Tài liệu Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ NINH BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYẾN TÍNH CẤP HAI TRONG MIỀN VỚI BIÊN TRƠN LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Giáo viên hướng dẫn: PGS. TS HÀ TIẾN NGOẠN HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình của thầy trong suốt quá trình làm luận văn đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, các thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Một số kết quả đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kì công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1. Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Không gian C ` (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Không gian C `,γ (Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 . . . . . . . . . 6 1.2. Các định lí điểm bất động Leray-Schauder . . . . . . . . 7 1.2.1. Trường hợp đặc biệt của Định lí Leray-Schauder . 7 1.2.2. Dạng tổng quát của Định lí Leray-Schauder . . . 8 1.3. Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Ứng dụng của Định lí Leray-Schauder . . . . . . . . . . . 11 1.4.1. Ứng dụng của trường hợp đặc biệt . . . . . . . . 11 1.4.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình . . . . 13 1.5. Các bước kiểm tra điều kiện (1.15) và (1.16) . . . . . . . 14 1 2 2 Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn 16 2.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai 16 2.2. Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền . . . . . . . 17 2.3. Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một bên trong miền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một ở trên biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai phụ thuộc vào việc đánh giá chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một của nghiệm ở trong lân cận biên của miền. Giả thiết về tính trơn của biên miền được xét sẽ đưa tới khả năng thực hiện được đánh giá nói trên. Do vậy, nhờ sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài: “Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn”. Bố cục của luận văn gồm 2 chương : Chương 1 của luận văn trình bày định nghĩa không gian Holder, các định lí về điểm bất động Leray-Schauder và áp dụng vào bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai đưa tới việc đánh giá tiên nghiệm. Chương 2 của luận văn tập trung trình bày bước 1 và bước 4 trong bốn bước đánh giá tiên nghiệm dẫn tới tính giải được của phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn. Tài liệu tham khảo chính của Luận văn là các chương 11 và 13 của tài liệu [4]. 4 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày sự tồn tại của nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tổng quan về sự tồn tại nghiệm bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Bài toán Dirichlet đối với phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được nghiên cứu tổng quan về bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai trong miền biên trơn. 6. Những đóng góp mới của đề tài Luận văn là một tài liệu tham khảo về chuyên đề này. Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Holder 1.1.1. Không gian C ` (Ω) Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω. Cho x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Ω, đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αn ), αj ∈ N với |α| = α1 + α2 + ... + αn . Ta kí hiệu trong đó Dα u = D1α1 D2α2 ...Dnαn u Dj u = ∂u ∂xj khi đó C(Ω) = C 0 (Ω) là không gian các hàm số liên tục trên Ω với chuẩn kukC(Ω) = kuk0;Ω = sup |u(x)| x∈Ω Từ đó ta cũng định nghĩa được C ` (Ω) như sau  C ` (Ω) = u(x); Dα u ∈ C 0 (Ω), ∀α : |α| ≤ ` ; 5 (1.1) 6 và không gian C ` (Ω) được trang bị chuẩn kukC ` (Ω) = kuk`;Ω = X sup |Dα u(x)|. (1.2) |α|≤` Ω Các không gian C ` (Ω) là các không gian Banach. 1.1.2. Không gian C `,γ (Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 Trước tiên ta định nghĩa không gian C 0;γ (Ω) như sau ( ) |u(x) − u(y)| C 0; γ (Ω) = u ∈ C 0 (Ω); [u]γ;Ω = sup < +∞ |x − y|γ x,y∈ Ω, x6=y và được trang bị chuẩn cho C 0; γ (Ω) như sau kukγ;Ω = kuk0;Ω + [u]γ;Ω . (1.3) Từ đó ta có định nghĩa của không gian C `,γ (Ω) với 0 ≤ γ ≤ 1 bởi điều kiện n o ` α C (Ω) = u ∈ C (Ω); [D u]γ,Ω < + ∞; ∀ |α| = ` , `,γ và trang bị chuẩn sao cho C `,γ (Ω) kuk`,γ,Ω = kuk`;Ω + X [Dα u]γ,Ω . (1.4) |α|=` Các không gian C `,γ (Ω) là các không gian Banach. Ta có C `,0 (Ω) = C ` (Ω) và C 0,` (Ω) là không gian các hàm thỏa mãn điều kiện Lipschitz trong Ω. 7 1.2. Các định lí điểm bất động Leray-Schauder 1.2.1. Trường hợp đặc biệt của Định lí Leray-Schauder Định lý 1.1. ([4]) Giả sử T là ánh xạ compact từ không gian Banach X lên chính nó, và giả thiết tồn tại hằng số M sao cho kxkX < M (1.5) với mọi x ∈ X và σ ∈ [0, 1] thỏa mãn x = σT x. Khi đó T có ít nhất một điểm bất động. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử M = 1. Định nghĩa ánh xạ T ∗ được cho bởi   Tx ∗ T x=  Tx kT xk nếu kT xk ≤ 1, nếu kT xk ≥ 1. Khi đó T ∗ là ánh xạ liên tục của hình cầu đơn vị đóng B trong X vào chính nó. Khi đó T B là tiền compact cũng như T ∗ B. Suy ra ánh xạ T ∗ có một điểm bất động x. Ta thấy x còn là điểm bất động của T . Thật vậy, giả sử kT xk ≥ 1. Khi đó, x = T ∗ x = σ T x nếu σ = 1/ kT xk, và kxk = kT ∗ xk = 1, mâu thuẫn với (??) với M = 1. Khi đó, kT xk < 1 và do đó x = T ∗ x = T x. Chú ý: Từ chứng minh Định lí 1.1 ta suy ra nếu T là ánh xạ compact bất kì của không gian Banach X vào chính nó thì với σ ∈ (0, 1] nào đó, ánh xạ σT có một điểm bất động. Hơn nữa, nếu đánh giá (??) là đúng thì σT có một điểm bất động với mọi σ ∈ (0, 1]. 8 1.2.2. Dạng tổng quát của Định lí Leray-Schauder Bổ đề 1.1. ([4]) Giả sử B = B1 (0) là hình cầu đơn vị trong X và giả sử T là ánh xạ liên tục của B vào X sao cho T B là tiền compact và T ∂B ⊂ B. Khi đó T có một điểm bất động. Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ T ∗ bởi   Tx nếu kT xk ≤ 1, ∗ T x=  Tx nếu kT xk ≥ 1. kT xk Rõ ràng T ∗ là ánh xạ liên tục từ B vào chính nó và T B là tiền compact, cũng như với T ∗ B. Khi đó, T ∗ có một điểm bất động x và để T ∂B ⊂ B, ta có kxk < 1 và khi đó x = T x. Định lý 1.2. ([4]) Giả sử X là không gian Banach và T là ánh xạ compact từ X × [0, 1] vào X sao cho T (x, 0) = 0 với mọi x ∈ X. Giả sử tồn tại hằng số M sao cho kxkX < M (1.6) với mọi (x, σ) ∈ X × [0, 1] thỏa mãn x = T (x, σ). Khi đó, ánh xạ T1 của X lên chính nó được cho bởi T1 x = T (x, 1) có một điểm bất động. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta giả sử M = 1. Với 0 < ε ≤ 1, ta định nghĩa ánh xạ T ∗ từ B vào X bởi     T x , 1−kxk nếu − ε ≤ kxk ≤ 1, kxk ε T ∗ x = Tε∗ x =  T 1 , 1
nếu kxk < 1 − ε. 1−ε 9 Ánh xạ T ∗ là liên tục, T ∗ B là tiền compact bởi tính compact của T và T ∗ ∂B = 0. Khi đó theo Bổ đề 1.1, ánh xạ T ∗ có một điểm bất động x(ε). Ta đặt   k(1 − kxk k) nếu 1 − 1 ≤ kxk k ≤ 1,
k 1 1 ε = k ; x k = x k ; σk = 1 nếu kxk k < 1 − k1 , với k = 1, 2, . . . . Tính compact của T được thừa nhận bởi dãy con {(xk , σk )} hội tụ đến (x, σ) trong X × [0, 1]. Khi đó, σ = 1. Nếu σ < 1, ta phải có kxk k ≥ 1 − 1/k với k đủ lớn và khi đó kxk = 1, x = T (x, σ), mâu thuẫn với Bổ đề 1.1. Nếu σ = 1, ta có T liên tục khi ∗ T1/k xk → T (x, 1) và khi đó x vẫn là điểm bất động của T1 . 1.3. Bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai Phương trình á tuyến tính cấp hai có dạng Qu = 0, trong đó Qu = aij (x, u, Du)Dij u + b(x, u, Du), aij = aji , (1.7) với x = (x1 , ...., xn ) chứa trong miền Ω của Rn , n ≥ 2 và hàm u thuộc C 2 (Ω). Hệ số của Q, cụ thể là hàm aij (x, z, p), i, j = 1, ..., n, b(x, z, p) được xác định với mọi giá trị của (x, z, p) trong tập Ω × R × Rn . Hai toán tử trong công thức (??) được gọi là tương đương nếu một toán tử là bội của toán tử kia cho bởi một hàm cố định dương trong Ω × R × Rn . 10 Chúng ta áp dụng các định nghĩa sau : Giả sử U là tập con của Ω × R × Rn . Khi đó Q là elliptic trong U   nếu ma trận hệ số aij (x, z, p) là dương với mọi (x, z, p) ∈ U . Ta kí hiệu λ(x, z, p), Λ(x, z, p) lần lượt là giá trị riêng cực tiểu và cực đại của  ij  a (x, z, p) , nghĩa là 0 < λ(x, z, p)|ξ|2 ≤ aij (x, z, p)ξi ξj ≤ Λ(x, z, p)|ξ|2 (1.8) với mọi ξ = (ξ1 , ....., ξn ) ∈ Rn \ {0} và mọi (x, z, p) ∈ U . Hơn nữa, nếu Λ/λ là bị chặn trong U , ta sẽ gọi Q là elliptic đều trong U . Nếu Q là elliptic (elliptic đều) trong cả tập Ω × R × Rn , khi đó ta nói đơn giản rằng Q là elliptic (elliptic đều) trong Ω. Nếu u ∈ C 1 (Ω) và ma trận  ij  a (x, u(x), Du(x)) là dương với mọi x ∈ Ω, ta nói Q là elliptic đối với u. Ta còn định nghĩa hàm vô hướng, bởi E(x, z, p) = aij (x, z, p)pi pj . (1.9) Nếu Q là elliptic trong U , từ (??) ta có 0 < λ(x, z, p)|p|2 6 E(x, z, p) 6 Λ(x, z, p)|p|2 (1.10) với mọi (x, z, p) ∈ U . Toán tử Q có dạng bảo toàn nếu tồn tại một hàm vectơ phân biệt Λ(x, z, p) = (A1 (x, z, p), ...., An (x, z, p)) và một hàm vô hướng B(x, z, p) sao cho Qu = div A(x, u, Du) + B(x, u, Dv), u ∈ C 2 (Ω); (1.11) 11 nghĩa là, trong (??) 1 aij (x, z, p) = (Dpi Aj (x, z, p) + Dpj Ai (x, z, p)). 2 1.4. Ứng dụng của Định lí Leray-Schauder 1.4.1. Ứng dụng của trường hợp đặc biệt Để áp dụng Định lí 1.1 vào bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính, ta chọn β ∈ (0, 1) và lấy không gian Banach X vào không gian Holder X = C 1, β (Ω), với Ω là miền bị chặn trong Rn . Lấy Q là toán tử được cho bởi Qu = aij (x, u, Du)Dij u + b(x, u, Du) (1.12)   và giả sử Q là elliptic trong Ω, khi đó, ma trận hệ số aij (x, z, p) là không âm với mọi (x, z, p) ∈ Ω × R × Rn . Ta thừa nhận với α ∈ (0, 1) nào đó thì các hệ số aij , b ∈ C α (Ω × R × Rn ), còn biên ∂Ω ∈ C 2, α và ϕ là hàm cho trước trong C 2, α (Ω). Với mọi v ∈ C 1,β (Ω), toán tử T xác định bởi u = T v là nghiệm duy nhất trong C 2,αβ (Ω) của bài toán Dirichlet tuyến tính. aij (x, v, Dv)Dij u + b(x, v, Dv) = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω. (1.13) Tính giải được của bài toán (??) được đảm bảo bởi sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai. Tính giải được của bài toán Dirichlet, Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω trong không gian C 2, α (Ω) được thừa nhận tương đương với tính giải được của u = T u 12 trong không gian Banach Z = C 1, β (Ω). Phương trình u = σT u trong X tương đương với bài toán Dirichlet Qσ u = aij (x, u, Du)Dij u + σb(x, u, Du) = 0 (1.14) trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω. Áp dụng Định lí 1.1, ta có thể phát biểu định lí tồn tại sau đây Định lý 1.3. ([4]) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn và giả thiết Q là elliptic trong Ω với hệ số aij , b ∈ C α (Ω × R × Rn ), 0 < α < 1. Giả sử ∂Ω ∈ C 2,α và ϕ ∈ C 2,α (Ω). Khi đó, với β > 0 nào đó mà tồn tại một hằng số M , không phụ thuộc vào u và σ, sao cho với mọi nghiệm C 2,α (Ω) của bài toán Dirichlet, Qσ u = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1 đều thỏa mãn bất đẳng thức sau kukC 1,β (Ω) < M, (1.15) thì bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω là giải được trong C 2,α (Ω). Chứng minh. Để chứng minh định lí trên cần chỉ ra rằng toán tử T là liên tục và compact. Từ đánh giá Schauder, ánh xạ T là bị chặn từ C 1, β (Ω) lên tập bị chặn C 2,αβ (Ω) và là tiền compact trong C 2 (Ω) và C 1, β (Ω). Để chỉ ra tính liên tục của T , ta lấy vm , m = 1, 2...... hội tụ đến v trong C 1, β (Ω). Từ đó dãy {T vm } là tiền compact trong C 2 (Ω), mỗi dãy con là một dãy con hội tụ. Giả sử {T v m } là dãy con hội tụ trong C 2 (Ω). 13 Khi đó aij (x, v, Dv)Dij u + b(x, v, Dv)  = lim aij (x, vm , Dvm )Dij T vm + b(x, vm , Dvm )} = 0, m→∞ Ta có u = T v và do đó, dãy {T vm } hội tụ đến u. 1.4.2. Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình Định lí 1.1 là trường hợp đặc biệt của Định lí 1.2 khi mà T (x, σ) = σ T1 x. Lấy Q là toán tử trong công thức (??) và giả sử Q, Ω và ϕ thỏa mãn giả thuyết của Định lí 1.3. Để áp dụng Định lí 1.2 vào bài toán Dirichlet, Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω, ta gắn bài toán vào họ sau, Qσ u = aij (x, u, Du; σ)Dij u + b(x, u, Du; σ) = 0 trong Ω, u = σϕ trong ∂Ω, 0 ≤ σ ≤ 1, sao cho : 1. Q1 = Q, b(x, z, p; 0) = 0; 2. toán tử Qσ là elliptic trong Ω với mọi σ ∈ [0, 1]; 3. các hệ số aij , b ∈ C 0 (C α (Ω × R × Rn ); [0, 1]), có nghĩa là aij , b ∈ C α (Ω × R × Rn ) với mỗi σ ∈ [0, 1] và ánh xạ từ [0, 1] vào C α (Ω × R × Rn ), các hàm số aij , b là liên tục. Với mọi v ∈ C 1, β (Ω), σ ∈ [0, 1] toán tử T xác định bởi u = T (v, σ) là nghiệm duy nhất trong C 2, αβ (Ω) của bài toán Dirichlet tuyến tính, aij (x, v, Dv; σ)Dij u + b(x, v, Dv; σ) = 0 14 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω . Từ điều kiện (1) bên trên ta thấy tính giải được của bài toán Dirichlet, Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω , trong không gian C 2,α (Ω) sẽ tương đương với việc giải phương trình u = T (u, 1) trong không gian Banach C 1, β (Ω) và T (u, 0) = 0 với mọi v ∈ C 1, β (Ω). Tính liên tục và compact của ánh xạ T được đảm bảo bởi điều kiện (2) và (3), là tương đương với việc chứng minh Định lí 1.1. Khi đó ta có thể kết luận Định lí 1.2 là tổng quát của Định lí 1.1. Định lý 1.4. ([4]) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω ∈ C 2, α và giả sử ϕ ∈ C 2,α (Ω). Giả sử {Qσ , 0 ≤ σ ≤ 1} là họ toán tử thỏa mãn các điều kiện (1), (2), (3) bên trên và giả sử với β > 0 nào đó tồn tại một hằng số M không phụ thuộc vào u và σ, sao cho với mọi nghiệm C 2,α (Ω) của bài toán Dirichlet Qσ u = 0 trong Ω, u = σϕ trên ∂Ω đều thỏa mãn bất đẳng thức sau kukC 1, β (Ω) < M. (1.16) Khi đó bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω là giải được trong C 2,α (Ω). 1.5. Các bước kiểm tra điều kiện (??) và (??) Để chứng minh tính giải được của bài toán Dirichlet Qu = 0 trong Ω, u = ϕ trên ∂Ω ta cần chứng minh đánh giá tiên nghiệm (??) trong C 1,β (Ω) với β > 0 nào đó. Ta phải trải qua 4 bước. Bước 1. Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền; 15 Bước 2. Đánh giá độ lớn của đạo hàm cấp một bên trong miền; Bước 3. Đánh giá độ lớn của đạo hàm cấp một ở trên biên; Bước 4. Đánh giá nửa chuẩn Holder đối với đạo hàm cấp một. Nội dung chính của chương 2 là thực hiện bước 1 và bước 4 trong các đánh giá trên. Chương 2 Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai trong miền với biên trơn 2.1. Bài toán Dirichlet cho phương trình á tuyến tính cấp hai Trong chương này ta sẽ đi đánh giá phương trình á tuyến tính cấp hai dạng tổng quát Qu = aij (x, u, Du) Dij u + b(x, u, Du) = 0 (2.1) Trong các phần tiếp theo, luận văn trình bày bước 1 và bước 4 trong đánh giá tiên nghiệm được nêu ở cuối chương 1. 16 17 2.2. Đánh giá độ lớn của nghiệm trên toàn miền Định lý 2.1. ([4]) Giả sử u, v ∈ C 0 (Ω) ∩ C 2 (Ω) thỏa mãn Qu ≥ Qv trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω và toán tử Q thỏa mãn các điều kiện sau đây 1. Toán tử Q là elliptic đều địa phương đối với u hoặc v; 2. Các hệ số aij không phụ thuộc vào z; 3. Hệ số b là không giảm theo z với mỗi (x, p) ∈ Ω × Rn 4. Các hệ số aij , b là khả vi liên tục đối với biến p trong Ω × R × Rn . Khi đó, u ≤ v trong Ω. Hơn nữa, nếu Qu ≥ Qv trong Ω, u ≤ v trên ∂Ω và các điều kiện (1), (2) và (3) đúng (điều kiện (4) không nhất thiết), ta có bất đẳng thức ngặt u < v trong Ω. Chứng minh. Giả sử lấy Q là elliptic đối với u. Khi đó, ta có Qu − Qv = aij (x, Du)Dij (u − v) + (aij (x, Du) − aij (x, Dv))Dij v + b(x, u, Du) − b(x, u, Dv) + b(x, u, Dv) − b(x, v, Dv) ≥ 0 được viết bởi w =u−v aij (x) = aij (x, Du)  ij  a (x, Du) − aij (x, Dv) Dij v + b(x, u, Du) − b(x, u, Dv) = bi (x)Di w Ta thấy Lw = aij (x)Dij w + bi Di w > 0