Tài liệu Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất (random variables and probability distributons)

CHƯƠNG 5 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (Random Variables and Probability Distributons) 5. ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN (Random Variable) 5.1.1. Định nghĩa • Biến ngẫu nhiên là những biến mà giá trị của nó được xác định một cách ngẫu nhiên. • Về mặt toán học, nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy có thể đặt tương ứng với một đại lượng xác định X = X(A) thì X được gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Biến ngẫu nhiên X có thể xem như hàm của biến cố A với miền xác định là ω. • Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X, Y, Z,… còn các giá trị của chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x, y, z... 5.1.2. Phân loại Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục. a) Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable) Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lập thành dãy rời rạc các số x1, x2, …, xn (dãy hữu hạn hay vô hạn) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. b) 3.1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable) Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô hạn (a,b) của trục số 0x thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. Thí dụ • Lượng khách hàng đến cửa hàng trong ngày là biến ngẫu nhiên rời rạc. • Nhiệt độ trong ngày ở Sài Gòn là biến ngẫu nhiên liên tục. 5.2. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC (Probability Distribution for Discrete Variable) 5.2.1. Hàm xác suất (Probability Function) Hàm xác suất Px(x) của biến ngẫu nhiên rời rạc X dùng diễn tả xác suất để cho biến ngẫu nhiên X đạt giá trị x. PX(x) là hàm của giá trị x PX(x) = P(X=x) Cao Hào Thi 43 Thí dụ Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6 → Hàm xác suất là : PX(x) = P(X=x) = 1/6 với x =1, 2, 3, 4, 5, 6 5.2.2. Phân phối xác suất (Probability Distribution) Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X thể hiện sự tương quan giữa các giá trị xi của X và các xác suất của xi, sự tương quan có thể trình bày bằng bảng đồ thị hoặc bằng biểu thức. Thí dụ Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, phân phối xác suất là: Trình bày bằng bảng: X PX(x) 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Trình bày bằng đồ thị : PX(x) 1/6 0 1 2 3 4 5 6 x 5.2.3. Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function). a) Định nghĩa Hàm xác suất tích lũy FX(xo) của biến ngẫu nhiên rời rạc x thể hiện xác suất để X không vượt quá giới hạn xo. FX(xo) là hàm của xo FX(xo) = P (X≤xo) Cao Hào Thi 44 b) Tính chất Ta có các tính chất sau: a. FX(xo) = ∑ PX ( x ) x ≤xo ∑ PX (x) : tổng của tất cả các giá trị có thể có của x với điều kiện x≤xo x ≤xo 0 ≤ FX(xo) ≤ 1 b. c. ∀xo Nếu x1 < x2 thì FX(x1) ≤ FX(x2) Thí dụ Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có hàm xác suất tích lũy như sau ⎧0 neáu x 0 < 1 ⎪ ⎪j FX(xo) = ⎨ neáu j ≤ x 0 < j + 1 ( j = 1,2,...,5) ⎪6 ⎪ ⎩1 neáu x 0 ≥ 6 FX(xo) 1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 0 1 2 3 4 5 6 x FX(x≤ 2.5) = PX(1) + PX(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3 • Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc hàm xác suất tích lũy luôn có dạng bậc thang bắt đầu từ 0 và tận cùng bằng 1. Cao Hào Thi 45 5.2.4. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc (Expected Value of Discrete Random Variable) a) • Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Kỳ vọng, E(X), của biến ngẫu nhiên rời rạc X được định nghĩa như sau: E(X) = ∑ x.Px (x) x • ∑ : Tổng tất cả các giá trị có thể có của x x • Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên được gọi là số trung bình (mean) và được ký hiệu là µx E(X) = µx Thí dụ Gọi X là số lỗi có trong 1 trang sách. Hàm xác suất của biến ngẫu nhiên X được cho bởi: PX(0) = 0,81, PX(1) = 0,17, PX(2) = 0,02. Tìm số lỗi trung bình có trong 1 trang sách ? Giải µx = E(X) = ∑ x * PX ( x ) = 0 * 0,81 + 1 * 0,17 + 2 * 0,02 x = 0,21 lỗi /1 trang PX(x) 0,8 0,4 0 µx = 0,21 b) 1 2 x Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất PX(x) g(X) là một hàm số của biến ngẫu nhiên X Kỳ vọng của hàm số g(X) được định nghĩa như sau : E[g(x)] = ∑ g(x)PX (x) x Cao Hào Thi 46 5.2.5. Phương sai (Variance) Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc. Gọi µX là số trung bình của biến ngẫu nhiên • Phương sai của biến ngẫu nhiên X chính là kỳ vọng của (X - µx)² và được ký hiệu σ 2X . σ 2X = E[(X - µX)²] = • ∑ (x − µ X ) 2 x * PX ( x ) Phuơng sai σ 2X có thể tính theo công thức : σ 2X = E(X²) - µ 2X = ∑ x 2 PX (x) − µ 2X x Chứng minh σ 2X = σ 2X = ∑ (x −µ X ) 2 PX (x) = ∑ x x x 2 PX ( x) − 2 µ X ∑ x.PX ( x) + µ X2 ∑ PX ( x) x x ∑ x 2 PX (x) − µ 2X x 5.2.6. Độ lệch chuẩn σx (Standard Deviation) Độ lệch chuẩn được ký hiệu σx σX = σ 2X Thí dụ Cho hàm xác suất của số lỗi X có trong 1 trang sách là PX(0) = 0,81, PX(1) = 0,17, PX(2) = 0,02 Tìm độ lệch chuẩn của số lỗi có trong 1 trang sách ? Giải Trong thí dụ trước ta có µX = 0,21 • Kỳ vọng của X² E(X²) = ∑ x 2 PX (x) = 0² * 0,81 + 1² * 0,17 + 2² * 0,02 x E(X²) • = 0,25 Phương sai σ 2X = E(X²) - µ 2X = 0,25 - (0,21)² = 0,2059 • Độ lệch chuẩn Cao Hào Thi 47 σx = σ X2 = 0,2059 = 0,4538 5.2.7. Momen a) Momen gốc cấp k (Momen of Order k) mk = E [Xk] = • • b) k = 1: k = 2: m1 = E[X] = ∑ x k PX ( x ) x ∑ xPX (x) = µ X x m2 = E[X²] Momen trung tâm cấp k (Central Momen of Order k) Mk = E[(X-µX)k] = ∑ (x −µ X ) k .PX (x) σ 2X = E[(X - µX)²] = m2 - m 12 • k = 2: • M1 = E [(X - µ)] = 0 M2 = E [(X - µ)² ] = σ² (Variance) M3 = E [(X - µ)³] = γ (Skewness : độ lệch) M4 = E [(X - µ)4] = KM2² = Kσ4 K : hệ số Kurtorsis 5.2.8. Phân phối xác suất nhị thức (Binomial Probability Distubutions) a) Hàm xác suất của phân phối nhị thức (Probability Function of Binomial Distribution). Tiến hành n phép thử độc lập. Gọi p là xác suất thành công trong mỗi phép thử độc lập => q = (1-p) là xác suất thất bại trong mỗi phép thử độc lập. Xác suất để có số lần thử thành công là x trong những phép thử độc lập được cho bởi hàm xác suất như sau : Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[px(1 - p)n-x ] với x = 0,1,2,…, n hay Px(x) = C xn pxqn-x với q = 1 - p Ghi chú • Phân phối của số lần phép thử thành công là x được gọi là phân phối nhị thức.. Cao Hào Thi 48 • Hàm xác suất PX(x) là hàm xác suất của phân phối nhị thức. b) Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối nhị thức Gọi X là số lần thành công trong n phép thử, mỗi phép thử có xác suất thành công là p. X tuân theo phân phối nhị thức với số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn được tính theo các công thức sau: Số trung bình µX = E(X) = np Phương sai σ 2X = E[(X - µx)²] = np(1-p) Hay σ 2X = npq với q = 1-p Độ lệch chuẩn σx = npq Thí dụ Một người đi bán hàng đi tiếp xúc để chào hàng với 5 khách hàng. Xác suất để bán được hàng trong mỗi lần chào hàng là 0,4. a) Tìm phân phối xác suất của số lần bán được hàng. b) Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của số lần bán được hàng. c) Tìm xác suất của số lần bán được hàng trong khoảng 2 đến 4 lần. Giải a. Xác suất của số lần bán được hàng tuân theo phân phối nhị thức : PX(x) = C xn Px qn-x = C 5x * (0,4)x * (0,6)5-x 5! * (0,4)x * (0,6)5-x x! (5 − x)! PX(x) x = 0 => PX(0) = 0,078 PX(x) = (không bán được) 0,4 x = 1 => PX(1) = 0,259 x = 2 => PX(2) = 0,346 x = 3 => PX(3) = 0,230 0,2 x = 4 => PX(4) = 0,077 x = 5 => PX(5) = 0,010 (trong 5 lần bán được cả 5) Cao Hào Thi 0 0 1 2 3 4 5 X số lần thành công 49 b. Số trung bình của số lần bán được hàng µx = np = 5 * 0,4 = 2 Phương sai σ 2X = np(1-p) = 5 * 0,4 * 0,6 = 1,2 Độ lệch chuẩn σx = 12 . = 1,10 c. P(2 < X < 4) = PX(2) + PX(3) + PX(4) = 0,653 5.2.9. Phân phối xác suất Poisson a) Phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên X được gọi tuân theo phân phối Poisson nếu hàm xác suất của X có dạng PX(x) = e − λ λx x! với λ > 0, ∀λ x = 0,1,2,… b) • Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối Poisson Số trung bình của phân phối Poisson µx = E(x) = λ • Phương sai. σ²x = E[(x-µx)²] = λ • Độ lệch chuẩn σx = λ Thí dụ Một trạm điện thoại tự động nhận được trung bình 300 lần gọi trong 1 giờ. Hỏi xác suất để trạm đó nhận được đúng 2 lần gọi trong 1 phút cho trước. Giải Số lần nhận được trung bình trong 1 phút 300/60 = 5 lần/1phút => λ = 5 Xác suất để nhận được đúng 2 lần trong 1 phút. PX(2) = (5² * e-5)/2! = 25/2e5 ≈ 0,09 Cao Hào Thi 50 5.3. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC (Probability Distributions For Continuous Random Variables) Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục được xác định bởi hàm mật độ xác suất. 5.3.1. Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function) Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x là giá trị bất kỳ nằm trong miền các giá trị có thể có của X. Hàm mật độ xác suất fX(x) của biến ngẫu nhiên liên tục là hàm có những tính chất sau : • fX(x) ≥ 0 , ∀x • Xác suất P(a Toàn bộ diện tích của hình thang cong là 1 Nếu fX(x) là hàm mật độ phân phối thì fX(x) cần thỏa mãn 2 điều kiện 9 FX(x) ≥ 0, ∀x 9 Cao Hào Thi ∫ ∞ fx (x)dx = 1 51 Thí dụ Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối với mật độ fX(x), trong đó neáu x < 0 ⎧0 ⎪⎪ fX(x) = ⎨2x ⎪ ⎪⎩0 neáu 0 ≤ x ≤ 1 neáu x > 1 Tìm xác suất để X rơi vào khoảng (0,5; 0,75) Giải Kiểm tra điều kiện của hàm mật độ phân phối ∀x fX(x) ≥ 0, +∞ ∫ f (x)dx = −∞ 0 1 ∞ −∞ 0 1 ∫ 0dx + ∫ 2xdx + ∫ 0dx = 1 Vậy f(x) là hàm mật độ xác suất. 0 , 75 P[0,5 1 a. Tìm a b. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trị ở trong khoảng (1/2,1) và ở trong khoảng (-1/3,1/3) Cao Hào Thi 52 c. Tìm P(X=1/2) Giải: f(x) a x -1 1 a. Tìm a: S= 1 ∫−1 f X (x)dx = 1 1 a(1 − (−1)) = a = 1 2 => S = b. Tìm xác suất P(1/2≤X≤1) = 1 ∫1 / 2 (−x + 1)dx = − = [- x2 + x]11 / 2 2 (1 / 2) 2 12 + 1] − [− + 1 / 2] 2 2 = 1/2-[-1/8+1/2] = 1/8 1/ 3 P(-1/3≤X≤1/3) = 2P(0≤X≤1/3)=2 ∫ (− x + 1)dx 0 =2 [ -x²/2+x ] 1/ 3 0 = 2 [-1/18+1/3] = 5/9 c. P(X = ½) = 1/ 2 ∫1 / 2 f X (x)dx = 0 Thí dụ Cho hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng: f(x) 1 x 0 Cao Hào Thi 3/4 1 53 Tìm a) P (X ≤ 3/4) b) P (X > 1/2) c) P (1/4 ≤ X ≤ 1 14 ) Giải 3/ 4 1/ 2 f X (x)dx = ∫0 ∫0 a. P (X ≤ 3/4) = 3/ 4 f X (x)dx + ∫0 f X (x)dx = 1/2(1/2 *1) + 1 (1(3/4 - 1/2) = 0,5 b. P (X > 1/2) = 1 1 2 1 2 fx (x)dx ∫ 1 = 1(1-1/2) + 1/2 (1)(1 − 1 ) = 0,75 2 1 c. P (1/4 ≤X≤1 ) = 4 1 1 4 1 4 ∫ fx (x)dx = 1-2 [1/2 * 1/4 * 1/2] = 7/8 5.3.2. Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function) Hàm phân phối tích lũy còn được gọi là hàm phân tích hay hàm phân phối xác suất a) Định nghĩa Hàm phân phối tích lũy, FX(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X thể hiện xác suất để X không vượt quá giá trị x. FX(x) là hàm của x. Fx(x) = P(X ≤ x) b) 3.3.2.2. Tính chất x ∫−∞ f X (x)dx 9 Fx(x) = 9 FX(x)dx = f ’X(x) = dFX(x)/dx 9 FX(x) là hàm không giảm => FX(x + ∆x) ≥ FX(x) 9 0 ≤ FX(x) ≤ 1 9 F(-∞ ) = 0 9 F(+∞ ) =1 9 P (a < X < b) = FX(b) – FX(a) Cao Hào Thi với fX(x) là hàm mật độ xác suất. 54 y FX(x) 1 FX(x) x -1 Thí dụ Biến ngẫu nhiên X được cho bởi hàm phân phối ⎧ 0 ⎪ FX(x) = ⎨( x − 1) / 2 ⎪ 1 ⎩ Nếu x <1 Nế u 1 ≤ x ≤ 3 Nếu x >1 Tính xác suất để biến ngẫu nhiên X nằm trong khoảng (1.5, 2.5) và khoảng (2.5, 3.5) Giải P(1,5 < X < 2,5) = F(2,5) - F(1,5) = (2,5 - 1)/2 - (1,5 -1)/2 = 0,5 P(2,5 < X < 3,5) = F(3,5) - F(2,5) = 1 - (2,5 -1)/2 = 0,25 5.3.3. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục a) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên Kỳ vọng E(X) của biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa như sau : ∫ ∞ E(X) = −∞ xfx (x)dx Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên được gọi là số trung bình ký hiệu là µx E(X) = µx b) Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên ∞ E[g(x)] = ∫−∞ g(x) fX (x)dx Cao Hào Thi 55 5.3.4. Phương sai σ² = E[X - µx)²] σ² = ∞ ∫ −∞ [x - µx)²]fX(x)dx hay σ² = E(X²) - µ²x 5.3.5. Độ lệch chuẩn : σ² = σ 2x 5.3.6. Hàm phân phối chuẩn (The Normal Distribution) a) Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn Nếu hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng fX (x) = 1 2Πσ 2 e − Với - ∞ < µ < +∞ và ( x −µ ) 2 2σ 2 0 < σ² < +∞ Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối chuẩn. b) Tính chất của phân phối chuẩn Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham số µ và σ². Ta có các tính chất sau a. Số trung bình của biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn là µ. E(X) = µ b. Phương sai của biến ngẫu nhiên X là σ² Var(X) = E[(X - µ)²] = σ² c. Đường cong của hàm mật độ xác suất có dạng hình chuông đối xứng qua trị số trung bình µ và được gọi là đường cong chuẩn (normal curve) Cao Hào Thi 56 µ−σ • µ+σ µ Phân phối chuẩn có phương sai giống nhau nhưng số trung bình khác nhau µ1 < µ2 < µ3 µ1 • µ3 µ2 Phân phối chuẩn có số trung bình giống nhau nhưng phương sai khác nhau σ21 < σ22 < σ23 σ12 σ22 σ32 µ d. Ký hiệu: Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình là µ và phương sai là σ², ta ký hiệu X ~ N (µ,σ²) Cao Hào Thi 57 c) Hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn (Cumulative Distribution Function of Normal Distribution) Định nghĩa Cho X ~ N (µ,σ²). Hàm phân phối tích lũy của biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn được định nghĩa như sau : x FX(x) = P(X b) P(Z < a) b) Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên (Standardization of Variable) Nếu biến ngẫu nhiên X có số trung bình là µ và phương sai là σ², thì biến ngẫu nhiên Z = (X-µ)/σ sẽ có số trung trung bình là 0 và phương sai là 1. Z được gọi là biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa (standardized). Nếu X tuân theo phân phối chuẩn thì Z tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa và Z được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa (Standard normal variable). Khi đó : P(a < X < b) = P[(a-µ)/σ < Z < (b-µ)/σ X µ−3σ µ−2σ µ−σ −3 −2 −1 µ µ+σ µ+2σ µ+3σ Ζ 0 1 2 3 Thí dụ Cho Z ~N(0,1). Tìm xác suất để giá trị của Z a) Nhỏ hơn - 1,25 b) Nằm trong khoảng (-0,50 , 0,75) c) Lớn hơn 1 Giải a. P(Z ≤ - 1,25) f(x) = FZ (-1,25) = 1 - FZ(1,25) = 1 - 0,8944 = 1 - 0,1056 Ghi chú −1.25 0 FZ(-zo) = 1 – FZ (zo) 1.25 f(x) b. P(-0,50 ≤ Z ≤0,75) = FZ (0,75) – FZ(-0,50) = FZ(0,75) - [1 – FZ(0,50)] = 0,7734 - [1 - 0,6915)] Cao Hào Thi Z −0.5 0 0.75 60 = 0,4649 f(x) c. P(Z > 1) = 1 - P(Z ≤ 1) = 1 – FZ(1) = 1 – 0,8413 Z = 0,1587 −0.5 0 0.75 Thí dụ Cho X ~ N(15,16). Tìm xác suất để X có giá trị lớn hơn 18 Giải P (X >18) = P(Z> [(18 -µ)/σ] = P(Z> [(18 - 15)/4] = P(Z> 0,75) = 1 - P(Z<0,75) = 1 – FZ(0,75) = 1 – 0,7734 P(X>18) = 0,2266 Thí du Nếu X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình là 3 và độ lệch chuẩn là 2. Tìm P(4 b = 1,65 5.3.8. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối nhị thức Cao Hào Thi 61 (Normal Approximaton to the Binomial Distribution) Px(x) X Số lần thành công Gọi X là số lần thành công trong những phép thử và xác suất thành công trong mỗi phép thử là p Nếu n lớn và p không quá gần 0 hay quá gần 1 thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để tính toán gần đúng cho phân phối nhị thức. Biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức được chuẩn hóa theo công thức X − np Z= np(1 − p) Với số trung bình của phân phối nhị thức µ = np và độ lệch chuẩn σ = np(1 − p) Khi đó : a − np P(a ≤ X ≤ b) ≈ P( np(1 − p) ≤Z≤ b − np np(1 − p) Điều kiện n ≥ 50 ) Nếu kể đến sự hiệu chỉnh liên tục (continuity correction) P(a ≤ X ≤ b) ≈ P( a − 0,5 − np np(1 − p) ≤Z≤ P(X=a) = P(a-0,5 ≤ X ≤ a+0,5) ≈ ( b + 0,5 − np np(1 − p) a − 0,5 − np np(1 − p ) Điều kiện 20≤ n ≤ 50 ≤Z≤ a + 0,5 − np np(1 − p) 5.3.9. Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối Poisson Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson có số trung bình là λ. Nếu λ lớn thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để tính toán gần đúng cho phân phối Poisson. Biến ngẫu nhiên X được chuẩn hóa theo công thức. Z= Cao Hào Thi X − λ λ 62