Tài liệu Bất đẳng thức jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Trần Ngọc Quang BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Trần Ngọc Quang BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN Chuyên ngành: Toán ứng dụng KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: ThS. Nguyễn Trung Dũng Hà Nội – Năm 2016 Lời cảm ơn Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Trung Dũng đã hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và các bạn sinh viên đã đóng góp cho tôi những lời khuyên bổ ích. Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn. Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần Ngọc Quang i Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển " được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Trung Dũng. Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Trần Ngọc Quang ii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, vấn đề nghiên cứu định tính của hệ điều khiển đã nhận được sự chú ý và quan tâm của nhiều nhà khoa học ở trong nước và trên thế giới. Việc nghiên cứu này có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật như mô phỏng máy tính, thí nghiệm, tính toán . . . Chính vì thế, nghiên cứu tính ổn định của hệ điều khiển đóng vai trò vô cùng quan trọng đối với quá trình nghiên cứu lý thuyết các hệ động lực. Mặt khác trong các mô hình ứng dụng thường xuất hiện trễ thời gian. Người ta đã chỉ ra rằng sự hiện diện của trễ ảnh hưởng đến sự ổn định của hệ thống. Vì vậy, việc nghiên cứu sự ổn định cho hệ có trễ là bài toán có ý nghĩa thực tiễn. Một trong những phương pháp phổ biến nghiên cứu sự ổn định của hệ điều khiển có trễ là phương pháp hàm LyapunovKrasovskii. Để giảm bớt tính bảo thủ(conservatism) của các tiêu chuẩn đưa ra, người ta sử dụng các kĩ thuật đánh giá kết hợp với một số bất đẳng thức Cauchy, Jensen, . . . Dựa trên sự định hướng của Thạc sỹ Nguyễn Trung Dũng, tôi chọn đề tài: Bất đẳng thức Jensen và ứng dụng trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển làm đề tài khóa luận tốt nghiệp. 2. Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu các khái niệm ổn định, bất đẳng thức Jensen. - Ứng dụng bất đẳng thức Jensen trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Trình bày kiến thức về hệ tuyến tính rời rạc với trễ thời gian và hệ DMJLS; bất đẳng thức Jensen. - Trình bày một số tiêu chuẩn ổn định của hệ DMJLS. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về hệ DMJLS, bất đẳng thức Jensen. - Phạm vi nghiên cứu: Tiêu chuẩn ổn định của hệ, ứng dụng bất đẳng thức Jensen trong phân tích sự ổn định của hệ điều khiển. 5. Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm 2 chương: Chương 1: Một số kiến thức và kết quả bổ trợ. Chương 2: Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen. iv Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức và kết quả bổ trợ 1.1 Xích Markov . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . 1.1.2 Ma trận xác suất chuyển . . 1.1.3 Phân phối ban đầu . . . . . 1.2 Hệ DMJLS với trễ thời gian . . . . 1.2.1 Dạng của hệ . . . . . . . . . 1.2.2 Một số khái niệm ổn định . 1.3 Một số bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . iii 2 2 2 4 5 6 6 7 8 2 Ứng dụng của bất đẳng thức Jensen 2.1 Phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii . . . . . . . . . 2.2 Tiêu chuẩn ổn định cho hệ DMJLS . . . . . . . . . . . . 16 16 18 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1 Một số kiến thức và kết quả bổ trợ 1.1 1.1.1 Xích Markov Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa 1.1. Cho {rk , k ∈ Z+ } là một dãy các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, A, P ) nhận giá trị trong tập đếm được E. Ta nói rằng {rk , k ∈ Z+ }là một xích Markov rời rạc và thuần nhất nếu P {rn+1 = j|rn = i, rn−1 = in−1 , . . . , r1 = i1 , r0 = i0 } = P {rn+1 = j|rn = i}, ∀n ∈ Z+ và ∀ i0 , i1 , . . . , in−1 , i, j ∈ E. Tập hợp E được gọi là không gian trạng thái, các phần tử của E được kí hiệu là i, j, k, . . . (có chỉ số hoặc không). Ví dụ 1.1.1. Cho r0 , r1 , . . . , rn , . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập. Ek là tập hợp các giá trị của rk , Ek hữu hạn hay đếm được (k = 0, 1, . . . , n, . . .).Đặt E = ∪∞ k=0 Ek , rõ ràng E là tập hợp không quá đếm 2 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG được. Khi đó, ta có P {rn+1 = j|r0 = i0 , . . . , rn−1 = in−1 , rn = i} = P {rn+1 = j} = P {rn+1 = j|rn = i}, với i0 ∈ E0 , i1 ∈ E1 , . . . , in−1 ∈ En−1 , i ∈ En , j ∈ En+1 . Như vậy, {rn ; n = 0, 1, 2, . . .} là một xích Markov. Ví dụ 1.1.2. Cho r0 , η1 , . . . , ηn , . . . là dãy biến ngẫu nhiên rời rạc, độc lập, nhận các giá trị là những số nguyên. Đặt Xn = r0 + η1 + η2 + . . . + ηn (n = 1, 2, . . .). Ta có P {Xn+1 = j|r0 = i0 , X1 = i1 , . . . , Xn−1 = in−1 , Xn = i} = P {Xn + ηn+1 = j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , . . . , ηn = i − in−1 } = P {ηn+1 = i − j|ξ0 = i0 , η1 = i1 − i0 , . . . , ηn = i − in−1 } = P {ηn+1 = i − j}, và P {Xn+1 = j|Xn = i} = P {Xn + ηn+1 = j|Xn = ξ0 + η1 + η2 + . . . + ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = j − i|Xn = ξ0 + η1 + η2 + . . . + ηn−1 + ηn = i} = P {ηn+1 = i − j}. Vậy {Xn , n ∈ Z+ } là một xích Markov. 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 TRẦN NGỌC QUANG Ma trận xác suất chuyển Cho {rn , n ∈ Z+ } là một xích Markov thuần nhất với không gian trạng thái E. Đặt pij = P (rn+1 = j|rn = i), i, j ∈ E. Khi đó, pij được gọi là xác suất chuyển trạng thái của hệ từ trạng thái i ở thời điểm n(hiện tại) sang trạng thái j ở thời điểm n + 1(tương lai). Nếu đặt các biến cố A = (rn+1 = j), B = (rn = i), C = (r0 = i0 , . . . , rn−1 = in−1 ) thì tính Markov có nghĩa là P (A|B) = P (A|BC). Theo công thức xác suất có điều kiện ta có P (ABC) P (BC) × P (A|BC) = P (B) P (B) P (B) × P (C|B) × P (A|B) = P (B) P (AC|B) = = P (C|B) × P (A|B) Từ đẳng thức trên, ta thấy rằng quá khứ và tương lai độc lập với nhau khi cho trước hiện tại. Kí hiệu ma trận P = (pij ). Ma trận P được gọi là ma trận xác suất chuyển sau 1 bước. Chú ý rằng từ công thức xác suất đầy đủ ta có ma trận P = (pij ) có các tính chất: • 0 6 pij 6 1, ∀i, j ∈ E. X • pij = 1, ∀i ∈ E. j∈E Xác suất chuyển sau n bước được định nghĩa theo công thức: (n) pij = P (rn+m = j|rm = i) = P (rn = j|r0 = i) Đây là xác suất để hệ tại thời điểm ban đầu ở trạng thái i, sau n bước 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG (1) chuyển sang trạng thái j. Ta có, pij = pij . Chúng ta quy ước (0) pij   1, nếu i = j, =  0, nếu trái lại. (n) và đặt P(n) = (pij ). Ma trận P(n) được gọi là ma trận xác suất chuyển sau n bước. Từ công thức xác suất đầy đủ và từ tính Markov ta có: P(n+1) = P. P(n) , P(n+1) = P(n) . P, P(n+m) = P(n) . P(m) , P(n) = Pn . 1.1.3 Phân phối ban đầu Định nghĩa 1.2. Phân phối của xích tại thời điểm n được cho bởi công thức sau: (n) pj = P (rn = j); n = 0, 1, 2, . . . ; j ∈ E. (n) Đặt Π(n) = (pj , j ∈ E) và gọi Π = Π(0) là phân phối ban đầu của xích. (n) Chúng ta quy ước, viết (Π(n) ) = (pj , j ∈ E) là vecto hàng. Khi đó 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG ta có Π(n) = Π.P(n) , Π(n+1) = Π(n) .P, Π(n+1) = Π(1) .P(n) , Π(n+m) = Π(n) .P(m) . Phân phối ban đầu được gọi là dừng nếu Π(n) không phụ thuộc vào n tức là Π = Π(n) hay Π = ΠP. Như vậy, mô hình của xích Markov rời rạc và thuần nhất là bộ ba (rn , Π, P), trong đó • (rn ) là dãy các biến ngẫu nhiên rời rạc. • Π là phân phối ban đầu của xích. • P là ma trận xác suất chuyển. 1.2 1.2.1 Hệ DMJLS với trễ thời gian Dạng của hệ Hệ DMJLS (discrete-time Markovian jump linear system) với trễ thời gian có dạng: x(k + 1) = A(rk )x(k) + Ad (rk )x(k − τ (k)), k ∈ Z+ , (1.1) x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ2 , 0] , trong đó x(k) ∈ Rn là véctơ trạng thái, τ (k) là trễ thời gian thỏa mãn τ1 ≤ τ (k) ≤ τ2 , τm , τ2 ∈ Z+ , và ϕ(s), s ∈ [−τ2 , 0] là điều kiện ban đầu với 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG chuẩn kϕk = max kϕ(s)k. s∈[−τ2 ,0] {rk , k ∈ Z+ } là một xích Markov nhận giá trị trong tập hữu hạn M = {1, 2, . . . , q} với xác suất chuyển Pr {rk+1 = j|rk = i} = pij , trong đó pij ≥ 0 và q P pij = 1, ∀i ∈ M. j=1 Kí hiệu ma trận xác suất chuyển Π = (pij ) và phân phối ban đầu p = (p1 , p2 , . . . , pq ). A(rk ), Ad (rk ) là các ma trận hằng đã biết với số chiều phù hợp. Để đơn giản, trong phần tiếp theo, bất cứ khi nào rk = i ∈ M, các ma trận A(rk ), Ad (rk ) sẽ được kí hiệu lần lượt bởi Ai , Adi , i ∈ M 1.2.2 Một số khái niệm ổn định Định nghĩa 1.3. [2] (Ổn định hầu chắc chắn) Hệ (1.1) được gọi là ổn định hầu chắc chắn nếu với điều kiện ban đầu tùy ý ϕ và phân phối ban đầu p  Pr  lim kx(k, ϕ, r0 )k = 0 = 1. k→+∞ Định nghĩa 1.4. [2] (Ổn định bình phương trung bình mũ) Hệ (1.1) được gọi là ổn định bình phương trung bình mũ nếu với điều kiện ban đầu tùy ý ϕ và phân phối ban đầu p, tồn tại các hằng số α, β > 0 độc lập với ϕ và p sao cho h 2 E kx(k, ϕ, r0 )k |ϕ, r0 i h i 2 ≤ αE kϕk e−βk , ∀k ≥ 0. Định nghĩa 1.5. [2] (Ổn định ngẫu nhiên) 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Hệ (1.1) được gọi là ổn định ngẫu nhiên nếu với điều kiện ban đầu tùy ý ϕ và phân phối ban đầu p ∞ h i X 2 E kx (k, ϕ, r0 )k |ϕ, r0 < +∞. k=0 1.3 Một số bất đẳng thức Bổ đề 1.1. Cho W là ma trận khả nghịch, khi đó với bất kỳ ma trận U, V kích thước phù hợp, ta có   −1 U −VW V 0 T  0 W  = I −V W 0 −1   I U V V T W   Chứng minh. Ta biến đổi vế phải về vế trái, ta có   I −V W 0  =  =  = −1   I −1 U −VW V U V T VT U − V W−1 V T VT U − V W−1 V T VT 8 T V W   −1 V −VW W W  V −V  W  0  W   I −1 −W V 0 T I  . Khóa luận tốt nghiệp Đại học Do đó   I −V W 0  =  = TRẦN NGỌC QUANG −1   I −1 U −VW V U V T VT V T W 0 W U − V W−1 V T 0 0 W     I −1 −W V I 0 T 0 −W−1 V T I I       Vậy bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.2. [5](Bổ đề phần bù Schur không chặt) Cho ma trận tùy ý U = U T , V và W = W T > 0 khả nghịch, khi đó   U  V VT W  ≥ 0 ⇔ U − V W−1 V T ≥ 0.  Chứng minh. Đặt Q =  I 0 −W−1 V T I   . Khi đó, Q là không suy biến. Từ Bổ đề 1.1 ta có     −1 T U V U −VW V 0 Q =  . QT  T V W 0 W Do đó, ta có   U V VT W   ≥ 0 ⇔ U − V W−1 V T ≥ 0. 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Vậy bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.3. [3](Bất đẳng thức Jensen rời rạc) Cho R là ma trận đối xứng xác định dương và các hằng số p, q ∈ Z+ , p < q. Khi đó, với bất kỳ dãy véctơ uk ∈ Rn , k ∈ Z+ ta có q X uTk Ruk k=p q q X 1 X T uk ), ≥ ( uk ) R( l k=p k=p trong đó l = 1 + q − p. Chứng minh. Sử dụng Bổ đề (1.2), ta có:    uTk Ruk uTk uk R−1  ≥ 0, k ∈ Z+ . Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo k từ p → q ta có:  P q q P T u Ru u T  k=p k k k=p k  q q  P P uk l R−1 k=p    ≥ 0.  k=p Theo Bổ đề (1.2) ta có q X k=p T   q q X X 1 uTk Ruk −  uk  R  uk  ≥ 0. l  k=p k=p Suy ra q X k=p  1 uTk Ruk ≥  l q X k=p 10 T  uk  R  q X k=p  uk  . (1.2) Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Bằng phương pháp hiệu chỉnh tương tự như chứng minh Bổ đề 4 trong [4], chúng tôi chứng minh được kết quả sau. Bổ đề 1.4. Cho R là ma trận đối xứng xác định dương và các hằng số p, q ∈ Z+ , p < q. Khi đó, với bất kì dãy véctơ uk ∈ Rn , k ∈ Z+ , ta có q X k=p  1 uTk Ruk ≥  l trong đó, l = 1 + q − p, η = q X T uk  R  k=p q P  q X k=p 2 l+1 uk − k=p  3 uk  + η T Rη, l q P k P us . k=p s=p Chứng minh. Ta xét một dãy véctơ {vk } , vk ∈ Rn định nghĩa như sau q 1X uk + mk ξ, vk = uk − l (1.3) k=p trong đó dãy {mk } ⊂ R, véctơ ξ ∈ Rn được nghĩa như sau. Sử dụng Bổ đề (1.2) với dãy {vk } ta có, q P vk = k=p có  1 RHS(1.2) =  l q X q P mk ξ. Khi đó, ta k=p 2 mk  ξ T Rξ. k=p Mặt khác, ta có !T q P q P ! vkT Rvk = uk T Ruk + l12 uk R uk + m2 k ξ T Rξ k=p k=p ! ! q q P P − 2l uTk R uk + 2ξ T Rmk uk − 2l mk ξ T uk . k=p k=p 11 (1.4) Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Từ đó ta có T   q q q X X X 1 T uk  R  uk  + m2 k ξ T Rξ uk Ruk + LHS(1.2) = l k=p k=p k=p k=p  T       q q q q q X 2 X  X  2 X  T X  T − uk R uk + 2ξ R( mk uk ) − mk ξ R uk l l k=p k=p k=p k=p k=p  T   q q q q X 1 X  X  X 2 T T = uk Ruk − uk R uk + m k ξ Rξ l k=p k=p k=p k=p     q q q X 2 X  T X  uk . mk ξ R +2ξ T R( mk uk ) −  l  q X k=p k=p k=p (1.5) Thế (1.3) và (1.4) vào hai vế của (1.2) ta có JR g (uk , l) ≥ RR g (mk , ξ), (1.6) trong đó JRg (uk , l) = q P vk T Rvk − k=p  RgR (mk , ξ) =  1l −2ξ T R q P q P 1 l q P k=p R  vk k=p !2 mk !T − q P q P m2 k  ξ T Rξ + k=p . k=p Chọn mk = 1+k−p ,k l vk ∈ Z[p,q] và định nghĩa 12 , k=p ! mk uk ! 2 l q P k=p ! mk ξT R q P k=p ! mk Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG    0, k = p, k−1 ûk = P  us , k > p.  s=p Khi đó, ta có q q k=p k=p X l+1 X 1 mk = uk = ûq+1 , , mp = , mq = 1, uk = ∆ûk = ûk+1 − ûk , l 2 (1.7)  1 l q X 2 mk  − k=p q X k=p 2 m k q q k=p k=p 1 − l2 X l+1 1X = , mk uk = uq+1 − ûk+1 . 12l l l (1.8) Từ (1.6) và (1.7) q l+1 T 2 X 1 − l2 T ξ Rξ − ξ R(uq+1 − uk+1 ) = 12l l l+1 RgR (mk , ξ) k=p = l+1 T 1 − l2 T ξ Rξ − ξ Rη. 12l l Ta xác định véctơ ξ dạng ξ = −λη, λ ∈ R, khi đó RgR (mk , ξ) = ( 1 − l2 2 l + 1 λ + λ)η T Rη. 12l l 2 l+1 2 Hàm f (λ) = 1−l 12l λ + l λ, λ ∈ R đạt cực đại 6 6 λ = l−1 và ξ = − l−1 η, từ (1.5) và (1.8) ta có RgR (uk , l) ≥ 3(l+1) l(l−1) tại λ = 3(l + 1) T 3 η Rη ≥ η T Rη. l(l − 1) l 13 (1.9) 6 l−1 . Chọn (1.10) Khóa luận tốt nghiệp Đại học TRẦN NGỌC QUANG Bổ đề được chứng minh. Bổ đề 1.5. [5] Cho R là ma trận xác định dương đối xứng và p, q ∈ Z+ , p ≤ q. Khi đó, với mọi α ∈ (0, 1) và dãy véctơ uk ∈ Rn , k ∈ Z+ , ta có bất đẳng thức q X  αk uTk Ruk ≥ αp,q  k=p trong đó αp,q = q X T   q X uk  R  uk  , k=p k=p (1−α)αq 1−αq−p+1 . Chứng minh. Từ Bổ đề 1.2, ta có   αk uTk Ruk uTk uk α−k R−1   ≥ 0, k ∈ Z. Lấy tổng hai vế bất đẳng thức theo k từ p → q ta có  P q αk uTk Ruk  k=p  q  P uk k=p q P uTk k=p 1−αq−p+1 −1 (1−α)αq R    ≥ 0.  Theo Bổ đề 1.2, ta có q X αk uTk Ruk q q X X T ≥ αp,q ( uk ) R( uk ). k=p k=p k=p Bổ đề được chứng minh. + Bổ đề 1.6. [4] Cho các ma trận R1 ∈ S+ n , R2 ∈ Sm , ma trận bất kì 14