Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng

  • Số trang: 64 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 23 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN HUY MẠNH BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN HÀ NỘI - 2014 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Thầy đã hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như trong nghiên cứu khoa học. Thầy luôn quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Thầy. Tác giả xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, phòng Sau đại học, các thầy, các cô trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã trang bị kiến thức và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình đào tạo Cao học, hoàn thiện luận văn bảo vệ tốt nghiệp. Tác giả xin cảm ơn Ban lãnh đạo tỉnh Lào Cai, Ban giám đốc Sở GD & ĐT Lào Cai, Ban giám hiệu trường THPT số 2 Huyện Bảo Yên đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tác giả an tâm học tập và hoàn thành tốt khóa học. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên tinh thần để tác giả hoàn thiện khóa học và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Huy Mạnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Các kết quả trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Trần Huy Mạnh Mục lục Mở đầu 5 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 8 Một số không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff . . . 15 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Tính lồi của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Một số định lý về điểm bất động và ánh xạ KKM . . . . . . . . . 31 2 Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng 33 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Một số bài toán liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.4 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 4 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Từ rất xa xưa trong lịch sử toán học người ta đã quan tâm đến những bài toán tìm các giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) hay lớn nhất (cực đại), gọi là các bài toán tối ưu. Vào những năm 30-40 của thế kỷ 20 do nhu cầu của sự phát triển kinh tế, kỹ thuật và lý thuyết giá trị của Edgeworth và Pareto người ta đã xây dựng lên lý thuyết tối ưu véctơ. Sau đó nhiều công trình về lý thuyết tối ưu cũng như ứng dụng của nó đã xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của các ngành khoa học và kỹ thuật, kinh tế như: Lý thuyết trò chơi của Borel (1921), Von Neuman (1926); Lý thuyết lưu thông hàng hóa của Koopman (1947). Ta biết rằng các bài toán cơ bản trong lý thuyết tối ưu vô hướng bao gồm: 1) Bài toán tối ưu: Cho hàm số f : D → R. Tìm x ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x), với mọi x thuộc D. 2) Bài toán bất đẳng thức biến phân: Gọi X ∗ là không gian đối ngẫu của X . Cho ánh xạ T : D → X ∗ . Tìm x ∈ D sao cho hT (x) , x − xi ≥ 0, với mọi x thuộc D. 3) Bài toán cân bằng (Blum-Oettli đưa ra năm 1994): Cho f : D ×D → R. Tìm x ∈ D sao cho f (x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ D. Bài toán điểm cân bằng được biết đến từ các công trình của ArrowDebreu, Nash. Nó là sự mở rộng của các bài toán như bất đẳng thức biến phân, tối ưu vô hướng đồng thời nó cũng bao gồm các bài toán điểm bất động, bài 5 toán bù, bất đẳng thức minimax như những trường hợp đặc biệt. Do nhu cầu phát triển của bản thân toán học và các lĩnh vực khoa học khác, bài toán cân bằng và các bài toán tối ưu kể trên cũng được phát triển và mở rộng cho trường hợp véctơ và đa trị như: Bài toán tựa cân bằng với biến rằng buộc phụ thuộc vào tham số, tựa biến phân hoặc bao hàm thức tựa biến phân của nhiều ánh xạ đa trị. Với mong muốn hiểu biết thêm về bài toán tựa cân bằng đa trị nên tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát và ứng dụng”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sự mở rộng của bài toán cân bằng đối với ánh xạ đơn trị sang các bài toán tựa cân bằng loại I, tựa cân bằng loại II và bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát đối với ánh xạ đa trị. Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát cũng như một số ứng dụng của nó trong lý thuyết tối ưu đa trị. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đọc các tài liệu liên quan tới các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ và viết luận văn về sự tồn tại nghiệm, một số ứng dụng của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp và mối liên quan giữa những bài toán quen biết trong lý thuyết tối ưu. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Các dạng khác nhau của những loại bài toán tựa cân bằng, một số bài toán liên quan khác trong lý thuyết tối ưu véctơ liên quan tới ánh xạ đa trị và một số ứng dụng của chúng. 5. Những đóng góp mới của đề tài Một cái nhìn cụ thể về bài toán tựa cân bằng, điều kiện để bài toán 6 tựa cân bằng tổng quát có nghiệm và các bài toán liên quan trong lý thuyết tối ưu đa trị cũng như một số ứng dụng của nó. 6. Phương pháp nghiên cứu Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng hỗn hợp tổng quát, chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu chính là các định lý điểm bất động của Ky Fan, Fan-Browder và các định lý dạng KKM. 7 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong cuộc sống con người hay trong các lĩnh vực khoa học, toán học, bất kì một bài toán nào cũng phải được đặt ra trong một hoàn cảnh cụ thể, một không gian nhất định nào đó. Để nghiên cứu các bài toán ấy, trước hết ta phải nghiên cứu các không gian và các khái niệm có liên quan. Ta bắt đầu bằng việc nhắc lại một số không gian mà ta thường đặt ra các bài toán trong lý thuyết tối ưu véctơ đa trị. Khái niệm về nón, ánh xạ đa trị và một số tính chất của ánh xạ đa trị; Một số định lý về điểm bất động và KKM. 1.1 Một số không gian thường dùng 1.1.1 Không gian metric Cuối Thế kỷ 17, đầu Thế kỷ 18 lý thuyết tập hợp ra đời, thay đổi cơ bản mục đích, động cơ nghiên cứu và ứng dụng của toán học, người ta quan tâm tới khái niệm khoảng cách giữa hai phần tử trong một tập hợp. Để nghiên cứu sâu hơn bản chất các vấn đề đó, ta nhắc lại khái niệm không gian metric. Định nghĩa 1.1.1.1 Một tập X (mà các phần tử có thể là các đối tượng bất kỳ) được gọi là một không gian metric nếu: a) Với mỗi cặp phần tử x, y của X đều có xác định, theo một quy tắc nào đó, một số thực ρ(x, y), gọi là “khoảng cách giữa x và y”; 8 b) Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện (tiên đề) sau đây: 1) ρ(x, y) > 0 nếu x 6= y ; ρ(x, y) = 0 nếu x = y ; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) với mọi x, y (tính đối xứng); 3) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y) với mọi x, y, z (bất đẳng thức tam giác). Hàm số ρ(x, y) gọi là metric của không gian. Các phần tử của X, dù là những đối tượng gì, cũng thường gọi là điểm của không gian theo cách nói của hình học. Ví dụ 1.1.1.2 1) Tập con M ⊆ Rn là một không gian metric với khoảng scách giữa hai điểm n P (xi − yi )2 . x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ M và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ M là ρ(x, y) = i=1 2) Tập con M ⊆ Rn là một không gian metric với khoảng cách giữa hai điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ M và y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ M là ρ(x, y) = max |xi − yi | 1≤i≤n Như vậy, trên một tập hợp có thể xây dựng nhiều metric khác nhau, từ đó ta cũng có những không gian metric khác nhau. Nhờ có khái niệm khoảng cách, ta có thể đưa vào không gian metric các khái niệm giới hạn, tập mở, tập đóng, lân cận, từ đó ta xác định được một cấu trúc tôpô trong không gian metric. Định nghĩa 1.1.1.3 1) Tập S(a, r) = {x ∈ X : ρ(a, x) < r} gọi là hình cầu mở tâm a, bán kính r; 2) Tập S[a, r] = {x ∈ X : ρ(a, x) ≤ r} gọi là hình cầu đóng tâm a, bán kính r; 3) Ta gọi lân cận (r−lân cận) của điểm x ∈ X là một hình cầu mở S(x, r) 9 với r nào đó. Định nghĩa 1.1.1.4 1) Một tập con A bất kỳ của không gian metric X được gọi là tập mở nếu với x là điểm bất kỳ thuộc tập A, luôn có một lân cận của x nằm trọn trong A. 2) Một tập con A bất kỳ của không gian metric X được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó là tập mở trong X. Định nghĩa 1.1.1.5 Dãy {xn } ⊆ X được gọi là hội tụ tới x ∈ X nếu lim ρ(xn , x) = 0. n→∞ Ví dụ 1.1.1.6 Trong không gian Rk , dãy {xn }, với xn = (xn1 , xn2 , ..., xnk ) hội tụ tới x = (x1 , x2 , ..., xk ) nghĩa là xni → xi , (i = 1, 2, ..., k), khi (n → ∞) đó là sự hội tụ theo tọa độ. Định nghĩa 1.1.1.7 Dãy {xn } trong không gian metric X được gọi là dãy cơ bản nếu lim ρ(xn , xm ) = 0, tức là ∀ε > 0, ∃N sao cho với ∀n ≥ N, ∀m ≥ N, ta n,m→∞ có ρ(xn , xm ) < ε. Một không gian metric X trong đó mọi dãy cơ bản đều hội tụ (tới một phần tử của X ) được gọi là một không gian metric đủ. Ví dụ 1.1.1.8 Khoảng (0, 1) trong không gian các số thực R cùng với metric thông thường ρ(x, y) = |x − y|, x, y ∈ R là không gian metric không đầy đủ, vì dãy Cauchy { n1 } không có giới hạn trong (0, 1). (Dãy { n1 } là dãy Cauchy vì với ∀ε > 0, ∃N > 2 , sao cho với mọi n, m ≥ N, 1 − 1 < 1 + 1 < ε). ε n m n m Nhận xét Bốn khái niệm lân cận, tập đóng, tập mở, sự hội tụ tạo ra trên X cùng một cấu trúc. Người ta gọi cấu trúc này là cấu trúc tôpô. Từ đó, người ta 10 đưa ra khái niệm về không gian tôpô một cách tổng quát hơn. Khái niệm tập bị chặn trên đường thẳng được mở rộng trong không gian metric (X, ρ) như sau Định nghĩa 1.1.1.9 1) Tập con M ⊆ X là bị chặn (giới nội) nếu nó nằm trọn trong một hình cầu nào đó, nghĩa là tồn tại a ∈ X, số thực c > 0 : ρ(a, x) ≤ c, ∀x ∈ M ; 2) M là hoàn toàn bị chặn nếu với ∀ε > 0, luôn tìm được một số hữu hạn hình cầu S1 , S2 , ..., Sk bán kính ε sao cho k M ⊆ ∪ Si . i=1 Như vậy, một tập hoàn toàn bị chặn thì bị chặn. Định nghĩa 1.1.1.10 1) Tập con M ⊆ X gọi là tập compact nếu với ∀{xn } ⊆ M đều chứa một dãy con hội tụ tới một điểm thuộc M ; 2) M compact tương đối nếu M là tập compact; 3) Không gian metric X được gọi là không gian compact nếu X là tập compact trong chính nó. Định nghĩa 1.1.1.11 Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ X nếu với mọi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X thỏa mãn ρX (x, x0 ) < δ ta đều có ρY (f (x), f (x0 )) < ε. Ánh xạ f được gọi là liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc A. Nếu A = X ta nói f liên tục. Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên A ⊆ X nếu với mọi ε > 0, ∃δ > 0 sao cho với mọi x, x0 ∈ A thỏa mãn ρX (x, x0 ) < δ ta đều có ρY (f (x), f (x0 )) < ε.. Ánh xạ f được gọi là đồng phôi nếu f là ánh xạ 1 - 1 từ X lên Y và các 11 ánh xạ f, f −1 đều liên tục. Khi đó hai không gian X và Y được gọi là hai không gian đồng phôi với nhau. 1.1.2 Không gian định chuẩn Không gian định chuẩn được xây dựng trên cơ sở của không gian tuyến tính: Một tập hợp trên đó có một cấu trúc đại số gồm hai phép tính, phép cộng giữa hai phần tử và phép nhân một số với một phần tử. Ta có: Định nghĩa 1.1.2.1 Một tập X (mà các phần tử là các đối tượng bất kỳ) được gọi là một không gian véctơ (hay không gian tuyến tính), nếu: a) Ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có, theo một qui tắc nào đó, một phần tử của X gọi là tổng của x với y và ký hiệu x + y ; ứng với mỗi phần tử x của X và mỗi số thực α ta có, theo một quy tắc nào đó, một phần tử của X gọi là tích của x với α và được ký hiệu αx. b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện (tiên đề) sau đây: 1) x + y = y + x (tính giao hoán của phép cộng); 2) (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp của phép cộng); 3) Tồn tại một phần tử 0 sao cho x + 0 = x với mọi x ∈ X (phần từ này gọi là phần tử không); 4) Ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một phần tử −x ∈ X sao cho x + (−x) = 0 (phần tử −x gọi là phần tử đối của x ); 5) 1.x = x; 6) α(βx) = (αβ)x (α, β là những số thực bất kỳ); 7) (α + β)x = αx + βx; 8) α(x + y) = αx + αy . Các phần tử của không gian véctơ thường gọi là các véctơ. Hai phép toán 12 trên tạo ra trên X một cấu trúc. Người ta gọi đó là cấu trúc đại số. Ví dụ 1.1.2.2 Tập Rn với phép cộng và nhân thông thường là một không gian véctơ. Trong một không gian véctơ tùy ý, tập lồi và hàm lồi có những tính chất đặc biệt, ta nhắc lại định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.1.2.3 1) Một tập C trong một không gian véctơ X được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, 0 ≤ α ≤ 1 ta đều có αx + (1 − α)y ∈ C; 2) Một hàm f xác định trên một tập lồi C và có thể lấy giá trị +∞, được gọi là hàm lồi nếu: ∀a, b ∈ C, 0 ≤ α ≤ 1 ⇒ f (αa + (1 − α)b) ≤ αf (a) + (1 − α)f (b); Định nghĩa 1.1.2.4 Một không gian véctơ định chuẩn (hoặc vắn tắt: Không gian định chuẩn) là một không gian véctơ X, trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X , ta có một số kxk, gọi là chuẩn của nó, sao cho với mọi x, y ∈ X và mọi số α các điều kiện sau được thỏa mãn: 1) kxk > 0 nếu x 6= 0; kxk = 0 nếu x = 0; 2) kαxk = |α|kxk (tính thuần nhất của chuẩn); 3) kx + yk ≤ kx + zk + kz + yk (bất đẳng thức tam giác). Nhận xét Nếu trong không gian X ta đặt ρ(x, y) = kx − yk thì (X, ρ) là không gian metric. Như vậy trong không gian X có hai cấu trúc tôpô và đại số. Hai cấu trúc này phù hợp. Định nghĩa 1.1.2.5 Cho không gian tuyến tính X . Hai chuẩn xác định trên X, kxk1 , kxk2 gọi là tương đương nếu tồn tại hai số dương a, b sao cho akxk1 ≤ kxk2 ≤ bkxk1 , ∀x ∈ X. 13 Ví dụ 1.1.2.6 Trong không gian véctơ n chiều Kn , K ∈ {R, C}, hai chuẩn v u n uX 2 |xi | , ∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) kxk = t 1 i=1 kxk2 = max |xi |, ∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Kn , 1≤i≤n tương đương vì kxk2 ≤ kxk1 ≤ √ nkxk2 , ∀x ∈ Kn . 1≤i≤n Như vậy, Không gian định chuẩn (X, k.k) là không gian metric với khoảng cách ρ(x, y) = kx − yk , x, y ∈ X. 1.1.3 Không gian Hilbert Một không gian mà ở đó có khái niệm tích vô hướng, với những tính chất của tích vô hướng trong không gian Rk × Rm , có liên hệ với chẩn trong không gian đã cho. Ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.3.1 Một không gian véctơ thực X được gọi là không gian tiền Hilbert, nếu trong đó có xác định một hàm hai biến hx, yi thỏa mãn các tính chất sau: 1) hx, yi = hy, xi; 2) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; 3) hαx, yi = αhx, yi với mọi số thực α; 4) hx, xi ≥ 0 với ∀x; hx, xi = 0 nếu x = 0. hx, yi gọi là tích vô hướng của hai phần tử x, y . Định nghĩa 1.1.3.2 Không gian tiền Hilbert X cùng với chuẩn kxk = p hx, xi là không gian định chuẩn đủ được gọi là không gian Hilbert. Nhận xét Trong không gian tiền Hilbert X , tích vô hướng thỏa mãn một số tính chất đặc biệt sau: 14 1) Hệ thức kxk = p hx, xi xác định một chuẩn trong X, vì vậy không gian tiền Hilbert là một không gian định chuẩn, do đó nó cũng là không gian metric. Một không gian tiền Hilbert đủ được gọi là không gian Hilbert; 2) Bất đẳng thức Schwarz: |hx, yi| ≤ kxk . kyk , ∀x, y ∈ X; 3) hx, yi là một hàm liên tục đối với x và y. Ví dụ 1.1.3.3 Không gian Rn , Cn với tích vô hướng hx, yi = n P xi yi là các i=1 không gian Hilbert. 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Trong mục này, ta sẽ xét lớp không gian mà không cần metric nhưng vẫn có thể nói tới khoảng cách giữa các điểm và từ đó nói tới sự hội tụ, sự liên tục, ..., đó là lớp không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. Các khái niệm giới hạn, lân cận, tập đóng, tập mở đều sinh ra một cấu trúc tôpô. Định nghĩa 1.1.4.1 1) Cho tập hợp X bất kì. Một họ G những tập con của X được gọi là là một tôpô trên X nếu: (i) Hai tập ∅, X đều thuộc họ G ; (ii) G kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ G thì cũng thuộc họ G; (iii) G kín đối với phép hợp bất kì, tức là hợp của một số hữu hạn hay vô hạn tập thuộc họ G thì cũng thuộc họ G. 2) Tập X cùng với tôpô G trên X, được gọi là không gian tôpô (X, G) (hay không gian tôpô X ); 3) Các tập thuộc họ G được gọi là tập mở ; 4) Khi có hai tôpô G, G 0 trên X, nếu G ⊆ G 0 , ta nói tôpô G yếu hơn (thô hơn) tôpô G 0 hay tôpô G 0 mạnh hơn (mịn hơn) tôpô G. Trường hợp không có 15 quan hệ đó, ta nói hai tôpô không so sánh được. Ví dụ 1.1.4.2 1) Trên X xét họ GT chỉ gồm hai tập con của X đó là ∅, X. Rõ ràng GT là một tôpô (gọi là tôpô thô hay tôpô tầm thường) trên X . Cặp (X, GT ) gọi là không gian tôpô thô. Đối với không gian tôpô thô, các tập ∅, X vừa là tập đóng, vừa là tập mở. 2) Trên X , họ GD gồm tất cả các tập con của X cũng là một tôpô (gọi là tôpô rời rạc) trên X. Rõ ràng, trong không gian tôpô rời rạc (X, GD ), mọi tập con của X đều là tập mở. Đối với không gian tôpô rời rạc, mọi tập con của X đồng thời vừa là tập đóng, vừa là tập mở. Ta thấy, trong tất cả các tôpô trên X, tôpô rời rạc mạnh nhất, tôpô thô là yếu nhất. 3) Trong không gian metric (X, d), họ τ các tập mở trong X cũng là một tôpô trên X, ta gọi nó là tôpô metric phù hợp với metric d, điều đó có nghĩa là, mọi không gian metric (bao gồm cả không gian định chuẩn và Hilbert), đều là không gian tôpô. Trong không gian tôpô các khái niệm về lần cận, giới hạn, phần trong, bao đóng,... được định nghĩa khái quát hơn so với không gian metric. Định nghĩa 1.1.4.3 Cho không gian tôpô (X, G), A ⊆ X. Tập con U của không gian X gọi là lân cận của A nếu U bao hàm một tập mở chứa A; Lân cận của phần tử x ∈ X là lân cận của tập con {x}; Họ tất cả các lân cận của một điểm gọi là hệ lân cận của điểm đó. Định nghĩa 1.1.4.4 Trong không gian định chuẩn X . Dãy {xn } ⊆ X hội tụ tới x ∈ X nếu và chỉ nếu kxn − xk → 0., khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.4.5 Cho X, Y là hai không gian tôpô 1) Một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X nếu với 16 mỗi lân cận U của f (x) trong Y, đều tồn tại lân cận V của x trong X thỏa mãn f (V ) ⊆ U ; 2) Ánh xạ f gọi là liên tục trên không gian tôpô X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X. Từ một cơ sở tôpô ta có thể xác định các tôpô khác của không gian Định nghĩa 1.1.4.6 Cho không gian tôpô (X, G): 1) Cho x ∈ X, họ Vx nào đó gồm các lân cận của điểm x được gọi là một cơ sở địa phương của tôpô G tại điểm x (hay cơ sở lân cận tại x), nếu với bất kì lân cận U của điểm x luôn tồn tại tập V ∈ Vx sao cho x ∈ V ⊆ U ; 2) Họ con V các phần tử của G được gọi là một cơ sở của tôpô G trên X nếu mọi phần tử của G đều là hợp nào đó các phần tử thuộc V; 3) Họ con M các phần tử của G gọi là một tiền cơ sở của tôpô G trên X nếu họ các giao hữu hạn có thể có các tập con thuộc M là một cơ sở của tôpô G. Ví dụ 1.1.4.7 Trong không gian tôpô rời rạc (X, GD ), họ tất cả các tập con có một phần tử là một cơ sở của GD , họ các tập con hai phần tử là một tiền cơ sở của GD . Với x ∈ X bất kì, tập {x} chính là một cơ sở địa phương tại x. Định nghĩa 1.1.4.8 Không gian tôpô (X, G) được gọi là không gian Hausdorff nếu đối với hai điểm khác nhau tùy ý x, y ∈ X luôn tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U ∩ V = ∅. Một không gian véctơ có thể đồng thời được trang bị một cấu trúc tôpô, một cấu trúc đại số, nếu hai cấu trúc tôpô và đại số ấy có mối liên hệ nhất định sẽ làm nảy sinh nhiều tính chất mới trong không gian. Định nghĩa 1.1.4.9 17 1) Cho X là một không gian véctơ trên trường K, một tôpô τ trên X gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X nếu các ánh xạ + : X × X → X, (x, y) 7→ x + y; .:K×X →X (λ, x) 7→ λx, liên tục; 2) Một không gian véctơ tôpô X trên trường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là một không gian véctơ trên trường K, còn τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số (hay tôpô véctơ) của X; 3) Mọi lân cận của gốc 0 ∈ X gọi là 0−lân cận hay vắn tắt là lân cận. Mệnh đề 1.1.4.10 Các phép tịnh tiến f (x) = x + a, a cố định tùy ý cho trước và các phép vị tự g(x) = αx, α tùy ý cho trước, là những phép đồng phôi từ X lên X. Từ đó, V là 0−lân cận khi và chỉ khi V + a là một lân cận của a; V là 0−lân cận thì ∀α 6= 0, αV là một 0−lân cận. Dưới đây ta đưa ra các điều kiện đặc trưng cho một cơ sở lân cận của một không gian véctơ tôpô. Định nghĩa 1.1.4.11 Trong mỗi không gian véctơ tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở lân cận B của gốc, sao cho: 1) Mỗi V ∈ B đều cân đối và hấp thu; 2) Mỗi V ∈ B thì αV ∈ B với mọi α 6= 0; 3) Mỗi V ∈ B bao hàm một tập W ∈ B sao cho W + W ⊆ V ; 4) Mỗi cặp V1 , V2 ∈ B tồn tại W ∈ B sao cho W ⊆ V1 ∩ V2 . Ngược lại, nếu trong không gian véctơ X lấy một họ B(6= ∅) các tập con của X thỏa mãn các điều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X tương hợp 18 với cấu trúc đại số, nhận B làm cơ sở lân cận của gốc. Chú ý: Nếu B là một cơ sở lân cận có các tính chất 1) - 4) thì các bao đóng các phần tử của B cũng làm thành một cơ sở lân cận có các tính chất đó. Ví dụ 1.1.4.12 Không gian định chuẩn là không gian véctơ tôpô (do các phép toán cộng và nhân với số ở đây liên tục trong tôpô xác định bởi chuẩn). Gọi B là họ các hình cầu mở, B0 là họ các hình cầu đóng có tâm tại gốc, khi đó B, B0 đều là cơ sở lân cận của gốc (chúng thỏa mãn bốn điều kiện đã nêu trong định lý trên). Từ khái niệm cơ sở lân cận, ta có thể chứng minh được điều kiện một không gian véctơ tôpô là không gian Hausdorff như sau: Định lí 1.1.4.13 Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian véctơ tôpô X. Không gian X là Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x 6= 0 đều có một V ∈ B không T chứa x, tức là V = {0} . V ∈B Trong số các không gian véctơ tôpô, một lớp không gian đặc biệt quan trọng là không gian véctơ tôpô lồi địa phương. Định nghĩa 1.1.4.14 Một không gian véctơ tôpô X gọi là không gian véctơ tôpô lồi địa phương (và tôpô của nó là tôpô lồi địa phương) nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi. Ví dụ 1.1.4.15 Mọi không gian định chuẩn đều là không gian véctơ tôpô lồi địa phương với cơ sở lân cận lồi trong đó là tập các hình cầu tâm tại gốc. Ta biết, tôpô của một không gian định chuẩn xác định bởi chuẩn kxk. Ta sẽ thấy rằng, tôpô của một không gian lồi địa phương được xác định bởi một họ 19 sơ chuẩn. Định nghĩa 1.1.4.16 Một sơ chuẩn là một hàm số thực hữu hạn p(x) xác định trên một không gian tuyến tính X thỏa mãn hai điều kiện sau: 1) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X; 2) p(αx) = |α|p(x), ∀x ∈ X, ∀ số α. (Nghĩa là một chuẩn là một sơ chuẩn p(x) mà p(x) > 0, ∀x 6= 0). 1.2 Nón Để xác định thứ tự trong không gian và xét những bài toán liên quan đến ánh xạ có giá trị là véctơ, người ta đưa ra khái niệm nón, từ đó mở rộng được các khái niệm đã biết của không gian số thực hoặc số phức trong không gian tôpô tuyến tính. Mục này dành cho các khái niệm, tính chất của nón. Định nghĩa 1.2.1 Cho Y là một không gian tuyến tính và C là một tập con của Y. C được gọi là nón (hay nón có đỉnh tại gốc) trong Y nếu với mọi c ∈ C , mọi t ≥ 0 thì tc ∈ C . Nếu Y là không gian tôpô tuyến tính và C là nón trong Y, ký hiệu clC, intC, convC theo thứ tự lần lượt là bao đóng, phần trong và bao lồi của nón C. Ký hiệu l(C) = C ∩ −C : Nếu C là tập lồi thì C được gọi là nón lồi. Nếu C là tập đóng thì C được gọi là nón đóng. Nếu l(C) = {0} thì C được gọi là nón nhọn. Nếu clC là nón nhọn thì C được gọi là nón sắc. Nếu clC + C\l(C) ⊆ C thì C gọi là nón đúng. Cho Y là không gian tôpô tuyến tính, C là nón trong Y. Ta định nghĩa quan 20
- Xem thêm -