Tài liệu Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ BÍCH HẠNH BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ BÍCH HẠNH BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên - Năm 2015 Mục lục Mở đầu iv 1 Một số kiến thức cơ bản 1.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . 1.3 Tính liên tục theo nón . . . . . 1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa 1.5 Tính đơn điệu . . . . . . . . . . 1.6 Một số định lý bổ trợ . . . . . . 2 Bài 2.1 2.2 2.3 . . . . . . trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan Bài toán quan hệ biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân . . . . Định lý điểm bất động và sự tồn tạị nghiệm của bài toán quan hệ biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Một số vấn đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân . . . . . . . 2.4.3 Bài toán tựa cân bằng tổng quát . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 1 1 3 6 8 9 9 11 11 15 23 26 26 28 29 31 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp này là công trình nghiên cứu thực sự của cá nhân tôi, được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát và phân tích từ thực tiễn dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu được trình bày trong luận văn là hoàn toán trung thực và chưa được sử dụng để bảo vệ cho một học vị nào, phần trích dẫn và tài liệu tham khảo đều được ghi rõ nguồn gốc. Thái nguyên, ngày 20 tháng 8 năm 2015 Tác giả Trần Thị Bích Hạnh Xác nhận của Khoa Xác nhận của giáo viên hướng dẫn GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn. Thầy đã dành nhieuf thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán trường Đaị học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, cũng như các thầy cô đã tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc nhất đối với công lao dạy dỗ trong suốt quá trình học tập của tôi tại Trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quan tâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ của mình. iii Mở đầu Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho F (x̄ ≤ F (x)) với mọi x ∈ D, ký hiệu: min{F (x)|x ∈ D}, trong đó, D là tập con của không gian X, được gọi là miền chấp nhận được, F : D → R là hàm mục tiêu, đóng vai trò trọng tâm của lý thuyết tối ưu. Dựa vào cấu trúc của tập D và tính chất của hàm F , người ta phân loại bài toán này thành những lớp bài toán khác nhau. Nếu D là tập mở, F là hàm khả vi, ta gọi bài toán này là bài toán tối ưu trơn. Nếu F là hàm số không có đạo hàm, thì bài toán này được gọi là bài toán tối ưu không trơn. Trong lớp các bài toán tối ưu không trơn, người ta có thể phân loại thành nhiều bài toán cơ bản như bài toán quy hoach tuyến tính, quy hoạch lồi, quy hoạch Lipschits, quy hoạch liên tục, . . . Bài toán tối ưu cũng được mở rộng cho trường hợp F là ánh xạ từ tập D vào một không gian tô pô tuyến tính trên đó có xác định thứ tự từng phần sinh bởi nón. Từ khái niệm thứ tự từng phần này, ta có các khái niệm khác nhau về điểm hữu hiệu của một tập hợp như: hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu Pareto, hữu hiệu yếu, hữu hiệu thực sự, . . . Từ đó, ta có thể phát biểu các bài toán tối ưu véctơ khác nhau. Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, D ⊂ X là một tập con khác rỗng. Cho C là một nón trong Y , A ⊂ Y . tập các điểm hữu hiệu của A đối với nón C ký hiệu là αM in(A/C), với α = I, P, P r, W, tương ứng là các loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực sự và điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm này sẽ được trình bày trong chương 1 của luận văn này). Cho F : D → Y . Bài toán: Tìm x̄ ∈ D sao cho F (x̄) ∈ αM in(F (D)/C) được gọi là bài toán tối ưu véctơ α tương ứng với I, P, P r, W . Tổng quát hơn, người ta phát triển bài toán tối ưu với F là ánh xạ đa trị và gọi là bài toán tối ưu véctơ đa trị. Ngoài ra, người ta còn nghiên cứu bài toán tối ưu với tập ràng buộc D là tập nghiệm tối ưu của một bài toán tối ưu khác, bài toán này gọi là bài toán tối ưu hai cấp. trong lý thuyết tối ưu, ta còn quan tâm đến lớp bài toán tựa( hay còn gọi là bài toán phụ thuộc tham số). năm 2001, A.Gueraggio và N.X Tấn [4] đã iv đưa ra bài toán sau: A. Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại 1. Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng và C là nón trong Z. Cho các ánh xạ đa trị S : D×K ⇒ D, T : D × K ⇒ K và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z. Bài toán: Tìm (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho: i) x̄ ∈ S(x̄, ȳ); ii) ȳ ∈ T (x̄, ȳ); iii) F (ȳ, x̄, x̄) ∈ αM in(F (ȳ, x̄, S(x̄, ȳ))/C) được gọi là bài toán tựa tối ưu véctơ α tổng quát loại 1 ( α để chỉ một trong các từ: lý tưởng, Pareto, thực sự, yếu). Kí hiệu bài toán này là (GV QOP 1)α . Năm 2013, Đ.T.Lục và N.X.Tấn [8] đã nghiên cứa bài toán tối ưu α tổng quát loại 2, kí hiệụ(GV QOP 1)α . Bài toán này được phát biểu trong trường hợp lý tưởng như sau: B. Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại 2. Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng và C là nón trong Z. Cho các ánh xạ đa trị S1 , S2 : D ⇒ D, T : D × K ⇒ K và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z. Tìm x̄ sao cho: i) x̄ ∈ S1 (x̄); ii) F (y, x, x̄) ∈ αM in(F (y, x̄, S(x̄)+C) với mọi x ∈ S2 (x̄), y ∈ T (x, x̄). được gọi là bài toán tựa tối ưu α loại 2. Trong lý thuyết tối ưu, bài toán tối ưu có liên quan mật thiết đến bài toán cân bằng, với lớp bài toán cân bằng, ta xét bài toán cơ bản sau: C. Bài toán điểm cân bằng vô hướng. v Cho D là tập con khác rỗng của không gian X, f : D × D → R, f (x, x) = 0, ∀x ∈ D. Bài toán tìm x̄ ∈ D sao cho: f (x̄, y) ≥ 0, ∀y ∈ D. Tương tự như bài toán tối ưu, người ta cũng xét các bài toán tựa cân bằng, cụ thể là các bài toán sau. D. Bài toán tựa cân bằng lý tưởng đơn trị loại 1. Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng và C là nón trong Z. Xét các ánh xạ đa trị S, T : D ×K ⇒ D và ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z thỏa mãn F (y, x, x) ∈ C, với mọi (x, y) ∈ D × K. Tìm (x̄, ȳ) ∈ D × K thỏa mãn: i) x̄ ∈ S(x̄, ȳ); ii) ȳ ∈ T (x̄, ȳ); iii) F (ȳ, x̄, x) ∈ C, với mọi x ∈ S(x̄, ȳ). Bài toán này được gọi là bài toán tựa cân bằng loại 1 và được ký hiệu là (IQEP 1). E. Bài toán tựa cân bằng lý tưởng đơn trị loại 2. Cho X, Y, Z và W là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂ W là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D, S2 : D ⇒ E, T : K × D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị F : K × D × E ⇒ Y . Tìm x̄ ∈ A sao cho: x̄ ∈ S1 (x̄) và 0 ∈ F (y, x̄, x) với mọi x ∈ S2 (x̄) và y ∈ T (x̄, x). Bài toán này do các giáo sư Nguyễn Xuân Tấn, Đinh Thế Lục đưa ra và gọi là bài toán tựa cân bằng lý tưởng loại 2 và kí hiệu là (IQEP 2). Đối với lớp các bài toán bao hàm thức biến phân, ta xét một số bài toán tiêu biểu sau: F. Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 1 vi Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S : D × K ⇒ D, T : D × K ⇒ K với tập giá trị khác rỗng. Xét các ánh xạ đa trị F, G : K × D × D ⇒ Z . Bài toán tìm x̄ ∈ X sao cho: i) x̄ ∈ S1 (x̄, ȳ); ii) ȳ ∈ T (x̄, ȳ); iii) F (ȳ, x̄, x) ∈ G(ȳ, x̄, x̄) + C với mọi x ∈ S(x̄, ȳ). Bài toán này được gọi là bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 1 và được lí hiệu là (IP 1). Các bài toán về tựa biến phân có thể tìm được trong tài liệu [5]. Giáo sư Nguyễn Xuân Tấn cũng đặt ra bài toán tựa biến phân như sau: G. Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 2 Cho X, Y, Z và W là các không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂ W là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D, S2 : D ⇒ E, T : K×D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị G, H : K×D×E → Y .Giả sử C : K × D ⇒ Y là ánh xạ nón (tức là, với mọi (x, y) ∈ K × D, C(y, x) là nón trong Y ). Bài toán: Tìm x̄ ∈ D sao cho: i) x̄ ∈ S1 (x̄); ii) ȳ ∈ T (x̄, x̄); iii) G(y, x̄, x) ∈ H(y, x̄, x̄) + C(y, x̄) với mọi x ∈ S2 (x̄) và ȳ ∈ T (x̄, x̄). được gọi là bài toán tựa biến phân lý tưởng loại 2. Việc phân lớp các bài toán như trên là do với các bài toán khác nhau đều có phương pháp giải hữu hiệu, đặc biệt áp dụng cho từng bài toán. Tuy nhiên, việc xét các bài toán ở mức tổng quát hơn cũng rất cần thiết vì sẽ mang lại những hiểu biết sâu sắc hơn về các vấn đề, đặc biệt là về các liên hệ giữa các bài toán rời nhau. Người ta còn phát biểu các bài toán trên cho ánh xạ đa trị. Trong luận văn này, chúng ta sẽ xét bài toán quan hệ biến phân loại 2, được phát biểu như sau: Cho A, B, Y là các tập khác rỗng. Xét S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, A ⊆ X, B ⊆ Z. T : A × B ⇒ Y là các ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng. Giả sử R(a, b, y) ⊂ A × B × Y là một quan hệ ba ngôi giữa a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y . Nếu ba phần tử này có quan hệ R nào đó, ta nói rằng R(a, b, y) xảy ra hay R(a, b, y) ∈ R. vii Ta quan tâm tìm ā ∈ A sao cho: 1) ā là điểm bất động của S1 , tức là ā ∈ S1 (ā); 2) R(a, b, y) xảy ra với mọi b ∈ S2 (ā), y ∈ T (ā, b). Tương tự ta cũng có thể phát biểu bài toán quan hệ biến phân loại 1. Các bài toán này có liê quan chặt chẽ với các bài toán nêu trên.Ta ký hiệu các bài toán này là (VR). Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả chính về bài toán quan hệ biến phân trên trong bài báo "An abstract problem in variational analysis " của tác giả D.T.Luc [7]. Hầu hết các bài toán của lý thuyết điều khiển tối ưu được liệt kê ở trên đều là trường hợp riêng của bài toán quan hệ biến phân. Việc nghiên cứu bài toán quan hệ biến phân cho ta một cách tiếp cận thống nhất trong việc nghiên cứu các mô hình khác nhau của lý thuyết điều khiển tối ưu đa trị, lý thuyết cân bằng và bao hàm thức biến phân. Kết quả chính được trình bày trong luận văn là định lý tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân, Từ đó với mỗi bài toán liên quan chúng ta sẽ nhận những điều kiện để tồn tại nghiệm. Luận văn chia làm 2 chương. Chương 1 là chương chuẩn bị. Trong chương này người viết nêu lại một cách ngắn gọn các khái niệm, tính chất của nón và ánh xạ đa trị để tiện cho việc trình bày các kết quả chương sau. Các khái niệm này có thể tìm được trong tài liệu [1] và các tài liệu khác về tối ưu véctơ. Một số định lý cơ bản của lý thuyết tối ưu cũng được liệt kê ở phần cuối chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi được các chứng minh của định lý có trong chương sau. Các định lý này đều được chứng minh lại trong luận văn, chúng có thể được tìm thấy trong các tài liệu tham khảo. Chương 2 là phần chính của luận văn. Trong chương này, người viết trình bày lại bài toán quan hệ biến phân, chứng minh một cách chi tiết các định lý tồn tại, đồng thời đưa ra một số ví dụ về các bài toán liên quan. Có thể nói bài toán quan hệ biến phân là bài toán tổng quát của lý thuyết tối ưu bởi, với mỗi bài toán như bài toán tối ưu, bài toán cân bằng, bài toán bao hàm thức biến phân, bằng cách trang bị một quan hệ R thích hợp ta có thể đưa về bài toán (VR). Nội dung được trình bày trong chương này gồm: Phát biểu bài toán quan hệ biến phân (VR), các ví dụ có liên quan, các định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân (VR). Tiếp theo ta thiết lập một số điều kiện tồn tại nghiệm của các bài toán: bài toán tối ưu loại 2, bài toán bao hàm thức tựu biến phân, bài toán tựu cân bằng tổng quát bằng cách sử dụng định lý tồn tại nghiệm viii của bài toán quan hẹ biến phân (VR) (Định lý 2.3.6). Việc sử dụng định lý này giúp cho việc chứng minh các định lý vè sự tồn tại của các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu được ngắn gọn và dễ hiểu. ix Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Để phục vụ cho Chương 2, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản giúp cho việc trình bày nội dung của chương 2 được rõ ràng. Trước hết, ta nhắc lại các khái niệm vè nóm và ánh xạ đa trị. 1.1 Nón Định nghĩa 1.1 Cho Y là không gian tuyến tính, C là một tập con của Y . Ta nói C là nón có đỉnh tại gốc của Y nếu tc ∈ C với mọi c ∈ C, t ≥ 0. Khi C − x là nón có đỉnh tại gốc, ta nói rằng C có đinht tại x. Trong luận văn này, chúng ta chỉ xét trường hợp nón có đỉnh tại điểm gốc, tức là khi nói đến nón ta hiểu là nón có đỉnh tại gốc. Nón C được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi. Nón C được gọi là nón đóng nếu C là tập đóng. Kí hiệu clC, intC, convC tương ứng là bao đóng, phần trong và bao lồi của C. Kí hiệu l(C) = C ∩ (−C) là phần trong tuyến tính của C. Khi đó, nếu C là nón lồi thì l(C) là không gian con tuyến tính lớn nhất nằm trong C ∪ (−C). Ta định nghĩa quan hệ thứ tự từng phần với nón C trong không gian tôpô tuyến tính Y như sau: Với x, y ∈ Y, x ≥C y nếu x − y ∈ C. Để đơn giản ta viết x ≥ y nếu không có sự nhầm lẫn. Với x, y ∈ Y, x > y nếu x − y ∈ C l(C) và x  y nếu x − y ∈ intC. Ví dụ 1.1 i) Xét Y = Rn = x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xi ∈ R, i = 1, . . . , n. Với C = Rn+ = x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xi ≥ 0, i = 1, . . . , n thì C là nón lồi, đóng trong Y và được gọi là nón orthant tương đương trong Rn . Với C = x = (x1 , x2 , . . . , xn )|xi ≥ o, i = 1, . . . , n thì C là nón lồi nhưng không đóng trong Y . Tập C = x1 > 0 ∪ x1 = 0, x2 > 0 ∪ . . . ∪ 1 x1 = x2 = . . . = xn−1 = 0, xn > 0 cũng là một nón trong Y và được gọi là nón theo quan hệ từ điển. ii) Xét Y = { (x1 , . . . , xn , . . .) có hữu hạn phần tử khác 0 }. Tập C ={ (x1 , . . . , xn , . . .) có phần tử khác 0 cuối cùng là không âm } là nón trong Y và được gọi là nón trải khắp. Tiếp theo ta xét một số khái niệm về các loại điểm hữu hiệu. Đây là các khái niệm nền tảng của tối ưu véctơ. Định nghĩa 1.2 Cho Y là không gian tôpô tuyến tính với thứ tự sinh bởi nón C. Xét A là một tập con của Y, A 6= ∅, Y . Cho a ∈ A. i) Điểm ā được gọi là điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C nếu ā ≤C a với mọi a ∈ A. Kí hiệu tập tất cả cá điểm hữu hiệu lý tưởng của A đối với nón C là Imin(A, C) khi và chỉ khi A ⊆ ā + C. ii) Điểm ā được gọi là điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C nếu ā ≥C b với b nào đó, thì b ≥C x̄. Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu Pareto của A đối với nón C là M in(a, C). Ta có ā ∈ M in(A, C) khi và chỉ khi A ∩ (ā − intC) = ∅. iii) Điểm ā được gọi là điểm hữu hiệu yếu của A đối với nón C(intC 6= ∅ và C 6= Y . Nếu ā là điểm hữu hiệu Pareto đối với hình nón C0 = int(C ∪ {0}). Kí hiêu tập tất cả các điểm hữu hiệu yếu là W M in(A, C). Ta có ā ∈ M in(A, C) khi và chỉ khi A ∩ (ā − intC) = ∅. iv) Điểm ā được gọi là điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C nếu tồn tại hình nón lồi K khác Y sao cho C \ {0} ⊂ intK và ā ∈ M in(A, K). Kí hiệu tập tất cả các điểm hữu hiệu thực sự của A đối với nón C là Pr Min(A,C). Ta có ā ∈ P rM in(A, C) khi và chỉ khi A ∩ (ā − K) = ā. Ta có liên hệ sau giữa các loại điểm hữu hiệu: IM in(A, C) ⊆ P rM in(A, C) ⊆ M in(A, C) ⊆ W M in(A, C) Ví dụ 1.2 Xét Y = R2 , C = R2+ , A = (x, y) : x2 + y 2 ≤ 1, y ≤ 0 ∪ (x, y) : x ≥ 0, −1 ≤ y ≤ 0. Ta có: IM in(A, C) = ∅; M in(A, C) = (x, y) : x2 + y 2 = 1, x < 0, y < 0 ∪ (0, −1), (−1, 0); W M in(A, C) = M in(A, C) (0, −1), (−1, 0). Với B = A ∪ (−2, −2) thì ta có IM in(B, K) ⊆ P rM in(B, C) ⊆ M in(B, C) ⊆ W M in(B, C) 2 1.2 Ánh xạ đa trị Trong thực tế ta gặp rất nhiều bài toán liên quan tới ánh xạ đa trị. Trước hết, ta định nghĩa ánh xạ đa trị. Định nghĩa 1.3 Cho X, Y là hai tập bất kì và tập các tập con của Y kí hiệu là 2Y . Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y nếu với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y . Kí hiệu F : X ⇒ Y . Nhận xét 1.1 Nếu với mỗi x ∈ X tập F (x) chỉ gồm đúng một phần tử của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị từ X vào Y . Khi đó, thay cho kí hiệu F : X ⇒ Y hay F : X ⇒ 2Y bằng ký hiệu quen thuộc F : X → Y . Để cho thống nhất, trong luận văn này ta sử dụng ký hiệu F : X ⇒ Y . Ví dụ 1.3 Ánh xạ F : Rn ⇒ Rn xác định bởi: F (x) = {y ∈ Rn : || x − yk ≤ 1} là một ánh xạ đa trị trên Rn , nó biến mỗi điểm thành một hình cầu đóng tâm x bán kính bằng đơn vị. Định nghĩa 1.4 Miền hữu hiệu (miền định nghĩa) domF , đồ thị GraphF của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y được định nghĩa như sau: domF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} Graph = {(x, y) ∈ X × Y : x ∈ domF, y ∈ F (x)} Định nghĩa 1.5 Giả sử X, Y là các không gian véctơ tôpô. Bao lồi, bao đóng của ánh xạ F lần lượt được ký hiệu là ConvF, ClF được định nghĩa bởi: ConvF = {y ∈ Y : (x, y) ∈ conv(GraphF ), ∀x ∈ X} ¯ ClF = {y ∈ Y : (x, y) ∈ GraphF , ∀x ∈ X} ¯ Trong đó, conv(GraphF ).GraphF lần lượt là tập lồi nhỏ nhất chứa GraphF và bao đóng của tập GraphF . Ánh xạ ngược của F là ánh xạ đa trị F −1 : X ⇒ Y được xác định bởi: F −1 (y) = {x ∈ X : y ∈ F (x), ∀y ∈ Y } Định nghĩa 1.6 Giả sử X, Y là các không gian tôpô và F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị. i) F được gọi là ánh xạ đóng (tương ứng, mở) nếu GraphF là tập đóng (tương ứng mở) trong không gian tôpô tích X × Y . 3 ii) F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng (mở) nếu F (x) là tập đóng (mở) với mọi x ∈ domF . iii) Nếu Y là một không gian véctơ tôpô thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi, với mọi x ∈ X. iv) F được gọi là ánh xa compact nếu F (x) là tập compact trong Y với mọi x ∈ X. Nhận xét 1.2 Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị. Ta có các tính chất sau: i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng. ii) F là ánh xạ đóng khi và chỉ khi với mọi dãy xβ → x, yβ ∈ F (xβ ) và yβ → y thì ta có y ∈ F (x). Ví dụ 1.4 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi ( [−1, 1], x = 0 F (x) = 0, x 6= 0 (1.1) Lấy lưới (xn , yn ) ∈ GraphF bất kỳ (xn , yn ) → (x̄, ȳ). Vì (xn , yn ) ∈ GraphF nên yn ∈ F (xn ) hay yn = [−1, 1] với mọi n. Do đoạn [−1, 1] là compact và yn → ȳ nên ȳ ∈ [−1, 1]. Trường hợp 1: nếu xn → x̄ = 0 thì F (x̄) = [−1, 1]. Do đó ȳ ∈ F (x̄) hay (x̄, ȳ) ∈ GraphF . Trường hợp 2: nếu xn → x̄ 6= 0 thì tồn tại N > 0 sao cho x̄ 6= 0 với mọi n ≥ N . Do yn ∈ F (xn ) và F (xn ) = 0 hay (x̄, 0) ∈ GrpahF . Vậy GraphF đóng. Ví dụ 1.5 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi ( (−1, 1), x = 0 F (x) = (1.2) 0, x 6= 0 F không phải là ánh xạ đơn trị đóng vì: 1
1 1 1 ,1 − ∈ GraphF và → 0, 1 − → 1 n n n n nhưng (0, 1) ∈ / GraphF . Định nghĩa 1.7 Cho X, Y là các không gian véctơ tôpô. C là nón lồi. Ta nói ánh xạ đa trị F là: i) Ánh xạ đa trị C− lồi nếu {(x, y)|y ∈ F (x) + C} là tập lồi trong không gian tích X × Y . 4 ii) Ánh xạ có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi với mọi x ∈ X. Nhận xét 1.3 Giả sử X, Y là các tập lồi trong không gian tuyến tính. Ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y là C−lồi nếu và chỉ nếu với mọi x1 , x2 ∈ X và t ∈ [0, 1] thì tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C (1.3) Thật vậy, giả sử F là ánh xạ đa trị lồi, tức là GraphF là lồi. Lấy hai phần tử x1 , x2 bất kỳ sao cho y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ), khi đó (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ GraphF . Với t ∈ [0, 1], do GraphF lồi nên (x, y) = (tx1 + (1 − t)x2 , ty1 + (1 − t)y2 ) ∈ GraphF + (X × C) Suy ra, ty1 + (1 − t)y2 ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) đúng với mọi y1 ∈ F (x1 ), y2 ∈ F (x2 ). Vì thế : tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) ⊆ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C Điều ngược lại tương tự. Trường hợp ánh xạ F là ánh xạ đơn trị, F (x) = {f (x)} thì F là lồi khi: f (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤C tf (x1 ) + (1 − t)f (x2 ) (1.4) Ta nhận thấy rằng (1.3) tương thích với (1.4). Thật vậy, giả sử f : X ⇒ R là ánh xạ đơn trị. Hàm epif = F được xác định bởi: F (x) = f (x) + R+ = {f (x) + α, α ≥ 0} Ví dụ 1.6 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi F (x) = {y ∈ R : y ≥ x2 } là ánh xạ đa trị lồi. Ví dụ 1.7 Ánh xạ đa trị F : R ⇒ R xác định bởi ( 0, x=0 F (x) = [−1, 1], x 6= 0 không phải là ánh xạ đa trị lồi vì lấy x2 = −x1 , x1 > 0 và t = (1.5) 1 2 Khi đó ta có 1 tF (x1 ) + (1 − t)F (x2 ) = {[−1, 1] + [−1, 1]} 2 1 = [−2, 2] 2 * F (tx1 + (1 − t)x2 ) = F (0) = {0} 5 1.3 Tính liên tục theo nón Cho X, Y là 2 không gian véctơ tôpô lòi địa phương F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị. Ta sẽ nhắc lại một số định nghĩa được đưa ra bởi Berge. (Xem trong [1]). i) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ X nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thoả mãn F (x) ⊂ V thì tồn tại một lân cận mở U ⊂ X của x sao cho F (U ) ⊂ V . F được gọi là nửa liên tục trên (u.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi x ∈ X. ii) Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ X nếu với mọi tập mở V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= ∅ thì tồn tại một lân cận mở U ⊂ X của x sao cho F (u) ∩ V 6= ∅, ∀u ∈ U . F được gọi là nửa liên tục dưới (l.s.c) trên X nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi x ∈ X. iii) Ánh xạ F được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu F vừa là nửa liên tục trên vừa là nửa liên tục dưới tai x. Nếu F liên tục tại mọi điểm x ∈ X thì ta nói F liên tục trên X. Khi xét ánh xạ đa trị thì các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới là trùng nhau và trùng với khái niệm liên tục đã biết. Ví dụ sau chỉ ra sự khác nhau giữa các khái niệm nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới cửa ánh xạ đa trị. Ví dụ 1.8 Xét F, G : R ⇒ R là hai ánh xạ đa trị được xác định như sau: ( [0, 1], x = 0 F (x) = (1.6) 0, x 6= 0 ( 0, x=0 G(x) = (1.7) [0, 1], x 6= 0 Dễ thấy, ánh xạ F là nửa liên tục trên tại x = 0 nhưng không nửa liên tục dưới tại x = 0. Ánh xạ G là nửa liên tục dưới tại x = 0 nhưng không là nửa liên tục trên tại x = 0. Ta có các tính chất sau: i) Cho F : X ⇒ Y là nửa liên tục trên với ảnh đóng, nếu dãy xβ → x, yβ → y thì y ∈ F (x). Ngược lại, nếu F (x) là tập đóng và mọi dãy xβ → x, yβ ∈ F (xβ ) kéo theo yβ → y ∈ F (x) thì F là nửa liên tục trên tại x. 6 ii) Cho F : X ⇒ Y, F (x) là compact và F (x) 6= ∅. Khi đó, F là nửa liên tục dưới tại x khi và chỉ khi với mọi dãy xβ → x, yβ ∈ F (x) đều tồn tại yβ ∈ F (xβ ) để yβ → y. Định nghĩa 1.8 Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương. D là tập con của X, D 6= ∅. Giả sử C là một nón trong Y và F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị. Ta có các định nghĩa sau: i) F là C-liên tục trên (tương ứng C- liên tục dưới) tại x0 ∈ X nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: F (x) ⊂ F (x0 ) + V + C(F (x0 ) ⊂ F (x) + V − C) Với mọi x ∈ U ∩ domF . ii) F là C-liên tục tại x0 nếu F đồng thời là C-liên tục trên và là C-liên tục dưới tại x0 . iii) F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục trên D ⊆ X nếu F là C-liên tục trên, C-liên tục dưới hoặc C-liên tục tại mọi x ∈ D. Chú ý 1.1 i) Nếu ánh xạ F là đơn trị khi hạn chế trên D ⊆ X thì tính Cliên tục trên, C-liên tục dưới của F là trùng nhau, và ta nói F là C-liên tục. Tức là, F là C-liên tục tại x0 ∈ D nếu với mọi lân cận V của 0 trong Y , tồn tại lân cận U của x0 trong X sao cho: F (x) ∈ F (x0 ) + V + C(F (x0 ) ∈ F (x) + V − C), x ∈ U ∩ domF . ii) Nếu Y = R, C = R+ = {x ∈ R : x ≥ 0} thì ánh xạ đa trị F là C-liên tục tại x0 khi và chỉ khi F là ánh xạ nửa liên tục dưới tại một ánh đa trị F là (−C)-liên tục tại x0 ∈ D khi và chỉ khi F là nửa liên tục trên tại x0 (với ((−C) = R = {x ∈ R : x ≤ 0}) Cho F : D ⇒ Y là một ánh xạ đa trị và C ⊂ Y là một nón lồi đóng. Khi đó: 1) Nếu F là C-liên tục tại x0 ∈ domF và F (x0 )+C là tập đóng thì với mọi dãy xβ → x0 , yβ ∈ F (x0 ) + C, yβ → y0 . Ngược lại, nếu F là compact và với mọi dãy xβ → x0 , yβ ∈ F (x0 ) + C, yβ → y0 ta có y0 ∈ F (x0 ) + C thì F là C-liên tục trên tại x0 . 7 2) Nếu F (x0 ) là compact và là C-liên tục dưới tại x0 ∈ domF thì với mọi dãy xβ → x0 , y0 ∈ F (x0 ) + C đều tồn tại dãy {yβ }, yβ ∈ F (xβ ) và dãy con {yβ γ } sao cho yβ γ − y0 → c ∈ C. Ngược lại, nếu F (x0 ) là tập compact và với mọi dãy xβ → x0 , yβ ∈ F (xβ ) + C đều tồn tại dãy {yβ }, yβ ∈ F (xβ ) và một dãy con {yβ γ } sao cho yβ γ − y0 → c ∈ C thì F là C-liên tục dưới tại x0 . 1.4 Tính lồi theo nón của ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.9 Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô, D là tập con lồi của X. Giả sử C là một nón lồi trong Y, F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị. i) F là C-lồi trên (tương ứng C-lồi dưới) nếu αF (x) + (1 − α)F (y) ⊂ F (αx + (1 − α)y) + C (tương ứng F (αx + (1 − α)y) + C ⊂ αF (x) + (1 − α)F (y) − C Với mọi x, y ∈ domF và α ∈ [0, 1]. ii) F được gọi là C-tựa lồi trên D nếu với mọi t ∈ [0, 1], hoặc F (x1 ) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C hoặc F (x2 ) ⊂ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C luôn đúng với mọi x1 , x2 ∈ D. Chú ý 1.2 a) Nếu F : D ⇒ Y là ánh xạ đơn trị thì tính C-lồi trên và C-lồi dưới trùng nhau và gọi là C-lồi. Nếu Y = R, C = R+ thì ta có khái niệm hàm lồi theo nghĩa thông thường. b) Nếu F : D ⇒ Y là ánh xạ đơn trị thì khái niệm C-tựa lồi trên và C-tựa lồi dưới trùng nhau và gọi là C-tựa lồi. Tức là F là C-tựa lồi trong D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] ta có hoặc F (x1 ) ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C (hayF (x1 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 )) hoặc F (x2 ) ∈ F (tx1 + (1 − t)x2 ) + C (hayF (x2 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 )) luôn đúng. Trong trường hợp Y − R, C = R+ thì ta có F là C-tựa lồi tức là F (x1 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 ) hoặc F (x2 ) ≥C F (tx1 + (1 − t)x2 ) với mọi x1 , x2 ∈ D, t ∈ [0, 1] nên F (tx1 + (1 − t)x2 ) ≤ M ax{F (x1 ), F (x2 )}. Khi đó, F là hàm tựa lồi theo nghĩa thông thường. 8 1.5 Tính đơn điệu Định nghĩa 1.10 i) Cho X là một không gian véctơ tôpô lồi địa phương, D ⊂ X là một tập con. Hàm số f : D × D → R được gọi là đơn điệu nếu f (x, y) + f (y, x) ≤ 0 với mọi x, y ∈ D. ii) Cho X, Y là hai không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, D ⊂ X là một tập con, C là một nón trong Y . Ta nói ánh xạ F : D×D → Y là đơn điệu đối với nón C nếu F (x, y)+F (y, x) ∈ −C với mọi x, y ∈ D. Định nghĩa 1.11 i) Cho X là một không gian tuyến tính lồi địa phương, D ⊂ X là một tập con. Hàm số f : D × D → R được gọi là tựa đơn điệu nếu f (x, y) ≤ 0 với mọi x, y ∈ D ta suy ra f (y, x) ≤ 0. ii) Cho X, Y, Z là các không gian tôpô tuyến tính, D ⊂ X, K ⊂ Y là các tập con khác rỗng, C ⊂ Z là một nón. Cho ánh xạ đa trị F : Z × D × D ⇒ Z. Ta nói F là T -tựa đơn điệu đối với C nếu {x1 , x2 , . . . , xn } ∈ D và x ∈ co{x1 , x2 , . . . , xn } đều tồn tại i ∈ {1, . . . , n} để F (y, xi , x) ≥ F (y, x, x) với mọi y ∈ T (xi , x) 1.6 Một số định lý bổ trợ Ta sẽ nhắc lại một số định lý bổ trợ cho việc chứng minh ở các chương sau như định lý KKM-Fan, định lý về sự giao hữu hạn của một tập compact, các định lý về điểm bất đông, . . . Định nghĩa 1.12 Cho X là không gian véctơ tôpô. Ánh xạ đa trị F : A ⊂ X ⇒ X được gọi là ánh xạ KKM trên A nếu với mọi tập con hữu hạn {a1 , a2 , . . . , an } ⊂ A và với mọi phần tử a trong bao lồi của {a1 , S a2 , . . . , an } ta có thể tìm được chỉ số k sao cho a ∈ F (ai ), tức là x∈ m i=1 F (ai ). Định lý 1.1. . [3] Định lý KKM-Fan Giả sử X là không gian véctơ tôpô, A ⊂ X là tập lồi khác rỗng và F : AT⇒ A là ánh xạ KKM với tập giá trị đóng. Nếu A là compact thì ta có x∈A F (x) 6= ∅ Định lý 1.2. . [3] Tính chất giao hữu hạn của các tập compact Cho một họ các tập compact {Ci : i ∈ I}. Nếu với mọi tập hữu hạn các 9