Bao hàm thức tựa biến phân kiểu stampacchia

  • Số trang: 56 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 106 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ MAI HẢI AN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN KIỂU STAMPACCHIA LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN BÁ MINH HÀ NỘI- 2013 Mục lục Lời nói đầu 4 1 Một số tính chất của ánh xạ đa trị 7 1.1 Nón và các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia và ứng dụng 29 2.1 2.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia . . . . . . . . 2.1.1 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 1 29 2.1.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 2 30 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 2.2.2 31 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 31 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 29 40 Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia vào một số bài toán tựa cân bằng và bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . 46 2.3.1 Các bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2 Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia vào một số bài toán tựa cân bằng . . . . . . . . . . . . 1 47 2.3.3 Ứng dụng của bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia vào bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 54 2 Lời cảm ơn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Bá Minh, người thầy đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo, định hướng nghiên cứu cho tôi để hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Bộ môn Giải tích trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, những người đã giúp đỡ, giảng dạy và truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, do hạn chế về thời gian thực hiện nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Mai Hải An 3 Lời nói đầu Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu được hình thành từ những ý tưởng về cân bằng kinh tế, lý thuyết giá trị của Edgeworth từ năm 1881 và Pareto từ năm 1906. Cơ sở toán học của lý thuyết này là những ánh xạ đơn trị cũng như đa trị có giá trị trong một không gian có thứ tự thỏa mãn những tính chất nào đó đưa ra bởi Cantor và Hausdorff vào cuối thế kỉ 19, đầu thế kỉ 20. Sau những công trình về điều kiện cần và đủ cho tối ưu của Kuhn-Tucker, về giá trị cân bằng và tối ưu Pareto trong thập niên 50 thế kỉ 20, lý thuyết tối ưu đa mục tiêu mới thực sự được công nhận là một ngành Toán học quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Ban đầu các nhà Toán học nghiên cứu những bài toán có liên quan tới ánh xạ đơn trị trong không gian Euclide hữu hạn chiều mà thứ tự trong nó được sinh ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng các bài toán trong không gian vô hạn chiều với nón bất kì và những bài toán liên quan tới ánh xạ đa trị trong không gian vô hạn chiều. Đầu thế kỉ 20 do nhu cầu phát triển của toán học và nhiều lĩnh vực khoa học khác, những định nghĩa, tính chất...của ánh xạ đơn trị dần dần được mở rộng cho ánh xạ đa trị. Đối với toán học, bài toán điểm cân bằng đơn trị, bài toán bất đẳng thức biến phân được biết đến từ lâu, bởi các công trình của Arrow-Debreu, Nash... Sau đó bài toán được mở rộng sang đa trị và phát triển thành các bài toán cân bằng đa trị, tựa cân bằng, bài toán tựa tối ưu tổng quát, bài toán bao hàm thức tựa biến phân... Đến nay, có nhiều nhà Toán học nghiên cứu về các bài toán này và đã có rất nhiều công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân có cách nhìn bao quát, thống nhất mối quan hệ giữa các bài toán khác nhau trong lý thuyết tối ưu, do đó luận văn trình bày các bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, đưa ra điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán 4 này dựa trên kĩ thuật vô hướng hóa hàm đa trị thông qua các phiếm hàm gξ và Gξ và mối quan hệ của nó với các bài toán tựa cân bằng, bài toán tối ưu lý tưởng. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 1 Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập hợp con khác rỗng, C ⊂ Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:Si : D → 2D ; i = 1, 2, T : D → 2K , F : K × D × D → 2Y . Tìm x ∈ D sao cho: • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x) (UQVIP1) • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x) (LQVIP1) Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia dạng 2 Cho X,Y,Z là các không gian vectơ tôpô Hausdorff, D ⊂ X, K ⊂ Z là những tập hợp con khác rỗng, C ⊂ Y là một nón. Xét các ánh xạ đa trị:Si : D → 2D ; i = 1, 2, T : D × D → 2K , F : K × D × D → 2Y . Tìm x ∈ D sao cho: • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)+C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x, x) (UQVIP2) • x ∈ S1 (x), F (y, x, x) ⊂ F (y, x, x)−C với mọi x ∈ S2 (x), y ∈ T (x, x) (LQVIP2) Luận văn được hoàn thành dựa trên cơ sở hai bài báo: " On the existence of solutions of quasivariational inclusion problems of Stampacchia type" ([7]) và "On the existence of solutions of quasi-equilibrium problems with constraints" ([8]) của các tác giả Minh N. B. và Tan N.X.. Luận văn có cấu trúc gồm 2 chương như sau: Chương 1. Một số tính chất của ánh xạ đa trị: Chương này, luận văn trình bày một số khái niệm và tính chất của nón, điểm hữu hiệu trong không gian tôpô tuyến tính, một số tính chất của ánh xạ đa trị từ một tập con khác rỗng trong không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, trình bày một số khái niệm mới về tính liên tục, tính lồi (lõm) theo nón của ánh xạ đa trị, điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị là C-liên tục trên (dưới)và mối liên hệ với tính C-liên tục trên (dưới). Tiếp theo, luận văn mở rộng định lý Banach-Steihaus cho một họ các hàm lồi (lõm) trong không 5 gian thùng và dựa vào đó để xây dựng các điều kiện cần và đủ về tính C-liên tục trên hoặc dưới của ánh xạ đa trị. Cuối chương, chúng ta đưa ra một số điều kiện liên hệ giữa tính C-liên tục trên (dưới) trong trường hợp ánh xạ đa trị là lồi (lõm) theo nón C. Một số các kết quả của chương này được sử dụng cho việc nghiên cứu và chỉ ra sự tồn tại nghiệm của các bài toán ở Chương 2. Chương 2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia và ứng dụng Trong chương này, luận văn trình bày bài toán trong lý thuyết tối ưu vectơ đa trị đó là các bài toán bao hàm thức tựa biến phân kiểu Stampacchia, mỗi loại được phân thành hai lớp trên, dưới khác nhau. Phần cuối, luận văn trình bày: các định lý về điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán (UQVIP); bài toán (LQVIP). Đồng thời, luận văn cũng chỉ ra mối quan hệ giữa các bài toán bao hàm thức biến phân với các bài toán tựa cân bằng lý tưởng trên, dưới, bài toán tựa cân bằng Pareto và điều kiện đủ về sự tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu lý tưởng phụ thuộc tham số. 6 Chương 1 Một số tính chất của ánh xạ đa trị Trong chương này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản như: nón, điểm hữu hiệu của một tập hợp, tính liên tục, tính lồi...theo nón của ánh xạ đa trị. Mối quan hệ giữa các tính chất đó cũng được trình bày trong chương này. Các kiến thức trong chương này nhằm phục vụ cho các bài toán được xét ở chương sau. 1.1 Nón và các khái niệm Định nghĩa 1.1.1. Cho Y là không gian tuyến tính và C ⊆ Y . Ta nói rằng C là nón có đỉnh tại gốc trong Y nếu : tc ∈ C với ∀c ∈ C; t ≥ 0. Nếu C là tập lồi thì C được gọi là nón lồi. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y, chúng ta kí hiệu: + cl(C) là bao đóng của nón C. + int(C) là phần trong của nón C. + conv(C) là bao lồi của nón C. + l(C) = C ∩ (−C). Ta thấy rằng l(C) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong C. Nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón C. Định nghĩa 1.1.2. a. Nón C được gọi là nón nhọn nếu l(C) = {0}. b. Nón C được gọi là nón sắc nếu bao đóng của nó là nón nhọn. c. Nón C được gọi là nón đúng nếu cl(C) + C\l(C) ⊆ C. 7 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Dễ thấy rằng, một nón lồi C là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng. Nếu C là nón đóng thì C là nón đúng. Với nón C ⊆ Y cho trước, quan hệ thứ tự từng phần trên Y được định nghĩa như sau: x, y ∈ Y , x >C y nếu x − y ∈ C, kí hiệu x > y Cho x, y ∈ Y , kí hiệu x > y nếu x − y ∈ C\l(C) và x  y nếu x − y ∈ int(C) Như vậy, quan hệ thứ tự từng phần trên Y được định nghĩa như trên có các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Nếu C là nón lồi thì quan hệ thứ tự trên là tuyến tính nên nó là quan hệ thứ tự từng phần trên Y. Ví dụ 1.1.1. Ta thấy {0}; Y là các nón tầm thường trong Y, đồng thời l({0})={0}; l(Y )=Y . Ví dụ 1.1.2. Cho Y = Rn = {x = (x1 , x2 , .., xn ) | xj ∈ R, j = 1, 2, .., n} n = {x = (x1 , x2 , .., xn ) ∈ Rn | xj > 0; j = 1, 2, .., n} Lấy C = R+ Khi đó l(C) = {Θ = (0, 0, .., 0)}, C lồi nên C là nón lồi, đóng, nhọn. Và quan hệ thứ tự trên Y, x = (x1 , x2 , .., xn ); y = (y1 , y2 , .., yn ) x > y nếu xi > yi với ∀i = 1, 2, .., n. nón này được gọi là nón orthant dương trong Rn . n Ví dụ 1.1.3. Nếu lấy Y = Rn ; C = R+ = {x = (x1 , x2 , .., xn ) ∈ Rn | x2 > 0} thì C là nón lồi, đóng nhưng không nhọn vì l(C) = {x = (x1 , 0, x3 .., xn ) ∈ Rn } = 6 {0}. Ví dụ 1.1.4. Cho Y = lp = {x = (x1 , x2 , .., ) | ∞ P | xi |p < + ∞} với 1 6 p < +∞ i=1 Lấy C = {x ∈ lp | xi > 0, i = 1, 2, ...} ta có l(C) = {0} thì C là nón lồi, nhọn. Định nghĩa 1.1.3. Cho Y là không gian tuyến tính, C là nón trong Y. Tập B ⊆ Y được gọi là tập sinh của nón C, kí hiệu C=cone(B)_bao nón lồi của B nếu: C = {tb : b ∈ B, t > 0}. Nhận xét: i) Nếu B không chứa điểm gốc, với mỗi c ∈ B, c 6= 0 đều tồn tại duy nhất b ∈ B, t > 0 sao cho c = t.b thì B được gọi là cơ sở của nón C. ii) Nếu B có hữu hạn phần tử thì tập C := cone(conv(B)) được gọi là nón đa diện. iii) Trong không gian hữu hạn chiều, một nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội khi và chỉ khi nó là đóng, nhọn. 8 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ iv) Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff, một nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội là nón lồi, đóng, nhọn. Mệnh đề sau cho ta tính chất quan trọng của một nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội trong không gian tuyến tính Y. Mệnh đề 1.1.1 ([12], Ch1, Mệnh đề 18). Nếu C là nón có cơ sở lồi, đóng, giới nội thì với mọi lân cận W của điểm gốc trong Y đều tồn tại lân cận V sao cho: (V + C) ∩ (V − C) ⊆ W . Định nghĩa 1.1.4. Cho nón C trong không gian tuyến tính Y, gọi Y ∗ là không gian 0 tôpô đối ngẫu của Y. Nón cực C được định nghĩa như sau: 0 C := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >≥ 0 với ∀c ∈ C}. 0 Khi đó C là nón lồi, đóng trong Y ∗ với tôpô yếu∗ σ(Y, Y ∗ ), hơn nữa nếu C là nón 0 sinh, tức là Y = C ∪ (−C) thì C là nón nhọn. 0 Cho nón C, kí hiệu: C + := {ξ ∈ Y ∗ |< ξ, c >> 0, c ∈ C\{0}} ta có điều kiện cần và đủ để tập lồi B là cơ sở của nón C. Mệnh đề 1.1.2. Trong không gian tôpô tuyến tính Hausdorff Y, một tập lồi B là cơ 0 sở của nón C khi và chỉ khi tồn tại ξ ∈ C + sao cho B = {c ∈ C |< ξ, c >= 1}. Khi xây dựng một nón trong không gian tuyến tính tức là ta đã xây dựng một quan hệ thứ tự trong không gian đó. Từ quan hệ thứ tự này, chúng ta đưa ra các khái niệm hữu hiệu của một tập hợp trong không gian. Các khái niệm đó được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.1.5. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự được sinh bởi nón lồi C, A là tập con khác rỗng của Y. Ta nói rằng: i) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu lý tưởng của tập A đối với nón C nếu y − x ∈ C với mọi y ∈ A. Tập các điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C được kí hiệu IMin(A | C) hoặc IMinA. ii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu Pareto (cực tiểu Pareto) của tập A đối với nón C nếu không tồn tại y ∈ A để x − y ∈ C\l(C). Tập các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C được kí hiệu là PMin(A | C) hoặc Min(A | C) hoặc Min A. 9 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ iii) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu yếu (khi int(C) 6= ∅; C 6= Y ) của tập A đối với nón C, nếu x ∈ M in(A | {0} ∪ intC). Tức là x là điểm hữu hiệu của A theo thứ tự sinh bởi nón C0 = {0} ∪ intC. Tập các điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C được kí hiệu là WMin(A | C) hoặc WMinA. iv) Điểm x ∈ A là điểm hữu hiệu thực sự của tập A đối với nón C nếu tồn tại nón lồi C1 6= Y và chứa C \ l(C) trong phần trong của nó để x ∈ P M in(A | C1 ). Tập các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C được kí hiệu PrMin(A | C) hoặc PrMinA. Khái niệm các điểm hữu hiệu theo nghĩa cực đại cũng được định nghĩa một cách đối ngẫu và tập hợp các điểm ấy được kí hiệu là IMax ; Max ; WMax ; PrMax. Ví dụ 1.1.5. Trong R2 lấy hai tập A và B như sau: A = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 6 1, y 6 0} ∪ {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y ∈ [−1, 0]} B = A ∪ {−2, −2} 2 = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}. Khi đó ta có: Xét quan hệ sinh bởi nón R+ IMinB = MinB = WMinB = PrMinB = {(−2, −2)} MinA = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1; y < 0; x < 0} ∪ {(0, −1), (−1, 0)} WMinA = MinA ∪ {(x, y) ∈ R2 | y = −1, x > 0}. Ví dụ 1.1.6. Trong R2 lấy hai tập A và B như sau: A = {(x, y) ∈ R2 | y ≥ x2 − 1, x 6 0} ∩ {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [−1, 0]} B = A ∪ {−1, −2} 2 Xét quan hệ sinh bởi nón R+ = {(x, y) ∈ R2 | x > 0, y > 0}. Khi đó ta có: IMinB = MinB = WMinB = PrMinB = {(−1, −2)} MinA = {(x, y) ∈ R2 | y = x2 − 1; y < 0; −1 ≤ x ≤ 0} WMinA = MinA ∪ {(x, y) ∈ R2 | x = −1, y > 0}. Từ Định nghĩa 1.1.5 ta nhận thấy các khẳng định sau luôn đúng: a) x ∈ M inA khi và chỉ khi A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C). b) x ∈ W M inA khi và chỉ khi A ∩ (x − intC) = ∅. c) IM inA ⊂ P rM inA ⊆ M inA ⊆ W M inA. Chúng ta thấy rằng các khái niệm về điểm hữu hiệu phụ thuộc chặt chẽ vào tính chất của nón mà ta xét; nó là nền tảng của tối ưu đa mục tiêu. 10 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ 1.2 Tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị Cho X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff. Một ánh xạ đa trị F : X → 2Y tương ứng với mỗi phần tử x ∈ X cho một tập con của Y. Miền định nghĩa và đồ thị của ánh xạ đa trị F được định nghĩa như sau: domF = {x ∈ X | F (x) 6= ∅} graphF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x); x ∈ domF }. Trong trường hợp Y là không gian tôpô tuyến tính Hausdorff với nón C, ta định nghĩa trên đồ thị của F như sau: epiF = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ F (x) + C; x ∈ domF } + F được gọi là Compact nếu F (D) là tập compact trong Y. + F được gọi là đóng theo nón C (C-đóng) nếu epiF là tập đóng trong X × Y hay F (x) + C là tập đóng với ∀x ∈ domF . + Với nón C trong Y thì miền định nghĩa domF của ánh xạ đa tri F có thể biểu diễn dưới dạng tương đương như sau: x ∈ domF ⇔ ∀ lân cận giới nội V của điểm gốc trong Y, ∃ρ > 0 : F (x) ∩ (ρV − C) 6= ∅. Thật vậy: +) Lấy x ∈ domF , theo định nghĩa F (x) 6= ∅ nên ∃y ∈ F (x) do đó với mọi lân cận giới nội V của 0, ∃ρ > 0 : y ∈ ρV ⇒ F (x) ∩ ρV 6= ∅ ⇒ F (x) ∩ (ρV − C) 6= ∅ +) Nếu F (x) ∩ (ρV − C) 6= ∅ đối với ρ > 0 nào đó thì hiển nhiên F (x) 6= ∅ nên x ∈ domF . Tiếp theo, chúng ta xem xét đến các khái niệm liên tục của ánh xạ đa trị theo nghĩa của Berg và theo nón. Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y là hai không gian tôpô Hausdorff, D ⊂ X, F : D → 2Y là ánh xạ đa trị, xét x0 ∈ X + F được gọi là nửa liên tục trên tại x0 nếu với mọi tập mở V, F (x0 ) ⊂ V đều tồn tại tập mở U của x0 sao cho F (x) ⊂ V với ∀x ∈ U . F được gọi là nửa liên tục trên trong D nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ D. + F được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu với mọi tập mở V, F (x0 ) ⊂ V đều tồn tại tập mở U của x0 sao cho F (x) ∩ V 6= ∅ với ∀x ∈ U . F được gọi là nửa liên tục dưới trong D nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ D. 11 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Trong trường hợp f : X → R là ánh xạ đơn trị thì f là nửa liên tục trên tại x0 (tương ứng nửa liên tuc dưới) nếu ∀ε > 0 đều ∃U = U (x0 ) : f (x) 6 f (x0 ) + ε (tương ứng f (x) > f (x0 ) − ε) với mọi x ∈ U . Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương; D là tập con khác rỗng trong X; C là nón trong Y và F : X → 2Y là ánh xạ đa trị. Ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.2.2. a) F là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới) tại x0 ∈ D, nếu với bất kì lân cận V của 0 trong Y đều tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C (hoặc F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C) với mọi x ∈ U ∩ domF. b) F là C-liên tục tại x0 nếu F vừa là C-liên tục trên và C-liên tục dưới tại x0 . c) F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục trong D nếu nó là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi x ∈ D. d) F là C-liên tục trên yếu (C-liên tục dưới yếu) tại x0 nếu lân cận U của x0 trong định nghĩa ở trên là lân cận trong tôpô yếu của X. Nhận xét: a) Nếu nón C = {0} và F (x0 ) là Compact thì định nghĩa (1.2.2a) ở trên đồng nhất với định nghĩa về tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới của Berg. Trong trường hợp Y là không gian định chuẩn và F vừa là {0}-liên tục trên và {0}-liên tục dưới tại x0 thì F liên tục tại x0 theo khoảng cách Hausdorff. b) nếu F là ánh xạ đơn trị thì tính C-liên tục trên và C-liên tục dưới của F là một và lúc đó gọi là C-liên tục. c) Lấy Y = R; C = R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}; F là ánh xạ đơn trị C-liên tục tại x0 ta sẽ có F nửa liên tục dưới tại x0 theo nghĩa thông thường của Berg, còn khi lấy C = R− = {x ∈ R | x ≤ 0} thì F là nửa liên tục trên tại x0 d) Một ánh xạ đa trị F là C-liên tục trên tại x0 nếu F(x) không giãn ra quá nhiều so với F (x0 ) + C khi x gần x0 , khi F là C-liên tục dưới tại x0 nếu F(x) không co lại quá nhỏ so với F (x0 ) + C khi x gần x0 do đó hai khái niệm C-liên tục trên và C-liên tục dưới của ánh xạ đa trị F là hoàn toàn khác nhau. Các mệnh đề sau cho ta các điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là liên tục theo nón. 12 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Mệnh đề 1.2.1. a) Nếu F (x0 ) là tập compact trong Y, điều kiện cần và đủ để F là C-liên tục trên tại x0 là với mọi tập mở G mà F (x0 ) ⊂ G + C đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho: F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ domF . b) Nếu F (x0 ) là tập Compact trong Y, điều kiện cần và đủ để F là Cliên tục dưới tại x0 là với mọi lân cận V của y, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho F (x)∩(V +C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩domF . Điều này cũng tương đương với: với mọi tập mở G; F (x0 ) ∩ (V + C) 6= ∅ đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho: F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF . Chứng minh. a) *)Điều kiện cần: Giả sử F là C-liên tục trên tại x0 ta cần chứng minh với mọi tập mở G mà F (x0 ) ⊂ G + C đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho: F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ domF . Thật vậy, lấy tập mở G mà F (x0 ) ⊂ G + C. Do F (x0 ) là compact nên tồn tại lân cận V0 = V0 (0) ⊂ Y sao cho F (x0 ) + V0 ⊂ G + C. Với V = V(0) là lân cận bất kì của 0 trong Y, ta cũng có V ∩ V0 cũng là lân cận của 0. Do F là C-liên tục trên, theo định nghĩa sẽ tồn tại lân cận U của x0 sao cho: F (x) ⊂ F (x0 ) + V ∩ V0 + C với mọi x ∈ U ∩ domF ⇒ F (x) ⊂ F (x0 ) + V0 + C ⊂ G + C + C = G + C với mọi x ∈ U ∩ domF . *)Điều kiện đủ: Lấy V là lân cận bất kì của điểm gốc trong Y. Không giảm tổng quát có thể giả thiết V mở. Đặt G = F (x0 ) + V ⇒ G mở và F (x0 ) ⊂ G + C. Theo giả thiết đã cho tồn tại lân cận U = U (x0 ) sao cho: F (x) ⊂ G + C với mọi x ∈ U ∩ domF hay F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C với mọi x ∈ U ∩ domF . Do đó F là C-liên tục trên tại x0 . b)*)Điều kiện cần: Giả sử F là C-liên tục dưới tại x0 , ta cần chứng minh với mọi y ∈ F (x0 ) và với mọi lân cận V của y, đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho: F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF . Thật vậy: lấy y ∈ F (x0 ) và V là lân cận của y trong Y. Đặt W = V − y ⇒ W là lân cận của 0 trong Y. Do F là C-liên tục dưới tại x0 nên tồn tại lân cận U = U (x0 ) sao cho: F (x0 ) ⊂ F (x) + W − C với mọi x ∈ U ∩ domF . Do y ∈ F (x0 ) ⇒ y ∈ F (x) + W − C ⇒ y = y ∗ + w − c với y ∗ ∈ F (x); w ∈ W ; c ∈ C ⇒ y ∈ F (x) ∩ {y + W + C} ⇒ F (x) ∩ {y + W + C} = 6 ∅ ⇒ F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF . *) Điều kiện đủ: Lấy V là lân cận bất kì của O trong Y, ta có: S V F (x0 ) ⊂ {y + } 2 y∈F (x0 ) Do F (x0 ) là Compact nên tồn tại phủ mở hữu hạn của F (x0 ) hay tồn tại số tự nhiên 13 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ n S V V } với yi ∈ F (x0 ); i = 1, n. Mặt khác, {yi + } là lân cận của 2 2 i=1 yi nên theo giả thiết đã cho, tồn tại lân cận Ui của x0 sao cho V 6 ∅ với mọi x ∈ Ui ∩ domF . F (x) ∩ {yi + + C} = 2 n S Đặt U = Ui thì U là lân cận của x0 , đồng thời n để F (x0 ) ⊂ {yi + i=1 V + C} = 6 ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF . 2 V V Lấy y0 ∈ F (x0 ) bất kì thì tồn tại i0 : y0 ∈ yi0 + ⇒ y0 = yi0 + v0 với v0 ∈ 2 2 V V ⇒ y = y i0 + v + c Do F (x) ∩ {yi0 + + C} 6= ∅ nên tồn tại y ∈ F (x) và y ∈ yi0 + 2 2 V với v ∈ ; c ∈ C nên y0 = yi0 + v = y + (v0 − v) − c ⇒ y0 ∈ F (x) + V − C với mọi 2 x ∈ U ∩ domF . Vì y0 ∈ F (x0 ) bất kì ⇒ F (x0 ) ∈ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ domF F (x) ∩ {yi + Vậy F là C-liên tục dưới. *) Chúng ta chứng minh mệnh đề tương đương của (b) +) Lấy G là tập mở sao cho F (x0 )∩(G+C) 6= ∅, nên tồn tại y0 ∈ F (x0 ); y0 = y1 +c với y1 ∈ G; c ∈ C. Do G mở nên tồn tại lân cận V của 0 sao cho {y1 + V } ⊂ G ⇒ y1 + c + V ⊂ G + C hay y0 + V ⊂ G + C. Mặt khác {y0 + V } cũng là lân cận của y0 nên theo giả thiết, tồn tại lân cận U = U (x0 ) sao cho: F (x) ∩ {y0 + V + C} = 6 ∅ vói mọi x ∈ U ∩ domF . vì {y0 + V + C} ⊂ (G + C) nên F (x) ∩ (G + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF . Ngược lại, lấy y0 ∈ F (x0 ) và V là lân cận mở của y0 . Do F (x0 ) ∩ (V + C) 6= ∅ nên theo giả thiết sẽ tồn tại lân cận U của x0 để F (x) ∩ (V + C) 6= ∅ với mọi x ∈ U ∩ domF . Do đó F là C-liên tục dưới. Vậy mệnh đề được chứng minh. Mệnh đề 1.2.2. Cho F : D → 2Y ; C ⊂ Y là nón lồi đóng. Khi đó: a) Nếu F là C_liên tục trên tại x0 ∈ domF và F (x0 ) + C là tập đóng, với mọi dãy suy rộng xβ → x0 , yβ ∈ F (xβ ) + C, yβ → y0 thì y0 ∈ F (x0 ) + C. Ngược lại, nếu F là ánh xạ compact và với mọi dãy suy rộng xβ → x0 , yβ ∈ F (xβ ) + C, yβ → y0 đều suy ra y0 ∈ F (x0 ) + C thì F là C-liên tục trên tại x0 . b) Nếu F là compact và C-liên tục dưới tại x0 ∈ domF thì với mọi dãy suy rộng xβ → x0 ; y0 ∈ F (x0 ) + C đều tồn tại dãy suy rộng {yβ }; yβ ∈ F (xβ ) có dãy suy rộng con {yβλ } để (yβλ − y0 ) → c ∈ C (hay yβλ → y0 + c ∈ y0 + C). Ngược lại, nếu F (x0 ) là tập Compact và với mọi dãy suy rộng xβ → x0 , y0 ∈ F (x0 ) + C đều tồn tại dãy suy 14 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ rộng {yβ }; yβ ∈ F (xβ ) có dãy suy rộng con {yβλ } để (yβλ − y0 ) → c ∈ C thì F là C-liên tục dưới tại x0 . Chứng minh. a)+) Giả sử F là C-liên tục trên tại x0 ∈ domF , xβ → x0 , yβ ∈ F (xβ )+C, yβ → y0 . Ta cần chứng minh y0 ∈ F (x0 ) + C. Lấy V là lân cận lồi đóng tùy ý của 0 V V với mọi β ≥ β0 , trong Y, khi đó tồn tại β0 để F (xβ ) ∈ F (x0 ) + + C và (yβ − y0 ) ∈ 2 2 V V V do đó y0 = (y0 − yβ ) + yβ ∈ + F (xβ ) + C ⇒ y0 ∈ + F (x0 ) + + C + C 2 2 2 V ⇒ y0 ∈ F (x0 ) + + C. Vì V là lân cận lồi đóng tùy ý của 0 trong Y và F (x0 ) + C 2 đóng nên y0 ∈ F (x0 ) + C. +) Ngược lại, nếu F là compact và với mọi dãy suy rộng xβ → x0 , yβ ∈ F (xβ )+C, yβ → y0 đều suy ra y0 ∈ F (x0 )+C, ta cần chứng minh F là C-liên tục trên tại x0 . Phản chứng rằng F không là C-liên tục trên tại x0 , khi đó tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho với mọi lân cận Uβ của x0 ta đều tìm được xβ ∈ Uβ để F (xβ ) 6⊂ F (x0 ) + V + C Lấy yβ ∈ F (xβ ) mà yβ 6∈ F (x0 ) + V + C (1). Lại do F (D) là tập compact, không giảm tính tổng quát giả sử yβ → y0 ⇒ y0 ∈ F (x0 ) + C. Mặt khác, tồn tại β0 ≥ 0 để yβ − y0 ∈ V với mọi β ≥ β0 ⇒ yβ ∈ y0 + V ⊂ (F (x0 ) + V + C) với mọi β ≥ β0 . Điều này mâu thuẫn với (1). Vậy F là C-liên tục trên tại x0 . b) +) Giả sử F là compact và C-liên tục dưới tại x0 ∈ domF và y0 ∈ F (x0 ) cần chứng minh mọi dãy suy rộng {yβ }; yβ ∈ F (xβ ) đều có dãy suy rộng con {yβλ } thỏa mãn yβλ ∈ F (xβλ ) mà (yβλ − y0 ) → c ∈ C (hay yβλ → y0 + c ∈ y0 + C). Do F là compact và C-liên tục dưới tại x0 , với lân cận V của 0 trong Y, tồn tại lân cận U = U (x0 ) : F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C với mọi x ∈ U ∩ domF . Do xβ → x0 nên tồn tại β0 ≥ 0 : xβ ∈ U và F (x0 ) ⊂ F (xβ ) + V − C với mọi β ≥ β0 . Với y0 ∈ F (x0 ) ⇒ y0 ∈ F (xβ ) + U − C ⇒ y0 = yβ + vβ - cβ trong đó yβ ∈ F (xβ ) ⊂ F (D); vβ ∈ V ; cβ ∈ C. Vì F là ánh xạ compact nên F (D) là tập compact, vì thế ta có thể chọn yβλ → y ∗ ; vβλ → 0 ⇒ cβλ = (yβλ + vβλ − y0 ) → (y ∗ − y0 ) ∈ C hay yβλ → y ∗ ∈ y0 + C. +) Giả sử F (x0 ) là tập compact và với mọi dãy suy rộng xβ → x0 , y0 ∈ F (x0 )+C đều tồn tại dãy suy rộng {yβ }; yβ ∈ F (xβ ) có dãy suy rộng con {yβλ } hội tụ trong y0 + C tức là yβλ → y0 + c ∈ y0 + C. Ta sẽ chứng minh F là C-liên tục dưới tại x0 . Thật vậy, giả sử F không là C-liên tục dưới tại x0 , khi đó, tồn tại lân cận V của O trong Y 15 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ sao cho với mọi lân cận Uβ của x0 đều tìm được xβ ∈ Uβ để: F (x0 ) 6⊂ F (xβ ) + V − C Chọn zβ ∈ F (x0 ) và zβ 6∈ F (xβ ) + V − C (3). Do F (x0 ) là tập Compact, không giảm tổng quát có thể giả thiết zβ → z0 ∈ F (x0 ) ⇒ zβ → z0 ∈ F (x0 ) + C, đồng thời ta cũng có thể giả thiết xβ → x0 nên tồn tại dãy suy rộng {yβ }; yβ ∈ F (xβ ) có dãy suy rộng con {yβλ }; (yβλ - z0 ) → c ∈ C. Giả sử rằng yβ → y ∗ ∈ z0 + C, do đó tồn tại β1 ≥ 0 để V V V zβ ∈ z0 + ; yβ ∈ y ∗ + và z0 ∈ yβ + − C với mọi β ≥ β1 2 2 2 V V ⇒ zβ ∈ yβ + + − C ⊂ F (xβ ) + V − C với mọi β ≥ β1 . Điều này mâu thuẫn với 2 2 (3). Vậy F là Cliên tục dưới tại x0 . Để nghiên cứu tính liên tục theo nón của ánh xạ đa trị, chúng ta cũng có thể sử dụng phép vô hướng hóa hàm đa trị. Cho X, Y là hai không gian tôpô tuyến tính, lồi địa phương. Định nghĩa 1.2.3. Xét hàm đa trị F : D → 2Y trong đó D ⊂ X. Với mỗi ξ ∈ C 0 chúng ta định nghĩa các hàm: gξ , Gξ : D → R như sau: gξ = inf < ξ, y > y∈F (x) Gξ = sup < ξ, y > với x ∈ D. y∈F (x) Mối liên hệ giữa tính C-liên tục trên (dưới) của ánh xạ đa trị F với tính nửa liên tục trên (dưới) của các hàm gξ , Gξ được thể hiện bởi các mệnh đề sau: Mệnh đề 1.2.3. a) Nếu F là C-liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ domF thì với mỗi 0 ξ ∈ C cố định thì gξ (tương ứng Gξ ) là hàm số nửa liên tục dưới tại x0 . 0 b) Nếu F là (-C)-liên tục trên (hoặc dưới) tại x0 ∈ domF thì với mỗi ξ ∈ C cố định thì Gξ (tương ứng gξ ) là hàm số nửa liên tục trên tại x0 . Chứng minh. a) Chứng minh gξ là nửa liên tục dưới. 0 Lấy ε > 0 bất kì. Do ξ ∈ C là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Y vào R nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho: ξ(v) ⊂ (−ε, ε); ∀x ∈ V . Do F là C-liên tục trên tại x0 nên với lân cận V, tồn tại lân cận U = U (x0 ) sao cho: F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C đúng với mọi x ∈ U ∩ domF 16 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Từ đó, ta có inf < ξ, y >≥ y∈F (x) inf < ξ, y >≥ y∈F (x0 )+C+V ≥ inf < ξ, y > + inf < ξ, v > + inf < ξ, c > v∈V y∈F (x0 ) c∈C 0 Do −ε < ξ(v) < ε với ∀v ∈ V nên inf < ξ, v >> −ε, vì ξ ∈ C nên inf < ξ, c >= 0. v∈V c∈C gξ (x) ≥ gξ (x0 ) − ε với mọi x ∈ U ∩ domF do đó: Vậy gξ là nửa liên tục dưới. Tương tự, do F là C-liên tục dưới tại x0 ∈ domF nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho: ξ(v) ⊂ (−ε, ε).∀x ∈ V . Do F là C-liên tục trên tại x0 nên với lân cận V, tồn tại lân cận U = U (x0 ) sao cho F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C đúng với mọi x ∈ U ∩ domF Từ đó, ta có: sup < ξ, y > ≤ y∈F (x0 ) sup < ξ, y > y∈F (x)+C+V ≤ sup < ξ, y > + sup < ξ, v > + sup < ξ, c > v∈V y∈F (x) Do −ε < ξ(v) < ε với ∀v ∈ V nên suy ra c∈(−C) 0 sup < ξ, v >< ε, mà ξ ∈ C nên v∈V sup < ξ, c >= 0, do đó c∈(−C) Gξ (x0 ) ≤ Gξ (x) + ε với mọi x ∈ U ∩ domF Vậy Gξ là nửa liên tục dưới. b) Chứng minh Gξ là nửa liên tục trên tại x0 . 0 Lấy ε > 0 bất kì. Do ξ ∈ C là phiếm hàm tuyến tính liên tục từ Y vào R nên tồn tại lân cận V của 0 trong Y sao cho: ξ(v) ⊂ (−ε, ε); ∀x ∈ V . Do F là (-C)-liên tục trên tại x0 nên với lân cận V, tồn tại lân cận U = U (x0 ) sao cho F (x) ⊂ F (x0 ) + V − C đúng với mọi x ∈ U ∩ domF . Từ đó, ta có sup < ξ, y >≤ y∈F (x) sup < ξ, y >≤ y∈F (x0 )+V −C ≤ sup < ξ, y > + sup < ξ, v > + sup < ξ, c > v∈V y∈F (x0 ) c∈(−C) 0 Do −ε < ξ(v) < ε với ∀v ∈ V nên sup < ξ, v >< ε, vì ξ ∈ C nên sup < ξ, c >= 0. v∈V do đó: c∈(−C) Gξ (x) ≤ Gξ (x0 ) + ε với mọi x ∈ U ∩ domF . Vậy Gξ là nửa liên tục trên tại x0 . 17 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Phần tiếp theo, luận văn trình bày Định lý Banach-Steinhaus mở rộng (xem trong [14])cho một họ các hàm lồi (hoặc lõm) là nửa liên tục đồng bậc, sau đó ta sử dụng định lý này để tìm điều kiện cần và đủ về tính C-liên tục trên hoặc dưới của các ánh xạ đa trị F. Tính nửa liên tục đồng bậc của một họ các hàm vô hướng được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.2.4. Cho X là không gian tôpô tuyến tính, lồi địa phương, D ⊂ X là tập khác rỗng và I là tập các chỉ số. Họ hàm số {fα : D → R, α ∈ I} được gọi là nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) đồng bậc tại x0 ∈ D nếu với ∀ε > 0 tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho fα (x) ≤ fα (x0 ) + ε (tương ứng fα (x) ≥ fα (x0 ) − ε với ∀x ∈ U ∩ D, α ∈ I) Định lý Banach-Steinhaus được mở rộng cho lớp các hàm lồi (lõm) trong không gian thùng và chú ý rằng, một không gian tuyến tính, lồi địa phương Hausdorff mà mọi tập lồi, đóng, khác rỗng, cân đối và hấp thụ dều là lân cận của 0 thì được gọi là không gian thùng. Định lý 1.2.1. Cho X là không gian thùng, I là tập chỉ số khác rỗng và fα : X → R, α ∈ I là các hàm lồi và nửa liên tục dưới trong lân cận U0 của x0 ∈ domfα với mọi α ∈ I. Giả sử rằng với mỗi x ∈ X đều tồn tại λ > 0 sao cho fλ (x) ≤ λ, ∀α ∈ I. Khi đó họ {fα , α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0 . Chứng minh. Đặt f α (x) = fα (x + x0 ) − f (x0 ) ⇒ f α (0) = 0 Ta thấy, fα (x) liên tục tại x0 ⇔ f α (x) liên tục tại 0, do đó ta có thể giả sử rằng fα (0) = 0, với ∀α ∈ I và chỉ cần xét tính nửa liên tục trên đồng bậc của họ {fα , α ∈ I} tại 0. Với ∀ε > 0, đặt Aα = {x ∈ X : fα (x) ≤ ε} là tập mức của fα . Do fα là lồi và nửa liên tục dưới nên Aα là tập lồi đóng. Do 0 ∈ Aα nên Aα 6= ∅, không giảm tổng quát, ta có thể giả sử rằng U0 là lân cận lồi, đóng, cân đối, hấp thụ của 0 trong X, như thế T U0 ∩ Aα là tập lồi, đóng với mọi α ∈ I. Đặt U = U0 ∩ Aα ∩ (−Aα ). Khi đó U là tâp α∈I lồi, đóng, cân đối và khác rỗng. Ta chứng minh U là tập hấp thụ. Thật vậy, lấy x ∈ X bất kì, theo giả thiết ∃λ > 0 : fλ (x) ≤ λfλ (−x) ≤ λ, ∀α ∈ I. Lấy λ > ε, do 18 MAI HẢI AN CHƯƠNG 1. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ε ε ε ε ε ε ε fλ ( x) = fλ ( x + (1 − λ ).0) ≤ fα (x) + (1 − ).fα (0) = fα (x) ≤ .λ = ε λ λ λ λ λ λ λ ε ε x ∈ Aα . Vì U0 là hấp thụ nên với x ∈ X tồn tại p > 0 sao cho x ∈ U0 . Lấy λ p ε.x ε.x λ0 = max{λ, p} ⇒ ∈ U0 ∩ Aα , ∀α ∈ I. Tương tự ta cũng có − ∈ U0 ∩ Aα hay λ0 λ0 ε.x ε.x ∈ U0 ∩ (−Aα ) với ∀α ∈ I do đó ∈ U ⇒ U là tập hấp thụ. Do X là không gian λ0 λ0 thùng nên U là lân cận của 0 trong X. Với x ∈ U thì fα (x) ≤ ε = fα (0) + ε, ∀α ∈ I, ⇒ hay {fα , α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại 0. Hệ quả 1.2.1. Giả sử X là không gian thùng, f : X → R là hàm lồi và nửa liên tục dưới trong lân cận U0 của x0 ∈ domf = X. Khi ấy f là liên tục tại x0 . Chứng minh. Trong Định lý 1.2.1 chúng ta chọn I = {1} thì f là nửa liên tục trên tại x0 , suy ra f là liên tục tại x0 . Định lý 1.2.2. Cho X là không gian thùng, I là tập các chỉ số khác rỗng và fα : X → R, α ∈ I là các hàm lõm và nửa liên tục trên trong lân cận U0 của x0 ∈ domfα , ∀α ∈ I. Nếu với x ∈ X tồn tại λ > 0 sao cho fα (x) ≥ −λ, ∀α ∈ I thì họ {fα (x), ∀α ∈ I} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0 . Chứng minh. Trong Định lý 1.2.1 ta thay fα = −fα , do fα là hàm lõm, nửa lên tục trên nên −fα là hàm lồi và nửa liên tục dưới, do đó họ {−fα (x), ∀α ∈ I} là nửa liên tục trên đồng bậc tại x0 hay họ {fα (x), ∀α ∈ I} là nửa liên tục dưới đồng bậc tại x0 . Hệ quả 1.2.2. Giả sử X là không gian thùng, f : X → R là hàm lõm và nửa liên tục trên trong lân cận U0 của x0 ∈ domf = X và giả thiết f (x) > −∞ với ∀x ∈ X Khi ấy f là liên tục tại x0 . Chứng minh. Hệ quả (1.2.2) được chứng minh trực tiếp từ Định lý 1.2.2 với I = {1} Tiếp theo, luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để một ánh xạ đa trị là C-liên tục trên (hoặc C-liên tục dưới). Trong không gian Banach thì họ các phiếm hàm tuyến 0 tính {ξ ∈ C | kξk = 1} là liên tục đồng bậc. Sử dụng tính chất này và định lý BanachSteinhauss mở rộng ở trên, các điều kiện cần và đủ để ánh xạ đa trị liên tục theo nón được thể hiện thông qua tính nửa liên tục đồng bậc của họ các hàm vô hướng gξ , Gξ . Chúng ta cũng luôn giả thiết rằng X là không gian lồi địa phương, Y là không gian Banach, D ⊂ X là tập lồi, đóng, khác rỗng và C là nón lồi trong Y. 19 MAI HẢI AN
- Xem thêm -