Tài liệu Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHẠM THỊ THUẦN BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG TỔNG QUÁT LOẠI II Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ, động viên để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thuần Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 6 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Thuần Mục lục Mở đầu 4 1 Kiến thức cơ bản 8 1.1 1.2 1.3 1.4 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 18 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Các tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Tính liên tục và tính liên tục theo nón . . . . . . . . 24 1.3.2 Tính lồi và tựa lồi theo nón . . . . . . . . . . . . . . 29 Một số định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . 32 1.4.1 Bổ đề KKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.4.2 Định lý Ky Fan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4.3 Định lý Browder-Ky Fan . . . . . . . . . . . . . . . 35 2 Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II 37 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2 2.3 Sự tồn tại nghiệm của một số bài toán liên quan . . . . . . 49 2.3.1 Bài toán tựa cân bằng vô hướng loại II . . . . . . . 49 2.3.2 Bao hàm thức tựa biến phân loại II . . . . . . . . . 50 2.3.3 Bài toán tựa quan hệ biến phân loại II . . . . . . . . 52 2.4 Bài toán tựa cân bằng Pareto và tựa cân bằng yếu . . . . . 54 2.5 Bài toán bất đẳng thức tựa biến phân vectơ . . . . . . . . . 67 2.6 Sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Giải tích đa trị là một hướng nghiên cứu tương đối mới trong Toán học, mặc dù từ những năm 30 của thế kỷ XX các nhà toán học đã thấy cần phải nghiên cứu ánh xạ đa trị, tức ánh xạ nhận giá trị là các tập con của một tập hợp nào đó. Sự ra đời của tạp chí quốc tế "Set-Valued Analysis" vào năm 1993 là một mốc lớn trong quá trình phát triển của giải tích đa trị. Vai trò của giải tích đa trị trong Toán học và các ứng dụng của toán học đã được công nhận rộng rãi. Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng trong lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân và phương trình suy rộng, lý thuyết tối ưu, lý thuyết điều khiển, tối ưu đa mục tiêu, khoa học quản lý, và toán kinh tế. Có thể nói những ứng dụng mà giải tích đa trị đem lại là vô cùng to lớn, đặc biệt trong các bài toán kinh tế. Bài toán điểm cân bằng được hình thành từ khái niệm hữu hiệu mà Edgeworth và Pareto đề xướng từ cuối thế kỷ 19. Sau đó nó được nhiều nhà toán học như Debreu, Nash,... sử dụng để xây dựng những mô hình kinh tế mà trong những năm cuối của thế kỷ 20, nhiều nhà kinh tế thế giới quan tâm khai thác. Để chứng minh sự tồn tại điểm cân bằng của mô hình kinh tế, đầu tiên người ta thường sử dụng các định lý điểm bất động kiểu Brouwer, KakuTani, Ky Fan, Browder,... Sau này, người ta đã chỉ ra rằng Định lý điểm bất động Browder tương đương với Định lý về sự tương giao 4 hữu hạn của các tập compắc, Định lý không tương thích của Hoàng Tụy và Định lý KKM. Như vậy, người ta đã tìm ra được nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán điểm cân bằng. Năm 1972 Ky Fan và năm 1978 Browder-Minty đã phát biểu bài toán điểm cân bằng một cách tổng quát và chứng minh sự tồn tại nghiệm của nó với những giả thiết khác nhau. Kết quả của Ky Fan nặng về tính nửa liên tục trên, còn kết quả của Browder-Minty nặng về tính đơn điệu của hàm số. Năm 1991, Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng tổng quát và tìm cách liên kết các bài toán của Ky Fan và Browder-Minty với nhau thành dạng chung cho cả hai. Bài toán được phát biểu ngắn gọn là: tìm x̄ ∈ K sao cho f (x̄, x) ≥ 0 với mọi x ∈ K , trong đó K là tập cho trước của không gian, f : K × K → R là hàm số thực thỏa mãn f (x, x) ≥ 0. Các tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán này dựa trên Nguyên lý KKM. Đầu tiên người ta nghiên cứu những vấn đề liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian hữu hạn chiều này sang không gian hữu hạn chiều khác mà thứ tự đưa ra bởi nón orthant dương. Sau đó mở rộng sang không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Khái niệm ánh xạ đa trị đã được xây dựng và phát triển do nhu cầu phát triển của Toán học và các lĩnh vực khác. Từ đó người ta tìm cách chứng minh các kết quả thu được từ đơn trị sang đa trị. Nếu chúng ta cho thêm các ánh xạ ràng buộc, thì bài toán cân bằng sẽ trở thành tựa cân bằng. Bài toán tựa cân bằng được nhiều nhà nghiên cứu trong những năm gần đây. Với những lý do kể trên tôi đã chọn đề tài:"Bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II" làm luận văn Thạc sĩ của mình. 5 2. Mục đích nghiên cứu Để tìm nghiệm của các bài toán trước hết người ta phải biết bài toán có nghiệm hay không, sau đó mới tìm các phương pháp tiếp cận nghiệm. Ví dụ, xét các bài toán tối ưu, thông thường người ta đưa ra các điều kiện tổng quát cho việc tồn tại nghiệm, sau đó mới tìm các thuật toán để giải. Chính vì vậy, việc xét sự tồn tại nghiệm của các bài toán là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các bài toán. Mục đích của luận văn là trình bày mô hình, nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu bài toán dựa trên những yêu cầu của thực tế khách quan. Sau đó tìm các điều kiện đủ cho việc tồn tại nghiệm và nghiên cứu sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II: Sự tồn tại nghiệm, sự ổn định của các tập nghiệm và một số ứng dụng của nó. Sau đó, trình bày các mối liên hệ giữa bài toán này với một số bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa trị. 5. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và Định lý KKM trong việc nghiên cứu các bài toán tựa cân bằng. 6 6. Giả thuyết khoa học Luận văn là cái nhìn cụ thể về một lớp bài toán trong lý thuyết tối ưu. Trình bày chi tiết sự tồn tại nghiệm, sự ổn định của các tập nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại II cũng như những ứng dụng trong các bài toán liên quan. 7 Chương 1 Kiến thức cơ bản Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff, các khái niệm về nón, ánh xạ đa trị, các tính chất của ánh xạ đa trị để phục vụ chứng minh ở chương sau. Ngoài ra, chương này còn trình bày các định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị, đó là các định lý cơ bản để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát. Các khái niệm này ta có thể tìm thấy trong cuốn của Nguyễn Phụ Hy [1], Nguyễn Xuân Tấn [3]. Các khái niệm khác được nhắc đến đã có trích dẫn kèm theo. 1.1 1.1.1 Các không gian thường dùng Không gian Metric Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi không gian metric một tập hợp X 6= ∅ cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp các số thực R thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) (∀x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y , (tiên đề đồng nhất); 2) (∀x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng); 3) (∀x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác). Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai phần 8 tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề metric. Không gian metric được ký hiệu là M = (X, d). Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Một tập con bất kỳ X0 6= ∅ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric. Không gian metric M0 = (X0 , d) gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho. Tính chất. 1) (∀xj ∈ X, j = 1, 2, .., n, n ∈ N ∗ ) d (x1 , xn ) ≤ n−1 P d(xj , xj+1 ), j=1 2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d (x, y) − d (u, v)| ≤ d (x, u) + d (y, v) , (bất đẳng thức tứ giác) 3. (∀x, y, u ∈ X) |d (x, y) − d (y, u)| ≤ d (x, u) , (bất đẳng thức tam giác). Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt d(x, y) = |x − y| . (1.1) Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực R dễ dàng kiểm tra hệ thức (1.1) xác định một metric trên R. Không gian tương ứng được ký hiệu là R1 . Ta sẽ gọi metric (1.1) là metric tự nhiên trên R1 . Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞). Với hai hàm số bất kỳ x(t), y(t) ∈ C[a,b] ta đặt d(x, y) = max |x(t) − y(t)| . a≤t≤b (1.2) Vì các hàm số x(t), y(t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b] . Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b]. Suy ra hệ thức (1.2) xác định một ánh xạ từ tích Descartes C[a,b] × C[a,b] vào tập số thực R. 9 Dễ dàng thấy ánh xạ (1.2) thỏa mãn các tiên đề về metric. Không gian metric tương ứng vẫn ký hiệu là C[a,b] . Định nghĩa 1.1.3. (Hình cầu) Cho không gian metric M = (X, d), a ∈ X , số r > 0. Ta gọi: • Tập S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính r; • Tập S 0 (a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.1.4. (lân cận) Cho không gian metric M = (X, d). Ta gọi là lân cận của điểm x ∈ X trong không gian M mọi hình cầu tâm x, bán kính r > 0 nào đấy. Định nghĩa 1.1.5. Cho không gian metric M = (X, d), tập A ⊂ X , điểm b ∈ X. • Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm b bao hàm trong tập A. • Điểm b gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm b không chứa điểm nào của tập A. • Điểm b gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm b đều chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A. Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X . • Tập A gọi là tập mở trong không gian M , nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A. 10 • Tập A gọi là tập đóng trong không gian M , nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ / A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A. Định lý 1.1.1. Trong không gian metric bất kỳ, mọi hình cầu mở là tập mở, mọi hình cầu đóng là tập đóng. Định lý 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d), tập A ⊂ X , và A 6= ∅. Tập A đóng trong không gian M khi và chỉ khi mọi dãy điểm (xn ) ⊂ A hội tụ đến điểm x thì x ∈ A. Hệ quả 1.1.1. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), phần bù của tập mở là tập đóng, phần bù của tập đóng là tập mở. Các tập X, ∅ vừa đóng vừa mở. Định nghĩa 1.1.7. Cho không gian metric M = (X, d), và tập A ⊂ X . Hợp của tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A, ký hiệu o là A, hay intA. Giao của tất cả các tập đóng chứa A là bao đóng của A và ký hiệu là Ā hay [A]. Định lý 1.1.3. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X . Phần o trong A của tập A là tập tất cả các điểm trong của A, còn bao đóng Ā của tập A là hợp của tập A và tất cả các điểm giới hạn của tập A. Hệ quả 1.1.2. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d) phần trong của một tập là tập mở, bao đóng của một tập là tập đóng. Định lý 1.1.4. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), họ τ tất cả các tập mở trong M lập thành một tôpô trên X . Chứng minh. Theo hệ quả (1.1.1) thì X, ∅ ∈ τ . Giả sử họ (Gα )α∈I ⊂ τ , I là tập chỉ số có lực lượng nào đấy. Đặt G = 11 S Gα . Lấy phần tử bất kỳ x ∈ G thì x ∈ Gα0 , α0 là chỉ số nào đó thuộc α∈I I . Vì Gα0 là tập mở, nên tồn tại lân cận S(x, r) ⊂ Gα0 ⇒ S(x, r) ⊂ G. Do đó G là tập mở. Giả sử G1 , G2 , ..., Gm là họ hữu hạn các phần tử tùy ý thuộc τ . Đặt ∞ T Gj . Lấy một phần tử bất kỳ y ∈ E thì y ∈ Gj , ∀j = 1, 2, ..., m. E= j=1 Vì với mỗi j do Gj là tập mở, nên tồn tại lân cận Sj = S(y, rj ). Đặt m m T T Gj = E . Sj ⊂ r = min {r1 , r2 , ..., rm } > 0, thì lân cận S(y, r) ⊂ j=1 j=1 Do đó E là tập mở. Vì vậy τ là một tôpô trên X . Định nghĩa 1.1.8. Họ τ tất cả các tập mở trong không gian metric M = (X, d) gọi là tôpô sinh bởi metric d. Hệ quả 1.1.3. Trong không gian metric bất kỳ, giao của một họ tùy ý các tập đóng là tập đóng, hợp của một họ hữu hạn tùy ý các tập đóng là tập đóng. Định lý 1.1.5. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), tôpô τ sinh bởi metric d là tôpô có cơ sở lân cận đếm được. Định nghĩa 1.1.9. Trong không gian metric M = (X, d). Một dãy {xn } là dãy cơ bản nếu lim d (xn , xm ) = 0 tức là n,m→∞ (∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) d (xn , xm ) < ε. Một dãy hội tụ bao giờ cũng là cơ bản, vì nếu xn → x thì theo bất đẳng thức tam giác ta có d (xn , xm ) ≤ d (xn , x) + d (x, xm ) → 0 (n, m → ∞). Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhất thiết hội tụ. Chẳng hạn nếu coi khoảng (0, 1) là một không gian metric  thì dãy n1 , mặc dù cơ bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy. Định nghĩa 1.1.10. • Không gian metric M = (X, d) trong đó mọi 12 dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) gọi là một không gian đủ. • Trái lại, trong không gian metric M = (X, d) mà mọi dãy cơ bản không hội tụ thì được gọi là không gian metric không đầy đủ. Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ) , M2 = (Y, d2 ), ánh xạ f từ không gian M1 đến không gian M2 . Định nghĩa 1.1.11. Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X , nếu (∀ε > 0) (∃δ > 0) (∀x ∈ X : d1 (x, x0 ) < δ) d2 (f (x), f (x0 )) < ε. Hay nói cách khác: Ánh xạ f gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X , nếu với lân cận cho trước tùy ý Uy0 = S(y0 , ε) ⊂ Y của điểm y0 = f (x0 ) trong M2 , ắt tìm được lân cận Vx0 = S(x0 , δ) ⊂ X của điểm x0 trong M1 sao cho f (Vx0 ) ⊂ Uy0 . Định nghĩa 1.1.12. Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập A ⊂ X , nếu ánh xạ f liên tục tại mọi điểm x ∈ A. Khi A = X thì ánh xạ f gọi là liên tục. Định lý 1.1.6. Cho f là ánh xạ đi từ không gian metric X vào không gian metric Y , ba điều sau tương đương: (i) f liên tục; (ii) Nghịch ảnh của mọi tập đóng (trong Y ) đều là tập đóng (trong X ); (iii) Nghịch ảnh của mọi tập mở (trong Y ) đều là tập mở (trong X ). Định nghĩa 1.1.13. A được gọi là ánh xạ Lipschitz nếu ∃k > 0 : d (A(x), A(y)) ≤ kd(x, y) • k = 1: f được gọi là ánh xạ không giãn. • 0 < k < 1: f được gọi là ánh xạ co. Định lý 1.1.7 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co). Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian Metric đầy M = (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x̄ duy nhất, nghĩa là x̄ ∈ X thỏa mãn hệ thức Ax̄ = x̄. 13 Định nghĩa 1.1.14. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K ⊂ X gọi là tập compắc trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K . Định nghĩa 1.1.15. Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X . Họ (Gα )α∈I gồm các tập mở trong M (I là tập chỉ số có lực lượng nào S đấy) gọi là một phủ mở của A, nếu Gα ⊃ A. Khi tập I hữu hạn, thì α∈I họ (Gα )α∈I gọi là phủ mở hữu hạn của A. Định lý 1.1.8 (Tiêu chuẩn compact Heine – Borel). Tập K ⊂ X là tập compắc trong không gian metric M = (X, d) khi và chỉ khi mọi phủ mở (Gα )α∈I của tập K đều chứa một phủ con hữu hạn của K . 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.16. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là k.k và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) (∀x ∈ X) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ ); 2) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P ) kαxk = |α| kxk ; 3) (∀x, y ∈ X) kx + yk ≤ kxk + kyk . Số kxk gọi là chuẩn của véctơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X . Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn. Định lý 1.1.9. Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai véctơ bất kì x, y ∈ X ta đặt d(x, y) = kx − yk . Khi đó d là một metric trên X . 14 (1.3) Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên đề tuyến tính. Nhờ định lý (1.1.9), mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.3). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn. Định nghĩa 1.1.17. Dãy điểm (xn ) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu lim kxn − xm k = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.1.18. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.19. Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y được gọi là tuyến tính nếu • A(x + y) = A(x) + A(y); • A (αx) = αA (x). A được gọi là ánh xạ giới nội nếu ∃k > 0, ∀x ∈ X : kA(x)k ≤ k kxk. Định lý 1.1.10. Ánh xạ A : X → Y tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi A giới nội. Chứng minh. Giả sử A giới nội. Lấy {xn } ⊂ X, xn → x tương đương với xn − x → 0. Ta có kA(xn ) − A(x)k = kA(xn − x)k ≤ k kxn − xk → 0. Suy ra d (A(xn ), A(x)) = kA(xn ) − A(x)k → 0 suy ra A(xn ) → A(x) do đó A liên tục. Ngược lại, giả sử A liên tục nhưng A không giới nội. Tức ∀m > 0, ∃xn ∈ X : kA(xm )k > m kxm k. Ta đặt ym = 15 xm mkxm k . Ta được kxm k 1 mkxm k = m → 0, m → ∞. Suy ra mkxm k kA(xm )k mkxm k > mkxm k ≥ 1. Suy ra kA(ym )k 9 0 kym k = {ym } → 0. Ta có kA(ym )k = ⇔ A(ym ) 9 0 = A(0) (mâu thuẫn) Vậy A giới nội. Ta có điều phải chứng minh. 1.1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.20. (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực R hoặc trường số phức C ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X × X vào trường P , kí hiệu (., .), thỏa mãn tiên đề: 1) (∀x, y ∈ X) (y, x) = (x, y); 2) (∀x, y, z ∈ X) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) ; 3) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ P ) (αx, y) = α (x, y) ; 4) (∀x ∈ X) (x, x) > 0, nếu x 6= θ (θ là kí hiệu phần tử không), (x, x) = 0, nếu x = θ. Các phần tử x, y, z, .... gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y) gọi là tích vô hướng của hai nhân tử x và y , các tiên đề 1), 2) , 3), 4) gọi là tiên đề tích vô hướng. Định lý 1.1.11. Đối với mỗi x ∈ X . Ta đặt q kxk = (x, x). (1.4) Khi đó ∀x, y ∈ X ta có bất đẳng thức Schwarz |(x, y)| ≤ kxk kyk . (1.5) Công thức (1.4) xác định một chuẩn trên không gian X . Định nghĩa 1.1.21. Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert. 16 Định nghĩa 1.1.22. Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z, .... nào đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện: 1) H là không gian tuyến tính trên trường P ; 2) H được trang bị một tích vô hướng (., .); 3) H là không gian Banach với chuẩn kxk = p (x, x), x ∈ H. Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian H . Định nghĩa 1.1.23. (Trực giao) Cho không gian Hilbert H . Hai phần tử x, y ∈ H gọi là trực giao, ký hiệu x⊥y , nếu (x, y) = 0. Định nghĩa 1.1.24. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A 6= ∅. Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A, nếu x⊥y (∀y ∈ A) và kí hiệu x⊥A. Định lý 1.1.12 (Định lý hình chiếu lên không gian con). Cho không gian Hilbert H và H0 là không gian con của H . Khi đó phần tử bất kì x ∈ H biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng x = y + z, y ∈ H0 , z ∈ H0 . (1.6) Phần tử y trong biểu diễn (1.6) gọi là hình chiếu của phần tử x lên không gian con H0 . Định nghĩa 1.1.25. (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H . Một tập (còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử (en )n≥1 ⊂ H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu (ei , ej ) = δij (1.7) δij là kí hiệu Kroneckes, δij = 0 với i 6= j , δij = 1 với i = j , (i, j = 1, 2, ...). 17 Nhận xét: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert có hai cấu trúc tôpô và đại số. Về cấu trúc tôpô: Họ lân cận của 0, U = {Uα }α∈I , Uα là lân cận của 0. x ∈ X, {x + Uα }α∈I là họ lân cận của x. Định nghĩa 1.1.26. Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: U ) được gọi là họ cơ sở của lân cận nếu: 1) U bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại U0 ⊂ U sao cho U0 ⊂ U ; 2) Với U1 , U2 ∈ U thì U1 ∩ U2 ∈ U ; ∞ S Ui ∈ U ; 3) Với Ui ∈ U , i = 1, ..., ∞ thì i=1 4) Với W ∈ U , tồn tại U0 ∈ U sao cho U0 + U0 ⊆ W . 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Định nghĩa 1.1.27. (Không gian tôpô) Cho tập X 6= ∅. Một họ τ ⊆ P(X) các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: (i) ∅, X ∈ τ ; (ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ ; (iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ . Khi đó (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô. Định nghĩa 1.1.28. (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực X . Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các ánh xạ + và . liên tục, với tôpô τ trên X , tôpô thông thường trên R, còn X × X và R × X được trang bị bởi tôpô tích. Tức là: (i) Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y , tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U + V ⊆ W . (ii) Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và với mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 và lân cận V của x sao cho µV ⊆ W với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε). 18