Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán thpt chuyên đề phương tích và trục đẳng phương

Ph-¬ng tÝch vµ trôc ®¼ng ph-¬ng Lêi nãi ®Çu KiÕn thøc vÒ ph-¬ng tÝch vµ trôc ®¼ng ph-¬ng chØ lµ kiÕn thøc trong s¸ch gi¸o khoa, ®¬n gi¶n vµ dÔ hiÓu; tuy nhiªn nã cã øng dông nhiÒu trong viÖc gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh ph¼ng, nhÊt lµ c¸c bµi thuéc d¹ng chøng minh th¼ng hµng, ®ång quy, vu«ng gãc. H-ëng øng ®Ò nghÞ cña gi¸o viªn c¸c tr-êng thuéc héi Duyªn h¶i , chóng t«i, dùa vµo kinh nghiÖm gi¶ng d¹y vµ c¸c tµi liÖu cã ®-îc, viÕt chuyªn ®Ò nµy theo h-íng nªu lªn c¸c øng dông kiÕn thøc vÒ ph-¬ng tÝch vµ trôc ®¼ng ph-¬ng . Trong bµi viÕt nµy, chóng t«i ký hiÖu ®-êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC lµ (ABC). Chuyªn ®Ò ch¾c cßn nhiÒu thiÕu xãt, chóng t«i mong nhËn ®-îc sù gãp ý cña c¸c ®ång nghiÖp! Môc lôc PhÇn A Lý thuÕt 1. Ph-¬ng tÝch cña mét ®iÓm ®èi víi mét ®-êng trßn 2. Trôc ®¼ng ph-¬ng cña hai ®-êng trßn 3. T©m ®¼ng ph-¬ng cña n ®-êng trßn. PhÇn B Trang 1 2 4 Mét sè øng dông cña ph-¬ng tÝch vµ trôc ®¼ng ph-¬ng 1. Chøng minh th¼ng hµng 2. Chøng minh ®ång quy 3. Chøng minh vu«ng gãc. 4. Mét sè øng dông kh¸c 5 6 7 9 PhÇn C 11 Bµi tËp ®Ò nghÞ 2 A. Lý thuyÕt. I. Ph-¬ng tÝch cña ®iÓm ®èi víi ®-êng trßn. 1. §Þnh nghÜa: Trªn mÆt ph¼ng, cho ®-êng trßn (O; R) vµ ®iÓm M. §-êng th¼ng qua M c¾t (O; R) t¹i A vµ B. Khi ®ã, ®¹i l-îng OM 2  R 2  MA.MB ®-îc gäi lµ ph-¬ng tÝch cña ®iÓm M ®èi víi ®-êng trßn (O; R), ký hiÖu lµ: PM /(O) . 2. TÝnh chÊt. a. §iÓm M thuéc ®-êng trßn (O) khi vµ chØ khi PM /(O)  0 §iÓm M n»m ngoµi ®-êng trßn (O) khi vµ chØ khi PM /(O)  0 §iÓm M n»m trong ®-êng trßn (O) khi vµ chØ khi PM /(O)  0 b. Tõ ®iÓm M ngoµi ®-êng trßn (O) kÎ tiÕp tuyÕn MT, T lµ tiÕp ®iÓm. Khi ®ã PM /(O )  MT 2 c. Cho 4 ®iÓm ph©n biÖt A, B, C, D kh«ng cã 3 ®iÓm nµo th¼ng hµng, hai ®-êng AC vµ BD c¾t nhau t¹i I. Khi ®ã, 4 ®iÓm Êy cïng thuéc 1 ®-êng trßn khi vµ chØ khi IB.ID  IA.IC d. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy, ph-¬ng trÝch cña ®iÓm M(x 0; y0) ®èi víi ®-êng trßn (O): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 lµ: PM /(O )  x0  y 0  2ax0  2by0  c 2 2 I. Trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn. 1. §Þnh nghÜa TËp hîp c¸c ®iÓm cã ph-¬ng tÝch b»ng nhau ®èi víi 2 ®-êng trßn (lµ mét ®-êng th¼ng)®-îc gäi lµ trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn ®ã. 2. TÝnh chÊt. a. Trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn(kh«ng ®ång t©m) lµ ®-êng th¼ng vu«ng gãc víi ®-êng nèi t©m cña 2 ®-êng trßn ®ã. b. Ba ®iÓm ®Òu ®¼ng ph-¬ng ®ãi víi 2 ®-êng trßn th× th¼ng hµng. c. NÕu 2 ®-êng trßn ph©n biÖt tiÕp xóc víi nhau t¹i A th× ®-êng th¼ng qua A vµ vu«ng gãc víi ®-êng nèi t©m lµ trôc ®¼ng ph-¬ng. d. NÕu A va B lµ 2 ®iÓm ph©n biÖt vµ cã cïng ph-¬ng tÝch ®èi víi 2 ®-êng trßn th× ®-êng th¼ng AB lµ trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn ®ã. NÕu A va B lµ 2 ®iÓm chung ph©n biÖt cña 2 ®-êng trßn th× ®-êng th¼ng AB lµ trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn ®ã. e. NÕu 2 ®-êng trßn ngoµi nhau, th× ®-êng th¼ng qua trung ®iÓm cña 2 tiÕp tuyÕn chung ngoµi lµ trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn ®ã. e. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ täa ®é Oxy, trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn 3 x 2  y 2  2a1 x  2b1 y  c1  0; x 2  y 2  2a 2 x  2b2 y  c 2  0 lµ ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh: 2(a1  a2 ) x  2(b1  b2 ) y  c1  c2  0 I. T©m ®¼ng ph-¬ng. 1. §Þnh nghÜa §iÓm ®¼ng ph-¬ng ®èi víi n (lín h¬n 2) ®-êng trßn ®-îc gäi lµ t©m ®¼ng ph-¬ng cña n ®-êng trßn ®ã. 2. TÝnh chÊt: Cho A, B, C lµ 3 ®iÓm kh«ng th¼ng hµng. Gäi x, y, z lµ trôc ®¶ng ph-¬ng cña c¸c cÆp ®-êng trßn (B) vµ (C); (C) vµ (A); (A) vµ (B). Khi ®ã x, y, z ®ång quy t¹i t©m ®¼ng ph-¬ng cña 3 ®-êng trßn < (X) lµ ®-êng trßn t©m X > B. Mét sè øng dông. I. Chøng minh th¼ng hµng. VD1: (¢n §é 1995) Cho tam gi¸c ABC. Mét ®-êng th¼ng c¾t hai c¹nh AB, AC t¹i D vµ E; P lµ ®iÓm trong tam gi¸c, kh«ng n»m trªn DE. §-êng ED c¾t PB vµ PC t¹i M vµ N. Hai ®-êng trßn (PND), (PME) c¾t nhau t¹i P vµ Q. Chøng minh r»ng A, P, Q th¼ng hµng. A N E D M P B C Q Lêi gi¶i: Tõ gi¶ thiÕt suy ra PQ lµ trôc ®¶ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn (PDN), (PEM). Gäi I, J lµ giao cña AP víi DE vµ BC. Khi ®ã:  IM JB  IN  JC IM ID  V× ED // BC   ID JB  IN IE    IE JC 4 DÉn ®Õn IN .ID  IM IE hay PI /(PDN )  PI /(PEM ) . Mµ PP /( PDN )  PP /( PEM )  0 suy ra IP hay AP lµ trôc ®¶ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn (PDN), (PEM) suy ra A thuéc ®-êng PQ VD2 (IMO 2013) Cho tam gi¸c ABC nhän, c¸c ®-êng cao AD, BE, CF c¾t nhau t¹i H. Cho M lµ ®iÓm trªn c¹nh BC kh«ng trïng víi B vµ C. KÎ c¸c ®-êng kÝnh MP vµ MQ cña c¸c ®-êng trßn (MBF) vµ (MCE).Chøng minh r»ng H, P, Q th¼ng hµng. A E F H Q N P B D M C Lêi gi¶i: Gäi N lµ ®iÓm chung thø hai cña hai ®-êng trßn (MBF) vµ (MCE). V× AB.AF  AC.AE nªn A thuéc trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn nµy. Suy ra A, M, N th¼ng hµng DÉn ®Õn AM . AN  AH . AD hay tø gi¸c MNHD néi tiÕp. Tõ ®ã: MNH  900  MNH  MNP  1800  MNQ  MNP . VËy H, P, Q th¼ng hµng. VD3 (Chän ®éi tuyÓn VN, 2006) Cho tam gi¸c ABC nhän, kh«ng c©n, néi tiÕp ®-êng trßn (O;R). §-êng th¼ng d thay ®æi vu«ng gãc víi OA, c¾t c¸c c¹nh AB, AC t¹i M vµ N; BN c¾t CM t¹i K; AK c¾t BC t¹i P. a) Chøng minh ®-êng trßn (MNP) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh khi d thay ®æi. b) Gäi H vµ I lµ trùc t©m c¸c tam gi¸c AMN vµ ABC. Chøng minh H, I, K th¼ng hµng tõ ®ã suy ra l  4R 2  a 2 , trong ®ã a = BC, l lµ kho¶ng c¸ch tõ A tíi HK. 5 A N H O M K B S I P E C Lêi gi¶i: a) - ¸p dông ®Þnh lý Ceva cho tam gi¸c ABC víi 3 ®-êng ®ång quy AP, BN, CN ta cã: PB NC MA .  1 PC NA MB L¹i ¸p dông ®Þnh lý Menelaus cho tam gi¸c ABC víi 3 ®iÓm th¼ng hµng N, M, S ta cã: SB NC MA .  1 PC NA MB Gäi E lµ trung ®iÓm BC. Theo trªn ta cã: SB.PC  SC.PB  0  SB.( SC  SP.)  SC( SB  .SP)  0  2SB.SC  SP.( SC  SB.)  0  2SB.SC  2SP.SE  0 DÉn ®Õn tø gi¸c MNEP néi tiÕp, hay ®-êng trßn (MNP) lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh E. b) Gäi (O1), (O2) lµ ®-êng trßn ®-êng kÝnh BN vµ CM. Gäi MF vµ NJ lµ 2 ®-êng cao cña tam gi¸c AMN. - V× HN.HJ = HM.HF nªn H thuéc trôc ®¼ng ph-¬ng d cña (O1) vµ (O2) T-¬ng tù còng cã I thuéc d. - V× KM.KC = KN.KB nªn thuéc trôc ®¼ng ph-¬ng d cña (O 1) vµ (O2) Suy ra H, K, I cïng thuéc d hay ba ®iÓm ®ã th¼ng hµng. II. Chøng minh ®ång quy. VD1(IMO 1995) Cho 4 ®iÓm th¼ng hµng (theo thø tù) A, B, C, D. §-êng trßn ®-êng kÝnh AC vµ ®-êng trßn ®-êng kÝnh BD c¾t nhau t¹i X vµ Y. §-êng XY c¾t BC t¹i Z. Trªn XY lÊy P(kh¸c X, Y). §-êng CP c¾t ®-êng trßn ®-êng kÝnh AC t¹i M kh¸c C. §-êng BP c¾t ®-êng trßn ®-êng kÝnh BD t¹i N kh¸c B. Chøng minh: AM, DN, XY ®ång quy. 6 R;Q N X M P A B C Z D Y Lêi gi¶i: Gäi Q vµ R lµ giao cña XY víi DN vµ AM. Ta chøng minh Q trïng R. V× tø gi¸c QMCZ néi tiÕp suy ra PM .PC  PQ.PZ V× tø gi¸c RNBZ néi tiÕp suy ra PN .PB  PR.PZ V× P thuéc trôc ®¼ng ph-¬ng XY cña 2 ®-êng trßn ®-êng kÝnh AC vµ BD nªn PM .PC  PN .PB DÉn ®Õn PR.PZ  PQ.PZ  QR  0 hay Q trïng R (®pcm) VD 2. (Dù tuyÓn IMO 1994)§-êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi BC, CA, AB lÇn l-ît t¹i D, E, F; X lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao cho ®-êng trßn nội tiÕp tam gi¸c XBC còng tiÕp xóc víi BC t¹i D vµ tiÕp xóc víi XB, XC t¹i Y, Z. Chøng minh r»ng FE, YZ, BC ®ång quy. A E X F Y Z P;Q B D Lêi gi¶i: Gäi P vµ Q lµ giao ®iÓm cña BC víi FE vµ YZ. - ¸p dông ®Þnh lý Menelaus: . cho tam gi¸c ABC, víi 3 ®iÓm th¼ng hµng E, F, P ta cã: 7 C FA PB EC .  1 FB PC EA . cho tam gi¸c XBC, víi 3 ®iÓm th¼ng hµng Y, Z, Q ta cã: ZX QB YC .  1 ZB QC YX PB QB Suy ra   P  Q  PE.PF  PY PZ PC QC DÉn ®Õn tø gi¸c FEYZ néi tiÕp. - Ba ®-êng BC, FE, YZ t-¬ng øng lµ trôc ®¼ng ph-¬ng cña c¸c cÆp ®-êng trßn (DFE) vµ (DYZ); (DFE) vµ (FEYZ); (FEYZ) vµ (DYZ) . VËy BC, FE, YZ ®ång quy. III. Chøng minh vu«ng gãc VD 1. Cho h×nh thang ABCD, F lµ ®iÓm trªn c¹nh ®¸y AB sao cho FD = FC. Gäi E lµ giao ®iÓm hai ®-êng chÐo; (O 1), (O2) lÇn l-ît lµ ®-êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c ADF vµ BCF. Chøng minh EF vu«ng gãc víi O 1O2. F A B E N O2 O1 M C D Lêi gi¶i: Ta di chøng minh E thuéc trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn (ADF) vµ (BCF). Gäi M lµ giao ®iÓm thø hai cña AC víi ®-êng trßn (ADF); N lµ giao ®iÓm thø hai cña BD víi ®-êng trßn (BCF). Ta cã: AMD  AFD  BFC  BNC  DMC  DNC DÉn ®Õn tø gi¸c CDMN néi tiÕp, tõ ®ã tø gi¸c ABNM néi tiÕp. Suy ra EM .EA  EN .EB hay E thuéc trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn (ADF) vµ (BCF). 8 Suy ra FE lµ trôc ®¶ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn (ADF) vµ (BCF). VËy EF vu«ng gãc víi O1O2. VD 2. Cho tø gi¸c ABCD, O lµ giao ®iÓm hai ®-êng chÐo AC, BD. Gäi H, K lµ trùc t©m c¸c tam gi¸c OAD vµ OBC; M, N lµ trung ®iÓm AB, CD. Chøng minh MN vu«ng gãc víi HK. B M A H OK C D N Lêi gi¶i: Ký hiÖu (M) vµ (N) lµ ®-êng trßn ®-êng kÝnh AB vµ CD. - V× HA.HE  HD.HP nªn PH /(M )  PH /( N ) - V× KB.KQ  KC.KF nªn PK /(M )  PK /( N ) Suy ra HK lµ trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn (M) vµ (N) VËy MN vu«ng gãc víi HK. IV. Mét sè øng dông kh¸c. VD 1. Tõ ®iÓm M ngoµi ®-êng trßn (O), kÎ 2 tiÕp tuyÕn MA vµ MB (A, B lµ tiÕp ®iÓm). Gäi I lµ trung ®iÓm MA, N lµ giao cña (O) víi IB(N kh¸c B). Chøng minh r»ng MN = 2IN. 9 Lêi gi¶i: A D 1 2 3 I M N O 2 1 B Dùng h×nh b×nh hµnh ADMN. Ta ®i chøng minh MN = DN. ThËt vËy, ta cã: IN .IB  IA 2  ID.IB  IM .IA DÉn ®Õn tø gi¸c ADMB néi tiÕp. Suy ra M 1  B1  A3  A1  A2  A2  A3  M 1  M 2  A2  A3  MDN  DMN Nh- vËy, tam gi¸c DMN c©n t¹i N, hay MN = ND (®pcm) VD 2. Cho tam gi¸c ABC, ®-êng trßn (O) c¾t AB vµ AC t¹i F vµ E; BE c¾t CF t¹i P, AP c¾t BC t¹i D. §-êng th¼ng qua D, song song víi FE c¾t c¸c tia AB, AC t¹i M vµ N; FE c¾t BC t¹i Q. Chøng minh r»ng ®-êng trßn (QMN) ®i qua ®iÓm cè ®Þnh khi (O) thay ®æi. Lêi gi¶i: 10 A E F N P B C D Q M O - Ta cã: MNC  FEC  MBC Suy ra tø gi¸c MBNC néi tiÕp. DÉn ®Õn: DM .DN  DB.DC (1) - Ap dông ®Þnh lý Ceva vµ ®Þnh lý Menelaus, ta cã:  DB   DC   QB  QC EC EA EC EA FA  1 FB FA  1 FB DÉn ®Õn: DBQC  DC QB  0  DB( DC  DQ)  DC ( DB  DQ)  0  2 DB.DC  DQ( DB  QC )  2 DI .QB  DB.DC  DI .QB (2) Víi I lµ trung ®iÓm cña BC. Tõ (1) vµ (2) suy ra tø gi¸c QMIN néi tiÕp. VËy ®-êng trßn (QMN) lu«n qua ®iÓm I cè ®Þnh. 11 1. Bµi tËp VÒ phÝa ngoµi tam gi¸c ABC, dùng c¸c tam gi¸c c©n DBC, ECA, FAB víi c¸c ®Ønh lµ D, E, F. Chøng minh r»ng c¸c ®-êng th¼ng qua A, B, C lÇn l-ît vu«ng gãc víi FE, FD, DE 2. ®ång quy. Cho tam gi¸c ABC. Dùng h×nh vu«ng DEFG cã c¸c ®Ønh D, E thuéc c¹nh BC,cßn F vµ G lÇn l-ît thuéc AC vµ AB. Gäi d A lµ trôc ®¼ng ph-¬ng cña 2 ®-êng trßn (ABD) vµ (ACE). C¸c ®-êng d B, dC ®-îc x¸c ®Þnh tt-¬ng tù. 3. Chøng minh r»ng d A, dB, dC ®ång quy. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®-êng trßn (O), M lµ trung ®iÓm BC, M ’ lµ giao ®iÓm cña AM vµ (O). TiÕp tuyÕn t¹i M cña (O) c¾t ®-êng th¼ng qua M, vu«ng gãc víi OA t¹i X. §Þnh nghÜa t-¬ng tù X cho 2 ®iÓm Y, Z. 4. Chøng minh r»ng X, Y, Z th¼ng hµng. Cho hai ®-êng trßn ngoµi nhau (O 1) vµ (O2). KÎ tiÕp tuyÕn chung A 1A2(A1 thuéc (O1) A2 thuéc (O2) ). Tõ trung ®iÓm K cña A 1A2, kÎ 2 tiÕp tuyÕn KB1 vµ KB2 tíi (O1) vµ (O2). Gäi L lµ giao ®iÓm cña A 1B1 vµ A2B2, P lµ giao cña KL vµ O1O2. 5. Chøng minh r»ng P, L, B1 vµ B2 cïng thuéc mét ®-êng trßn. Cho C lµ ®iÓm thuéc ®-êng trßn ®-êng kÝnh AB, C kh¸c A vµ B. Gäi H kµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña C trªn AB. §-êng trßn ®-êng kÝnh CH c¾t CA, CB t¹i E, F vµ c¾t ®-êng trßn ®-êng kinh AB t¹i D. 6. Chøng minh r»ng FE, CD, BA ®ång quy. Cho hai ®-êng trßn ngoµi nhau (O 1) vµ (O2). KÎ tiÕp tuyÕn chung ngoµi A 1A2 ,tuyÕn chung trong B1B2 (A1 ,B1 thuéc (O1) A2, B2 thuéc (O2) . 7. Chøng minh r»ng A 1B1, A2B2, O1O2 ®ång quy. Cho tam gi¸c ABC nhän néi tiÕp ®-êng trßn (O), c¸c ®-êng cao AA 1, BB1,CC1; A2, B2, C2 lÇn l-ît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng víi A 1, B1, C1 qua trung ®iÓm cña BC, CA, AB. §-êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c AB2C2, BA2C2 ,CB2A2 c¾t (O) lÇn thø hai t¹i A 3, B3, C3. 8. Chøng minh r»ng A 1A3, B1B3, C1C3 ®ång quy. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®-êng trßn (O), ®-êng trßn bµng tiÕp gãc A cã t©m I tiÕp xóc víi BC, CA, AB t¹i M, N, P. 9. Chøng minh r»ng t©m ®-êng trßn ¥-le cña tam gi¸c MNP thuéc ®-êng th¼ng OI. Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp ®-êng trßn (O) vµ ngo¹i tiÕp ®-êng trßn (I). C¸c ®iÓm A’ , B’ , C’ t-¬ng øng thuéc BC, CA, AB vµ tháa m·n: AIA '  BIB '  CIC '  900 Chøng minh r»ng c¸c ®iÓm A ’ , B’ , C’ cïng thuéc mét ®-êng th¼ng vµ ®-êng th¼ng 10. Êy vu«ng gãc víi OI. Cho ®-êng trßn (O), hai ®-êng kÝnh AB vµ CD. TiÕp tuyÕn cña (O) t¹i B c¾t AC t¹i E, DE c¾t (O) lÇn thø hai t¹i F. 11. Chøng minh r»ng AF, BC, OE ®ång quy. Cho ®-êng trßn (O) vµ ®iÓm M ngoµi (O). Tõ M, kÎ hai tiÕp tuyÕn MA, MB vµ c¸t 12. tuyÕn MCD (A vµ B lµ tiÕp ®iÓm). Chøng minh r»ng tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i C vµ D c¾t nhau trªn ®-êng th¼ng CD. 12 (IMO 1985) Cho tam gi¸c ABC. §uêng trßn (O) qua A vµ C c¾t AB vµ AC lÇn n÷a t¹i K vµ N. §-êng trßn (ABC) vµ (KBN) c¾t nhau t¹i B vµ M. 13. Chøng mninh r»ng gãc OMB vu«ng. Cho tam g¸c ABC néi tiÕp ®-êng trßn (O), I lµ ®iÓm tháa m·n: IA  3IB  5IC  O . C¸c tia AI, BI, CI c¾t (O) t¹i A 1, B1, C1. IA 3IB 5IC TÝnh T   14. IA1 IB1 IC1 Cho tam gi¸c ABC, ®-êng cao AD, trùc t©m H; M vµ N lµ trung ®iÓm BC vµ AD. BiÕt r»ng AD = BC. 15. Chøng minh r»ng HN = HM. Cho ®-êng trßn (O) vµ hai ®iÓm A, B ®èi xøng víi nhau qua O. §iÓm M thay ®æi trªn (O). C¸c ®-êng MA, MB c¾t (O) t¹i P vµ Q. Chøng minh r»ng T AM BM  AP BQ kh«ng phô thuéc vÞ trÝ M. 16. (VMO - 2003) Cho 2 ®-êng trßn (O1 ; R1 ), (O1 ; R1 ), R2  R1 . §iÓm A thay ®æi trªn (O2) sao cho O1, O2, A kh«ng th¼ng hµng. Tõ A kÎ c¸c tiÕp tuyÕn AB, AC tíi (O 1) (B vµ C lµ c¸c tiÕp ®iÓm). C¸c ®-êng MB, MC c¾t (O 2) lÇn n÷a t¹i E vµ F. TiÕp tuyÕn cña (O 2) t¹i A c¾t FE t¹i D. Chøng minh r»ng ®iÓm D lu«n thuéc ®-êng cè ®Þnh khi A thay ®æi. 17. Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy, cho hai ®-êng trßn (S) vµ (T) c¾t nhau t¹i A vµ B. §-êng th¼ng d tiÕp xóc víi (S) vµ (T) t¹i D vµ C. BiÕt to¹ ®é c¸c ®iÓm A, B, D lµ A(10;6), B ( 14 12 ; ), D(4;0) . 5 5 T×m täa ®é ®iÓm C vµ viÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng trßn (T). 13 Tài liệu tham khảo [1] Tài liệu bồi dưỡng chuyên môn giáo viên trường trung học phổ thông chuyên năm 2012, tr 207-219. [2] Các chuyên đề hình học trong tạp chí toán học tuổi trẻ. . [3] Các chuyên đề hình học trong các trang web : diendantoanhoc.net, vnmath.com… 14