Tài liệu Bat dang thuc hay va kho

www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường SỞ GD & ĐT VĨNH PHÚC -------------**-------------- 550 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC Họ và tên : Trần Mạnh Cường Tổ : Khoa học tự nhiên Đơn vị : Trường THCS Kim Xá – Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc VĨNH PHÚC, XUÂN NHÂM THÌN 2012 . 1 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 550 BÀI BẤT ĐẲNG THỨC CHỌN LỌC -----------**----------1.Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1.Chứng minh rằng 1 1 1 5 + + ³ . a+b b+c c+a 2 2.Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng 3 2 a 2 + (1 - b) 2 + b 2 + (1 - c) 2 + c 2 + (1 - a ) 2 ³ 2 3.Cho a,b,c Î (0;1) .Chứng minh rằng abc + (1 - a)(1 - b)(1 - c) < 1 4.Cho a,b,c là các số dương thoả mãn điều kiện abc = 1.Chứng minh rằng b+c c+a a+b + + ³ a + b + c +3 a b c 5.Cho các số thực x,y,z thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x3 + y3 + z3 – 3xyz é 1ù 6.Cho a,b,c là ba số dương và x,y,z là ba số có giá trị thuộc đoạn ê0; ú Biết rằng a + b + c = x + y + z = 1. ë 2û Chứng minh rằng ax + by + cz ³ 8abc 7.Cho a,b,c ,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1.Chứng minh rằng ax + by + cz + 2 ( xy + yz + zx)(ab + bc + ca ) £ a + b + c 8.Cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng a b c 9 + + ³ 2 2 2 4( a + b + c ) (b + c) (c + a ) ( a + b) 9.Cho a,b,c ³ 0 .Chứng minh rằng a 4 + a 2 b 2 + b 4 + b 4 + b 2 c 2 + c 4 + c 4 + c 2 a 2 + a 4 ³ a 2a 2 + bc + b 2b 2 + ca + c 2c 2 + ab 10.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 2 .Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 ³ a b + c + b c + a + c a + b 11. Cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh rằng xyz 1 £ 4 . (1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7 12.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng 5(a2 + b2 + c2) £ 6(a3 + b3 + c3) + 1 . 13.Cho x1 , x 2 ,..., x n Î R, n ³ 2, a > 0 sao cho x1 + x 2 + ... + x n = a, x1 + x 2 + ... + x n £ 2 2 2 a2 n -1 é 2a ù Chứng minh rằng : xi Î ê0; ú , i = 1,2,...,n. ë nû 14.Cho a,b,c Î (0;1) .Chứng minh rằng b a + c b + a c ³1 4b c - c a 4c a - a b 4a b - b c 15.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc £ 1.Chứng minh rằng a b c + + ³ a+b+c b c a 2 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 16. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 3 6 1+ ³ . a + b + c ab + bc + ca 17. Cho a,b,c là các số thực dương.Chứng minh rằng a 3 b3 c3 a 2 b 2 c 2 + + ³ + + b c a b2 c2 a 2 2 2 2 18. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z + 2xyz = 1.Chứng minh rằng 1 3 b) x + y + z £ a) xyz £ 8 2 3 1 d) xy + yz + zx £ + 2 xyz c) xy + yz + zx £ £ x 2 + y 2 + z 2 4 2 19. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz .Chứng minh rằng xy + yz + zx ³ 3 + x 2 + 1 + y 2 + 1 + z 2 + 1 20. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x,y,z > -1 .Chứng minh rằng 1+ x2 1+ y2 1+ z2 + + ³2 1+ y + z2 1+ z + x2 1+ x + y2 21. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng a 2 + b b2 + c c2 + a + + ³2 b+c c+a a+b 22.Cho a,b,c ³ 0 thoả mãn điều kiện a4 + b4 + c4 £ 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) .Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 £ 2(ab + bc + ca) 23. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = xyz.Chứng minh rằng a) xyz ³ 27 b) xy + yz + zx ³ 27 c) x + y + z ³ 9 d) xy + yz + zx ³ 2(x + y + z) + 9 24. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 3.Chứng minh rằng x + y + z ³ xy + yz + zx 25. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a+b a b+c b c+a c 3 . + . + . ³ b + c 2a + b + c c + a 2b + c + a a + b 2c + a + b 4 26. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c c+a a+b b+c + + ³ + + b c a c+b a+c b+a 27. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b3 c3 3(ab + bc + ca ) + 2 + 2 ³ 2 2 2 2 a+b+c b - bc + c c - ca + a a - ab + b 28.Cho các số thực dương a,b,c,x,y,z thoả mãn điều kiện a + x = b + y = c + z = 1.Chứng minh rằng æ 1 1 1ö (abc + xyz )çç + + ÷÷ ³ 3 è ay bz cx ø 29. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca 1 + + £ (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 30.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = a3(b + c + d) + b3(c + d + a) + c3(d + b + a) + d3(a + b + c) 31. Cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh rằng x y z + + £1 x + ( x + y )( x + z ) y + ( y + z )( y + x) z + ( z + x)( z + y ) 32. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường b+c c+a a+b b c ö æ a + + ³ 4ç + + ÷ a b c èb+c c + a a +bø 33. Cho x,y,z là các số thực dương .Chứng minh rằng 3(x2y + y2z + z2x)(xy2 + yz2 + zx2) ³ xyz(x + y + z)3 34. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện max{a, b, c} - min{a, b, c} £ 1 Chứng minh rằng 1 + a3 + b3 + c3 + 6abc ³ 3a2b + 3b2c + 3c2a 35. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1.Chứng minh rằng 8(x + y + z)3 £ 10(x3 + y3 + z3) + 11(x + y + z)(1 + 4xyz) – 12xyz . 36. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3 2 ö æ 2 ö æ 2 ö æ P = ç 5a + ÷ + ç 5b + ÷ + ç 5c + ÷ b+cø è c+aø è a+bø è 37. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng æ a 2 öæ b 2 öæ c2 ö æ 1 1 1ö 27 + çç 2 + ÷÷çç 2 + ÷÷çç 2 + ÷÷ ³ 6(a + b + c)ç + + ÷ bc øè ca øè ab ø èa b cø è 38. Cho a,b,c Î (0;1) thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 .Chứng minh rằng a b c 3 æ1 - a2 1 - b2 1 - c2 ö ç ÷ + + ³ + + b c ÷ø 1 - a 2 1 - b 2 1 - c 2 4 çè a 39.Cho x,y,z £ 1 thoả mãn điều kiện x + y + z = 1.Chứng minh rằng 1 1 1 27 + + £ 2 2 2 10 1+ x 1+ y 1+ z 40.Cho x + y + z = 1 .Chứng minh rằng (1 – x)2(1 – y)2(1 – z)2 ³ 215xyz(x + y)(y + z)(z + x) 41. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = x + y + z + 2. Chứng minh rằng a) xy + yz + zx ³ 2(x + y + z) 3 b) x + y + z £ xyz 2 42. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2.Chứng minh rằng x + y + z £ xyz + 2 43. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a-b b-c c-d d -a + + + ³0 . b+c c+d d +a a+b 44. Cho x,y là các số thực dương . Chứng minh rằng xy + yx > 1. 45. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a) ³ 4(a + b + c – 1) 46. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a 2 + b2 + c2)(a + b – c) (b + c – a) (c + a – b) £ abc(ab + bc + ca) 47. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 a b c (a + 1)(b + 1)(c + 1) 3+a+b+c+ + + + + + ³3 a b c b c a 1 + abc 48. Cho x1 , x 2 ,..., x n là các số thực dương thoả mãn điều kiện x1 x 2 ...x n = 1 .Chứng minh rằng n n n 1 ö æn n n n . P ( xi + 1) ³ çç å x n + å ÷÷ i =1 i =1 x n ø è i =1 49. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng ì1 1 d ü a3 + b3 + c3 + abcd ³ min í , + ý î 4 9 27 þ 4 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 50. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng å (1+ a2)2(1 + b2)2(a – c)2(b – c)2 ³ (1+ a2)(1 + b2)(1 + c2)(a – b)2(b – c)2(c – a)2 51. Cho x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 ,..., y n Î R thoả mãn điều kiện x1 + x 2 + ... + x n = y1 + y 2 + ... + y n = 1 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng n æ ö ( x1 y 2 - x 2 y1 ) 2 £ 2ç1 - å xi y i ÷ i =1 è ø 52.Cho a1 , a 2 ,..., a n là các số nguyên dương khác nhau từng đôi một . Chứng minh rằng 2n + 1 2 2 2 a1 + a 2 + ... + a n ³ (a1 + a 2 + ... + a n ) 3 53. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1.Chứng minh rằng b c c a a b 3 3 + + ³ 4 a ( 3c + ab ) b( 3a + bc ) c( 3b + ca ) 2 2 2 54. Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện (1+ a )(1 + b )(1 + c )(1 + d2) = 16.Chứng minh rằng - 3 £ ab + bc + cd + da + ac + bd - abcd £ 5 55. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ³ 9(ab + bc + ca) 56. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn các điều kiện 0 < x £ y £ z , x + y + z = xyz + 2. Chứng minh rằng a) (1 – xy)(1 - yz)(1 - zx) ³ 0 32 b) x2y £ 1 , x3y2 £ 27 57. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c ³ abc .Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức sau đây là đúng 2 3 6 2 3 6 2 3 6 + + ³ 6, + + ³ 6, + + ³ 6 . a b c b c a c a b 58. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz .Chứng minh rằng (x – 1)(y – 1)(z – 1) £ 6 3 - 10 . 59. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 - b 3 b 3 - c 3 c 3 - a 3 (a - b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 + + £ 4 a+b b+c c+a 60. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (a5 – a2 + 3)(b5 – b2 + 3)(c5 – c2 + 3) ³ (a + b + c)3 . 61. Cho x1 , x 2 ,..., x n > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện æ n öæ n 1 ç å x k ÷çç å è k =1 øè k =1 x k ö ÷÷ = n 2 + 1 ø Chứng minh rằng 2 æ n 2 öæç n 1 ö÷ ç å xk ÷ å 2 > n 2 + 4 + ç ÷ n(n - 1) è k =1 øè k =1 xk ø 62. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + 2abc + 3 ³ (1 + a)(1 + b)(1 + c) . 63. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng ( 2a + b + c ) 2 (2b + a + c) 2 (2c + a + b) 2 + + £ 8. 2a 2 + (b + c) 2 2b 2 + (a + c) 2 2c 2 + (a + b) 2 64.Cho x,y là các số thực dương và m,n là các số nguyên dương .Chứng minh rằng (n – 1)(m – 1)(xm+n + ym+n) + (m + n – 1)(xmyn + xnym) ³ mn(xm + n – 1y + ym + n – 1x) . 5 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 65. Cho a,b,c,d,e là các số thực dương thoả mãn điều kiện abcde = 1. Chứng minh rằng a + abc b + bcd c + cde d + dea e + eab 10 + + + + ³ . 1 + ab + abcd 1 + bc + bcde 1 + cd + cdea 1 + de + deab 1 + ea + eabc 3 p 66.Cho a, b, c Î (0; ) .Chứng minh rằng 2 sin a. sin(a - b). sin(a - c) sin b. sin(b - a ). sin(b - c) sin c. sin(c - b). sin(c - a) + + ³0 sin(b + c) sin(a + c) sin(b + a ) 67. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4 + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ³ a 3b + b 3 c + c 3 a + ab 3 + bc 3 + ca 3 . 68. Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 ax + by + cz + (a 2 + b 2 + c 2 )( x 2 + y 2 + z 2 ) ³ (a + b + c)( x + y + z ). 3 69.Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.Chứng minh rằng æa b c ö æb c aö 3ç + + - 1÷ ³ 2ç + + ÷. èb c a ø èa b cø 70. Cho x1 , x 2 ,..., x n > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện x1 + x 2 + ... + x n = 1 .Chứng minh rằng n æ n - xi ö 1 ö ÷÷ ³ Õ çç ÷÷. i =1 è i =1 è 1 - xi ø n ø 71. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 + abc = 4.Chứng minh rằng 0 £ ab + bc + ca - abc £ 2 72. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a+b+c 3 - abc £ max ( a - b ) 2 , ( b - c ) 2 , ( c - a ) 2 . 3 73. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a + ab + 3 abc 3 a + b a + b + c £ a. . . 3 2 3 74. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (x + y + z)3 = 32xyz.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức x4 + y4 + z4 P= ( x + y + z) 4 75. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng (a + b)3(b + c)3(c + d)3(d + a)3 ³ 16 a 2 b 2 c 2 d 2 (a + b + c + d ) 4 76. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (ab) 4 (bc) 4 (ca ) 4 + + P= 1 - ab 1 - bc 1 - ca 77. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ³3 a (1 + b) b(1 + c) c(1 + a) abc (1 + 3 abc ) 78. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 9. Chứng minh rằng 2(a + b + c) – abc £ 10 79. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 9 + 2 + 2 ³ 2 2 2 2 x + xy + y y + yz + z z + zx + x ( x + y + z) 2 80. Cho ba số thực dương a ,b ,c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca ³ 1 .Chứng minh rằng : 1 1 1 9 + + ³ 2 2 2 2 2 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a (a + b + c) n æ Õ çç1 + x { } 6 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 81. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng 2(a3 + 1)(b3 + 1)(c3 + 1)(d3 + 1) ³ (1 + abcd)(1+ a2)(1 + b2)(1 + c2)(1+ d2) . 82. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 4 (a + b)4 + (b + c)4 + (c + a)4 ³ (a4 + b4 + c4) . 7 83. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 . + + £ + + 1+ a + b 1+ b + c 1+ c + a 2 + a 2 + b 2 + c 84. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 21ab + 2bc + 8ca £ 12.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2 3 P= + + . a b c 85. Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 3. Chứng minh rằng a b c ( y + z) + ( z + x) + ( x + y) ³ 3 b+c c+a a+b 86. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng (b + c - a) 2 (c + a - b ) 2 (a + b - c) 2 3 + + ³ . 2 2 2 2 2 2 5 (b + c) + a (c + a ) + b ( a + b) + c 87. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng (a2 + b2) (b2 + c2)( c2 + a2) ³ 8(a2b2 + b2c2 + c2a2)2 88. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện abcd = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + + ³1 2 2 2 (1 + a ) (1 + b) (1 + c) (1 + d ) 2 89. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 a b c + + ³ + + 2 2 2 2 2 2 b+c c+a a+b b +c c +a a +b 90. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc + a + c = b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau 2 2 3 P= + 2 2 1+ a 1+ b 1+ c2 91.Cho n số thực a1 , a 2 ,..., a n .Chứng minh rằng 2 æ ö çç å a i ÷÷ £ å (a i + ... + a j ) 2 1£i £ j £ n è iÎN* ø 92. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2a 2b 2c + + £3 a+b b+c c+a 93. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng é 1 1 1 ù 9 (xy + yz + zx) ê + + ú³ 2 2 ( y + z) ( z + x) 2 û 4 ë ( x + y) 94.Cho x1 , x 2 ,..., x n là các số thực dương thoả mãn điều kiện n Õ (3x i + 1) £ 2 n . i =1 Chứng minh rằng n n 1 ³ . 3 i =1 i +1 95.Cho a1 , a 2 ,..., a n là các số thực dương. Chứng minh rằng å 6x 7 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường (n – 1)(a1n + a2n + …+ ann ) + n a1a2…an ³ (a1 + a2 + … + an)(a1n -1 + a2n -1 + …+ ann - 1) 96. Cho x1 , x 2 ,..., x n > 0 thoả mãn điều kiện x1 x 2 ...x n = 1 . Chứng minh rằng n å ( x i - x j ) 2 ³ å xi - n . 1£i £ j £ n 1 và a1 + a2 97. Cho a1 , a 2 ,..., a n < n -1 + … + an i =1 = 1, n > 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức n å i =1 2 98. Cho a1 , a 2 ,..., a n Î [0;1) thoả mãn điều kiện a1 a 2 ...a n . 1 - (n - 1)ai a1 + a 2 + ... + a n 3 ³ n 3 2 a= 2 2 Chứng minh rằng a1 + a2 an + ... + ³ na 1- a2 1 - a1 1 - a 2 1 - an 99. Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện (a + b + c)(x + y + z) = (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = 4 Chứng minh rằng 1 abcxyz < . 36 100. Cho x1 , x 2 ,..., x n > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện x1 x 2 ...x n = 1 .Tìm hằng số kn nhỏ nhất sao cho 1 1 1 + + ... + £ n - 1. 1 + k n x1 1 + k n x2 1 + k n xn 2 2 2 101. Cho x1 , x 2 ,..., x n > 0 , n > 2 thoả mãn điều kiện x1 + x 2 + ... + x n = 1 .Tìm hằng số kn lớn nhất sao cho (1 – x1 ) (1 – x 2 )… (1 – xn) ³ k n x1 x 2 ...x n 102. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + 3 + 3 ³ 3 a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2 103. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng ab bc ca + 5 + 5 £1 5 5 5 a + b + ab b + c + bc c + a 5 + ca 104. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 1 + + £ a 3 + b3 + abc b3 + c 3 + abc c3 + a 3 + abc abc 105. Cho x,y,z là các số thực dương và tích xyz = 1.Chứng minh rằng: 1 1 1 + + £1. x + y +1 y + z +1 x + z +1 1 1 1 106. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện + + = 4 . Chứng minh rằng x y z 1 1 1 + + £1 . 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 107. Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ( 4x 2 + 3y )( 4y 2 + 3x ) + 25xy 108. Cho x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn điều kiện xyz = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 8 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường x2 ( y + z) y 2 ( z + x) z 2 ( x + y) + + y y + 2z z z z + 2x x x x + 2 y y 109.Cho x,y,z là ba số dương và thoả mãn điều kiện x + y + z £ 1 .Chứng minh rằng P= 1 1 1 + y 2 + 2 + z 2 + 2 ³ 82 . 2 x y z 110.Cho các số dương x,y,z thoả mãn điều kiện xyz = 1.Chứng minh rằng x2 + 1 + x3 + y3 1+ y3 + z3 1 + z 3 + x3 + + ³3 3. xy yz zx Khi nào đẳng thức xẩy ra ? 111.Cho x ,y là các số thực thay đổi .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( x - 1)2 + y 2 + ( x + 1)2 + y 2 + y - 2 . 112. Cho hai số thực x≠0, y≠0 thay đổi và thoả mãn điều kiện ( x + y ) xy = x 2 + y 2 - xy Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 A= 3 + 3 . x y 113. Cho a≥b> 0. Chứng minh rằng b a æ a 1 ö æ b 1 ö ç2 + a ÷ £ ç2 + b ÷ 2 ø 2 ø è è 114. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 + ab 2 1 + bc 2 1 + ca 2 18 + + ³ 3 3 3 3 c a b a + b3 + c3 115. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + + £ 2 2 2 2 2 2 (a + 1) + b + 1 (b + 1) + c + 1 (c + 1) + a + 1 2 116. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 öæ 1 öæ 1ö æ ç a - 1 + ÷ç b - 1 + ÷ç c - 1 + ÷ £ 1 b øè c øè aø è 117. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng a3 b3 c3 3 + + ³ (1 + b)(1 + c) (1 + a)(1 + c) (1 + a)(1 + b) 4 118. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng ab bc ca 1 + + £ 1+ c 1+ a 1+ b 4 119. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 + 2 3abc £ 1 120.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng 1 a+b+c+ ³4 3 abc 121. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng ab + c + bc + a + ca + b ³ 1 + ab + bc + ca . 122. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng (1 + a)(1 + b)(1 + c) ³ 8(1 – a)(1 – b)(1 – c) . 123. Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh rằng a2 b2 1 + ³ a +1 b +1 3 9 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 124.Cho các số thực x,y .Chứng minh rằng 3(x + y + 1)2 + 1 ³ 3xy . 125. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b æ1 1ö 2(a + b)ç + ÷ ³ 3 + 3 . b a èa bø 126.Cho a,b,c ³ 1. Chứng minh rằng a - 1 + b - 1 + c - 1 £ c(ab + 1) . 127. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz .Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + £ . 2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z 3 128. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ³1 . a 2 + 8bc b 2 + 8ca c 2 + 8ab 129. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c d 2 + + + ³ . b + 2c + 3d c + 2d + 3a d + 2a + 3b a + 2b + 3c 3 130. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + cd + da = 1. Chứng minh rằng a3 b3 c3 d3 1 + + + ³ . b+c+d c+d +a d +a+b a+b+c 3 131. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng bc ca ab a2 b2 c2 + + £ 1£ 2 + + . a 2 + 2bc b 2 + 2ca c 2 + 2ab a + 2bc b 2 + 2ca c 2 + 2ab 132. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a3 b3 c3 + + ³ a+b+c . bc ca ab 133. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 3 + + ³ . 1 + ab 1 + bc 1 + ca 2 134. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c a+b b+c + + ³ + +1. b c a b+c a+b 3 135.Cho a,b,c ³ - và a + b + c = 1. Chứng minh rằng 4 a b c 9 + 2 + 2 £ . 2 a + 1 b + 1 c + 1 10 136. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1 .Chứng minh rằng x9 + y9 y9 + z9 z9 + x9 + + ³ 2. x6 + x3 y3 + y 6 y6 + y3 z 3 + z 6 z 6 + z 3 x3 + x6 137.Cho x ³ y ³ z > 0 .Chứng minh rằng x2 y y2z z2x + + ³ x2 + y2 + z2 . z x y 138. Cho a ³ b ³ c > 0 .Chứng minh rằng a 2 - b2 c2 - b2 a2 - c2 + + ³ 3a - 4b + c . c a b 139. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng 10 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường xyz ( x + y + z + x 2 + y 2 + z 2 ) 3+ 3 . 9 ( x + y + z )( xy + yz + zx) 140. Cho a1 , a 2 ,..., a n > 0 và a1 + a 2 + ... + a n < 1 .Chứng minh rằng a1 a 2 ...a n (1 - a1 - a 2 - ... - a n ) 1 £ n +1 . (a1 + a 2 + ... + a n )(1 - a1 )(1 - a 2 )...(1 - a n ) n 141.Cho hai số thực a,b với a ¹ 0 .Chứng minh rằng 1 b a2 + b2 + 2 + ³ 3 . a a 142. Cho a1 , a 2 ,..., a n > 0 . Chứng minh rằng 2 2 2 2 £ 2 a2 a2 a1 a + 2 + ... + n -1 + n ³ a1 + a 2 + ... + a n . a2 a3 an a1 143. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1 .Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 + x + y + z ³ 2( xy + yz + zx) . 144. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz ³ xy + yz + zx .Chứng minh rằng xyz ³ 3(x + y + z) 1 1 1 + + = 2 . Chứng minh rằng 145.Cho x,y,z > 1 và x y z x + y + z ³ x -1 + y -1 + z -1 . 146. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 3 + 6b + 3 + 6c + 3 + 6a £ . a b c abc 147.Cho x ³ 2, y ³ 2, z ³ 2 . Chứng minh rằng (x3 + y)(y3 + z)(z3 + x) ³ 125xyz . 148. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện c 2 + d 2 = (a 2 + b 2 ) 3 . Chứng minh rằng a3 b3 + ³1 . c d 149. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + ³ 1. b + 2c c + 2a a + 2b 150. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng ab bc ca a b c + + ³ + + . c(c + a ) a (a + b) b(b + c) c + a b + a c + b 151. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a+c b+d c+a d +b + + + ³4 . a+b b+c c+d d +a 152. Cho x,y,u,v là các số thực dương. Chứng minh rằng xy + xu + uy + uv xy uv ³ + . x+ y+u+v x+ y u+v 153. Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;4] và x ³ y, x ³ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z + + P= . 2x + 3y y + z z + x 154. Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn [1;9] và x ³ y, x ³ z . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức x y z P= + + . x + 2y y + z z + x 11 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường é1 ù 155. Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn ê ;3ú và x ³ y, x ³ z .Chứng minh rằng ë3 û x y z 7 + + ³ . x+ y y+z z+x 5 156. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng æ a+b+cö æ a öæ b öæ c ö ÷÷ . ç1 + ÷ç1 + ÷ç1 + ÷ ³ 2çç1 + 3 abc ø è b øè c øè a ø è 157. Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng 4 . x2y + y2z + z2x £ 27 158. Cho a,b,c,d,e,f là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 a + b + c + d + e + f = 1 và ace + bdf ³ . 108 Chứng minh rằng 1 abc + bcd + cde + def + efa + fab £ . 36 159.Ch a,b,c Î [0;1] .Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 £ a2b + b2c + c2a + 1 . 160.Cho a,b,c ³ 0 và a + b + c ³ abc .Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ³ abc . 161. Cho a,b,c ³ 0 và a + b + c ³ abc .Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 ³ 3 abc . 162. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = xyz .Chứng minh rằng xy + yz + zx ³ 9(x + y + z) . 163. Cho x1 , x 2 , x3 , x 4 là các số thực dương thoả mãn điều kiện x1 x 2 x3 x 4 = 1 . Chứng minh rằng ì 1 1 1 1ü x13 + x 23 + x33 + x 43 ³ max í x1 + x 2 + x3 + x 4 , + + + ý. x1 x 2 x3 x 4 þ î 164. Cho a,b,c,x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng a 3 b 3 c 3 (a + b + c) 3 . + + ³ x y z 3( x + y + z ) 165. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 1 + + + = 1. 4 4 4 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d 4 Chứng minh rằng abcd ³ 3 . 166.Cho x,y,z > 1. Chứng minh rằng 2 2 2 xy + yz + zx x x + 2 yz y y + 2 zx z z + 2 xy ³ (xyz ) . 167.Cho c ³ b ³ a ³ 0 .Chứng minh rằng (a + 3b)(b + 4c)(c + 2a) ³ 60abc . 168. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng x 2 + y 2 + z 2 ³ 2 ( xy + yz ) . 169.Cho các số thực a,b,c thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng a2 b2 c2 3 + + ³ . 1 + 2bc 1 + 2ca 1 + 2ab 5 170. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc ³ 1. Chứng minh rằng 12 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 1 1 1 + 4 + 4 £1 . 4 4 4 a+b +c a +b+c a + b4 + c 171.Cho a > b > c > 0 , x > y > z > 0 . Chứng minh rằng a2 x2 b2 y2 c2 z2 3 + + ³ . (by + cz )(bz + cy ) (cz + ax)(cx + az ) (ax + by )(ay + bx) 4 172. Cho 3 số thực không âm a, b, c . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc + 1 ³ 2 ( ab + bc + ca ) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? 173. Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng : a2 b2 c2 + + ³2 (b - c)2 (c - a ) 2 (a - b) 2 174. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng a b c 3 + 2 + 2 ³ . 2 b +1 c +1 a +1 2 175. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + £ 1. 2a + b 2b + c 2c + a 176.Cho a , b , x1 , x 2 ,..., x n > 0, x1 + x 2 + ... + x n = 1 . Chứng minh rằng x13 x 23 x n3 1 + + ... + ³ . ax1 + bx 2 ax 2 + bx3 ax n + b1 n(a + b ) 177.Cho x, y Î [0;1] . Chứng minh rằng 1 1 2 + £ . 1 + xy 1+ x2 1+ y2 1 1 1 + + > x + y + z , k Î N * . Chứng minh rằng x y z 1 1 1 + k + k > xk + yk + zk . k x y z 179. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng a. 3 1 + b - c + b.3 1 + c - a + c.3 1 + a - b £ 1 . 180. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng 178.Cho x,y,z > 0 , xyz = 1 , 1 1 1 27 + + £ . 1 - xy 1 - yz 1 - xz 8 181. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 æa b cö æ1 1 1ö ç + + ÷ ³ (a + b + c)ç + + ÷ . èb c aø èa b cø 182. Cho hai số x, y liên hệ với nhau bởi đẳng thức x 2 + 2 xy + 7( x + y ) + 2 y 2 + 10 = 0 . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y + 1 . 183. Với a,b là các số thực thoả mãn đẳng thức (1 + a)(1 + b) = 9 , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4 P = 1+ a4 + 1+ b4 . 13 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 184. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a+b+c+d + 3+ 3+ 3 ³ . 3 abcd a b c d 185.Cho a, b, c Î [0;1]. Chứng minh rằng a b c + + £ 2. bc + 1 ca + 1 ab + 1 186. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng a b +b c +c a £ 1 3 . 187. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng æ b c a ö 1+ a 1+ b 1+ c . + 2ç + + ÷ ³ + è a a c ø 1- a 1- b 1- c 188. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 4(a - b) 2 + + ³ a+b+c+ . b c a a+b+c 189. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 8. Chứng minh rằng a2 (a 3 + 1)(b 3 + 1) + b2 (b 3 + 1)(c 3 + 1) + c2 (c 3 + 1)(a 3 + 1) ³ 4 . 3 190. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng a b c + 2 + 2 £ 1. a +2 b +2 c +2 2 191. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz ³ 1 . Chứng minh rằng x5 - x2 y5 - y 2 z5 - z2 + + ³0 . x5 + y 2 + z 2 y5 + z 2 + x2 z 5 + x2 + y 2 192. Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh rằng 3 öæ 2 3ö æ 1 öæ 1ö æ 2 ç a + b + ÷ç b + a + ÷ ³ ç 2a + ÷ç 2b + ÷ . 4 øè 4ø è 2 øè 2ø è 193. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện 1 1 1 + + = 1 . Chứng minh rằng a b c (a – 1)(b – 1)(c – 1) ³ 8 . 194.Cho x là số thực dương và n là số nguyên dương. Chứng minh rằng 1 + xn + 1 ³ (2 x) n . (1 + x) n -1 195. Cho x là số thực dương và n là số nguyên dương. Chứng minh bất đẳng thức sau 14 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường x n ( x n +1 + 1) æ x + 1 ö £ç ÷ xn +1 è 2 ø 2 n +1 Khi nào đẳng thức xẩy ra ? 196. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng a b c 3 + + ³ . (a + 1)(b + 1) (b + 1)(c + 1) (c + 1)(a + 1) 4 197. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1 . Chứng minh rằng 3 1 1 1 + 2 + 2 £3 . a - bc + 1 b - ca + 1 c - ab + 1 2 198. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng ab(1 - c) + bc(1 - a) + ca(1 - b) £ 2 . 3 199. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b+c + b c+a + c a+b ³ 3 (a + b + c) . 2 200. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a4 + b4 + c4 = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 + + £1. 4 - ab 4 - bc 4 - ca 201. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 33 3 1 3 + 6(a + b + c) £ . abc abc 202. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a,b,c ³ 1. Chứng minh rằng æ1 1 1ö (2 + abc)ç + + ÷ ³ 9 . èa b cø 203. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy xy + yz yz + zx zx = 1 . Chứng minh rằng x6 y6 z6 1 + 3 + 3 ³ . 3 3 3 3 2 x +y y +z z +x 204. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a,b,c Î [1;2] . Chứng minh rằng æ1 1 1ö (a + b + c)ç + + ÷ £ 10 . èa b cø 205. Cho a,b,c,d là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 b2 c2 d 2 a + b + c + d + + + ³ 4 . b2 c2 d 2 a 2 abcd 15 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 206.Cho x Î [0;2] . Chứng minh rằng 4 x - x 3 + x + x 3 £ 34 3 . 207. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 2 + 2 £ . 2 2 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a + 3 2 2 208. Cho x,y là các số thực dương thoả mãn điều kiện x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng æ 1ö æ 1ö (1 + x)çç1 + ÷÷ + (1 + y )ç1 + ÷ ³ 4 + 3 2 . yø xø è è 209.Cho a,b,c Î (0;1] . Chứng minh rằng 1 1 ³ + (1 - a )(1 - b)(1 - c) . a+b+c 3 210. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện 3x 4y 2z + + =2 x +1 y +1 z +1 Chứng minh rằng x3 y 4 z 2 £ 1 . 89 211. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 1 1 ö 3æb+c c +a a +bö æ 1 (a 3 + b 3 + c 3 )ç 3 + 3 + 3 ÷ ³ ç + + ÷. b c ø b c ø 2è a èa 212.Cho x là một số thực bất kì . Chứng minh rằng 1 (1 + x) 8 + 16 x 4 £ £ 17 . 8 (1 + x 2 ) 4 213. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + c2 + + £ 3. . a+b b+c c+a a+b+c 214. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng a b c + + > 2. b+c c+a a+b 215. Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x + y + z = 1, n ³ 2 .Chứng minh rằng xny + ynz + znx £ nn . (n + 1) n+1 216. Cho x,y,z là các số thực dương. Chứng minh rằng 16xyz(x + y + z) £ 33 ( x + y ) 4 ( y + z ) 4 ( z + x) 4 . 217. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng 16 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường x2 y2 z2 + + ³3 . x + y + y3 z y + z + z 3 x z + x + x3 y 218. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyz = 1. Chứng minh rằng x2 y2 y2z2 z2 x2 + + £ 1. x2 y2 + x7 + y7 y 2 z 2 + y7 + z7 z 2 x2 + z7 + x7 219. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng a b abc 3 3 . + + £ 1+ a + bc b + ca c + ab 4 220. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng 5b 3 - a 3 5c 3 - b 3 5a 3 - c 3 + + £ a+b+c. ab + 3b 2 bc + 3c 2 ca + 3a 2 221. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện x,y,z ³ -1 và x3 + y3 + z3 ³ x2 + y2 + z2 Chứng minh rằng x5 + y5 + z5 ³ x2 + y2 + z2 . 222. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng a2 + 1 1 1 3 17 + b2 + + c2 + ³ . b+c c+a a+b 2 223. Cho x,y,z,t là các số thực dương thoả mãn điều kiện xyzt = 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 4 + 3 + 3 + 3 ³ . x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx) z ( xt + ty + yx) t ( xy + yz + zx) 3 3 224. Cho a1 , a 2 ,..., a k > 0, a1 + a 2 + ... + a k ³ k (k , n ³ 1) . Chứng minh rằng a1n + a 2n + ... + a kn £ 1. a1n+1 + a 2n+1 + ... + a kn +1 225. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 4(a 3 + b3 + c3 ) + 15abc . 226. Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng æ a+b b+c c+a c a b ö ÷. + + ³ 2çç + + ÷ c a b a b b c a c + + + è ø 227. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng 10 3 a + b + c + abc ³ . 9 228. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ a2b2c2 Chứng minh rằng 3 a 2b 2 b2c 2 c2a2 + 3 2 + 3 2 ³ . 3 2 2 2 2 2 c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 229. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng 17 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 1 öæ 1 öæ 1 ö 729 æ . ç1 + 3 ÷ç1 + 3 ÷ç1 + 3 ÷ ³ è a øè b øè c ø 512 230. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng a 2 +1 b2 + 1 c2 +1 7 + + £ . b2 +1 c2 +1 a2 +1 2 231. Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 6(y + z – x) + 27xyz . 232. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= 5 - 4a - 1 + a 5 - 4a + 2 1 + a + 6 trong đó a là tham số thực và - 1 £ a £ 5 . 4 233. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x y z + + . 3 y + yz 3z + xz 3x + xy 234.Cho a, b, c là các số dương, chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 33 2 æ c ö æ b ö æ a ö 3 ç ÷ ³ ÷ +3 ç ÷ +3 ç 2 èa+bø èc+aø èb+cø 235.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng . a b c 12abc . + + ³ ab + 1 bc + 1 ca + 1 3 + 5abc 236. Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh bất đẳng thức 3 3 3 3 æ a ö æ b ö æ c ö . ç ÷ +ç ÷ +ç ÷ ³ 8 èb+cø èc+ aø èa+bø 237. Cho x,y là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y = 1. Chứng minh rằng 1 1 + ³ 4+2 3 . 3 xy x +y 3 238. Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn điều kiện a2 + b2 = c + d = 4. Chứng minh rằng ac + bd + cd £ 4 + 4 2 . 239.Cho x,y,z với x = max {x, y, z} .Chứng minh rằng x y z + 1+ + 3 1+ ³ 1+ 2 + 3 2 . y x x 240.Cho a là số thực dương và x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng a (x2 + y 2 ) + z 2 ³ - 1 + 1 + 8a . 2 18 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 241.Cho a,b,c > 1. Chứng minh rằng c a b a log b + b log c + c log a ³ 33 abc . 242.Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng a6 b6 c6 1 + + ³ . 3 3 3 3 3 3 18 b +c c +a a +b 243. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh rằng xy + z + xy yz + x + yz zx 3 £ . y + zx 2 244.Cho x là số thực không âm. Chứng minh rằng 2 2 x +1 + x £ x+9 . 245. Cho a,b là các số thực thoả mãn điều kiện a > b ³ 0 . Chứng minh rằng 2a + 32 ³ 5. (a - b)(2b + 3) 2 246. Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b = 4. Chứng minh rằng 2a + 3b + 6 10 + ³ 18 . a b 247. Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a £ 35 3 . 248.Cho x,y,z là các số thực dương . Chứng minh rằng (x + y + z)6 ³ 432xy2z3 . 249.Cho x Î [0;1] . Chứng minh rằng 13 x 2 - x 4 + 9 x 2 + x 4 £ 16 . 250. Cho a,b,c,d là các số thực dương ,chứng minh bất đẳng thức 3a öæ 3b öæ 3c öæ 3d ö 28561 æ . ç 2 + ÷ç 2 + ÷ç 2 + ÷ç 2 + ÷³ 5b øè 5c øè 5d øè 5a ø 625 è 251. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c + d £ 1 . Chứng minh rằng 1 1ö æ 1 1 öæ 1 1 öæ 1 1 öæ 4 ç1 + + ÷ç1 + + ÷ç1 + + ÷ç1 + + ÷ ³ 9 . a b b c c d d a è øè øè øè ø 252. Cho a,b,c,d là các số thực dương thoả mãn điều kiện abcd ³ 16 . Chứng minh rằng 2 1 öæ 2 1 öæ 2 1 öæ 2 1 ö 2401 æ . ç a + + ÷ç b + + ÷ç c + + ÷ç d + + ÷ ³ b c øè c d øè d a øè a bø 16 è 253. Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b £ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + 2 + 2 ³ 20 . 3 a +b a b ab 3 19 www.VNMATH.com 550 Bài Toán Chọn Lọc Bất Đẳng Thức Trần Mạnh Cường 254. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c £ 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 81 + 2 + 2 + + + ³ . 2 2 2 ab bc ca 2 a +b b +c c +a 2 255. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c = 3.Chứng minh rằng 5 (2a + b)(a + c)a + 5 (2b + c)(b + a)b + 5 (2c + a )(c + b)c £ 35 6 . 256. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện (a2 + a + 2)(b + 1)2(c2 + 3c) = 64. Chứng minh rằng a3b4c5 £ 1 . 257. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c £ 1 1 öæ 1 1 öæ 1 æ ç 3 + + ÷ç 3 + + ÷ç 3 + + a b øè b c øè c è 3 .Chứng minh rằng 2 1ö ÷ ³ 343 . aø 258. Cho a,b,c,m,n,p là các số thực dương thoả mãn điều kiện a + b + c £ 1 và m + n + p £ 3 .Chứng minh 2 rằng æ 2 1 öæ 2 1 öæ 2 1 ö 3 ç1 + + ÷ç1 + + ÷çç1 + + ÷÷ ³ 9 . è a m øè b n øè c p ø 259.Cho x,y,z là các số thực. Chứng minh rằng 27( x 2 + 3)( y 2 + 3)( z 2 + 3) ³ 4(3 xy + 3 yz + 3 zx) 2 . 260. Cho x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện x + y + z < 0 và 4xz > y2. Chứng minh rằng 2x2 + y2 + 5z2 + 6xy + 7xz + 2yz > 0 . 261. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab + bc + ca = abc.Chứng minh rằng (a + b – c – 1)(b + c – a – 1)(c + a – b – 1) £ 8 . 262. Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng a 3 + b3 + c3 a 2 + b 2 b 2 + c 2 c 2 + a 2 9 + 2 + + ³ . 2abc c + ab a 2 + bc b 2 + ac 2 263. Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện ab = 1. Chứng minh rằng a3 b3 + ³ 1. 1+ b 1+ a 264. Cho x,y,z là các số thực không âm thoả mãn điều kiện x + y + z = 2. Chứng minh rằng 2( x 3 + y 3 + z 3 ) £ 2 + x 4 + y 4 + z 4 . 265. Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng 3 3 3 æ 2 1 ö æ 2 1 ö æ 2 1 ö ç a + ÷ + ç b + ÷ + ç c + ÷ ³ 24. ab ø è bc ø è ca ø è 266. Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện abc = 1.Chứng minh rằng (a + b)(b + c)(c + a ) ³ 2(1 + a + b + c). 20