
1
1
b b 5
a
b5
b
a
b
a
a a
1
1
1
1
1
1 1
1 1
2
2
2
2
a b
a b 4
a
ab
a b 14
b
4
3) C =
1
:a b .
1 1
1
:a b4 .
3
1
1
1
1
1
b 2 4
a
a 4 a 2b4 a 4 b 4
a a b4 a4 b4
1
1
a b a a 2b2
1 1
1
a2 a4 b4
1
1
1
a b2 a2 b2 a
b a
. 1
.
1
.
.
1
1
1
1
b
a b
4
b
2 2
2
4
a a b
a b
1
2
2
1
a a 12
a
4) D = 1 2
: a b 2 1
:
b b
b
1
1
5) E = a 2 b 2
a b
2
b b2
: b 2b
a a
2
a
a
a b .
2
b
b a b
a b
2
2
b a
b
2
.
1
a b
2
b
: b
a
a b
Trang 3
www.DeThiThuDaiHoc.com
2
b
:
a
2
1
b
a b
2
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
1
3
1
3
2
2
1
13
3
a
b
a
b
2 3 ab
:2 3 a 3 b
:
6) F = 3
3
b
a
ab
ab
2
2
a a
3
3
3
ab
3
a3b
3
ab
2
3
.
3
ab
3
a b
2
1
ab 4 ab b
1
a ab ab ab
ab
1
7) G = ab
.4
.
: a b .
4
a ab
b ab
a ab
ab b b 4 ab
a ab
a b
a ab
.
.
a ab ab b
a a b
3
2
3
2
1
2
1
a b
a b
8) H =
ab 2
1
1
a b
a 2 b 2
a b
1
2
2
b
a b
a b
a
1
1 1
12
1
1
a b 2 a a 2b2 b
1 1
a2 b2
2 2
a b
1
1
1
1
1
1
a2 b2
a2 b2 a2 b2
2
2
1
12
2
a b
a 2a b b
1
=
1
1 2
1
1 2
2
2
2
2
a b
a b
1
2
4
3
1
2
1
3
1
1
2
a 3 a 8b
a 8a b
b
3
3
9) I = 2
.
1
2
a
2
2
1 1
2
a
a 3 2 3 ab 4b 3
a 3 2 a 3 b 3 4b 3
3
a
3
3
a 2 b
3
2
3
3
3
a 2 ab 4b
2
3
3
a
.3
a
a 23 b
2
3
2
1
2
3 a 23 b
3
.
a
3
a
2
2
a a 2 b a 2 ab 2 b
a
a 2 b a 2 ab 2 b
3
3
3
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
2
3
2
3
2
3
a a 0
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
3
1) A = 32 2
1
2
5
2) B =
7
4
2
4) D = 6 7 (0, 2)0,75
5) E =
3
3 5 7 1 1 1 2
3) C = 3 2 .5 3 : 2 4 : 4 : 5 3.2 4.3 2
23 2 2
(18)7 .24.(50)3
(225)4 .(4)5 .(108) 2
6) F =
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức có nghĩa):
a
1) A = 3 a 3 a a
2) B =
5 3
a
1
3) C =
9
a4 a4
1
5
a4 a4
b
1
2
3
b2
1
b2 b
1
2
3
4) D =
Trang 4
6
10 3 :10 2 (0, 25)0 10 2 (0, 01)3
5 ( 5 1)
.a
2 2 1
23.2 1 53.54 (0, 01)2 .10 2
a3b
a6b
www.DeThiThuDaiHoc.com
2 2 1
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
0 a 1
2. LÔGARIT: Giả sử các biểu thức có nghĩa log a b có nghĩa khi
b 0
1) log a 1 0
5) a
2) log a a 1
3) log a b loga c log a (bc)
4) log a b log a c log a
b
c
log a b log a b
6) log a b log a b
b
1
log a b log a b
1
log a b.log b a 1 log a b log a
b
7) log a b.logb c log a c
log c log a c
b
log a b
+) Lôgarit thập phân
: log10 b log b lg b
+) Lôgarit tự nhiên ( lôgarit Nêpe) : log e b ln b
( e 2, 71828 )
loga b
Chú ý:
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = log3 log 2
4) D =
3
9
3
2
2
3
3
2log5 3
log5 6
7) G = lg 25
5) E=
49
1 2log2 4 7
10) J = 4
log7 8
36
1
27
3) C = log 1 5.log 25
2) B = log 6 3.log3 36
e
log6 2
ln3
1 1
log 27 log125 81
2 9 1
5
25
8) H = 9
1
log6 3
4
1
log8 2
6) F = log3 2
2
27
log9 2
2
log8 27
log 5
log 36
2log 71
10log99 9) I = lg 81 3 27 9 3 9
0,25 0,5log9 7
11) K = log 3 (log 2 8)
81
12) L = log 2013 log 4 (log 2 256) log0,25 log9 (log 4 64)
13) M log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log 8 7
14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 ) lg(tan 890 )
Giải:
1) A = log 3 log 2
2) B = log
6
3
2
3) C = log 1 5.log 25
3
4) D =
5) E
9
3
1
1
1 2
2 log 3 log 3 2 6 log 3 . log 3 log 3 32 2
9
6 3
22
3.log3 36 log
3
2log5 3
6
36 log
1
62
62 4
1
15
3
log 1 5.log 2 33 (5). .log3 5.log5 3
3
5
27
2
2
2
33
3log3 5
2
1 1
log 27 log125 81
2 9 1
5
25
log3 5
3
5
1 1
log 1 33 log 3 34
9 5
5
52 2
2
8
1 log5 3 log5 3
3
3
5
Trang 5
1 2log5 3
5
www.DeThiThuDaiHoc.com
log5 32
5.5
5.9 45
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
6) F = log 3 2
2
log 32
7) G = lg 25
27
log9 2
2
log8 27
log 3 2
2
log 2 32
3 3 2log 2 3 log
2
3 2
log5 6
49
log7 8
e
ln 3
3
3
log 2 2
3
2
23 log3 2
log 2 3
3
2
2
log 3 33
2
log 3 2
23
2 3 log
1 3 2 2 1
2
3 2 2
lg 52
log5 6
72
log7 8
3 lg 5log5 62 7log7 82 3
lg 62 82 3 lg102 3 2 3 1
8) H =
1
log6 3
9
1
log8 2
4
10log99 32
log3 6
22
log 5
log 36
2log 71
9) I = lg 81 3 27 9 3 9 lg
log 54
log 63
log 71
lg 3 3 3 3 3 3 lg
1 2log 2 4 7
10) J 4
36
log6 2
0,250,5log9 7
81
log 2 8
34
log3 62
99 3
log3 5
33
log 2 62
3
log 2 82
99 6 2 82 99 1
2log 2 71
3
3
54 63 71 lg 29 71 lg100 2
1 2log 2 4 7
22
2
22
4log 4 7
2 2
6
62
log6 4
log6 2
3
log3 7
3
1
0,25 .log 2 7
2
3
34
4
3
4 3
7
7
11) K = log 3 (log 2 8) log 3 log 2 23 log 3 3 1
12) L = log 2013 log 4 (log 2 256) log0,25 log9 (log 4 64) log 2013 log 4 (log 2 28 ) log 0,25 log9 (log 4 43 )
1
3 1
log 2013 log 4 8 log 0,25 log9 3 log 2013 log 22 23 log 1 2 log 2013 log 2013 1 0
2
2 2
2
13) M log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log 8 7 log 8 7.log 7 6.log 6 5.log 5 4.log 4 3.log 3 2 log 8 2
1
3
14) N lg(tan10 ) lg(tan 20 ) ... lg(tan 880 ) lg(tan 890 )
lg(tan10 ) lg(tan 89 0 ) lg(tan 20 ) lg(tan 880 ) ... lg(tan 44 0 ) lg(tan 460 ) lg(tan 450 )
lg tan10.tan 890 lg tan 20.tan 880 ... lg tan 44 0.tan 46 0 lg tan 450
lg tan10.cot10 lg tan 20.cot 20 ... lg tan 440.cot 440 lg tan 450
lg1 lg1 ... lg1 lg1 0 0 ... 0 0 0
Ví dụ 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
1) A = log a a 2 4 a 3 5 a
3) C = lg log 1
a3
5
a a
2) B = log a b log b a 2 log a b log ab b log b a 1
4) D =
log 2 2a 2 log 2 a a
log a log2 a 1
log 2 a 3 . 3log 2 a 1 1
Trang 6
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
log 22 a 4
2
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
Giải:
1) A = log a a
24
a
35
1
16 4
4
14
14
2
log a a . a 5 log a a 2 .a 5 log a a 5
5
1
4
a log a a 2 . a 3 .a 5
1
2) B log a b logb a 2 log a b log ab b log b a 1 log a b
2 log a b.log b a log ab b.log b a 1
log a b
log 2a b 2 log a b 1
log a b 1
1 log ab a 1
log a b
log a b
log a b 1
2
log a b
2
1
.1
1
log a ab
2
1
log a b 1 . log a b 1 log b 1 1 log b
.1
1
a
a
log a b
1 log a b
1 log a b
1
3) C = lg log 1
5
a a lg log 1
a3
4) D =
5
a.a
3
3 5
1
1
lg log 1 a 2 lg log 3 a 10 lg
lg 1
a
10
10
a3
1
2
a3
log 2 2a 2 log 2 a a
1 log 2 a 4
log a log 2 a 1
2
1 2log 2 a log 2 a. log 2 a 1 8log 22 a
3log 2 a. 3log 2 a 1 1
9 log 22 a 3log 2 a 1
1
9 log 22 a 3log 2 a 1
2
log 2 a 3 . 3log 2 a 1 1
Ví dụ 3: Cho log a b 3 ; log a c 2 . Tính log a x biết: 1) x a 3b 2 c
2) x
a4 3 b
c3
3) x log a
a 2 3 bc
3
Giải: Cho log a b 3 ; log a c 2
1) Với x a 3b 2 c
1
1
1
log a x log a a 3b 2 c log a a 3 log a b 2 log a c 2 3 2log a b log a c 3 2.3 . 2 8
2
2
2) Với x
a4 3 b
c3
log a x log a
3) Với x log a
1
a4 3 b
1
1
4
3
log
a
log
b
log a c 3 4 log a b 3log a c 4 .3 3. 2 1
a
a
3
c
3
3
a 2 3 bc
3
a c b3
1
log a x log a
a 2 3 bc
3
a cb 3
log a
5
a 2b 3 c
1
1
a 3 b 3c 6
log a
5
a3c 6
8
5
8
3
log a a 3 log a b 3 log a c 2
b3
5 8
5
5 8
5
log a b log a c .3 2 8
3 3
6
3 3
6
Trang 7
www.DeThiThuDaiHoc.com
a cb3
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
Ví dụ 4: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A = log 20 0,16 biết log 2 5 a
2) B = log 25 15 biết log15 3 a
1
3) C = log 40 biết log 2 3 a
5
5) E = log 35 28 biết log14 7 a và log14 5 b
4) D = log 6 (21, 6) biết log 2 3 a và log 2 5 b
6) F = log 25 24 biết log 6 15 a và log12 18 b
49
7) G = log125 30 biết lg 3 a và lg 2 b .
8) H = log 3 5
biết log 25 7 a và log 2 5 b .
8
9) I = log140 63 biết log 2 3 a ; log3 5 b ; log 2 7 c 10) J = log 6 35 biết log 27 5 a ; log8 7 b ; log 2 3 c
Giải:
1) A = log 20 0,16 biết log 2 5 a
2
log 2 3
2
5 1 3log 2 5 1 3a
. Ta có: A = log 20 0, 04 log 20 3
5
log 2 (2 2.5) 2 log 2 5 2 a
2) B = log 25 15 biết log15 3 a
. Ta có: a log15 3
1
log3 3.5
1
1
1 a
log3 5 1
1 log3 5
a
a
1 a
1
log 3 15 log 3 (3.5) 1 log 3 5
1
a
B = log 25 15
1 a 2 1 a
log 3 25
log 3 52
2log 3 5
2.
a
1
2
3a
1
. Ta có: a log 2 3 log 1 5 3 log 2 5 log 2 5
3
2
5
22
1
3) C = log 40 biết log 2 3 a
5
3a
3
log 2 40 log 2 (23.5) 3 log 2 5
2 6 3a
C = log 40
log 2 10 log 2 (2.5) 1 log 2 5 1 3a 2 3a
2
4) D = log 6 (21, 6) biết log 2 3 a và log 2 5 b
2 2.33
log 2 21, 6
5 2 3log 2 3 log 2 5 2 3a b
Ta có: D = log 6 (21, 6)
log 2 6
log 2 2.3
1 log 2 3
1 a
log 2
5) E = log35 28 biết log14 7 a và log14 5 b
1
Ta có: a log14 7
b log14 5
log7 2.7
1
1
1 a
log 7 2 1
1 log 7 2
a
a
log 7 5
log 7 5
1 a b
log 7 5 b(1 log 7 2) b. 1
log 7 7.2 1 log 7 2
a a
2
E = log 35 28
log 7 28 log 7 (7.2 ) 1 2 log 7 2
log 7 35 log 7 (7.5)
1 log 7 5
Trang 8
1 a
a 2a
b
ab
1
a
1 2.
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
6) F = log 25 24 biết log 6 15 a và log12 18 b
2
log 2 18 log 2 2.3 1 2log 2 3
(2)
b log12 18
log 2 12 log 2 22.3 2 log 2 3
log 2 15 log 2 3 log 2 5
Ta có: a log 6 15
(1)
log 2 6
1 log 2 3
1 2b
b2
1 2b
2b a ab 1
Từ (1) log 2 5 a 1 log 2 3 log 2 3 a 1 log 2 3 a a 1
a
b2
b2
1
2
b
3
3
log 2 24 log 2 2 .3 3 log 2 3
b 5
b2
F = log 25 24
2
2
b
a
ab
1
log 2 25
log 2 5
2log 2 5 2.
4b 2a 2ab 2
b2
Từ (2) b (2 log 2 3) 1 2 log 2 3 (b 2) log 2 3 1 2b log 2 3
7) G = log125 30 biết lg 3 a và lg 2 b .
lg 30 lg 3.10 1 lg 3
1 a
10
Ta có: b lg 2 lg 1 lg 5 lg 5 1 b G = log125 30
3
lg125
3lg 5 3 1 b
lg 5
5
49
biết log 25 7 a và log 2 5 b .
8
log 2 7
log 2 7 log 2 7
Ta có: a log 25 7
log 2 7 2 ab
log 2 25 2 log 2 5
2b
8) H = log 3 5
49
72
log 2 3
49
8
2 2 log 2 7 3 2.2 ab 3 12ab 9
H = log 3 5
1
1
1
8 log 2 3 5
b
log 2 5
b
log 2 5 3
3
3
9) I = log140 63 biết log 2 3 a ; log 3 5 b ; log 2 7 c
log 2
Ta có : log 2 5 log 2 3.log 3 5 ab I = log140 63
log 2 32.7
log 2 63
2 log 2 3 log 2 7
2a c
2
log 2 140 log 2 2 .5.7 2 log 2 5 log 2 7 2 ab c
10) J = log 6 35 biết log 27 5 a ; log 8 7 b ; log 2 3 c
log 2 5
log 2 5 log 2 5
a log 27 5 log 27 3log 3 3c log 2 5 3ac
log 2 35 log 2 5 log 2 7 3ac 3b
2
2
J = log 6 35
log 2 6
1 log 2 3
1 c
b log 7 log 2 7 log 2 7 log 7 3b
8
2
log 2 8
3
Ví dụ 5: Tính giá trị của biểu thức:
1
3
1) A = log
b
a
b
biết log a b 3 .
a
2) B =
9
a4 a4
1
4
a a
Trang 9
5
4
b
1
2
1
2
3
b2
b b
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
2
biết a 2013 2 ; b 2 2012
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
Giải:
1) A = log
A = log
b
biết log a b 3 .
a
3
b
log
a
b
a
b
a
1
1
1
3
2 log a b
1
2) B =
3
9
a4 a4
1
4
a a
B=
5
4
b
1
2
9
4
1
4
5
4
a a
a a
1
b
a
1
a2
3log b
b
a
1
2 log a
b
a
1
1
3 log b a
2
1
1
2 log a b 1
2
2 log a b
2 log a b 3
1
1
2 3 3
3
log a b 2 3 log a b 2 log a b 2 3 log a b 2 3 3 2
3
3
1
2
b
b
a
b2
b b
1
4
1
b 3 log
1
2
1
2
biết a 2013 2 ; b 2 2012
1
2
b
b b
1
4
3
2
1
2
a 1 a
1
4
2
1
2
b 1 b
a 1 a
b
1
2
2
1 a 1 b a b 2013
2 2 2012 1
1 b
Ví dụ 6: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
log a b log a c
2a 3b lg a lg b
log c
log a
1) log ac (bc)
2) a b c b
3) Nếu 4a 2 9b 2 4ab thì lg
4
2
1 log a c
1
4) Nếu a 2 4b 2 12ab thì log 2013 (a 2b) 2log 2013 2 (log 2013 a log 2013 b)
2
1
1 lg b
5) Nếu a 10
; b 10
b
c
7) log 2a log 2a
c
b
1
1 lg c
1
1 lg a
6) Nếu a log12 18 ; b log 24 54 thì: ab 5(a b) 1
c
a
b
8) Trong 3 số: log 2a ; log 2b và log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
b
c
a
b
c
a
thì c 10
Giải:
1) log ac (bc)
2) a
logb c
log a b log a c
1 log a c
log a
c b
. Đặt a
. Ta có:
log
3) Nếu 4a 2 9b 2 4 ab thì lg
bc
log a bc
log a b log a c
log a bc
log ac (bc ) (đpcm)
1 log a c
log a a log a c log a ac
a logb c a t
log c
log a
a b c b (đpcm)
t
t
log
a
log
a
log
a
c bt c b bt b b b a t
2a 3b lg a lg b
4
2
2
2
2
2
2
Ta có: 4a 9b 4 ab 4 a 12ab 9b 16ab 2a 3b
2
2a 3b
16ab
ab
4
2
2a 3b
2 a 3b lg a lg b
2 a 3b
(đpcm)
lg
lg a lg b lg
lg ab 2 lg
4
4
2
4
Trang 10
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
1
4) Nếu a 4b 12ab thì log 2013 ( a 2b) 2 log 2013 2 (log 2013 a log 2013 b)
2
2
2
2
2
a 2b
Ta có: a 2 4b 2 12 ab a 2 4ab 4b 2 16ab a 2b 16 ab
ab
4
2
a 2b
log 2013
log 2013 ab 2 log 2013 a 2b 2log 2013 2 log 2013 a log 2013 b
4
1
log 2013 ( a 2b) 2 log 2013 2 (log 2013 a log 2013 b) (đpcm)
2
5) Nếu a 10
1
1 lg b
Ta có: a 10
b 10
; b 10
1
1 lg b
1
1 lg c
1
1 lg a
thì c 10
1
lg a lg101lg b
1
1 lg c
lg b lg10
1
1 lg c
1
1
lg a 1
lg b 1
1 lg b
lg a
lg a
(1)
1
(2)
1 lg c
1
1
lg a 1
1
lg a
1
Từ (1) và (2)
lg c 1
10lg c 101lg a c 101lg a (đpcm).
lg a
1 lg c
lg a 1 1 lg a
6) Nếu a log12 18 ; b log 24 54 thì: ab 5( a b) 1
Ta có: a log12 18
2
log 2 18 log 2 2.3 1 2log 2 3
1 2a
a 2 log 2 3 1 2 log 2 3 log 2 3
(1)
log 2 12 log 2 22.3 2 log 2 3
a2
3
log 2 54 log 2 2.3 1 3log 2 3
1 3b
b log 24 54
b 3 log 2 3 1 3log 2 3 log 2 3
3
log 2 24 log 2 2 .3 3 log 2 3
b 3
Từ (1) và (2)
7) log 2a
1 2a 1 3b
1 2a b 3 1 3b a 2 ab 5( a b) 1 (đpcm)
a 2 b 3
b
c
log 2a
c
b
2
2
1
2
2
b
b
c
c
c
c
Ta có : log log a log a log a log a log a2
c
c
b
b
b
b
2
a
8) Trong ba số: log 2a
b
(đpcm)
c
a
b
; log 2b và log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
b
c c
a a
Áp dụng công thức ở ý 7) ta có: log 2a
b
c
b
a
c
; log 2b log 2b
log 2a
b
c
c
a
b
c
c
; log 2c
a
2
b
a
log 2c
a
b
a
c
a
b
b
c
a
b
c
a
log .log 2b .log 2c log 2a .log 2b .log 2c log a .log b .log c 12 1
b
c
a
c
a
b bc
a
b
c
a
b
c
a
c
a
c
a
b
Trong ba số không âm: log 2a ; log 2b và log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1.
b
c
a
b
c
a
2
a
b
Trang 11
www.DeThiThuDaiHoc.com
(2)
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
1) A = log 1 5 4 5
3
8
25
1
4) D = 532log5 4
7) G =
3) C = log
2) B = log 2 8.log 1 4
25
5) E = 9 2
log5 6
1 log9 4
3
4
49
log7 8
2 log2 3
3
log 3 2 2log 27 3
6) F = 4log2 3 9
8) H = log3 6.log8 9.log 6 2
log
27
5 125
1
.log 1 5 5
9
5
1
10) J = 2 log 1 6 log 1 400 3log 1 3 45
2 3
3
3
9) I
11) J
(27
1
log 2 3
log
3
2
log 3 4.log 6 8
log 6 4.log 9 8
log 25 49
5
1
log 4 9
)(81
8log4 9 )
1
3 5 log16 25.5log5 3
1
1
1
1
log 5
log 3
log 2
12) K log 6 log 6 27 3 log 21 16 9 7 4 9 log 3 tan
3
12
4
2
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức đều có nghĩa):
log
1) A = log a b logb a 2 log a b log ab b logb a
2) B =
a3
a.log 3 a 4
a
log 1 a 2
a
Bài 3: Hãy biểu diễn theo a ( hoặc cả b hoặc c) các biểu thức sau:
1) A = log 1 28 biết log 7 2 a
2) B = log 6 16 biết log12 27 a .
3) C = log 49 32 biết log 2 14 a
2
4) D = log 54 168 biết log 7 12 a và log12 24 b
121
6) F = log 3 7
biết log 49 11 a và log2 7 b .
8
5) E = log 30 1350 biết log 30 3 a và log 30 5 b
7) G = log3 135 biết log 2 5 a và log 2 3 b .
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức:
1) A = log
b
ab
a
biết log a b 5 .
2) B = c
log
c
log a
a
b3c
Bài 5: Chứng minh rằng (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
1)
log a c
1 log a b
log ab c
2) Nếu a 2 b 2 c 2 thì log b c a log c b a 2 log c b a.log c b a
ab 1
3) Nếu a 2 b 2 7 ab thì log 7
log 7 a log 7 b
3
2
1
4) Nếu a 2 9b 2 10 ab thì log a 3b log 2 log a log b
2
Trang 12
www.DeThiThuDaiHoc.com
biết log a b 5 và log a c 3
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
II. ĐẠO HÀM
a x ' a x ln a
2) a u ' u ' a u ln a eu ' u ' e u
x
x
e ' e
x ' x 1
1) u ' u 1 .u '
u'
n
u ' n n 1
n u
1
log a x ' x ln a
u'
u'
3) log a u '
ln u '
u ln a
u
1
ln x ' x
Chú ý : 4) u v ' u v .( v ln u ) ' (Tổng quát của (1) và (2))
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y 3 x x
2) y e x e3 x 1 5cos x sin x
3) y x 2 2 x 2 e x
4) y ln x 2 1 log 2 x 2 x 1
5) y 3 ln 2 x
x4
6) y log 2
x4
1 x
ln(2 x 1)
ln x 1 ln x
7) y log
8) y
9) y
2 x
x 1 ln x
2x 1
ex e x
10) y x x
11) y ln x 1 x 2 log 3 (sin 2 x)
12) y log x (2 x 1)
13) y (2 x 1) x 1
e e
Giải:
1
1) y 3 x x
y'
3
3
1
2 x
x x
2
2 x 1
6 x.
3
x x
2
(áp dụng công thức
u ' n uu'
n
n
n 1
)
2) y e x e3 x 1 5cos x sin x
y'
ex
2 ex
3.e3x 1 ( sin x cos x).5cos x sin x ln 5
ex
3e3 x 1 (sin x cos x).5cos x sin x ln 5
2
3) y x 2 2 x 2 e x y ' 2 x 2 e x x 2 2 x 2 e x x 2e x
4) y ln x 2 1 log 2 x 2 x 1
y'
2x
2x 1
2
2
x 1 x x 1 ln 2
1
2
x
5) y 3 ln 2 x y '
3
3 x ln x
3 3 ln 4 x
8
2.(ln x).
2
x 4
8
x4
6) y log 2
y' x4
2
x4
x 16 ln 2
ln 2
x4
Trang 13
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
1
1
.2 x
. 1 x
1 x
1 x
2 x
x
1
2
x
x
4x
y'
1 x
1 x
1 x
2x
ln10
ln10
4 x.
ln10
2 x
2 x
2 x
1
1
1
.x ln x 1 ln x 1 ln x
1 ln x
2
x
y' x 2
x
2
2
2
x
x
x 1 ln x
1 ln x
'
1 x
7) y log
2 x
8) y
ln x 1 ln x
x 1 ln x
1
x 1 ln10
2
1
. 2x 1
.ln 2 x 1
2 ln 2 x 1
ln(2 x 1)
2x 1
2
x
1
9) y
y'
2x 1
2x 1
2 x 1 2 x 1
ex e x
10) y x x
e e
e
y'
x
2
e x e x e x
e
x
e
x 2
2
1
4
e
x
e x
2
x
1 x 2 2 cos 2 x 1 2 cot 2 x
ln 3
x 1 x 2 sin 2 x ln 3
1 x2
2
1
ln x ln 2 x 1 2 x ln x 2 x 1 ln 2 x 1
ln 2 x 1
x
12) y log x (2 x 1)
y ' 2x 1
2
2
ln x
ln x
x 2 x 1 ln x
11) y ln x 1 x 2 log 3 (sin 2 x )
13) y (2 x 1) x 1 ln y ln 2 x 1
y'
x 1
x 1 ln 2 x 1 (*)
2 x 1
y'
ln 2 x 1
y
2x 1
(đạo hàm 2 vế của (*) )
2 x 1
x 1
y ' ln 2 x 1
. 2 x 1
2x 1
Ví dụ 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
1) y '' 2 y ' 2 y 0 với y e x sin x
1
2) xy ' 1 e y với y ln
1 x
1
1 x ln x
1 ln x
5) 2 x 2 y ' x 2 y 2 1 với y
x (1 ln x)
4) y xy ' x 2 y '' 0 với y sin(ln x ) cos(ln x )
3) xy ' y ( y ln x 1) với y
6) 2 y xy ' ln y ' với y
x2 1
x x 2 1 ln x x 2 1
2 2
Giải: 1) y '' 2 y ' 2 y 0 với y e x sin x
y ' e x sin x e x cos x e x cos x sin x
Ta có: y e sin x
x
x
x
y '' e cos x sin x e sin x cos x 2e cos x
x
y '' 2 y ' 2 y 2e x cos x 2e x cos x sin x 2e x sin x 0 (đpcm)
1
2) xy ' 1 e y với y ln
1 x
Trang 14
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
1
Ta có: y ln
y'
1 x
3) xy ' y ( y ln x 1) với y
1
1 x
2
1
1 x
x
1
xy ' 1
1
1 x
1 x
1
xy ' 1 e y (đpcm)
1
ln
1 x
e y e 1 x 1
1 x
1
1
1 x
1
x
. Ta có: y
y'
2
2
1 x ln x
1 x ln x x 1 x ln x
1
1 x ln x
1 x
xy '
2
1 x ln x
xy ' y( y ln x 1) (đpcm)
1
x
1
ln
y y ln x 1
1
1 x ln x 1 x ln x 1 x ln x 2
4) y xy ' x 2 y '' 0 với y sin(ln x ) cos(ln x )
1
1
cos(ln x) sin(ln x)
y ' x cos(ln x) x sin(ln x)
x
Ta có: y sin(ln x) cos(ln x)
1
1
x sin(ln x) x cos(ln x) x cos(ln x) sin(ln x) 2cos(ln x)
y ''
x2
x2
y xy ' x 2 y '' sin(ln x) cos(ln x) cos(ln x) sin(ln x) 2 cos(ln x) 0 (đpcm)
5) 2 x 2 y ' x 2 y 2 1 với y
Ta có: y '
1 ln x
x (1 ln x)
1
1
.x 1 ln x 1 ln x x. 1 ln x
x
x
x 2 1 ln x
2
1 ln x ln x 1 ln x
x 2 1 ln x
2
1 ln 2 x
x 2 1 ln x
2
2 1 ln 2 x
1 ln 2 x
2
2
2 x y ' 2 x . 2
2
2
x 1 ln x
1 ln x
2 x 2 y ' x 2 y 2 1 (đpcm).
2
2
2
2 1 ln x
2 2
1 ln x
1 ln x
2
1
1
x y 1 x . 2
2
x (1 ln x) 2
(1 ln x) 2
1 ln x
x2 1
x x 2 1 ln x x 2 1
2 2
x
1
x2 1
1
x 2 x x2 1
Ta có: y ' x x 2 1 x.
2
x2 1
x x2 1
6) 2 y xy ' ln y ' với y
=x
2x2 1
2
2 x 1
x x2 1
2
2 x x 1
x
2
x 1
2 x2 1
2
2 x 1
1
2
x
2 x 1
2 x 2 1
2
x x2 1
2 x 1
xy ' ln y ' x x x 2 1 ln x x 2 1 x 2 x x 2 1 ln x x 2 1
2 y xy ' ln y ' (đpcm)
2 y x 2 x x 2 1 2 ln x x 2 1 x 2 x x 2 1 ln x x 2 1
Trang 15
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
B. BÀI LUYỆN
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
3
2
3 x 1
3) y xe
1) y x x 1
2) y (2 x 1)e
5) y e3 x 1.cos 2 x
6) y (sin x cos x)e 2 x
2x
x2 2 x 2
ln( x 1)
8) y
x 1
4) y
7) y 1 ln x ln x
10) y x 2 ln x 2 1
9) y e 2 x ln(cos x)
1
x x
3
11) y ( x 2 x ) log 2 (2 x e x x ) 12) y ln sin(3x 1)
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:
2
x2
2
2) y ' y e x với y ( x 1)e x
4) y 'cos x y sin x y '' 0 với y esin x
2 xy
6) y ' 2
e x ( x 2 1) với y ( x 2 1)(e x 2013)
x 1
1) xy ' (1 x ) y với y xe
3) y ''' 13 y ' 12 y 0 với y e4 x 2e x
1
5) y '' 2 y ' y e x với y x 2 e x
2
III. GIỚI HẠN
x
1
1
1) lim 1 lim 1 x x e
x
x 0
x
ex 1
1
x 0
x
ln(1 x)
1
x 0
x
2) lim
3) lim
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ : Tính các giới hạn sau:
2 x 1
x
x 1
2) lim
x x 2
x
e 1
7) lim
x 0
x 1 1
x
1) lim
x 1 x
5 x 3
e
e3
6) lim
x 0
2x
e x e x
4) lim
x 0 sin x
ln x 1
3) lim
x e x e
8) lim
x 0
ln(1 2 x)
tan x
9) lim
x 10
lg x 1
x 10
Giải:
x
1) L1 lim
x 1 x
x
x
1
x
Ta có: L1 lim
lim 1
x 1 x
x 1 x
1
L1 lim 1
t
t
1 t
lim
t
x
1
1 t
1
1
t
Đặt :
lim
t
x (1 t )
1
1
1 x t
x ; t
1
1 1
1 1
t t
Trang 16
t
1 1
1.e e
www.DeThiThuDaiHoc.com
ln(1 x 3 )
5) lim
x 0
2x
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
x 1
2) L2 lim
x x 2
2 x 1
3
lim 1
x
x2
1
3
x 3t 2
Đặt x 2 t
x ; t
2 x 1
1
L2 lim 1
x
t
6 t 3
t 6
3
1 1 6 3
lim 1 . 1 e .1 e6
x
t t
ln x 1
x e x e
3) L3 lim
x t e
ln(t e) ln e
Đặt t x e
L3 lim
lim
t 0
t 0
t
x e; t 0
t
te
ln
ln 1
e lim e . 1 1
t 0
t
t
e e
e
1
ex x
2x
2x
2x
e x e x
e lim e 1 lim e 1 lim e 1 . 1 . 2 1. 1 . 2 2
4) L4 lim
lim
x 0 sin x
x 0 sin x
x 0 e x sin x
x0
sin x x x0 2 x sin x e x
1 1
2 x.
.e
2x
x
ln(1 x 3 ) x 2
ln(1 x 3 )
ln(1 x3 )
lim
lim
. 1.0 0
x 0
x 0
x 0
2
2x
x3
2
x3 . 2
x
5) L5 lim
e5 x 1 3
e5 x 1 5e3
e5 x 3 e3
5e3 5e3
6) L6 lim
lim
.e lim
.
1.
x 0
x0
x 0
2
2x
5
x
2
2
2
5 x.
5
e x 1 x 1 1
ex 1
ex 1
7) L7 lim
lim
lim
.
x 0
x 0
x
x 1 1 x 0
x
x 1 1 1.0 0
ln(1 2 x) 1
ln(1 2 x)
ln(1 2 x)
ln(1 2 x)
1
8) L8 lim
lim
lim
lim
.
.2 cos x 1. .2.1 2
x 0
x0
x0
x 0
sin x
sin x
1
sin x
tan x
1
2x
2 x.
.
cos x
x 2cos x
x
lg x 1
9) L9 lim
x 10 x 10
t
t 10
lg
lg 1
x t 10
lg(t 10) lg10
10
10 1 1
L9 lim
lim
lim
.
Đặt: t x 10
t 0
t 0
t 0
t
t
t
10 10
x 10; t 0
10
B. BÀI LUYỆN
Tính các giới hạn sau:
1
1) lim 1
x
x
x 1
x
e2 x 1
x 0
3x
2) lim
ex e
x 1 x 1
3) lim
Trang 17
esin 2 x esin x
x 0
x
4) lim
www.DeThiThuDaiHoc.com
1
5) lim x e x 1
x
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
IV. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BẤT ĐẲNG THỨC
*) Tính đơn điệu:
*) Các bất đẳng thức:
a b a c
1) 0 a 1
bc
log a b log a c
0 a 1
0 a 1
0 b 1
b 1
3) log a b 0
và log a b 0
a 1
a 1
b 1
0 b 1
a b a c
2) a 1
bc
log a b log a c
a b 0
4) 0 a b
a b 0
A. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Không dùng bảng số và máy tính hãy so sánh các cặp số sau:
1) 0,01
3
2)
2
và 1000
4) log3 2 và log 2 3
7) 0, 7
5
6
và 0, 7
8) 2
626
9
13) log 2011 2012 và log 2012 2013
và
2
và
2
3
3)
3
và 3
4
3 1 và
5
6)
7
5) log 2 3 và log3 11
1
3
2log 2 5 log 1 9
10) 2
2 2
2
5
2
3
3 1
và 1
9) log 0,4 2 và log 0,2 0,34
1
1
và log 1
3 80
2 15 2
15) log 3 4 và log10 11
11) 3log 6 1,1 và 7 log 6 0,99
12) log 1
14) log13 150 và log17 290
Giải:
1) 0, 01
2)
2
3
2 2
và 1000
và
2
3
0,01 3 102
. Ta có:
2 3 3
3
10 2 3 ; 1000 103
. Ta có:
1 và 2 2 3
2
2
2 2
2
0, 01
3
1000
3
4) log3 2 và log 2 3
1
1
4
3
4
3 1 3 1 3
3 1 3 1 ;
. Ta có:
4 3 1
1
1
0 3 1 1;
4 3
. Ta có: log 3 2 log3 3 1 log 2 2 log 2 3 log3 2 log 2 3
5) log 2 3 và log3 11
. Ta có: log 2 3 log 2 4 2 log3 9 log3 11 log 2 3 log 2 11
3)
4
3 1 và
3
3 1
Trang 18
www.DeThiThuDaiHoc.com
3
3 1
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
www.MATHVN.com
5
6)
7
7) 0, 7
8) 2
3
5
2
5
6
5
5
0
0
2
5
5
2
. Ta có:
1
7
0 5 1 7
7
và 1
và 0, 7
và 3
5 2 5 4 1 2
5 1
6 36 36 3
6
3
. Ta có:
0 0, 7 1
1
3
2
. Ta có:
3
2
10)
Ta có:
3
23 8
3
3
6
3
3
2
3
2
3
2
3
3
2
32 9
log 0,4 2 log0,2 0,34
626
9
2log 2 5 log 1 9
2
2
2
log 2 25log 2 9
2
log 2
25
9
25
625
626
2
9
9
9
2log 2 5 log 1 9
2
626
9
log6 1,1
30 1
log 1,1 0 3
. Ta có: 6
3log6 1,1 7 log 6 0,99
log 6 0,99
0
7 1
log 6 0,99 0 7
11) 3log 6 1,1 và 7 log 6 0,99
12) log 1
2
3
1
0, 7 3
2 1 log 0,4 2 0
0 0, 4 1;
. Ta có:
0 0, 2 1; 0 1 0,34 log 0,2 0,34 0
9) log 0,4 2 và log 0,2 0,34
2log 2 5 log 1 9
2 và
2
3
5
0, 7 6
1
1
và log 1
80
2
2 15
1
1
log 1 80 log 31 80 log 3 80 log 3 81 4
1
1
Ta có: 3
log 1
log 1
1
1
3 80
2 15 2
log
log 21 15 2 log 2 15 2 log 2 16 4
1
2 15 2
13) log 2011 2012 và log 2012 2013
Ta luôn có : log n n 1 log n 1 n 2 với n 1 (*) . Thật vậy :
2
2
+) Ta có : n 1 n n 2 1 n n 2 1 log n1 n 1 log n1 n n 2
hay 2 log n1 n log n1 n 2 (1)
+) Áp dụng BĐT Cauchy ta có : log n1 n log n1 n 2 2 log n1 n.log n1 n 2 (2)
( (2) không xảy ra dấu '' " vì log n 1 n log n1 n 2 )
+) Từ (1) và (2) 2 2 log n1 n.log n1 n 2 1 log n 1 n.log n1 n 2
1
log n 1 n 2 log n n 1 log n 1 n 2 (đpcm)
log n 1 n
Áp dụng (*) với n 2011 log 2011 2012 log 2012 2013
Trang 19
www.DeThiThuDaiHoc.com
GV: THANH TÙNG
0947141139 – 0925509968
http://www.facebook.com/giaidaptoancap3
14) log13 150 và log17 290
. Ta có: log13 150 log13 169 2 log17 289 log17 290 log13 150 log17 290
www.MATHVN.com
15) log 3 4 và log10 11
Ta luôn có : log a ( a 1) log a 1 ( a 2) với 0 a 1 (*) .Thật vậy :…
(các bạn xem phần chứng minh ở ý 13) hoặc cách khác ở Ví dụ 4 ý 4) )
Áp dụng liên tiếp (*) ta được :
log 3 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 log 8 9 log 9 10 log10 11 hay log 3 4 log10 11 (đpcm)
1
B=
6
log 5 3.log15 4
A
14
7
log 1 .log 0,3
5
2
3
Ví dụ 2: Xác định dấu của các biểu thức sau:
1
log6 2 log 5
2
6
3
31
2
Giải:
A
5 1; 3 1 log 5 3 0
15 1; 4 1 log 4 0
15
log 5 3.log15 4
1
14
14
Ta có: 0 1;
0
1 log 1
0 A
14
7
3
5
5
3
log 1 .log 0,3
5
2
3
7
7
0 0, 3 1;
1 log 0,3 0
2
2
log 5 3.log15 4
14
7
log 1 .log 0,3
5
2
3
1
B=
6
1
log6 2 log 5
2
6
1
6
31
2
3
1
log6 2 log 5
2
6
1
2
Ta có: log 6 2 log 6 5 log 6 2 log 6 5 log 6
2
5
1
6
log6
125 3 124
1
Mà: 3
8
8
6
2
5
61
log6
2
5
6
1
log6 2 log 5
2
6
3
log6
5
2
3
5 3 5
125
. Mặt khác:
3
2
8
2
31
1
B=
2
6
1
log6 2 log 5
2
6
3
31 3 124
2
8
3
31
0
2
Ví dụ 3: Sắp xếp các số sau theo thứ tự giảm dần:
1)
2 ; 23
log 64
5
4
log9 2
; 2 6 ; 23
2) 2 log 4 5 ; log 3
; log
4
4
2
3
; log 9
1
4
Giải:
1)
2 ; 23
Ta có:
log64
5
4
1
2
22 ;
Mà: 2
log9 2
; 2 6 ; 23
5
log
23 64 4
1
2
6 2
2
Từ (1) và (2) : 2
1
1
5
log
22 2 4
log9 2
2 6 2 2 23
1
5
Mặt khác: 2 2 2
4
log 2
3 9
5
3log 6
2 2 4
2
26
2 2
1
1
log9 2
5 5 2
2
; 23
23
4 4
log3 2
log3 2
23
2 23
5
3 log64 4
5
4
26 2
1
5 2
hay
4
log 2
log64
5
4
(1)
(2)
thứ tự giảm dần là: 2
Trang 20
log 2
3 9
www.DeThiThuDaiHoc.com
; 2
6
;
5
3 log64 4
2 ; 2
2
2
- Xem thêm -
.PDF 
43 
199 
121 
