Tài liệu Biến đổi fourier phân và ứng dụng trong cơ học lượng tử.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC ĐIỀN BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM NGỌC ĐIỀN BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Nội dung 4 1 BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 4 1.1 1.2 1.3 Định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Tính chất toán tử của biến đổi Fourier . . . . . . . . 5 Biến đổi Fourier phân Namias . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Biến đổi Fourier và đa thức Hermite . . . . . . . . . 6 1.2.2 Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias . . . . . . 7 1.2.3 Bảng biến đổi Fourier phân của một số hàm đơn giản 9 Phép tính toán tử tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Phép biến đổi của tích . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Phép biến đổi của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Phép biến đổi của tích hỗn tạp . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Phép biến đổi của thương . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3.5 Phép biến đổi của tích phân . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.6 Phép tịnh tiến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.7 Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . 14 2 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN TRONG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 15 2.1 Nghiệm của phương trình Schrödinger dừng . . . . . . . . . 15 2.2 Nghiệm của phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian . 17 2.3 Nghiệm của phương trình Schrödinger cho dao động điều hoà cưỡng bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Nghiệm của phương trình Schrödinger cho các electron tự do trong một từ trường đồng nhất và không đổi . . . . . . . 22 2.5 Sự phát triển của gói sóng điện tử trong từ trường đồng nhất và không đổi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.6 Nghiệm của phương trình Schrödinger cho các electron tự do trong từ trường đồng nhất và biến thiên theo thời gian . 31 3 NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH ĐỐI VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN 37 3.1 Nguyên lý bất định đối với biến đổi Fourier phân . . . . . . 38 3.2 Ảnh hưởng của sự dịch chuyển và mở rộng quy mô . . . . . 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 47 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Những biến đổi Fourier, Laplace và sự kết hợp trong tính toán của các biến đổi đó là một trong những công cụ có tác dụng to lớn trong toán học lý thuyết và ứng dụng. Vô số các ứng dụng trong vật lý lý thuyết, kỹ thuật điện và nhiều lĩnh vực khác đã khiến cho những biến đổi này là một trong ba tiến bộ quan trọng nhất của toán học trong một phần tư cuối cùng của thế kỷ XIX. Bên cạnh những biến đổi Fourier và Laplace, các nhà Toán học và Vật lý học còn sở hữu một kho tàng các phép biến đổi tích phân khác cho từng phạm vi riêng của mình với những ứng dụng trong thực tế. Tuy nhiên, trong số đó biến đổi Fourier có vai trò nổi bật nhất. Biến đổi Fourier phân là sự khái quát toán tử vi phân Fourier thông thường bằng cách cho nó phụ thuộc vào một tham số liên tục α (được chứa trong tổ hợp απ 2 - Điều này cũng được sử dụng xuyên suốt trong nội dung của luận văn). Trong toán học, bậc α của biến đổi Fourier phân là lũy thừa α của toán tử trong biến đổi Fourier thông thường. Biến đổi Fourier phân bậc 1 chính là biến đổi Fourier thông thường. Biến đổi bậc −α chính là biến đổi ngược của biến đổi bậc α. Với sự phát triển của biến đổi Fourier phân và các khái niệm có liên quan, chúng ta thấy rằng miền tần số thông thường chỉ là trường hợp đặc biệt của sự liên tục các miền Fourier phân đoạn. Trong lý thuyết về việc thay thế tín hiệu đại diện, chúng ta cũng thấy được sự liên quan đến việc phân bố thời gian và tần số. Do đó, tất cả các tính chất của biến đổi Fourier thông thường trở thành một trường hợp đặc biệt của biến đổi Fourier phân. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Những bài viết đầu tiên về biến đổi Fourier phân được thực hiện bởi: Wiener 1929, Condon 1937, Bargmann 1961, de Bruijn 1973. Điều quan trọng là trong suốt thập niên 80 của thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều bài viết đi theo hai chiều hướng khác biệt: Namias 1980, McBride và Kerr 1987 và Mustard 1987, 1989, 1991, 1996. Tuy nhiên, số lượng các ấn phẩm chỉ thực sự bùng nổ sau khi phép biến đổi áp dụng trong quang học và xử lý tín hiệu được công bố. Trong đó, có các bài viết của: Lohmann 1993, Ozaktas và Mendlovic 1993a,b; Mendlovic và những người khác, ... Với vai trò to lớn của phép biến đổi Fourier phân trong toán học và những ngành khoa học khác như đã nêu ở trên, tôi đã chọn và nghiên cứu phép biến đổi này cùng những ứng dụng của nó. Tuy nhiên với điều kiện về không gian, thời gian và trình độ có hạn của bản thân nên cơ bản nội dung biến đổi chủ yếu là biến đổi Fourier phân Namias và ứng dụng trong cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với phép biến đổi Fourier phân. 2. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm và đọc tài liệu từ các tạp chí toán học trong nước và quốc tế liên quan đến phép biến đổi Fourier, ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với biến đổi Fourier phân. Qua đó, tìm hiểu, học tập và giới thiệu các vấn đề này. 3. Mục đích của luận văn Mục đích của luận văn là học tập và giới thiệu các kết quả nổi bật về phép biến đổi Fourier và dạng biến đổi Fourier phân được quan tâm nhiều và phát triển trong khoảng 3 thập niên trở lại đây. Bên cạnh đó luận văn có đề cập đến một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử và nguyên lý bất định đối với phép biến đổi Fourier phân. 4. Bố cục của luận văn Luận văn bao gồm phần Mở đầu, ba chương nội dung chính, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1 giới thiệu sơ lược về: phép biến đổi Fourier phân; một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier phân; biểu diễn tích phân của biến đổi Fourier phân; phép tính toán tử tổng quát của Namias [1]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Chương 2 trình bày một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của phương trình Schrödinger cho: dao động điều hòa độc lập thời gian (dừng); dao động điều hòa phụ thuộc thời gian; dao động điều hòa cưỡng bức; các electron tự do trong một từ trường đồng nhất và không đổi; sự phát triển của một gói sóng điện tử trong từ trường đồng nhất và không đổi; các electron tự do trong từ trường đồng nhất và biến thiên theo thời gian của Namias [1]. Chương 3 trình bày nguyên lý bất định cho tín hiệu thực trong miền biến đổi Fourier phân [4]. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và nhiệt tình chỉ bảo của Tiến sĩ Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học Việt Nam. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán - Tin Trường Đại học khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K4B đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. Thái Nguyên, tháng 08 năm 2012. Tác giả Phạm Ngọc Điền Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN Mục đích của chương này là giới thiệu một số nội dung cơ bản nhất về biến đổi Fourier phân. Nội dung chủ yếu dưới đây được hình thành từ tài liệu [1]. 1.1 1.1.1 Định nghĩa và tính chất của biến đổi Fourier Định nghĩa biến đổi Fourier Để có thể hiểu về biến đổi Fourier và biến đổi Fourier phân (Namias), trước hết ta xét biến đổi Fourier thông thường trong L2 (R). Các kết quả dưới đây có thể thấy trong nhiều tài liệu, thí dụ [1]. Định nghĩa 1.1. Cặp biến đổi Fourier thuận, ngược thông thường được định nghĩa là 1 f (x ) = √ 2π 1 g(k ) = √ 2π Z+∞ g(k )e ikx dk , x ∈ R, (1.1) k ∈ R. (1.2) −∞ Z+∞ f (x )e −ikx dx , −∞ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định nghĩa 1.2. Biến đổi Fourier (1.1) được viết dưới dạng toán tử: 1 F 2π [f (x )] = √ 2π Z+∞ 0 f (x 0 ) e ixx dx 0 . (1.3) −∞ Biến đổi Fourier ngược (1.2) tương ứng với toán tử là: 1 F− 2π [f (x )] = √ 2π 1.1.2 Z+∞ 0 f (x 0 ) e −ixx dx 0 . (1.4) −∞ Tính chất toán tử của biến đổi Fourier Toán tử của biến đổi Fourier có một số tính chất cơ bản sau: Tính chất 1.1. Các toán tử F π2 và F− π2 là các liên hợp phức của nhau và chúng thoả mãn hệ thức F π2 .F− π2 = F− π2 .F π2 = 1. Chúng ta lưu ý rằng F π2 [f (x)] = g (x) , F π2 [g (x)] = f (−x) , F π2 [f (−x)] = g (−x) , F π2 [g (−x)] = f (x) . Nếu Hn (x) là những đa thức Harmite bậc n thì dạng toán tử của biến đổi Fourier đối với hàm e F π2 [e −x2 2 −x2 2 Hn (x) là: π x2 Hn (x)] = ein 2 e− 2 Hn (x) . (1.5) Bây giờ chúng ta xét toán tử Fα được biểu diễn dưới dạng eiαA , α ∈ R, thỏa mãn phương trình giá trị riêng (1.5). Khi đó x2 x2 eiαA e− 2 Hn (x) = einα e− 2 Hn (x) . (1.6) Lấy vi phân hai vế của phương trình (1.6) theo α và cho α = 0, ta được −x2 −x2 2 Ae Hn (x) = ne 2 Hn (x) . (1.7) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 0 Vì Hn” (x) − 2xHn (x) + 2nHn (x) = 0, nên chúng ta có 1 d2 1 1 A=− + x2 − . 2 2 dx 2 2 (1.8) Tính chất 1.2. Một cách tổng quát, toán tử Fα = eiαA có biến đổi ngược là F−α = e−iαA . Biến đổi Fourier thông thường tương ứng với α = π2 và ngược lại với α = − π2 . Giá trị α = 0 dẫn đến toán tử đồng nhất, khi α = π tương ứng với các toán tử chẵn lẻ. 1 khi áp dụng 2 lần ta được biến 2 đổi Fourier thông thường. Biến đổi được mô tả bởi toán tử F π4 có thể gọi là căn bậc hai của biến đổi Fourier thông thường. Ví dụ 1.1. Biến đổi Fourier phân bậc Tính chất 1.3. Trong trường hợp tổng quát, ta có: Fα+β = Fα .Fβ . Về phương diện lý thuyết, dạng toán tử Fα = eiαA rất có ích, song bản thân nó không thích hợp với việc rút gọn trực tiếp và đánh giá biến đổi phân đoạn. Ngay cả trong trường hợp biến đổi Fourier thông thường, iπA việc sử dụng toán tử F π2 = e 2 chưa phải là hiệu quả nhất và cách tối ưu là sử dụng biểu diễn tích phân (1.1). Như vậy, đánh giá về sự biến đổi phân đoạn có thể được hỗ trợ bởi việc biểu diễn tích phân tương ứng. 1.2 Biến đổi Fourier phân Namias 1.2.1 Biến đổi Fourier và đa thức Hermite Ký hiệu Hn (x) là đa thức Hermite bậc n. Hàm Hermite được chuẩn hoá thành một hệ trực chuẩn trong L2 (R) bởi công thức Φn (x) = p 1 √ e 2n n! π 2 − x2 Hn (x), n = 0, 1, 2, . . . (1.9) Với f ∈ L2 (R) ta có f (x) = ∞ X an Φn (x), n=0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.10) 7 trong đó Z+∞ an = f (x)Φn (x)dx. (1.11) −∞ Hàm Hermite Φn (x) là hàm riêng của toán tử Fourier với giá trị riêng e inπ 2 : F π2 [Φn (x)] = e 1.2.2 inπ 2 Φn (x). (1.12) Định nghĩa biến đổi Fourier phân Namias Xét toán tử tuyến tính Fα thỏa mãn phương trình giá trị riêng Fα [Φn (x)] = einα Φn (x). (1.13) Tác động toán tử Fα vào hai vế của (1.10), sử dụng phương trình (1.13), ta có ∞ X Fα [f (x)] = an einα Φn (x), (1.14) n=0 trong đó các hệ số an được xác định theo công thức (1.11). Thay (1.11) vào (1.14) ta được +∞ ∞ n Z o X Fα [f (x)] = f (t)Φn (t)dt einα Φn (x) n=0 −∞ Z+∞ ∞ nX o inα = f (t) e Φn (x)Φn (t) dt. (1.15) n=0 −∞ Đặt Kα (x, t) = ∞ X einα Φn (x)Φn (t) = n=0 = ∞ X n=0 einα 2 2 1 − x2 − t2 √ e H (x)e Hn (t). n 2n n! π Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.16) 8 Sử dụng công thức Mehler trong [ Lebedev, Special Functions and their Applications]: ∞  2xtz − (x2 + t2 )z 2  X Hn (x)Hn (t) n 1 √ z =p exp n n! π 2) 2 1 − z2 π(1 − z n=0 (1.17) Định nghĩa 1.3. Với các điều kiện (1.15)-(1.17), ta có định nghĩa biến đổi Fourier phân (Namias) như sau: Z+∞ Kα (x, t)f (t)dt. Fα [f (x)] = (1.18) −∞ Biến đổi ngược là Z+∞ Fα [f (t)] = Kα∗ (t, x)f (x)dx, (1.19) −∞ trong đó 2xteiα − (x2 + t2 )e2iα x2 + t2 1 p Kα (x, t) = exp[ − ], (1.20) 1 − e2iα 2 π(1 − e2iα ) Kα∗ (t, x) = K−α (t, x). (1.21) Hàm Kα (x, t) có các tính chất sau: Kα (t, x) = Kα (x, t), (1.22) Z+∞ Z+∞ |f (t)|2 dt = |Fα [f (x)]|2 dx, (1.23) −∞ −∞ Z+∞ d tKα (x, t) f (t)dt = x cos(α)Fα [f (x)] + i sin(α) Fα [f (x)]. dx (1.24) −∞ Chú ý rằng khi α = π2 và α = − π2 , chúng ta lấy lại những biến đổi Fourier thông thường là công thức (1.1)và công thức (1.2). Khi α = 0, chúng ta biết rằng biến đổi quay về ánh xạ đồng nhất. Thật vậy, khi Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 α → 0 chúng ta thay sin α bởi α và cot α bởi 1 và sử dụng kết luận dưới α đây [theo nghĩa hàm suy rộng] 1 − x2 lim √ e iε = δ(x), ε→0 πiε Z+∞ δ(x − a)f (x)dx = f (a). (1.25) (1.26) −∞ Trên cơ sở các công thức (1.25), (1.26) ta định nghĩa  √ ±ixt  , α = ±π/2,  (1/ 2π)e Kα (x, t) = δ(x − t), α = 2kπ,   δ(x + t), α = (2k + 1)π. 1.2.3 (1.27) Bảng biến đổi Fourier phân của một số hàm đơn giản (Với các điều kiện thích hợp của tham số α) hàm f (x) 2 − x2 e 2 − x2 e Biến đổi Fourier phân Fα [f (x)] x2 e− 2 2 inα − x2 n (x) Hn (x)  e e H  2 2 x x ia2 iα iα exp − 2 + ax exp − 2 − 2 e sin α + axe   iα 2 exp( iπ 4 − 2 ) ix √ δ (x) exp − 2 cot α 2π sin α
  exp( iπ − iα ) √ 4 2 exp − i cot α x2 + a2 + iaxcosec α δ (x − a) 2 2π sin α   − iα 2 2 e ix √ 1 exp + 2 tan α cos α 
 − iα √e 2 exp i tan α k 2 + x2 + ikx sec α eikx 2 cos α 1.3 Phép tính toán tử tổng quát Cũng như trong trường hợp biến đổi Fourier và Laplace thông thường, phép tính toán tử có thể xây dựng dựa trên phép biến đổi Fourier phân. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 1.3.1 Phép biến đổi của tích Cho f (x) là hàm bất kì thuộc lớp L2 (R), ta cần chỉ ra phép biến đổi Fourier phân của xm f (x). Sử dụng hệ thức truy hồi Hn+1 (x) + 2nHn−1 (x) − 2xHn (x) = 0, chúng ta tìm thấy  2  2 x Fα [x exp − 2 Hn (x)] = x exp − x2 ei(n+1)α Hn (x)  2
+n exp − x2 ei(n−1)α − ei(n+1)α Hn−1 (x) . (1.28) 0 Mặt khác do Hn (x) = 2Hn−1 (x), nên  2  2 d x inα exp − x2 Hn (x) dx Fα [exp − 2 Hn (x)] = −xe  2 inα +2ne exp − x2 Hn−1 (x) . (1.29)  2 Loại bỏ neinα exp − x2 Hn−1 (x) giữa phương trình (1.28) và (1.29) ta có được  2    2 x 1 d x Fα [x exp − Hn (x)] = x cos α + sin α Fα [exp − Hn (x)]. 2 i dx 2 Nhờ mở rộng (1.14) chúng ta nhận thấy rằng   1 d Fα [xf ] = x cos α + sin α Fα [f ] i dx và dạng toán tử của phương trình này là   1 d Fα . Fα [x] = x cos α + sin α i dx Lặp đi lặp lại phương trình (1.31) cho   1 d m m Fα [x ] = x cos α + sin α Fα . i dx Từ phương trình (1.32) chúng ta dễ dàng có
Fα [x2 f ] = 12 sin 2α −i + x2 cot α Fα [f ] d d2 −ixsin2α dx Fα [f ] − sin2 α dx 2 Fα [f ]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.30) (1.31) (1.32) (1.33) 11 Hãy xem xét một hàm g(x), giả định mở rộng trong một chuỗi biến P đổi Taylor g (x) = bm xm . Sử dụng phương trình (1.33), chúng ta thấy phương trình toán tử tổng quát hơn   1 d Fα [g (x)] = g x cos α + sin α Fα . (1.34) i dx Áp dụng phương trình (1.34) cho một hàm f (x), chúng ta có   d 1 Fα [f ]. (1.35) Fα [gf ] = g x cos α + sin α i dx Hoán đổi vai trò của f và g chúng ta có   1 d Fα [gf ] = f x cos α + sin α Fα [g]. i dx 1.3.2 (1.36) Phép biến đổi của đạo hàm Chúng ta muốn để có được những biến đổi đạo hàm của một hàm. df Thay thế f (x) bởi trong phép biểu diễn tích phân (1.15) và lấy tích dx phân từng phần, giả sử rằng f (x) → 0 khi x → ±∞. Chúng ta có   ix df Fα [ ] = i cot αFα [xf ] − Fα [f ]. dx sin α Sử dụng phương trình (1.31) chúng ta có   df d Fα [ ] = −ix sin α + cos α Fα [f ] dx dx và dạng toán tử của phương trình (1.37) là   d d Fα [ ] = −ix sin α + cos α Fα , dx dx (1.37) (1.38) chúng ta dễ dàng có thể mở rộng đến các đạo hàm có cấp cao hơn   dm d m Fα [ m ] = −ix sin α + cos α Fα . (1.39) dx dx Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Áp dụng phương trình (1.39), chúng ta có
d2 f Fα [ 2 ] = − x2 sin α + i cos α sin αFα [f ]− dx d d2 2 ix sin 2α Fα [f ] + cos α 2 Fα [f ]. dx dx (1.40) Một lần nữa, nếu g là một hàm mở rộng trong một chuỗi Taylor, chúng ta có     d d Fα [g f ] = g −ix sin α + cos α Fα [f ]. (1.41) dx dx 1.3.3 Phép biến đổi của tích hỗn tạp   df Một quy tắc áp dụng cho tích x có thể được lấy dễ dàng nhất dx bằng cách sử dụng phương trình (1.31) và (1.37). Kết quả là Fα [x 1.3.4
df ] = − sin α + ix2 cos α sin αFα [f ]+ dx d i d2 x cos 2α Fα [f ] − sin2α 2 Fα [f ]. dx 2 dx (1.42) Phép biến đổi của thương f Để tìm Fα [ ], chúng ta có thể bắt đầu từ phương trình (1.15) với x f việc thay bởi f . x    √ f ix2 i π 2π sin αFα [ ] = exp − cot α exp −α × x 2 2 2   f (x0 ) +∞ R ix02 0 exp − 2 cot α + ixx cos ecα dx0 . 0 x −∞
Nhân exp 21 ix2 cot α vào cả hai vế, lấy vi phân đối với x và nhân
phương trình thu được với exp − 12 ix2 cot α cho        ix2 d ix2 f i exp − cot α exp + cot α Fα [ ] = Fα [f ]. 2 dx 2 x sin α  Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Từ đó, chúng ta có  
f i ix2 Fα [ x ] = sin α exp − 2 cot α ×   Rx ix2 exp + 2 cot α Fα [f ]dx. (1.43) −∞ Kết quả cũng có thể được lấy trực tiếp từ phương trình (1.31). Các f quy tắc áp dụng cho Fα [ m ] có thể được tìm thấy bằng cách áp dụng lặp x đi lặp lại của kết quả trên. 1.3.5 Phép biến đổi của tích phân Theo phương trình (1.14) ta có Fα [ d dg ] = −ix sin αFα [g] + cos α Fα [g]. dx dx dg = f (x) , ta được dx Zx Zx d Fα [f ] = −ix sin αFα [ f (x) dx] + cos α Fα [ f (x) dx]. dx Thay a a Việc giải phương trình vi phân đầu tiên mang lại kết quả   Rx ix2 Fα [ f (x) dx] = sec α exp − 2 tan α × a   Rx ix2 exp + 2 tan α Fα [f ]dx. (1.44) a Các quy tắc cho việc lấy tích phân nhiều lần có thể thu được bằng cách áp dụng lặp đi lặp lại. 1.3.6 Phép tịnh tiến Chúng ta bắt đầu một lần nữa từ phương trình biểu diễn tích phân (1.15), và bằng cách thay đổi của biến y = x + k , chúng ta đi đến kết quả    k Fα [f (x + k)] = exp −ik sin α x + cos α Fα [f ][x+k cos α], (1.45) 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 chỉ số trong ngoặc vuông chứng tỏ rằng nó là đối số của hàm Fα [f ] nên được viết là x + k cos α. 1.3.7 Phép biến đổi tương đương Một quy tắc tương đương cho Fα [f (ax)] cũng có thể được thành lập, nhưng nó không có kết quả tương ứng của phép biến đổi Fourier thông thường. Tuy nhiên, chúng ta đề cập đến kết quả đơn giản Fα [f (−x)] = Fα−π [f (x)]. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.46) 15 Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Trong chương này, chúng ta cùng nhau nghiên cứu ứng dụng của biến đổi Fourier phân trong cơ học lượng tử để tìm nghiệm của các phương trình Schrödinger cho dao động điều hòa và các electron. Nội dung này được đề cập đến trong nhiều tài liệu của các tác giả khác nhau. Tuy nhiên, ở đây nội dung của chương được lấy chủ yếu từ tài liệu [1]. 2.1 Nghiệm của phương trình Schrödinger dừng Áp dụng các quy tắc tính toán đối với toán tử tổng quát để giải phương trình Schrödinger dừng cho các dao động điều hòa h2 d2 ψ 1 2 − + kx ψ = Eψ, 2m dx2 2 (2.1) khi h là hằng số Planck với số bị chia 2π , k là hằng số co dãn cho các dao động của khối lượng m và năng Phương trình này có thể có được q lượng E .q bằng cách rút gọn cho z = 4 4mk h2 x và E h k m = λ; γ = 1 2 và ta có
d2 ψ 2 2 + λ − γ z ψ = 0. dz 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.2) 16 Bây giờ chúng ta lấy biến đổi Fourier phân phương trình (2.2) d2 ψ Fα [ 2 ] + λFα [ψ] − γ 2 Fα [z 2 ψ] = 0. dz (2.3) Sử dụng các quy tắc (1.29) và (1.36) và cho Fα [ψ] = G , chúng ta thấy rằng G thỏa mãn phương trình vi phân bậc hai

2 2 0 2 G00 γ 2 sin α + cos α + G (iz sin 2α) γ − 1 + 

 (2.4) G − sin2 α + γ 2 cos2 α z 2 + 2i γ 2 − 1 sin 2α + λ = 0. Bây giờ chúng ta quy phương trình này về bậc 1 bằng cách cho γ 2 sin2 α + cos2 α = 0. Như vậy, việc quy về bậc 1 chỉ đơn giản là sử dụng một biến đổi phân đoạn với góc α sao cho cot α = ±iγ. (2.5) Chúng ta có thể viết cot α = iεγ , trong đó ε = ±1. Đối với dao động điều hòa, γ = 12 , và góc α thỏa mãn phương trình (2.5) là tương ứng với một biến đổi Fourier phân. Sử dụng phương trình (2.4) chúng ta được " #
2 −εz 1 + γ 1 ελ G0 + G + z+ = 0. (2.6) 2γ 2 2zγ Nghiệm tìm được là G = C exp εz 2 1+γ 4γ 2
! z −(γ+ελ) 2γ . (2.7) Bây giờ chúng ta có được ψ nhờ biến đổi Fourier phân ngược F−α ,  2  0 ψ (z) = C exp −εz2 γ ×   +∞ (2.8) R ελ ε(1−γ 2 )z 02 0−( 21 + 2γ izz 0 ) dz 0 . exp − z 4γ sin α −∞ Rõ ràng đối với các biểu thức tích phân không mở rộng được khi z 0 → ∞, chúng ta phải chọn ε = −1. Khi cot α = ±iγ, cot2 α = −γ 2 , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn