Tài liệu Bài toán biên cho một vài lớp phương trình có chứa toán tử elliptic suy biến mạnh

BË GIO DÖC V€ €O T„O „I HÅC THI NGUY–N Ph¤m Thà Thu B€I TON BI–N CHO MËT V€I LÎP PH×ÌNG TRœNH C CHÙA TON TÛ ELLIPTIC SUY BI˜N M„NH LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC Th¡i nguy¶n - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn BË GIO DÖC V€ €O T„O „I HÅC THI NGUY–N Ph¤m Thà Thu B€I TON BI–N CHO MËT V€I LÎP PH×ÌNG TRœNH C CHÙA TON TÛ ELLIPTIC SUY BI˜N M„NH Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 62 46 01 02 LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc PGS.TSKH. NGUY™N MINH TR Th¡i nguy¶n - 2013 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Líi cam oan Tæi xin cam oan ¥y l  cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa tæi. C¡c k¸t qu£ vi¸t chung vîi t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷ñc sü nh§t tr½ cõa çng t¡c gi£ khi ÷a v o luªn ¡n. C¡c k¸t qu£ cõa luªn ¡n l  mîi v  ch÷a tøng ÷ñc cæng bè trong b§t ký cæng tr¼nh khoa håc cõa ai kh¡c. T¡c gi£ Ph¤m thà Thõy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i http://www.lrc-tnu.edu.vn Líi c£m ìn Luªn ¡n ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh t¤i khoa To¡n thuëc tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh v  nghi¶m kh­c cõa PGS. TSKH. Nguy¹n Minh Tr½. Th¦y ¢ truy·n cho t¡c gi£ ki¸n thùc, kinh nghi»m håc tªp v  nghi¶n cùu khoa håc. Vîi t§m láng tri ¥n s¥u s­c, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§t èi vîi th¦y. T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y, cæ gi¡o còng c¡c anh chà em nghi¶n cùu sinh, cao håc trong seminar Bë mæn Gi£i t½ch khoa To¡n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n v  Pháng Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n - Vi»n To¡n håc ¢ luæn gióp ï, ëng vi¶n t¡c gi£ trong nghi¶n cùu khoa håc v  trong cuëc sèng. T¡c gi£ xin c£m ìn Ban Gi¡m èc ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Sau ¤i håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c Pháng Ban chùc n«ng, Pháng Sau ¤i håc, Ban chõ nhi»m khoa To¡n còng to n thº gi¡o vi¶n trong khoa, °c bi»t l  tê Gi£i t½ch ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi gióp ï t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn ¡n. Cuèi còng, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn tîi nhúng ng÷íi th¥n v  b¤n b± ¢ gióp ï, ëng vi¶n, kh½ch l» º t¡c gi£ ho n th nh luªn ¡n. T¡c gi£ Ph¤m thà Thõy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MÖC LÖC Trang Líi cam oan...................................................................................... i Líi c£m ìn ......................................................................................... ii Möc löc............................................................................................... iii Mët sè kþ hi»u trong luªn ¡n ............................................................ iv Mð ¦u Ch÷ìng 1. Nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic suy bi¸n m¤nh nûa tuy¸n t½nh 1 1.1 Sü khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng................................. 17 1.2 C¡c ành lþ nhóng......................................................................... 31 1.3 Sü tçn t¤i nghi»m y¸u.................................................................... 45 1.4 V½ dö minh håa.............................................................................. 68 Ch÷ìng 2. D¡ng i»u nghi»m khi thíi gian ti¸n ra væ còng cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh câ chùa to¡n tû elliptic suy bi¸n m¤nh 74 2.1 H» gradient................................................................................... 75 2.2 H» khæng gradient ....................................................................... 86 16 K¸t luªn v  ki¸n nghà ..................................................................... 97 Danh möc c¡c cæng tr¼nh khoa håc câ li¶n quan ¸n luªn ¡n 99 T i li»u tham kh£o............................................................................ 100 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mët sè kþ hi»u trong luªn ¡n RN khæng gian vectì thüc N chi·u. C k (Ω) khæng gian c¡c h m kh£ vi li¶n töc ¸n c§p k tr¶n mi·n Ω. Lp (Ω) khæng gian c¡c h m lôy thøa bªc p kh£ t½ch Lebesgue tr¶n mi·n Ω. Ox Oy Oz ∆x ∆y ∆z  ∂ ∂  vectì c¡c to¡n tû ¤o h m Ox = , ..., c§p 1 theo x. ∂x1 ∂xN1  ∂ ∂  vectì c¡c to¡n tû ¤o h m Oy = , ..., c§p 1 theo y . ∂y1 ∂yN2  ∂ ∂  , ..., c§p 1 theo z . vectì c¡c to¡n tû ¤o h m Oz = ∂z1 ∂zN3 N1 ∂ 2 P To¡n tû Laplace theo bi¸n x : ∆x = 2. i=1 ∂xi N2 ∂ 2 P To¡n tû Laplace theo bi¸n y : ∆y = 2. j=1 ∂yj N3 ∂ 2 P To¡n tû Laplace theo bi¸n z : ∆z = 2. l=1 ∂zl (., .) T½ch væ h÷îng trong khæng gian L2 (Ω). Pα,β Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u, vîi α, β ≥ 0, α + β > 0, !β N α N2 1 P P |x|2α = x2i , |y|2β = yj2 , i=1 j=1 dx = dx1 dx2 ...dxN1 , dy = dy1 dy2 ...dyN2 , dz = dz1 dz2 ...dzN3 . C(X, Y ) khæng gian c¡c ¡nh x¤ li¶n töc tø X v o Y. C 1 (X, Y ) khæng gian c¡c ¡nh x¤ kh£ vi Fr²chet li¶n töc tø X v o Y. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv http://www.lrc-tnu.edu.vn Mð ¦u . 1. Lþ do chån · t i B i to¡n bi¶n luæn l  chõ · nghi¶n cùu ÷ñc nhi·u chuy¶n gia quan t¥m bði nhúng ùng döng rëng r¢i cõa nâ trong c¡c ng nh vªt lþ, hâa håc v  sinh håc. °c bi»t l  vi»c nghi¶n cùu i·u ki»n tçn t¤i v  khæng tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n bi¶n câ chùa to¡n tû elliptic suy bi¸n l  khâ, phùc t¤p. Do vªy c¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc chi¸m và tr½ quan trång trong ph¡t triºn lþ thuy¸t to¡n håc. Vîi c¡c lþ do n¶u tr¶n chóng tæi ¢ chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n cõa m¼nh l  "B i to¡n bi¶n cho mët v i lîp ph÷ìng tr¼nh câ chùa to¡n tû elliptic suy bi¸n m¤nh". 2. Möc ½ch cõa · t i luªn ¡n 2.1 Möc ½ch quan trång thù nh§t Möc ½ch quan trång thù nh§t cõa luªn ¡n l  ch¿ ra ÷ñc sè mô tîi h¤n cõa ành lþ nhóng cho khæng gian Sobolev câ trång li¶n k¸t vîi to¡n tû elliptic suy bi¸n m¤nh. Tø k¸t qu£ â chóng tæi chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m y¸u cõa b i to¡n bi¶n câ chùa ph÷ìng tr¼nh elliptic suy bi¸n m¤nh nûa tuy¸n t½nh. 2.2 Möc ½ch quan trång thù 2 L  ÷a ra ÷ñc çng nh§t thùc kiºu Pohozaev, tø â chóng tæi chùng minh ÷ñc sü khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cho b i to¡n bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh elliptic suy bi¸n m¤nh nûa tuy¸n t½nh. 2.3 Möc ½ch quan trång thù 3 Chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m, sü tçn t¤i nghi»m to n cöc, sü tçn t¤i tªp hót to n cöc cõa b i to¡n bi¶n ban ¦u câ chùa ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh câ to¡n tû elliptic suy bi¸n m¤nh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 trong hai tr÷íng hñp: sè h¤ng phi tuy¸n câ ë t«ng nhä hìn ë t«ng tîi h¤n v  sè h¤ng phi tuy¸n câ ë t«ng tuý þ. 3. èi t÷ñng nghi¶n cùu èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn ¡n l  x²t b i to¡n bi¶n v  b i to¡n bi¶n gi¡ trà ban ¦u câ chùa to¡n tû elliptic suy bi¸n m¤nh Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u, vîi α, β ≥ 0, α + β > 0. 4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Chóng tæi thu thªp, têng hñp, vªn döng c¡c ki¸n thùc li¶n quan tîi · t i nghi¶n cùu. Luªn ¡n sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p bi¸n êi t½ch ph¥n, ph÷ìng ph¡p bi¸n ph¥n, c¡c ph÷ìng ph¡p chùng minh trong lþ thuy¸t cõa c¡c b i to¡n bi¶n suy bi¸n phi tuy¸n vîi sü i·u ch¿nh phò hñp cho lîp to¡n tû Pα,β . Ngo i ra cán sû döng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng º chùng minh cho sü tçn t¤i nghi»m to n cöc v  tçn t¤i tªp hót to n cöc cõa nûa nhâm S(t) sinh bði ph÷ìng tr¼nh parabolic vîi c¡c i·u ki»n th½ch hñp trong tr÷íng hñp h» gradient v  ph÷ìng ph¡p Galerkin trong tr÷íng hñp h» khæng gradient. 5. Têng quan v· · t i luªn ¡n Tø buêi sì khai cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ng÷íi ta ¢ quan t¥m tîi t½nh ch§t ành t½nh cõa nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh hay h» ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, trong â ë trìn v  t½nh gi£i t½ch ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m °c bi»t. ë trìn cõa nghi»m ÷ñc mæ t£ trong c¡c lîp to¡n tû elliptic. °c bi»t l  to¡n tû Grushin Gk u = ∆x u + |x|2k ∆y u vîi (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 +N2 , N1 , N2 ≥ 1, k ∈ Z+ , trong [27] nh  to¡n håc ng÷íi Nga Grushin ¢ ¤t ÷ñc c¡c k¸t qu£ ¡ng kº. • N¸u k = 0 th¼ G0 l  elliptic trong mi·n Ω. • N¸u k > 0 th¼ Gk khæng l  elliptic trong mi·n Ω ⊂ RN1 +N2 câ giao kh¡c réng vîi m°t x = 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Nh  to¡n håc Grushin ¢ chùng minh ÷ñc n¸u Gk u l  h m kh£ vi væ h¤n trong mi·n Ω th¼ u công kh£ vi væ h¤n trong mi·n Ω v  c¡c t½nh ch§t àa ph÷ìng cõa Gk ÷ñc t¡c gi£ nghi¶n cùu kh¡ ¦y õ trong [27]. Nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, mët trong nhúng to¡n tû elliptic ÷ñc nghi¶n cùu nhi·u â l  to¡n tû Laplace ∆u = ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + + ... + . ∂x21 ∂x22 ∂x2n Nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i nghi»m, hay khæng tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n bi¶n nûa tuy¸n t½nh chùa to¡n tû Laplace ¢ ÷ñc nhi·u nh  to¡n håc tªp trung nghi¶n cùu b­t ¦u tø nûa th¸ k thù hai m÷ìi. Trong cæng tr¼nh [35] (1965), S. Pohozaev ¢ x²t b i to¡n bi¶n   ∆u + f (u) = 0 trong Ω, (1)  u = 0 tr¶n ∂Ω, vîi Ω l  mi·n giîi nëi trong Rn (n ≥ 2), f (u) = λu + |u|p−1 u. K¸t qu£ ¤t ÷ñc trong cæng tr¼nh n y l  • N¸u n = 2, 1 < p < ∞, th¼ b i to¡n (1) luæn câ nghi»m khæng t¦m th÷íng. • N¸u n ≥ 3, λ = 0, p ≥ khæng câ nghi»m d÷ìng. n+2 v  Ω l  h¼nh sao, th¼ b i to¡n (1) n−2 n+2 , th¼ b i to¡n (1) câ nghi»m d÷ìng. n−2 n+2 Bði vªy khi n ≥ 3 gi¡ trà p0 = l  gi¡ trà r§t °c bi»t. Gi¡ trà n−2 2n li¶n quan p0 + 1 = l  gi¡ trà tîi h¤n º ta câ ành lþ nhóng n−2 Sobolev, p0 ÷ñc gåi l  sè mô Sobolev tîi h¤n cõa b i to¡n (1) cho to¡n tû Laplace. • N¸u n ≥ 3, λ = 0, 1 < p < Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 ¸n n«m 1983, hai nh  to¡n håc H. Brezis v  L. Nirenberg [16] ¢ cæng bè k¸t qu£ tçn t¤i nghi»m d÷ìng cõa b i to¡n  n+2  −∆u = λu + u n−2 trong Ω, (2)  u = 0 tr¶n ∂Ω, vîi Ω l  mi·n bà ch°n câ bi¶n trìn trong Rn , n ≥ 3 . K¸t qu£ kh¯ng ành r¬ng • Khi n ≥ 4 b i to¡n (2) câ nghi»m d÷ìng n¸u 0 < λ < λ1 , vîi λ1 l  gi¡ trà ri¶ng ¦u ti¶n cõa to¡n tû Laplace ùng vîi i·u ki»n Dirichlet. • Khi n = 3 i·u ki»n tçn t¤i nghi»m l  0 < λ∗ < λ < λ1 khi Ω l  1 h¼nh c¦u, λ∗ = λ1 . 4 Nhúng k¸t qu£ mang t½nh ti¶n phong n y còng vîi c¡c b i to¡n mð ÷ñc °t ra ¢ thóc ©y h ng tr«m cæng tr¼nh nghi¶n cùu sau â (xem [6, 7, 11, 17, 39] còng vîi c¡c t i li»u tham kh£o k±m theo). Nh÷ vªy sü tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng, tçn t¤i nghi»m d÷ìng cõa c¡c b i to¡n bi¶n chùa to¡n tû elliptic ¤t ÷ñc t÷ìng èi trån vµn. Mët c¡ch t÷ìng tü, c¡c v§n · l¤i ÷ñc °t ra èi vîi b i to¡n câ chùa to¡n tû elliptic suy bi¸n. V o n«m 1998 trong [42, 43], N. M. Tr½ ¢ x²t b i to¡n bi¶n   −Lk u + f (u) = 0 trong Ω, (3)  u = 0 tr¶n ∂Ω, 2 ∂ 2u 2k ∂ u trong â Ω l  mi·n giîi nëi trong R , Lk u = +x , (k ≥ 1), ∂x2 ∂y 2 f (u) = u|u|γ−1 . C¡c k¸t qu£ ¤t ÷ñc ð ¥y l  2 4 v  Ω l  Lk - h¼nh sao th¼ b i to¡n (3) khæng câ nghi»m khæng k t¦m th÷íng. •γ≥ 4 • 0 < γ < b i to¡n (3) câ nghi»m khæng t¦m th÷íng. Bði vªy coi k 4+k gi¡ trà l  sè mô Sobolev tîi h¤n cho to¡n tû Lk . k Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Ti¸p theo, N. M. Ch÷ìng, T. . K¸, N. V. Thanh, N. M. Tr½ trong [19], N. M. Ch÷ìng, T. . K¸ trong [20, 21] ¢ ÷a ra i·u ki»n khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa c¡c b i to¡n t÷ìng tü b i to¡n (3) nh÷ sau. Vîi b i to¡n   −Pk u + f (u) = 0 trong Ω,  u = 0 tr¶n ∂Ω, trong â Ω l  mi·n giîi nëi trong R3 , (k ≥ 1), f (u) = u|u|γ−1 , 2 ∂ 2u ∂ 2u 2k ∂ u Pk u = 2 + 2 + x . ∂x ∂y ∂z 2 i·u ki»n khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n l  4 v  Ω l  Pk - h¼nh sao. γ≥ k+1 Vîi b i to¡n   −Gk u + f (u) = 0 trong Ω,  u = 0 tr¶n ∂Ω, trong â Gk u = ∆x u + |x|2k ∆y u, vîi k ≥ 1, Ω l  mi·n giîi nëi trong RN1 +N2 , x ∈ RN1 , y ∈ RN2 , bi¶n ∂Ω trìn, f (u) = u|u|γ−1 . i·u ki»n khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng 4 cõa b i to¡n trong tr÷íng hñp n y l  γ > v  Ω l  N1 + N2 (k + 1) − 2 Gk - h¼nh sao. °c bi»t khi x²t b i to¡n n y, c¡c t¡c gi£ N. T. C. Thóy v  N. M. Tr½ 2N (k) trong [41] ¢ ch¿ ra sè mô tîi h¤n cõa ành lþ nhóng l  2∗k = vîi N (k) − 2 N (k) = N1 +(k +1)N2 , tø â chùng minh b i to¡n tr¶n câ nghi»m khæng N1 + N2 (k + 1) + 2 . t¦m th÷íng khi h m phi tuy¸n f câ ë t«ng nhä hìn N1 + N2 (k + 1) − 2 Düa v o sè mô tîi h¤n v o n«m 2008, c¡c t¡c gi£ C. T. Anh, P. Q. Hung, T. D. Ke , T. T. Phong trong [9], ¢ nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m to n cöc v  sü tçn t¤i tªp hót to n cöc èi vîi ph÷ìng tr¼nh parabolic câ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 chùa to¡n tû Grushin cõa b i to¡n bi¶n gi¡ trà ban ¦u     ut − Gk u + f (u) + g(x, y) = 0 vîi (x, y) ∈ Ω, t > 0,    u(x, t) = 0 vîi (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0,      u(x, 0) = u0 (x) vîi (x, y) ∈ Ω, (4) ð ¥y, Ω l  mi·n bà ch°n trong RN1 +N2 , ∂Ω trìn, u0 ∈ S01 (Ω), g(x, y) ∈ L2 (Ω). H m f : R → R thäa m¢n |f (u) − f (v)| ≤ C0 |u − v|(1 + |u|ρ + |v|ρ ) vîi 2 4 <ρ< , N (k) − 2 N (k) − 2 µu2 F (u) ≥ − − C1 , 2 f (u)u ≥ −µu2 − C2 , ð ¥y C0 , C1 , C2 ≥ 0, µ < λ1 , λ1 l  gi¡ trà ri¶ng ¦u ti¶n cõa to¡n tû −Gk trong mi·n Ω vîi i·u ki»n irichlet thu¦n nh§t. Sü tçn t¤i nghi»m ð ¥y ÷ñc chùng minh b¬ng ph÷ìng ph¡p iºm b§t ëng. Düa v o ph÷ìng ph¡p ¡nh gi¡ ti¶n nghi»m, c¡c t¡c gi£ ð tr¶n ¢ chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i tªp hót to n cöc li¶n thæng compact, sü tçn t¤i tªp hót to n cöc 1 cüc tiºu trong X 2 . Sau mët n«m, C. T. Anh v  T. . K¸ ¢ x²t b i to¡n (4) vîi i·u ki»n cõa f : R → R thäa m¢n C1 |u|p − C0 ≤ f (u)u ≤ C2 |u|p + C0 , vîi p > 2, f 0 (u) ≥ −C3 , vîi måi u ∈ R, trong â C0 , C1 , C2 , C3 l  c¡c h¬ng sè d÷ìng. Khi â trong [10] c¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh ÷ñc sü tçn t¤i nghi»m to n cöc, tªp hót to n cöc cõa b i to¡n. Tø t½nh suy bi¸n cõa to¡n tû Gk l m ph¡t sinh mët sè v§n · trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu c¡c b i to¡n bi¶n nh÷ • X¡c ành khæng gian nghi»m cõa c¡c b i to¡n bi¶n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 • X¡c ành nghi»m: sü tçn t¤i v  khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng. • X¡c ành nghi»m to n cöc v  d¡ng i»u ti»m cªn cõa nghi»m khi thíi gian ti¸n ra væ còng. 6. C§u tróc v  têng quan luªn ¡n Luªn ¡n gçm ph¦n mð ¦u v  hai ch÷ìng Ch÷ìng 1: Nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n bi¶n èi vîi ph÷ìng tr¼nh eliptic suy bi¸n m¤nh nûa tuy¸n t½nh. Ch÷ìng 2: D¡ng i»u nghi»m khi thíi gian ti¸n ra væ còng cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh câ chùa to¡n tû eliptic suy bi¸n m¤nh. Sau ¥y l  nëi dung cì b£n cõa ph¦n mð ¦u v  tøng ch÷ìng. Ph¦n mð ¦u, chóng tæi tr¼nh b y v· lþ do chån · t i, möc ½ch cõa · t i luªn ¡n, èi t÷ñng nghi¶n cùu, ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu, têng quan v· · t i luªn ¡n, c§u tróc luªn ¡n v  tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n câ li¶n quan. Trong Ch÷ìng 1, x²t b i to¡n bi¶n (1.1)-(1.2). Ð Möc 1.1, sû döng c¡c ph²p bi¸n êi t½ch ph¥n ¢ chùng minh ÷ñc çng nh§t thùc kiºu Pohozaev (Bê · 1.1.2). Düa v o k¸t qu£ â ¢ chùng minh sü khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n (1.1)-(1.2) (ành lþ 1.1.3). Ti¸p theo ¢ chùng minh ÷ñc sü khæng tçn t¤i nghi»m d÷ìng cõa b i to¡n (1.1)-(1.2) (ành lþ 1.1.4). Vîi h m g(x, y, z, t) = λt + |t|γ t,λ ≤ 0, 4 γ≥ th¼ chóng tæi chùng minh ÷ñc b i to¡n (1.1)-(1.2) khæng Nα,β − 2 câ nghi»m khæng t¦m th÷íng u ∈ H 2 (Ω) (ành lþ 1.1.5). Trong Möc 1.2, chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc c¡c ành lþ nhóng cho c¡c khæng gian Sobolev câ trång ð ành lþ 1.2.2, ành lþ 1.2.3, ành lþ 1.2.4. Düa v o k¸t qu£ cõa Bê · 1.2.5, chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc ành lþ nhóng (ành lþ 1.2.6). Trong Möc 1.3, chóng tæi ¢ ch¿ ra sü tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng cõa b i to¡n (1.1)-(1.2) câ chùa h m phi tuy¸n. Nghi»m tçn t¤i ð ¥y ch½nh l  iºm døng cõa phi¸m h m phi tuy¸n düa v o ành ngh¾a cõa phi¸m h m v  ành lþ 1.3.2. Cö thº l  vîi c¡c i·u ki»n cõa h m g(x, y, z, t) chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc phi¸m h m Φ(x, y, z, t) thäa m¢n c¡c i·u ki»n Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 (I)1 − (I)6 (ành lþ 1.3.10) v  düa v o c¡c ành lþ gi¡ trà tîi h¤n chóng tæi ¢ ch¿ ra b i to¡n (1.1)-(1.2) câ nghi»m y¸u khæng t¦m th÷íng (ành lþ 1.3.11). °c bi»t hìn, trong ành lþ 1.3.15 chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc b i to¡n (1.1)-(1.2) câ væ sè nghi»m y¸u khæng t¦m th÷íng. Ti¸p theo khi th¶m mët sè h¤ng tuy¸n t½nh v o v¸ tr¡i cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1), düa v o k¸t qu£ cõa Bê · 1.3.16 chóng tæi ¢ chùng minh ÷ñc b i to¡n (1.22)-(1.23) câ væ sè nghi»m y¸u khæng t¦m th÷íng (ành lþ 1.3.19). Ph¦n cuèi cõa Ch÷ìng 1 l  mët sè v½ dö minh ho¤ cho b i to¡n (1.1)-(1.2) v· i·u ki»n tçn t¤i v  khæng tçn t¤i nghi»m khæng t¦m th÷íng. K¸t qu£ cõa Ch÷ìng 1 ÷ñc vi¸t düa tr¶n c¡c b i b¡o [1, 2, 3]. Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cùu v· d¡ng i»u nghi»m khi thíi gian ti¸n ra væ còng cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic nûa tuy¸n t½nh câ chùa to¡n tû elliptic suy bi¸n m¤nh cõa b i to¡n bi¶n gi¡ trà ban ¦u (2.1)-(2.3) cho h» gradient v  h» khæng gradient. Trong Möc 2.1 vîi h» gradient chóng tæi chùng minh ÷ñc Lp (Ω) nhóng li¶n töc v o 2∗α,β (2 − p) −γ D vîi γ > (Bê · 2.1.1). Düa v o i·u ki»n cõa h m f , 2p(2∗α,β − 2) ¢ kiºm tra ÷ñc ¡nh x¤ f : u(x, y, z) 7→ f (x, y, z, u(x, y, z)) l  Lipsρ 1 chitz tø D 2 → D−γ0 , vîi γ0 = (Bê · 2.1.2). B¬ng ph÷ìng 2(2∗α,β − 2) ph¡p iºm b§t ëng, chóng tæi ¢ chùng minh sü tçn t¤i duy nh§t 1 nghi»m u ∈ C([0, T ], D 2 ) (M»nh · 2.1.3), v  sü tçn t¤i nghi»m to n 1 cöc duy nh§t u ∈ C([0, T ], D 2 ) (M»nh · 2.1.4). Ph¦n cuèi cõa Möc 2.1, ành lþ 2.1.5 vîi gi£ thi¸t cõa h m f ¢ chùng minh ÷ñc nûa nhâm 1 S(t) câ tªp hót to n cöc li¶n thæng compact trong D 2 . Ti¸p theo chùng minh ÷ñc nûa nhâm S(t) sinh bði b i to¡n (2.1)-(2.3) câ tªp hót cüc tiºu trong S01 (Ω) (ành lþ 2.1.6) v  ÷a ra v½ dö minh håa cho b i to¡n (2.1)-(2.3) trong tr÷íng hñp h» gradient. Trong Möc 2.2 ta i x²t tr÷íng hñp bä i gi£ thi¸t ë t«ng phi tuy¸n cõa f, ¢ chùng minh ÷ñc b i to¡n (2.1)-(2.3) tçn t¤i duy nh§t nghi»m y¸u (ành lþ 2.2.2). Chùng minh ÷ñc b i to¡n (2.1)-(2.3) x¡c ành mët nûa nhâm li¶n töc S(t) câ tªp hót to n cöc li¶n thæng compact trong L2 (Ω) (ành lþ 2.2.3). Cuèi còng l  v½ dö minh håa cho b i to¡n (2.1)-(2.3) trong tr÷íng hñp h» Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 khæng gradient. K¸t qu£ cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc vi¸t düa tr¶n b i b¡o [4]. Sau 2 ch÷ìng tr¼nh b y nëi dung, ph¦n cán l¤i cõa luªn ¡n l  k¸t luªn v  · nghà, danh möc c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè v  cuèi còng l  t i li»u tham kh£o. Nëi dung cõa luªn ¡n ¢ ÷ñc b¡o c¡o t¤i: Seminar cõa Bë mæn Gi£i t½ch, Khoa to¡n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Seminar cõa Pháng Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Vi»n To¡n håc - Vi»n Khoa håc v  Cæng ngh» Vi»t Nam. Hëi nghà quèc t¸ v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, Matxcìva (2009). Hëi th£o quèc t¸ v· gi£i t½ch ùng döng v  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, H  Nëi (2010). ¤i hëi To¡n håc Vi»t - Ph¡p, Hu¸ (2012). Trong ph¦n Mð ¦u, luªn ¡n d nh mët ph¦n cho vi»c tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n câ li¶n quan. * To¡n tû elliptic suy bi¸n X²t to¡n tû vi ph¥n P (x, D) = X aα (x)D, |α|≤m ð ¥y x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Ω ⊂ Rn , α = (α1 , ..., αn ) ∈ Nn , |α| = α1 + α2 + ... + αn , D = (D1 , ..., Dn ), Dj = −i α α1 α2 D = D D ...D trìn cho tr÷îc. αn ∂ , ∂xj ∂ |α| = (−i) , aα (x) ∈ C(Ω) l  c¡c h m ∂ α1 x1 ...∂ αn xn |α| Ta °t ξ α = ξ1α1 ξ2α2 ...ξnαn , vîi ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) ∈ Rn . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 H m sè P (α, ξ) P = aα (x)ξ α ÷ñc gåi l  biºu tr÷ng cõa |α|≤m to¡n tû P (x, D). H m sè Pm (x, D) = P aα (x)ξ α ÷ñc gåi l  biºu tr÷ng ch½nh cõa to¡n |α|=m tû P (x, D). P (x, D) gåi l  elliptic t¤i x ∈ Ω n¸u ∀ξ ∈ Rn : Pm (x, ξ) = 0 khi v  ch¿ khi ξ = 0. (5) P (x, D) ÷ñc gåi l  elliptic tr¶n mi·n Ω n¸u nâ elliptic t¤i måi x ∈ Ω. Khi nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t cõa to¡n tû, ng÷íi ta th÷íng düa v o (5). èi vîi Gk , khi k > 0 i·u ki»n (5) khæng thäa m¢n khi Ω câ giao kh¡c réng vîi m°t x = 0. Bði vªy ta gåi Gk l  to¡n tû elliptic d¤ng suy bi¸n. To¡n tû Pα,β u = ∆x u + ∆y u + |x|2α |y|2β ∆z u, vîi x = (x1 , x2 , ..., xN1 ) ∈ RN1 , y = (y1 , y2 , ..., yN2 ) ∈ RN2 , z = (z1 , z2 , ..., zN3 ) ∈ RN3 , α + β > 0, α ≥ 0, β ≥ 0, câ biºu tr÷ng v  biºu tr÷ng ch½nh l  2 2 2 Pα,β (x, y, z, ξ) = −(ξ12 + ξ22 + ... + ξN + ξN + ... + ξN 1 1 +1 1 +N2 2 2 +(ξN + ... + ξN )|x|2α |y|2β ). 1 +N2 +1 1 +N2 +N3 X²t t¤i iºm M 0 (x0 , y 0 ), n¸u x0 6= 0 v  y 0 6= 0 th¼ Pα,β (x, y, z, ξ) = 0 khi v  ch¿ khi ξi = 0, i = 1, ..., N1 + N2 + N3 . Do vªy Pα,β l  to¡n tû elliptic. N¸u x0 = 0 ho°c y 0 = 0 th¼ tçn t¤i ξ = (0, ..., 0, 1) 6= 0 m  Pα,β (x, y, z, ξ) = 0. V¼ vªy i·u ki»n (5) khæng thäa m¢n khi mi·n Ω chùa iºm M 0 . Do vªy Pα,β gåi l  to¡n tû elliptic suy bi¸n. °c bi»t, Pα,β suy bi¸n trong mi·n Ω ⊂ RN1 +N2 +N3 câ giao kh¡c réng vîi mët trong hai m°t ph¯ng c­t nhau x = 0 v  y = 0, bði vªy ta gåi Pα,β l  to¡n tû elliptic suy bi¸n m¤nh. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 * Mët sè ki¸n thùc v· gi¡ trà ri¶ng cõa to¡n tû x¡c ành d÷ìng. Gi£ sû H l  khæng gian Hillbert, gåi (.,.) l  t½ch væ h÷îng trong khæng gian Hillbert H v  chu©n cõa u ∈ H ÷ñc kþ hi»u ||u||. To¡n tû A vîi mi·n x¡c ành D(A)(D(A) = H) ÷ñc gåi l  to¡n tû èi xùng n¸u (Au, v) = (u, Av), vîi måi u, v ∈ D(A). To¡n tû èi xùng A ÷ñc gåi l  x¡c ành d÷ìng n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè C d÷ìng sao cho (Au, u) ≥ C||u||2 hay nâi c¡ch kh¡c (Au, u) > 0 vîi måi u∈D(A) ||u||2 inf u ∈ D(A) \ {0}. Ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc vîi måi u, v ∈ D(A), ¤i l÷ñng [u, v]A = (Au, v)H l  t½ch væ h÷îng trong khæng gian D(A) v  |u|A = p [u, u]A l  chu©n trong D(A). Ta ành ngh¾a khæng gian n«ng l÷ñng HA nh÷ l  l m ¦y cõa D(A) theo |u|A . Do A l  x¡c ành d÷ìng n¶n ta câ HA ⊂ H. °t |a|2A inf = λ1 > 0. a∈HA \{0} ||u||2 |a|2A N¸u inf ¤t ÷ñc t¤i u1 , th¼ u1 l  h m ri¶ng t÷ìng ùng vîi λ1 a∈HA \{0} ||u||2 cõa A hay Au1 = λ1 u1 . Ta gåi (1) HA = {u ∈ HA : [u, u1 ]A = (Au, u1 )H = 0}, khi â |a|2A = λ2 ≥ λ1 . 2 (1) a∈HA \{0} ||u|| inf |a|2A N¸u inf ¤t ÷ñc t¤i u2 , th¼ u2 l  h m ri¶ng t÷ìng ùng vîi λ2 2 (1) a∈HA \{0} ||u|| cõa A hay Au2 = λ2 u2 . Cù ti¸p töc lªp luªn nh÷ tr¶n th¼ ta ÷ñc mët d¢y c¡c gi¡ trà ri¶ng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ... ≤ λn ≤ ... v  u1 , u2 , ..., un ..., l  c¡c h m ri¶ng t÷ìng ùng. N¸u ph²p nhóng tø HA v o H l  compact th¼ |a|2A 2 (i) a∈HA \{0} ||u|| inf (i) ¤t ÷ñc tr¶n c¡c HA , i = 1, 2..., vîi c¡c gi¡ trà ri¶ng t÷ìng ùng l  λ1 , λ2 , ...,. i·u ¡ng chó þ ð ¥y l  vîi méi gi¡ trà ri¶ng λi , i = 1, 2..., câ thº câ nhi·u h m ri¶ng t÷ìng ùng vîi λi , nh÷ng sè chi·u cõa khæng gian h m t÷ìng ùng vîi λi , i = 1, 2..., l  húu h¤n, lim λm = +∞. m→∞ ành ngh¾a 1. Cho X v  Y l  c¡c khæng gian Banach, U (x) l  l¥n cªn cõa iºm x. nh x¤ f : U (x) ⊂ X → Y ÷ñc gåi l  kh£ vi Fr²chet t¤i iºm x n¸u v  ch¿ n¸u tçn t¤i mët ¡nh x¤ T ∈ L(X, Y ) sao cho kf (x + h) − f (x) − T hk = o(khk), h > 0, vîi måi h n¬m trong l¥n cªn cõa iºm 0. Khi â T gåi l  ¤o h m Fr²chet cõa f t¤i x v  kþ hi»u l  f 0 (x) = T . Vi ph¥n Fr²chet ÷ñc ành ngh¾a l  df (x; h) = f 0 (x)h. ành ngh¾a 2. Vîi méi α ≥ 0 v  f ∈ Lp(Rn), 1 ≤ p < ∞. H m gα (f ) 2 ÷ñc ành ngh¾a l  gα (f ) = Gα ∗ f , vîi Gα (x) = (1 + 4π 2 |x|2 )− α . N¸u α > 0 v  gα (f ) = f , th¼ |Gα |p = 1 v  |gα (f )|p ≤ |f |p . Khæng gian Lpα (Rn ) ÷ñc ành ngh¾a l  Lpα (Rn ) = gα (Lp (Rn )), α ≥ 0, 1 ≤ p < ∞. ành ngh¾a 3. Gi£ sû X l  mët khæng gian metric ¦y õ v  S(t) : X → X , vîi t ≥ 0 l  mët hå c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i, S(0) = I , vîi I l  ph²p çng nh§t. ii, S(t + s) = S(t)S(s) = S(s)S(t), vîi måi t, s ≥ 0, iii, S(t)u0 li¶n töc èi vîi (t, u0 ) ∈ [0, +∞) × X. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Khi â {S(t)}t≥0 ÷ñc gåi l  nûa nhâm (phi tuy¸n) li¶n töc tr¶n X . ành ngh¾a 4. Mët nûa nhâm S(t) li¶n töc ÷ñc gåi l  h» gradient li¶n töc n¸u tçn t¤i h m Φ ∈ C 0 (X, R) sao cho Φ(S(t)u) ≤ Φ(u) vîi måi t ≥ 0, vîi måi u ∈ X v  Φ(S(t)u) = Φ(u) vîi måi t ≥ 0, k²o theo u l  iºm c¥n b¬ng, tùc l  S(t)u = u vîi måi t ≥ 0. H m Φ gåi l  h m Lyapunov cho nûa nhâm S(t). ành ngh¾a 5. Gi£ sû S(t) l  nûa nhâm li¶n töc tr¶n khæng gian metric ¦y õ X . Tªp A ⊂ X ÷ñc gåi l  tªp hót to n cöc èi vîi nûa nhâm S(t) n¸u i, A l  tªp compact, ii, A l  tªp b§t bi¸n, tùc l  S(t)A = A, vîi måi t ≥ 0, iii, A l  hót måi tªp bà ch°n, tùc l  vîi måi tªp bà ch°n B ⊂ X th¼ dist(S(t)B, A) → 0 khi t → +∞, ð ¥y dist(S(t)B, A) = sup inf d(a, b). a∈S(t)B b∈A ành ngh¾a 6. Gi£ sû X l  khæng gian Banach, nûa nhâm S(t) gåi l  compact ti»m cªn n¸u vîi måi t > 0, S(t) câ thº biºu di¹n ÷ñc d÷îi d¤ng S(t) = S (1) (t) + S (2) (t), ð â S (1) (t) v  S (2) (t) thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau 1. Vîi b§t ký tªp bà ch°n B ⊂ X sup ||S (1) (t)||X → 0, khi t → +∞. y∈B 2. Vîi b§t ký tªp bà ch°n B trong X tçn t¤i t0 sao cho bao âng cõa ∪t≥t0 S (2) (t)B l  compact trong X. ành lþ 7.[36] Gi£ sû S(t), t ≥ 0 l  mët h» gradient compact ti»m cªn, n¸u tªp c¡c iºm c¥n b¬ng E bà ch°n th¼ S(t) câ mët tªp hót to n cöc Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 compact A. N¸u X l  khæng gian Banach th¼ A l  li¶n thæng. ành ngh¾a 8. Gi£ sû E l  khæng gian Banach thüc v  Σ(E) l  kþ hi»u lîp c¡c tªp con trong E cõa E \ {0} èi xùng qua gèc 0. Tªp A ∈ Σ(E) ÷ñc gåi l  gièng n (kþ hi»u l  γ(A) = n) n¸u n l  sè nguy¶n nhä nh§t sao cho tçn t¤i Φ ∈ C(A, Rn \ {0}), Φ câ t½nh ch§t èi xùng. N¸u khæng tçn t¤i n l  húu h¤n, th¼ γ(A) = +∞. Ta coi γ(φ) = 0. ành ngh¾a 9. Gi£ sû X l  khæng gian Banach, C([0, T ]; X) l  khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m li¶n töc u : [0, T ] → X vîi chu©n kukC([0,T ];X) = max ||u(t)||X . 0≤t≤T ành ngh¾a 10. Cho X l  khæng gian metric. Quÿ ¤o d÷ìng cõa x ∈ X l  tªp γ + (x) = {S(t)x : t ≥ 0}. N¸u B ⊂ X , th¼ quÿ ¤o d÷ìng cõa tªp B l  tªp γ + (B) = ∪t≥0 S(t)B = ∪z∈B γ + (z). ành ngh¾a 11. Gi£ sû X l  khæng gian Banach, khæng gian Lp((a, b); X) l  khæng gian Banach bao gçm t§t c£ c¡c h m u : (a, b) → X thäa m¢n ||u||pLp ((a,b);X) = Zb ||u||pX dt < +∞. a Bê · 12.[22] Gi£ sû ϕ(t) l  mët h m khæng ¥m li¶n töc tr¶n kho£ng (0, T ) sao cho ϕ(t) ≤ c0 t−γ0 + c1 Zt (t − s)−γ1 ϕ(s)ds, t ∈ (0, T ), 0 vîi c0 , c1 ≥ 0 v  0 ≤ γ0 , γ1 < 1. Khi â tçn t¤i mët h¬ng sè Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn