Bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học 12-lê hoành phò

  • Số trang: 334 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 149 |
  • Lượt tải: 0
dangvantuan

Đã đăng 42096 tài liệu

Mô tả:

T hS. L E H O A N H P H O e i B H O O I D C L S f I d N N H G , G I O I - Ddnh cho HS lop 12 on tap & nang cao klnang lam bdi Chudn bi cho cdc ki thi qudc gia do Bd GD&DT to chac. T O A N i Boi duBng hoc sinh gioi Toan Dai so 10-1. - Boi duQng hoc sinh gioi Toan Dai so 10-2. - Boi dii9ng hoc sinh gioi Toan Hinh hoc 10. Boi duQng hoc sinh gioi Toan Dai so 11. Boi duQng hoc sinh gioi Toan Hinh hoc 11. Bp de thi ta luan Toan hoc. Phan dang va phirong phap giai Toan So' phtfc. Phan dang va phuong phap giai Toan To hdp va Xac suat. 1234 Bai tap tu luan dien hinh Dai so giai tfch 1234 Bai tap tii luan dien hinh Hinh hoc iu'g'ng giac ThS. L E H O A N H Nha gido Uu tu B O I D H O C U S Q I N N G H PHO , G I O I T O A - Danh cho HS lap 12 on tap & nGng cao kinang lam bai. - Chudn bi cho cdc ki thi quoc gia do Bo GD&DT td choc. erjd ©G 1 N6I NHA XUAT BAN DA! HQC QUOC GtA HA NQI N Ldi N6l D A U De giup cho hoc sinh lap 12 cd them tai lieu tu boi dudng, nang cao va ren luyen ki nang gidi todn theo chuong trinh phdn ban moi. Trung tdm sdch gido due ANPHA xin trdn trong gioi thieu quy ban dong nghiep vd cdc em hoc sinh cuon: "Bdi dudng hoc sinh gidi todn Hinh hoc 12" nay. Cuon sdch nay nam trong bd sdch 6 cuon gom: - Boi duong hoc sinh gidi todn Hinh hoc 10. - Bdi duong hoc sinh gidi todn Dqi so 10. - Boi dudng hoc sinh gidi todn Hinh hoc 11. - Bdi duong hoc sinh gidi todn Dqi so - Gidi tich 11. - Boi duong hoc sinh gidi todn Hinh hoc 12. - Boi duong hoc sinh gidi todn Gidi tich 12. do nhd gido uu tu, Thac si Le Hoanh Phd to chuc bien soqn. Ndi dung sdch duoc bien soqn theo chuong trinh phdn ban: co bdn vd ndng cao mdi cua Bd GD & DT, trong dd mdt so van de duoc mo rong vdi cdc dang bai tap hay va khd dephuc vu cho cdc em yeu thich muon ndng cao todn hoc, cd dieu kien phdt trien tot nhd't khd nang ciia minh. Cuon sdch la sukethua nhung hieu bii't chuyen mdn vd kinh nghiem gidng day cua chinh tdc gid trong qua trinh true tiep dung lop boi duong cho hoc sinh gidi cdc lop chuyen todn. Vdi mot noi dung sue tich, tdc gid dd cogang sap xep, chon loc cdc bdi todn tieu bieu cho tirng the loai khdc nhau ung vdi ndi dung ciia SGK. Mot so bai tap cd the klw nhung cdch giai duoc dim tren nen tdng kien thuc vd ki ndng co ban. Hoc sinh can tu minh hoan thien cdc ki ndng cung nhu phdt trien tu duy qua viec gidi cdu bdi tap cd trong sdch trudc khi ddi chie'u vdi loi giai cd trong sdch nay, cd the mot so ldi gidi cd trong sdch cdn cd dong, hoc sinh cd the'tu minh lam rd hon, chi tiei hon, cung nhu tu minh dua ra nhirng cdch lap luqn moi hon. Chung tdi hy vong bd sdch nay se la mdt tdi lieu thiet thuc, bo ich cho ngudi day vd hoc, dqc biet cdc em hoc sinh yeu thich mdn todn vd hoc sinh chuan bi cho cdc ky thi qudc gia do Bd GD & DT to chuc sap tdi. Trong qua trinh bien soqn, cudn sdch nay khdng the tranh khdi nhung thieu sdt, chung tdi ra't mong nhdn duoc gdp y ciia ban doc gan xa debo sdch hoan thien hon trong lan tdi ban. Moi y kien dong gop xin lien he: Trung tam sach giao due Anpha 225C Nguyen Tri Phucmg, P.9, Q.5, Tp. HCM. - Cong ti sach - thiet bi giao due Anpha 50 Nguyen Van Sang,'Q. Tan Phii, Tp. HCM. DT: 08. 62676463, 38547464. Email: alphabookcenter@yahoo.com Xin chan thanh cam on! Tdc gid C h u o n g §1. K H O I I :K H O I B A D I E N V A T H E D A D I E N V A P H E P B I E N T I C H H I N H A. KIEN THUC CO BAN - Hinh da dien gom mot so huu han da giac phang thoa man hai dieu kien: (1) Hai da giac bat ki hoac khong co diem chung, hoac co mot dinh chung, hoac co mot canh chung. (2) M o i canh cua mot da giac la canh chung cua dung hai da giac. Hinh da dien chia khong gian lam hai phan: phan ben trong va phan ben ngoai. Hinh da dien ciing voi phan ben trong cua no goi la khoi da dien. M o i khoi da dien co the phan chia duoc thanh nhirng khoi tii dien. Phep doi hinh trong khong gian la phep bien hinh bao toan khoang each giua hai diem bat ki. Phep tinh tien, phep doi xung true, doi xung tam, phep doi xung qua mat phang la nhirng phep ddi hinh. Hai hinh da dien gpi la bang nhau neu co mot phep doi hinh bien hinh nay thanh hinh kia. - Phep v i tu tam O ti so k * 0 la phep bien hinh moi diem M thanh diem M ' sao cho O M ' = k O M . Hinh H duoc goi la dong dang vdi hinh H ' neu co mot phep v i tu bien hinh H thanh H i ma hinh H i bang hinh H'. - Mot khoi da dien duoc goi la khoi da dien loi neu bat k i hai diem A va B nao cua no thi moi diem cua doan thang A B cung thuoc khoi do. Khoi da dien deu goi la khoi da dien loi co hai tinh chat sau day: (1) Cac mat la nhirng da giac deu va co cung so canh; (2) M o i dinh la dinh chung cua cung mot so canh. - Co nam loai khoi da dien deu: khoi tu dien deu, khoi lap phuong, khoi tam mat deu, khoi mudi hai mat deu, khoi hai muoi mat deu. B. P H A N D A N G T O A N D A N G 1: K H 6 l O A D l £ N Hinh H ciing vdi cac diem nam trong H duoc goi la khoi da dien gidi han bdi hinh H . M o i da giac cua hinh H duoc goi la mot mat ciia khoi da dien. Cac dinh, cac canh cua moi mat con goi la dinh, canh cua khoi da dien. Cac diem nam trong hinh H con goi la diem trong cua khoi da dien. Khoi da dien duoc goi la khoi chop, khoi chop cut neu no duoc gidi han bdi mot hinh chop, hinh chop cut. Tuong tu cho kh6i chop n-giac, khoi chop cut n-giac, khoi chop deu, khoi tii dien,... Khoi da dien dugc goi la khoi lang tru neu no duoc gioi han boi mpt hinh lang tru, tuong tu cho khoi hop, khoi hop chu nhat, khoi lap phuong... Phan chia va lap ghep cac khoi da dien: M o i khoi chop va khoi lang tru luon co the phan chia duoc thanh nhung khoi tu dien bang nhieu each khac nhau. Chu y: Dac so O-le cua khoi da dien loi: Doi voi moi khdi da dien loi H . ta ki hieu D la so dinh, C la so canh, M la so mat ciia H thi so / ( H ) = B - C + M = 2. V i du 1: Chung minh rang neu khoi da dien co cac mat la tam giac thi so mat phai la so chan. Hay chi ra nhirng khoi da dien nhu the voi so mat bang 4. 6. 8. 10. Giai Gpi s6 canh cua khoi da dien la C. so mat la M . V i moi mat co ba canh va moi canh lai chung cho hai mat nen 3M = 2C. Suy ra M la so chan. Sau day la mpt so khoi da dien co so cac mat tam giac la 4, 6. 8. 10. V i du 2: Chiing minh rang moi dinh ciia mpt hinh da dien la dinh chung ciia it nhat ba canh va la dinh chung ciia it nhat ba mat. Giai Ta dirng phan chiing. Neu xuat phat tir mpt dinh nao do chi co hai canh. thi moi canh nhu thi la canh ciia chi mpt da giac. trai voi dieu kien trong djnh nghia ciia hinh da dien. Vay moi dinh phai la dinh chung ciia it nhat la ba canh. va vi vay no ciing phai la dinh chung ciia ba mat. V i du 3: Chiing minh rang n i u khoi da dien co moi dinh la dinh chung cua ba canh thi so dinh phai la so chan. 6 Vi Giai Gia sir khoi da dien co C canh va co D dinh. V i moi dinh la dinh chung cua ba canh va moi canh co hai dinh nen 3D = 2C. Vay D phai la so chan. du 4: Chung minh rang n i u khdi da dien co cac mat la tam giac va moi dinh la dinh chung cua ba canh thi do la khoi tti dien. Giai Goi A la mot dinh ciia khoi da dien. Theo gia thiet, dinh A la dinh chung cho ba canh, ta goi ba canh do la A B , AC, A D . Canh A B phai la canh chung ciia hai mat tam giac, do B la hai mat ABC va A D B (vi qua dinh A chi co 3 canh). Tuong tu, ta co cac mat tam giac ACD va BCD. Vay khoi da dien do chinh la khoi t i i dien ABCD. du 5: Chiing minh rang, so goc ciia tat ca cac mat gap doi so canh ciia khoi da dien. Suy ra so goc chan. Giai Goi so goc la G va so canh ciia khoi da dien la C. Trong moi mat la da giac thi so goc bang so canh, ma so canh duoc tinh 2 lan nen G = 2C, do do G chan. du 6: Chiing minh khong ton tai khoi da dien co mot so le mat va moi mat lai co mot so le canh. Giai Gia su ton tai khoi da dien co so mat la M le va moi mat chiia so le canh C „ i = 1,2,...',M. Ta co so goc ciia khoi da dien: G = Ci + C + ... + C => G le: vo ly. Vay khong ton tai khoi da dien thoa de bai. du 7: Chiing minh dac so O-le ciia khoi da dien loi: Doi voi moi khoi da dien loi H , ta ki hieu D la so dinh, C la so canh, M la so mat ciia H thi so X(H) = D - C + M = 2. Giai Ta chiing minh quy nap theo so dinh D > 4. Khi D = 4 thi khdi da dien la tii dien co D = 4. C = 6, M = 4 nen A Vi Vi 2 Vi M D - C + M = 4 - 6 + 4 = 2: diing. Gia sir khang dinh diing voi so dinh D : D - C + M = 2. Xet khoi da dien co D' = D + 1 dinh. Goi A la mot dinh va mat A1A2...A,, la mot mat ciia khoi da dien sao cho mat phang chiia mat nay chia khong gian lam 2 phan, mot phan chiia dinh A va phan kia chiia khoi da dien loi co D dinh con lai, ta co D - C + M = 2. So dinh D' = D + 1. so canh C = C + n, s6 mat M ' = M + n - 1 Do do: B' - C + M' = (B + 1) - (C + n) + (M + n -1) = B - C + M = 2. 7 Vay x(H) = D - C + M = 2. Cach khac: Diing phep chieu tir mot diem S khong thuoc bat ky mat nao, mat di qua 3 dinh nao ciia khoi da dien. V i du 8: Chung minh khong ton tai khoi da dien loi co 7 canh. Giai Gia sir ton tai khoi da dien loi co C = 7. Ta co dac s6 O-le: D - C + M = 2. nen D + M = 9. V i D > 4, M > 4 nen hoac D = 4, M = 5 hoac D = 5, M = 4. V o i D = 4 thi khoi da dien loi la ru dien: loai V o i M = 4 thi khoi da dien loi la tu dien: loai Vay khong ton tai khoi da dien loi co 7 canh. V i du 9: Cho khoi da dien. Chung minh tong so do cac goc ciia cac mat la T = 2(C-M)7t. Giai Goi Cj la so canh ciia mat thu i , i = 1, 2,...,M M f M \ T a c 6 T = £ ( C , - 2 ) T T = £ C , - 2 M n = (2C - 2 J v l > = 2(C - M ) T T . V i du 10: Hay phan chia mot khoi hop thanh nam khoi tir dien. Giai Co the phan chia khoi hop ABCD.A'B'C'D' thanh nam kh6i tii dien sau day: A B D A ' , C B D C , B'A'C'B, D'A'C'D, B D A ' C . V i du 11: Hay phan chia mot khoi tii dien thanh bon khoi tir dien bdi hai mat phang. Giai Cho khoi t i i dien ABCD. Lay diem M nam giua A va B, diem N nam giua C va D. Bang hai mat phang (MCD) va (NAB), ta chia khoi t i i dien da cho thanh bon khoi t i i dien: A M C N , AMND, BMCN, BMND. D A N G 2: PHEP D O I HINH - Mot phep bien hinh F trong khong gian duoc goi la phep ddi hinh neu no bao toan khoang each giua hai diem bat k i : neu F bien hai diem bat ki M , N lan luot thanh hai diem M ' , N ' thi M'N' = M N . Phep ddi hinh bien dudng thang thanh dudng thang, mat phang thanh mat phang... 8 Hop thanh cua nhirng phep ddi hinh la phep ddi hinh. '- Phep tinh t i i n : Phep tinh t i i n theo vecto v la phep bien hinh bien moi diem M thanh d i i m M ' sao cho M M ' = v Phep doi xiing qua dudng thang (phep doi xung true): Cho dudng thang d, phep doi xung qua dudng thang d la phep bien hinh bien moi diem thuoc d thanh chinh no va bien moi d i i m M khong thuoc d thanh diem M ' sao cho trong mat phang ( M , d), d la dudng trung true cua doan thang M M ' . Phep doi xung qua mot diem (phep doi xung tam): Cho diem O, phep ddi xung qua diem O la phep bien hinh bien moi diem M thanh diem M ' sao cho OM + O M ' = 0 , hay O la trung d i i m cua M M ' . Phep ddi ximg qua mat phang (P) la phep b i l n hinh bien moi diem thudc (P) thanh chinh nd va bien mdi diem M khdng thudc (P) thanh diem M ' sao cho (P) la mat phang trung true cua doan thang M M ' . Hai hinh H va H' goi la bang nhau neu cd mdt phep ddi hinh bien hinh nay thanh hinh kia. Ddi vdi cac khdi da dien ldi: Neu phep ddi hinh F bien tap cac dinh ciia khdi da dien ldi H thanh tap cac dinh ciia khdi da dien ldi H' thi F bien H thanh H'. Dinh ly: Hai hinh t i i dien A B C D va A'B'C'D' bang nhau neu chiing cd cac canh tuong ung bang nhau, nghia la A B = A'B', BC = B'C, CD = CD', D A = D'A', AC = A ' C , BD = B'D'. V i du 1: Cho t i i dien ABCD. Chiing td rang phep ddi hinh bien mdi diem A, B, C, D thanh chinh nd phai la phep ddng nhat. Giai Gia sir phep ddi hinh f bien cac diem A, B, C, D thanh chinh cac diem do, tiic la f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C, f(D) = D. Ta chiing minh r i n g f bien diem M bat ki thanh M . That vay gia sir M ' = f ( M ) va M ' khac vdi M . Khi do vi phep ddi hinh khdng lam thay ddi khoang each giua hai d i i m nen A M = A M ' , B M = B M ' , C M = CM', D M = D M ' , suy ra bon diem A, B, C, D nam tren mat phang trung true ciia doan M M ' , dieu do trai vdi gia thiet A B C D la hinh tii dien. Vay M ' triing vdi M va do do f la phep ddng nhat. V i du 2: Cho hai tii dien ABCD va A'B'C'D' cd cac canh tuong img bang nhau: AB = A'B', BC = B'C, CD = CD', D A = D'A', DB = D'B', AC = A ' C . Chung minh rang cd khdng qua mdt phep ddi hinh bien cac diem A, B, C, D lan luot thanh cac d i i m A', B', C, D'. Giai Gia sir cd hai phep ddi hinh f j va f deu bien cac diem A, B, C, D lan luot thanh cac diem A', B', C , D'. NeU f i va f khac nhau thi cd it nhat mdt diem M sao cho neu M i = f\(M) va M = f ( M ) thi M | va M la hai d i i m phan biet. Khi dd vi f, va f deu la phep ddi hinh nen A ' M i = A M 2 2 2 2 2 2 9 ya A ' M = A M , vay A ' M i = A ' M , tuong tu B ' M , = B ' M , C'Mi = C ' M , D ' M , = D ' M , do do bon diem A', B', C , D' cung nam tren mat phang trung true ciia doan thing M ) M , trai voi gia thiet A'B'C'D' la hinh tu dien. Do do vdi moi diem M ta deu co f i ( M ) = f ( M ) , tiic la hai phep ddi hinh f i va f trung nhau. Vay co khong qua mot phep ddi hinh bien cac diem A, B, C, D lan luot thanh cac diem A', B', C , D'. du3: a) Cho hai diem phan biet A, B va phep ddi hinh f bien A thanh A, bien B thanh B. Chiing minh rang f bien moi diem M nam tren dudng thang A B thanh diem M . b) Cho tam giac ABC va phep ddi hinh f bien tam giac A B C thanh chinh no, tiic la f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C. Chiing minh rang f bien moi diem M ciia mp(ABC) thanh chinh no, tiic la f ( M ) = M . Giai Ta co f ( A ) = A, f(B) = B. Gia sir diem M thuoc dudng thang A B va f ( M ) = M ' . K h i do M ' thuoc dudng thing A B va A M = A M ' , B M = BM'. Suy ra M ' triing M , tiic la f bien M thanh chinh no. Vay f bien moi diem M nam tren dudng thang A B thanh chinh diem M . V i f(A) = A, f(B) = B va f(C) = C nen f bien mp(ABC) thanh mp(ABC). Bdi vay neu M thuoc mp(ABC) va f ( M ) = M ' thi M ' thuoc mp(ABC) va A M = A M ' , B M = B M ' , C M = CM'. Neu M ' va M phan biet thi ba diim A, B, C thuoc dudng thang trung true ciia doan thang M M ' tren mp(ABC), trai vdi gia thiet ABC la tam giac. Vay f ( M ) = M . du 4: a) Cho hai tam giac bing nhau ABC va A ' B ' C (AB = A'B', BC = B'C, AC = A ' C ) . Chiing minh rang co diing hai phep ddi hinh, moi phep bien tam giac ABC thanh tam giac A'B'C. b) Cho tam giac ABC. Co nhung phep ddi hinh nao bien tam giac ABC thanh chinh no? Giai Tren dudng thang a vuong goc vdi mp(ABC) tai A lay diem D khac A, tren dudng thang a' vuong goc vdi mp(A'B'C) tai A' co hai diem phan biet Di va D sao cho A'Di = A ' D = A D . Ta co cac hinh t i i dien ABCD, A'B'C'D) va A ' B ' C D co cac canh tuong ung bang nhau. Neu f la phep ddi hinh bien tam giac ABC thanh tam giac A ' B ' C thi hoac f bien D thanh Di hoac f bien D thanh D . 2 2 2 2 2 2 2 Vi a) b) Vi a) 2 2 2 2 2 Vay co dung hai phep doi hinh bien tam giac ABC thanh tam giac A ' B ' C . Do la phep ddi hinh f, bien tu dien A B C D thanh tu dien A ' B ' C D , va phep ddi hinh f b i l n tu dien ABCD thanh tu dien A'B'CD2. Day la trudng hop rieng ciia a) khi hai tam giac ABC va A ' B ' C trung nhau. Vay ta co hai phep ddi hinh bien ABCD thanh chinh no: do la phep dong nhat va phep doi xiing qua mp(ABC). du 5: Cho t i i dien deu ABCD va phep ddi hinh f bien A B C D thanh chinh no, nghTa la bien moi dinh ciia t i i dien thanh mot dinh ciia t i i dien. T i m tap hop cac diem M trong khong gian sao cho M = f ( M ) trong cac trudng hop sau day: a) f ( A ) = B, f(B) = C, f(C) = A b) f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D c) f ( A ) = B, f(B) = C, f(C) = D Giai Theo gia thiet f(A) = B va f(B) = C, f(C) = A. Do do f(M) = M khi va chi khi M A = M B = MC. Suy ra tap hop cac diem M la true ciia dudng tron ngoai tiep tam giac ABC. Theo gia thiet f(A) = B, f(B) = A, f(C) = D. Do do f(M) = M khi va chi khi M A = M B va MC = M D , tiic la M dong thdi nam tren cac mat phang trung true ciia AB va CD. Suy ra tap hop cac diem M la dudng thang di qua trung diem cua AB va CD. Theo gia thiet f(A) = B, f(B) = C, f(C) = D. Do do f(M) = M khi va chi khi M A = M B = MC = MD. Suy ra tap hop cac diem M gom mot diem duy nhat la trong tam tii dien ABCD. du 6: Chiing minh rang cac phep tinh tien, phep doi xiing tam la cac phep ddi hinh. Giai - Neu phep tinh tien theo vecto v bien hai diem M , N lan luot thanh hai diem 2 b) Vi a) b) c) Vi M', N thi MM*' = NN*' = v*, suy ra M N = WW' va do do M N = M'N'. Vay phep tinh tien la mot phep ddi hinh. Neu phep doi xiing tam O bien hai diem M , N lan luot thanh hai diem M ' , N ' thi O M ' = - O M ON'=-ON Suy ra: M ' N ' = ON' - O M ' = - O N + OM = N M Do do M ' N ' = M N , suy ra phep doi xung tam O la mot phep ddi hinh. V i du 7: Chiing minh rang cac phep doi xiing true, doi M' ximg qua mat phang la cac phep ddi hinh. Giai M Gia sir phep doi ximg qua dudng thang d bien hai diem M , N lan luot thanh hai diem M ' , N ' Goi H va K lan luot la trung diem ciia M M ' v a N N ' , taco: M N + M ' N ' = 2HK, M N - WW' ™ d K i: = H N - H M - H N + HM' = N ' N + MM' V i hai vectc» M M ' va N N ' deu \nong goc voi H K nen: (MN + M ' N ' ) . ( M N - WW') = 2 H K ( N N + M M ' ) = 0 7 Suy ra M N = WW' hay M N = M'N' Vay phep d6i xung qua d la phep ddi hinh. Gia sir phep doi xung qua mat phang (P) bien M , N thanh M ' , N ' Neu M N thuoc (P) thi M ' = M , N ' s N nen M'N' = M N . Neu co it nhat mot trong hai diem M , N khong nam tren (P) thi qua bon diem M , N , M ' , N ' co mot mat phing (Q) ( M M va N N ' cimg vuong goc vdi (P) nen song song vdi nhau). Goi A la giao tuyen ciia (P) va (Q) thi trong mp(Q), phep doi xung qua dudng thang A bien hai diem M . N thanh hai diem M ' va N ' nen M N = M'N' V i du 8: Cho hai dudng thang song song a va a , hai mat phang (P) va (P') cimg vuong goc vdi a. Tim phep tinh tien bien a thanh a' va bien (P) thanh (P'). Giai Goi O la giao diem ciia a va (P), O' la giao diem ciia a' va (P). Khi do phep 2 2 ; 1 1 tinh tien theo vecto v = OO ' se bien a thanh a' va bien (P) thanh (P'). V i du 9: Cho t i i dien A B C D noi tiep mat cau (S) ban kinh R = A B , mot diem M thay doi tren mat cau. Goi C , D', M ' la cac diem sao cho: CC' = DD' = M M = AB . Chung minh rang neu BC'D'M' la hinh tir dien thi tam mat cau ngoai tiep t i i dien do nam tren (S). Giai 1 Phep tinh tien T theo vecto v = AB bien A thanh B, C thanh C, D thanh D' va M thanh M', tiic la bien t i i dien A C D M thanh t i i dien BC'D'M', do do T bien tarn O ciia mat cau (S) ngoai tiep tii dien A C D M thanh tam O' ciia mat cau ngoai tiep tti dien BC'D'M', tiic la OO ' = v = AB . V i OO' = AB = R nen diem O' nam tren mat cau (S). V i du 10: Chung minh rang hop thanh ciia cac phep tinh tien la mot phep tinh tien. Giai Gia sir Ti va T lan luot la cac phep tinh tien theo vecto va 2 Neu Ti b i l n d i i m M thanh diem M i va T bien M , thanh M thi hop thanh T o T] bien diem M thanh diem M . 2 2 2 2 Vi M M j = va M M = : 2 nen M M = M M j + M M 2 X Vay T o T i la phep tinh tien theo vecto v + v 2 x 2 = + V 2 2 Mot each tong quat: hop thanh ciia n phep tinh tien da cho la mot phep tinh tien co vecto tinh tien bang tong cac vecto ciia cac phep tinh tien da cho. 12 V i du 11: Cho h i dien ABCD. Goi A i . B i . C,. D, lan luot la trong tam cac tam giac BCD, A C D , A B D , ABC. V o i diem M bat ki trong khong gian ta goi M , la anh ciia M qua phep tinh t i i n AA^ M la anh ciia M i qua 2 phep tinh tien theo BB^ M3 la anh ciia M qua phep tinh tien theo CC , 2 M 4 X la anh ciia M qua phep tinh t i i n theo Dl\ Chimg minh rang M 3 triing voi M4. Giai Ta co M la anh ciia M qua 4 phep tinh tien lien tiep. Hop thanh phep tinh tien do la mot phep tinh tien theo vecto 4 V = AA7 + BB7 + cc\ + DD7 Goi G la trong tam tii dien, theo tinh chat trong tam thi: — 4—. 4 — 4— 4 — v = - — GA - — GB - — GC - — GD 3 3 3 3 = - — (GA + GB + GC + GD) = 0 3 Do do M triing voi M4. V i du 12: Cho phep doi hinh f thoa man dieu kien phep hop thanh ciia f va f la phep dong nhat: f 0 f = e, biet rang co mot diem I duy nhat sao cho f bien I thanh chinh no. Chiing minh rang f la phep doi xiing tam. Giai Voi mot diem M bat k i khac I , ta goi M ' la anh ciia M qua f, khi do M va M ' khong triing nhau. V i f o f = e nen f bien M ' thanh M , vay f bien doan thang M M ' thanh doan thang M ' M . T i i do suy ra f bien trung diem doan thang M M ' thanh chinh no va vi vay, theo gia thiet trung diem M M ' phai la diem I . Vay f la phep doi xiing qua tam I . V i du 13: Chung minh rang hop thanh ciia mot so chan cac phep doi ximg tam la mot phep tinh tien, hop thanh ciia mot so le ciia phep doi ximg tam la phep doi xiing tam. Giai - Gia sir Di va D la cac phep doi xiing tam co tam lan luot la Oi va 0 . Goi M la mot diem bat k i . M i = D i ( M ) va M ' = D ( M i ) thi phep hop thanh D o D i bien M thanh M ' . 2 2 2 2 Ta co: M M ' = M M , + M M ' = 2 0 ^ + 2 M 0 = 2 0 0 X 1 2 x Suy ra D o D i la phep tinh tien theo vecto v = 2 0 0 2 x 2 2 Voi diem M ta lay M i doi xiing voi M qua O, va lay M ' sao cho M M ' = v X Khi do hop thanh T- o Do bien M thanh M ' . Neu goi I la trung diem cua MM' thi 01 = — Vay diem I co dinh. Suy ra T- o D la phep d6i xiing 2 qua I . 0 • V Tuong tir Do o T- la phep doi xung qua diem I' ma OI = - — Vi hop thanh ciia hai phep d6i xiing tam la mot phep tinh tien nen hop thanh ciia 2n phep ddi ximg tam la hop thanh ciia n phep tinh tien va do do la mot phep tinh tien. Hop thanh ciia 2n + 1 phep d6i xiing tam la hop thanh cua mot phep tinh tien va mot phep doi ximg tam nen la mot phep doi ximg tam. V i du 14: Chiing minh rang mot hinh tir dien khong the co tam doi xiing, tong quat mot hinh chop khong co tam doi ximg. Giai Trudc het ta thly rang neu mot hinh chop co tam doi xung O. thi so mat chin. That vay neu M la d i i m bat ki thuoc mot mat nao do ciia hinh chop, thi diem M ' doi xiing vdi M phai thuoc mot mat hinh chop (vi phep d6i xiing bien mat thanh mat, canh thanh canh va dinh thanh dinh). Dieu do chiing to moi cap mat ciia hinh chop ling vdi mot doan thang M M ' . V i so cac doan nhu vay la nguyen, nen so mat la chan. Vay day ciia hinh chop co tam doi ximg da giac vdi so le canh nen O khong thuoc mat phang day va khong thuoc cac mat ben. Goi (T) la thiet dien ciia hinh chop di qua O va song song vdi day ((T) ton tai v i phep doi xiing qua O bien dinh hinh chop thanh diem thuoc day chop), khi do (T) la da giac co tam doi ximg lai co so le canh (vi cac canh ciia (T) chi nam tren cac mat xung quanh ciia hinh chop). Mau thuan do chiing minh bai toan, va suy cho tii dien bat ki. V i du 15: Cho mat phang (P) va tii dien ABCD. Vdi moi diem M thuoc (P) ta xac dinh diem N theo cong thiic: MA + MB + MC + MD = 2MN (1) Tim tap hop N , khi M di dong trong (P). Giai Goi G la trong tam ciia tii dien ABCD thi G co dinh. (1) » 4MG = 2MN <=> MG = GN <=> GM = - G N . Do do N la anh ciia M qua phep doi ximg tam G. Vay tap hop N la mat phang doi xung vdi (P) qua G. V i du 16: Chiing minh rang: a) Hop thanh ciia hai phep d6i xiing true co cac true doi xiing song song la mot phep tinh tien b) Hop thanh ciia mot phep ddi xiing true va mot phep tinh t i i n theo vecto vuong goc vdi true d6i xiing la mot phep doi xiing true. 14 Giai a) Gia sir D va Db la cac phep doi xirng true co true lan luot la cac duong thang a va b song song voi nhau. Lay hai diem I va J lan luot a nam tren bat k i , ta phep hop gpi H la diem ciia a va b sao cho IJ _L a. V o i diem M gpi M , = D ( M ) va M ' = D ( M , ) thi thanh D o D bien M thanh M ' . Neu trung diem cua M M , va K la trung M | M ' thi: a b b a M M ' = MM + M M ' = 2HM7 + 2Mji l = 2HK = 2IJ X Vay hop thanh Db o D chinh la phep tinh tien theo vecto v = 2IJ a b) Gia sir D la phep doi xiing qua duong thang a, T- la phep tinh tien theo a vecto v vuong goc voi a. Gpi b la anh ciia a qua phep tinh tien theo vecto thi phep tinh tien T- la hpp thanh ciia hai phep doi ximg D va a Db qua cac duong thang a va b: T- = Db o D . a Bdi vay T- o D = Db o D o D = Db o e = Db. a a a Gpi b' la anh cua a qua phep tinh tien theo vecto — thi phep tinh tien T- la hpp thanh cua hai phep doi ximg Db va D qua cac duong thang b' va a: T- = D o D >. 1 a a b Do do: D o T- = D o D o D > = e o D > = D '. a a a b b b V i du 17: Cho tii dien deu ABCD. Gpi M , N lan lupt la trung diem cac canh A B va CD. Gpi O la trung diem ciia doan MN. Chung minh rang vdi moi diem K nam trong tii dien ta co KA + KB + KC + KD > OA + OB + OC + OD. Giai Ta co M N la true doi xiing ciia tii dien deu ABCD. Gpi K' la diem doi xiing vdi K qua M N , H la giao ciia K K ' va M N . Ta co KA + KB = A K + AK' > 2AH va KC + KD = CK + C K > 2CH. Ta chiing minh rang A H + CH > OA + OC. Xet trong mat phang (MCD), diem A' sao cho tia M A ' vuong goc vdi M N , ngupc chieu vdi tia NC va dp dai M A ' = M A . Ta co HA' = H A nen HA + HC = HA' + HC > A'C. V i A'C di qua O nen A'C - OC + OA' - OC + OA. Vay KA + KB + KC + KD > OA + OB + OC + OD. V i du 18: Cho lang tru dirng ABC.A'B'C. co day la tam giac can ABC (AB = AC). Tren cac canh AC va A'B' ta lay cac diem tuong img M va M ' sao cho A M = A ' M ' . Tim tap hpp trung diem cua doan M M ' . 1-3 Vi a) b) c) d) Vi a) Giai Goi I , J la trung diem canh ben A A ' va giao cac duong cheo hinh chu nhat BCC'B'. Ta co IJ la true ddi xung cua hai doan AC va A'B', do do M va M ' doi xung voi nhau qua IJ. Vay tap hop cac trung diem ciia M M ' thuoc doan IJ du 19: Goi D la phep ddi xung qua mat phang (P) va a la mot duong thang nao do. Gia sir D bien duong thang a thanh duong thang a'. Trong truong hop nao thi: a) a triing voi a' b) a song song voi a' c) a cat a' d) a va a' cheo nhau? Giai a triing voi a' khi a nam tren mp(P) hoac a vuong goc voi mp(P). a song song voi a' khi a song song voi mp(P). a cat a' khi a cat mp(P) nhung khong vuong goc voi (P). a va a' khong bao gio cat nhau. du 20: Chung minh: a) Hop thanh ciia hai phep doi xiing qua hai mat phang song song (P) va (Q) la mot phep tinh tien. b) Hop thanh ciia hai phep doi xiing qua hai mat phang (P) va (Q) vuong goc voi nhau la mot phep doi xung qua duong thang. Giai Lay hai diem A va B lan luot nam tren (P) va A» .H (Q) sao cho A B _L (P). V o i mot diem M bat k i , ta goi M i la diem doi xiing voi M qua mp(P) va M ' la diem doi ximg voi M i qua mp(Q). Goi H va K lan luot la trung diem cua M M ] va M , M ' thi taco: 1 MM' = MM, + M,M 1 = 2 (HTVL\ + M T K ) = 2HK = 2AB Vay phep hop thanh la phep tinh tien theo vecto 2 A B . b) Goi d la giao tuyen ciia (P) va (Q). V o i mot diem M bat ki, ta goi M i la diem doi ximg voi M qua mp(P) va M ' la diem doi xung ciia M i qua mp(Q). Neu M nam tren (P) hoac tren (Q) thi thay M ' la diem doi xiing ciia M qua d. Neu M khong nam tren ca (P) va (Q) thi ba diem M , M i va M ' xac dinh mat phang (R) vuong goc voi (P) va (Q), do do vuong goc voi d. 16 Goi giao tuyen cua (R) voi (P) va (Q) lan luot la p. q, con O la giao diem cua p va q. Xet trong mat phing (R) thi diem M ' la anh cua diem M qua hop thanh cua phep doi xung qua duong thang p va phep doi xung qua duong thang q. Suy ra O la trung diem ciia MM'. Mat khac M M ' _L d nen phep hop thanh la phep doi xung qua dudng thang d. V i du 21: Cho mat phang (P) va cho phep ddi hinh f co tinh chat: f bien diem M thanh diem M khi va chi khi M n i m tren (P). Chung to rang f la phep doi xung qua mat phang (P). Vi a) b) c) Giai Phep ddi hinh f bien moi diem M nam tren (P) thanh M . V d i diem A khong nam tren (P) ta goi a la dudng thang di qua A va vuong goc vdi (P). Neu H la giao diem cua a va (P), vi f(H) = H nen f bien a thanh dudng thang di qua H va vuong goc vdi (P), vay f(a) = a. Tir do suy ra diem A bien thanh diem A' nam tren a, A' khac vdi A va H A = HA'. Vay (P) la mat phang trung true ciia doan thang AA'. Suy ra f la phep doi xung qua mp(P). du 22: Tim cac mat phang doi ximg ciia cac hinh sau day: a) Hinh chop tii giac deu. b) Hinh chop cut tam giac deu. c) Hinh hop chu nhat ma khong co mat nao la hinh vuong. Giai Hinh chop t i i giac deu S.ABCD co 4 mat phang doi ximg: mp(SAC), mp(SBD), mat phang trung true ciia A B (dong thdi ciia CD) va mat phang trung true ciia A D (dong thdi ciia BC). Hinh chop cut tam giac deu ABC.A'B'C co ba mat phang doi xiing, do la ba mat phang trung true ciia ba canh AB, BC. CA. Hinh hop chir nhat ABCD.A'B'C'D' (ma khong co mat nao la hinh vuong) co ba mat phang doi xiing, do la ba mat phang trung true ciia ba canh A B . A D , A A ' . s D A' c / / C A' V 17 V i d u 23: a) Tim cac true ddi xung cua hinh tu dien deu A B C D . b) Tim tat ca cac mat phang ddi xung cua hinh tu dien deu ABCD. i ^ A;1—-\. D 1 B' C Giai a) Gia sir d la true doi xung cua tir dien deu ABCD, tire la phep doi ximg D qua duong thang d bien cac dinh ciia tir dien thanh cac dinh ciia tir dien. Trudc het ta nhan thay rang true doi ximg d khong the la dudng thang di qua hai dinh nao do cua hinh tir dien, vi hien nhien phep doi ximg qua dudng thang d nhu the khong bien hinh tir dien thanh chinh no. Bay gid ta chung to rang true doi ximg d cung khong di qua mot dinh nao ciia t i i dien. That vay, neu d di qua A thi vi B khong the nam tren d nen B bien thanh C hoac D. Neu B bien thanh C thi C bien thanh B nen D bien thanh D va do do d di qua A va D, vo li. Neu B bien thanh D thi D bien thanh B va do do C bien thanh C va d di qua A va C, vo li. Vay phep doi xung D qua dudng thang d bien diem A thanh mot trong ba diem B, C hoac D.Do do tir dien deu co 3 true doi xiing la 3 dudng thang di qua trung diem 2 canh doi dien (dudng trung binh). b) Gia sir a la mat phang doi ximg ciia tir dien deu ABCD, tiic la phep doi xiing D„ bien tap hop {A, B, C, D} thanh chinh no. V i D khong the bien moi dinh thanh chinh no (vi khi do D„ la phep dong nhat) nen phai co mot dinh, A chang han, bien thanh mot dinh khac, B chang han. Khi do a la mat phang trung true ciia doan thang A B (hien nhien a di qua C va D). Vay t i i dien ABCD co 6 mat phang doi xiing, do la cac mat phang trung true ciia cac canh. V i d u 2 4 : Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D' Tim a) Tam doi ximg b) Mat doi ximg c) True doi ximg. Giai a) Tam ddi xung O la giao diem ciia 4 dudng cheo A C , BD', CA' va DB'. b) Gpi a la mat doi xiing ciia hinh lap phuong thi phep doi xiing qua a bien hinh vuong ABCD thanh chinh no, hoac thanh hinh vuong chung canh hoac thanh hinh vuong A'B'C'D'. Tir do thi hinh lap phuong co 9 mat phang doi ximg la 3 mat phang trung true ciia cac canh va 6 mat phang chua hai canh doi. c) 9 true ddi ximg gom 3 true ciia cac mat va 6 dudng thang di qua trung diem cua hai canh doi. a 18 V i du 25: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D'. Chung minh rang: a) Cac hinh chop A.A'B'C'D' va C'.ABCD bang nhau. b) Cac hinh lang tru ABC.A'B'C va AA'D'.BB'C bang nhau. Giai a) Goi O la tam ciia hinh lap phuong. V i phep doi xiing tam O bien cac dinh ciia hinh chop A.A'B'C'D' thanh cac dinh ciia hinh chop C'ABCD. Vay hai hinh chop do bang nhau. b) Phep doi xung qua mp(ADC'B') bien cac dinh ciia hinh lang try ABC. A'B'C thanh cac dinh cua hinh lang tru AA'D'.BB'C nen hai hinh lang tru do bang nhau. V i du 26: Chung minh 2 hinh lap phuong co canh bang nhau thi bang nhau. Giai Gia sir ABCD.A'B'C'D' va MNPQ.M'N'P'Q' la hai hinh lap phuong co canh deu bang a. Hai t i i dien ABDA va M N Q M ' co cac canh tuong ling bang nhau nen bang nhau, tuc la co phep ddi hinh F bien cac diem A, B, D, A' lan luot thanh M , N , Q, M ' . V i F la phep ddi hinh nen F bien hinh vuong thanh hinh vuong, do do F bien diem C thanh diem P, bien diem B' thanh N ' , bien diem D' thanh Q' va bien diem C thanh P' Vay hai hinh lap phuong da cho bang nhau. 1 D A N G 3: KHOI D A DIEN DEU V A PHEP VI TU • Cho so k khong doi khac 0 va mot diem O co dinh. Phep bien hinh trong khong gian bien moi diem M thanh diem M ' sao cho O M ' = k OM goi la phep v i tu. Diem O goi la tam vi tu, so k goi la t i so v i tu. Neu phep v i tu ti so k bien hai diem M , N thanh hai diem M ' , N ' thi WW' = k M N va do do M'N' - | k j M N . Phep vi tu bien ba diem thang hang thanh ba diem thang hang, bon diem dong phang thanh bon diem dong phang. - Hinh H duoc goi la dong dang vdi hinh H' neu co mot phep vi tu bien hinh H thanh hinh H i ma hinh Hi bang hinh H'. Khoi da dien deu ma moi mat la da giac deu n canh va moi dinh la dinli chung ciia p canh duoc goi la khoi da dien deu loai {n, p } . Khoi tii dien deu la loai {3; 3}; Khoi bat dien deu la loai {3; 4} Kh6i lap phuong la loai {4; 3}; Khoi 20 mat deu la loai {3; 5} Kh6i 12 mat deu la loai {5; 3 } . Khoi tii dien deu Khoi bat dien deu Khoi lap phuong 19
- Xem thêm -