Bài toán cơ - nhiệt

  • Số trang: 12 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 112 |
  • Lượt tải: 0
dinhthithuyha

Đã đăng 3359 tài liệu

Mô tả:

BÀI TOÁN CƠ - NHIỆT Với chất khí 1. Nguyên tắc tư duy các bài toán cơ - nhiệt: Các bài toán cơ nhiệt thường có nút thắt là mối quan hệ giữa các đại lượng cơ học và đại lượng nhiệt. Các mối quan hệ này thường tập trung ở 2 dạng quan hệ: 1.1. Quan hệ lực – áp suất: Những bài toán này thường dựa trên quan hệ giữa áp lực và áp suất, trong đó áp lực thì là hợp lực của các loại lực cơ học (trọng lực, lực đàn hồi, lực ma sát, lực quán tính...) trong điều kiện cân bằng của pitton, và áp suất mà khối khí nhận được được xác định thông qua áp lực. Vì vậy để giải quyết các bài toán dạng này, chỉ cần nắm vững: - Các loại lực. - Mối quan hệ giữa áp suất và áp lực. - Điều kiện cân bằng của chất điểm, vật rắn. - Các định luật, phương trình của chất khí. 1.2. Quan hệ năng lượng: Những bài toán này thường có quan hệ cơ - nhiệt thông qua công cơ học do khối khí và hệ cơ học bên ngoài thực hiện và nhận tương ứng với nhau. Với những bài toán này để xử lý cần nắm vững những kiến thức: - Định lý động năng. - Định luật biến thiên và bảo toàn năng lượng. - Định luật bảo toàn động lượng. - Nguyên lý I Nhiệt động lực học và cách tính công của khối khí. - Cách tính công của các lực đặc biệt. 2. Một số bài tập ví dụ: 2.1. Ví dụ 1: Một pittông linh động có khối lượng m được treo trên một lò xo, chia thể tích của một xi lanh đặt thẳng đứng thành hai phần. Tại vị trí cân bằng, độ cao phần dưới của xi lanh là H 0 còn độ dãn của lò xo khi đó là x0 . ở phần dưới của -1- xi lanh người ta tiêm vào n mol nước. Sau khi toàn bộ nước bay hơi , pittông dịch chuyển lên phía trên một đoạn x1 x0  3 / 2 . Hãy tìm: 1. Nhiệt độ đã ổn định của hơi; 2. Công mà hơi thực hiện. Bỏ qua sự truyền nhiệt qua thành xi lanh. Giải: Điều kiện cân bằng cơ học khi chưa tiêm nước vào là mg kx0 , Trong đó k là độ cứng của lò xo. Sau khi nước bay hơi hết và trạng thái cân bằng thứ hai đã được xác lập, thể tích của hơi là: Vn  H 0  x0  S , Ở đây S là diện tích của tiết diện bên trong của xi lanh. áp suất của hơi khi đó là: ph  mg  kx0   1 mg  . S S Coi hơi nước như là một khí lý tưởng, từ phương trình trạng thái ta tìm được nhiệt độ của hơi Th  phVh mg  H 0  x0   nR nR Công mà hơi thực hiện dùng để tăng làm tăng thế năng của pittông và lò xo. Nếu lấy gốc thế năng của pittông tại vị trí cân bằng của nó khi chưa có nước trong xi lanh, thì thế năng tổng cộng của pittông và lò xo tại thời điểm ban đầu bằng: W1  kx02 mgx0  . 2 2 Khi đó thế năng tại trạng thái cuối là:   kx02   1 mgx0  2  1  mgx0  . 2 2 2 W2  Công mà hơi thực hiện đúng bằng độ biến thiên thế năng Ah W2  W1   2 mgx0 9  mgx0 2 8 2.2. Ví dụ 2: Hai xi lanh cách nhiệt giống hệt nhau được nối với nhau bằng một ống cách nhiệt có kích thước nhỏ, trên ống nối có lắp một van K. Lúc đầu K đóng. Trong xi lanh 1, dưới pit-tông khối lượng M, chứa một lượng khí -2- lý tưởng đơn nguyên tử có khối lượng mol µ, nhiệt độ T 0. Trong xi lanh 2 có pit-tông khối lượng m = M/2 và không chứa khí. Phần trên của pit-tông trong hai xi lanh là chân không. Sau đó van K được mở để khí từ xilanh 1 tràn qua xi lanh 2. Xác định nhiệt độ của khí sau khi khí đã cân bằng, biết rằng khi đó phần trên của pit-tông trong xi lanh 2 vẫn còn khoảng trống. Cho νµ/M = 0,1, với ν là số mol khí; ma sát giữa pit-tông và xi lanh là rất nhỏ. Giải: Khi K mở, toàn bộ lượng khí chuyển qua xi lanh 2. Kí hiệu: H0 – độ cao cột khí trong bình 1 khi K chưa mở; H và T – độ cao và nhiệt độ cột khí trong xi lanh 2 khi K mở và khí đã cân bằng. Áp dụng nguyên lí thứ nhất nhiệt động lực học có: 3 nm g n R(T  T0 ) MgH 0  mgH  (H 0  H ) 2 2 Trước khi K mở, ở xi lanh 1: P0  Mg n ;V0 H 0 S  MgH0 = νRT0  gH 0  RT0 S M Sau khi K mở và khí đã cân bằng, ở xi lanh 2: gH  Vậy: n RT m 3 nm n n n R(T  T0 ) n R(T0  T )  ( RT0  RT ) 2 2 M m nm 5M 0,98T Hay: T T0 0 2nm 1 5M 1 2.3. Ví dụ 3: Một xi lanh cách nhiệt nằm ngang được chia thành hai phần nhờ một pit-tông mỏng dẫn nhiệt. Pit-tông được nối với một thành ở đầu xi lanh bằng một lò xo nhẹ. Ở hai bên của pit-tông đều có ν mol khí lí tưởng đơn nguyên tử. Xi lanh có chiều dài 2ℓ, chiều dài của lò xo lúc chưa dãn là ℓ/2. Ở trạng thái ban đầu lò xo bị dãn một đoạn là X và nhiệt độ của khí trong hai phần của xi lanh là T. Sau đó, người ta đục một lỗ nhỏ qua thành của pit-tông. Xác định độ biến thiên nhiệt độ của khí trong xi lanh ΔT sau khi khí trong xi lanh đã cân bằng. Bỏ qua nhiệt lượng hấp thụ bởi xilanh, pit-tông, lò xo và ma sát giữa pit-tông và xi lanh. -3- Giải: Ở trạng thái đầu, lực đàn hồi của lò so cân bằng với lực tác động lên pit-tông gây ra bởi độ chênh lệch về áp suất ở hai bên của pit-tông. n RT  3l (  x) 2 n RT  kx l (  x) 2 � � n RT � 1 1 � � k  � � x � l  x 3l  x � �2 2 � Sau khi pit-tông thủng, áp suất hai bên pit-tông cân bằng, độ dãn của lò xo bằng không. Toàn bộ năng lượng từ thế năng đàn hồi dự trữ trong lò xo biến thành nội năng của khí, nên: kx 2 3  2vRDT 2 2 � � kx 2 x � 1 1 � 2x l  2x  �  T T Vậy: DT  � 6n R 6 � l  x 3l  x � 3 (l  2 x)(3l  2 x) �2 2 � 2.4. Ví dụ 4: Một xylanh đặt thẳng đứng, bịt kín hai đầu, được chia làm hai phần bởi một pittông nặng cách nhiệt. Cả hai bên pittông đều chứa cùng một lượng khí lý tưởng. Ban đầu khi nhiệt độ khí của hai phần như nhau thì thể tích phần khí ở trên pittông gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần dưới pittông. Hỏi nếu nhiệt độ của khí ở phần trên pittông được giữ không đổi thì cần phải tăng nhiệt độ khí ở phần dưới pittông lên bao nhiêu lần để thể tích khí ở phần dưới pittông sẽ gấp n = 2 lần thể tích khí ở phần trên pittông ? Bỏ qua ma sát giữa pittông và xylanh. Giải: Lượng khí ở 2 phần xylanh là như nhau nên: ' ' ' PV P V P V P V m .R  1 1  2 2  1 1  2 2 m T1 T1 T1 T2 Vì V1  nV2 nên P2  nP1 ' ' Theo giả thiết: V1  V2 / n , suy ra: T2 P2'  n ' (1) T1 P1 Để tính P2 P1 ' ' ta dựa vào các nhận xét sau: -4- ' Hiệu áp lực hai phần khí lên pittông bằng trọng lượng Mg của pittông: ' ' (P2  P1 )S Mg (P2  P1 )S P2'  P1'  P2  P1  (n  1)P1 P2'  P1'  (n  1)P1 (2) Từ phương trình trạng thái của khí lí tưởng ở phần trên của pittông: ’ ’ P1V1 = P1 V1 ' V  P1 P1 . 1 V1 ' Thay vào (2), ta suy ra: P2' V1'  1  ( n  1) (3) P1' V1 ' V Để tìm 1 ta chú ý là tổng thể tích 2 phần khí là không đổi: V1 V1+V2 = V1’+V2’ V V1  1  V1'  nV1' n  V1' 1  V1 n P2' 1 2n  1 Thay vào (3) ta được: '  1  (n  1)  P1 n n T2 P2'  n  2n  1  3 . Thay vào (1) ta có kết quả: T1 P1' 2.5. Ví dụ 5: Một xilanh chiều dài 2l, bên trong có một pittông có tiết diện S. Xilanh có thể trượt có ma sát trên mặt phẳng ngang với hệ số ma sát  (hình vẽ). Bên trong xilanh, phía bên trái có một khối khí ở nhiệt độ T0 và áp suất bằng áp suất khí quyển bên ngoài P 0, pittông cách đáy khoảng l. Giữa bức tường thẳng đứng và pittông có một lò xo nhẹ độ cứng K. Cần phải tăng nhiệt độ của khối khí trong xi lanh lên một lượng T bằng bao nhiêu để thể tích của nó tăng lên gấp đôi, nếu ma sát giữa xi lanh và pittông có thể bỏ qua. Khối lượng tổng cộng của xilanh và pittông bằng m. Giải - Vì áp suất bên trong và bên ngoài là bằng nhau nên ban đầu lò xo không biến dạng 1- Trường hợp 1: Fms �kl � mg �kl . Khi đó xi lanh sẽ đứng yên Gọi T là nhiệt độ cuối cùng của khối khí thì: -5- kl � � P0  � �2Sl � � kl �. P0 Sl � S�  � T  2T0 � 1 � T0 T � SP0 � � 2kl � 1 Từ đó: T  T  T0  T0 � �ng. � SP0 � 2- Trường hợp 2: mg  kl . a- Gọi x là độ nén cực đại của lò xo. Pittông còn đứng yên cho đến khi kx  mg � x  mg k . Gọi T1 là nhiệt độ của khối khí tại thời điểm lò xo nén cực đại. P 1 là áp suất chất khí trong xi lanh ở thời điểm này thì: P1S  P0 S  kx  P0 S  mg . � P1  P0  mg S - Áp dụng phương trình trạng thái có: mg � � P0   l  x S � � P0 Sl � S �  T0 T1 � mg � � mg � � T1  �1  1 T0 � � � � kl � � SP0 � +) Khi T > T1 thì pittông bắt đầu dịch chuyển, bắt đầu từ thời điểm này áp suất chất khí trong xi lanh là không đổi. Ta có: T1 S  l  x  T 1� x�  � 1  � 1 � T S �2l T 2� l � �T  � mg � 2T1  2T0 � 1 T0 � mg P S 0 � � 1 kl Từ đó tìm được: � 2mg � T  T  T0  T0 � 1 � SP0 � � 2.6. Ví dụ 6: Một xi lanh đặt nằm ngang, bên trong có một pittông ngăn xi lanh thành hai phần: phần bên trái chứa khí lý tưởng đơn nguyên tử, phần bên phải là chân không. Hai lò xo k1 và k2 gắn vào pittông và xylanh như hình vẽ. Pittông được giữ ở vị trí mà cả -6- hai lò xo đều chưa bị biến dạng, trạng thái khí lúc đó là (p1, V1, T1). Giải phóng pittông thì khi pittông ở trạng thái cân bằng, trạng thái khí là (p 2, V2, T2) với V2 = 3V1. Bỏ qua các lực ma sát. Xylanh, pittông và các lò xo đều cách nhiệt. Tính tỉ số p2 T2 và p1 T1 Giải Khi pittông ở vị trí cân bằng, độ biến dạng của mỗi lò xo là x: x V2  V1 2V1  S S Khi đó áp lực lên hai mặt pittông bằng nhau: p2 S  k1 x  k 2 x � p2  k1  k2 (k  k )V x  2 1 22 1 S S (1) Phương trình trạng thái: p2V2 p1V1 p pV p T 3p  � 2  1 1 1 � 2  2 T2 T1 T2 TV 3T1 T1 p1 1 2 (2) Hệ không trao đổi nhiệt: Q  U  A  0 � A  U � 1 1 2V1 2 (k1  k 2 )V12 2 A  ( k  k ). x  ( k  k )( )  2 1 2 � � 2 1 2 2 S S2 � �U  3 nR(T  T )  3 ( p V  PV )  3 (3 p  p )V 2 1 1 1 2 2 2 1 1 � 2 2 2 � 2(k1  k2 )V12 3 2(k1  k2 )V1 3 9  ( p1  3 p2 )V1 �  p1  p2 2 2 S 2 S 2 2 Thế (3) vào (1): � p2  T (3) 3 9 p 3 p1  p2 � 2  2 2 p1 11 9 2 Thế (4) vào (2): � T  11 1 (4) (5) 2.7. Ví dụ 7: Trong một xilanh cách nhiệt khá dài nằm ngang có nhốt 1 mol khí lí tưởng đơn nguyên tử có khối lượng m nhờ hai pittông cách nhiệt có khối lượng bằng nhau và bằng M có thể chuyển động không ma sát trong xilanh (Hình 4). Lúc đầu hai pittông đứng yên, nhiệt độ của khí m M V2 V1 Hình 4 trong xilanh là To. Truyền cho hai pittông các vận tốc v 1, v2 cùng chiều (v1=3vo, v2=vo). Tìm nhiệt độ cực đại mà khí trong xilanh đạt được, biết bên ngoài là chân không. -7- M Giải: - Đối với pittông (1): lực tác dụng vào pittông theo phương ngang là lực đẩy F 1 ngược chiều v1 nên pittông (1) chuyển động chậm dần đều. - Đối với pittông (2): tương tự, lực đẩy F2 cùng chiều v2 nên pittông (2) chuyển động nhanh dần đều. - Trong quá trình hai pittông chuyển động, khối khí nhốt trong xi lanh chuyển động theo. - Chọn hệ quy chiếu gắn với pittông (2), vận tốc của pittông (1) đối với pittông (2) là: v12 v1  v2  pittông (1) chuyển động về phía pittông (2) chậm dần rồi dừng lại lúc t o, sau đó t>to thì pittông (1) chuyển động xa dần với pittông (2) và khí lại giãn nở. - Gọi G là khối tâm của khối khí trong xi lanh lúc tto: khí bị giãn, G chuyển động ra xa dần pittông (2). Vậy ở nhiệt độ to thì vG=0  cả hai pittông cùng khối khí chuyển động cùng vận tốc v. - Định luật bảo toàn động lượng ta có: M3vo+Mvo=(2M+m)v v=4Mvo/(2M+m). 1 2 2 2 - Động năng của hệ lúc đầu: Wđ1= M (v1  v2 ) 5Mvo . 2 1 2 - Động năng của hệ lúc ở to là: Wđ2= (2 M  m)v . 2  Độ biến thiên động năng: W=Wđ2-Wđ1= Mvo2 (2 M  5m) . 2M  m i 3 3 3 - Nội năng của khí: U  nRT  nRT  DU  nRDT  nR(Tmax  To ) . 2 2 2 2 - Vì U=W nên Tmax To  2 Mvo2 (2 M  5m) (do n=1) 3R 2M  m 3. Một số bài tập vận dụng: 3.1. Bài tập 1: Trong một xylanh bịt kín hai đầu đã được hút hết khí, ta treo một pittông có thể trượt không ma sát dọc theo xylanh nhờ một lò xo. Ban đầu lò xo không biến dạng và pittông nằm ở đáy xylanh. Người ta đưa vào dưới pittông một lượng khí Oxy sao cho pittông nâng lên độ cao h. Pittông nằm ở độ cao h 1 bằng bao nhiêu nếu khí này được nâng từ nhiệt độ ban đầu T lên nhiệt độ T1? ĐS. h1  T1 / T h -8- 3.2. Bài tập 2: Xylanh kín hai đầu được nối với bình chân không thể tích V bằng một ống mảnh. Trong xylanh treo một pittông có thể trượt không ma sát dọc theo xylanh. Ban đầu lò xo nằm cân bằng tại đáy và không tì lên đáy xylanh. Khi van đóng, đưa một lượng khí nào đó vào dưới pittông sao cho pittông nằm ở độ cao h so với đáy. Pittông nằm ở độ cao h1 bằng bao nhiêu khi van mở? Tiết diện xylanh là S. Nhiệt độ khí không đổi. ĐS. h1  V 2 / 4 S 2  h 2  V / 2 S 3.2. Bài tập 2: Trong một xylanh dài 2l = 2m có một pittông được nối với cả hai đáy của xylanh bởi hai lò xo giống nhau có độ cứng k = 1493 N/m. Ban đầu xylanh đã được hút hết khí, lò xo không biến dạng. Pittông dịch chuyển một đoạn bằng bao nhiêu nếu như ta đưa m = 28g Nitơ vào một bên? Nhiệt độ của Nitơ là 273K. ĐS. x = 0,5m 3.3. Bài tập 3: Trong một xylanh đặt thẳng đứng chứa khí khối lượng m. Khí được ngăn cách với khí quyển nhờ một pittông. Pittông được nối với đáy của xylanh bằng một lò xo có độ cứng k. ở nhiệt độ T1, pittông nằm cách đáy xylanh một khoảng là h. Cần nâng nhiệt độ khí lên T2 bằng bao nhiêu để pittông nâng lên độ cao H? Khối lượng mol của không khí là . ĐS. T2 T1 H mkH  H  h   h mR 3.4. Bài tập 4: Để giảm thể tích chất khí trong xylanh đi n lần, cần đặt lên trên pittông một khối lượng M. Cần đặt thêm một khối lượng là bao nhiêu để thể tích khí giảm tiếp đi k lần? Các quá trình là đẳng nhiệt. ĐS. m = Mn(k-1)/(n-1) 3.5. Bài tập 5: Trong một xylanh đặt thẳng đứng tiết diện S, có một pittông khối lượng m giam một lượng không khí. Trên pittông, có một vật nặng. Khi lấy vật đi, thể tích không khí dưới pittông tăng hai lần, còn nhiệt độ của không khí giảm đi hai lần. Hãy xác định khối lượng của vật M. áp suất khí quyển là P0. ĐS. M = 3(m+PoS/g) -9- 3.6. Bài tập 6: Lực cực đại tác dụng lên người đang được giác hơi là bao nhiêu, nếu đường kính ống giác hơi là D = 4cm? Tại thời điểm áp ống vào cơ thể, không khí trong ống có nhiệt độ là t = 80 0C, nhiệt độ môi trường là t0 = 200C. áp suất khí quyển P0 = 105Pa. Bỏ qua sự thay đổi của thể tích ống giác (do độ phồng của da). ĐS. F = (pD2Po/4)(1-To/T) = 21N 3.7. Bài tập 7: Bên dưới một píttông diện tích S = 100cm 2 có m = 28g Nitơ ở nhiệt độ T 1 = 273K. Xylanh được đun nóng tới nhiệt độ T2 = 373K. Pittông khối lượng M = 100kg được nâng lên độ cao h bằng bao nhiêu? áp suất khí quyển P0 = 105Pa. m R ĐS. h = m P S  Mg  T2  T1  = 41cm o 3.8. Bài tập 8: Bên dưới một píttông diện tích S = 100cm 2 có m = 28g Nitơ ở nhiệt độ T 1 = 1000C. Pittông được nối với một vật khối lượng M = 50kg qua một hệ ròng rọc (hình vẽ 2.1). Xylanh được làm lạnh đến nhiệt độ T 2 = 00C . Vật được nâng lên độ cao h bằng bao nhiêu? áp suất khí quyển p0 = 105Pa. Bỏ qua khối lượng của pittông. ĐS. h = 164cm 3.9. Bài tập 9: Một xi lanh nằm ngang kín hai đầu, có thể tích V=1,2lít và chứa không khí ở áp suất p0=105N/m2. Xi lanh được chia thành 2 phần bằng nhau bởi pittông mỏng khối lượng m=100g đặt thẳng đứng. Chiều dài xi lanh 2l=40cm. Xi lanh được quay với vận tốc góc  quanh trục thẳng đứng ở giữa xilanh. Tính  nếu pittông cách trục quay một đoạn r=0,1m khi nó đã nằm yên đối với xilanh. ĐS: 200rad/s 3.10. Bài tập 10: Một ống thuỷ tinh có chiều dài l=50cm, tiết diện S=0,5cm 2, được hàn kín một đầu và chứa đầy không khí. Ấn ống chìm vào nước theo phương thẳng đứng, đầu kín ở trên. Tính lực F cần đặt vào ống để giữ ống trong nước sao cho đầu trên của ống thấp hơn mặt nước một đoạn h=10cm. Biết khối lượng ống m=15g, áp suất khí quyển là p0=760mmHg. ĐS: F=0,087N 3.11. Bài tập 11: - 10 - Trong một ống nhỏ dài và tiết diện đều nằm ngang có giam một cột không khí dài l 0 = 144mm ngăn cách với không khí bên ngiài bằng cột thuỷ ngân dài h = 150mm. Áp suất khí quyển là 750mmHg. Độ dài của cột không khí sẽ là bao nhiêu khi: a. Ống thẳng đứng, miệng ở trên b. Ống thẳng đứng, miệng ở dưới c. Ống nghiêng góc  = 300, miệng ống ở dưới d. Ống nghiêng góc  = 300, miệng ống ở trên ĐS: 120mm; 180mm; 160mm; 130,4mm 3.12. Bài tập 12: Xilanh tiết diện S = 10cm 2 được đậy bằng một pittông nặng. Khi xilanh này được nâng lên trên với gia tốc 2g thì thể tích phần dưới xilanh giảm đi 1,5 lần. Tìm khối lượng của pittông, coi nhiệt độ của khí trong bình không đổi. áp suất khí quyển po = 105Pa. ĐS. M = 3,3kg 3.13. Bài tập 13: Xilanh tiết diện S = 10cm 2 được đậy bằng một pittông nặng m = 5kg. Khi xilanh chuyển động xuống dưới với gia tốc 4g thì thể tích phần dưới xilanh tăng 2 lần. Nhiệt độ khí không đổi. Tính áp suất bên ngoài po. ĐS. Po = 3,5.105Pa 3.13. Bài tập 14: Trong một ống được đặt thẳng đứng bên trong có các pittông không khối lượng tiết diện S1, S2 được nối với nhau bằng một dây mảnh không giãn bên trong chứa đầy nước. Tìm lực căng sợi dây nếu hai đầu ống thông với khí quyển. Bỏ qua ma sát. ĐS. T glS1 S 2 /  S1  S 2  3.15. Bài tập 15: Trong một dự án điều khiển khí cầu máy có đề xuất rằng nhiệt lượng tỏa ra khi động cơ làm việc được sử dụng để nung nóng khí chứa trong bình của khí cầu. Xác định lực nâng bổ sung đối với khí cầu có bình chứa khí hêli thể tích là V = 1,3.106m3. Nhiệt độ khí do sự nung nóng kể trên được tăng từ T1 = 300K tới T2 = 400K. áp suất khí trong cả hai trường hợp đều bằng p0 = 105 Pa. ĐS. F = 5.105N 3.16. Bài tập 16: - 11 - Một quả bóng bàn có dạng hình cầu bán kính r = 15mm, khối lượng m = 5g được dìm xuống độ sâu h = 30cm trong nước rồi được thả ra thì nó có thể nhảy lên khỏi mặt nước tới độ cao h = 10cm. Tìm năng lượng chuyển hóa thành nhiệt do ma sát của quả bóng với nước? ĐS. Q = 2,2.10-3J 3.17. Bài tập 17: Một cái bể tiết diện S = 100 m 2 được đổ nước tới độ cao h = 1m, được ngăn thành hai phần bằng nhau bằng một vách ngăn. Người ta di chuyển chậm vách tới vị trí sao cho nó chia bể thành hai phần theo tỉ lệ 1:3. Tính công cần thực hiện nếu nước không thấm qua vách ngăn. ĐS. A = 2.105J - 12 -
- Xem thêm -