TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
KHOA SAU ĐẠI HỌC
.
BÁO CÁO TIỂU LUẬN
XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM
Giảng viên: TS. MAI XUÂN TRUNG
Lớp: VLKT K22A
Thực hiện: PHẠM VĂN ĐẠO
NGUYỄN XUÂN TÂN
TRẦN THANH MINH
Lâm Đồng, tháng 10/2014
MỤC LỤC
I. BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TUYẾN TÍNH 1
Bài tập 1: Cho nguồn chuẩn gamma Eu -152 với các thông tin sau T1/2
=13,522 năm, hoạt độ ban đầu A0 (Bq) = 407600. .......................................... 1
a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 dữ liệu trên: 2
b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường
chuẩn hiệu suất ở bậc 2 và 3 tương ứng. Bậc nào thích hợp với các số liệu
thực nghiệm.................................................................................................... 3
c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong
trên ................................................................................................................. 8
d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dùng đa thức trực giao có
trọng số xác định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc
3. .................................................................................................................... 9
e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong
trên ............................................................................................................... 13
Bài tập 2: Cho các số liệu thực nghiệm, sử dụng phương pháp bình phương
tối thiểu dùng các đa thức trực giao khớp một đa thức thích hợp đáp ứng các
dữ liệu trên. .................................................................................................. 15
II. BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU PHI TUYẾN 24
Bài tập 1: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định
các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm ............................................................ 26
Bài tập 2: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định
các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm ............................................................ 29
Bài tập 3: Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu phi tuyến, xác định
các tham số θ1, θ2, θ3 của phiến hàm ............................................................ 32
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
I. BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU TUYẾN TÍNH
Bài tập 1: Cho nguồn chuẩn gamma Eu -152 với các thông tin sau T1/2 =13,522 năm,
hoạt độ ban đầu A0 (Bq) = 407600.
Ngày sản xuất: 01/01/1982
12:00:00
Ngày giờ đo: 03/07/2012
16:31:24
Thời gian đo (s) 57737,036
Số liệu phân tích cho:
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Năng lượng E
(KeV)
121,7824
244,6989
344,2811
411,126
443,965
778,903
867,39
964,055
1085,542
1089,767
1112,087
1212,97
1299,152
1408,022
Hiệu suất
phát
0,2837
0,0753
0,2657
0,02238
0,03125
0,1297
0,04214
0,1463
0,1013
0,01731
0,1354
0,01412
0,01626
0,2085
DT Đỉnh SS DT Đỉnh
SS hiệu
suất phát
0,0013
0,0004
0,0011
0,00010
0,00014
0,0006
0,00025
0,0006
0,0005
0,00009
0,0006
0,00008
0,00011
0,0009
718272
185801
539855
42348
56523
168106
51747
167756
111718
19025
144406
14282
15716
192679
52,176
743,204
1619,565
254,088
282,615
1344,848
465,723
503,268
446,872
285,375
1155,248
185,666
204,308
770,716
a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 điểm dữ liệu trên.
b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường chuẩn hiệu
suất
P
ln
b j ln( E )
j
j0
ở bậc 2 và 3 tương ứng. Bậc nào thích hợp với các số liệu thực nghiệm.
c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên
1
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dung đa thức trực giao có trọng số xác
định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc 3.
e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên và so sánh
với kết quả câu c.
Bài giải:
Thời gian từ lúc sản xuất nguồn đến lúc thực hiện đo là t = 962512284 giây tương
đương 30,5 năm. Chu kỳ bán rã của nguồn Eu152 là T1/2 = 13,522 năm = 426429792 giây.
Do đó, hoạt độ của nguồn ở thời điểm đo là:
A A0 e
t
(ln 2 ) t
T1
A0 e
2
407600 e
(ln 2 ) 962512284
426429792
85264 , 24433 ( Bq )
a) Xác định giá trị hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính của 14 dữ liệu trên:
Hiệu suất được xác định theo công thức:
N
t d AI
Trong đó: N là diện tích đỉnh, td = 57737,036 giây là thời gian đo, Iγ là hiệu suất phát của
tia bức xạ gamma ở năng lượng tương ứng, A hoạt độ nguồn γ.
Sai số hiệu suất:
2
N I
N I
2
Khi đó ta có bảng kết quả hiệu suất tính và sai số hiệu suất tính ứng với từng năng
lượng như sau:
2
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Bảng 1: Kết quả tính toán hiệu suất tính và sai số liệu suất tính
Năng lượng
E (KeV)
121,7824
244,6989
344,2811
411,126
443,965
778,903
867,39
964,055
1085,842
1089,767
1112,087
1212,97
1299,152
1408,022
Hiệu suất tính
0,00051429
0,000501224
0,000412728
0,000384372
0,000367412
0,000263282
0,000249442
0,000232923
0,000224023
0,000223258
0,000216643
0,000205463
0,000196336
0,000187718
Trọng số
2
2
47612,70348
22615,09825
38256,04124
17868,15613
22187,51109
11709,54258
8606,162363
38730,37236
24775,49756
3967,737678
11956,4952
4972,640282
4656,22746
28874,54867
Sai số hiệu
suất tính
2,35693E-06
3,33298E-06
2,11015E-06
2,87549E-06
2,4666E-06
2,43305E-06
2,68884E-06
1,18355E-06
1,42325E-06
3,54433E-06
1,98127E-06
2,91366E-06
2,87729E-06
1,10471E-06
x = ln(E)
4,802235846
5,500028475
5,841458475
6,018899737
6,09574573
6,65788652
6,765488703
6,871148347
6,990111002
6,993719191
7,013993709
7,100827177
7,169467023
7,249941162
y = ln(ε)
-7,572723045
-7,598457957
-7,792721298
-7,863900539
-7,909025772
-8,242283389
-8,296284979
-8,364802796
-8,403762603
-8,407184496
-8,437258614
-8,490246259
-8,535682833
-8,58056748
b) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số xác định đường chuẩn
hiệu suất ở bậc 2 và 3 tương ứng. Bậc nào thích hợp với các số liệu thực nghiệm.
P
ln
b j ln( E )
j
j0
Xác định đường chuẩn hiệu suất bậc 2:
Đa thức bậc hai có dạng: y = b0 + b1lnE + b2 (lnE)2 = b0 +b1x +b2x2
Đặt g0 = 1; g1 = lnE = x ; g2 = (lnE)2 = x2
Hệ phương trình chuẩn của phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số là:
g
T
g b g T Y
Trình bày dưới dạng hệ các phương trình:
b0 g 0 , g 0 b1 g1 , g 0 b2 g 2 , g 0 Y , g 0
b0 g 0 , g1 b1 g1 , g1 b2 g 2 , g1 Y , g1
b g , g b g , g b g , g Y , g
0
2
1
1
2
2
2
2
2
0
3
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Sử dụng kết quả trong bảng 1 ta tính được:
n
g 0 , g 0 g 0 i g 0 i = 286788,734354193
i 1
n
g1 , g 0 g1 i g 0 i = 1784432,90299963
i 1
n
g 2 , g 0 g 2 i g 0 i =11301441,1483269
i 1
n
g 0 , g1 g 0 i g1 i =1784432,90299963
i 1
n
g1 , g1 g1 i g1 i =11301441,1483269
i 1
n
g 2 , g1 g 2 i g1 i =72712453,6515179
i 1
n
g 0 , g 2 g 0 i g 2 i 11301441,1483269
i 1
n
g1 , g 2 g1 i g 2 i 72712453,6515179
i 1
n
g 2 , g 2 g 2 i g 2 i 474313129,469633
i 1
n
Y , g 0 y i g 0 i -2310563,8073758
i 1
n
Y , g1 y i g1 i -14462404,1226573
i 1
n
Y , g 2 y i g 2 i -92100781,7581659
i 1
286788,734354193b0 1784432,90299963b1 11301441,1483269b 2 2310563,8073758
1784432,90299963b 0 11301441,1483269b1 72712453,6515179b 2 14462404,1226573
11301441,1483269b 72712453,6515179b 474313129,469633b 92100781,7581659
0
1
2
4
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
b 0 10,60017485
b1 1,339166404
b 0,1469021206
2
Xác định SSE, MSE 2 , SSTO, R2
Tổng bình phương các sai số SSE:
n
n
n
n
SSE Y T Y bT g T Y (y 2 ) i b0 (y) i b1 ( g1 ) i (y) i b2 ( g 2 ) i (y) i
i 1
i 1
i 1
i 1
267,887
Bình phương trung bình sai số MSEω:
MSE
SSE 267,8871128
24,35337389
n 3
14 3
Phương trình: y = – 0,1469x2 +1,3392x – 10,6002
hay : lnε = – 0,1469(lnE)2 + 1,3392lnE – 10,6002
Xác định đường chuẩn hiệu suất bậc 3:
Đa thức bậc ba có dạng: y = b0 + b1lnE + b2 (lnE)2 + b3 (lnE)3 = b0 +b1x +b2x2 + b3x3
Đặt g0 = 1; g1 = lnE = x ; g2 = (lnE)2 = x2, g3 = (lnE)3 = x3.
Hệ phương trình chuẩn của phương pháp bình phương tối thiểu có trọng số là:
g
T
g b g T Y
Trình bày dưới dạng hệ các phương trình:
b0 g 0 , g 0 b1 g 1 , g 0 b2 g 2 , g 0 b3 g 3 , g 0 Y , g 0
b g , g b g , g b g , g b g , g Y , g
0
0
1
1
1
1
2
2
1
3
3
1
1
b0 g 0 , g 2 b1 g1 , g 2 b2 g 2 , g 2 b3 g 3 , g 2 Y , g 2
b0 g 0 , g 3 b1 g1 , g 3 b2 g 2 , g 3 b3 g 3 , g 3 Y , g 3
Sử dụng kết quả trong bảng 1 ta tính được:
n
g 0 , g 0 g 0 i g 0 i = 286788,734354193
i 1
5
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
n
g1 , g 0 g1 i g 0 i = 1784432,90299963
i 1
n
g 2 , g 0 g 2 i g 0 i =11301441,1483269
i 1
n
g 3 , g 0 g 3 i g 0 i 72712453,6515179
i 1
n
g 0 , g1 g 0 i g1 i =1784432,90299963
i 1
n
g1 , g1 g1 i g1 i =11301441,1483269
i 1
n
g 2 , g1 g 2 i g1 i =72712453,6515179
i 1
n
g3 , g1 g3 i g1 i 474313129,469633
i 1
n
g 0 , g 2 g 0 i g 2 i 11301441,1483269
i 1
n
g1 , g 2 g1 i g 2 i 72712453,6515179
i 1
n
g 2 , g 2 g 2 i g 2 i 474313129,469633
i 1
n
g3 , g 2 g3 i g 2 i 3131019044,85911
i 1
n
g 0 , g 3 g 0 i g 3 i 72712453,6 515179
i 1
n
g1 , g 3 g1 i g 3 i 474313129,469633
i 1
n
g 2 , g 3 g 2 i g 3 i 3131019044,85911
i 1
6
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
n
g 3 , g 3 g 3 i g 3 i 20879797471,4568
i 1
n
Y , g 0 y i g 0 i -2310563,8073758
i 1
n
Y , g1 y i g1 i -14462404,1226573
i 1
n
Y , g 2 y i g 2 i -92100781,7581659
i 1
n
Y , g 3 y i g 3 i -595531546 ,855329
i 1
286788,734354193b0 1784432,90299963b1 11301441,1483269b2 72712453,6515179b3 2310563,8073758
1784432,90299963b 11301441,1483269b 72712453,6515179b 474313129,469633b 14462404,1226573
0
1
2
3
11301441,1
483269b
72712453,6
515179b
474313129,
469633b
3131019044
,85911b
0
1
2
3 92100781,7581659
72712453,6515179b0 474313129,469633b1 3131019044,85911b2 20879797471,4568b3 - 595531546,855329
b 0 27,9621683
b1 10,258378
b 2 1,6559689
b3 0,0841414
Xác định SSE, MSE , SSTO, R2
Tổng bình phương các sai số SSE:
n
n
n
n
n
SSE Y T Y bT g T Y (y 2 ) i b0 (y) i b1 ( g1 ) i (y) i b2 ( g 2 ) i (y) i b3 ( g 3 ) i (y) i
i 1
i 1
i 1
73,8941696
7
i 1
i 1
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Bình phương trung bình sai số MSE :
MSE
SSE 73,8941696
6,7176518 s
n3
14 3
Phương trình: y = 0,084x3 -1,656x2 +10,258x -27,962
hay : lnε = 0,084(lnE)3 - 1,656(lnE )2 + 10,258 lnE - 27,962
Bậc 3
-7.4
-7.6
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
-7.8
-8
-8.2
-8.4
-8.6
y = 0.0844x3 - 1.6583x2 + 10.257x - 27.926
R² = 0.9976
-8.8
Hiệu suất tính
Poly. (Hiệu suất tính)
Hình 1: Đồ thị đường chuẩn hiệu suất và đường khớp bởi phương trình bậc 3
Kết luận: Đường cong bậc 3 thích hợp với các số liệu thực nghiệm hơn đường cong bậc
2.
c) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên
Từ câu b đường cong bậc hai ta có:
286788,734354193 1784432,90299963 11301441,1483269
g g 1784432,90299963 11301441,1483269 72712453,6515179
11301441,1483269 72712453,6515179 474313129,469633
T
0,0135081 0,0045366 0,0003736
( g g ) 0,0045366 0,00153006 0,0001264
0,0003736 0,0001264 1,0487 10 5
T
1
Sai số tại mỗi điểm chuẩn:
8
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
0,0135081 0,0045366 0,0003736
b ( g g ) 0,0045366 0,00153006 0,0001264
0,0003736 0,0001264 1,0487 10 5
2
T
1
b20 0,0135081
b0 0,1162
2
b1 0,00153006 b1 0,0391
2
5
b2 1,0487 10
b2 0,0032
Làm tương tự với đường cong bậc 3:
286788,734354193
1784432,90299963
T
g g
11301441,1483269
72712453,6515179
1784432,90299963 11301441,1483269 72712453,6515179
11301441,1483269 72712453,6515179 474313129,469633
72712453,6515179 474313129,469633 3131019044,85911
474313129,469633 3131019044,85911 20879797471,4568
0,0075301
1,5674750 0,8028407 0,1354410
0,0038688
0,8028407 0,4116349 0,0695133
T
1
( g g )
0,1354410 0,0695133 0,0117502
0,0006546
5
0,0075310 0,0038688 0,0006546 3,6497435 10
Sai số tại mỗi điểm chuẩn :
0,0075301
1,5674750 0,8028407 0,1354410
0,0038688
0,8028407 0,4116349 0,0695133
2
T
1
b ( g g )
0,1354410 0,0695133 0,0117502
0,0006546
0,0075310 0,0038688 0,0006546 3,6497435 10 5
b20
2
b
21
b2
2
b3
1,5674750
b0
0, 4116349
b
1
0,0117502
b2
3,6497435 10 5
b3
1, 252
0,642
0,108
0,006
d) Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu dùng đa thức trực giao có trọng số xác
định đường cong hiệu suất với x = lnE, y = lnε với bậc 2 và bậc 3.
Xác định đường cong bậc 2:
Đa thức bậc hai có dạng: y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x)
9
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Đặt g0(x) =1
g1(x) = (x-B0)g0(x)
gj+1(x) = (x-Bj)gj(x)-Cjgj-1(x)
vậy g2 = (x-B1)g1(x)-C1g0(x)
n
B0
i 0
x i ( xi )
S0
2
n
g
S 0 g 0 , g 0
0
( x i ) ( x i ) = 286788,734354193
i 1
n
B0
i 0
x i ( x i ) 1784432,90 299963
6,22211645 5
S0
286788,734 354193
g 1 ( x 6,222116455)
2
n
S1 g1 , g1 g1 ( xi ) ( xi ) 198491,820564604
i 1
n
x g ( x ) ( x
2
i
B1
C1
1
i
i)
i 1
S1
1158531,49976351
5,836671236
198491,820564604
S1 198491,820564604
0,692118611
S 0 286788,734354193
g 2 ( x 5,836671236)( x 6,222116455) 0,692118611
2
n
S 2 g 2 , g 2 g 2 ( xi ) ( xi ) 95352,012606033
i 1
n
y g
i
Ta có: b j
i 1
n
g
j
( xi ) ( xi )
2
j
( xi ) ( xi )
i 1
10
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
n
y g
i
Nên
i 1
n
b0
0
( x i ) ( xi )
g
( x i ) ( x i )
2
0
y - 2310563,8073758 -8,056675631
S0
286788,734354193
i 1
n
y g ( x ) ( x ) y ( x 6,222116455 ) - 85807,0375 38239
-0,432295080
S
198491,820 564604
g ( x ) ( x )
i
b1
1
i
i 1
n
i
2
1
i
1
i
i 1
n
y g
i
b2
i 1
n
g
2
( xi ) ( x i )
y[( x 5,836671236)( x 6,222116455) 0,692118611]
S2
( x i ) ( x i )
2
2
i 1
- 14007,4128 663704
-0,146902121
95352.0126 060331
Vậy ta được đường cong bậc 2 như sau:
y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x)
y - 8,056675631 - 0,43229508( x 6,222116455)
0,146902121(( x 5,836671236)( x 6,222116455) 0,692118611)
y 0,146902121x 2 1,3391664 x 10,60017486
Bậc 2
-7.4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
-7.6
-7.8
-8
-8.2
-8.4
-8.6
y = -0.1341x2 + 1.179x - 10.108
R² = 0.9922
-8.8
Hiệu suất tính
Poly. (Hiệu suất tính)
Hình 2: Đồ thị đường hiệu suất tính và đường khớp bởi phương trình bậc 2
11
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Phương trình bậc 2:
y 0,1469 x 2 1,3392 x 10,6002
Tương tự xác định đường cong bậc ba:
Đa thức bậc hai có dạng:
y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x) +b3g3(x)
Các giá trị b0; b1; b2; g0; g1; g2 đã tính toán ở trên:
Áp dụng công thức gj+1(x) = (x-Bj)gj(x)-Cjgj-1(x), ta có:
g3 = (x-B2)g2(x)-C2g1(x)
n
x g
i
B2
C2
( x i ) ( xi )
2
2
i 1
S2
560297,584147278
5,876096045
95352,012606033
S2
95352,012606033
0,480382579
S 1 198491,820564604
g 3 ( x 5,876096045)[(x 5,836671236)( x 6,222116455) 0,692118611] 0,480382579( x 6,222116455)
2
n
S3 g3 , g3 g3 ( xi ) ( xi ) 27399,1852
i 1
n
y g ( x )( x ) yg 2305,40665
0,08414143
S
27399,1852
g ( x ) ( x )
i
b3
3
i
i
3
i 1
n
2
3
i
3
i
i 1
Vậy ta được đường cong bậc 3 như sau:
y = b0 g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x) + b3g3(x)
y - 8,056675631 - 0.43229508( x 6,222116455)
0,146902121(( x 5,836671236)( x 6,222116455) 0,692118611)
0,084141431 ( x 5,876096045)[( x 5,836671236)( x 6,222116455) 0,692118611]
0,480382579( x 6,222116455)
y 0,084141431x 3 1,655968903x 2 10,25837195x 27,962168941
12
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Phương trình bậc 3:
y 0,084 x 3 1,656 x 2 10,258 x 27,962
Bậc 3
-7.4
-7.6
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
-7.8
-8
-8.2
-8.4
y = 0.0844x3 - 1.6583x2 + 10.257x - 27.926
R² = 0.9976
-8.6
-8.8
Hiệu suất tính
Poly. (Hiệu suất tính)
Hình 3: Đồ thị đường hiệu suất tính và đường khớp bởi phương trình bậc 3
e) Xác định sai số giá trị hiệu suất tại mỗi điểm chuẩn của hai đường cong trên
Từ câu d đường cong bậc hai ta có:
S0
g T g 0
0
0
S1
0
0 286788,734 354193
0
0
0
0
198491,820 564604
0
S2
0
0
95352,0126 06033
1
0
286788,734354193
1
( g T g ) 1
0
198491,820564604
0
0
3,4868873 10 6
0
0
0
5,03799997 10 6
0
0
1
95352,012606033
5
1,04874556 10
0
0
Sai số tại mỗi điểm chuẩn:
13
0
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
3,4868873 10 6
2 b ( g T g ) 1
0
0
0
0
5
1,04874556 10
0
5,03799097 10
0
6
b20 3, 4868873 10 6
b0 0,0019
2
b1 5,03799097 10 6 b1 0,0022
2
5
b2 1,04874556 10
b2 0,0032
Làm tương tự với đường cong bậc 3:
0
0
0
S0 0 0 0 286788,734354193
0
198491,820564604
0
0
0 S1 0 0
T
g g
0 0 S2 0
0
0
95352,012606033
0
0 0 0 S
0
0
0
27399,185216566
3
3,4868873 10 6
0
T
1
( g g )
0
0
0
0
5,03799097 10
0
0
6
0
0
3,6497435 10 5
0
0
1,04874556 10 6
0
Sai số tại mỗi điểm chuẩn :
2 b ( g T g ) 1
b20
2
b
21
b2
2
b3
3,4868873 10 6
0
0
0
3, 4868873 10 6
5,03799097 10 6
1,04874556 10 5
3,6497435 10 5
b0
b
1
b2
b3
0
0
5,03799097 10 6
0
0
1,04874556 10 6
0
0
0,002
0,002
0,003
0,006
14
0
0
3,6497435 10 5
0
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Bài tập 2: Cho các số liệu thực nghiệm, sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu
dùng các đa thức trực giao khớp một đa thức thích hợp đáp ứng các dữ liệu trên.
x
y
280
770
284
800
292
840
295
810
Bài giải:
a) Khớp đa thức bậc nhất:
Đa thức có dạng:
y1=b0 g0(x) + b1g1(x)
Đặt g0(x) = 1, p = 2 tham số mô hình
n
Tính S 0 g 0 , g 0 g 0 ( xi ) n 6
i 1
g1(x) =( x – B0 )g0(x) = x – B0
n
n
xi
xg 0 ( x ), g 0 ( x )
i 1
B0
S0
S0
x
i
i 1
n
x
1754
292,3333333
6
Vậy g1(x) = (x – 292,3333333)
n
2
n
Tính : S1 g1 , g1 g1 ( xi ) x 292,3333333 421,3333333
2
i 1
n
n
y y
i
y, g 0 i 1
b0
S0
S0
b1
y, g1
S1
i 1
i 1
n
i
y
4595
765,8333333
6
y( x 292,3333333) 2011,6666670 4,774525318
S1
421,3333333
15
298
735
305
640
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
Tổng bình phương các sai số:
2
2
n
2
n
y, g 0
y, g1
SSE1 y i
y 2i
S0
S1
i 1
i 1
2
3544425
n
n
yi
yi ( xi 292,3333333
i 1 i 1
S0
S1
2
(4595) 2 (2011,6666670) 2
15816,07991
6
421,3333333
Và
y
2
SSTO y
R2 1
Ra2 1
2
n
2
4595
3544425
6
25420,83333
SSE1
15816,07991
1
0,37783 37,78%
SSTO
25420,83333
n 1SSE1
6 1.15816,07991 0,2222875 22,23%
1
n p SSTO
6 2 .25420,83333
Vậy ta có:
y1 = 765,833 – 4,774 (x – 292,333) = 2161,431 – 4,774.x
Vậy có 37,78 % các điểm thực nghiệm diễn biến theo đường mô hình ta khớp. Do
đó đa thức bậc nhất y = 2161,431 - 4,774x không đáp ứng các điểm thực nghiệm.
Bậc 1
900
850
800
750
y = -4.7745x + 2161.6
R² = 0.3778
700
650
600
280
285
290
Thực nghiệm
295
300
305
Linear (Thực nghiệm)
Hình 4: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 1
16
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
b) Đa thức bậc hai:
Đa thức bậc hai có dạng:
y2 = b0 g0(x) + b1g1(x) +b2g2(x) = y1(x) + b2.g2(x)
p = 3 số tham số mô hình
Từ trên ta đã có:
b0 = 765,8333333; b1 = -4,774525316; g0(x) = 1; g1(x) = ( x – 292,3333333 );
SSTO = 25420,83333
Tìm b2, g2(x):
Áp dụng công thức đa thức trực giao:
gj+1(x) = (x – Bj)gj(x) – Cjgj-1(x)
g 2 ( x) ( x B1 ) g1 ( x) C1 g 0 ( x )
Ta có B1
C1
xg1 , g1
S1
x( x 292,3333333)
S1
2
122948,2222
291,8074895
421,3333333
S1 421,3333333
70,2222222
S0
6
g 2 ( x) ( x 291,8074895)( x 292,3333333) 70,2222222
= x 2 584,1408228 x 85234,83387
n
2
S 2 g 2 , g 2 ( xi 584,1408228 xi 85234,83387) 2 25080,97785
i 1
b1
y , g 2 18908,35608
0,7538923
S2
25080,97785
n
SSE 2 y 2 i
i 1
y, g 0 2 y, g 1 2 y, g 2 2
y, g 2 2
SSE1
S0
S1
S2
S2
15816.07991
18908,356082
25080,97785
1561,215845
17
Báo cáo tiểu luận Xử lý số liệu thực nghiệm – VLKT K22A
R2 1
Ra2 1
SSE 2
1561,215845
1
0,9385852 93,86%
SSTO
25420,83333
n 1SSE 2
6 1.1561,215845 0,897644153 89,76%
1
n p SSTO
6 3.25420,83333
y2 = 765,8333333 – 4,774525316 (x – 292,3333333) - 0,7538923( x2 – 584,1408228x
+ 85234,833387)
y2 = - 0,753.x2 + 435,605.x – 62096,299
Vậy có 93,86% các điểm thực nghiệm diễn biến theo đường mô hình đã khớp.
Bậc 2
900
850
800
750
700
y = -0.7539x2 + 435.61x - 62096
R² = 0.9386
650
600
280
285
290
Thực nghiệm
295
300
305
Poly. (Thực nghiệm)
Hình 5: Đồ thị đường thực nghiệm và đường khớp bởi phương trình bậc 2
c) Đa thức bậc 3:
Đa thức bậc ba có dạng:
y3 = b0g0(x) + b1g1(x) + b2g2(x) + b3g3(x) = y2 + b3g3(x)
p = 4 số tham số mô hình
Tính g3(x), b3:
Áp dụng công thức đa thức trực giao:
gj+1(x) = (x – Bj)gj(x) – Cjgj-1(x) g 3 ( x ) ( x B2 ) g 2 ( x ) C 2 g1 ( x)
18
- Xem thêm -