Bồi dưỡng HSG Toán chuyên đề PT, BPT
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
Bài tập chuyên đề:
PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
VĂN PHÚ QUỐC
1. Giải PT:
3
2. Giải BPT:
3x 2 x 2012 3 3 x 2 6 x 2013 5 5 x 2014 3 2013 .
x
2x
3x
2012 x
...
1
x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 3 x 1
x 1 2 x 1 ... 2012 x 1
2
2
3. Giải HPT:
2
2
2 x1 cos x2
2 x2 cos x3
2 x3 cos x4
; x1 , x2 , x3 , x4 .
2 x4 cos x1
y
30 x 2 4 y 2012
z
4. Giải HPT: 30 2 4 z 2012
y
x
30 2 4 x 2012
z
; x, y , z
5. Cho 2013 số dương: x1 , x2 ,..., x2013
x12 x22 x2 x1
2
2
x2 x3 x3 x2
..........................
0 thỏa mãn:
.
..........................
x2 x2 x x
2012
2011
2011 2012
2
2
x2012 x2013 x2013 x2012
Chứng minh rằng trong 2013 số đó có hai số a, b sao cho: a b
1
.
2012
x y z 3
6. Giải HPT: x 2 y 2 z 2 3
; x, y , z .
x 2012 y 2012 z 2012 3
7. Giải BPT:
x 2012 x 2014 2 x 2 4028 2014 2 4024 x 4024
; x.
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
1
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
30 x 4 x 2013 x 2012
1
2
3
30 x 4 x 2013 x 2012
2
3
4
8. Giải HPT: .......................................
2013 2012
x2
30 x2012 4 x1
x , x ,..., x 0
2012
1 2
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
1
2012
x1 x2
2
x2
x2 1 x3 2012
9. Giải HPT:
2
x3 ; x1 , x2 ,..., x2012 .
..............................
1
2012
x2012 x1
2
x1
x2 2x y
2
y 2y z
10. Giải HPT: 2
; x, y, z , t .
z 2z t
t 2 2t x
2
2
k 1
x1 kx1
x2
2
2
k 1
2
x2 kx2
x3
11. Giải HPT:
; x1 , x2 ,..., x2012 , k là một số cho trước.
2
....................................
2
k 1
2
x2012
kx2012
x1
2
12. Cho số nguyên n 3 . Giải hệ phương trình:
2012 x1 4025 x2 2013 x3 0
2012 x2 4025 x3 2013 x4 0
; x1 , x2 ,..., xn .
...............................................
2012 xn 4025 x1 2013 x2 0
2 xy
2013
x 2 y 2013
x 2012 2
2012
x 2x 2 1
13. Giải HPT:
; x, y .
2
xy
2013
2
2013
y
y x
2012 2
x 2 y 22012 1
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
2
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
3 x
x x 2
x x x 2 x2 x x 2
x2 3
10
2
2
2
x x x x3 x x x 3 x x 4 x x x 4 x x x x 3 3
x y 2
15. Giải HPT: 2012
; x, y .
y 2012 x 2011 y 2011
x
14. Giải PT:
y 2 5 x 4 4 x
16. Giải HPT:
; x, y .
2
2
y
5
x
4
xy
16
x
8
y
16
0
6 x 4 x3 x y 2 y 12 x 2 6
17. Giải HPT:
; x, y
2
4
2
2
2
5 x x 1 y 11x 5
3 2 x 2 y x 4 y 2 x 2 1 2 x 2 y 4
18. Giải HPT:
; x, y .
2
1 1 x y x 2 x 4 2 x 2 2 xy 2 1 0
2 xy y x 2 y 2
x y
x y
14
2
2
19. Giải HPT:
; x, y .
3
3
x
y
x y
2 2 9
xy 2 x 4 y 4 1
20. Giải HPT:
; x, y .
2
x 2009 y 2013 x 2013 y 2009 2011
3
2
2
x y 1
21. Giải HPT: 2011
; x, y .
2011 y 2013 y 2013 x
x y xy 2014
x
4
cos 2 x
6
22. Giải PT: 3 1
tan x 7
2
cos x
1 1
x y 9
23. Giải HPT:
( x, y ).
1
1
1
1
1
1
18
3 x 3 y 3 x 3 y
24. Giải BPT:
6 x 2 3 x 1 x 4 x 2 1 0 ; x
x y 1 1 4 x y 2 3 x y
25. Giải HPT:
, x, y .
2
2
12
x
2
x
3
y
7
xy
1
12
y
3
5
x
1 1
4
4
x 2y 2 y x
26.Giải HPT:
, x, y
1 1 3 y x 2 3x 2 y 2
x 2 y
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
3
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
27. Giải BPT:
4 x 6 3 x 3 7 x 2 12 x 6 x 2 2 ; x .
28. Giải BPT:
x5 x3 x
x
2
3
1 x2 x2 x 1 ; x .
x 2 y z 2 3x 2 x 1 y 2 z 2
2
29. Giải HPT: y 2 z x 4 y 2 y 1 z 2 x 2
2
2
z x y 5 z 2 z 1 x 2 y 2
30. (VMO 1975). Giải PT:
y 3 m3
y m
3
y 3 n3
y n
3
; x, y, z .
y3 p3
3
y p
3 3 ym yn y p
.
.
.
0.
2 2 ym yn y p
31. (VMO 1975). Không giải PT bậc ba: x 3 x 1 0 . Hãy tính tổng các lũy thừa bậc tám của ba
nghiệm số của nó.
x y
12
x y
32. (VMO 1976). Tìm nghiệm nguyên của HPT: x y
.
3
y x
1
1 x 1
1
.
x
x
x
34. (VMO 1978). Tìm tất cả các giá trị của m sao cho HPT sau đây chỉ có một nghiệm
33. (VMO 1977). Giải BPT:
x
x 2 2 x x y m
.
2
2
x 1 y
x 2 y 2 z 2 t 2 50
2
x y 2 z 2 t 2 24
35. (VMO 1981). Giải HPT:
.
xz
yt
x y z t 0
2t1 t2 a1
t 2t t a
2
3
2
1
t 2t3 t4 a3
36. (Kỳ thi đặc biệt tại Huế, 1981). Giải HPT: 2
.
...........................
tn 2 2tn 1 tn an 1
tn 1 2tn an
37. Tìm nghiệm nguyên dương của PT: 2 x 2 y 2 z 2336
x y z .
38. (VMO 1993, bảng B). Giải BPT: 3 12 x 3 14 x 2 .
x 2 3x ln 2 x 1 y
40. (VMO 1994, bảng B). Giải HPT: 2
.
y 3 y ln 2 y 1 x
41. (VMO 1995, bảng A). Giải PT: x 3 3 x 2 8 x 40 8 4 4 x 4 0 .
42. (VMO 1995, bảng B). Giải PT: 2 x 2 11x 21 3 3 4 x 4 0 .
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
4
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
1
3 x 1
2
x y
43. (VMO 1996, bảng A). Giải HPT:
.
7 y 1 1 4 2
x y
1 42 x y .51 2 x y 1 22 x y 1
44. (VMO 1999, bảng A). Giải PT:
.
3
2
y 4 x 1 ln y 2 x 0
7 x y 2 x y 5
45. (VMO 2001, bảng B). Giải HPT:
.
2 x y x y 2
46. (VMO 2002, bảng A). Giải PT:
4 3 10 3x x 2 .
x 3 x x z 2 2
2
47. (VMO 2004, bảng A). Giải HPT: y 3 y z x 30 .
3
2
z z x y 16
3
2
x 3xy 49
48. (VMO 2004, bảng B). Giải HPT: 2
.
2
x 8 xy y 8 y 17 x
x 2 2 x 6.log 6 y x
3
2
49. (VMO 2006, bảng A). Giải HPT: y 2 y 6.log 3 6 z y .
2
z 2 z 6.log 3 6 x z
x 3 3x 2 2 x 5 y
50. (VMO 2006, bảng B). Giải HPT : y 3 3 y 2 2 y 5 z .
3
2
z 3z 2 z 5 x
12
1
x 2
y 3 x
51. (VMO 2007). Giải HPT:
.
1 1 y 6
y 3x
x 2 y 3 29
52. (VMO 2008). Hãy xác định số nghiệm của HPT ( ẩn x, y ) sau:
.
log 3 x.log 3 y 1
1
1
2
1 2 xy
1 2 x2
1 2 y2
53. (VMO 2009). Giải HPT:
.
2
x 1 2 x y 1 2 y 9
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
5
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
x 4 y 4 240
54. (VMO 2010). Giải HPT: 3
.
2
3
2
x 2 y 3 x 4 y 4 x 8 y
x 2 3x 2 9 x 2 4 x 2 16 5 .
55. Giải PT:
3
56. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để BPT sau có nghiệm: m3 x 1
m
x 1
2
4 m3 sin
x
.
2
57. Giải BPT: 2 x 2 2 x 30 2013. 30 4 x 2013 30. 2013 .
2
2
2
x y z 2 xy zx zy 3
58. Giải HPT: 2
.
2
x y yz zx 2 xy 1
a 2 b 2 c 2 169
59. Với giá trị nào của u , v thì HPT:
2u v .134
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a ua vb b ub vc c uc va
4
có nghiệm nguyên dương a, b, c ?
2 2
x x9 .
x 1
60. Giải PT:
61. Giải BPT:
2x 4 2 2 x
12 x 8
9 x 2 16
.
62. Giải PT: 13 x 2 x 4 9 x 2 x 4 16 .
63. Giải PT:
x 3x 2
2 x4 x3 7 x2 3x 3 2 .
2
1 13
1 13
y x 16 x y x x 16
97
64. Giải HPT: x 2 y 2
.
36
x 0
y 0
x y z xyz
65. Giải HPT:
.
2
2
2
2
2
2
x y 1 z 1 y x 1 z 1 z x 1 y 1 0
2
66. Giải BPT: x 2
2x .
2
x 6x 5
x2 y2 1
67. Trong các nghiệm thực x, y, z , t của HPT: z 2 t 2 2 .
xt yz 2
Hãy tìm nghiệm sao cho tổng y t nhỏ nhất.
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
6
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
68. Biết rằng PT: x 4 2 x 2 3 x 1 0 (1) có nghiệm dương x0 . Chứng minh rằng:
x0 không phải là nghiệm của PT:
9
162 x0 2 và
3 x x x 1 4 .
69. Giải BPT: 2 x 1 x x 2 2 x 1 x 2 2 x 3 0 .
x 4 y2 8 y
70. Giải HPT: y 4 z 2 8 z .
2
z 4 x 8 x
71. Giải PT: 3 x x 1 5 2 x x 3 10 x 2 34 x 40 .
x 2 3 2 x y 3
72. Giải HPT:
y 2 3 2 y x 3
2
1
1
2 sin x
sin x
7
sin x
sin x
74. Tìm m để BPT:
2 vô nghiệm.
2
1
1
3 sin x
sin x
m 12
sin x
sin x
75. Giải PT: 11x 2 14 x 9 11x 2 2 x 3 17 x 2 2 x 3 2 2 x 2 .
x
y
1 y 1 x 2
1 x 1 y 2
76. Giải HPT:
x
y
1
2
2
1 x 1 y 2
1 y2
1 x
2 2
1 x 2 1 y 2
.
77. Giải PT: 3log 3 1 x 3 x 2 log 2 x .
x x 2 2 x 2 2012 y 1 1
78. Giải HPT:
y y 2 2 y 2 2012 x 1 1
75 x x 1 75 x1 2012 x 2012
79. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 2
x m 2 x 2m 3 0
2 xy
2
2
x y x y 1
80. Giải HPT:
.
x y x2 y
log 2 x y 5 log 32 x y 2
81. Giải HPT:
.
2
2
2
2
x y 1 x y 3
3
82. Giải PT: 8sin 3 x 1 162 sin x 27 0
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
7
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
x 2 y 1 3
83. Giải HPT:
.
3
2
x 4 x y 1 9 x 8 y 52 4 xy
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
x4 y4 x2 y 2 x y
2
84. Giải HPT: y 4 x 4 y 2 x 2 y x
.
2
6
x y 8x 6 0
1 xy xy x
85. Giải HPT: 1
.
1
y
y
3
y
x
x x
x3 y 1 y x 2 y 2 2 y xy 3 30
86. Giải HPT: 2
.
2
x y x 1 y y y 11
x y x y 4x y
87. Giải HPT:
.
x 2 16 2 y 3 x
2 x 2 2 x y 1 34 2 xy x
88. Giải HPT:
.
2
2 y 2 x y 1 34 xy 2 y
1 4x
2 x 1 log 32 y 1
89. Giải HPT: log y 3
.
x
1 log 3 y 1 2 2
7
2
2
2 x 1 2 y 1 xy
90. Giải HPT:
.
2
2
2
x y xy 7 x 6 y 14 0
1
y 2 x
2
x
y
x
91. Giải HPT:
.
y x2 1 1 3 x2 1
6x
2 3x y 3 y
92. Giải HPT: y
2 3x 3x y 6 x 3 y 4
x y z t 12
2
2
2
2
x y z t 50
93. Tìm các số x; y; z; t thỏa mãn HPT: 3
.
3
3
3
x y z t 252
x 2t 2 y 2 z 2 2 xyzt
94. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của PT:
4x 6 y 9x 6 y
x2 y 2
313 .
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
8
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
x
35
95. Giải BPT: x
.
x 2 1 12
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
96. Tìm tất cả các cặp số thực x; y thỏa mãn BPT: x y x y 2 1 1 .
97. Xác định tất cả các nghiệm số nguyên của PT vô định: x 3 x 2 y xy 2 y 3 8 x 2 xy y 2 1 .
98. Tìm tất cả các số tự nhiên x, y thỏa mãn PT:
99. Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất:
x y
4
3361 11296320 .
x 1 x 2m x 1 x 2 4 x 1 x m3 .
100. Giải PT: 16 x 6 16 x 5 20 x 4 20 x3 5 x 2 2 x 7 0 .
45
101. Giải PT: x 2 2 x 5 x 2 4 x 40 x 2 5 x .
4
102. Cho a, b, c, d \ 30; 4;14;10 là bốn tham số đôi một phân biệt và x, y , z , t là các ẩn số.
y
z
t
x
a 30 a 4 a 14 a 10 1
x y z t 1
b 30 b 4 b 14 b 10
Hãy giải HPT:
.
x
y
z
t
1
c 30 c 4 c 14 c 10
x
y
z
t
1
d 30 d 4 d 14 d 10
x y z kx y z k 3 2k 2
103. Cho k 1 . Giải HPT: x y z x ky z 4k 2 8k .
x y z x y kz 4k 8
104. Tìm tất cả các cặp x; y với x, y thỏa x y 1 2 y x 1
3
xy .
2
x y z 3
105. Tìm tất cả các bộ x; y; z với x, y, z là những số nguyên thỏa mãn HPT: 3
.
3
3
x y z 3
x y
y z
106. Tìm m để HPT:
z x
xy
xy 16 xy
yz 25 yz
có nghiệm x, y, z 0 .
zx 36 zx
yz zx m xyz
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
9
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
3
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
2
1 2 x x
y
2012
2 y3 y2
1
107. Giải HPT:
z.
2012
2 z3 z2
1
x
2012
2 x 2012 y 2010 z 2010
108. Tìm tất cả các bộ ba số dương x; y; z thỏa HPT: 2 y 2012 z 2010 x 2010 .
2012
x 2010 y 2010
2 z
x2 y2 y x z
109. Giải HPT: x 2 x y 2 yz
.
3 x 2 8 y 2 8 xy 8 yz 2 x 4 z 2
x1 x2 x32012
2012
x2 x3 x4
110. Giải HPT: ..................
.
2012
x2011 x2012 x1
x x x 2012
2
2012 1
y 3 6 x 2 12 x 8 0
111. Giải HPT: z 3 6 y 2 12 y 8 0 .
3
2
x 6 z 12 z 8 0
x2 y 1
112. Giải HPT: y 2 z 1 ..
2
z x 1
x y 2 y x 3 x 2 x 1
113. Giải HPT:
.
y x 2 x y 3 y 2 y 1
2 x 3 3x 2 18 y 2 y
114. Giải HPT: 2 y 3 3 y 2 18 z 2 z .
3
2
2
2 z 3 z 18 x x
x y z 2012
115. Giải HPT:
.
1
1
3 x 2 y x 2 y 2 z
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
10
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
6 x 2 x 3 6 x 5 x 2 2 x 6 x 3 4
116. Giải HPT:
.
2
2
x 1 2
x
y
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
a2 1
xa ya za 3
1
117. Giải HPT:
a2 1
a
x
a
y
a
z
3
a
a 1 .
2013
1 x1 1 x2 ... 1 x2012 2012
2012
118. Giải HPT:
.
2011
1 x 1 x ... 1 x
1
2
2012 2012
2012
1
1
1
x y z 2
1
1
1
119. Giải HPT:
.
y zx 3
1
1
1
z x y 4
4
120. Giải HPT:
4
1 2
x
4
1 2
y
4
x y
2
x y
.
x y
1
x y
121. Giải PT: 32 x 4 80 x3 50 x 2 4 x 3 4 x 1 0 .
5
2
x y z 3
122. Giải HPT: y 2 z x 3
z2 x y 1
3
3
3
2
x 8 y 4 xy 1
123. Giải HPT: 4
.
4
2 x 8 y 2 x y 0
x 1 y 2 1 z 2 x yz
124. Giải HPT: y 1 z 2 1 x 2 y zx .
2
2
z 1 x 1 y z xy
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
11
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
4
3
2
125. Tìm số a lớn nhất để PT: x ax bx cx d 0 a; b; c; d có 4 nghiệm x1 ; x2 ; x3 ; x4 thỏa
x12
2012
x22
2012
x32
2012
x42
2012
4 . Trong trường hợp đó hãy tính b; c; d .
126. Giải PT: x 3 6 x 2 12 x 7 3 x3 9 x 2 19 x 11 .
12 2 x 2 y 4
127. Giải HPT:
.
2
1
2
y
y
5
2
x
1
2
2
5 x 5 2 y 3
x
128. Giải HPT:
.
1 x 1 2 y 3
2
x
129. Giải PT:
n
ax n ax n bx n bx
ax
ax
b x
b x
( với a, b là các số thực dương )
x2 y2 2x 4 y 4 m 0
130. Định m để hệ sau có nghiệm:
.
3
x
4
y
5
0
u 1 v 2 6
131. Giải HPT: v 2 t 3 12 ; u , v, t .
t 3 u 1 8
132. Giải PT: x 6 y y 6 x 5 x 5 y 12 xy 0 ; x, y .
x1 x2 2 x2 x3
...
133. Giải HPT: x2012 x2013 2 x2013 x1 .
x2013 x1 2 x1 x2
x 2013, x 0
2
1
x 2 y y 2 x 2
134. Giải HPT:
.
2
2
x y x y 2
2 x12
x2
2
1
x
1
2x2
2 x3
135. Giải HPT: 1 x22
.
...
2 xn2
x1
2
1
x
n
136. Giải PT: x 3 3x 2 3 3 3x 5 1 3x .
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
12
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
x2 y2 2
137. Giải HPT: z 2 2 z x y 8 .
z y x 4 3
2
37
138. Giải PT:
4 x 1 9 x 2 26 x
0.
3
3
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
139. Tìm nghiệm nguyên dương của PT: y 2 x 2 x 2 x 1 x 1
140. Giải PT:
2
2 x 2 4 2x 2 1.
2 x y 2 1 y y 2 9
141. Giải HPT: 2 y z 2 1 z z 2 9 .
2
2
2 z x 1 x x 9
16 x 3 y 3 9 y 3 2 xy y 4 xy 2 3
142. Giải HPT:
.
2 2
2
2
4
x
y
2
xy
y
3
143. Giải PT:
4 x 1 4 8 x 3 4 x 4 3x 2 5 x .
144. Tìm các cặp số nguyên x; y thỏa: y 2010 x 2010 x1340 x 670 2 .
3 1
x x2 y y 2 z z2
3 .
145. Giải HPT:
2 3
x y y z z x x y z 9
x y 2011
146. Tìm các bộ ba x; y; z nguyên dương sao cho: y z 2011
.
2
2
2
x y z
( Ký hiệu , lần lượt là tập hợp các số hữu tỉ , tập hợp các số nguyên tố).
147. Giải PT:
4 x 2 4 x 1 x 2 y 2 2 y 3 4 x 4 16 5 y .
x y z 3
148. Biết HPT: x 3 y 3 z 3 15 có một bộ nghiệm x; y; z thỏa x 2 y 2 z 2 10 .
x 4 y 4 z 4 35
Hãy tính x 5 y 5 z 5 .
149. Giải PT:
1
4 x 4 y 2 16 x 2 y 9 x 2 y 2 2 y 2 2 x 2 2 với x 0 .
x
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
13
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
2 x 3x 2 z 3 z
3
y 3 y 2 x 2 3x 2
150. Giải HPT:
.
2
2
y z 6z
z 3
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
x 1 4 . y 2 2 .z 3 .t 6 1024
151. Giải HPT: 4 x 2 z 3 16 y t 6 8 x 16 .
x 1; y 2; z 0; t 0
152. Tìm x; y; z thỏa mãn PT: 3 x 2 6 y 2 2 z 2 3 y 2 z 2 18 x 6 0 .
1
1
1
3 x 4 y 5 z
153.(USAOP 1990). Giải HPT:
x
y
z .
xy yz zx 1
y 6 y 3 2 x 2 xy x 2 y 3
154. Tìm mọi cặp số thực x; y thỏa hệ:
.
1
2
3
3
2
4 xy y 2 x 1 2 x y
2
2 x y 3z 2
155. Tìm nghiệm nguyên của HPT:
3
3
3 .
2 x 1 y 1 6 2 3 z
y x 2012
156. Cho HPT: z 2 y 2012 . Tìm nghiệm x; y; z; w sao cho x; y; z; w 0 và x có giá trị bé nhất.
w 3z 2012
157. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
x 3 2 3 y z x 2 12 y 2 8 yz z 2 x 8 y 3 8 y 2 z 2 z 2 y 2 z 3 40 0 .
158. Tìm nghiệm nguyên dương của PT:
2012
x
y
2011
2
.
x y y 2011 4023 2012 x z
x y z 0
159. Giải HPT: x 2 y 2 z 2 50 .
x 7 y 7 y 7 350
11
160. Gọi x1 ; x2 ; x3 là ba nghiệm phân biệt của PT: x 3 x 1 0 . Tính tổng x111 x11
2 x3 .
xi xi 1 xi 2 xi 3 2012 2012 xi 4
161. Giải HPT:
với x11 x1; x12 x2 ; x13 x3 ; x14 x4 .
i 1,10
x y
162. Giải PT: 4 3 4 x x 2 sin 2
2cos x y 13 4 cos2 x y .
2
163. Giải PT: 1 x1 1 x2 ... 1 x120 1 x1 1 x2 ... 1 x120 2120 trên đoạn 1;1 .
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
14
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
x an
x1 a1 x2 a2
... n
b2
bn .
164. Giải HPT: b1
x x ... x a
1 2
n
x1 x2 x3 0
x2 x3 x4 0
.......................
165. Giải HPT:
.
x98 x99 x100 0
x99 x100 x1 0
x100 x2 x1 0
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
x 2 xy y 2 37
166. Giải HPT: x 2 xz z 2 28 .
2
2
y yz z 19
x y z 13
167. Giải HPT: x 2 y 2 z 2 61 .
xy xz 2 yz
x2 y 2 z2
168. Giải HPT: xy yz zx 47 .
zx zy 2
xy x y z
169. Giải HPT: xz 2 x y z .
yz 3 x y z
x 2 y 2 z 2 50
170. Giải HPT: xyz 60
.
xy 4 x 5 y 20 0
x y z 1
171. Giải HPT: 4
.
4
4
x y z xyz
x 3 y 3 x 2 y z xyz 14
172. Giải HPT: y 3 z 3 y 2 z x xyz 21 .
3
3
2
z x z x y xyz 7
1 x1 x2 0
1 x1 x3 0
173. Giải HPT: ................. .
1 x x 0
n 1 n
1 xn x1 0
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
15
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
x1 x2 x1 x3 x2 x3 x4 2
x x x x x x x 2
174. Giải HPT: 1 2 1 4 2 4 3
.
x
x
x
x
x
x
x
2
1 3 1 4 3 4 2
x2 x3 x2 x4 x3 x4 x1 2
175. Giải PT: sin x 2 sin 2 x sin x 1 3 3 3sin x 1 1 .
17 3 x 5 x 3 y 14 4 y 0
176. Giải HPT:
.
2
2 2 x y 5 3 3 x 2 y 11 x 6 x 13
x sin ycos z 2 x y z
3
177. Gọi x; y; z là nghiệm của HPT:
với ; .
2
2 x 3 y 13 z 7
Hãy tính x y .z .
178.(AIME 1984). Xác định x 2 y 2 z 2 t 2 biết x; y; z; t là nghiệm của HPT sau:
x2
y2
z2
t2
22 12 22 32 22 52 22 7 2 1
2
x
y2
z2
t2
42 12 42 32 42 52 42 7 2 1
.
2
2
z2
t2
x y
1
62 12 62 32 62 52 62 7 2
2
2
z2
t2
x y
1
82 12 82 32 82 52 82 7 2
x1 x2 x3 2 x2 x4 x5 x2
x2 x3 x4 2 x3 x5 x1 x3
2
179. Giải HPT: x3 x4 x5 x4 x1 x2 x4 .
2
x4 x5 x1 x5 x2 x3 x5
2
x5 x1 x2 x1 x3 x4 x1
1 x 1 x 2 1 x 4 1 y 7
180. Giải HPT:
.
2
4
7
1 y 1 y 1 y 1 x
2
181. Giải PT: 2 2 x 1 x 2 2 x 2 x 2 x 1 2 .
2
182. Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: x 3 y 3 x y .
183. (Korean Mathematics Competition 2000). Giải PT: 2 x 3x 4 x 6 x 9 x 1 .
2
184. Giải PT: z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 360 ; z .
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
16
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
185. Giải PT:
x y 2 z 2 u v x y z u v .
186. Giải PT:
x 4 x 16 x ... 4 n x 3 x 1 (*)
187. Giải PT:
x1 1 2 x2 4 ... n xn n 2
x1 x2 ... xn .
2
y 2 u 2 v 2 w2 4 x 1
2
2
2
2
x u v w 4 y 1
188. Giải HPT: x 2 y 2 v 2 w2 4u 1 .
x 2 y 2 u 2 w2 4v 1
x 2 y 2 u 2 v 2 4w 1
x 4 8 y 4 x3 1 16 3
189. Giải HPT:
.
4
3
y
8
x
4
y
1
16
3
7
2
2
2 x 1 2 y 1 xy
190. Giải HPT:
.
2
2
2
x y xy 7 x 6 y 14 0
1
2
191. Giải PT: x 4 x 1 4
5 x 2 .
x x 1
192. Giải PT: 3 12 x 2 46 x 15 3 x3 5 x 1 2 x 1 .
3 x y x 3 y xy 14
193. Giải HPT:
.
2
2
x y x 14 xy y 36
121x 122 y
4
4
x y
4 xy
194. Giải HPT:
.
122
x
121
y
4
2
2
4
x 14 x y y
x2 y 2
x 4 2 x 3 y 2 x 2 y 2 12 xy 3 8 y 4 1 0
195. Giải HPT: 3
.
4
2 x y y 1
196. Giải PT:
3
x2 1 x3 2 x 0 .
y 2 x2 x 2 1
2
e
y 1
197. Giải HPT:
.
3log x 2 y 6 2 log x y 2 1
3
2
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
17
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
x y sin x
e sin y
198. Giải HPT: 10 x 6 1 3 y 4 1 .
x, y ; 5
4
199. Giải PT:
13
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
3125.x14 1339 25. x 6 4 x 2 13 3125 4 6 5.13 3125 0 .
2
2
2
2
2
2
200. Giải PT: 252sin x 252cos x 212sin x 212cos x 42sin x 42cos x .
y 2 3 x 3
2 z y y 2 9 4 y
201. Giải HPT:
.
x2 z2 4x
z 0
x 33 3 2 y
z2 4 y2 8 y
202. Giải HPT:
.
2
z
x
x
3
5
x
16
z 0
2 yz zx xy xyz
203. Giải HPT: 3 zx xy yz xyz .
4 xy yz zx xyz
x y y z 4 xy 2 z
204. Giải HPT: y z z x 4 yz 2 x .
2
z x x y 4 zx y
9 x 4 y 17
205. (HSG tỉnh Thừa Thiến Huế năm 2009-2010). Giải HPT:
.
x
y
x
y
log
3
2
log
3
2
1
5
17
206. (HSG tỉnh Gia Lai năm 2009-2010).
1 cos2 x
2 cos 2 x
2009.cos x
Giải PT:
.
1 cos x sin x cos2 x 3cos x sin x 2 cos 2 x cos3 x sin 3 x
2010
y x3
207. Giải HPT: 2 z 2 y y 1 4 y .
2
x z 4 x 0
2 x 2 y x 2 1
208. Giải HPT: 3 y 3 z y 4 y 2 1
.
4
6
4
2
4 z x z z z 1
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
18
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
1
1
x
1
209. Giải PT: x ln 1
x
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
1
1 2
x
1
x x3 ln 1 2
x
1 ( với x 0 ).
4x2 2
x6 3x 2 1 .
6
2
x x 1
1
1
1
x y z 3 3
211. Giải HPT: x y z 1
.
7
xy yz zx
2 xyz
27
210. Giải PT: log 2012
2013
2012
x y xy z 2 2 z 2
2014
212. Giải HPT: x 4 y 4 2 z 2
.
z 1
x y
x y z 2014
log 2 x 1 x y
213. Giải HPT: 1 x y 1 x y 1 x y
.
6
3
61 x y 31 x y 91 x y
9
2013
3 x y 2
1
214. Giải HPT: log 3
log 1 y 2 log 1 9 4 y
2z y
3
3
2
2
log 2 x z 2 log 2 x
để tìm nghiệm x0 ; y0 ; z0 thỏa z0 0 .
3
2
4
x y m y
215. Chứng minh rằng m , HPT sau có nghiệm duy nhất 2
.
2
2
3
x y 2 xy y
2x2
y
2
x 1
3 y3
216. Giải HPT: 4
z
.
2
y
y
1
4z4
x
6
z z4 z2 1
x3 y 2 3 y 3 3 y 2
217. Giải HPT: y 3 z 2 3 z 3 3 z 2 .
3 2
2
z x 3x 3 3x
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
19
Bài tập chuyên đề: PT, HPT, BPT, Hệ BPT
Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Quốc gia
2013
x
x
x3
1
2
x1 x2
2013
x2 x3 x x x4
2 3
218. Tìm nghiệm nguyên dương của HPT: ...
.
2013
x2012 x2013
x1
x2012 x2013
2013
x2013 x1
x2
x2013 x1
219. Cho a 1 , hãy tìm tất cả các bộ ba số thực x; y; z sao cho y 1 thỏa PT:
log
2
a
xy log a x
3
3
y xyz
2
8 4z y2
0.
2
y y2 9
x y x 2 xy y 2 2 6 ln
x x2 9 .
220. Giải HPT:
3
2
x 2 x 1 y
y 1
x 1
x
z 1
221. Giải HPT: y 1
.
y
z 1 x 1
z
2 x 3 3x 2 18 y 3 y
222. Giải HPT: 2 y 3 3 y 2 18 z 3 z .
2
3
2 z 3 z 18 x x
223. Giải PT: sin x.2012 sin 2 x 2012 cos x 1 2012 cos 2 x 2 cos x 2013 cos x sin x 1 .
x 2 2 x 22 y y 2 2 y 1
224. Giải HPT:
.
2
2
y 2 y 22 x x 2 x 1
225. Tìm nghiệm nguyên dương của PT sau:
x3 3x x 2 1
8 3
2
x2 4
3
x3 3x x 2 1
2
x 2 4
y 2 z 2 16 với điều kiện: 2 y x 10
x2 y 2
y2z2
z2 x2
1
4 2
226. Giải HPT: x y x 2 y 2 1 y 4 z 2 y 2 z 2 1 z 4 x 2 z 2 x 2 1 .
xyz 1
VĂN PHÚ QUỐC- Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm -Quảng Nam (0982 333 443)
20
- Xem thêm -
.PDF 
33 
469 
64 
