Tài liệu Biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM QUANG TUYẾN BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA HÀM CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM QUANG TUYẾN BIỂU DIỄN TÍCH PHÂN CỦA HÀM CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. NGUYỄN HUY LỢI HÀ NỘI – 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy của mình. Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tác giả nhận được sự quan tâm giúp đỡ của các giảng viên: Khoa Toán; Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tác giả xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ quý báu đó. Được sự tạo điều kiện của Trường THPT Nguyễn Trường Thúy cùng bạn bè và các đồng nghiệp nhà trường. Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn trân trọng! Hà Nội, tháng 7 năm 2016 Tác giả Phạm Quang Tuyến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn với đề tài “Biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình” là một công trình nghiên cứu tìm hiểu của chính tác giả. Bản luận văn được hoàn thành trên cơ sở kế thừa các kết quả của các nhà Toán học trong lĩnh vực khoa học được trình bày. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Tác giả Phạm Quang Tuyến Mục lục MỞ ĐẦU 4 1 Một số kiến thức về hàm chỉnh hình 6 1.1. Không gian C, C, Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3. Nguyên hàm và tích phân của hàm một biến phức . . . . 26 2 Biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình 33 2.1. Tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2. Tích phân loại Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3. Tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4. Tích phân Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5. Mối liên hệ giữa tích phân Fourier và tích phân loại Cauchy 48 2.6. Một số ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 3 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài. Lý thuyết giải tích phức có rất nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề toán học cũng như trong thực tiễn. Ngay từ những năm đầu của thế kỷ XVIII nhiều nhà toán học đã có những thành công trong việc nghiên cứu ứng dụng Lý thuyết giải tích phức để giải quyết các bài toán về thủy động học và khí động học. Trong môn giải tích phức thì hàm chỉnh hình đóng vai trò rất quan trọng trong một số vấn đề lý thuyết cũng như trong thực tiễn. Đặc biệt khi giải quyết các vấn đề thực tiễn ta thường dẫn tới bài toán biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình. Hơn nữa các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình có thể giúp chúng ta nhìn nhận kiến thức giải tích phức một cách sâu và rộng hơn từ đó đáp ứng tốt yêu cầu dạy học. Với lý do trên và với sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Nguyễn Huy Lợi, tôi đã chọn đề tài: “Biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình”. 1. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình sau đó nêu ra một số ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn của nó. 2. Nhiệm vụ nghiên cứu. Tìm hiểu tính chất của hàm chỉnh hình, hệ thống các phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Đề tài tập trung 4 nghiên cứu một số phương pháp biểu diễn tích phân của hàm chỉnh hình như tích phân Cauchy, tích phân Fourier, tích phân Laplace và ứng dụng của hàm chỉnh hình trong việc giải phương trình vi phân thường và một số phương trình đạo hàm riêng đặc biệt. 4. Phương pháp nghiên cứu. Đọc, dịch, tra cứu, tổng hợp theo chủ đề các tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học một cách logic và có hệ thống. 5. Giả thuyết khoa học. Nghiên cứu sâu một khái niệm Toán học, nâng nó lên thành đề tài nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, giải toán và thực tiễn. 5 Chương 1 Một số kiến thức về hàm chỉnh hình Trong chương này chúng ta trình bày tóm tắt một số kiến thức về không gian không gian C, C, Cn , các kiến thức về hàm chỉnh hình, nguyên hàm, tích phân của hàm phức làm cơ sở để nghiên cứu cho chương II. Tài liệu dùng để viết chương này chủ yếu dựa vào X ([2] , [3]). 1.1 Không gian C, C, Cn 1.1.1 Không gian C, C Trong mặt phẳng Oxy ta gọi mỗi điểm z = (x, y) là một số phức. Mặt phẳng Oxy được gọi là mặt phẳng phức, ký hiệu là C. Ta gọi x là phần thực của số phức z, ký hiệu là Re(z); y gọi là phần ảo của số phức z, ký hiệu là Im(z); trục Ox gọi là trục thực, Oy gọi là trục ảo. Với hai số phức z1 = (x1 , y1 ) và z2 = (x2 , y2 ), ta nói z1 = z2 khi và chỉ khi x1 = x2 và y1 = y2 . Các phép toán và tính chất. Ta đồng nhất số thực x với số phức (x, 0) và viết x = (x, 0). Đặc biệt (0, 0) = 0 và (1, 0) = 1. Ký hiệu số phức (0, 1) = i gọi nó là đơn vị ảo. Trên tập hợp số phức, ta xây dựng hai phép toán z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ); z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ). 6 Từ sự đồng nhất x = (x, 0) các phép toán trên tập hợp số thực được bảo toàn. Thật vậy, ta có thể chỉ ra một số điều dưới đây x + y = (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0 + 0) x.y = (x, 0).(y, 0) = (x.y − 0.0, x.0 + y.0) = (xy, 0) z + 0 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z z.0 = (x, y).(0, 0) = (x.0 − y.0, x.0 + y.0) = 0 z.1 = (x, y).(1, 0) = (x.1 − y.0, x.0 + y.1) = (x, y) = z i.i = (0, 1).(0, 1) = (0.0 − 1.1, 0.1 + 1.0) = (−1, 0) = −1. Bởi vì (y, 0) = y với mọi y ∈ R nên (0, y) = (0, 1).(y, 0) = i.y. Do đó, ta nhận được dạng biểu diễn sau đây của số phức z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x + iy Số phức z̄ = x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z = x + iy. Ta dễ dàng chứng minh các tích chất sau: Với các số phức z = x + iy, z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 ta có (i) z = z; z1 + z2 = z̄1 + z̄2 ; z1 z2 = z̄1 .z̄2 (ii) z + z̄ = Rez = 2x; z − z̄ = 2iImz = 2iy (iii) z.z̄ = x2 + y 2 ≥ 0 Các phép toán ngược z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ) z1 .z̄2 x 1 x 2 + y1 y2 z1 = = z2 z2 .z̄2 x22 + y22 Mặt cầu số phức Riemann. Trong không gian Oξηζ, xét mặt  1 1 bán kính , cực bắc của mặt cầu là điểm N (0; 0; 1). 2 2 Mặt phẳng Oξη trùng với mặt phẳng Oxy. Với mỗi z ∈ C, đường thẳng cầu S tâm 0; 0; 7 zN cắt mặt cầu S tại điểm Π(z). Phép tương ứng z → Π(z) xác định một song ánh từ C lên S\{N }. Nếu điểm z = x + iy thì Π(z) có tọa độ là x y |z|2 ξ= ;η = ;ζ = 1 + |z|2 1 + |z|2 1 + |z|2 (1.1.1) Trong phép ánh xạ Π : C → S, điểm N là điểm duy nhất không tương ứng với điểm nào của C. Ta thấy khi |z| → ∞ thì Π(z) → N . Một cách tự nhiên cần bổ sung điểm ∞ để tương ứng với N . Ta kí hiệu C = C ∪ {∞} và gọi là mặt phẳng phức mở rộng. Với mọi z1 , z2 ∈, ta đặt q d(z1 , z2 ) = (ξ1 − ξ2 )2 + (η1 − η2 )2 + (ζ1 − ζ2 )2 , trong đó Π (z1 ) = (ξ1 ; η1 ; ζ1 ), Π (z2 ) = (ξ2 ; η2 ; ζ2 ). Số d (z1 ; z2 ) được gọi là khoảng cách cầu của hai số phức z1 và z2 . Tập điểm trên mặt phẳng phức. Giả sử a ∈ C và số thực r > 0. Ta gọi các tập hợp S(a, r) = {z ∈: |z − a| < r} và S(a, r) = {z ∈: |z − a| ≤ r} tương ứng là hình tròn mở và hình tròn đóng tâm a bán kính r. Tập hợp G ⊂ C được gọi là tập hợp mở nếu mọi a ∈ G đều tồn tại đĩa mở S(a, r) ⊂ G. Điểm a gọi là điểm biên của tập hợp X ⊂ C nếu với mọi r > 0 thì ta đều có S(a, r) ∩ X 6= φ và S(a, r) ∩ (C\X) 6= φ. Tập tất cả các điểm biên của X gọi là biên của X ký hiệu là ∂X. 8 Điểm a gọi là điểm dính của X nếu mọi hình tròn tâm a bán kính r đều có giao khác rỗng với X, tức là S(a, r) ∩ X 6= φ. Tập các điểm dính của X ký hiệu là X và gọi là bao đóng của X. Điểm a được gọi là điểm trong của X nếu tồn tại đĩa mở S(a, r) nằm trọn trong X. Tập hợp tất cả các điểm trong của X gọi là phần trong của X và ký hiệu là intX. Với các khái niệm này ta có thể thấy ngay kết quả sau Định lý 1.1.1 Với mọi tập hợp X ⊂ C ta luôn có (i) X = X ∪ ∂X; (ii) intX = X\∂X; (iii) Tập hợp X là đóng khi và chỉ khi X = X hoặc X ⊃ ∂X; (iv) X là tập đóng bé nhất chứa X; (v) intX là phần trong lớn nhất chứa trong X. Tập X ∈ C gọi là bị chặn nếu tồn tại số R > 0 sao cho |z| ≤ R với mọi z ∈ X. Tập compact. Giả sử X là một tập con trong C và {zn} là một dãy trong X. Điểm a được gọi là điểm tụ của dãy {zn } nếu với mọi ε > 0 tồn tại vô số số nguyên dương n sao cho |zn − a| < ε. Điều đó tương đương với mọi hình cầu S(a, r) chứa vô hạn các phần tử của dãy {zn }. Tập K ⊂ C được gọi là compact nếu mọi dãy các phần tử của K đều có điểm tụ trong K. Giả sử X ⊂ C và {Gi }i∈I là các tập mở trong C. Ta nói + Họ {Gi }i∈I gọi là phủ mở của X nếu ∪ Gi ⊃ X; i∈I + Nếu J ⊂ I và ∪ Gi ⊃ X thì họ {Gj }i∈J gọi là phủ con của phủ i∈J {Gi }i∈I . 9 + Đặc biệt nếu {Gik }nk=1 là một số hữu hạn các tập mở phủ X thì nó được gọi là phủ con hữu hạn của X. Ta cần đến kết quả quan trọng sau đây về tập compact Định lý 1.1.2 (Định lý Heine – Borel). Giả sử X ⊂ C. Khi đó các điều kiện sau là tương đương (i) X là compact; (ii) Mọi phủ mở của X đều có một phủ con hữu hạn; (iii) X đóng và bị chặn. Đường cong và miền. Giả sử ϕ(t) và ψ(t) là các hàm thực liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó phương trình z = z(t) = ϕ(t) + iψ(t); a ≤ t ≤ b cho biểu diễn tham số của đường cong liên tục z = z ([a; b]) trong C. Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm ϕ(t) và ψ(t) có các đạo hàm liên tục trên [a, b] và ϕ02 (t) + ψ 02 (t) > 0; với mọi t ∈ [a, b] Đường cong liên tục tạo bởi hữu hạn đường cong trơn gọi là đường cong trơn từng khúc. Các điểm z(a) = ϕ(a) + iψ(a) và z(b) = ϕ(b) + iψ(b) lần lượt được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong L. Đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường cong không có điểm tự cắt, tức là nếu t1 6= t2 thì z(t1 ) 6= z(t2 ) ngoại trừ tại các điểm đầu và cuối của đường cong, được gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đóng được gọi là chu tuyến. Chu tuyến γ giới hạn một miền trong mặt phẳng được ký hiệu bởi Dγ . Miền D gọi là đơn liên nếu mọi chu tuyến γ ⊂ D đều có Dγ ⊂ D. Miền không đơn liên gọi là 10 miền đa liên. Quy ước. Gọi chiều dương của biên của D là chiều mà khi đi dọc biên của D theo hướng đó thì miền được xét nằm về bên trái, hướng ngược lại là hướng âm. Ký hiệu + ∂D+ là biên của D lấy theo chiều dương; + ∂D− là biên của D lấy theo chiều âm. Có thể chỉ rằng mọi đường cong liên tục là compact. Do đó, nếu xét đường cong liên tục trong miền D thì 0 < d(L, D). Một số ví dụ mô tả các khái niệm 1. Hình tròn mở là tập mở. Thật vậy, với mọi z ∈ S(a, r) ta có |z − a| < r. Đặt δ = r − |z − a| > 0 và chọn số δ1 sao cho 0 < δ1 < δ. Khi đó, ta thấy rằng S(z, δ1 ) ⊂ S(a, r). Để chứng tỏ điều này, ta lấy phần tử bất kỳ w ∈ S(z, δ1 ) thì |w − a| ≤ |w − z| + |z − a| < δ1 + r − δ < δ + r − δ < r. Điều đó chứng tỏ w ∈ S(a, r) và như vậy S(a, r) là tập mở. 2. Phần bù của đĩa đóng C\S̄(a, r) là tập mở. Thật vậy, với mọi z ∈ C\S̄ (a, r) thì |z − a| > r. Khi đó chọn số δ1 sao cho 0 < δ1 < δ = |z − a| − r thì ta thấy S(z, δ1 ) ⊂ C\S(a, r). Thật vậy, với mọi w ∈ S(z, δ1 ) ta có |w − a| = |w − z + z − a| = |(w − z) − (a − z)| ≥ |w − z| − |a − z| . 3. Cũng vậy, ta có thể chứng minh được rằng nửa mặt phẳng trên {z = x + iy ∈ C : y > 0} là tập mở. 4. Giả sử X là đĩa mở hoặc đĩa đóng tâm a bán kính r thì các điểm 11 thuộc đường tròn |z − a| = r là điểm biên của X và đường tròn đó là biên của đĩa. 1.1.2 Không gian Cn. Xét không gian Ơclit số chiều chẵn R2n, các điểm của nó là các bộ có thứ tự 2n số thực (x1, ..., x2n ). Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức, bằng cách đặt zv = xv + ixn+v (v = 1, ..., n). Thường ta ký hiệu xn+v = yv nên zv = xv + iyv (v = 1, ..., n). Không gian mà điểm là những bộ n số phức (hữu hạn) z = (z1 , ..., zn ) = {zv } (1.1.2) sẽ gọi là không gian phức n chiều và ký hiệu qua Cn . Đặc biệt khi n = 1 ta có C1 = C là mặt phẳng số phức. Có thể xem rằng, với n tùy ý, không gian Cn là tích n mặt phằng phức Cn = C ... × C} . | × {z (1.1.3) n lần Như vậy, các điểm của không gian phức n chiều Cn là các điểm của không gian thực 2n chiều R2n . Song, việc đưa cấu trúc phức vào không gian đó sự phản xứng – không phải mọi tọa độ trong đó là bình đẳng (chẳng hạn x1 và xn+1 được hợp thành số phức z1 , còn x1 , x2 không được hợp thành). Đặc biệt, hệ quả của sự phản xứng đó là không phải mọi mặt phẳng đều bình đẳng khi chuyền từ R2n đến Cn . Chẳng hạn ta xét mặt phẳng 2r chiều 2r 2n Y X : αµv xv = βµ (µ = 1, ..., 2n − 2r) (1.1.4) v=1 trong đó αµv và βµ là các hằng số thực, các phương trình độc lập nhau, tức là rank (αµv ) = 2n − 2r. Như trước kia, đặt zv = xv + ixn+v (v = 1, ..., n), ta sẽ có: 12 zv + zv zv − zv , xn+v = (v = 1, ..., n) 2 2i và do đó, ta có thể viết lại phương trình mặt phẳng đó dưới dạng n X (1.1.5) (αµv zv + αµv 0 zv ) = bµ (µ = 1, ..., n − r) xv = v=1 trong đó αµv , αµv 0 và bµ là các hằng số phức. Trong tất cả các mặt phẳng như vậy, ta tách ra những cái mà trong phương trình không có zv ; những mặt như vật sẽ gọi là mặt phẳng giải tích r chiều (phức). Do đó, theo định nghĩa, phương trình của mặt phẳng giải tích r chiều phức sẽ là n X r αµv zv = bµ (µ = 1, ..., n − r) (1.1.6) A : v=1 Chỉ có các mặt phẳng giải tích là mặt phẳng “chân chính” của không gian Cn , những mặt phẳng khác trong R2n (đặc biệt, tất cả các mặt số chiều lẻ) sẽ không được xem là mặt phẳng của Cn . Chẳng hạn, trong C2 , tập các điểm mô tả bởi phương trình z1 = x1 + ix3 = 0 (tức là mặt phẳng hai chiều {x1 = 0, x3 = 0} trong R4 ) được xem là mặt phẳng, còn tập x1 + ix2 = 0 (tức là mặt phẳng hai chiều {x1 = 0, x2 = 0} trong R4 ) không được xem là mặt phẳng. Ta sẽ gọi các mặt phẳng giải tích n−1 chiều phức zv = 0 là các mặt phẳng tọa độ. Các mặt giải tích một chiều phức còn được gọi là đường thẳng giải tích. Các đường thẳng giải tích đi qua điểm z o = (z1o , ..., zno ) ∈ Cn đã cho, có thể viết bởi phương trình z1 − z1o zn − zno L: = ... = ω1 ωn (1.1.7) trong đó, ωv ∈ C là các hằng số nào đó (không bằng 0 tất cả). Ký hiệu đại lượng chung của các tỉ số trong (1.1.6) qua ζ, ta có thể viết lại phương trình của đường thẳng giải tích dưới dạng tham số: L : zv = zvo + ωv ζ (ζ ∈ C; v = 1, ..., n) 13 (1.1.8) Trong Cn đưa vào một cách tự nhiên cấu trúc không gian vectơ: tổng các vectơ z 0 = {zv 0 } và z 00 = {zv 00 } được hiểu là vectơ z 0 + z 00 = {zv 0 + zv 00 } là tích của vectơ z = {zv } với số ζ ∈ C là vectơ λz = {λzv } . Sử dụng các phép tính trên, ta có thể viết phương trình đường thẳng giải tích dưới dạng vectơ: L : z = z o + ωζ (1.1.9) trong đó ω = (ω1 , ..., ωn ) ∈ Cn là vectơ định hướng của đường thẳng, còn ζ ∈ C là tham số. Như vậy, đường thẳng giải tích là một hàm vectơ tuyến tính của biến phức ζ với giá trị trong không gian phức (L : C → Cn ). Trong Cn có thể đưa vào cấu trúc không gian mêtric. Thường xét hai mêtric: mêtric Ơclit e (z 0 , z 00 ), hay v v u 2n u n uX X u 2 |zv 0 − zv 00 | = t (zv 0 − zv 00 )2 |z 0 − z 00 | = t v=1 (1.1.10) v=1 và mêtric ρ (z 0 , z 00 ) = max |zv 0 − zv 00 | v (1.1.11) ta gọi là ρ - mêtric. Rõ ràng, ρ - mêtric, cũng như mêtric Ơclit, thỏa mãn các tiên đề thông thường: a) ρ (z 0 , z 00 ) = ρ (z 00 , z 0 ) - tiên đề đối xứng; b) ρ (z 0 , z 00 ) > 0 với z 0 6= z 00 , ρ (z, z) = 0; c) ρ (z 0 , z 000 ) ≤ ρ (z 0 , z 00 ) + ρ (z 00 , z 000 ) - tiên đề tam giác. Ứng với các mêtric trên, trong Cn đưa vào cả hai tôpô. Điều đó được cho bằng cách chỉ ra hệ lân cận trong mêtric Ơclit, ε - lân cận của z o là hình cầu: B (z o , ε) = {z ∈ Cn : |z − z o | < ε} 14 (1.1.12) còn trong ρ - mêtric, là đa tròn (hay đa trụ): U (z, ε) = |z ∈ Cn : ρ (z − z o ) < ε| (1.1.13) Bất đẳng thức kép hiển nhiên ρ (z 0 , z 00 ) ≤ |z 0 , z 00 | ≤ √ nρ (z 0 , z 00 ) (1.1.14) chứng tỏ rằng, các mêtric (1.1.10) và (1.1.11) đưa vào Cn các tôpô tương đương. Để kết thúc phần này, ta mô tả ngắn gọn việc compact hóa không gian Cn , tức là làm đầy nó bởi các phần tử vô hạn. Phương pháp đơn giản n nhất dẫn đến, như thường gọi, không gian của lý thuyết hàm C . Ta đã nói, không gian Cn có thể xét như tích các mặt phẳng phức C. Nhưng mặt phẳng C hợp với điểm vô hạn được làm đầy thành mặt phẳng đóng C, đồng phôi với mặt cầu. Do đó, làm đầy một cách tự nhiên Cn thành tích n mặt phẳng đóng (mặt cầu), ta đi đến không gian của lý thuyết hàm n C = |C × {z ... × C} . (1.1.15) n lần n Như vậy, theo định nghĩa, các điểm của C là các bộ có thứ tự của n điểm thuộc mặt phẳng đóng C. Các điểm vô hạn (kỳ dị) là các điểm n có ít nhất một tọa độ vô hạn. Tập tất cả các điểm vô hạn của C được phân một cách tự nhiên thành n tập n o n v M = z ∈ C : zv = ∞, zµ ∈ C, µ 6= v . Do đó, các điểm của M v có dạng (z1 , ..., zv−1 , ∞, zv+1 , ..., zn ), trong đó zµ (µ 6= v) là các số phức hữu hạn hoặc vô hạn. Mỗi M v , và cũng có n nghĩa là tập tất cả các điểm vô hạn của C có số chiều phức bằng n − 1. Tất cả các M v giao nhau tại điểm (∞, ..., ∞). 15 n Tôpô C được đưa vào như trong tích các không gian: lân cận của z o = n {zvo } ∈ C là tích các lân cận của các điểm zvo trong mặt phẳng đóng n của biến zv . Trong tôpô đó, không gian C là compact: từ mỗi dãy điểm n n z µ ∈ C (µ = 1, 2, ...) có thể chọn dãy con hội tụ đến điểm z o ∈ C nào đó. Phương pháp compact hóa khác Cn dẫn đến, như thường gọi, không gian xạ ảnh phức P n . Ta đưa vào trong Cn các tọa độ thuần nhất (ω1 , ..., ωn+1 ) bằng cách đặt v  u n+1 uX v = 1, ..., n, |ω| = t |ωv |2 6= 0  zv = ωv ωn+1 (1.1.16) v=1 Các tọa độ thuần nhất của điểm z ∈ Cn xác định sai khác một nhân tử tỉ lệ (tức là cùng với (ω1 , ..., ωn+1 ), các tọa độ của z cũng sẽ là (λω1 , ..., λωn+1 ), trong đó λ 6= 0 là các số phức tùy ý. Ngược lại, theo công thức (1.1.16) bộ tùy ý các tọa độ thuần nhất ω = (ω1 , ..., ωn+1 ), trong đó ωn+1 6= 0, tương ứng điểm z ∈ Cn trong đó các tọa độ với các tỉ số khác nhau ở (1.1.16) tương ứng với các điểm khác nhau. Để loại bỏ vị trí đặc biệt của tọa độ thuần nhất cuối cùng ωn+1 , ta làm đầy Cn bởi các điểm kỳ dị (vô hạn) và khi đó, bộ tùy ý các tọa độ thuần nhất ω = (ω1 , ..., ωn+1 ) , |ω| = 6 0 sẽ tương ứng với các điểm của không gian P n nào đó, cũng được gọi là không gian xạ ảnh phức. Các điểm của P n có ωn+1 6= 0 theo công thức (1.1.16), tương ứng với các điểm z ∈ Cn , vì thế P n thực sự làm đầy Cn . Các điểm ω có ωn+1 = 0 tương ứng với các điểm vô hạn (kỳ dị). Chính xác hơn, các điểm của P n không phải là chính các bộ ω = (ω1 , ..., ωn+1 ) , |ω| = 6 0 mà là các lớp những bộ tương đương, nếu xem hai bộ ω 0 và ω 00 tương đương khi các tọa độ ωv 0 và ωv 00 tỉ lệ (ωv 00 = λωv 0 , λ 6= 0). Thật vậy, đại diện tùy ý của lớp tương đương như vậy (với ωn+1 6= 0) 16 tương ứng với một điểm z ∈ Cn , đồng thời đại diện của những lớp tương đương khác nhau tương ứng với các điểm khác nhau. Những lớp tương đương như vậy có thể biểu diễn trực quan nhờ các đường thẳng giải tích trong không gian Cn+1 . Thực vậy, các bộ tương đương ω = (ω1 , ..., ωn+1 ) , |ω| = 6 0, đặc trưng hóa đường thẳng giải tích trong Cn+1 : zn+1 z1 = ... = ω1 ωn+1 (1.1.17) Đi qua gốc tọa độ (việc thay ω bởi λω tùy ý, λ 6= 0, không làm thay đổi đường thẳng, những ω không tương đương xác định những đường thẳng khác nhau). Vì thế, ngay cả những điểm của P n tốt nhất cũng nên biểu diễn như các đường thẳng như vậy. Đặc biệt, đường thẳng giải tích tùy ý (1.1.17) mà ωn+1 = 0, biểu diễn điểm vô hạn. Ta đã biết rõ mô hình mặt phẳng xạ ảnh, nhận được từ mặt cầu trong R3 bằng cách đồng nhất các điểm đối kính (giai của mặt cầu với các đường thẳng trong R3 minh họa các điểm của mặt phẳng xạ ảnh). Cũng như thế, có thể biểu diễn nhờ mặt cầu trong Rn+1 và không gian xạ ảnh thực n chiều. Ta mô tả tóm tắt mô hình tương ứng đối với P n . Vì mỗi đường thẳng giải tích của Cn+1 , đi qua gốc tọa độ, hoàn toàn được đặc trưng bởi vectơ đơn vị ω o = ω |ω| nên P n có thể được biểu diễn như tập các điểm của mặt cầu S = {|z| = 1} trong Cn+1 . Song, đồng thời phải đồng nhất các giao điểm của S với đường thẳng giải tích minh họa một điểm của P n . Giả sử đường thẳng L như vậy được cho bởi phương trình tham số zv = ωvo ζ (v = 1, ..., n + 1, |ω o | = 1); vì phương trình mặt cầu S n+1 n+1 P P o2 là zv zv = 1 nên với các giao điểm của L và S, ta sẽ có |ζ|2 |ωv | = 1 v=1 v=1 hay |ζ| = 1. Từ đó, rõ ràng L và S giao nhau theo tập một chiều: vòng tròn {|ζ| = 1} nằm trên đường thẳng giải tích (hai chiều) và trên mặt cầu 2n + 1 chiều. Như vậy, các điểm của P n còn có thể biểu diễn như 17 các đường tròn trên mặt cầu đơn vị S ⊂ Cn+1 (điều đó tương ứng với: P n có số chiều thực 2n). Đặc biệt, các đường tròn nhận được trong giao của S với các đường thẳng L, đối với chúng ωn+1 = 0, biểu diễn các điểm vô hạn. Trong không gian ω o có thể đưa vào tôpô bằng cách xem các đường thẳng L là “gần nhau” nếu chúng xác định bởi những vectơ đơn vị “gần nhau” (hoặc các đường tròn trên S là “gần nhau” nếu nhận được khi giao S với các đường thẳng “gần nhau”). Trong tôpô đó, P n là không gian compact. 1.2 Hàm chỉnh hình. Giả sử hàm f = u(x, y) + iv(x, y) xác định và hữu hạn trong lận cận nào đó của điểm z0 = x0 + iy0 ∈ C. Định nghĩa 1.2.1 Ta nói rằng f khả vi tại điểm z theo nghĩa giải tích thực (vắn tắt: R2 - khả vi), nếu các hàm u và v khả vi theo nghĩa thực tại mọi điểm (x, y) ∈ R2 và khi đó df = du + idv (1.2.1) được gọi là vi phân của f tại điểm z. Nhận xét: Trong (1.2.1) ta viết du và dv qua các đạo hàm riêng (những đạo hàm này tồn tại ở điểm z0 ), thì (1.2.1) có thể viết dưới dạng: df = ∂f ∂f dx + i dy ∂x ∂y (1.2.2) ∂f ∂u ∂v ∂f ∂u ∂v = +i và = +i là các đạo hàm riêng của hàm ∂x ∂x ∂x ∂y ∂y ∂y phức theo biến thực. Để thuận lợi, ta còn có thể viết công thức của vi ở đây phân dưới một dạng khác. Ta xét các biến z = x + iy và z = x − iy; các vi phân của chúng là dz = dx + idy và dz = dx − idy. Từ đó tìm 1 1 được dx = (dz + dz) , dy = (dz − dz) và thế các biểu thức này 2 2i 18