Tài liệu Bộ đề thi môn toán cao cấp giải tích 2 có lời giải

Đề 1: Câu 1: Tìm khai triển Taylor của f ( x, y )  2x  y tại điểm (2,1) đến cấp 3. x y X=x-2, Y=y-1 = 1+ f(X,Y)= = + X- Y- [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3)2 -(X/3 +Y/3)3 + o(ρ3)] =1+ X2 + = + (x-2) - (y-1) - Y2 + X3 - XY + (x-2)2 + (y-1)2 + Y3 - XY2 + o(ρ3) (x-2)(y-1) + (x-2)3 - (y-1)3 - (x-2)(y-1)2 + o(ρ3) Câu 2:tìm cực trị của hàm z x 2  y 2  xy  12 x  3 y Điểm dừng: <=> x=7, y=-2 A= z’’xx=2, B=z’’xy=1, C=z’’yy=2 Δ=AC-B2=3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2) n n un 1  2  Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  với un=  2  2  và vn=  1   n n  n 1 v n     = = 2/e2 <1 => = n 1 ( 1) n 1 x 2 n  n n 1 4 (3n  1)  Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ρ= = => -4 -2 f’’xx(2,1)= 4e2 d 2 f (2,1) . /2 + 2x2y3 f’’xy= 4xy => f’’xy(2,1)=16e2 f’y=2x2y f’’yy= 2x2  +4x3y2 => f’’yy(2,1)=40e2 d2f(2,1)=4e2dx2 + 32e2dxdy + 40e2dy2 Câu 2. Tìm gtln, gtnn của f ( x, y ) ( y 2  x 2 )e1 x 2  y2 trên miền D {( x, y ) | x 2  y 2 4}  x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0 +λ(x2+y2-4) Xét: L(x,y,λ)= , λ=-5e5 v x=  x=0,y= f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(0,2)= f(0,-2)=4e5 ,y=0, λ=-3e-3 f(-1,0)=1 f(2,0)= f(-2,0)=-4e-3 Maxf=4e5 x2+y2 4 Minf=-1 x2+y2 4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ a)  b) =  n 1    n 2  n  2   = n ( n 2 ) hội tụ theo tc Cauchy = 6>1  n 1    n 2  n  2   = n ( n 2 ) 1.3.5...(2n  1) n 1 .3 2.4.6...(2n) n 1  b/  =1/e3 <1 1.3.5...(2n  1) n 1 .3 phân kỳ theo tc D’alembert 2.4.6...(2n) n 1    Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa ρ= = ( 1) n ( x  3) n  3 n 1 2n  ln n  =1 => -1 2 tích phân ko phụ thuộc đường đi I   x  y  dx   x  y dy = = C Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu z  R 2  x 2  y 2 nằm trong hình trụ x 2  y 2 Rx . Gọi S là phần mặt cầu z  R 2  x 2  y 2 nằm trong hình trụ x 2  y 2  Rx D=prxOyS, D={x2+y2 Rx} S= dxdy = rdr =2R( Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai I  3 S x 2  y 2  z 2 4, z  x 2  y 2 , phía trong. Các đk công thức Gauss thỏa I x 3dydz  y 3dxdz  z 3dxdy = S =-3 = ( 3 3 x dydz  y dxdz  z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi Đề 3: Câu 1. Cho hàm f ( x, y ) (2 x  y )ln x . Tính d 2 f (1,1) y f’x= 2ln + (2x+y)/x f’’xx= 2/x –y/x2 => f’’xx(1,1)=1 f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1 f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1 f’’yy= -1/y +2x/y2 => f’’yy(1,1)=1  d2f(1,1)=dx2-2dxdy+dy2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + 9 3 + với x > 0, y > 0 y x Điểm dừng:  x=1, y=3 A=z’’xx=6/x3 B=z’’xy= 1 Δ=AC-B2= -1 C=z’’yy=18/y3 x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3 1 4 7(3n  2) (2n  1)!! n 1  Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số  Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa n!( x  4) n  nn n 1  ρ= = n = =1/e => -e -e+4 f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2 dydz =0 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10  d2f(0,0)=2dx2-4dxdy+10dy2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm z x 3 y  12 x 2  8 y. Điểm dừng:  x=2, y=-4 A=z’’xx=6xy+24 Δ=AC-B2= -9  B=z’’xy= C=z’’yy=0 =-144<0 z(x,y) ko có cực trị 2 5 8 (3n  1) n 1 1 5 9 (4n  3)  Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số = =3/4 <1 2 5 8 (3n  1) n 1 1 5 9 (4n  3)     hội tụ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa = =1/8 => -8 -9 h(y) =y+c h(1)=1 => c=0  h(y)= y  h( y ) P ( x, y )dx  h( y )Q( x, y )dy  = L = = -2e2+2 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt z  x 2  y 2 2 nằm trong hình paraboloid z  x 2  y 2 . z  x 2  y 2 2 S là phần mặt z x 2  y 2 nằm trong hình paraboloid . D=prxOyS, D={x2+y2 1} S= dxdy= Câu 8. Tính I  2 dxdy= 2 2 x dydz  y dxdz  z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x S I x 2 dydz  y 2 dxdz  z 2 dxdy = dydz+ S dydz= + dydz = I= Đề 5 dydz+ dydz + =- Tương tự rdr= =0 dydz=0 2 = rdr = 2 -1)  y 2  z 2 2 z , phía trên.  f  f (u ) u 3  sin u; 2 f Câu 1. Tính , với  x xy u 2 xy  e Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) 2 x 2  12 xy  y 2 ; x 2  4 y 2 25 L(x,y,λ)= 2x2+12xy+y2 +λ(x2+4y2-25)  x=3,y= , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 v x=4,y= , λ=-17/4 v x=-4,y= d2L= (4+2λ)dx2 + (2+8λ)dy2 + 24dxdy x2 = -4y2+25 => 2xdx=-8ydy x=3,y=  x=4,y=  , λ=2 v x=-3,y= , λ=2 =>d2L>0 f(x,y) đạt cực tiểu tại (3,-2), (-3,2) , λ=-17/4 v x=-4,y= , λ=-17/4 => d2L<0 f(x,y) đạt cực đại tại (4,3/2), (-4,-3/2) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số =  2n   n2  n 1  n  1  3 = 8 >1 3n , λ=-17/4   2n   n2  n 1  n  1  3n 3 phân kỳ theo tc Cauchy  Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi: =  n 1 (  1) n 1 2 n 1 ( x  5) n ( n  1) ln(n  1) =2 => -1/2 9/2 dz(1,1) = 6edx+9edy 6xy3 = 18xy2 + 6xy33x2y2 = 18xy2 + 18x3y5 => 2 z (1,1) = 36e xy Câu 2. Khảo sát cực trị hàm số z= x3+ y3+ 3x2- 3xy +3x-3y +1 Điểm dừng:  x=0, y=1 v x=-1,y=0 A= z’’xx=6x+6 B=z’’xy=-3 C=z’’yy=6y Δ=AC-B2=36(x+1)y-9 x=0, y=1 => Δ=27>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại (0,1) x=-1,y=0 => Δ=-9<0 => ko có cực trị Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 4 9 n 2  n 1 (4n  3)!!   Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 4 n 0 ρ= = => -4/3 -1/3 r= 2sint I= = =4 Câu 8. Dùng công thức Stokes, tính I  ( x  y ) dx  (2 x  z )dy  ydz , với C là giao của x 2  y 2  z 2 4  C và x  y  z 0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. S là mặt giao của C là giao của x 2  y 2  z 2 4 và x  y  z 0 I ( x  y )dx  (2 x  z )dy  ydz = (S có n=( C = = =- S=- ) = -4 Đề 7 Câu 1. Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2). Tính dz( dz= => dz( => 2 z ( x 2 2,1) 2,1) và 2 z ( x 2 = 2 ,1) = -6 Câu 2. Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) 1  4 x  8 y; x 2  8 y 2 8 . L(x,y,λ)= 1-4x-8y+λ(  x=-4,y=1, λ=-1/2 v x=4,y=-1, λ=1/2 d2L= dx2 - dy2 x2 = 8y2+8 => 2xdx=16ydy x=-4,y=1, λ=-1/2 => d2L>0 => f(x,y) đạt cực tiểu tại (-4,1) x=4,y=-1, λ=1/2 => d2L<0 => f(x,y) đạt cực đại tại (4,-1) Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 2n n !  n n 1 n  2 ,1)   Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa n 0  n  2 x  1 n 5 n 2. n 6  1 ρ= => -5 -6y=-1/2 y=-1: f(x)= 5 với mọi x y=1: f(x)=2x2+5>0 f(0,0)= 4 f(-1,-1)=f(1,-1)=5 f( Maxf= 7 Minf= 4 f(1,1)=f(-1,1)=7