Bài toán bao hàm thức tựa biến phân pareto và ứng dụng

  • Số trang: 65 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 28 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐÀO XUÂN TIẾN BÀI TOÁN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐÀO XUÂN TIẾN BÀI TOÁN BAO HÀM THỨC TỰA BIẾN PHÂN PARETO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành Luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và hướng dẫn tận tình, chu đáo cho tôi. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và cơ quan công tác đã giúp đỡ, động viên tạo điều kiện để tôi hoàn thành Luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Đào Xuân Tiến LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: “Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Đào Xuân Tiến Mục lục Mở đầu 5 1 Kiến thức cơ bản 1.1 1.2 1.3 1.4 9 Các không gian thường dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1 Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.3 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 17 Nón và ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.1 Nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.2 Ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Các tính chất của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Tính liên tục và liên tục theo nón của ánh xạ đa trị 24 1.3.2 Tính lồi và tựa lồi theo nón . . . . . . . . . . . . . . 27 Các định lý điểm bất động và KKM . . . . . . . . . . . . . 29 2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 32 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 2.3 2.4 Bài toán tựa cân bằng Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Bài toán tựa cân bằng Pareto trên (U P QEP )1 : . . . 43 2.3.2 Bài toán tựa cân bằng Pareto dưới (LP QEP )1 . . . 44 2.3.3 Bài toán tựa cân bằng yếu trên, loại 1 . . . . . . . . 45 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 1 (P QOP )1 . . . . . . 46 2.4.2 Định lý: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 48 3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3 Bài toán tựa cân bằng Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . 57 3.4 Bài toán tựa tối ưu Pareto loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 4 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Từ những năm đầu thế kỉ XX đến nay, đặc biệt là thời gian gần đây, lý thuyết tối ưu véctơ đóng một vai trò quan trọng, vì nó thâm nhập vào rất nhiều lĩnh vực trong thực tế và các ngành khoa học kĩ thuật khác nhau. Các bài toán cơ bản của lý thuyết tối ưu là bài toán tựa tối ưu, bài toán bao hàm thức tựa biến phân, bài toán tựa cân bằng. Lúc đầu, người ta chỉ nghiên cứu những bài toán này liên quan đến ánh xạ đơn trị từ không gian Euclide có số chiều hữu hạn này sang không gian Euclide có số chiều hữu hạn khác. Sau đó người ta mở rộng cho các bài toán trong không gian có số chiều vô hạn với nón bất kỳ. Dựa trên định lý điểm bất động Kỳ Fan, Browder-Kỳ Fan và nguyên lý KKM người ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức biến phân Pareto, bài toán cân bằng Pareto và bài toán tối ưu Pareto. Các lớp bài toán này, khi miền định nghĩa thay đổi theo ánh xạ đa trị, người ta gọi chúng là các bài toán tựa. Dựa theo tính chất của các ánh xạ ở miền ràng buộc, ta lại chia chúng thành hai loại: loại 1 và loại 2. Mỗi loại lại được chia thành 2 loại: trên và dưới. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto được phát biểu cụ thể như sau: 1.1. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 1 5 Cho D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng, với các ánh xạ đa trị: S : D × K → 2D , T : D × K → 2K , F : K × D × D → 2Y . Bài toán: Tìm (x̄, ȳ) ∈ D × K sao cho x̄ ∈ S(x̄, ȳ), ȳ ∈ T (x̄, ȳ) và F (ȳ, x̄, x) * F (ȳ, x̄, x̄) − C\ {0} (F (ȳ, x̄, x̄) * F (ȳ, x̄, x) + C\ {0}), với mọi x ∈ S(x̄, ȳ). được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên ( dưới ) loại 1. 1.2. Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto loại 2 Cho X, Y, Z là các không gian véctơ tôpô lồi địa phương Hausdorff, gọi D ⊆ X, K ⊆ Z là các tập con khác rỗng. Cho các ánh xạ P1, P2 : D → 2D , Q : D × D → 2K và F : K × D × D → 2Y Bài toán: Tìm x ∈ D sao cho x ∈ P1 (x) và F (y, x, x) * F (y, x, x) − C\ {0} (F (y, x, x) * F (y, x, x) + C\ {0}) với mọi x ∈ P2 (x) và y ∈ Q(x, x) được gọi là bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto trên ( dưới ) loại 2. Các bài toán này có liên quan tới các loại bài toán tựa cân bằng Pareto trên (dưới) loại 1, loại 2, các loại bài toán tựa tối ưu Pareto trên (dưới) loại 1, loại 2 và nhiều bài toán khác nữa và được nghiên cứu rất nhiều trong những năm trở lại đây. Với những lí do trên, tôi chọn đề tài “Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng” làm luận văn thạc sĩ của mình, luận văn này được viết dựa trên cơ sở của bài báo 6 [3]. [4]. 2. Mục đích nghiên cứu Để tìm nghiệm của các bài toán trước hết người ta phải biết bài toán có nghiệm hay không, sau đó mới tìm các phương pháp thuật toán tiếp cận nghiệm. Ví dụ, xét các bài toán tối ưu, thông thường người ta thường đưa ra các điều kiện tổng quát cho việc tồn tại nghiệm, sau đó, mới tìm các thuật toán để giải. Chính vì vậy, việc xét sự tồn tại nghiệm của các bài toán là một trong những vấn đề quan trọng khi nghiên cứu các bài toán. Mục đích của luận văn là đưa ra mô hình, sự tồn tại nghiệm của các bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Phát biểu bài toán dựa trên những yêu cầu của thực tế khách quan. Sau đó tìm các điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của các loại bài toán này và của các bài toán liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các bài toán trong lý thuyết tối ưu liên quan tới ánh xạ đa trị: Sự tồn tại nghiệm và ứng dụng của chúng. Sau đó, tìm các mối liên hệ giữa bài toán này với các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu đa trị. 5. Những đóng góp mới của đề tài Luận văn là trình bày những kết quả về một lớp bài toán trong lý thuyết tối ưu. Nghiên cứu sâu về sự tồn tại nghiệm của bài toán bao hàm thức tựa biến phân Pareto và ứng dụng của nó. 6. Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các định lý điểm bất động 7 của Ky Fan, Ky Fan-Browder và Định lý KKM liên quan đến ánh xạ đa trị để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm cho các bài toán trong lý thuyết tối ưu đa trị. 8 Chương 1 Kiến thức cơ bản Trong chương này ta nhắc lại một số không gian thường dùng, một số tính chất cơ bản của nón và ánh xạ đa trị từ một tập con khác rỗng của không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff vào không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff khác được sắp xếp theo thứ tự từng phần bởi nón. Trong luận văn này, các tính chất của nón đóng vai trò quan trọng cho việc nghiên cứu các bài toán ở chương sau. 1.1 Các không gian thường dùng 1.1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1. Cho tập X 6= ∅. Một ánh xạ d : X × X → R được gọi là một khoảng cách (hay metric) nếu các tính chất sau được thỏa mãn: 1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề phản xạ); 2) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X, (tiên đề đối xứng); 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X, (tiên đề tam giác). Cặp (X, d) trong đó d là một khoảng cách được gọi là một không gian metric. Không gian metric M0 = (X0 , d) gọi là không gian metric con của 9 không gian metric đã cho. Định nghĩa 1.1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Một tập con bất kỳ X0 6= ∅ của tập X cùng với metric d trên X lập thành một không gian metric. Không gian metric M0 = (X0 , d) gọi là không gian metric con của không gian metric đã cho. Tính chất: 1) (∀xi ∈ X, i = 1, 2, ..., n, n ∈ N ∗ ) d(x1 , xn ) ≤ n−1 P d(xi , xi+1 ); i=1 2) (∀x, y, u, v ∈ X) |d(x, y) − d(u, v)| ≤ d(x, u) + d(y, v) (bất đẳng thức tứ giác); 3) (∀x, y, u ∈ X) |d(x, y) − d(y, u)| ≤ d(x, u), (bất đẳng thức tam giác). Ví dụ 1.1.1. Với hai phần tử bất kỳ x, y ∈ R ta đặt d(x, y) = |x − y| Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực R ta dễ dàng kiểm tra hệ thức trên xác định một mêtric trên R. Không gian tương ứng được kí hiệu là R1 . Ta sẽ gọi mêtric trên là mêtric tự nhiên trên. Ví dụ 1.1.2. Ta ký hiệu C[a,b] là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞) . Với hai hàm số bất kỳ x(t), y(t) ∈ C[a, b] ta đặt d(x, y) = max |x(t) − y(t)| . a≤t≤b 10 Khi đó vì các hàm số x(t), y(t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm số |x(t) − y(t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b] . Do đó hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b]. Suy ra hệ thức trên xác định một ánh xạ từ tích Descartes C[a, b] × C[a, b] vào tập số thực R+ . Dưới đây ta kí hiệu N∗ là tập các số tự nhiên. Định nghĩa 1.1.3. Cho (X, d) là một không gian metric, ta nói dãy (xn )n∈N∗ ⊂ X họi tụ đến phần tử x ∈ X (hay x là giới hạn của dãy (xn )n∈N∗ ⊂ X ) nếu limn→∞ d(xn , x) = 0, ta viết xn → x hay limn→∞ xn = x. Định nghĩa 1.1.4. Cho (X, d) là một không gian metric, a ∈ X , số r > 0. Ta ký hiệu S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} là hình cầu mở tâm a, bán kính r; S 0 (a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} là hình cầu đóng tâm a, bán kính r. Định nghĩa 1.1.5. Cho (X, d) là một không gian metric. Tập V ⊂ X được gọi là lân cận của điểm x0 ∈ X nếu tồn tại số r > 0 sao cho S(a, r) ⊂ V . Định nghĩa 1.1.6. Cho (X, d) là một không gian metric, tập A ⊂ X , điểm b ∈ X . 1) Điểm b gọi là điểm trong của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm b bao hàm trong tập A. 11 2) Điểm b gọi là điểm ngoài của tập A, nếu tồn tại một lân cận của điểm b không chứa điểm nào của tập A. 3) Điểm b gọi là điểm biên của tập A, nếu mọi lân cận của điểm b đều chứa những điểm thuộc tập A, và những điểm không thuộc tập A. Định nghĩa 1.1.7. Cho (X, d) là một không gian metric và tập A ⊂ X 1) Tập A được gọi là tập mở trong không gian (X, d), nếu mọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A, thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A. 2) Tập A gọi là tập đóng trong không gian (X, d), nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ / A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A. Định nghĩa 1.1.8. Cho (X, d) là một không gian metric, giả sử A ⊂ X . Khi đó ta nói A là tập compact trong X nếu ∀(xn )n∈N∗ ⊂ A, ∃(xnk )n∈N∗ ⊂ (xn ) sao cho (xnk ) → x ∈ A. Định nghĩa 1.1.9. Cho (X, d) là một không gian metric, ta nói dãy (xn ) là dãy Cauchy trong không gian metric X , nếu ∀ε > 0, tồn tại nε sao cho ρ(xn , xm ) < ε, ∀n, m ≥ nε . Nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ thì X được gọi là không gian metric đầy. Định nghĩa 1.1.10. Cho X, Y là các không gian metric, A ⊂ X và f : A → Y . Ta nói: f liên tục tại x0 ∈ A nếu và chỉ nếu (∀ε > 0), (∃δ = δ(x0 , ε) > 0) sao cho (∀x ∈ A), (d(x, x0 ) < δ → d(f (x), f (x0 )) < ε). f liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi điểm của A. Khi f liên tục trên 12 X thì ta nói f là liên tục. Các khái niệm hội tụ, lân cận, tập đóng, tập mở. . . đều cùng sinh ra trên X một cấu trúc gọi là cấu trúc tôpô. Vậy tôpô có thể là họ các tập mở, họ các tập đóng, họ các lân cận. Ta có thể đưa ra khái niệm về không gian tôpô một cách tổng quát như sau: Định nghĩa 1.1.11. Cho tập hợp X , một họ τ những tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu: 1) Hai tập X, ∅ đều thuộc họ τ . 2) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là với mọi U1 , U2 ∈ τ đều có U1 ∩ U2 ∈ τ . 3) τ đóng kín đối với phép lấy hợp bất kì, tức là {Us }s ∈ S là một họ tùy ý thuộc τ thì ∪ Us ∈ τ . s∈S Tập X cùng với tôpô τ trên X được gọi là không gian tôpô (X, τ ) (hay không gian tôpô X ). Khi có hai tôpô τ, τ 0 trên X , nếu τ ⊂ τ 0 thì ta nói tôpô τ yếu hơn (thô hơn) tôpô τ 0 hay tôpô τ 0 mạnh hơn (hay mịn hơn) tôpô τ Trong trường hợp không có quan hệ đó thì ta nói hai tôpô không so sánh được. Định nghĩa 1.1.12. Trong không gian metric bất kỳ M = (X, d), họ τ tất cả các tập mở trong M lập thành một tôpô trên X . Ví dụ: Cho X là không gian metric với khoảng cách d. Khi đó, họ tất cả các tập mở trong không gian metric X là một tôpô trên X . Như vậy mọi không gian metric là không gian tôpô và tôpô sinh bởi khoảng cách của X . 13 1.1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1.13. Cho X là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là x, y, z, ..., K là một trường các phần tử được ký hiệu là α, β, γ, ... Trên X có hai phép toán: .) Phép cộng hai phần tử của X (+) : X × X → X (x, y) 7→ x + y .) Phép nhân một phần tử của X với một phần tử của K: (.) : K × X → X (α, x) 7→ αx Khi đó với mọi x, y, z ∈ X, với mọi α, β ∈ K các điều kiện sau được thỏa mãn. 1. (x + y) + z = x + (y + z); 2. Tồn tại véctơ θ sao cho θ + x = x + θ; 3. Với mỗi x có một phần tử x0 sao cho x + x0 = x0 + x = θ; 4. x + y = y + x; 5. α.(x + y) = α.x + α.y; 6. (α + β).x = α.x + β.x; 7. (α.β).x = α.(β.x); 8. 1.x = x, trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K Khi đó, ta nói rằng X là một không gian véctơ trên trường K (hoặc X là K- không gian vectơ). Ta cũng nói rằng X là không gian tuyến tính trên trường K. Khi K = R (tương ứng, K = C ) ta nói X là không gian véctơ thực (tương ứng không gian véctơ phức). 14 Ví dụ: R, ..., R∗ là các không gian tuyến tính Q không là không gian tuyến tính. Định nghĩa 1.1.14. Không gian véctơ định chuẩn là không gian tuyến tính X trên trường P(P = R hoặc P = C, cùng với một ánh xạ k.k : X → R+ , thỏa mãn các tiên đề sau: 1) kxk ≥ 0, kxk = 0 ↔ x = 0 ∀x ∈ X; 2) kαxk = |α| . kxk ∀x ∈ X, α ∈ R; 3) kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x, y ∈ X . Số kxk gọi là chuẩn của véctơ x. Để cho đơn giản ta kí hiệu không gian định chuẩn là X . Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn. Ví dụ: X = R, R2 , ..., Rn là các không gian định chuẩn với kxk = s n P |xi |2 . Trong đó x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn . i=1 Không gian véctơ định chuẩn cũng là không gian metric, với metric d(x, y) = kx − yk ta có: 1) Bất biến: d(x + z, y + z) = d(x, y); x, y, z ∈ X 2) Thuần nhất: d(αx, αy) = |α| .d(x, y); α ∈ R; x, y ∈ X . Vì vậy, không gian định chuẩn cũng có đầy đủ khái niệm của không gian metric. Định nghĩa 1.1.15. Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, ánh xạ A : X → Y gọi là toán tử tuyến tính liên tục nếu ∀x0 , x1 , x2 , xn ∈ X, ∀α, β ∈ K : 1) A(αx1 + βx2 ) = αAx1 + βAx2 ; 2) xn → x0 thì Axn → Ax0 . 15 Toán tử A : X → Y gọi là bị chặn (hay giới nội) nếu có một hằng số k > 0 sao cho (∀x ∈ X) : kAxk ≤ k. kxk . Toán tử tuyến tính A : X → Y là liên tục khi và chỉ khi A giới nội. Định nghĩa 1.1.16. Không gian đối ngẫu (hay liên hợp) của X là L(X, R) = {f : X → R, f tuyến tính }, ký hiệu X ∗ . Ta thấy X ∗ có một tôpô sinh, với kf k = sup |f (X)| . kXk≤1 1.1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.17. Cho X là không gian tuyến tính. Nếu có hàm số h., .i : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau: 1) Với x ∈ X cố định, h., yi : X → R là hàm tuyến tính, tức là: ∀α, β ∈ R, x1 , x2 : hαx1 + βx2 , yi = α hx1 , yi + β hx2 , yi . 2) Với x ∈ X cố định, hx, .i : X → R là hàm tuyến tính. 3) Với x ∈ R : hx, xi ≥ 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0 Khi ấy h., .i được gọi là tích vô hướng trên X . Không gian tuyến tính X cùng với tích vô hướng h., .i gọi là không gian tiền Hilbert. Ta định p nghĩa kxk = hx, xi (thỏa mãn các điều kiện của chuẩn). Khi đó không gian tiền Hilbert là không gian định chuẩn với kxk sinh bởi tích vô hướng p kxk = hx, xi. Nếu không gian định chuẩn này là đầy đủ thì (X, hx, xi) được gọi là không gian Hilbert H . Không gian Hilbert H cũng là không gian tôpô với τ = {A ⊂ X, A mở theo chuẩn của X}. Định lý 1.1.1. (Định lý F. Riesz): Cho H là không gian Hilbert, khi đó: 1) ∀a ∈ H, tương ứng x 7→ hx, ai xác định phiếm hàm tuyến tính fa 16 liên tục trên H với kfa k = kak . 2) Ngược lại, với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên H , tồn tại duy nhất a để f (x) = hx, ai , ∀x ∈ H. Định nghĩa 1.1.18. Cho không gian Hilbert H . Hai phần tử x, y ∈ H gọi là trực giao, ký hiệu x⊥y , nếu hx, yi = 0. Định nghĩa 1.1.19. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A 6= ∅. Phần tử x ∈ H gọi là trực giao với tập A, nếu x⊥y (∀y ∈ A) và kí hiệu x⊥A. 1.1.4 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Định nghĩa 1.1.20. Một không gian véctơ X được trang bị một cấu trúc tôpô. Khi đó ta nói X là không gian tôpô tuyến tính, nếu cấu trúc tôpô phù hợp với cấu trúc tuyến tính, tức là phép cộng và phép nhân là hai ánh xạ tuyến tính, nghĩa là: nếu ∀xα , yα ∈ X, xα → x, yα → y, λα ∈ R, λα → λ thì xα + yα → x + y, λα xα → λx. Trong không gian tôpô tuyến tính, cấu trúc tôpô hoàn toàn được xác định bởi tập các lân cận của gốc, biết tập này thì mọi lân cận của một điểm tùy ý sẽ suy ra bằng một phép tịnh tiến. Do đó, ta thường nói về các lân cận của gốc, gọi tắt là “lân cận”. Ví dụ: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert là những không gian tôpô tuyến tính vì phép cộng véctơ và phép nhân véctơ với một số là liên tục trong tôpô xác định bởi chuẩn. Định nghĩa 1.1.21. Cho X là không gian tôpô tuyến tính nếu tồn tại họ cơ sở lân cận của gốc 0 gồm toàn tập lồi thì ta nói X là không gian tôpô 17 tuyến tính lồi địa phương. Không gian định chuẩn là lồi địa phương vì họ cơ sở lân cận trong đó là các hình cầu có tâm ở gốc. Thật vậy: ta lấy U = {B(0, r), r ≥ 0} là cơ sở lân cận của gốc 0 . Vì U là lân cận của gốc 0 thì tồn tại B(0, r), B(0, r) ∈ U là tập lồi vì x1 , x2 ∈ B(0, r), α ∈ [0, 1] , kαx1 + (1 − α)x2 k ≤ kx1 k + (1 − α) kx2 k ≤ αr + (r + αr) → αx1 + (1 − αx2 ) ∈ B(0, r) → B(0, r) là tập lồi suy ra không gian định chuẩn là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương. Định nghĩa 1.1.22. Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, τ gọi là tôpô Hausdorff nếu với mọi x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 , thì ∃U1 , U2 ∈ τ, U1 ∩ U2 = ∅ và x1 ∈ U1 , x2 ∈ U2 . Ví dụ: Không gian định chuẩn là không gian Hausdorff vì Với x1 , x2 ∈ X, x1 6= x2 ↔ kx1 − x2 k = r > 0, U1 = B(x1 , 4r ), U2 = B(x2 , 4r ) là tập mở, U1 ∩ U2 = ∅ (vì nếu U1 ∩ U2 6= ∅ thì ta lấy y ∈ U1 ∩ U2 → kx1 − yk ≤ r 4, kx2 − yk ≤ r 4 → kx1 − x2 k ≤ kx1 − yk + kx2 − yk = r 2 6= r → r ≤ 2r , vô lý). Vậy không gian định chuẩn là không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff. 1.2 Nón và ánh xạ đa trị 1.2.1 Nón Như ta đã biết trong trường số thực R, hai số bất kỳ đều có thể so sánh được với nhau thông qua một quan hệ thứ tự toàn phần. Trong không gian khác, ta không có tính chất như vậy. Tuy nhiên bằng cách sử dụng khái 18
- Xem thêm -