Tài liệu Bài toán dựng hình trong dạy học hình học không gian ở trường thpt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________ NGUYỄN VĂN NGÀ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ________________ NGUYỄN VĂN NGÀ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG THPT Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Đoàn Hữu Hải, người Thầy đã luôn tận tình hướng dẫn và động viên tôi trong suốt thời gian qua để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS.Lê Văn Tiến và TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung và các quý thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành didactic toán khóa 20; PGS. Claude Comiti, PGS. Annie Bessot, GS. Alain Birebent đã có những ý kiến đóng góp định hướng cho đề tài. Tôi xin gửi lời tri ân tới ban giám hiệu cùng tập thể giáo viên trường THPT Buôn Hồ, Thị xã Buôn Hồ, Tỉnh Đak Lak vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình tham gia học tập và làm luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn cùng lớp didactic Toán khóa 20 vì những sẻ chia trong thời gian học tập. Tôi rất hạnh phúc học cùng các bạn. Đặc biệt là chị Nguyễn Thị Minh Vân, Võ Mai Như Hạnh và Bùi Đức Tước Hoàn đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình làm luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong quá trình làm luận văn. Nguyễn Văn Ngà DANH MỤC VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách bài tập SGV : Sách giáo viên GV : Giáo viên HS : Học sinh KNV : Kiểu nhiệm vụ THPT : Trung học phổ thông. MỤC LỤC MỞ ĐẦU .....................................................................................................................2 Chương 1: BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG KHÔNG GIAN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC ....................................................................................................6 1.1 Các khái niệm liên quan đến dựng hình trong không gian ............................7 1.1.1 Hình hình học..........................................................................................7 1.1.2 Hình biểu diễn .........................................................................................7 1.2 Bài toán dựng hình trong không gian ............................................................7 1.2.1 Bài toán dựng hình trong không gian trong tài liệu [a] ..........................7 1.2.2 Bài toán dựng hình trong không gian trong tài liệu [b] ........................15 1.3 Kết luận chung .............................................................................................16 Chương 2: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG KHÔNG GIAN...........................................................................................18 2.1 Bài toán dựng hình trong không gian trong thể chế lớp 11 .........................19 2.1.1 Phần lý thuyết .......................................................................................19 2.1.2 gian Các tổ chức toán học liên quan đến bài toán dựng hình trong không ...............................................................................................................30 2.2 Kết luận chương 2 .......................................................................................47 Chương 3: THỰC NGHIỆM.....................................................................................49 3.1 Mục đích thực nghiệm .................................................................................49 3.2 Phân tích thực nghiệm .................................................................................49 3.2.1 Bộ câu hỏi thực nghiệm ........................................................................49 3.2.2 Phân tích A priori ..................................................................................50 3.2.3 Phân tích A posteriori ...........................................................................58 3.3 Kết luận thực nghiệm. .................................................................................62 KẾT LUẬN ...........................................................................................................63 TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................65 MỞ ĐẦU 1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Qua thực tế dạy học chúng tôi ghi nhận hiện tượng sau: Khi yêu cầu học sinh giải bài toán dựng hình trong không gian: Cho đường thẳng ∆ không vuông góc với mặt phẳng (α ) , một điểm M không thuộc ∆ cũng không thuộc mặt phẳng (α ) . Dựng đường thẳng a đi qua điểm M, vuông góc với ∆ và song song với mp(α ) . Chúng tôi nhận thấy có nhiều học sinh tỏ ra lúng túng và không tìm được cách dựng đường thẳng ∆ . Từ điều này, chúng tôi đặt câu hỏi: Nguyên nhân xảy ra hiện tượng trên xuất phát từ đâu? do học sinh? hay do những yếu tố khác? Những ghi nhận trên gợi cho chúng tôi đặt ra những câu hỏi xuất phát sau: − Ở cấp độ tri thức khoa học, bài toán dựng hình trong không gian có những đặc điểm nào? − Bài toán dựng hình trong không gian được đưa vào SGK ở bậc THPT như thế nào? thể chế dạy học có tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh rèn luyện kỹ năng phân tích hay không? − Học sinh gặp khó khăn gì khi giải bài toán dựng hình trong không gian? Việc tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi trên là động lực để tôi chọn đề tài “Bài toán dựng hình trong dạy học hình học không gian ở trường THPT”. Tuy nhiên, trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi giới hạn nghiên cứu ở thể chế dạy học lớp 11. 2 Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu là nhằm đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi đặt ra ở trên. Để làm được điều đó, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình dưới lý thuyết didactic toán. Cụ thể, là lý thuyết nhân học (với các khái niệm quan hệ thể chế, quan hệ các nhân, tổ chức toán học) và lý thuyết tình huống (với khái niệm hợp đồng didactic). Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt một số khái niệm của lý thuyết tham chiếu. • Quan hệ thể chế. Quan hệ R(I,O) của thể chế I với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O. Quan hệ này cho biết O xuất hiện như thế nào, ở đâu, có vai trò gì, tồn tại ra sao,… trong I ? • Quan hệ cá nhân. Quan hệ R(X,O) của cá nhân X với tri thức O là tập hợp các tác động qua lại mà cá nhân X có với tri thức O. Quan hệ này cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào về O, có thể thao tác O ra sao? Muốn nghiên cứu R(X,O) ta cần đặt nó trong R(I,O). • Tổ chức toán học. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận gồm bốn thành phần [T ,τ ,θ , Θ] , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật cho phép giải T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , còn Θ là lí thuyết giải thích cho công nghệ θ . Một praxéologie mà các thành phần đều mang bản chất toán học được gọi là một tổ chức toán học (TCTH). • Hợp đồng didactic. Theo Brousseau, “hợp đồng didactic là tập hợp các cách ứng xử (chuyên biệt) của thầy được học sinh mong đợi và tập hợp những ứng xử của học sinh mà thầy mong đợi… Đó là tập hợp các quy tắc phân chia và hạn chế trách nhiệm của mỗi bên, học sinh và giáo viên, đối với một tri thức toán học được giảng dạy. Nói cách khác, hợp đồng chi phối mối quan hệ giữa thầy và trò về các kế hoạch, các mục tiêu, các quyết định, các hoạt động và đánh giá sư phạm”. Theo Bosch.M và Chevallard.Y, việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế I với một đối tượng tri thức O có thể được tiến hành thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O. Đồng thời , việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung được một số yếu tố của quan hệ cá nhân của một chủ thể X (tồn tại trong I) với O. Như vậy, các công cụ của lý thuyết nhân chúng đã giúp cho chúng tôi có thể phân tích, làm rõ mối quan hệ thể chế đối với đối tượng “Bài toán dựng hình trong không gian” từ đó giúp chúng tôi trả lời các câu hỏi. Ngoài ra, bằng cách tạo ra một biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ (tình huống phá vỡ hợp đồng) chúng tôi có thể hiểu được các ứng xử của học sinh, giáo viên trong các hoạt động mà họ tiến hành. Trong khuôn khổ lý thuyết tham chiếu chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu như sau: Q 1 : Đặc điểm của bài toán dựng hình trong không gian ở cấp độ tri thức khoa học? Q 2 : Mối quan hệ của thể chế đối với bài toán dựng hình trong không gian được hình thành ra sao? Q 3 : Những ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế đến mối quan hệ cá nhân học sinh đối với đối tượng “Bài toán dựng hình trong không gian” ? 3 Phương pháp nghiên cứu Để thực hiện được mục đích chúng tôi tiến hành thực hiện một nghiên cứu ở cấp độ tri thức khoa học đối với bài toán dựng hình trong không gian để chỉ ra những đặc điểm đặc trưng. Từ đó, tham chiếu cho nghiên cứu bài toán dựng hình không gian được giảng dạy ở trường THPT mà cụ thể chúng tôi chỉ xét ở lớp 11. Tiếp theo, chúng tôi thực hiện nghiên cứu về mối quan hệ của thể chế đối với bài toán dựng hình trong không gian và hình thành nên giả thuyết nghiên cứu. Cuối cùng là thực hiện một thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đã đưa ra. 4 Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 5 phần: Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận chung. Trong phần mở đầu, chúng tôi trình bày những ghi nhận ban đầu, lợi ích của đề tài; lý thuyết tham chiếu; mục đích và phương pháp nghiên cứu; tổ chức của luận văn. Chương 1. Bài toán dựng hình trong không gian ở cấp độ tri thức khoa học. Ở chương này, chúng tôi trình bày những nội dung nhằm trả lời cho câu hỏi Q 1 . Chương 2. Mối quan hệ thể chế đối với bài toán dựng hình trong không gian. Mục đích của chương này là chúng tôi đi tìm câu trả lời cho câu hỏi Q 2 , từ đó hình thành giả thuyết nghiên cứu. Chương 3. Thực nghiệm. Nội dung của chương này là chúng tôi trình bày các phân tích tiên nghiệm, phân tích hậu nghiệm và trên kết quả của thực nghiệm chúng tôi kiểm chứng giả thuyết đã được nêu ở chương 2 và trả lời câu hỏi Q 3 . Phần kết luận chung, ở phần này chúng tôi trình bày tóm tắt những kết quả đã đạt được và đưa ra hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn. Chương 1 BÀI TOÁN DỰNG HÌNH TRONG KHÔNG GIAN Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục đích của chương này chính là làm rõ ở cấp độ tri thức bài toán dựng hình trong không gian được định nghĩa như thế nào? nó có những đặc điểm gì? Để đạt được mục đích trên chúng tôi tiến hành phân tích hai tài liệu sau: − B.I. ACGUNÔP - M.B.BAN (1974), Hình học sơ cấp tập II, NXB Giáo dục. (kí hiệu [a]) − Hamid Chaachoua (2006), Écologie des problèmes de construction dans l’espace (kí hiệu [b]) Sở dĩ chúng tôi chọn hai tài liệu trên để phân tích là bởi các lí do sau: Tài liệu [a] là giáo trình hình học sơ cấp trình bày tương đối đầy đủ về bài toán dựng hình trong không gian so với các giáo trình khác (về dựng hình hoặc hình học sơ cấp) ở bậc đại học. Các giáo trình khác chỉ trình bày dựng hình trong mặt phẳng, hoặc có trình bày dựng hình trong không gian nhưng chỉ nêu hệ tiên đề về dựng hình mà không có một ví dụ hay bài tập nào kèm theo, còn giáo trình [a] ngoài trình bày hệ tiên đề về dựng hình còn có trình bày các ví dụ và các bài tập. Như vậy việc phân tích giáo trình [a] giúp chúng tôi biết được các tổ chức toán học liên quan đến bài toán dựng hình trong không gian. Từ đó, chỉ ra đặc điểm của bài toán dựng hình trong không gian. Tài liệu [b] là bài báo về “Sinh thái của những bài dựng hình trong không gian”. Qua tài liệu này sẽ giúp chúng tôi bổ sung thêm các tổ chức toán liên quan đến bài toán dựng hình trong không gian. Tuy nhiên, trong quá trình phân tích hai tài liệu trên chúng tôi có nhắc tới các khái niệm: Hình hình học và hình biểu diễn. Chính vì thế trước khi đi phân tích hai tài liệu trên chúng tôi trình bày hai khái niệm này. 1.1 Các khái niệm liên quan đến dựng hình trong không gian 1.1.1 Hình hình học Theo nghiên cứu của Phạm Hoàng Nhi thì: Hình hình học là những hình được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất. Các khái niệm hình học như điểm, đường thẳng là sự trừu tượng hóa của đối tượng hiện thực. Các hình hình học chỉ có trong ý thức con người.[17, tr.16] 1.1.2 Hình biểu diễn Theo như Trần Văn Hạo thì hình biểu diễn của một hình trong không gian được hiểu như sau: Có nhiều phương pháp biểu diễn hình không gian lên mặt phẳng […]. Thông thường muốn biểu diễn một hình nào đó, người ta chiếu hình đó lên một mặt phẳng chiếu bằng phép chiếu xuyên tâm hay phép chiếu song song[…]. Ở trường THPT chương trình chỉ hạn chế dùng hình biểu diễn qua phép chiếu song song. [9, tr.76] 1.2 Bài toán dựng hình trong không gian 1.2.1 Bài toán dựng hình trong không gian trong tài liệu [a] Ở tài liệu này, tác giả trình bày dựng hình trong không gian theo phương pháp tiên đề. Hệ tiên đề của dựng hình gồm hai phần, một phần là bao gồm các tiên đề chung về dựng hình trong mặt phẳng và dựng hình trong không gian, phần còn lại là bao gồm các tiên đề dụng cụ. • Tiên đề chung. I. II. Mọi hình đã cho là đã dựng được. Nếu đã dựng được hai (hay nhiều) hình thì hợp các hình đó là đã dựng. Nếu hai hình đã dựng thì ta có thể xác lập rằng hiệu của chúng là một III. tập hợp rỗng hay không. IV. Nếu hiệu của hai hình đã dựng là một tập hợp không rỗng thì hiệu đó là đã dựng. Nếu hai hình đã dựng thì ta có thể xác lập rằng giao của chúng là một V. tập hợp rỗng hay không. VI. Nếu giao của hai hình đã dựng là một tập hợp không rỗng thì giao đó là đã dựng. VII. VIII. Có thể dựng được điểm, cho biết là thuộc một hình đã dựng. Có thể dựng được điểm, cho biết là không thuộc một hình đã dựng. (hình đã dựng không phải là toàn bộ mặt phẳng). [2, tr. 50 – 52] Những tiên đề trên đóng vai trò quan trọng đối với lý thuyết dựng hình. Từ tiên đề I cho ta biết đối tượng nào đã dựng và đối tượng nào chưa dựng, hơn nữa những tiên đề này còn là yếu tố lý thuyết để chứng minh cho quá trình dựng hình mà ta đã thực hiện là đúng đắn, giải thích vì sao có thể thực hiện được các phép dựng đã dựng. Chẳng hạn, khi cần dựng một hình A bao gồm hai hình bộ phận: hình 1 và hình 2 sau khi ta thực hiện dựng hình 1 và dựng hình 2 thì có nghĩa ta đã dựng được hình A (theo tiên đề II), hoặc khi ta đã dựng được một đường tròn thì ta có thể dựng một điểm nằm ngoài đường tròn (hay nằm trên đường tròn) chính là nhờ tiên đề VII và VIII. Đồng thời, các tiên đề này còn góp phần trong việc chứng minh hình đã dựng là thỏa yêu cầu của bài toán. • Tiên đề dụng cụ. Đối với dựng hình trong không gian thì tác giả đưa ra bộ dụng cụ: thước kẻ, compa và hai dụng cụ tưởng tượng ra là thước phẳng và compa cầu. Dựng hình trong không gian dựa trên các tiên đề về dụng cụ sau: 1. Trên mỗi mặt phẳng đã dựng, ta có thể dựng được hình nếu phép dựng hình đó trong mặt phẳng thực hiện được bằng thước và compa. 2. Nếu đã dựng được ba điểm không cùng thuộc một đường thẳng thì có thể dựng được mặt phẳng đi qua các điểm đó. 3. Nếu đã dựng được tâm hình cầu và một điểm nào đó của nó thì có thể dựng được hình cầu đó. [2, tr.115] Các phép dựng được thực hiện nhờ các tiên đề chung I – VIII cùng với các phép dựng được nêu trong các tiên đề về dụng cụ được gọi là những phép dựng hình cơ bản. Từ hệ tiên đề này cho thấy khi phép dựng hình trong không gian được quy về phép dựng hình trên một mặt phẳng nào đó thì phép dựng đó được thực hiện bằng thước và compa, nghĩa là thỏa mãn các tiên đề của thước và compa 1. Như vậy, dựng hình bằng thước kẻ và compa được xem như một bộ phận của dựng hình trong không gian. Định nghĩa bài toán dựng hình (cả trong mặt phẳng lẫn không gian) không nêu ra trong giáo trình này. Tuy nhiên, tác giả chỉ ra yêu cầu của bài toán dựng hình như sau. Vấn đề đặt ra đối với bài toán dựng hình là hãy dựng một hình nào đó với những dụng cụ đã được quy định trước, khi đã cho một hình khác nào đó và đã định rõ một số hệ thức giữa các phần tử của hình muốn dựng với các phần tử của hình đã cho. [2, tr. 54] Để làm rõ hơn về bài toán dựng hình trong không gian, chúng tôi sẽ trình bày các tổ chức toán học liên quan đến dựng hình trong không gian có trong giáo trình này. Tiên đề thước: − Dựng nối liền hai điểm đã dựng. − Dựng đường thẳng đi qua hai điểm đa dựng. − Dựng tia phát xuất từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm đã dựng. Tiên đề compa: − Dựng đường tròn nếu tâm đường tròn và đoạn thẳng bằng bán kính đường tròn đã dựng. − Dựng được bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của một đường tròn và các điểm mút của các cung đó đã dựng. [2, tr. 52 – 53] 1 Trong phần lý thuyết, tác giả trình bày 3 ví dụ thuộc hai kiểu nhiệm vụ: “Dựng một đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước” và “Dựng một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước”.  Kiểu nhiệm vụ Tdt* : “Dựng một đường thẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước” Kỹ thuật τ dt* : − Giả sử dựng được đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán. − Tìm các mối liên hệ giữa đường thẳng cần dựng với các đối tượng khác đã cho. − Chỉ ra hai điểm phân biệt thuộc đường thẳng cần dựng, hoặc một điểm thuộc đường thẳng cần dựng và phương của đường thẳng đó, hoặc đường thẳng cần dựng thuộc hai mặt phẳng nào đó. − Dựng đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt trên, hoặc đi qua một điểm và có phương như trên, hoặc giao tuyến của hai mặt phẳng đã chỉ ra ở trên thì đường thẳng đó là đường thẳng cần dựng. Ví dụ 1: [2, tr.116 – 117] Qua điểm P đã cho, nằm ngoài mặt phẳng (α ) , hãy dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đó. Giải. P β γ N a M b α Hình 1.1 Phân tích. Q Giả sử PM là đường thẳng muốn tìm (hình 1.1). Ta có thể dựng được PM nếu dựng được mặt phẳng ( β ) nào đó đi qua đường thẳng đó. a (α ) ∩ ( β ) . Gọi= Ta sẽ dựng được ( β ) và PM nếu dựng được đường thẳng a. Gọi Q là một điểm trên a khác M. Suy ra a là hình chiếu vuông góc của PQ trên (α ) . Nếu QN ⊂ (α ) thì QP và QM đồng thời vuông góc với QN hoặc đồng thời không vuông góc với QN. Từ đó suy ra cách dựng PM như sau: Cách dựng. − Trong (α ) dựng đường thẳng b tùy ý. − Dựng mặt phẳng ( P, b ) . − Trong ( P, b ) dựng PQ ⊥ b ( Q ∈ b ) . − Trong (α ) , qua điểm Q dựng a ⊥ b . − Dựng mặt phẳng ( P, a ) . − Trong ( P, a ) dựng PM ⊥ a ( M ∈ a ) . Chứng minh. b ⊥ PQ ⇒ b ⊥ ( P, a ) mà b ⊂ (α ) ⇒ (α ) ⊥ ( P, a ) . b ⊥ a Vì  (α ) ⊥ ( P, a )  a PM ⊥ (α ) . Vậy PM là đường thẳng cần dựng. Ta có (α ) ∩ ( P, a ) =⇒  PM ⊥ a  Biện luận. Bài toán đã cho bao giờ cũng có nghiệm và có một nghiệm duy nhất. Nhận xét: Ở ví dụ trên, chúng tôi nhận thấy lời giải bao gồm bốn bước: Phân tích, cách dựng, chứng minh và biện luận. Ở bước phân tích, tác giả sử dụng phương pháp phân tích đi xuống để tìm được đối tượng cần dựng. Để dựng được hình H ta dựng hình H 1 , để dựng hình H 1 ta dựng hình H 2 … sau một số hữu hạn bước dẫn đến dựng hình H n , trong đó hình H n cần dựng là một trong các bài toán cơ bản hoặc các phép dựng hình cơ bản. Và bước cách dựng chỉ là việc trình bày ngược lại tiến trình trên mà thôi. Như vậy, bước phân tích là bước then chốt, đóng vai trò quyết định trong việc tìm ra cách dựng. Bởi vì, bước phân tích cung cấp phương pháp và rèn luyện kỹ năng để tìm ra cách dựng. Đồng thời nó cũng đóng vai trò là yếu tố công nghệ lý thuyết giải thích cho việc tìm ra cách dựng. Vì vậy, nếu bước phân tích vắng mặt thì lời giải trở nên khó hiểu và cách dựng không biết xuất phát từ đâu mà có. *  Kiểu nhiệm vụ Tdiem : “Dựng một điểm thỏa mãn một số điều kiện cho trước”. * Kỹ thuật τ diem : − Giả sử dựng được điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán. − Tìm các mối liên hệ giữa điểm cần dựng với các đối tượng khác đã cho. − Chỉ ra điểm cần dựng thuộc hai đường thẳng, hoặc thuộc một đường thẳng và một mặt phẳng. − Dựng giao điểm của hai đường thẳng trên, hoặc giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng trên thì điểm đó là điểm cần dựng. Ví dụ 2: [2, tr.117] Hai điểm A và B (hình 1.2) cùng nằm về một phía đối với mặt phẳng (α ) . Trong số các điểm của mặt phẳng (α ) , hãy chọn một điểm P sao cho đường gấp khúc APB có độ dài bé nhất. Giải: A B P Bo α B’ Hình 1.2 Giả sử P là một điểm tùy ý của mặt phẳng (α ) . Giả sử B’ là ảnh của điểm B qua phép phản chiếu 2 đối với mặt phẳng (α ) . Rõ ràng ta có. AP + PB = AP + PB ' Như vậy, bài toán đã cho quy về phép dựng trong mặt phẳng một điểm P sao cho đường gấp khúc APB’ ngắn nhất. Hiển nhiên, ta sẽ tìm được nghiệm của bài toán khi đường gấp khúc APB’ biến thành đường thẳng. Như vậy, phép dựng điểm P muốn tìm quy về phép dựng sau đây: 1) Dựng đường thẳng BB0 vuông góc với mặt phẳng (α ) . 2) Trên tia bù với tia BB0 , dựng điểm B’ sao cho đoạn thẳng Bo B ' bằng đoạn thẳng BB0 . 3) Dựng đường thẳng AB ' . 4) Dựng điểm P là giao của đường thẳng AB ' với mặt phẳng (α ) . Điểm P là điểm muốn tìm. Ở ví dụ này, mặc dù tác giả không nói rõ các bước giải tuy nhiên bước phân tích vẫn xuất hiện trong lời giải. Và bước phân tích cũng đóng vai trò tìm ra cách dựng và giải thích cho nguồn gốc xuất phát cách dựng ấy. 2 Phép phản chiếu đề cập trong tài liệu [2] chính là phép đối xứng qua mặt phẳng. Ngoài ra, ở phần bài tập có thêm bốn kiểu nhiệm vụ, đó là những kiểu nhiệm vụ sau: − Dựng mặt phẳng thỏa mãn một số điều kiện cho trước. − Dựng mặt cầu thỏa mãn một số điều kiện cho trước. − Dựng hình chóp thỏa mãn một số điều kiện cho trước. − Dựng hình lăng trụ thỏa mãn một số điều kiện cho trước. Nhận xét: Chúng tôi nhận thấy dựng hình trong không gian được trình bày trong giáo trình [a] có những đặc điểm sau: Bài toán dựng hình trong không gian được xây dựng theo phương pháp tiên đề, mỗi phép dựng thực hiện được (hay dựng được) không phải hiểu theo nghĩa là vẽ được trên giấy mà những phép dựng này thỏa mãn hệ tiên đề về dựng hình. Bản chất của dựng hình trong không gian là nhằm chứng minh sự tồn tại của một hình hình học có những tính chất nào đó. Bài toán dựng hình trong không gian thường được giải theo 4 bước: Phân tích, cách dựng, chứng minh và biện luận. Phân tích nhằm mục đích để tìm ra mối liên hệ giữa hình cần dựng với các đối tượng còn lại của hình đã cho. Cách dựng là chỉ ra một dãy các phép dựng để sau khi thực hiện xong thì thu được hình cần dựng. Tiếp theo, là chứng minh hình đã dựng là thỏa mãn và cuối cùng là biện luận số nghiệm hình của bài toán. Bước phân tích đóng một vài trò quan trọng và có tính quyết định trong việc tìm ra cách dựng. Hơn nữa, bước phân tích còn là yếu tố công nghệ – lý thuyết của bước cách dựng. Chúng tôi gọi các bài toán dựng hình trên là bài toán dựng hình theo tiên đề (DHTTD). 1.2.2 Bài toán dựng hình trong không gian trong tài liệu [b] Tài liệu [b] là bài báo về “Sinh thái của những bài dựng hình trong không gian”. Trong tài liệu này, tác giả không trình bày định nghĩa dựng hình trong không gian. Thế nhưng, thông qua các kiểu nhiệm vụ liên quan đến dựng hình trong không gian mà tác giả trình bày trong bài báo chúng tôi nhận thấy dựng hình trong không gian ở tài liệu này có thêm một số kiểu nhiệm vụ nữa. Hai hạng mục của bài toán dựng hình − Bài toán mà nhiệm vụ được yêu cầu là dựng giao của 2 đối tượng hình học, kí hiệu là “PC – intersect ”. − Những bài toán mà nhiệm vụ được yêu cầu là dựng một đối tượng hình học thỏa những điều kiện cho trước, kí hiệu “PC – Obj/cond”. Chúng tôi phân biệt hai kiểu bài tập với lí do sau. Bài toán dựng hình trong không gian là kiểu “PC – Obj/cond” ở sách của giai đoạn 1 và kiểu “PC – intersect” trong sách giáo khoa hiện nay. [21, tr.28] Dựng hình “PC- Obj/cond” chính là dựng hình theo tiên đề như ở tài liệu [a]. Dựng hình “PC – intersect” là dựng giao của hai hình mà cụ thể là:  Dựng giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.  Dựng giao tuyến của hai mặt phẳng.  Dựng thiết diện của một hình khi cắt bởi một mặt phẳng. Đứng ở phương diện dựng hình trong không gian theo tiên đề thì bài toán dựng giao của hai hình là đã được dựng. Vì rằng theo tiên đề VI (ở giáo trình [a]) thì khi đã dựng được hai đối tượng thì có nghĩa giao của chúng cũng đã được dựng. Tuy nhiên, vấn đề là dựng như thế nào? Làm thế nào để vẽ (xác định) được giao đó trên hình biểu diễn? Mục đích của dựng giao hai hình là đi trả lời những câu hỏi trên. Dựng giao của hai hình chính là đưa ra một dãy hữu hạn các phép dựng mà cho phép vẽ (xác định) được giao của hai hình đó trên hình biểu diễn. “ Bài toán luôn được gắn liền với khối hình học”. [21, tr.30] Bài toán dựng hình này bước phân tích ít có cơ hội xuất hiện. Chẳng hạn, muốn dựng giao tuyến của hai mặt phẳng thì ta chỉ việc tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, hoặc tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương của giao tuyến mà không cần phân tích để tìm điều kiện tồn tại của giao tuyến nữa. Để thuận tiện trong việc gọi tên, chúng tôi gọi các bài toán dựng hình “PC – intersect” là bài toán dựng hình tương giao. Nhận xét: Qua phân tích trên, cho thấy có thêm một dạng toán nữa của bài toán dựng hình trong không gian. Dạng toán này nhấn mạnh vai trò của thực hành vẽ hình, đối tượng của bài toán dựng hình không gian là hình biểu diễn. Và kết quả của bài toán dựng hình trong không gian phải cho phép dựng được (xác định) đối tượng cần dựng trên hình biểu diễn. 1.3 Kết luận chung Như vậy, dựng hình trong không gian có hai nhóm sau đây:  Nhóm 1: Dựng hình theo tiên đề. Đây là các bài toán dựng hình mà không gắn với khối hình học. Đối tượng nghiên cứu của nó là các hình hình học, các phép dựng hình thực hiện được hay không là dựa trên các tiên đề của dựng hình. Bài toán thường được giải theo bốn bước: phân tích, cách dựng, chứng minh và biện luận. Bước phân tích đóng vài trò quan trọng trong việc giải bài toán, nó chính là bước thiết lập các mối quan hệ giữa đối tượng cần dựng với các đối tượng khác để từ đó tìm ra cách dựng. Đồng thời bước phân tích còn là yếu tố công nghệ - lý thuyết cho bước cách dựng.  Nhóm 2: Dựng hình tương giao.