MATHVN.COM | www.MATHVN.com
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
THEO TỪNG DẠNG
DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài 1: Cho biểu thức
1
1
a2 2
P=
2 1 a 2 1 a 1 a3
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x
x 2 y 2 xy
Tính giá trị biểu thức : P =
xy - 1
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
x-y
xy
Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
P = 15 x 11 3 x 2 2 x 3
x 3
x 2 x 3 1- x
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
b) Chứng minh P ≤
1
2
2
3
Bài 5: Cho biểu thức
3a 9a 3
a 1
a 2
P=
a a 2
a 2 1 a
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
P=
a 4 a -4 a 4 a -4
8 16
1-
a a2
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
a
1 1
2
:
P =
a 1 a a a 1 a 1
a) Rút gọn P.
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
1
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
Bài 8: Cho biểu thức
4 x
8x x 1
2
:
P =
x
2 x 4x x2 x
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
y - xy x
y
x y
P= x
:
x y xy y
xy x
xy
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3
Bài 10: Cho biểu thức
P=
x 1 x - 1 x 2 4x 1 x 2007
x 1 x 1
x
x 2 1
a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 11: Rút gọn P.
2
2
2
2
4
2 2
P = a a b a a b : 4 a a b
a a 2 b2
a a 2 b 2
b2
Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
x 2
1 x 2
x
2
.
P =
2
x
1
x
2
x
1
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
2x
5 x 1
x 10
P=
x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 6
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 14: Chứng minh giá trị của biểu thức
P = x 3 2 3 .6 7 4 3 x
4
9 4
5 .
2
5
x
Không phụ thuộc vào biến số x.
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
2
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Bài 15: Cho biểu thức
x2 x
x2
P=
x
x 1
x
x
x 1
x 1
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức
2
P= x
x
x
2x x 2(x 1)
x 1
x
x 1
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
2 x nhận giá trị là số nguyên.
P
Cho biểu thức
2x x x x x x
x 1
x
P =
x 1 2x x 1 2 x 1
x x 1
a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài 17:
Bài 18:
Rút gọn biểu thức
3 5
3 5
P=
10 3 5
10 3 5
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =
4 7 4 7
b) B =
4 10 2 5 4 10 2 5
c) C = 4 15 4 15 2 3 5
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P=
Bài 21:
x 24 7 2 x 1 x 4 3 2 x 1
1
Với ≤ x ≤ 5.
2
Chứng minh rằng:
2 3 5 13 48
6 2
là một số nguyên.
Bài 22:
Chứng minh đẳng thức:
P=
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
3
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
3
3
1
1
2
2
1
3
3
1 1
1 1
2
2
Bài 23: Cho x = 3 5 2 7 3 5 2 7
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x
1 xy 1 xy
Bài 24:
Cho E =
xy xy
Tính giá trị của E biết:
x=
y=
Bài 25:
Bài 26:
P=
4 8. 2 2 2 . 2 2 2
3 8 2 12 20
3 18 2 27 45
20072 2007
2
Tính P = 1 2007
20082 2008
Rút gọn biểu thức sau:
1
+
1 5
1
1
+ ... +
5 9
2001 2005
Tính giá rẹi của biểu thức:
Bài 27:
3
P = x + y3 - 3(x + y) + 2004 biết rằng
x = 33 2 2 3 32 2
y = 3 17 12 2 3 17 12 2
Bài 28:
a 1
a 1
1
4 a a
Cho biểu thức A =
a 1
a 1
a
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 + 15 )( 10 - 6 ) 4 15
Bài 29:
Cho biểu thức
A=
x 4 x 1 x 4 x 1
1
1
x 1
x 2 4 x 1
a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 30:
Cho biểu thức
P=
1 1 x
1 x 1 x
1 1 x
1 x 1 x
1
1 x
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
2
.
2
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
4
Bài 31:
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Cho biểu thức
P=
1
3
2
x 1 x x 1 x x 1
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32:
Cho biểu thức
2 a 9
a 3 2 a 1
P=
a 5 a 6
a 2 3 a
a) Rút gọn P.
b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Cho biểu thức
Bài 33:
x
2 x
1 x
P=
xy 2 y x x 2 xy 2 y 1 x
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34:
Cho biểu thức
x
2 x
1 x
P=
xy 2 y x x 2 xy 2 y 1 x
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35:
Cho biểu thức
1
1
2
1
P =
y x y x
x
1
:
y
x3 y x x y y 3
xy 3 x 3 y
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
5
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab.
P = a b
Tính giá trị của biểu thức:
2
a b
2
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x +2y = 5xy
Tính giá trị biểu thức E = x y
x y
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
yz xz xy
M= 2 2 2
x
y
z
3
3
3
Bài 4: Cho a + b + c = 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
a
b
b
c
c
a
P = 1 1 1
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1 .
Tính giá trị của biểu thức: A = x2007 + y2007 + z2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14. Tính giá trị của biểu thức:
P = a4 + b4 + c4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102
Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007
xy
x3 y3
x y
2
Bài 8: Cho 1 và
. Tính 3 3
a b
ab
a
b
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức
P=
1
1
1
b 2 c 2 a 2 a 2 c 2 b 2 a 2 b 2 c 2
x4 y 4
1
Bài 10: Cho
; x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng:
a
b ab
a) bx2 = ay2;
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
6
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
y
x
2
b) 1004 1004
a
b
( a b)1004
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:
2008
2008
1
1
1
=1
1 x xy 1 y yz 1 z xz
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
P=
a2
b2
c2
(a b)(a c ) (b c)(b a ) (c b)(c a )
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:
bc
cb
ab
2
2
2
(a b)(a c ) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng:
1
1
1
1
abc
p a p b p c p p( p a )( p b)( p c)
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :
a
b
2(ab 2)
3
2 2
b 1 a 1 a b 3
x y z
a b c
Bài 18: Cho 1 và 0
a b c
x y z
3
x2 y 2 z2
Tính giá trị biểu thức A = 2 2 2
a
b
c
a
b
c
0
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
bc ca ab
a
b
c
Tính giá trị của P =
2
2
(b c ) (c a)
( a c) 2
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2.
Tính giá trị biểu thức: A =
x y
x y
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy.
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
7
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Tính giá trị của phân thức A =
2 xy
6 x xy y 2
2
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.
ax 2 by 2 cz 2
P=
bc ( y z )2 ac( x z ) 2 ab( x y ) 2
Tính giá trị của biểu thức:
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
P=
Bài 27:
x3
y3
z3
( x y )( x z ) ( y x)( y z ) ( z y )( z x)
x y z 1
Cho x 2 y 2 z 2 1
x3 y 3 z 3 1
Tính giá trị của biểu thức: P = x2007 + y2007 + z2007 .
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P=
a
2
(b c )2 (a b c )
( a b c) ( a c) 2 b 2
2
2
2 2
Bài 29: Cho biểu thức P = (b + c – a ) – 4b2c2.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:
xy y z 3
yz y z 8
zx x z 15
Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:
x 2 y 2 z 2 1
3
x y 3 z 3 1
Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)
2 3 6 84
2 3 4
x y
b) Tính giá trị biểu thức: Q =
x y
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a3 và b3 + c3. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
8
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
2) Tính A = 3 20 14 2 3 20 14 2 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn
điều kiện x 12 + x 22 10.
c 0
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
c a ab bc 2ac
2
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
x1 x 2 5
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
3
3
x1 x 2 35
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu
2b c
4
a a
Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn: x 12 - x 22 =
5
9
Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN
b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x2 - cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
9
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
S=
1
1
3
3
x1 x 2
Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3 x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x1, x2. Không giải phương
trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A=
3 x12 5 x1 x 2 3 x 22
4 x1 x 23 4 x13 x 2
Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 = 6.
3) Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x1 < 1 < x2.
Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) .
Tìm GTNN của M = x12 + x22
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
1 1 1
a b 2
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax2 + 2bx + c = 0 (1)
bx2 + 2cx + a = 0 (2)
cx2 + 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
x12 + x22 10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:
E = x12 + x22 đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
CMR: a2 + b2 là một hợp số.
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
10
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
Bài 1:
x3 + 2x2 + 2 2 x + 2 2 .
Bài 2:
(x + 1)4 = 2(x4 + 1)
Bài 3:
4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2
Bài 4:
3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5:
(x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6:
(x + 2)4 + (x + 8)4 = 272
Bài 7:
a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2
b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64
Bài 8:
a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0
b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0
c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0
Bài 9:
a) x4 = 24x + 32
b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0
5
3
x 8 x 9 1
Bài 10:
Bài 11:
Bài 12:
2x
7x
2
1
3x x 2 3x 5x 2
4x 2
x2 +
12
x 2 2
2
2
Bài 13:
Bài 14:
Bài 15:
2
x 2
x2 4
x 2
0
20
5
48 2
x 1
x 1
x 1
3x
7x
2
4
a) 2
x 3x 1 x x 1
x 2 10 x 15
4x
2
b) 2
x 6 x 15 x 12 x 15
x 2 3x 5 x 2 5 x 5
1
c) 2
2
4
x 4x 5 x 6x 5
2
81x
a) x2 +
40
x 9 2
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
11
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
b) x2 +
2
x
15
x 12
2
Bài 16:
2
x 1 x 1
40
a)
9
x x 2
2
2
x 2 x 2
5 x2 4
b)
0
2 x2 1
x 1 x 1
8 x
8 x
c) x.
x
15
x 1
x 1
2
Bài 17:
Bài 18:
Bài 19:
Bài 20:
Bài 21:
Bài 22:
Bài 23:
Bài 24:
Bài 25:
Bài 26:
Bài 27:
Bài 28:
Bài 29:
Bài 30:
Bài 31:
Bài 32:
Bài 33:
Bài 34:
x 1
x +
= 8( Đề thi HSG V1 2004)
x
x 1 5 x 1 3x 2
2
3
x 1 3 7 x 2
x 2 x 1 x 2 x 1 2
3x2 + 21x + 18 + 2 x 2 7 x 7 2
a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1
b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0
c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0
(x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24
a) x3 - 6x + 4 = 0
b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0
a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0
b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0
x 2 48
x
2 10
3 x
3
4
0
x
a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x 3 1
( Đề thi HSG 1998)
x 5
x 14
3
3 x 5
x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
x4 4
5x 0
( Đề thi HSG V2 2003)
x2 2
a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0
b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0
(x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x 3
b) 3 x 3 8 = 2x2 - 6x + 4
c) 2 x
4
2 x 3
2
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
12
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Bài 35:
Bài 36:
3
3
x 1 x 2 3 x 3 0
Cho phương trình: x4 -4x3 +8x = m
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 37:
Cho phương trình (x + a)4 + (x + b)4 = c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương
trình có nghiệm.
Bài 38:
Giải phương trình: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 5 = 0
Bài 39:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x4 + 8x2y + 3y2 - 4y - 15 = 0.
Bài 40:
x2 + 9x + 20 = 2 3x 10
Bài 41:
x2 + 3x + 1 = (x + 3) x 2 1
Bài 42:
x2 + x 2006 =2006
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thì
ab
ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
2
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
2
(a 2 b 2 )( x 2 y 2 ) (ax + by) .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm: ab cd a c b d
Bài 4) CM bất đẳng thức:
a2 b2 c2 d 2
a c 2 b d 2
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:
a2
b2
c2
abc
bc ca ab
2
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
1
1
1 1
...
n 1 n 2
2n 2
Bài 7) Cho a3 + b3 = 2. Cmr: a + b 2.
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a2 + b2 + c2 = 2 (2)
4
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn ;0 khi biễu diễn trên trục số.
3
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.
CMR: 2a2 + 3b2 5.
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1.
CM: a2 + 4b2
1
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).
5
Bài 11) Chứng minh:
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
3
(Đề thi HSG 2001).
Bài 12) Chứng minh:
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
13
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
a) (a b )( x y ) (ax + by)2
b) 0 x 2 4 x 2
2
2
2
2
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:
Bài 14) Cho S 1
1
1
2
a
b
c
3
bc ca ab 2
1
...
100
3
.
CMR: S không là số tự nhiên.
1 1
4
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
x y x y
abc
.
b) Tam giác ABC có chu vi P
2
1
1
1
1 1 1
2
Cm:
pa pb pc
a b c
Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR:
Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
x
Bài 16) a) CM x > 1 ta có:
2
x 1
a2
b2
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: P
b 1 a 1
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
1 1 1
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 9 .
a
b
c
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.
CMR: a2 + b2 + c2 + 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5. Cm: a + 2b 10.
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab.
CMR:
8
a2 b2 8 .
3
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:
1 1
2
3
a b ab
Bài 24) CMR nếu:
a) 1 a 5 thì 3 a 1 4 5 a 10
b) a + b 0; b 1 0; a b 2 thì a 1 b 1 2 2
Bài 25) Cho biểu thức P
CMR: 0 P
3
4
3
x x x 1
1
4
3
x x x 1
4
5
4
3
x x x x2 x 1
32
với x 1 .
9
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
14
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và
a
a ak
1.Cmr :
b
b bk
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
a
b
c
< 2.
bc ca ab
Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.
1
1
Chứng minh rằng: 1 1 9
a
b
(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:
x y
x2 y2
2 4 3
2
y
x
y x
DẠNG 6: CỰC TRỊ
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y.
1
1
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P = 1 2 1 2
x
y
2 x x 1
2
Bài 3) Cho P =
x2 1
. Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x4 + 1)(y4 + 1) biết x,y 0, x + y = 10
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5.
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x2 + y2. Biết x2(x2 +2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 1
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
x2 x 1
x2 x 1
Bài 8) Tìm GTLN của A = x + 2 x
Bài 9) Tìm GTLN của P =
x y z
với x, y, z > 0.
y z x
Bài 10) Tìm GTLN của P = ( x 1990)2 ( x 1991)2
Bài 11) Cho M = a 3 4 a 1 a 15 8 a 1
a) Tìm điều kiện của a để M được xác định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1
1
1
2 . Tìm GTNN của P = x.y.z.
1 x 1 y 1 z
Bài 13) Tìm GTNN của P =
2
1
1 x x
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x2 + 4y2 = 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.
Tìm GTNN của E = x2 + 2y2.
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
15
MATHVN.COM | www.MATHVN.com
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức
P=
1
2
+
+ 4xy
2
x y
xy
2
x2 x 1
với x bất kỳ.
x2 1
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y 1. Tìm GTNN của biểu thức
1
2
A= 2 2
x y
xy
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P =
2
1
1
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = x y
x
y
1
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x4 + y4) +
4xy
1 1
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 1 1
x y
2
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x2 + y2 = 4.
2
1
1
Tìm GTNN của biểu thức P = x y
y
x
2
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
2
2
1
1
1
E = a b c
a
b
c
2
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
P = a3 + b3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
Tìm GTNN của P =
1
1
a 1 b 1
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =
x2 y2
x y
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của
P = 8(x4 + y4) +
1
xy
Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy + 7(x + y) + 2y2 +10 = 0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x x + y y biết x + y = 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =
x 2 2 x 2000
x2
www.mathvn.com - Bài tập bồi dưỡng HSG Toán 9
16
- Xem thêm -
.PDF 
16 
1556 
92 
