Tài liệu Bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU HỒNG PHONG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯU HỒNG PHONG BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM HOÀNG QUÂN NGHỆ AN - 2014 i Mục lục Lời cám ơn 2 Lời nói đầu 3 Chương 1. Các kiến thức liên quan 1.1 Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue . . . . . . . . . 8 8 1.2 Định lí ánh xạ co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn . . . . . . . . . . . . . 16 1.5 Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2. Chỉnh hóa và ước lượng sai số bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian 19 2.1 Các kết quả chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 1 LỜI CÁM ƠN Luận văn này được hoàn thành tại Đại Học Sài Gòn dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Phạm Hoàng Quân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy, người đã chỉ dạy tác giả những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Trường Đại học Vinh, Ban chủ nhiệm khoa toán ứng dụng Trường Đại Học Sài Gòn. Tác giả xin được cảm ơn quý Thầy giáo, Cô giáo trong Khoa Toán của hai Trường Đại Học Vinh và Đại học Sài Gòn nói chung, tổ Giải tích nói riêng, đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong lớp Cao học 20 - chuyên ngành Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không thể tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và bạn bè đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn. Nghệ An, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Tác giả 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học ứng dụng, nhu cầu khảo sát bài toán ngược đã được nêu ra từ lâu. Bài toán ngược được quan tâm vì ứng dụng thực tế trong lĩnh vực địa lí, cơ học, xử lý ảnh ... Một trong những bài toán ngược được xét đến là bài toán ngược thời gian cho phương trình parabolic. Hơn nữa, khi xét sự truyền nhiệt trong vật thể một trong các yếu tố quyết định là vật liệu của vật thể. Mỗi vật liệu có một hệ số dẫn nhiệt khác nhau và các vật liệu thì có sự biến đổi theo thời gian và môi trường do sự ăn mòn, oxy hóa... Trong thực tế, dữ liệu thu nhập được do việc đo đạc và xử lý qua máy tính hay một số thiết bị hỗ trợ nào đó, nên không tránh khỏi những sai số, dù sai số của dữ liệu là rất nhỏ nhưng lại dẫn đến sự khác biệt rất lớn về nghiệm. Vì thế, chúng ta cần chỉnh hóa bài toán, nghĩa là đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho nghiệm chính xác của bài toán và đánh giá sai số cụ thể giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. Do đó, trong luận văn này, chúng tôi xét "BÀI TOÁN PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN PHI TUYẾN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC VÀO THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN." Mục đích của luận văn là thông qua tìm hiểu một bài báo về bài toán parabolic ngược, trình bày một cách hệ thống và chứng minh chi tiết các kết quả liên quan tới vấn đề nghiên cứu mà tác giả bài báo chứng minh còn vắn tắt và một ví dụ số để minh họa cho kết quả chỉnh hóa. Với mục đích đó, luận văn này chia thành hai chương. Chương 1: Các kiến thức liên quan. Chương này trình bày các kí hiệu, các khái niệm về bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh, sự chỉnh hóa, các bất đẳng thức: bất đẳng thức Cauchy-Bunhiakovski-Schwarz, bất đẳng thức Hölder, không gian các hàm và tích phân Lebesgue, mệnh đề, định nghĩa, nguyên lí, hệ quả, các bổ đề, các phép biến đổi Fourier trong không gian L1 (R), L2 (R), định lý Plancherel được sử dụng trong trình bày luận văn. 3 Chương 2: Chỉnh hóa và ước lượng sai số cho bài toán parabolic ngược thời gian phi tuyến với hệ số phụ thuộc vào thời gian và không gian. Đây là phần chính yếu, cốt lõi nhất của luận văn với các nội dung sau: Phần 1: Chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa, chứng minh tính ổn định nghiệm của bài toán chỉnh hóa, ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. Phần 2: Ví dụ minh họa cho kết quả chỉnh hóa. Trong những năm gần đây, bài toán truyền nhiệt ngược đã được nhiều tác giả quan tâm như Lattes và Lions [10], Showalter [8], Tautenhahn và Schröter [9], Đinh Nho Hào [2]. Cụ thể, Showalter đã dùng phương pháp tựa toán tử để khảo sát bài toán giá trị cuối năm 1974 (trong [8]). Năm 1996, Tautenhahn và Schröter nghiên cứu bài toán truyền nhiệt ngược thời gian (trong [1]) và đã đưa ra ước lượng sai số tối ưu cho bài toán (trong [9]). Gần đây, trong năm 2007, Fu, Xiong và Qian đã sử dụng phép biến đổi Fourier cho bài toán truyền nhiệt ngược và đã đưa ra ước lượng sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm xấp xỉ. Tuy nhiên, các tác giả trên chỉ xét bài toán parabolic với hệ số hằng. Trong luận văn này, chúng tôi đề xuất việc nghiên cứu bài toán parabolic ngược thời gian với hệ số không là hằng. Gần đây, có vài bài báo xem xét về bài toán truyền nhiệt ngược với hệ số không là hằng. Cụ thể, trong [7], các tác giả xét bài toán ngược cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc vào thời gian, nghĩa là tìm nhiệt độ u(x, t) thỏa mãn a(t)ut (x, t) = uxx (x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ), x ∈ R, u(x, T ) = g(x), với a(t), g(x) là các hàm cho trước sao cho a(t) > 0, ∀t ∈ [0.T ). Hơn nữa, các tác giả đã đưa ra ước lượng sai số dạng Hölder tại thời điểm ban đầu t = 0 và dạng logarit tại thời điểm t > 0 giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa. 4 Trong [2], Đinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa cho bài toán parabolic ngược với hệ số phụ thuộc thời gian ( ut + A(t)u = 0, ku(T ) − f kH ≤ , 0 < t < T, f ∈ H, trong đó H là một không gian Hilbert và A(t) (0 < t < T ) là toán tử dương tự liên hợp không bị chặn từ D(A(t)) ⊂ H đến H và f là hàm dữ liệu cho trước. Trong [2], các tác giả xem xét bài toán sau (trong [2] trang 8) ( ωt + B(t)ω = 0, ω(T ) = f, 0 < t < T, α > 0, trong đó ( B(t) = A(t), 0 ≤ t ≤ T, A(2T − t), T < t ≤ 2T. Khi đó họ đặt ω(2T ) = g và đề nghị nghiệm chỉnh hóa của bài toán như sau ( υt + B(t)υ = 0, 0 < t < T, αυ(0) + υ(2T ) = g, α > 0. Trong [2], họ đã chứng minh được bài toán trên là một trường hợp tốt và đưa ra được dạng Hölder của ước lượng sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác (xem trong [2], định lý 3.4) với một vài giả thiết (xem trong [2], điều kiện 3.1, 3.2 trang 7) của hàm A. Đến nay có nhiều bài viết nghiên cứu về bài toán parabolic ngược với hệ số là hằng (xem [3]-[5],[9]). Mặt khác, rất ít bài viết nghiên cứu trong trường hợp hệ số phụ thuộc vào thời gian (như [2],[7]). Vì thế, chúng tôi xét bài toán parabolic ngược ut (x, t) − a(x, t)uxx (x, t) = f (x, t, u, ux , uxx ), (x, t) ∈ R × [0, T ) , u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (1.1) (1.2) trong đó tồn tại các số p, q, L > 0 sao cho f (x, t, u, ux , uxx ) và a(x, t) thỏa mãn 0 < p ≤ a(x, t) ≤ q 5 (1.3) và |f (x, t, u1 , v1 , ω1 ) − f (x, t, u2 , v2 , ω2 )| ≤ L(|u1 − u2 | + |v1 − v2 | + |ω1 − ω2 |), với mọi (x, t, u1 , v1 , ω1 ), (x, t, u2 , v2 , ω2 ) ∈ R × [0; T ] × R3 . Trong luận văn này, chúng tôi xét nghiệm và dữ liệu của bài toán (1.1) và (1.2) lần lượt trong không gian H2 (R) và không gian L2 (R). Chúng ta có thể thấy rằng hệ số truyền nhiệt a(x, t) của (1.1) là một hàm phụ thuộc vào không gian và thời gian. Trong suốt bài luận văn, chúng ta xác định phép biến đổi Fourier F : L2 (R) → L2 (R) xác định bởi: Z+∞ 1 F(f )(ξ) = √ 2π f (x)e−iξx dx. −∞ Trong bài luận văn này, chúng ta giả sử k(t) = lim a(x, t) và đặt x→∞ b(x, t) = a(x, t) − k(t), Từ (1.3), chúng ta có được 0 < p ≤ k(t) ≤ q . Từ đó, ta có được |b(x, s)| = |a(x, s) − k(s)| ≤ |a(x, s)| + |k(s)| ≤ 2q, (1.4) ∀(x, s) ∈ R × [0; T ]. Sau đó, ta có được phương trình mới ut (x, t) − k(t)uxx (x, t) = ϕ(u, ux , uxx )(x, t), (x, t) ∈ R × [0, T ) , u(x, T ) = g(x), x ∈ R, (1.5) (1.6) trong đó ϕ(u, ux , uxx )(x, t) = b(x, t)uxx (x, t) + f (x, t, u, ux , uxx ). Sử dụng phép biến đổi Fourier, chúng ta có thể tìm ra được nghiệm của bài toán (1.1) và (1.2) như sau u(x, t) = P (x, t) − K(x, t, u), 6 (1.7) trong đó Z+∞ 1 P (x, t) = √ 2π eξ 2 (η(T )−η(t)) F(g)(ξ)eiξx dξ, (1.8) −∞ 1 K(x, t, u) = √ 2π Z+∞Z T ξ 2 (η(s)−η(t)) e  F(ϕ(u, ux , uxx ))(ξ, s)ds eiξx dξ, (1.9) t −∞ và Zt η(t) = (1.10) k(s)ds. 0 Trong bài luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp chặt cụt tích phân để chỉnh hóa nghiệm (1.7) của bài toán (1.1) và (1.2). Khi đó, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho (1.7) như sau u (x, t) = P (x, t) − K (x, t, u ), trong đó Z∞ 1 P (x, t) = √ 2π eξ 2 (η(T )−η(t)) (1.11) F(g)(ξ)χ[−a ,a ] (ξ)eiξx dξ, (1.12) −∞ 1 K (x, t, u ) = √ 2π Z∞ Z T e −∞ ξ 2 (η(s)−η(t))  F(ϕ(u , ux , uxx ))(ξ, s)ds χ[−a ,a ] (ξ)eiξx dξ, t (1.13) trong đó, ta chọn hàm a thỏa mãn a → ∞ khi  → 0. 7 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức liên quan được sử dụng trong quá trình trình bày luận văn. 1.1. Các không gian hàm cơ bản và tích phân Lebesgue Không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa. Cho (X, +, ·) là một không gian vectơ trên R. Một ánh xạ k·k:X →R x 7→ kxk được gọi là một chuẩn trên X nếu các tính chất sau thỏa với mọi x, y ∈ X, α ∈ R, i) kxk ≥ 0 và kxk = 0 nếu và chỉ nếu x = 0, ii) kαxk = |α|kxk, iii) kx + yk ≤ kxk + kyk. Không gian vectơ (X, +, ·) với chuẩn k · k được gọi là không gian định chuẩn (X, +, ·, k · k), hay vắn tắt là (X, k · k), hay vắn tắt là X , khi các phép toán, hàm chuẩn được ngầm hiểu và không nhầm lẫn. 1.1.2 Định nghĩa. Cho (xn ) là một dãy các phần tử của một không gian định chuẩn (X, k · k). Ta nói Dãy (xn ) trong X được gọi là dãy Cauchy nếu ứng với mỗi  > 0, tồn tại n0 ∈ N sao 8 cho kxn − xm k < , ∀n, m ≥ n0 . Dãy (xn ) trong X được gọi là hội tụ về x0 ∈ X , kí hiệu là xn → x0 khi n → ∞, nếu lim kxn − x0 k = 0, nghĩa là ứng với mỗi  > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho n→∞ kxn − x0 k < , ∀n ≥ n0 . 1.1.3 Định nghĩa. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Tích phân Lebesgue 1.1.4 Định nghĩa. Một tính chất P (x), x thuộc không gian Rn gọi là đúng hầu khắp nơi nếu tồn tại một tập A có độ đo không, sao cho P (x) đúng với mọi x thuộc Rn \A. 1.1.5 Định nghĩa. (Tích phân của hàm đơn giản) Cho A là tập đo được, f : A → [−∞; +∞] là hàm đơn giản, đo được trên A. Gọi f1 , f2 , . . . , fn là các giá trị khác nhau đôi một của f (x). Đặt Ak = {x ∈ A : f (x) = fk }, k = 1, 2, . . . , n. A= n [ Ak và f (x) = n X k=1 fk χAk (x), ∀x ∈ A. k=1 Khi đó, tích phân của hàm đơn giản f (x) trên A với độ đo µ là số Z n X f (x)dµ = A fk µ(Ak ). k=1 1.1.6 Định nghĩa. (Tích phân của hàm không âm) Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A → [0; +∞] là hàm đo được không âm. 9 Khi đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được fn (x) ≥ 0 hội tụ hầu khắp nơi về f (x) trên A và tích phân của hàm f (x) trên A đối với độ đo µ là Z Z f (x)dµ = lim n→+∞ A fn (x)dµ. A 1.1.7 Định nghĩa. (Tích phân của hàm có dấu bất kỳ) Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm f : A → R là hàm đo được trên A. Khi đó, ta có f (x) = f + (x) − f − (x), với f + (x), f − (x) ≥ 0. R R Các hàm số f + (x), f − (x) có các tích phân tương ứng trên A là A f + (x)dµ, A f − (x)dµ. R R Nếu hiệu A f + (x)dµ − A f − (x)dµ có nghĩa trên R thì tích phân của hàm đo được f (x) trên A với độ đo µ là Z Z f (x)dµ = A Không gian Lp f + (x)dµ − Z A f − (x)dµ. A (1 ≤ p ≤ ∞) Trong phần này, ta kí hiệu Ω là một tập đo được trong Rn . 1.1.8 Định nghĩa. Cho f đo được trên Ω, nếu |f |p (1 ≤ p ≤ ∞) khả tích trên Ω ta định nghĩa Z kf kLp (Ω) = |f |p  p1 . Ω Không gian chứa tất cả các hàm f thỏa |f |p (1 ≤ p ≤ ∞) khả tích trên Ω gọi là không gian Lp (Ω). 10 Trong bài luận văn này để ngắn gọn, ta kí hiệu chuẩn trong không gian L2 (R) là k · k2 . Ta định nghĩa 1  Z+∞ |w(x)|2 dx kwk2 = 2 , −∞ với w ∈ L2 (R). 1.1.9 Định nghĩa. Tập hợp tất cả các hàm bị chặn hầu khắp nơi (h.k.n) trên Ω gọi là L∞ (Ω), ta định nghĩa kf kL∞ (Ω) = inf {λ : λ ≥ |f (x)| h.k.n trên Ω}. 1.1.10 Định lí. Với Ω đo được trong Rn và 1 ≤ p ≤ ∞ thì không gian (Lp (Ω), k.kLp (Ω) ) là một không gian Banach. Không gian mêtric đầy đủ 1.1.11 Định nghĩa. Cho tập X 6= ∅. Một ánh xạ d:X ×X →R (x, y) 7→ d(x, y) được gọi là một mêtric trên X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn ∀x, y, z ∈ X, i) d(x, y) ≥ 0 và d(x, y) = 0 ⇔ x = y , ii) d(x, y) = d(y, x), iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Tập X với một mêtric d trên X được gọi là không gian mêtric (X, d) hay vắn tắt là X khi mêtric d được ngầm hiểu và không nhầm lẫn. 1.1.12 Định nghĩa. Cho không gian mêtric (X, d). Ta nói dãy phần tử (xn ) ⊂ X 11 hội tụ về phần tử x ∈ X nếu lim d(xn , x) = 0. Kí hiệu n→∞ d xn −−−→ x Nghĩa là, ứng với mỗi ε > 0, tồn tại n0 ∈ N sao cho d(xn , x) < ε, với mọi n ≥ n0 . 1.1.13 Định nghĩa. Không gian mêtric (X, d) được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ. Không gian Hilbert 1.1.14 Định nghĩa. Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (K = C hoặc K = R). Một ánh xạ h·, ·i : X × X → K (x, y) 7→ hx, yi được gọi là một tích vô hướng trên X nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn ∀x, x0 , y, y 0 ∈ X, ∀α, β ∈ K, i) hαx + βx0 , yi = αhx, yi + βhx0 , yi, ii) hx, αy + βy 0 i = αhx, yi + βhx, y 0 i, iii) hx, yi = hy, xi, iv) hx, xi ≥ 0, v) hx, xi = 0 ⇔ x = 0. 1.1.15 Bổ đề. Cho h·, ·i là một tích vô hướng trên một không gian vectơ X , với mọi x, y ∈ X , ta có i) Bất đẳng thức Schwarz |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi 12 ii) Bất đẳng thức Minkowski 1 1 1 hx + y, x + yi 2 ≤ hx, xi 2 + hy, yi 2 1.1.16 Định lí. Nếu h·, ·i là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ k·k:X →R 1 x 7→ hx, xi 2 là một chuẩn trên X , được gọi là chuẩn sinh bởi tích vô hướng. 1.1.17 Định nghĩa. Cho h·, ·i là một tích vô hướng trên không gian vectơ X thì cặp (X, h·, ·i) gọi là một không gian tiền Hilbert. Do Định lí 1.1.16, ta có X là một không gian định chuẩn và là một không gian mêtric với mêtric sinh bởi chuẩn. Nếu không gian mêtric này đầy đủ, ta gọi (X, h·, ·i) là một không gian Hilbert. 1.1.18 Định lí. Cho Ω là tập con của Rn đo được, đặt Z  21 Z |f (x)|2 , ∀f, g ∈ L2 (Ω). hf, gi = f (x)g(x)dx và kf k = Ω Ω Không gian L2 (Ω) là một không gian Hilbert. Không gian Sobolev W m,p (Ω) (1 ≤ p ≤ ∞) 1.1.19 Định nghĩa. Cho tập mở Ω ⊆ Rk , k ∈ N. Ta đặt L1loc (Ω) = {f : Ω → R đo được : f ∈ L1 (ω) với mọi ω ⊆ Rk thỏa ω là tập compăc chứa trong Ω}. 1.1.20 Định nghĩa. Với Ω ⊆ Rk , k ∈ N. Ta kí hiệu C d (Ω), d ∈ N là không gian các ∞ \ ∞ hàm khả vi liên tục đến cấp d và C (Ω) = C d (Ω). Còn CC (Ω) là không gian các hàm d=1 13 số f liên tục trên Ω sao cho giá của f , tức là tập hợp suppf = {x ∈ Ω; f (x) 6= 0} là compact chứa trong Ω; kí hiệu gạch ngang ở trên là bao đóng của tập hợp. Đặt CC∞ (Ω) = C ∞ (Ω) ∩ CC (Ω). 1.1.21 Định nghĩa. (Đạo hàm suy rộng) Cho f ∈ L1loc (Ω), α = (α1 , ..., αk ) ∈ Zk , αi ≥ 0 (i = 1, ..., k). Hàm gα ∈ L1loc (Ω) gọi là đạo hàm riêng suy rộng cấp α của f nếu Z |α| α Z f D ϕdx = (−1) Ω gα ϕdx, Ω với mọi ϕ ∈ CC∞ (Ω). Ở đây, |α| = α1 + ... + αk và Dα ϕ = ∂ |α| ϕ α α ∂x1 1 ...∂xk k . 1.1.22 Định nghĩa. (Không gian Sobolev) Với m ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞, ta định nghĩa W m,p (Ω) = {f ∈ Lp (Ω) : Dα f ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m} với chuẩn kf kW m,p (Ω) =  X kDα f kpLp (Ω)  p1 . |α|≤m Đặc biệt, nếu p = 2, ta kí hiệu H m (Ω) = W m,2 (Ω). Trong luận văn này, chúng tôi xét nghiệm của bài toán (1.1)-(1.2) trên không gian H 2 (R) = W 2,2 (R) là không gian các hàm f (x) ∈ L2 (R) sao cho f có đạo hàm đến cấp 2 và f (n) ∈ L2 (R), ∀n ∈ {1; 2}. Khi đó, chuẩn trong H 2 (R) được định nghĩa là 1 kf kH 2 (R) = (kf k22 + kf (1) k22 + kf (2) k22 ) 2 . 1.1.23 Định lí. Không gian H m (Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng X Z Dα f Dα gdx. hf, gi = |α|≤m Ω 14 1.1.24 Định nghĩa. Cho T > 0 và X là không gian Banach với chuẩn k·kX . Không gian C([0, T ]; X) là không gian Banach gồm các hàm liên tục u : [0, T ] → X với chuẩn |||u||| = sup ku(t)kX . t∈[0,T ] 1.2. Định lí ánh xạ co 1.2.1 Định nghĩa. Cho X là một không gian Banach với chuẩn k · kX . Một ánh xạ f : X → X sao cho tồn tại số k thỏa 0 < k < 1 và kf (x1 ) − f (x2 )kX ≤ kkx1 − x2 kX , ∀x1 , x2 ∈ X, được gọi là một ánh xạ co. 1.2.2 Định nghĩa. Điểm x ∈ X được gọi là điểm bất động của ánh xạ f : X → X nếu f (x) = x. 1.2.3 Định lí. (Nguyên lí ánh xạ co Banach) Cho X là một không gian Banach. Khi đó mọi ánh xạ co f : X → X đều tồn tại điểm bất động duy nhất. 1.3. Bài toán chỉnh, bài toán không chỉnh 1.3.1 Định nghĩa. (Bài toán chỉnh) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn, K : X → Y là một ánh xạ. Phương trình Kx = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau i) Sự tồn tại: Với mỗi y ∈ Y , có ít nhất một x ∈ X sao cho Kx = y , ii) Sự duy nhất: Với mỗi y ∈ Y , có nhiều nhất một x ∈ X với Kx = y ,. iii) Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y, tức là với mỗi dãy (xn ) ⊂ X sao cho Kxn → Kx suy ra xn → x. 1.3.2 Định nghĩa. (Bài toán không chỉnh) 15 Bài toán được gọi là không chỉnh nếu không thỏa ít nhất một trong ba điều kiện của bài toán chỉnh. 1.4. Các bất đẳng thức áp dụng trong luận văn 1.4.1 Định lí. (Bất đẳng thức Cauchy - Bunhiakovski - Schwarz) Cho n ∈ N, k = 1, n và xk , yk ∈ R, ta có X 2  X n n xk y k ≤ x2k  X n  . k=1 k=1 k=1 yk2 1.4.2 Định lí. (Bất đẳng thức Hölder) Giả sử 1 ≤ p, q ≤ ∞, 1 1 + = 1, Ω ⊂ R. Khi đó, nếu f ∈ Lp (Ω), g ∈ Lq (Ω) thì p q f g ∈ L1 (Ω) và kf gk1 ≤ kf kp kgkq . Trong luận văn này, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức Hölder với trường hợp f, g ∈ L2 (R) tức là ta có bất đẳng thức sau Z∞  Z∞ |f (x)g(x)|dx ≤ −∞ [f (x)]2 dx −∞ Z∞ [g(x)]2 dx  12 . −∞ 1.4.3 Định lí. (Bất đẳng thức Gronwall-Bellman) Giả sử u(t), f (t) là các hàm số thực, liên tục, u(t) dương trên [a, b], f (t) không âm trên [a, b] và với mọi t, t0 thuộc (a, b), a, b ∈ R, thỏa mãn Z t u(t) ≤ c + f (s)u(s)ds, t0 ≤ t, t0 trong đó, c là hằng số. Khi đó u(t) ≤ ce Rt t0 f (s)ds 16 , t0 ≤ t. 1.5. Biến đổi Fourier Biến đổi Fourier trong L1 (R) 1.5.1 Định nghĩa. Cho f ∈ L1 (R), hàm fb định bởi Z∞ 1 fb(λ) = √ f (t)e−iλt dt, 2π −∞ với λ ∈ R được gọi là phép biến đổi Fourier của f . 1.5.2 Định lí. Giả sử f ∈ L1 (R), thì fb ∈ C0 , với C0 là không gian các hàm số liên tục tiến dần về 0 tại vô cực. Hơn nữa 1 kfbk∞ ≤ √ kf k1 . 2π 1.5.3 Định lí. Giả sử f ∈ L1 (R) và fb ∈ L1 (R). Đặt Z∞ 1 g(x) = √ fb(λ)eiλx dλ. 2π −∞ Khi đó i) g ∈ C0 , với C0 là không gian các hàm số liên tục trên R và tiến dần về 0 tại vô cực. ii) g(x) = f (x) hầu khắp nơi trên R. 1.5.4 Định nghĩa. Hàm x 7→ √1 2π R∞ F (λ)eiλx dλ được gọi là biến đổi Fourier ngược −∞ của F . Tích phân ở trên là xác định nếu F ∈ L1 (R). 1.5.5 Tính chất. Cho f, g ∈ L1 (R) và c là một hằng số thuộc R. Khi đó, ta có i) f[ + g = fb + b g, b = cfb, ii) cf iii) Nếu f ∗ g ∈ L1 (R) thì fd ∗ g = 2π fb.b g , với (f ∗ g)(x) = Z∞ f (x − y)g(y)dy. −∞ Biến đổi Fourier trong L2 (R) 17 Ta có kết quả rất quan trọng, đó là phép biến đổi Fourier bảo toàn cấu trúc không gian L2 (R). 1.5.6 Định lí. (Định lí Plancherel - 1910) Với mọi f ∈ L2 (R), N > 0, ta đặt ZN 1 FN {f }(λ) = √ 2π f (x)e−iλx dx. −N Khi đó i) FN {f } hội tụ trong L2 (R) đến một hàm F{f } khi N → ∞. Hơn nữa kF{f }k22 = Z∞ |F{f }(λ)|2 dλ = −∞ Z∞ |f (x)|2 dx = kf k22 . −∞ ii) Nếu f ∈ L2 (R) ∩ L1 (R) thì F{f } = fb hầu khắp nơi trên R. ZN F{f }(λ)eiλx dλ, thì φN hội tụ trong L2 (R) đến f khi N → ∞. iii) Đặt φN (x) = √12π −N iv) Toán tử F là một đẳng cấu từ L2 (R) vào L2 (R). 1.5.7 Định lí. (Đẳng thức Plancherel) Cho f ∈ L2 (R) và F{f }(λ) là biến đổi Fourier của f trong L2 (R). Khi đó, ta có kF{f }k2 = kf k2 . 18